ApostilaFFTMETransporteDeEnergia · 2018-06-25 · fluidos e atribuiu a Prandtl o título do pai da mecânica ... cilindro, com a posição dos ... U e uma tabela ou uma fórmula

Fenômenos de Transporte, Calor e Massa - FFTM Prof.: Dr. Cláudio S. Sartori; Prof.: Dr. Irval C. Faria

Transporte de Energia e Medidores

1

http://www.claudio.sartori.nom.br/ApostilaFFTMETransporteDeEnergia.pdf

http://www.claudio.sartori.nom.br/ApostilaFFTMETransporteDeEnergia.pdf



2

Demonstração da equação de Bernoulli:

1 1 2 2 1 2dW F ds F ds p p dV

1 1 1 2 2 2 1 2dW p A ds p A ds p p dV

2 1M MdW E E

2 2 1 1c p c pdW E E E E

2 2

2 12 1

2 2

m v m vdW m g y m g y

2 2

2 12 1

2 2

dV v dV vdW dV g y dV g y

2 2

2 11 2 2 1

2 2

dV v dV vp p dV dV g y dV g y

2 2

2 11 2 2 1

2 2

v vp p g y g y

2 2

1 21 1 2 2

2 2

v vp g y p g y

2 2

1 1 2 21 2

2 2

p v p vy y

g g

1 2H H 2

1 11 1

2

p vH y

g

2

2 22 2

2

p vH y

g

Perfil de velocidades – Medidor de

Prandtl - Pitot

Introdução e Teoria:

Ludwig Prandtl

(1875-1953) As contribuições de Ludwig Prandtl à

mecânica dos fluidos incluem seu

desenvolvimento da teoria para descrever o

fenômeno de turbulência, e de seus estudos

experimentais e teóricos da dinâmica de gases.

Prandtl estudou mecânica e contribuiu à

mecânica de meios contínuos durante toda a

maioria de sua carreira.

Entretanto, sua descoberta da camada

do limite é considerada como uma das

descobertas mais importantes da mecânica dos

fluidos e atribuiu a Prandtl o título do pai da

mecânica dos fluidos moderna.

O tubo de Pitot-Prandtl é utilizado para

medir a velocidade do fluido em um escoamento.

Em particular, pode ser utilizado para medir a

velocidade de um avião em relação ao ar.

Outro fenômeno interessante é a

condensação causada pela singularidade de

Prandtl-Glauert que pode ser vista no vôo

nivelado constante geralmente em baixas alturas,

estando o ar em condições de umidade. Quando

um avião se submete a certo tipo de manobra,

pode causar pressões muito baixas na superfície

superior das asas. As temperaturas

correspondentes serão baixas, de forma que o

vapor de água se condensa no lado superior da

asa. Uma característica da condensação é que

haverá muito mais condensação no lado superior

da asa do que no lado mais baixo, e que está

associado geralmente com voltas de elevadas

acelerações g.

Pode-se escrever, na transformação

adiabática:

PV k PV nRT

nRT nRTV P k

P P

1

T cP

Para o ar, = 1.4, assim: 10, 28

.

Assim, a temperatura do ar aumentará e

diminuirá conforme a pressão aumenta e diminui.

As regiões da alta pressão corresponderão

necessariamente às regiões da alta temperatura e

as regiões da pressão baixa corresponderão às

regiões da temperatura baixa.

O fenômeno causa uma aparência como

vista na figura 1:

Figura 1 - Foto de uma nuvem da

condensação de Prandtl-Glauert em um avião

com velocidade próxima à do som no ar.



3

A equação de Bernoulli:

2

2

221

21

2

121

1 gyvpgyvp

Chamando de 2

212

1vppp

f

f

phgv

22

A figura mostra a seção reta de um duto

cilindro, com a posição dos pontos nos quais se deve

medir a velocidade, conforme a norma americana PIC

11-1946.

Figura 2 – Seção reta do duto do laboratório

conforme a norma americana PIC 11-1946.

37.5 mm

32.6 mm

27.6 mm

21.4 mm

12.3 mm

0

Figura 3 –Estrutura interna do tubo de Pitot

instalado no laboratório:

Gaveta de

Amianto

Metal: Latão

Pitot: Inox

Gaveta de Amianto: Alumínio

C oring: 1/8

Parafusos: Ø 3/8

Porca: 2,5"

A pressão na abertura 1 é estática, p, e

em 2 é:

2

2

1vp

A altura manométrica h3 é proporcional

à diferença entre elas, ou seja: à pressão dinâmica

2

2

1v . Assim:

Lei de Poiseuille

Natureza da distribuição de tensão de

cisalhamento (pg. 150 livro R. V. Guiles).

p1A p2A

v

ro r

vc

r0 r dr

L

Uma vez que o fluxo é constante, a

soma das forças sobre o corpo livre é zero:

L

rpprLrprp

202 212

2

2

1

L

rpp

dr

dv

2

21

1 2

2c

v R

v r

p p rdvdv dr

dr L

1 2 2 2

4c

p pv v R r

L

2221

4rR

L

ppvv c



4

Ou

f

f

phgv

22

Taxa: Seja o volume de fluido dV que

atravessa seus extremos no tempo dt dado por:

rdrdtrRL

ppdV

2

4

2221

dArvQdArvdt

dV )()(

4

8

pRQ

L

Perfil de velocidades

Equações de Navier Stokes

As equações de Navier Stokes são

equações diferenciais que descrevem o

escoamento de fluidos. São equações a derivadas

parciais que permitem determinar os campos de

velocidade e de pressão.

A equação é uma equação diferencial parcial

não-linear da segunda ordem,como segue:

2

tv v v p v g

Onde:

v : é um vetor que representa a

velocidade de um elemento infinitesimal da

massa em um ponto no espaço 3-D;

p é a pressão escalar no mesmo ponto;

: é a densidade maciça no ponto e é

constante suposta durante todo o meio;

µ: é a viscosidade do meio;

g : é a aceleração da gravidade

A equação de N-S refere-se ao

movimento de uma única partícula minúscula do

campo fluido, não o movimento total do líquido.

Entretanto, pode ser usada para calcular

o fluxo de gases e de líquidos incompressíveis de

objetos da forma arbitrária.

É usada na dinâmica dos fluidos e na

engenharia como um modelo padrão para o

estudo da turbulência, o comportamento da

camada do limite, a formação de ondas de

choque, e o transporte maciço. Entre outras

coisas, é usado para calcular o teste padrão do

fluxo de ar nas asas de um avião. Foi estudada e

aplicada por muitas décadas.

.

Um problema sobre as equações de Navier-

Stokes, que nunca foi solucionado desde 1900,

faz parte da lista dos Prêmios Clay e a sua

resolução vale US$1000000.



5

Medidores de vazão Na História, grandes nomes marcaram suas

contribuições. Provavelmente a primeira foi dada por

Leonardo da Vinci que, em 1502, observou que a

quantidade de água por unidade de tempo que

escoava em um rio era a mesma em qualquer parte,

independente da largura, profundidade, inclinação e

outros. Mas o desenvolvimento de dispositivos

práticos só foi possível com o surgimento da era

industrial e o trabalho de pesquisadores como

Bernoulli, Pitot e outros.

Existe uma variedade de tipos de medidores

de vazão, simples e sofisticados, para as mais diversas

aplicações. O tipo a usar sempre irá depender do

fluido, do seu estado físico (líquido ou gás), das

características de precisão e confiabilidade desejadas

e outros fatores.

Placa de Orifício ou Diafragma

É um dos meios mais usados para medição

de fluxos. Dados de entidades da área de

instrumentação mostram que, nos Estados Unidos,

cerca de 50% dos medidores de vazão usados pelas

indústrias são deste tipo. Certamente as razões para

tal participação devem ser as vantagens que

apresenta: simplicidade custa relativamente baixa,

ausência de partes móveis, pouca manutenção,

aplicação para muitos tipos de fluido, instrumentação

externa, etc.

Desvantagens também existem: provoca

considerável perda de carga no fluxo, a faixa de

medição é restrita, desgaste da placa, etc.

Um arranjo comum é dado na Figura 1. A placa

(indicada em vermelho) provoca uma redução da

seção do fluxo e é montada entre dois anéis que

contêm furos para tomada de pressão em cada lado. O

conjunto é fixado entre flanges, o que torna fácil sua

instalação e manutenção.

A medição da diferença de pressão p1-p2

pode ser feita por algo simples como um manômetro

U e uma tabela ou uma fórmula pode ser usada para

calcular a vazão. Ou pode ser coisa mais sofisticada

como transdutores elétricos e o sinal processado por

circuitos analógicos ou digitais para indicação dos

valores de vazão.

Figura 1 – Placa de Orifício.

Tubo de Venturi

O chamado tubo de Venturi, em

homenagem ao seu inventor (G B Venturi, 1797).

Figura 2 – O tubo de Venturi

Figura 3 – Arranjos de alguns

medidores.

O arranjo 2 é chamado bocal. Pode ser

considerado uma placa de orifício com entrada

suavizada. Em 3 um cone é o elemento redutor

de seção. No tipo joelho (4) a diferença de

pressão se deve à diferença de velocidade entre

as veias interna e externa. Há menor perda de

carga no fluxo, mas o diferencial de pressão é

também menor.

Medidores de área variável (Rotâmetro)

Embora possa ser visto como um

medidor de pressão diferencial, o rotâmetro é um

caso à parte por sua construção especial. A

Figura 4 dá um arranjo típico.

Um tubo cônico vertical de material transparente

(vidro ou plástico) contém um flutuador que pode

se mover na vertical. Para evitar inclinação, o



6

flutuador tem um furo central pelo qual passa uma

haste fixa. A posição vertical y do flutuador é lida

numa escala graduada (na figura, está afastada por

uma questão de clareza. Em geral, é marcada no

próprio vidro).

Figura 4 – Arranjos de um medidor de área

variável.

Se não há fluxo, o flutuador está na posição

inferior 0. Na existência de fluxo, o flutuador sobe até

uma posição tal que a força para cima resultante da

pressão do fluxo se torna igual ao peso do mesmo.

Notar que, no equilíbrio, a pressão vertical

que atua no flutuador é constante, pois o seu peso não

varia. O que muda é a área da seção do fluxo, ou seja,

quanto maior a vazão, maior a área necessária para

resultar na mesma pressão. Desde que a vazão pode

ser lida diretamente na escala, não há necessidade de

instrumentos auxiliares como os manômetros dos

tipos anteriores.

Medidores de deslocamento positivo Os medidores de deslocamento positivo

operam de forma contrária a bombas de mesmo

nome: enquanto nessas um movimento rotativo ou

oscilante produz um fluxo, neles o fluxo produz um

movimento.

A Figura 5 dá exemplo de um tipo de lóbulos

elípticos que são girados pelo fluxo. Existem vários

outros tipos aqui não desenhados: disco oscilante,

rotor com palhetas, pistão rotativo, engrenagem, etc.

O movimento rotativo ou oscilante pode

acionar um mecanismo simples de engrenagens e

ponteiros ou dispositivos eletrônicos nos mais

sofisticados.

Em geral, não se destinam a medir a vazão

instantânea, mas sim o volume acumulado durante

um determinado período. São mais adequados para

fluidos viscosos como óleos (exemplo: na

alimentação de caldeiras para controlar o consumo de

óleo combustível).

Algumas vantagens são:

- adequados para fluidos viscosos, ao

contrário da maioria.

- baixo a médio custo de aquisição.

Algumas desvantagens:

- não apropriados para pequenas vazões.

- alta perda de carga devido à transformação do

fluxo em movimento.

- custo de manutenção relativamente alto.

- não toleram partículas em suspensão e bolhas de

gás afetam muito a precisão.

Figura 5 – Medidores de deslocamento

positivo.

Medidores do tipo turbina

O fluxo movimenta uma turbina cuja

pás são de material magnético. Um sensor capta

os pulsos, cuja freqüência é proporcional à

velocidade e, portanto, à vazão do fluido.

Os pulsos podem ser contados e totalizados por

um circuito e o resultado dado diretamente em

unidades de vazão.

Desde que não há relação quadrática

como nos de pressão diferencial, a faixa de

operação é mais ampla. A precisão é boa. Em

geral, o tipo é apropriado para líquidos de baixa

viscosidade.

Existem outras construções como, por exemplo,

os hidrômetros que as companhias de água

instalam nos seus consumidores: a turbina aciona

um mecanismo tipo relógio e ponteiros ou dígitos

indicam o valor acumulado.

Figura 6 – Medidores do tipo turbina.

Medidores Eletromagnéticos Os medidores eletromagnéticos têm a

vantagem da virtual ausência de perda de

pressão, mas só podem ser usados com líquidos

condutores de eletricidade.

O princípio se baseia na na lei de

Faraday, isto é, uma corrente elétrica é induzida

num condutor se ele se move em um campo

magnético ou vice-versa.

Na figura 7, um tubo de material não

magnético contém duas bobinas que geram um

campo magnético B no seu interior. Dois

eletrodos são colocados em lados opostos do tubo

e em direção perpendicular ao campo. O fluido

faz o papel do condutor e a tensão V gerada tem

relação com a velocidade do fluxo e, portanto,

com a sua vazão.



7

Figura 7 – Medidores Eletromagnéticos

Medidores de Efeito Döppler

Esses medidores estão na categoria dos

ultra-sônicos pois usam ondas nesta faixa de

freqüências.

Só devem ser usados com fluidos que

tenham partículas em suspensão.

Um elemento transmissor emite ultra-som

de freqüência conhecida. As partículas em suspensão

no fluido refletem parte das ondas emitidas. Desde

que estão em movimento, o efeito Döppler faz com

que as ondas sejam captadas pelo elemento receptor

em freqüência diferente da transmitida e a diferença

será tanto maior quanto maior a velocidade, ou seja,

há relação com a vazão do fluxo.

Figura 8 – Medidores de Efeito Döppler

Medidores de Coriolis

No arranjo da figura 9, o fluido passa

por um tubo em forma de U dotado de uma certa

flexibilidade. Um dispositivo magnético na

extremidade e não mostrado na figura faz o tubo

vibrar com pequena amplitude na sua freqüência

natural e na direção indicada.

O nome é dado devido ao efeito da

aceleração de Coriolis. Na época da elaboração

desta página, este fenômeno ainda não estava

inserido neste website e, por isso, não cabem

mais detalhes.

Mas o resultado é indicado na figura. A

aceleração de Coriolis provoca esforços em

sentidos contrários nas laterais do U, devido à

oposição dos sentidos do fluxo. E, visto de frente,

o tubo é deformado e isso pode ser captado por

sensores magnéticos.

A grande vantagem deste tipo é ser um

medidor de fluxo de massa e não de volume.

Assim, não há necessidade de

compensações para mudanças de condições de

temperatura e pressão.

Pode ser usado com uma ampla

variedade de fluidos. Desde tintas, adesivos até

líquidos criogênicos.

Figura 9 – Medidores de Coriolis

Tipo Utilização Faixa

Perda

de

pressão

Precisão

aprox %

Comprim

prévio

diam

Sensib

à

viscosid

Custo

relativo

Bocal Líquidos comuns. 4:1 Média ±1/±2 da

escala 10 a 30 Alta Médio

Coriolis Líquidos comuns, viscosos,

alguma suspensão. 10:1 Baixa

±0,4 da

proporção Não há Não há Alto

Deslocamento

positivo

Líquidos viscosos sem

suspensões. 10:1 Alta

±0,5 da

proporção Não há Baixa Médio

Eletromagnético Líquidos condutivos com

suspensões 40:1 Não há

±0,5 da

proporção 5 Não há Alto

Joelho Líquidos comuns. Alguma

suspensão. 3:1 Baixa

±5/±10

da escala 30 Baixa Baixo

Placa de orifício Líquidos comuns. Alguma

suspensão. 4:1 Média

±2/±4 da

escala 10 a 30 Alta Baixo

Rotâmetro Líquidos comuns. 10:1 Média ±1/±10

da escala Nenhum Média Baixo

Tubo de Pitot Líquidos sem impurezas. 3:1 Muito

baixa

±3/±5 da

escala 20 a 30 Baixa Baixo

Tubo de Venturi Líquidos comuns. Alguma

suspensão. 4:1 Baixa

±1 da

escala 5 a 20 Alta Médio

Turbina Líquidos comuns. Pouca

suspensão. 20:1 Alta

±0,25 da

proporção 5 a 10 Alta Alto

Ultra-sônico

(Doppler)

Líquidos viscosos com

suspensões. 10:1 Não há

±5 da

escala 5 a 30 Não há Alto



2



2

Exercícios:

1. Em certa seção (1) de um tubo

horizontal, (medidor de Venturi indicado na figura)

a velocidade v1 = 0.5 m/s. Se as áreas do tubo nas

seções (1) e (2) forem A1 = 20 cm2 e A2 = 10cm2,

respectivamente, calcular:

(a) A velocidade no ponto (2) (v2).

(b) O número de m3 de água que escoarão

em qualquer seção transversal do tubo, por minuto.

(c) As vazões em massa (Qm) e em peso

(Qg).

2. Encontrar a vazão no tubo de venturi

mostrado, se o fluido a transportar for a água

( = 104N/m3).

3. As infusões intravenosas normalmente

são accionados por gravidade pendurando o frasco

de fluido a uma altura suficiente para compensar a

pressão do sangue na veia e para forçar o fluido para

dentro do corpo. Quanto mais alta estiver a garrafa,

maior será a taxa de fluxo do fluido.

Um rapaz foi fazer um exame de Física,

ficou nervoso, desmaiou e foi parar no hospital, para

tomar soro. A densidade do soro tomado é 1020

kg/m3.

(a) Se for observado que o fluido e as

pressões sanguíneas equilibrar entre si, quando a

garrafa estiver a 1.2 m acima do nível do braço,

determinar a pressão manométrica do sangue.

(b) Se a pressão manométrica do líquido no

nível braço tem de ser de 20 kPa, determinar quão

alto o frasco deve ser colocado.

Pressão manométrica (ou de Gauge):

abs atmp p p p g h

R.: (a) 12kPa ; (b) 2m.

4. O tubo horizontal indicado na Figura

14.45 possui seção reta com área igual a 40,0 cm2

em sua parte mais larga e 10.0 cm2 em sua

constrição. A água flui no tubo e a vazão

volumétrica é igual a 6.00.10-3 m3/s (6.00 L/s).

Calcule (a) a velocidade do escoamento na parte

mais larga e na constrição;

(b) a diferença de pressão entre estas duas

partes:

(c) a diferença de altura entre os dois níveis

do mercúrio existente no tubo em U.

5. As linhas de corrente horizontais em

torno das pequenas asas de um avião são tais que a

velocidade sobre a superfície superior é igual a 70.0

m/s e sobre a superfície inferior é igual a 60.0 m/s.

Se o avião possui massa igual a 1340 kg e a área da

asa é igual a 162 m2, qual é a força resultante

vertical (incluindo o efeito da gravidade) sobre o

avião? A densidade do ar é 1.20 kg/m3.

6. O tubo de Pitot é um instrumento de

medida de pressão utilizado para medir

a velocidade de fluidos e a velocidade dos aviões.

Deve o seu nome ao físico francês do século

XVIII Henri Pitot. Em aviação, o termo turbulência

é o nome dado à movimentação do ar em grandes

altitudes e que faz com que o avião balance.

Basicamente, a turbulência acontece quando existe

uma mudança brusca na temperatura, na velocidade

ou na pressão do ar. Mudanças na pressão

acontecem o tempo todo, mas quando são

previsíveis, o piloto pode fazer ajustes na aeronave

para se adaptar a elas – como mudar a potência das

turbinas ou a posição dos flaps. Quando a mudança

é de uma hora para outra ou quando acontecem

muitas variações seguidas, não há como adaptar a

aeronave e a pressão faz com que ela balance. Para

entender porque isso acontece, é preciso levar em

consideração que o avião se mantém no ar graças à

força de sustentação, criada pela passagem de ar

pelas asas do avião. Quando acontece uma mudança

na velocidade do ar, a sustentação também varia,

fazendo com que o avião fique instável. A causa

mais comum de uma turbulência são as nuvens de

chuva. "Dentro dessas nuvens há grande variação de



3

pressão. O ar está virando em redemoinhos e

variando sua velocidade em todos os sentidos, o que

causa uma grande turbulência", Mas também

podem acontecer turbulências em áreas de céu

limpo, quando acontecem as chamadas tesouras de

vento. "Nesse caso, pode ter massas de ar que

sobem por conta de mudanças de temperatura ou

pressão. Essas massas podem atingir o avião,

mudando sua sustentação", diz Fernando Catalano,

professor do curso de Engenharia Aeronáutica da

Universidade de São Paulo (USP), em São Carlos.

Adaptado de :

http://revistaescola.abril.uol.com.br/cienci

as/fundamentos/causa-turbulencia-avioes-

474323.shtml

É recomendado a diminuição da

velocidade do avião, que se encontra na velocidade

de cruzeiro de 870 km/h. Suponha que no tubo de

Pitot há mercúrio como líquido manométrico Hg =

13.6 g/cm3 e o ar a 12 km de altitude possua

densidade de Ar = 0.3119 kg/m3.

(a) Determine a diferença de altura no tubo

em U ligado ao Pitot quando a velocidade do avião

for a velocidade de cruzeiro.

(b) Determine a mesma diferença quando

sua velocidade reduzir-se para as dadas no limite de

segurança indicado. (518 , 546)km/h.

Utilize a forma apropriada para a equação

de Bernoulli: 2 2

1 21 1 2 2

2 2

v vp gh p gh

2 2

1 1 2 21 2 1 2

2 2

p v p vh h H H

g g

7. Para a figura abaixo, mostre que:

2 2

1 1 2 21 2 1 2

2 2

p v p vh h H H

g g

O Teorema do transporte de

Reynolds e a Equacao da continuidade

Qualquer fluido propriedade que depende

da quantidade de volume ou de massa num sistema

chama-se uma propriedade de extensiva, N, porque

o volume ou massa "estende" durante todo o

sistema.

Considere o sistema de particulas

indicado em t e em t+dt das figuras anteriores.

0

lims ss

ts

N t t N tdN

dt t

Considere agora que, no intervalo de

tempo t, entram Nin particulas no sistema e

saem Nout.

0

lims s in outs

ts

N t t N t N NdN

dt t

0 0 0

lim lim lims ss in out

t t ts

N t t N tdN N N

dt t t t

0lim

s ss

tv

N t t N tNm v vdV

t t t t

N m Nv v V

t t t t

Vv A

t

0 0lim limin out

t tcs

N Nvv dA

t t

s

s v cs

dNvdV vv dA

dt t

(Teorema do Transporte de Reynolds)

A

Q v d A

A

dm dV v dt dA dmm v d A

dt dt dt dt

0v cs

vdV vv dAt

(Equação da continuidade)

7. Um fluido ideal flui através da secção

divergente do tubo na figura de tal modo que ele

entra com uma velocidade v1. Se o fluxo é

constante, determinar a velocidade v2 na qual ele

sai.

http://revistaescola.abril.uol.com.br/ciencias/fundamentos/causa-turbulencia-avioes-474323.shtml





4

8. O perfil de velocidade para o

fluxo laminar uniforme de água através de

um tubo de 0,4 m de diâmetro é definido

por:

23 1 25m

v r rs

, onde r é, em metros, como mostrado na figura..

Determinar o fluxo volumetrico através do tubo e a

velocidade média do fluxo:

m

A

QQ v d A v

A

. (R.: 0.188m3/s; 1.5 m/s)

9. Um volume de água entra no hidrante

onde o diâmetro na entrada é 6-cm e a vazão vale

Qc = 4 fl3/s como ilustrado na figura.. Se a

velocidade para fora do bocal de 2-in de diâmetro

em A é de 60 ft/s, determinar a descarga fora do

bocal de diâmetro de 3 in em B.

R.: QB = 2.69 ft3/s

10. O ar flui para o aquecedor de gás na

figura indicada,, a uma taxa constante, de tal modo

que em A sua pressão absoluta é de 203 kPa, a sua

temperatura é de 20° C, e a sua velocidade é de 15

m/s. Quando ele sai em B, é a uma pressão absoluta

de 150 kPa e uma temperatura de 780'C.

Determinar a sua velocidade em B.

Observacao: Lei dos gases ideais:

n R T

R.: vB = 10.7 m/s

11. O tanque na Figura tem um volume de

1,5 m3 e está a ser cheio com ar, que é bombeado

para cima a uma taxa média de 8 m/s através de um

tubo flexível com um diâmetro de 10 mm. À medida

que o ar entra no tanque, a sua temperatura é de

30"C e a sua pressão absoluta é de 500 kPa.

Determinar a velocidade a que a densidade do ar no

interior do tanque está mudando neste instante.



5

Dados:

Equacao da Continuidade na forma

diferencial:

0V A

dV v d At

A A Ap R T

273A AT

286.9J

Rkg K

R.:3

32.5 10a kg

t m s

12. A velocidade de fluxo bi-dimensional

mostrado na figura é:

6 3m

v y i js

Determinar a equação da linha de fluxo

que passa através do ponto (x, y) = (1, 2) (m).

13. As componentes de velocidade de uma

partícula no campo de escoamento são definidas por

vx = 3 m/s e vy = 6.t m/s, onde t está em segundos.

Traçar a trajetória (pathline) para a partícula do

fluído se for lançada a partir da origem quando t =

0.

Também desenhe a aerodinâmica

(streamline) para esta partícula quando t = 2 s.

21

3y x

14. O trenó-foguete na figura é

propulsionado por um motor a jato que queima o

combustível a uma taxa de 60 kg/s. O conduto de ar

a uma tem uma abertura de 0.2 m2 e leva em ar tendo

uma densidade de 1.20 kg/m3. Se o motor

descarrega o gás em relação ao bocal em B com uma

velocidade média de 300 m/s, determinar a

densidade dos gases de escape. O trenó está a

avançar a uma velocidade constante de 80 m/s e o

injector tem uma área de secção transversal de 0.35

m2.

30.754g

kg

m

15. O tanque de 2 ft diâmetro na figura está

a ser cheio de água, utilizando um tubo de 1 ft de

diâmetro, o qual tem uma descarga de 4 ft3/s.

Determinar a velocidade a que o nível de água está

aumentando no reservatório.

1.7dy m

dt s

16. O óleo flui para dentro do tanque com

uma velocidade média de 4 m/s através do tubo de

50 mm de diâmetro em A. Ele flui para fora do

tanque, a 2 m/s através do tubo de 20 mm de

diâmetro em B.

Determinar a velocidade a que a

profundidade y do óleo no tanque está mudando.



6

1.2y

dy mmv

dt s

17. Determinar a velocidade média v de

um fluido muito viscoso que entra no canal aberto

retangular de 8 ft e, eventualmente, constitui o perfil

de velocidade que é aproximado por:

20.8 1.25 0.25ft

v y y ys

em que y é dado em pés (ft).

18. O coração humano tem uma descarga

média de 0.1(10-3) ml/s, determinada a partir do

volume de sangue bombeado por batimento e a taxa

de batimento. Medições cuidadosas mostram que as

células do sangue passar através dos vasos capilares

a cerca de 0.5 mm/s.

Se o diâmetro médio de um capilar é de 6

m, uma estimativa do número de capilares que

devem estar no corpo humano. R.: 7.07.109

19. A água flui através do tubo de tal forma

que tem um perfil de velocidade parabólico:

23 1 100v r r m s

, onde r é dado em metros. Determine o tempo

necessário para encher o tanque até uma

profundidade de h = l.5 m se h = 0 quando t = 0. A

largura do tanque é de 3 m.

20. Um certo volume de água escoa no

tanque através de dois tubos. Em A, o fluxo é de 400

gal/h, e em B é de 200 gal/h, quando d = 6 in.

Determinar a velocidade que o nível de

água está a aumentar no reservatório. Existem 7.48

gal/ft3.

33.15 10dy ft

dt s

21. Um tornado tem ventos que,

essencialmente, se movem ao longo linhas de

corrente circulares horizontais. No olho, r = 0; em r

= 10 m a velocidade do vento é v = r, que

representa um vórtice forçado, isto é, o fluxo que

roda a uma velocidade angular constante .

Determinar a distribuição da pressão dentro do olho

do tornado como uma função de r, se em r = 10 m a

pressão é p = p0 ·

Use a Equação de Euler:

2dp dz v

gdn dn r

0dn dr dz

22 2

0 02

p p r r

22. Um tubo de Pitot é frequentemente

utilizado para determinar a velocidade do fluxo de

um conduto fechado. É construído através de dois

tubos concêntricos, como mostrado na figura. A

diferença de pressão de estagnação em B pode ser



7

medida a partir de um manômetro ligado em E no

tubo interior. A jusante de B existem vários furos

abertos em D sobre o exterior do tubo. Aplicando a

equação de Bernoulli entre os pontos B e A, mostre

que:

2

A E Cv p p

23. No tubo de venturi da figura, mostre

que, aplicando adequadamente a equação de

Bernoulli:

2 11 4

1

2

2

1

p pv

d

d

2 1 0p p g h

24. O avião a jato na figura está equipado

com um piezômetro e um tubo de Pitot. O

piezômetro indica uma pressão absoluta de 47.2

kPa, enquanto que o tubo de Pitot uma pressão

absoluta de 49,6 kPa. Determinar a altura do avião

e a sua velocidade.

Obs.: uma pressão absoluta de 47.2 kPa a

altura é de aproximadamente h = 6 km

85.3P

mv

s

25. Determinar a velocidade média do

fluxo de água no tubo na figura, e a pressão estática

e dinâmica no ponto B. O nível de água em cada um

dos tubos está indicado. Tome w = 1000 kg/m3. R.:

1.08 m/s; 883 Pa; 589 Pa

26. Um conduto de ar possui perfil

retangular, como mostrado na figura. Se 3 lb/s de ar

flui continuamente através do conduto, determinar

a mudança de pressão que ocorre entre as

extremidades da passagem. Adote ar = 0.075 lb/ft3.

R.: vA = 26.67 ft/s; vB = 53.33 ft/s;

0.0173psi = 0.0173 lb/in2;

27. A água flui para cima através do tubo

vertical que está ligado à transição mostrada na

figura.

Se a vazão volumétrica é de 0.02 m3/s,

determinar a altura h, para que a água vai subir no

tubo de Pitot. A referência (datum) do piezometro é

o nível A indicado.

R.: vA = 2.546 m/s; pB = 963.93 Pa; h = 95.5

mm

28. A água jorra através do tubo de 2 in de

diâmetro à vazão de 0.2 ft3/s. A pressão em A é de

30 psi, determinar a pressão em C, e construir a

grade de linhas hidráulicas e a grade de linhas de

energia (HGL e EGL) de A a D. Use w = 62.4 lb/ft3.



8

Observação:

Datum = PHR (Ponto horizontal de

referência).

R.: 29.1 psi; HB = 70.5 ft;

29. A água flui para fora do tanque grande

e através do oleoduto mostrado. Construir as linhas

de energia e de grau hidráulico para o tubo. Ache vE

e vB.

R.: vE = 13.29 m/s; vB = 3.32 m/s

30. O sifão mostrado é usado para tirar

água do grande tanque aberto. Se a pressão de vapor

absoluta para a água é p = 1.23 kPa, determinar o

mais curto comprimento L do tubo de 50 mm de

diâmetro que vai provocar cavitação no tubo.

Desenhe as linhas de energia e grau hidráulico para

o tubo.

R.: L = 9.9 m

31. A turbina na figura é usado em uma

pequena planta hidrelétrica, juntamente com um

tubo de 0.3 m de diâmetro. Se a descarga em B é de

1.7 m3/s, determinar a quantidade de energia que é

transferida a partir da água para as pás da turbina. A

perda de carga por atrito através do tubo e turbina é

de 4 m.

A T B ABH H H p

2

2

A AA A

p vH y

g

2

2

B BB B

p vH y

g

T TP Q H

dP Q h

R.: HT = 26.52; PT = 442 kW e Pd = 66.7

kW

32. A bomba de irrigação na figura é usada

para suprir água para a lagoa a uma taxa de 23 ft3/s.

Se o tubo é de 6 in de diâmetro, determinar a

potência necessária da bomba. Assuma a perda de

carga por atrito na tubulação de 1.5 ft. Desenhar as

linhas de grade de energia e de grade hidráulica para

este sistema.

w = 62.4 lb/ft3

11

550

lbft hp

s



9

R.: HB = 11.11 ft; PB = 2.52 hp; PD = 0.34

hp.

33. A bomba descarrega água a 4000 gal/h.

A pressão em A é 20 psi, enquanto que a pressão no

tubo de saída em B é 60 psi. O filtro faz com que o

tubo interno da energia da água a um aumento de

400 ft·lb/slug na sua saída devido a aquecimento

por fricção, enquanto que existe uma perda de

condução de calor a partir da água de 20 ft.lb/s.

Determinar a potência que é desenvolvida

pela bomba, em hp.

311

7.48gal ft

R.: PB = 1.99 hp

34. A turbina leva vapor com uma entalpia

de h = 2.80 MJ/kg a 40 m/s. Uma mistura de água-

vapor deixa a turbina com uma entalpia de 1.73

MJ/kg a 15 m/s. Se a perda de calor para o ambiente

durante o processo é de 500 J/s, determinar a

potência das fontes de fluido para a turbina. O fluxo

de massa através da turbina vale 0.8 kg/s.

Observação:

A entalpia é dada por:

ph u

A conservação de energia para um sistema

de fluido contido dentro do volume de controle é

formalizada pela primeira lei da termodinâmica.

Esta lei estabelece que a taxa à qual o calor é

adicionado ou introduzido no sistema, inin

dQQ

dt

menos a taxa de trabalho realizado pelo sistema de

saída, é igual à taxa de variação da energia total no

interior do sistema.

in out

Sys

dEQ W

dt

Do Teorema de Reynolds

in out

Sys v cs

dEQ W edV e v dA

dt t

Com:

2

2

ve g z u

Assumindo fluxo estacionário:

2

02

in out

cs

vQ W g z u v dA

O fluxo de trabalho causado pela pressão é

dado por:

PP

cs cs

dW dsW p dA pv d A

dt dt

Assim, a taxa do trabalho total para fora do

sistema será:

out Turb Bomba

cs

W pv d A W W

Assim:

2

2in out

cs

vQ W g z u v dA

2

2in Turb Bomba

cs cs

vQ pv d A W W g z u v dA

2

2in Turb Bomba

cs

p vQ W W g z u v dA

Assumindo que



10

in in in out out outm v A v A

in Turb BombaQ W W

2 2

2 2

out out in inout out in in

out in

p v p vg z u g z u m

Para fluidos incompressíveis:in out

2 2

2 2

in in out outin Bomba out Turbina out in in

p v p vg z w g z w u u q

Onde:

Turbina Bomba inTurbina Bomba in

W W Qw w q

m m m

R.: 856TW kW

35. Ar a uma temperatura de 800 C flui

através do tubo. Em A, a pressão é de 20 kPa, e a

velocidade média é de 4 m/s. Determine a leitura da

pressão em B. Suponha que o ar é incompressível.

R.: 60.1 psi

36. Em A, água a uma pressão de 400 kPa

e uma velocidade de 3 m/s flui através das

transições. Determine a pressão e velocidade nos

pontos B e C. Desenhe a linha grade de energia e a

linha grade hidráulica para o fluxo de A a C.

37. Água do reservatório flui através do

tubo de 150 m de comprimento, 50 mm de diâmetro

para uma turbina em B. Se a perda de carga no tubo

é de 1.5 m para 100 m de comprimento de tubo, e a

água sai do tubo em C, com uma velocidade média

de 8 m/s, determinar a potência de saída da turbina.

A turbina opera com uma eficiência de 60%. (3.19

kW)

38. Óleo de viscosidade dinâmica μ = 0.01

kgf.s/m² e peso específico γ = 850 kgf/m³ , escoa em

regime permanente e com vazão Q = 50.0 L/s,

através de 3000 m de comprimento de tubo de Ferro

Fundido novo, com diâmetro φ = 200 mm. Pede-se

calcular a perda de carga distribuída através da

fórmula Universal de perda de carga.

39. Calcular a perda de carga distribuída

em uma tubulação de aço revestido nova, com 900,0

m de comprimento e 100,0 mm de diâmetro, devido

ao escoamento de 378.500,0 L/dia de óleo

combustível à temperatura de 20ºC ( γ = 855.0

kgf/m³ , ν = 3,94x10-6 m²/s), em regime

permanente. R.: Δhd = 4.93 m

40. Calcular a perda de carga distribuída

em uma tubulação de aço soldado nova, com

3.200,0 m de comprimento e 300,0 mm de diâmetro,

devido ao escoamento de 10.6x106 L/dia de gasolina

à temperatura de 25ºC.



11

γ = 720,0 kgf/m³,ν = 6,21x10-6 m²/s, em

regime permanente. R.: Δhd ≅ 29.47 m

Solução: 3 3 3

6 6 1010.6 10 10.6 10 0.122685

24 3600

L m mQ Q

dia s s

2

0.1226851.7356

0.3

4

mQ A v v v

s

Aço: L = 3200m

R = 4.6.10-5m

5

0.36521.7

4.6 10K K

Número de Reynolds: R

vN

g

R R

v vN N

gg

6

1.7356 0.383845.4

6.21 10R RN N

A função f deve ser calculada no ponto:

83845.4, 6521.7Rf f NK

Pelo diagrama de Moody-Rouse:

0.019f

2

2f

L vh f

g

23200 1.7356

0.0190.3 2 9.81

fh

29.47fh m

41. Um óleo combustível à 10ºC (γ = 861.0

kgf/m³ , ν = 5.16x10-6 m²/s) escoando em regime

permanente com vazão Q = 0,2 m³/s, é bombeado

para o tanque "C", como mostra a figura abaixo,

através de uma tubulação de aço rebitado nova, com

diâmetro constante φ = 400,0 mm e comprimento

de recalque L = 2.000,0 m. O reservatório em "C"

está em contato com a pressão atmosférica. Sabe-se

que a pressão relativa do ponto "A" é igual a 0,14

kgf/cm². Pede-se calcular a potência real da bomba,

para rendimento de 80%. Resp.: PtB ≅ 282.0 cv

R

Solução: 3

0.2m

Qs

2

0.21.5915

0.4

4

mQ A v v v

s

Aço: L = 3200m; R = 4.6.10-5m

5

0.48695.6

4.6 10K K

Número de Reynolds: R

vN

5

6

1.5915 0.41.2337 10

5.16 10R RN N

A função f deve ser calculada no ponto:

51.2337 10 , 8695.6Rf f NK

Pelo diagrama de Moody-Rouse:

0.03f ; 2

2f

L vh f

g

=

22000 1.59150.03

0.4 2 9.81

19.36fh m

A Bomba f RH H h H

2 2

2 2

A A R RA Bomba f R

v p v py H h y

g g

21.5915 13734 0 0

100 19.36 1802 9.81 861 9.81 2

BombaHg

0.12909 1.626 100 199.36BombaH

199.36 101.755BombaH

97.605BombaH m

e

BombaB

B

Q HP

861 9.81 0.2 97.605

0.8eBP

206102.962W

206102.962

735eBP cv 280.4eBP cv

42. No sistema mostrado na figura abaixo,

a vazão de água à 20ºC em regime permanente é Q

= 22.1 L/s. No trecho 0-1 o comprimento é 60.0 m

e o diâmetro é 200.0 mm. No trecho 2-3 o

comprimento é 260.0 m e o diâmetro é 150.0 mm.

A tubulação em toda sua extensão é de ferro fundido

nova. Pede-se calcular: (a) as pressões relativas nos

pontos 1 e 2; (b) a potência real da bomba para

rendimento de 60%.

Obs.: -Utilizar a fórmula Universal da perda de

carga e o método do comprimento equivalente.

-No desenho: a, b = curva 90º R/D = 1 1/2; c, d =

cotovelo 90º RM.

R.:(a) p1 ≅ 1.760.0 kgf/m² ; p2 ≅ 1.652 kgf/cm²; (b)

PrB ≅ 7.26 cv



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ApostilaFFTMETransporteDeEnergia · 2018-06-25 · fluidos e atribuiu a Prandtl o título do pai da mecânica ... cilindro, com a posição dos ... U e uma tabela ou uma fórmula