Apostilas Exitus RACIOCINIO LOGICO · Apostilas Exitus Raciocínio Lógico 1 RACIOCINIO LOGICO Ao procurarmos a solução de um problema quando dispomos de dados como um ponto de

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Raciocínio Lógico 1

RACIOCINIO LOGICO Ao procurarmos a solução de um problema

quando dispomos de dados como um ponto de partida e temos um objetivo a estimularmos, mas não sabemos como chegar a esse objetivo temos um problema. Mas se depois de examinarmos os dados chegamos a uma conclusão que aceitamos como certa, concluímos que estivemos raciocinando. Se a conclusão decorre dos dados, o raciocínio é dito lógico. 4

LÓGICA Com o aparecimento dos diversos sistemas

filosóficos e depois de disseminado pela Grécia antiga o gosto pelas teorias racionais abstratas, impôs-se a necessidade de uma ciência que disciplinasse a argumentação e o pensamento, estabelecendo critérios de validade e veracidade das proposições.

Lógica é a ciência que tem por objeto determinar, entre as operações intelectuais orientadas para o conhecimento da verdade, as que são válidas e as que não são. Estuda os processos e as condições de verdade de todo e qualquer raciocínio. O conhecimento só é científico quando, além de universal, é metódico e sistemático, ou seja, lógico. Assim, a lógica se entende como método, ou caminho que as ciências trilham para determinar e conhecer seu objeto, e como característica geral do conhecimento científico.

Do ponto de vista didático, a lógica se alinha com a metafísica, a ética, a estética etc. como disciplina da filosofia. Assim entendida, chama-se mais propriamente lógica formal, pois não se aplica ao conteúdo do que enuncia, mas unicamente aos conceitos, aos juízos e raciocínios.

Origens. A lógica foi desenvolvida de forma independente e chegou a certo grau de sistematização na China, entre os séculos V e III a.C., e na Índia, do século V a.C. até os séculos XVI e XVII da era cristã. Na forma como é conhecida no Ocidente, tem origem na Grécia. O mais remoto precursor da lógica formal é Parmênides de Eléia, que formulou pela primeira vez o princípio de identidade e de não contradição. Seu discípulo Zenão foi o fundador da dialética, segundo Aristóteles, por ter empregado a argumentação erística (arte da disputa ou da discussão) para refutar quem contestasse as teses referentes à unidade e à imobilidade do ser.

Os sofistas, mestres da arte de debater contra ou a favor de qualquer opinião com argumentos que envolviam falácias e sofismas, também contribuíram para a evolução da lógica, pois foram os primeiros a analisar a estrutura e as formas da linguagem. Foi sobretudo em vista do emprego vicioso do raciocínio pelos sofistas que o antecederam que Aristóteles foi levado a sistematizar a lógica.

Sócrates definiu o universal, ou essência das coisas, como o objeto do conhecimento científico e, com isso, preparou a doutrina platônica das idéias. Ao empregar o diálogo como método de procura e descobrimento das essências, antecipou a dialética platônica, bem como a divisão dos universais em gêneros e espécies (e das espécies em subespécies), o que permitiu situar ou inclu-

ir cada objeto ou essência no lugar lógico corresponden-te.

Lógica aristotélica. Aristóteles é considerado o fundador da lógica formal por ter determinado que a validade lógica de um raciocínio depende somente de sua forma ou estrutura, e não de seu conteúdo. Introduziu a análise da quantificação dos enunciados e das variáveis, realizou o estudo sistemático dos casos em que dois enunciados implicam um terceiro, estabeleceu o primeiro sistema dedutivo ou silogístico e criou a primeira lógica modal, que, ao contrário da lógica pré-aristotélica, admitia outras possibilidades além de "verdadeiro" e "falso". No século II da era cristã, as obras de Aristóteles sobre lógica foram reunidas por Alexandre de Afrodísia sob a designação geral de Órganon. Inclui seis tratados, cuja seqüência corresponde à divisão do objeto da lógica. Estuda as três operações da inteligência: o conceito, o juízo e o raciocínio.

Conceito é a mera representação mental do objeto. Juízo é um ato mental de afirmação ou de negação de uma idéia a respeito de outra, isto é, da coexistência de um sujeito e um predicado. Raciocínio é a articulação de vários juízos. O objeto próprio da lógica não é o conceito nem o juízo, mas o raciocínio, que permite a progressão do pensamento. Em outras palavras, não há pensamento estruturado quando se consideram idéias isoladas.

Em Perí hermeneías (Da interpretação), um dos tratados do Órganon, Aristóteles estuda a proposição, que é a expressão verbal do juízo. O juízo é verdadeiro quando une na proposição o que está unido na realidade, ou separa, na proposição, o que está realmente separado. A verdade é, assim, a adequação ou a correspondência entre o juízo e a realidade. Esse tratado procura principalmente determinar as oposições possíveis entre as proposições.

A partir do juízo de existência ou de realidade, considerado primordial, Aristóteles estabelece as seguintes modalidades de oposição e de negação: o animal é; o animal não é; o não-animal é; o não-animal não é. As proposições simples apresentam as mesmas modalidades. Outro tipo de proposições admite maior número de modalidades: o homem é mortal; o homem não é mortal; o homem é não-mortal; o homem não é não-mortal; o não-homem é mortal; o não-homem não é mortal etc. Os juízos se dividem de acordo com a qualidade, a quantidade, a relação e a modalidade. Quanto à qualidade, podem ser afirmativos ou negativos. Os afirmativos sustentam a conveniência do predicado ao sujeito (o homem é racional), enquanto os negativos sustentam a não conveniência entre eles (o homem não é imortal). De acordo com a quantidade, os juízos podem ser de três tipos: universais, quando o sujeito é tomado em toda sua extensão (todo homem é mortal); particulares, quando o sujeito é tomado em parte de sua extensão (alguns homens são brasileiros); e individuais ou singulares, situações em que o sujeito é tomado no mínimo de sua extensão (Aristóteles é filósofo).

Com relação à quantificação do sujeito, distingue-se a compreensão, que é o contéudo do conceito, e a ex-tensão, que indica a quantidade de objetos aos quais o conceito se aplica. Quanto maior for o conteúdo, ou con-junto de atributos característicos do conceito, menor será a extensão. Por exemplo, o conceito "mesa" abrange

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todos os membros da classe. Quando se acrescenta o atributo "branca", aumenta-se a compreensão, mas limi-ta-se a quantidade de mesas individuais a que se refere e diminui-se a extensão.

Do ponto de vista da relação, os juízos se distinguem em categóricos, hipotéticos e disjuntivos. No juízo categórico, o enunciado independe de condições (Aristóteles é grego); no hipotético, é condicional (se fizer bom tempo, sairemos); no disjuntivo, também condicional, a condição está na própria predicação (o objeto real é físico ou psíquico).

De acordo com a modalidade, os juízos podem ser assertóricos, problemáticos e apodícticos. No juízo assertórico, a validade do enunciado é de fato e não de direito (o livro está aberto, mas poderia estar fechado); no problemático, a validade é apenas possível (talvez as injustiças sejam reparadas); no apodíctico a validade é necessária e de direito, e não de fato (dois mais dois são quatro).

Raciocinar, em lógica, significa estabelecer uma relação necessária entre duas proposições ou enunciados. No tratado Analysis próté (Primeiras analíticas), terceira parte do Órganon, Aristóteles estuda o silogismo, cuja doutrina criou, para estabelecer as condições fundamentais do conhecimento científico. O silogismo é "um argumento do qual, admitidas certas coisas, algo diferente resulta necessariamente de sua verdade, sem que se precise de qualquer outro termo". Aristóteles distingue o silogismo, ou dedução, da indução. A dedução vai do universal ao particular, e a indução do particular ao universal. Mesmo assim, compreende que a indução é no fundo silogística.

No tratado do Órganon intitulado Análysis deutera (Segundas analíticas), Aristóteles estuda a demonstração e a definição. A propósito, indica os temas possíveis da investigação científica: (1) o que a palavra significa; (2) o que o objeto correspondente é; (3) qual a essência desse objeto; (4) quais são suas propriedades; (5) por que tem essas propriedades. Assim, o método científico começa com a determinação de um objeto conhecido apenas pelo nome, e prossegue com a determinação da essência e da existência do objeto.

A demonstração é um silogismo científico cujas premissas devem ser verdadeiras, primeiras, indemonstráveis e mais inteligíveis do que a conclusão e a causa da conclusão. Os princípios, ou pontos de partida do conhecimento científico, são os axiomas e as teses das diversas ciências, subdivididas em hipóteses e definições. Acrescentam-se ainda os postulados que, ao contrário dos tipos de proposição mencionados, só devem ser admitidos depois de demonstrados.

A ciência consiste no encadeamento lógico das proposições que, tomadas isoladamente, não poderiam ser conhecidas como verdadeiras. A rigor, a demonstração trata de evidenciar, por meio de mediações sucessivas, o que é inicialmente admitido como simples hipótese ou suposição. Além da demonstração ou da prova, Aristóteles admite, como forma de conhecimento, os primeiros princípios, que excluem a demonstração. Perguntar o que é alguma coisa é perguntar qual é a essência dessa coisa, e responder à pergunta é expor essa essência em sua definição. Aristóteles classifica três espécies de definição: a indemonstrável (a unidade

em aritmética, por exemplo); a definição causal ou real; e a definição nominal. A propósito da definição da espécie, recomenda: (1) só tomar como características de espécie os atributos que pertencem a sua essência; (2) apresen-tar os atributos em ordem, do determinável ao determi-nando; (3) dar as indicações necessárias para distinguir o definido de tudo o que dele difere. A obediência a es-sas regras permitirá definir, pela indicação do gênero próximo e da diferença específica, determinações que, por hipótese, devem conter a essência do objeto defini-do.

Por consistir numa redução à evidência, a demonstração implica a apreensão dos primeiros princípios, indemonstráveis. No processo que conduz da percepção à ciência, Aristóteles vê que o primeiro momento é a memória ("persistência da percepção") e o seguinte é a experiência, que é a lembrança das percepções dos mesmos objetos e a abstração daquilo que apresentam em comum. A passagem do particular ao universal é possível porque o que se percebe no objeto particular não é o que o particulariza, mas os caracteres que tem em comum com objetos semelhantes. Ao ascender a universais cada vez mais extensos, chega-se, pela razão intuitiva, aos primeiros princípios da ciência, os axiomas, as definições, os postulados e as hipóteses. Segundo Aristóteles, é por indução que se aprendem os primeiros princípios, pois é assim que a percepção produz o universal.

Lógica na Idade Média. Traduzidos para o latim por Boécio, alguns tratados da obra de Aristóteles passaram a ser usados, na Idade Média, no ensino da lógica, incluída nas disciplinas dos cursos de direito e teologia. A esterilidade criativa que predominou durante cerca de cinco séculos só foi interrompida no século XII com a dialética de Abelardo, teólogo eminente e controvertido, autor de Sic et non (Sim e não).

Durante o século XII, traduções complementares do Órganon de Aristóteles acrescentaram tópicos desconhecidos da "velha lógica" que foram agrupados sob o nome geral de "nova lógica". No século XIII, houve uma cisão entre os lógicos: alguns aderiram à ortodoxia aristotélica, enquanto outros adotaram uma visão mais liberal e, nas escolas de artes e nas recém-criadas universidades, propuseram a lógica moderna.

Guilherme de Sherwood e seu discípulo Pedro Hispano (posteriormente papa João XXI), autor do livro sobre lógica mais utilizado nos 300 anos que se seguiram, foram os principais representantes dessa nova tendência. Entre os lógicos do século XIV, deve-se pelo menos mencionar Guilherme de Occam, além de Jean Buridan e seu aluno Alberto da Saxônia. No século seguinte, Paulo Vêneto, teólogo agostiniano, produziu uma extensa obra intitulada Logica magna, usada como livro didático durante os séculos XV e XVI.

No mundo grego, a tradição de parafrasear e comentar os tratados lógicos de Aristóteles teve continuidade nas obras de João Filopono e Estêvão de Alexandria, neoplatonista do século VII, entre outros. Nos séculos XI e XIII, foram produzidos vários compêndios de lógica.

Os árabes também cultivaram a lógica e, no início do século IX, já contavam com traduções de alguns tratados do Órganon de Aristóteles. Entretanto, a produção dos representantes da escola de Bagdá, surgida no século

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seguinte, quase toda perdida, foi criticada pelo filósofo Avicena, que a considerava exageradamente servil à doutrina de Aristóteles. Avicena defendeu uma linha mais independente e expressou seu conceito de lógica no livro Kitab al-shifa (O livro da cura).

O valor da contribuição árabe ao desenvolvimento da lógica não é muito grande, exceto pelo fato de ter manti-do vivo o interesse na lógica aristotélica numa época em que, no Ocidente, era pouco divulgada. No mundo medi-eval, em que houve a lógica bizantina, a árabe e a esco-lástica, a vertente escolástica parece ter trazido as maio-res contribuições.

Lógica no Renascimento. A tradição da lógica medie-val sobreviveu por mais três séculos após ter atingido a maturidade no século XIV. Entretanto, o clima intelectual que se estabeleceu no Ocidente com o advento do Re-nascimento e do humanismo não estimulava o estudo da lógica. O crescimento das ciências naturais também contribuiu para o abandono da lógica que, como discipli-na dedutiva, cedeu lugar às pesquisas metodológicas.

Uma nova atitude em relação à lógica surgiu no sécu-lo XVI com Petrus Ramus (Pierre de La Ramée), lógico antiaristotélico e reformador educacional. Ramus descre-veu a lógica como a "arte de discutir" e distinguiu-a da gramática e da retórica que, a seu ver, concentravam-se nas questões relativas ao estilo. De acordo com Ramus, a lógica deveria tratar de conceitos, juízos, inferências e provas, nessa ordem de prioridade. Entre as inferências, incluía os silogismos categóricos e hipotéticos.

As divisões da lógica sugeridas por Ramus foram a-dotadas pelos jansenistas Antoine Arnauld e Pierre Nico-le, autores de La Logique: ou l'art de penser (1662), traduzido e publicado em inglês em 1851 sob o título The Port-Royal Logic (A lógica de Port-Royal). As duas pri-meiras de suas quatro partes trazem poucas contribui-ções originais, muito mais no campo da epistemologia que da lógica. A terceira, sobre o raciocínio, trata da validade dos silogismos. Na quarta parte, sobre o méto-do, a obra Elementos de Euclides é recomendada como modelo do método científico. Como René Descartes, fundador da filosofia moderna, os autores insistiam que, em qualquer investigação científica, termos obscuros ou equívocos devem ser definidos; que somente termos perfeitamente conhecidos devem ser usados em defini-ções; que somente verdades auto-evidentes devem ser usadas como axiomas; e que todas as proposições que não são auto-evidentes devem ser confirmadas com o auxílio de axiomas, definições e proposições já compro-vados. Apesar de competir com uma concepção inteira-mente nova da lógica apresentada por Leibniz, raciona-lista alemão, as idéias expostas pela lógica de Port-Royal mantiveram sua reputação durante o século XIX.

Lógica moderna. Com Leibniz, no século XVII, teve início a lógica moderna, que se desenvolveu em coope-ração com a matemática. Leibniz influenciou seus con-temporâneos e sucessores com um ambicioso plano para a lógica, que para ele deixava de ser "uma diversão para acadêmicos" e começava a tomar a forma de uma "matemática universal". Seu plano propunha uma lingua-gem universal baseada num alfabeto do pensamento (ou characteristica universalis), um cálculo geral do raciocí-nio e uma metodologia geral.

A linguagem universal, na visão de Leibniz, seria co-

mo a álgebra ou como uma versão de ideogramas chine-ses, formada de sinais básicos representativos de no-ções não analisáveis. Noções complexas seriam repre-sentadas por conjuntos apropriados de sinais que, por sua vez, representariam a estrutura de noções comple-xas e, em última análise, a noção de realidade.

Uma das contribuições mais positivas de Leibniz para o desenvolvimento da lógica foi a aplicação bem-sucedida dos métodos matemáticos à interpretação da silogística aristotélica. Outra foi sua proposta de um "cálculo de adição real", em que demonstra que partes da álgebra são passíveis de interpretação não aritmética. Sua forma de interpretação se comprovaria adequada mesmo à intrincada regra da rejeição proposta para os silogismos pelo polonês Jerzy Stupecki, da escola de lógica de Varsóvia, na década de 1940.

Na segunda metade do século XIX, foram lançados os alicerces para os mais notáveis progressos da história da lógica. Merece menção a obra do matemático francês Joseph-Diez Gergonne, cuja grande inovação foi a ex-pansão do vocabulário do silogismo e a proposição de novos tipos de inferência baseados na expansão. A axi-omatização de seu trabalho, no entanto, coube ao lógico John Acheson Faris, de Belfast. Também trouxeram contribuições importantes o metafísico escocês William Hamilton e os ingleses George Bentham, botânico, e Augustus De Morgan.

Ainda no século XIX, as novas idéias de George Boo-le, matemático autodidata, representaram um grande progresso para a lógica. A chamada álgebra de Boole foi aprimorada por vários pesquisadores, entre eles o eco-nomista e lógico britânico William Stanley Jevons; o lógico, engenheiro e filósofo americano Charles Sanders Peirce; e o lógico e matemático alemão Ernst Schröder. Coube, porém, ao matemático e filósofo alemão Gottlob Frege estabelecer a relação entre os dois sistemas lógi-cos tratados por Boole, e outros importantes estudos relativos à teoria da linguagem e à redução da aritmética à lógica. Outra tendência no estudo da lógica e dos fun-damentos da matemática foi introduzida pelo matemático e filósofo alemão Georg Cantor.

Lógica no século XX. Quando, no início do século XX, Bertrand Russell se dispôs a mostrar que a aritmética era uma extensão da lógica, foi beneficiado pelas pesquisas anteriores de Giuseppe Peano, matemático e lógico italiano que, no fim do século XIX e início do XX, questi-onara noções primárias da aritmética. Após escrever The Principles of Mathematics (1903; Princípios da matemáti-ca), Russell produziu, em cooperação com o também britânico Alfred North Whitehead, a monumental Principia Mathematica (1910-1913), que se tornou um clássico da lógica. A obra, em três volumes, reuniu os resultados das pesquisas sobre lógica e fundamentos da matemática que vinham sendo realizadas desde a época de Leibniz e tornou-se o ponto de partida para a evolução da lógica no século XX.

A visão da matemática como continuação da lógica, sem uma linha delimitadora clara entre as duas discipli-nas, como defendeu Russell, chamou-se logicismo. A essa abordagem se opõem o intuicionismo, associado aos nomes de Luitzen Egbertus Jan Brouwer, matemáti-co holandês, e seu discípulo Arend Heyting, e o forma-lismo, fundado por David Hilbert.

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Bertrand Russell afirmou que há duas vertentes da pesquisa em matemática: uma visa à expansão, e a outra explora os fundamentos. O mesmo se pode dizer sobre qualquer outra disciplina, mas na exploração dos fundamentos de uma ciência o pesquisador volta a en-contrar a lógica, pois todas as ciências que pretendem descrever e comprovar algum aspecto da realidade fa-zem uso do vocabulário lógico. Isso quer dizer que a lógica, localizada no ponto mais alto de uma hierarquia de ciências, pode ser entendida como a mais abstrata e mais geral descrição da realidade. ©Encyclopaedia Bri-tannica do Brasil Publicações Ltda.

SILOGISMO

A doutrina do silogismo desenvolvida pelo filósofo grego Aristóteles no século IV a.C. constituiu até a era moderna o principal instrumento da lógica.

Silogismo, segundo a definição de Aristóteles, é uma expressão proposicional na qual, admitidas certas pre-missas, delas resultará, apenas por serem o que são, outra proposição diferente das estabelecidas anterior-mente. O termo vem do grego syllogismós, que significa argumento ou raciocínio. Posteriormente, a terminologia tradicional passou a definir essa operação lógica como um argumento formado de três proposições -- duas pre-missas e uma conclusão -- que apresentam a forma "sujeito-predicado".

Indubitavelmente, o silogismo é a forma mais simples de demonstração ou de argumento inferencial. É sempre precedido de uma pergunta: quer-se saber se um dado predicado convém ou não, necessariamente, a um sujei-to. A resposta, quando está de acordo com as regras do silogismo, é rigorosa e necessariamente certa. O exem-plo mais clássico é o seguinte: "Todo animal é mortal; todo homem é animal; logo, todo homem é mortal."

As duas premissas, estruturadas segundo a fórmula "sujeito-predicado", são denominadas maior e menor. Por meio delas, dois termos (maior e menor) são postos em relação com um terceiro (médio). No exemplo citado, "mortal" é o termo de maior extensão, e portanto o termo maior. O termo de menor extensão, chamado termo menor, é "homem". O termo médio, que contém ambos, é "animal". Por ser afirmativo, esse tipo de silogismo é chamado categórico e se baseia na lei de generalização do universal para o particular. Os termos que compõem cada premissa são sempre os mesmos -- maior e médio na premissa maior, menor e médio na premissa menor -- mas sua ordem pode mu-dar. O termo médio pode assumir quatro posições dife-rentes, segundo as quais se definem as quatro "figuras" do silogismo. Tais figuras, em função do caráter e das combinações de suas proposições (universais ou particu-lares, afirmativas ou negativas) dão lugar aos 23 tipos de silogismo conhecidos como silogismos modais.

Os chamados silogismos hipotéticos são mais com-plexos que os categóricos e os modais, ainda que deri-vem das mesmas leis. A denominação se explica devido à ocorrência de premissas hipotéticas, que de acordo com sua forma podem ser condicionais ou disjuntivas. Uma formulação clássica de silogismo hipotético condi-cional seria, por exemplo: se P então Q; se Q então não R; logo, se P então não R.

A teoria silogística teve grande desenvolvimento du-rante a Idade Média. A distinção entre os termos maior,

menor e médio foi elaborada pelos pensadores escolás-ticos, que distinguiam três espécies de silogismo: regula-res, irregulares e compostos. Os regulares se constituem dos três termos clássicos. Os irregulares e os compostos se caracterizam por terem termos implícitos (ocultos), ou por terem mais de três proposições. Um exemplo de silogismo irregular, conhecido como entimema, expres-sa-se na frase "penso, logo existo", na qual está suben-tendida a premissa maior, que poderia ser "tudo o que pensa existe".

Os pensadores renascentistas, no entanto, assim como os racionalistas do século XVII, criticaram o silo-gismo como insuficiente e tautológico. Para eles, todas as conclusões se encontram implícitas nas premissas e portanto nada acrescentam ao conhecimento. A moderna lógica formal, contudo, reconheceu o valor histórico do silogismo como instrumento de formalização e integrou os antigos esquemas silogísticos à lógica quantificativa e à lógica de classes. ©Encyclopaedia Britannica do Brasil Publicações Ltda.

LÓGICA MATEMÁTICA

Por influência do pensamento de Aristóteles, a lógica dizia respeito, tradicionalmente, apenas às proposições da linguagem verbal. A partir do século XIX, no entanto, seus princípios foram aplicados à linguagem simbólica da matemática.

Lógica matemática é o conjunto de estudos que vi-sam a expressar em signos matemáticos as estruturas e operações do pensamento, deduzindo-as de um peque-no número de axiomas, com o propósito de criar uma linguagem rigorosa, adequada ao pensamento científico, da qual estejam afastadas as ambigüidades próprias da linguagem comum. Fundamenta-se na construção de sistemas formais, ou seja, modelos, para cuja definição se enunciam certos axiomas (conceitos básicos) e méto-dos de dedução ou demonstração.

Evolução histórica. O termo "sistema" foi proposto por Laozi (Lao-tsé) 500 anos antes da era cristã, ao dizer que "uma carroça é mais que a soma de suas partes", ou seja, que a relação entre os diversos elementos que formam a carroça faz com que ela tenha propriedades especiais e diferentes da soma das propriedades de cada um de seus componentes em separado. Aristóteles já assinalara um princípio de abstração ao descrever sistema como um conjunto de funções, características e atributos que podem ser definidos. No entanto, o termo lógica matemática denota preferencialmente o conjunto de regras e raciocínios dedutivos elaborado a partir da segunda metade do século XIX. Mediante a eliminação das imprecisões e erros lógicos da linguagem comum e a adoção de critérios de formalização e emprego de sím-bolos, a lógica formal converteu-se numa disciplina as-sociada à matemática.

Em 1854, George Boole descobriu que os conectivos, ou operadores, propostos por Aristóteles para as propo-sições (do tipo "e", "ou", "não" etc.) seguiam regras simi-lares às da soma e da multiplicação. Projetou, então, a chamada álgebra de Boole, que se baseia na lógica binária de "verdadeiro" e "falso" como alternativas para cada proposição.

Pouco depois, Georg Cantor criou a teoria dos con-juntos e suas operações. Definiu conjunto como a união de objetos que satisfazem propriedades exprimíveis, e

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conjunto de conjuntos como um novo conjunto que con-tém a si mesmo, sendo um de seus próprios elementos. Bertrand Russell detectou o paradoxo desse raciocínio e argumentou que um conjunto pertence à primeira catego-ria se não contém a si mesmo, e à segunda se contém a si mesmo como elemento. Assim, se o conjunto A tem como elementos os conjuntos da primeira categoria, não pode, por dedução, pertencer a nenhuma das duas cate-gorias mencionadas, ainda que inicialmente se atribuísse uma categoria a cada conjunto.

Ernst Zermelo formulou em 1904 um axioma de esco-lha sobre conjuntos não-vazios, isto é, que contêm ele-mentos. Numa família de conjuntos não-vazios, qualquer que seja seu tamanho, pode-se escolher ao mesmo tempo um elemento de cada conjunto e considerar o conjunto A, que não podia pertencer a nenhuma catego-ria, como constituído desses elementos. Com esse axi-oma puderam ser demonstrados teoremas matemáticos clássicos carentes de lógica aparente, mas ao mesmo tempo começou a polêmica quanto à validade dos teo-remas demonstrados com base nele, e a equiparação destes com aqueles que não necessitam desse axioma para sua demonstração. Enfim, tornou-se prática indicar se em determinado teorema havia sido usado ou não o axioma de escolha.

Para Kurt Gödel, um sistema matemático que só fos-se suficiente para a aritmética clássica seria necessaria-mente incompleto. Acrescentou que qualquer sistema pode ser coerente ao se lhe incorporar o axioma de es-colha, e assim se mantém quando nele se inclui a nega-ção desse mesmo axioma. A hipótese de continuidade geral também é coerente com a matemática comum, que mantém a coerência quando se lhe acrescentam simul-taneamente o axioma de escolha e a hipótese de conti-nuidade geral. Essa hipótese propõe uma explicação provável de um fato ou série de fatos cuja verdadeira causa se desconhece.

Sistemas e subsistemas lógicos. No século XX, defi-ne-se sistema como um conjunto cujos elementos estão em interação e no qual prevalecem as relações recípro-cas entre os elementos, e não os elementos em si. Por sua própria natureza, sistema é um conjunto de partes, o que significa que pode ser analisado. O conjunto como um todo, porém, não pode ser obtido pela simples acu-mulação das partes. A trama das relações entre os ele-mentos constitui a estrutura do sistema, ou, o que é a mesma coisa, o mecanismo de articulação de suas par-tes.

As grandezas tomadas para descrever um sistema não são sempre as mesmas. Se uma delas se comporta de forma particular, deve ter propriedades que suscitam tal comportamento e dêem lugar a certas regras de or-ganização. Os sistemas têm limites precisos, de modo que é possível determinar sem ambigüidades se um elemento pretence a um ou a outro sistema.

Os sistemas classificam-se em fechados, se não permutam matéria com o exterior, mesmo que haja per-muta de energia para chegar ao equilíbrio, e abertos, se podem permutar matéria e energia com o exterior e ten-dem à estabilidade. Os últimos se caracterizam por um comportamento não plenamente determinado por uma cadeia causal, nem por puro acaso. Os sistemas abertos tendem a se manter no estado em que melhor se adequ-am a possíveis perturbações. Essa tendência à estabili-

dade lhes permite alcançar um estado final característico a partir de estados iniciais distintos e caminhos diferen-tes. A atuação ou comportamento de cada subsistema ou componente de um sistema se difunde pelo sistema inteiro. Os sistemas são representados formalmente mediante modelos, e chama-se simulação a geração de possíveis estados do sistema pelo modelo que represen-ta.

Conceitos de lógica matemática. O processo dedutivo matemático exige rigor. O modelo tradicional de um sis-tema consiste na apresentação das assertivas principais em forma de teoremas, como já o fizera Euclides na Grécia antiga. Formalmente, dá-se o nome de teorema a uma proposição cuja validade se prova por demonstra-ção. Assim, os axiomas, que se definem como primeiros teoremas e se admitem sem demonstração, pertencem a uma categoria lógica diferente. Os teoremas se demons-tram a partir de outros teoremas, mediante procedimen-tos de dedução ou indução nos quais se encadeiam conseqüências lógicas. A axiomática da matemática, e das ciências em geral, constitui o elemento básico para a dedução de teoremas derivados, e a escolha adequada dos axiomas é um dos pontos mais delicados na elabo-ração dos modelos de qualquer sistema. Um conjunto de axiomas é aceitável, do ponto de vista matemático, quando tem coerência lógica, o que implica que de um mesmo axioma não é possível deduzir dois teoremas contraditórios.

Desenvolvendo certo raciocínio, conclui-se que, além dos axiomas, as próprias regras de dedução deveriam estar sujeitas a variações. Quando os axiomas e regras de dedução são abertos, fala-se de sistema matemático, ou formal, que exige que o sistema seja coerente uma vez estabelecido o método. Quando se pode demonstrar uma proposição ou sua negativa, o sistema é completo. Se um sistema que contém um teorema se altera, a mesma proposição, ou a que corresponde à nova enti-dade, passa a ser duvidosa ou inteiramente falsa. Mes-mo que sua validade se mantenha, seria preciso uma nova demonstração, devido à possibilidade de que os axiomas ou as regras de dedução do sistema tenham perdido sua pertinência.

As regras básicas da lógica matemática exigem a formulação de enunciados, nos quais se definem previ-amente os conceitos da proposição, e predicados ou sentenças matemáticas que empregam os enunciados descritos anteriormente.

A terminologia e a metodologia da lógica matemática tiveram, ao longo do século XX, importante papel no progresso das novas ciências da informática e cibernéti-ca. Desde as origens, elas adotaram as estruturas for-mais da lógica binária e da álgebra de Boole e emprega-ram a filosofia de enunciado-predicado em suas proposi-ções, numa axiomática e num conjunto de regras hipoté-tico-dedutivas definidas previamente. Fonte: ©Encyclo-paedia Britannica do Brasil Publicações Ltda.

1 Compreensão de estruturas lógicas. INTRODUÇÃO

Neste roteiro, o principal objetivo será a investigação da validade de ARGUMENTOS: conjunto de enunciados dos quais um é a CONCLUSÃO e os demais PREMIS-

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SAS. Os argumentos estão tradicionalmente divididos em DEDUTIVOS e INDUTIVOS.

ARGUMENTO DEDUTIVO: é válido quando suas pre-missas, se verdadeiras, a conclusão é também verdadei-ra.

Premissa : "Todo homem é mortal."

Premissa : "João é homem."

Conclusão : "João é mortal."

Esses argumentos serão objeto de estudo neste roteiro.

ARGUMENTO INDUTIVO: a verdade das premissas não basta para assegurar a verdade da conclusão.

Premissa : "É comum após a chuva ficar nublado."

Premissa : "Está chovendo." Conclusão: "Ficará nublado."

Não trataremos do estudo desses argumentos neste roteiro.

As premissas e a conclusão de um argumento, formula-das em uma linguagem estruturada, permitem que o argumento possa ter uma análise lógica apropriada para a verificação de sua validade. Tais técnicas de análise serão tratadas no decorrer deste roteiro.

UMA CLASSIFICAÇÃO DA LÓGICA

LÓGICA INDUTIVA: útil no estudo da teoria da probabi-lidade, não será abordada neste roteiro. LÓGICA DEDUTIVA: que pode ser dividida em :

LÓGICA CLÁSSICA- Considerada como o núcleo da lógica dedutiva. É o que chamamos hoje de CÁLCULO DE PREDICADOS DE 1a ORDEM com ou sem igualdade e de alguns de seus subsistemas. Três Princípios (entre outros) regem a Lógica Clás-sica: da IDENTIDADE, da CONTRADIÇÃO e do TERCEIRO EXCLUÍDO os quais serão abordados mais adiante.

LÓGICAS COMPLEMENTARES DA CLÁSSICA: Complementam de algum modo a lógica clássica es-tendendo o seu domínio. Exemplos: lógicas modal , deôntica, epistêmica , etc.

LÓGICAS NÃO - CLÁSSICAS: Assim caracteriza-das por derrogarem algum ou alguns dos princípios da lógica clássica. Exemplos: paracompletas e intui-cionistas (derrogam o princípio do terceiro excluído); paraconsistentes (derrogam o princípio da contradi-ção); não-aléticas (derrogam o terceiro excluído e o da contradição); não-reflexivas (derrogam o princípio da identidade); probabilísticas, polivalentes, fuzzy-logic, etc...

"ESBOÇO" DO DESENVOLVIMENTO DA LÓGICA

PERÍODO ARISTOTÉLICO ( 390 a.C. a 1840 d.C.)

A história da Lógica tem início com o filósofo grego A-RISTÓTELES (384 - 322a.C.) de Estagira (hoje Estavo) na Macedônia. Aristóteles criou a ciência da Lógica cuja essência era a teoria do silogismo (certa forma de argu-mento válido). Seus escritos foram reunidos na obra denominada Organon ou Instrumento da Ciência. Na Grécia, distinguiram-se duas grandes escolas de

Lógica, a PERIPATÉTICA (que derivava de Aristóteles) e a ESTÓICA fundada por Zenão (326-264a.C.). A escola ESTÓICA foi desenvolvida por Crisipo (280-250a.C.) a partir da escola MEGÁRIA (fundada por Euclides, um seguidor de Sócrates). Segundo Kneale e Kneale (O Desenvolvimento da Lógica), houve durante muitos anos uma certa rivalidade entre os Peripatéticos e os Megários e que isto talvez tenha prejudicado o desenvolvimento da lógica, embora na verdade as teorias destas escolas fossem complementares.

GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646-1716) merece ser citado, apesar de seus trabalhos terem tido pouca influência nos 200 anos seguidos e só foram apreciados e conhecidos no século XIX .

PERÍODO BOOLEANO: ( 1840 a 1910) Inicia-se com GEORGE BOOLE (1815-1864) e AUGUS-TUS DE MORGAN (1806-1871). Publicaram os funda-mentos da chamada Álgebra da lógica, respectivamente com MATHEMATICAL ANALYSIS OF LOGIC e FORMAL LOGIC. GOTLOB FREGE (1848-1925) um grande passo no desenvolvimento da lógica com a obra BEGRIFFSSC-HRIFT de 1879. As idéias de Frege só foram reconheci-das pelos lógicos mais ou menos a partir de 1905. É devido a Frege o desenvolvimento da lógica que se se-guiu.

GIUSEPPE PEANO (1858-1932) e sua escola com Bura-li-Forti, Vacca, Pieri, Pádoa, Vailati, etc. Quase toda simbologia da matemática se deve a essa escola italiana.

PERÍODO ATUAL: (1910- ........)

Com BERTRAND RUSSELL (1872-1970) e ALFRED NORTH WHITEHEAD (1861-1947) se inicia o período atual da lógica, com a obra PRINCIPIA MATHEMATICA.

DAVID HILBERT (1862-1943) e sua escola alemã com von Neuman, Bernays, Ackerman e outros.

KURT GÖDEL (1906-1978) e ALFRED TARSKI (1902-1983) com suas importantes contribuições.

Surgem as Lógicas não-clássicas : N.C.A. DA COSTA (Universidade de São Paulo) com as lógicas paraconsis-tentes , L. A. ZADEH (Universidade de Berkeley-USA) com a lógica "fuzzy" e as contribuições dessas lógicas para a Informá-tica, no campo da Inteligência Artificial com os Sistemas Especialistas.

Hoje as especialidades se multiplicam e as pesquisas em Lógica englobam muitas áreas do conhecimento.

CÁLCULO PROPOSICIONAL Como primeira e indispensável parte da Lógica Matemá-tica temos o CÁLCULO PROPOSICIONAL ou CÁLCU-LO SENTENCIAL ou ainda CÁLCULO DAS SENTEN-ÇAS. CONCEITO DE PROPOSIÇÃO PROPOSIÇÃO: sentenças declarativas afirmativas (expressão de uma linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa.

A lua é quadrada.

A neve é branca.

Apostilas Exitus


Matemática é uma ciência.

Não serão objeto de estudo as sentenças interrogativas ou exclamativas.

OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PRO-POSICIONAL

VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas mi-núsculas p,q,r,s,.... para indicar as proposições (fórmulas atômicas) . Exemplos: A lua é quadrada : p A neve é branca : q

CONECTIVOS LÓGICOS: As fórmulas atômicas podem ser combinadas entre si e, para representar tais combinações usaremos os conectivos lógicos :

: e , : ou , : se...então , : se e somente se , : não

Exemplos: A lua é quadrada e a neve é branca. : p q (p e q

são chamados conjunctos) A lua é quadrada ou a neve é branca. : p q ( p e q

são chamados disjunctos)

Se a lua é quadrada então a neve é branca. : p q ( p é o antecedente e q o conseqüente)

A lua é quadrada se e somente se a neve é branca. : p q

A lua não é quadrada. : p

SÍMBOLOS AUXILIARES : ( ) , parênteses que

servem para denotar o "alcance" dos conectivos; Exemplos:

Se a lua é quadrada e a neve é branca então a lua não é quadrada. :

((p q) p) A lua não é quadrada se e somente se a neve é

branca. :

(( p) q)) DEFINIÇÃO DE FÓRMULA :

1. Toda fórmula atômica é uma fórmula. 2. Se A e B são fórmulas então (A B) , (A B) , (A B) , (A B) e ( A) também são fórmulas. 3. São fórmulas apenas as obtidas por 1. e 2. . Os parênteses serão usados segundo a seguinte ordem dos conectivos: , , , , . Com o mesmo conectivo adotaremos a convenção pela direita.

Exemplo: a fórmula p q r p q deve ser entendida como

(((p q) ( r)) ( p ( q))) AS TABELAS VERDADE

A lógica clássica é governada por três princípios (entre outros) que podem ser formulados como segue:

Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo.

Princípio da Contradição: Dadas duas proposições contraditórias (uma é negação da outra), uma delas é falsa.

Princípio do Terceiro Excluído: Dadas duas pro-posições contraditórias, uma delas é verdadeira.

Com base nesses princípios as proposições simples são ou verdadeiras ou falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos; daí dizer que a lógica clássica é bivalente.

Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das pro-posições compostas (moleculares), conhecidos os valo-res das proposições simples (atômicas) que as compõem usaremos tabelas-verdade :

1.Tabela verdade da "negação" : ~p é verdadeira (falsa) se e somente se p é falsa (verdadeira).

p ~p V F F V

2. Tabela verdade da "conjunção" : a conjunção é verda-deira se e somente os conjuntos são verdadeiros.

p q p q V V V V F F F V F F F F

3. Tabela verdade da "disjunção" : a disjunção é falsa se, e somente, os disjuntos são falsos.

p q p q V V V V F V F V V F F F

4. Tabela verdade da "implicação": a implicação é falsa se, e somente se, o antecedente é verdadeiro e o conse-qüente é falso.

p q p q V V V V F F F V V F F V

5. Tabela verdade da "bi-implicação": a bi-implicação é verdadeira se, e somente se seus componentes são ou ambos verdadeiros ou ambos falsos

p q p q V V V V F F F V F F F V

Exemplo: Construir a tabela verdade da fórmula : ((p q) ~p) (q p)

p q ((p q) ~p) (q p) V V V F F V V

Apostilas Exitus


V F V F F V F F V V V V F F F F F V V F F

NÚMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE: Cada proposição simples (atômica) tem dois valores V ou F, que se excluem. Para n atômicas distintas, há tantas possibilidades quantos são os arranjos com repe-tição de 2 (V e F) elementos n a n. Segue-se que o número de linhas da tabela verdade é 2n. Assim, para duas proposições são 22 = 4 linhas; para 3 proposições são 23 = 8; etc. Exemplo: a tabela - verdade da fórmula ((p q) r) terá 8 linhas como segue :

p q r ((p q) r ) V V V V V V V F V F V F V F V V F F F V F V V F V F V F F V F F V F V F F F F V

NOTA: "OU EXCLUSIVO" É importante observar que "ou" pode ter dois sentidos na linguagem habitual: inclu-sivo (disjunção) ("vel") e exclusivo ( "aut") onde p q significa ((p q) (p q)).

p q ((p q) (p q)) V V V F F V V F V V V F F V V V V F F F F F V F

Construção de Tabelas-Verdade

1. TABELA-VERDADE DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA

Dadas várias proposições simples p, q, r,..., po-

demos combiná-las pelos conectivos lógicos:

, , V , , e construir proposições compostas, tais como:

P (p, q) = p V (p q) Q (p, q) = (p q) q R (p, q, r) = ( p q V r ) ( q V ( p r ) )

Então, com o emprego das tabelas-verdade das ope-

rações lógicas fundamentais: p, p q, p V q, p q, p q é possível construir a tabela-verdade correspondente

a qualquer proposição composta dada, tabela-verdade esta que mostrará exatamente os casos em que a pro-posição composta será verdadeira(V) ou falsa(F), admi-tindo-se, como é sabido, que o seu valor lógico só de-

pende dos valores lógicos das proposições simples com-ponentes.

2. NÚMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-

VERDADE

O número de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta depende do número de proposi-ções simples que a integram, sendo dado pelo seguinte teorema:

A tabela-verdade de uma proposição composta com n proposições simples componentes contém 2n linhas.

Dem. Com efeito, toda proposição simples tem dois

valores lógicos: V e F, que se excluem. Portanto, para uma proposição composta P(p1, p2, ... pn) com n proposições simples componentes p1, p2, ... pn há tantas possibilidades de atribuição dos valores lógicos V e F a tais componentes quantos são os arranjos com repetição n a n dos dois elementos V e F, isto é, A2, n = 2n, segundo ensina a Análise Combinatória.

3. CONSTRUÇÃO DA TABELA-VERDADE DE UMA

PROPOSIÇÃO COMPOSTA Para a construção prática da tabela-verdade de uma

proposição composta começa-se por contar o número de proposições simples que a integram. Se há n proposi-ções simples componentes: p1, p2, ... pn então a tabela-verdade contém 2n linhas. Posto isto, à 1ª propo-sição simples p1 atribuem-se 2n/2 = 2n - 1 valores V seguidos de 2n – 2 valores F; à 2ª proposição simples p2 atribuem-se 2n/4 = 2n - 2 valores V, seguidos de 2n - 2 valores F, seguidos de 2n - 2 valores V,seguidos, finalmente, de 2n - 2 valores F; e assim por diante. De modo genérico, a k-ésima proposição simples pk(k n) atribuem-se alternadamente 2n/ 2k = 2n - k valores V seguidos de igual número de valores F.

No caso, p. ex., de uma proposição composta com

cinco (5) proposições simples componentes, a tabela-verdade contém 25 = 32 linhas, e os grupos de valores V e F se alternam de 16 em 16 para a 1ª proposição simples p1, de 8 em 8 para a 2ª proposição simples p2, de 4 em 4 para a 3ª proposição simples p3, de 2 em 2 para a 4ª proposição simples p4, e, enfim, de 1 em 1 para a 5ª proposição simples p5.

4. EXEMPLIFICAÇAO (1) Construir a tabela-verdade da proposição:

P ( p, q) = (p q)

1ª Resolução - Forma-se, em primeiro lugar, o par

de colunas correspondentes às duas proposições sim-ples componentes p e q. Em seguida, forma-se a coluna

Apostilas Exitus


para q. Depois, forma-se a coluna para p q. Afinal, forma-se a coluna relativa aos valores lógicos da propo-sição composta dada.

p q q p q (p q) V V F F V V F V V F F V F F V F F V F V

2.ª Resolução — Formam-se primeiro as colunas cor-

respondentes às duas proposições simples p e q. Em seguida, à direita, traça-se uma coluna para cada uma dessas proposições e para cada um dos conectivos que figuram na proposição composta dada.

p q (p q) V F V V F V F F

Depois, numa certa ordem, completam-se essas co-

lunas, escrevendo cm cada uma delas os valores lógicos convenientes, no modo abaixo indicado:

p q (p q) V V V V F F F V F F V V V F F V V F F F V F F V F F V F 4 1 3 2 1

Os valores lógicos da proposição composta dada en-

contram-se na coluna completada em último lugar (colu-na 4).

Portanto, os valores lógicos da proposição composta

dada correspondentes a todas as possíveis atribuições dos valores lógicos V e F às proposições simples com-ponentes p e q (VV, VF, FV e FF) são V, F, V e V, isto é, simbolicamente:

P(VV)=V, P(VF)=F, P(FV)=V, P(FF)=V

ou seja, abreviadamente:

P(VV, VF, FV, FF) = VFVV Observe-se que a proposição P(p, q) associa a cada

um dos elementos do conjunto U — { VV, VF, FV, FF } um único elemento do conjunto {V, F} isto é, P(p, q) outra coisa não é que uma função de U em {V, F}

P(p,q) : U {V,F}

cuja representação gráfica por um diagrama sagital é

a seguinte:

3ª Resolução — Resulta de suprimir na tabela-

verdade anterior as duas primeiras colunas da esquerda relativas às proposições simples componentes p e q que dá a seguinte tabela-verdade simplificada para a propo-sição composta dada:

(p q) V V F F V F V V V F V F F F V V F F V F 4 1 3 2 1

(2) Construir a tabela-verdade da proposição:

P (p, q) = ( p q) V (q p)

1ª Resolução:

p q p q q p ( p q) (q p) ( p q) V (q p)

V V V V F F F

V F F F V V V F V F F V V V F F F V V F V

2ª Resolução:

p q ( p q) V (q p)

V V F V V V F F V V V V F V V F F V V F F V F V V F F V V V V F F F F V F F F V F F V F

3 1 2 1 4 3 1 2 1

Portanto, simbolicamente:

P(VV)=F, P(VF)=V, P(FV)=V, P(FF)=V ou seja, abreviadamente:

P(VV, VF, FV, FF) = FVVV Observe-se que P(p, a) outra coisa não é que uma

função de U = { VV, VF, FV, FF} em (V, F} , cuja repre-sentação gráfica por um diagrama sagital é a seguinte:

Apostilas Exitus


3ª Resolução: ( p q) V (q p)

F V V V F F V V V V V F F V V F F V V F F V V V V F F V F F F V F F V F

3 1 2 1 4 3 1 2 1


P(p, q, r) = p V r q r 1ª Resolução:

p q r r p V r q r p V r q r

V V V F V F F V V F V V V V

V F V F V F F

V F F V V F F F V V F F F V

F V F V V V V

F F V F F F V

F F F V V F F

2ª Resolução:

p q r p V r q r

V V V V V F V F V F F V

V V F V V V F V V V V F V F V V V F V F F F F V V F F V V V F F F F V F F V V F F F V V V F F V

F V F F V V F V V V V F F F V F F F V V F F F V F F F F V V F F F F V F

1 3 2 1 4 1 3 2 1

Portanto, simbolicamente:

P(VVV) = F, P(VVF) = V, P(VFV) = F, P(VFF) = F P(FVV) = V, P(FVF) V,

P(FFV) = V, P(FFF) = F ou seja, abreviadamente:

P(VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF) = FVFFVVVF

Observe-se que a proposição P(p, q, r) outra coisa

n~o é que uma função de U = {VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF} em {V, F} , cuja representação gráfica por um diagrama sagital é a seguinte:

3ª Resolução:

p V r q r V V F V F V F F V V V V F V V V V F V V F V F F F F V V V V F F F F V F F F F V V V F F V F V V F V V V V F F F F V V F F F V F V V F F F F V F 1 3 2 1 4 1 3 2 1


P(p, q, r) = (p q) (q r) (p r) Resolução:

p q r (p q) (q r) (p r)

V V V V V V V V V V V V V V V V F V V V F V F F V V F F V F V V F F F F V V V V V V V F F V F F F F V F V V F F

F V V F V V V V V V V F V V F V F F V V F V F F V F V F F F V F V F V F V V V F V V F F F F V F V F V F V F V F

1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1

Apostilas Exitus


Portanto, simbolicamente: P(VVV) = V, P(VVF) = V, P(VFV) = V,

P(VFF) = V P(FVV) = V, P(FVF) V, P(FFV) = V,

P(FFF) = V ou seja, abreviadamente:

P(VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF) = VVVVVVVV

Observe-se que a última coluna (coluna 4) da tabela-

verdade da proposição P(p, q, r) só encerra a letra V(verdade), isto é, o valor lógico desta proposição é sempre V quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições componentes p, q e r.

(5) Construir a tabela-verdade da proposição: P(p, q, r) =(p ( ~ q V r )) ~ (q V (p ~ r)) Resolução:

(p ( ~ q V r ))

~ (q V (p ~ r))

V V F V V V F F V V V F F V V F F V F F F F V V V V V F

V V V F V V V V F F V F F V V V V F V F F F F V V V V F F V F V V V F F V V F V F V

F V F V F F F F V V F F V F F V V F V V F F F V F V F V F V V F V F V V F F F F V F

1 4 2 1 3 1 6 5 1 4 1 3 2 1

Note-se que é uma tabela-verdade simplificada da

proposição P(p, q, r), pois, não encerra as colunas relati-vas às proposições componentes p, q e r.

Portanto, simbolicamente: P(VVV) = F, P(VVF) = F, P(VFV) = V, P(VFF) = F P(FVV) = F, P(FVF)= F, P(PFV) = F, P(FFF) = V ou seja, abreviadamente: P(VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF) =

FFVFFFFV 5. VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO COM-

POSTA Dada uma proposição composta P(p, q, r,.. .), pode-

se sempre determinar o seu valor lógico (V ou F) quando são dados ou conhecidos os valores lógicos respectivos das proposições componentes p, q, r .

Exemplos:

(1) Sabendo que os valores lógicos das proposi-ções p e q são respectivamente V e F, determi-nar o valor lógico (V ou F) da proposição:

P(p, q) = (p V q) p q

Resolução — Temos, sucessivamente: V(P) = (V V F) V F = V F V = F F = V

(2) Sejam as proposições p: =3 e q: sen 2

=0.

Determinar o valor lógico (V ou F) da proposição:

P(p, q) = (p q) (p p q) Resolução — As proposições componentes p e q são

ambas falsas, isto é, V(p) = F e V(q) = F. Portanto:

V(P) = (F F) (F F F) = V (F F) = V V = V (3) Sabendo que V(p) = V, V(q) = F e V(r) E, determi-

nar o valor lógico (V ou F) da proposição: P(p, q, r) = (q (r p)) V (( q p) r) Resolução - Temos, sucessivamente: V(P) = ( F ( F V)) V (( F V ) F) = = ( F ( F F)) V ((V V ) F) = = ( F V)) V (( V F ) = F V F = F (4) Sabendo que V(r) V, determinar o valor lógico (V

ou F) da proposição: p q V r.

Resolução — Como r é verdadeira (V), a disjunção

q V r é verdadeira(V). Logo, a condicional dada é verda-deira(V), pois, o seu consequente é verdadeiro (V).

(5) Sabendo que V(q) = V, determinar o valor lógico

(V ou F) da proposição:

(p q) ( q p). Resolução — Como q é verdadeira (V), então q é

falsa (F). Logo, a condicional q p é verdadeira(V), pois, o seu antecedente é falso(F). Por conseqüência, a condicional dada é verdadeira(V), pois, o seu conse-quente é verdadeiro(V).

(6) Sabendo que as proposições “x = 0”, e “x = y” são

verdadeiras e que a proposição “y = z” é falsa, determi-nar o valor lógico (V ou F) da proposição:

x 0 V x y y z

Resolução - Temos, sucessivamente:

V V V F = F V F V = F V = V

Apostilas Exitus


Argumentos. Regras de Inferência

1. DEFINIÇÃO DE ARGUMENTO Sejam P1, P2, ... , Pn ( n 1) e Q proposições

quaisquer, simples ou compostas. Definição - Chama-se argumento toda a afirmação

de que uma dada sequência finita P1, P2, ... , Pn ( n 1) de proposições tem como consequência ou acarreta uma proposição final Q.

As proposições P1, P2, ... , Pn dizem-se as premis-

sas do argumento, e a proposição final Q diz-se a con-clusão do argumento.

Um argumento de premissas P1, P2, ... , Pn e de

conclusão Q indica-se por:

P1, P2, ... , Pn |— Q

e se lê de uma das seguintes maneiras: (i) “P1, P2 ,..., Pn acarretam Q” (ii) “Q decorre de P1, P2 ,..., Pn” (iii) “ Q se deduz de P1, P2 ,..., Pn” (iv) “Q se infere de P1, P2 ,..., Pn” Um argumento que consiste em duas premissas e

uma conclusão chama-se silogismo. 2. VALIDADE DE UM ARGUMENTO Definição - Um argumento P1, P2, ... , Pn |— Q diz-

se válido se e somente se a conclusão Q é verdadeira todas as vezes que as premissas P1, P2 ,..., Pn são verdadeiras.

Em outros termos, um argumento P1, P2, ... , Pn |—

Q é válido se e somente se for V o valor lógico da con-clusão Q todas as vezes que as premissas P1, P2 ,..., Pn tiverem o valor lógico V.

Portanto, todo argumento válido goza da seguinte

propriedade característica: A verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão.

Um argumento não-válido diz-se um sofisma. Deste modo, todo argumento tem um valor lógico, di-

gamos V se é válido (correto, legítimo) ou F se é um sofisma (incorreto, ilegítimo).

As premissas dos argumentos são verdadeiras ou,

pelo menos admitidas como tal. Aliás, a Lógica só se preocupa com a validade dos argumentos e não com a verdade ou a falsidade das premissas e das conclusões.

A validade de um argumento depende exclusivamen-

te da relação existente entre as premissas e a conclusão. Portanto, afirmar que um dado argumento é válido signi-

fica afirmar que as premissas estão de tal modo relacio-nadas com a conclusão que não é possível ter a conclu-são falsa se as premissas são verdadeiras.

3. CRITÉRIO DE VALIDADE DE UM ARGUMENTO Teorema — Um argumento P1, P2, ... , Pn |— Q é

válido se e somente se a condicional:

(P1 P2 ... Pn ) Q (1) é tautológica. Dem. Com efeito, as premissas P1, P2, ... , Pn são

todas verdadeiras se e somente se a proposição P1 P2 ... Pn é verdadeira. Logo, o argumento P1, P2, ... , Pn |— Q é válido se e somente se a conclusão Q é verdadeira todas as vezes que a proposição P1 P2 ... Pn é verdadeira, ou seja, se e somente se a proposição P1 P2 ... Pn implica logicamente a conclusão Q:

P1 P2 ... Pn Q ou, o que é equivalente, se a condicional (1) é tautológica.

NOTA - Se o argumento P1 (p, q, r,...),..., Pn(p, q, r,...) |— Q(p, q, r,...) é válido, então o argumento da “mesma forma”:

P1 (P, Q, R,...),..., Pn(P, Q, R,...) |— Q(P, Q, R,...) também é válido, quaisquer que sejam as proposi-

ções R, S, T, ... Exemplificando, do argumento válido p |— p V q (1)

segue-se a validade dos argumentos: (~p r) |— (~ p r) V (~ s r ); (p V s) |— (p r V s) V (~ r s) pois, ambos têm a mesma forma de (1). Portanto, a validade ou não-validade de um argumen-

to depende apenas da sua forma e não de seu conteúdo ou da verdade c falsidade das proposições que o inte-gram. Argumentos diversos podem ter a mesma forma, e como é a forma que determina a validade, é lícito falar da validade de uma dada forma ao invés de falar da valida-de de um dado argumento. E afirmar que uma dada forma é válida equivale a asseverar que não existe ar-gumento algum dessa forma com premissas verdadeiras e uma conclusão falsa, isto é, todo argumento de forma válida é um argumento válido. Vice-versa, dizer que um argumento é válido equivale a dizer que tem forma váli-da.

4. CONDICIONAL ASSOCIADA A UM ARGUMEN-

TO Consoante o Teorema anterior (§3), dado um argu-

mento qualquer:

Apostilas Exitus


P1, P2, ... , Pn |— Q a este argumento corresponde a condicional:

(P1 P2 ... Pn ) Q com antecedente é a conjunção das premissas e cujo

consequente é a conclusão, denominada “condicional associada” ao argumento dado.

Reciprocamente, a toda condicional corresponde um

argumento cujas premissas são as diferentes proposi-ções cuja conjunção formam o antecedente e cuja con-clusão é o consequente.

Exemplificando, a “condicional associada” ao argu-

mento: p ~q, p ~ r, q V ~ s |— ~ (r V s) é ( p ~q) ( p ~ r) ( q V ~ s) ~ (r V s) e o “argumento correspondente” à condicional:

( p q V r ) ~ s ( q V r s) ( s p V ~q ) é p q V r , ~ s, q V r s |— s p V ~q 5. ARGUMENTOS VÁLIDOS FUNDAMENTAIS São argumentos válidos fundamentais ou básicos (de

uso corrente) os constantes da seguinte lista: I . Adição (AD):

(i) p |— p V q; (ii) p |— q V p II. Simplificação (SIMP):

(i) p q |— p; (ii) p q |— q III. Conjunção (CONJ):

(i) p, q |— p q; (ii) p, q |— q p IV. Absorção (ABS):

p q |— p ( p q) V. Modus ponens (MP): pq, p |—q VI. Modus tollens (MI): pq, ~ q|— p VII. Silogismo disjuntivo (SD):

(i) p V q, ~ p |— q; (ii) p V q, ~ q |— p VIII. Silogismo hipotético (5H):

p q, q r |— p r IX. Dilema construtivo (DC):

p q, r s, p V r |— q V s X. Dilema destrutivo (DD): p q, r s, ~ q V ~ s |— ~ p V ~ r A validade destes dez argumentos é conse-

quência imediata das tabelas-verdade. 6. REGRAS DE INFERÊNCIA Os argumentos básicos da lista anterior são usados

para fazer “inferências”, isto é, executar os “passos” de uma dedução ou demonstração, e por isso chamam-se também, regras de inferência, sendo habitual escrevê-los na forma padronizada abaixo indicada colocando as premissas sobre um traço horizontal e, em seguida, a conclusão sob o mesmo traço.

I. Regra da Adição (AD):

(i) p (ii) p p V q

q V p

II. Regra de Simplificação (SIMP):

(i) p q (ii) p q p

q

III. Regra da Conjunção (CONJ): p p

(i) q (ii) q p V q

q V p

IV. Regra da Absorção (ABS):

p q p (p q)

V. Regra Modus ponens (MP):

p q p q

VI: Regra Modus tollens (MI):

p q ~ q ~ p

Apostilas Exitus


VII. Regra do Silogismo disjuntivo (SD):

(i) p V q (ii) p V q ~ p ~ q q

p

VIII. Regra do Silogismo hipotético (SH):

p q q r p r

IX. Regra do Dilema construtivo (DC):

p q r s p V r q V s

X. Regra do Dilema destrutivo (DD):

p q r s ~ q V ~ s ~ p V ~ r

Com o auxílio destas dez regras de inferência pode-

se demonstrar a validade de uni grande número de ar-gumentos mais complexos.

7. EXEMPLOS DO USO DAS REGRAS DE INFE-

RÊNCIA Damos a seguir exemplos simples do uso de cada

uma das regras de inferência na dedução de conclusões a partir de premissas dadas.

1. Regra da Adição - Dada uma proposição p, dela

se pode deduzir a sua disjunção com qualquer outra proposição, isto é, deduzir p V q, ou p V r, ou s V p, ou t V p, etc.

Exemplos:

(a) (1) p P (b) (1) ~ p P (2) p V ~ q

(2) q V ~ p

(c) (1) p q P (b) (1) p V q P (2) (p q) V r

(2) (r s) V (p V

q)

(c) (1) x 0 P (b) (1) x 0 P (2) x 0 V x 1

(2) x = 2 V x < 1

II. Regra da Simplificação — Da conjunção p q

de duas proposições se pode deduzir cada uma das proposições, p ou q.

Exemplos:

(a) (1) (p V q) r P (b) (1) p ~ q P

(2) p V q

(2) ~ q

(c) (1) x > 0 x 1 P (b) (1) x A x B P (2) x 1

(2) x A

III. Regra da Conjunção -- Permite deduzir de duas

proposições dadas p e q (premissas) a sua conjunção p q ou q p (conclusão).

(a) (1) p V q P (b) (1) p V q P

(2) ~ r P (2) q V r P (3) (p V q) ~ r

(3) (p q) V (q V r)

(c) (1) x < 5 P (d) (1) x A P

(2) x > 1 P (2) x B P (3) x > 1 x < 5

(3) x B x A

IV. Regra da Absorção Esta regra permite, dada

uma condicional - como premissa, dela deduzir como conclusão uma outra condicional com o mesmo antece-dente p e cujo consequente é a conjunção p q das duas proposições que integram a premissa, isto é, p p q.

Exemplos:

(a) (1) x = 2 x < 3 P

(2) x = 2 x = 2 x < 3

(b) (1) x A x A B

P (2) x A x A x A

B V. Regra Modus ponens - Também é chamada Regra

de separação e permite deduzir q (conclusão) a partir de p q e p (premissas).

Exemplos:

(a) (1) ~ p ~ q P (2) ~ p P (3) ~ q

(b) (1) p q r P

(2) p q P (3) r

(b) (1) p q r P (2) p P (3) q r

(c) (1) ~ p V r s ~ q P

(2) ~ p V r P (3) s ~ q

Apostilas Exitus


(e) (1) x 0 x + y > 1 P (2) x 0 P (3) x + y > 1

(f) (1) x A B x A P

(2) x A B P (3) x A

VI. Regra Modus tollens - Permite, a partir das

premissas p q (condicional) o ~ q (negação do conse-quente), deduzir como conclusão ~ p (negação do ante-cedente).

Exemplos:

(a) (1) q r s P (2) ~ s P (3) ~ (q r)

(b) (1) p ~ q P

(2) ~ ~ q P (3) ~ p

(b) (1) p q r P (2) ~(q r) P (3) ~ p

(d) (1) x 0 x = y P

(2) x y P (3) x = 0

VII. Regra do Silogismo disjuntivo — Permite dedu-

zir da disjunção p V q de duas proposições e da negação ~ p (ou ~ q) de uma delas a outra proposição q (ou p).

Exemplos:

(a) (1) (p q) V r P (2) ~ r (3) p q

(b) (1) ~ p V ~ q P

(2) ~~ p (3) ~ q

(b) (1) x = 0 V x = 1 P

(2) x 1 P (3) x = 0

(d) (1) ~ (p q) V r P

(2) ~ ~ (p q) P (3) r

VIII. Regra do Silogismo hipotético Esta regra permi-

te, dadas duas condicionais: p q e q r (premissas), tais que o consequente da primeira coincide com o ante-cedente da segunda, deduzir uma terceira condicional p r (conclusão) cujo antecedente e consequente são respectivamente o antecedente da premissa p q e o

consequente da outra premissa q r (transitividade da seta ).

(a) (1) ~ p ~ q P

(2) ~ q ~ r P (3) ~ p ~ r

(b) (1) ~ p q V r P

(2) q V r ~ s P (3) ~ p ~s

(c) (1) (p q) r P

(2) r (q s) P (3) (p q) (q s)

(d) (1) | x | = 0 x = 0 P

(2) x = 0 x + 1 = 1 P (3) | x | = 0 x + 1 = 1

IX. Regra do Dilema construtivo — Nesta regra, as

premissas são duas condicionais e a disjunção dos seus antecedentes, e a conclusão é a disjunção dos conse-quentes destas condicionais.

(a) (1) (p q) ~ r P

(2) s t P (3) (p q) V s P (4) ~ r V t

(b) (1) x < y x = 2 P

(2) x < y x = 2 P (3) x < y V x < y P (4) x = 2 V x > 2

X. Regra do Dilema destrutivo Nesta regra, as

premissas são duas condicionais e a disjunção da nega-ção dos seus consequentes, e a conclusão é a disjunção da negação dos antecedentes destas condicionais.

(a) (1) ~ q r P

(2) p ~ s P (3) ~ r V ~~s P (4) ~~ q V ~p

(b) (1) x + y = 7 x = 2 P (2) y - x =2 x = 3 P (3) x 2 V x 3 P (4) x + y 7 V y –x 2

Testes 1. Todos os marinheiros são republicanos. Assim

sendo,

(A) o conjunto dos marinheiros contém o conjunto dos republicanos. (B) o conjunto dos republicanos contém o conjunto dos marinheiros. (C) todos os republicanos são marinheiros. (D) algum marinheiro não é republicano. (E) nenhum marinheiro é republicano.

Apostilas Exitus


2. Assinale a alternativa que apresenta uma contradi-ção.

(A) Todo espião não é vegetariano e algum vegeta-riano é espião. (B) Todo espião é vegetariano e algum vegetariano não é espião. (C) Nenhum espião é vegetariano e algum es pião não é vegetariano. (D) Algum espião é vegetariano e algum es pião não é vegetariano. (E) Todo vegetariano é espião e algum espião não é vegetariano.

2. Todos os que conhecem João e Maria admiram

Maria. Alguns que conhecem Maria não a admi-ram. Logo,

(A) todos os que conhecem Maria a admiram. (B) ninguém admira Maria. (C) alguns que conhecem Maria não conhecem Jo-ão. (D) quem conhece João admira Maria. (E) só quem conhece João e Maria conhece Maria.

3. Válter tem inveja de quem é mais rico do que ele.

Geraldo não é mais rico do que quem o inveja. Logo,

(A) quem não é mais rico do que Válter é mais pobre do que Válter. (B) Geraldo é mais rico do que Válter. (C) Válter não tem inveja de quem não é mais rico do que ele. (D) Válter inveja só quem é mais rico do que ele. (E) Geraldo não é mais rico do que Válter.

4. Em uma avenida reta, a padaria fica entre o pos-

to de gasolina e a banca de jornal, e o posto de gasolina fica entre a banca de jornal e a sapata-ria. Logo,

(A) a sapataria fica entre a banca de jornal e a pada-ria. (B) a banca de jornal fica entre o posto de gasolina e a padaria. (C) o posto de gasolina fica entre a padaria e a ban-ca de jornal. (D) a padaria fica entre a sapataria e o posto de ga-solina. (E) o posto de gasolina fica entre a sapataria e a pa-daria.

5. Um técnica de futebol, animado com as vitórias

obtidas pela sua equipe nos últimos quatro jo-gos, decide apostar que essa equipe também vencerá o próximo jogo. Indique a Informação adicional que tornaria menos provável a vitória esperada.

(A) Sua equipe venceu os últimos seis jogos, em vez de apenas quatro. (B) Choveu nos últimos quatro jogos e há previsão de que não choverá no próximo jogo. (C) Cada um dos últimos quatro jogos foi ganho por uma diferença de mais de um gol.

(D) O artilheiro de sua equipe recuperou-se do esti-ramento muscular. (E) Dois dos últimos quatro jogos foram realizados em seu campo e os outros dois, em campo adversá-rio.

6. Marta corre tanto quanto Rita e menos do que Juliana. Fátima corre tanto quanto Juliana. Logo,

(A) Fátima corre menos do que Rita. (B) Fátima corre mais do que Marta. (C) Juliana corre menos do que Rita. (D) Marta corre mais do que Juliana. (E) Jullana corre menos do que Marta.

8. Há 4 caminhos para se ir de X a Y e 6 caminhos para se ir de Y a Z. O número de caminhos de X a Z que passam por Y é

(A) 10. (B) 12. (C) 18. (D) 24. (E) 32.

9. Todas as plantas verdes têm clorofila. Algumas plantas que tem clorofila são comestíveis. Logo,

(A) algumas plantas verdes são comestíveis. (B) algumas plantas verdes não são comestíveis. (C) algumas plantas comestíveis têm clorofila. (D) todas as plantas que têm clorofila são comestí-veis. (E) todas as plantas vendes são comestíveis.

10. A proposição 'É necessário que todo aconteci-

mento tenha causa' é equivalente a (A) É possível que algum acontecimento não tenha causa. (B) Não é possível que algum acontecimento não te-nha causa. (C) É necessário que algum acontecimento não tenha causa. (D) Não é necessário que todo acontecimento tenha causa. (E) É impossível que algum acontecimento tenha causa.

11. Continuando a seqüência 47, 42, 37, 33, 29, 26, ... , temos

(A) 21. (B) 22. (C) 23. (D) 24. (E) 25.

12. ' ... ó pensador crítico precisa ter uma tolerância e até predileção por estados cognitivos de conflito, em que o problema ainda não é totalmente compreendi-do. Se ele ficar aflito quando não sabe 'a resposta correta', essa ansiedade pode impedir a exploração mais completa do problema.' (David Canaher, Senso Crítico).

O autor quer dizer que o pensador crítico

(A) precisa tolerar respostas corretas. (B) nunca sabe a resposta correta.

Apostilas Exitus


(C) precisa gostar dos estados em que não sabe a resposta correta.

(D) que não fica aflito explora com mais dificuldades os problemas.

(E) não deve tolerar estados cognitivos de conflito. 13. As rosas são mais baratas do que os lírios. Não tenho dinheiro suficiente para comprar duas dúzias de rosas. Logo,

(A) tenho dinheiro suficiente para comprar uma dúzia de rosas.

(B) não tenho dinheiro suficiente para comprar uma dúzia de rosas.

(C) não tenho dinheiro. suficiente para comprar meia dúzia de lírios.

(D) não tenho dinheiro suficiente para comprar duas dúzias de lírios.

(E) tenho dinheiro suficiente para comprar uma dúzia de lírios.

14. Se você se esforçar, então irá vencer. Assim sen-do,

(A) seu esforço é condição suficiente para vencer. (8) seu esforço é condição necessária para vencer. (C) se você não se esforçar, então não irá vencer. (D) você vencerá só se se esforçar. (E) mesmo que se esforce, você não vencerá.

15. Se os tios de músicos sempre são músicos, en-tão

(A) os sobrinhos de não músicos nunca são músicos. (B) os sobrinhos de não músicos sempre são músi-cos. (C) os sobrinhos de músicos sempre são músicos. (D) os sobrinhos de músicos nunca são músicos. (E) os sobrinhos de músicos quase sempre são mú-sicos.

16. O paciente não pode estar bem e ainda ter febre. O paciente está bem. Logo, o paciente

(A) tem febre e não está bem. (B) tem febre ou não está bem. (C) tem febre. (D) não tem febre. (E) não está bem.

INSTRUÇÃO: Utilize o texto a seguir para responder às questões de nº 17 e 18.

"O primeiro impacto da nova tecnologia de apren-dizado será sobre a educação universal. Através dos tempos, as escolas, em sua maioria, gastaram horas intermináveis tentando ensinar coisas que eram melhor aprendidas do que ensinadas, isto é, coisas que são aprendidas de forma comportamental e através de exer-cícios, repetição e feedback. Pertencem a esta categoria todas as matérias ensinadas no primeiro grau, mas tam-bém muitas daquelas ensinadas em estágios posteriores do processo educacional. Essas matérias - seja ler e escrever, aritmética, ortografia, história, biologia, ou mesmo matérias avançadas como neurocirurgia, diag-nóstico médico e a maior parte da engenharia - são me-lhor aprendidas através de programas de computador. O

professor motiva, dirige, incentiva. Na verdade, ele passa a ser um líder e um recurso.

Na escola de amanhã os estudantes serão seus próprios instrutores, com programas de computador como ferramentas. Na verdade, quanto mais jovens forem os estudantes, maior o apelo do computador para eles e maior o seu sucesso na sua orientação e instru-ção. Historicamente, a escola de primeiro grau tem sido totalmente intensiva de mão-de-obra. A escola de primei-ro grau de amanhã será fortemente intensiva de capital.

Contudo, apesar da tecnologia disponível, a edu-cação universal apresenta tremendos desafios. Os con-ceitos tradicionais de educação não são mais suficientes. Ler, escrever e aritmética continuarão a ser necessários como hoje, mas a educação precisará ir muito além des-ses itens básicos. Ela irá exigir familiaridade com núme-ros e cálculos; uma compreensão básica de ciência e da dinâmica da tecnologia; conhecimento de línguas estran-geiras. Também será necessário aprender a ser eficaz como membro de uma organização, como empregado." (Peter Drucker, A sociedade pós-capitalista).

17. Para Peter Drucker, o ensino de matérias como aritmética, ortografia, história e biologia

(A) deve ocorrer apenas no primeiro grau. (B) deve ser diferente do ensino de matérias como

neurocirurgia e diagnóstico médico. (C) será afetado pelo desenvolvimento da informáti-

ca. (D) não deverá se modificar, nas próximas décadas. (E) deve se dar através de meras repetições e exer-cícios.

18. Para o autor, neste novo cenário, o computador

(A) terá maior eficácia educacional quanto mais jo-vem for o estudante. (B) tende a substituir totalmente o professor em sala de aula. (C) será a ferramenta de aprendizado para os profes-sores. (D) tende a ser mais utilizado por médicos. (E) será uma ferramenta acessória na educação.

19. Assinale a alternativa em que se chega a uma conclusão por um processo de dedução.

(A) Vejo um cisne branco, outro cisne branco, outro cisne branco ... então todos os cisnes são bran-cos.

(B) Vi um cisne, então ele é branco. (C) Vi dois cisnes brancos, então outros cisnes de-

vem ser brancos. (D) Todos os cisnes são brancos, então este cisne é

branco. (E) Todos os cisnes são brancos, então este cisne

pode ser branco. 20. Cátia é mais gorda do que Bruna. Vera é menos gorda do que Bruna. Logo,

(A) Vera é mais gorda do que Bruna. (B) Cátia é menos gorda do que Bruna. (C) Bruna é mais gorda do que Cátia. (D) Vera é menos gorda do que Cátia. (E) Bruna é menos gorda do que Vera.

Apostilas Exitus


21. Todo cavalo é um animal. Logo,

(A) toda cabeça de animal é cabeça de cavalo. (B) toda cabeça de cavalo é cabeça de animal. (C) todo animal é cavalo. (D) nem todo cavalo é animal. (E) nenhum animal é cavalo.

22. Em uma classe, há 20 alunos que praticam fute-bol mas não praticam vôlei e há 8 alunos que prati-cam vôlei mas não praticam futebol. O total dos que praticam vôlei é 15. Ao todo, existem 17 alunos que não praticam futebol. O número de alunos da classe é

(A) 30. (B) 35. (C) 37. (D) 42. (E) 44.

INSTRUÇÃO: Utilize o texto a seguir para responder às questões de nº 23 e 24.

"Os homens atribuem autoridade a comunica-ções de posições superiores, com a condição de que estas comunicações sejam razoavelmente consistentes com as vantagens de escopo e perspectiva que são creditadas a estas posições. Esta autoridade é, até um grau considerável, independente da habilidade pessoal do sujeito que ocupa a posição. E muitas vezes reconhe-cido que, embora este sujeito possa ter habilidade pes-soal limitada, sua recomendação deve ser superior pela simples razão da vantagem de posição. Esta é a autori-dade de posição.

Mas é óbvio que alguns homens têm habilidade

superior. O seu conhecimento e a sua compreensão, independentemente da posição, geram respeito. Os homens atribuem autoridade ao que eles dizem, em uma organização, apenas por esta razão. Esta é a autoridade de liderança.' (Chester Barnard, The Functions of the Executive). 23. Para o autor,

(A) autoridade de posição e autoridade de liderança são sinônimos. (B) autoridade de posição é uma autoridade superior à autoridade de liderança. (C) a autoridade de liderança se estabelece por ca-racterísticas individuais de alguns homens. (D) a autoridade de posição se estabelece por habili-dades pessoais superiores de alguns líderes. (E) tanto a autoridade de posição quanto a autoridade de liderança são ineficazes.

24. Durante o texto, o autor procura mostrar que as pessoas

(A) não costumam respeitar a autoridade de posição. (B) também respeitam autoridade que não esteja li-gada a posições hierárquicas superiores. (C) respeitam mais a autoridade de liderança do que de posição. (D) acham incompatíveis os dois tipos de autoridade. (E) confundem autoridade de posição e liderança.

25. Utilizando-se de um conjunto de hipóteses, um cientista deduz uma predição sobre a ocorrência de

um certo eclipse solar. Todavia, sua predição mos-tra-se falsa. O cientista deve logicamente concluir que

(A) todas as hipóteses desse conjunto são falsas. (B) a maioria das hipóteses desse conjunto é falsa. (C) pelo menos uma hipótese desse conjunto é falsa. (D) pelo menos uma hipótese desse conjunto é ver-dadeira. (E) a maioria das hipóteses desse conjunto é verda-deira.

26. Se Francisco desviou dinheiro da campanha as-sistencial, então ele cometeu um grave delito. Mas Francisco não desviou dinheiro da campanha assis-tencial. Logo,

(A) Francisco desviou dinheiro da campanha assis-tencial. (B) Francisco não cometeu um grave delito. (C) Francisco cometeu um grave delito. (D) alguém desviou dinheiro da campanha assisten-cial. (E) alguém não desviou dinheiro da campanha assis-tencial.

27. Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado. Logo,

(A) se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu. (B) Rodrigo é culpado. (C) se Rodrigo não mentiu. então ele não é culpado. (D) Rodrigo mentiu. (E) se Rodrigo é culpado, então ele mentiu.

28. Continuando a seqüência de letras F, N, G, M, H . .

..., ..., temos, respectivamente, (A) O, P. (B) I, O. (C) E, P. (D) L, I. (E) D, L.

29. Continuando a seqüência 4, 10, 28, 82, ..., temos

(A) 236. (B) 244. (C) 246. (D) 254. (E) 256.

30. Assinale a alternativa em que ocorre uma conclu-são verdadeira (que corresponde à realidade) e o argumento inválido (do ponto de vista lógico).

(A) Sócrates é homem, e todo homem é mortal, por-tanto Sócrates é mortal. (B) Toda pedra é um homem, pois alguma pedra é um ser, e todo ser é homem. (C) Todo cachorro mia, e nenhum gato mia, portanto cachorros não são gatos. (D) Todo pensamento é um raciocínio, portanto, todo pensamento é um movimento, visto que todos os ra-ciocínios são movimentos. (E) Toda cadeira é um objeto, e todo objeto tem cinco pés, portanto algumas cadeiras tem quatro pés.

31. Cinco ciclistas apostaram uma corrida. • "A" chegou depois de "B". • "C" e "E" chegaram ao mesmo tempo. • "D" chegou antes de "B". • quem ganhou, chegou sozinho. Quem ganhou a corrida foi

Apostilas Exitus


(A) A. (B) B. (C) C. (D) D. (E) E.

Gabarito: 1-B; 2-A; 3-C; 4-E; 5-E; 6-B; 7-B; 8-D; 9-C; 10-B; 11-C; 12-C; 13-D; 14-A; 15-A; 16-D; 17-C; 18-A; 19-D; 20-D; 21-B; 22-E; 23-C; 24-B; 25-C; 26-E; 27-A; 28-D; 29-B; 30-E; 31-D. BIBLIOGRAFIA

©Encyclopaedia Britannica do Brasil Publicações Lt-da.

INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA Edgard de Alencar Filho Livraria Nobrel S/A - São Paulo, SP

ANÁLISE COMBINATÓRIA

Princípio fundamental da contagem (PFC) Se um primeiro evento pode ocorrer de m maneiras

diferentes e um segundo evento, de k maneiras diferen-tes, então, para ocorrerem os dois sucessivamente, existem m . k maneiras diferentes.

Aplicações 1) Uma moça dispõe de 4 blusas e 3 saias. De

quantos modos distintos ela pode se vestir? Solução: A escolha de uma blusa pode ser feita de 4 maneiras

diferentes e a de uma saia, de 3 maneiras diferentes. Pelo PFC, temos: 4 . 3 = 12 possibilidades para a es-

colha da blusa e saia. Podemos resumir a resolução no seguinte esquema;

Blusa saia

4 . 3 = 12 modos diferentes

2) Existem 4 caminhos ligando os pontos A e B, e 5

caminhos ligando os pontos B e C. Para ir de A a C, passando pelo ponto B, qual o número de tra-jetos diferentes que podem ser realizados?

Solução: Escolher um trajeto de A a C significa escolher um

caminho de A a B e depois outro, de B a C.

Como para cada percurso escolhido de A a B temos

ainda 5 possibilidades para ir de B a C, o número de trajetos pedido é dado por: 4 . 5 = 20.

Esquema:

Percurso AB

Percurso BC

4 . 5 = 20

3) Quantos números de três algarismos podemos

escrever com os algarismos ímpares? Solução: Os números devem ser formados com os algarismos:

1, 3, 5, 7, 9. Existem 5 possibilidades para a escolha do algarismo das centenas, 5 possibilidades para o das dezenas e 5 para o das unidades.

Assim, temos, para a escolha do número, 5 . 5 . 5 =

125.

algarismos da centena

algarismos da dezena

algarismos da unidade

5 . 5 . 5 = 125

4) Quantas placas poderão ser confeccionadas se forem utilizados três letras e três algarismos para a identificação de um veículo? (Considerar 26 le-tras, supondo que não há nenhuma restrição.)

Solução: Como dispomos de 26 letras, temos 26 possibilidades

para cada posição a ser preenchida por letras. Por outro lado, como dispomos de dez algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9), temos 10 possibilidades para cada posição a ser preenchida por algarismos. Portanto, pelo PFC o número total de placas é dado por:

5) Quantos números de 2 algarismos distintos po-

demos formar com os algarismos 1, 2, 3 e 4? Solução: Observe que temos 4 possibilidades para o primeiro

algarismo e, para cada uma delas, 3 possibilidades para o segundo, visto que não é permitida a repetição. Assim, o número total de possibilidades é: 4 . 3 =12

Esquema:

Apostilas Exitus


6) Quantos números de 3 algarismos distintos po-

demos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?

Solução: Existem 9 possibilidades para o primeiro algarismo,

apenas 8 para o segundo e apenas 7 para o terceiro. Assim, o número total de possibilidades é: 9 . 8 . 7 = 504

Esquema:

7) Quantos são os números de 3 algarismos distin-

tos? Solução: Existem 10 algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

Temos 9 possibilidades para a escolha do primeiro alga-rismo, pois ele não pode ser igual a zero. Para o segun-do algarismo, temos também 9 possibilidades, pois um deles foi usado anteriormente.

Para o terceiro algarismo existem, então, 8 possibili-dades, pois dois deles já foram usados. O numero total de possibilidades é: 9 . 9 . 8 = 648

Esquema:

8) Quantos números entre 2000 e 5000 podemos

formar com os algarismos pares, sem os repetir? Solução: Os candidatos a formar os números são : 0, 2, 4, 6 e

8. Como os números devem estar compreendidos entre 2000 e 5000, o primeiro algarismo só pode ser 2 ou 4. Assim, temos apenas duas possibilidades para o primeiro algarismo e 4 para o segundo, três para o terceiro e duas paia o quarto.

O número total de possibilidades é: 2 . 4 . 3 . 2 = 48

Esquema:

Exercícios

1) Uma indústria automobilística oferece um determi-nado veículo em três padrões quanto ao luxo, três tipos de motores e sete tonalidades de cor. Quantas são as opções para um comprador desse carro?

2) Sabendo-se que num prédio existem 3 entradas diferentes, que o prédio é dotado de 4 elevadores e que cada apartamento possui uma única porta de entrada, de quantos modos diferentes um morador pode chegar à rua?

3) Se um quarto tem 5 portas, qual o número de manei-ras distintas de se entrar nele e sair do mesmo por uma porta diferente da que se utilizou para entrar?

4) Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B, e 4 outras ligando B à cidade C. Uma pes-soa deseja viajar de A a C, passando por B. Quan-tas linhas de ônibus diferentes poderá utilizar na vi-agem de ida e volta, sem utilizar duas vezes a mes-ma linha?

5) Quantas placas poderão ser confeccionadas para a identificação de um veículo se forem utilizados duas letras e quatro algarismos? (Observação: dispomos de 26 letras e supomos que não haverá nenhuma restrição)

6) No exercício anterior, quantas placas poderão ser confeccionadas se forem utilizados 4 letras e 2 alga-rismos?

7) Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?

8) Quantos números de três algarismos podemos for-mar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5?

9) Quantos números de 4 algarismos distintos pode-mos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?

10) Quantos números de 5 algarismos não repetidos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7?

11) Quantos números, com 4 algarismos distintos, po-demos formar com os algarismos ímpares?

12) Quantos números, com 4 algarismos distintos, po-demos formar com o nosso sistema de numeração?

13) Quantos números ímpares com 3 algarismos distin-tos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?

14) Quantos números múltiplos de 5 e com 4 algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2, 4, 5 e 7, sem os repetir?

15) Quantos números pares, de 3 algarismos distintos, podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? E quantos ímpares?

16) Obtenha o total de números de 3 algarismos distin-tos, escolhidos entre os elementos do conjunto (1, 2, 4, 5, 9), que contêm 1 e não contêm 9.

17) Quantos números compreendidos entre 2000 e 7000 podemos escrever com os algarismos ímpares, sem os repetir?

18) Quantos números de 3 algarismos distintos possu-em o zero como algarismo de dezena?

19) Quantos números de 5 algarismos distintos possu-em o zero como algarismo das dezenas e começam

Apostilas Exitus


por um algarismo ímpar? 20) Quantos números de 4 algarismos diferentes tem o

algarismo da unidade de milhar igual a 2? 21) Quantos números se podem escrever com os alga-

rismos ímpares, sem os repetir, que estejam com-preendidos entre 700 e 1 500?

22) Em um ônibus há cinco lugares vagos. Duas pesso-as tomam o ônibus. De quantas maneiras diferentes elas podem ocupar os lugares?

23) Dez times participam de um campeonato de futebol. De quantas formas se podem obter os três primeiros colocados?

24) A placa de um automóvel é formada por duas letras seguidas e um número de quatro algarismos. Com as letras A e R e os algarismos pares, quantas pla-cas diferentes podem ser confeccionadas, de modo que o número não tenha nenhum algarismo repeti-do?

25) Calcular quantos números múltiplos de 3 de quatro algarismos distintos podem ser formados com 2, 3, 4, 6 e 9.

26) Obtenha o total de números múltiplos de 4 com quatro algarismos distintos que podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

ARRANJOS SIMPLES

Introdução: Na aplicação An,p, calculamos quantos números de 2

algarismos distintos podemos formar com 1, 2, 3 e 4. Os números são : 12 13 14 21 23 24 31 32 34 41 42 43

Observe que os números em questão diferem ou pela ordem dentro do agrupamento (12 21) ou pelos ele-mentos componentes (13 24). Cada número se com-porta como uma seqüência, isto é :

(1,2) (2,1) e (1,3) (3,4)

A esse tipo de agrupamento chamamos arranjo simples.

Definição: Seja l um conjunto com n elementos. Chama-se ar-

ranjo simples dos n elementos de /, tomados p a p, a toda sequência de p elementos distintos, escolhidos entre os elementos de l ( P n).

O número de arranjos simples dos n elementos, tomados p a p, é indicado por An,p

Fórmula:

Aplicações 1) Calcular: a) A7,1 b) A7,2 c) A7,3 d) A7,4

Solução: a) A7,1 = 7

b) A7,2 = 7 . 6 = 42 c) A7,3 = 7 . 6 . 5 = 210 d) A7,4 = 7 . 6 . 5 . 4 = 840 2) Resolver a equação A x,3 = 3 . A x,2. Solução: x . ( x - 1) . ( x – 2 ) = 3 . x . ( x - 1) x ( x – 1) (x –2) - 3x ( x – 1) =0 x( x – 1)[ x – 2 – 3 ] = 0

x = 0 (não convém) ou x = 1 ( não convém) ou x = 5 (convém)

S = 5

3) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?

Solução: Essa mesma aplicação já foi feita, usando-se o prin-

cipio fundamental da contagem. Utilizando-se a fórmula, o número de arranjos simples é:

A 9, 3 =9 . 8 . 7 = 504 números

Observação: Podemos resolver os problemas sobre arranjos simples usando apenas o principio fundamental da contagem.

Exercícios 1) Calcule: a) A8,1 b) A8,2 c ) A8,3 d) A8,4

2) Efetue: a) A7,1 + 7A5,2 – 2A4,3 – A 10,2

b) 1,102,5

4,72,8

AAAA

3) Resolva as equações: a) A x,2 = A x,3 b) A x,2 = 12 c) A x,3 = 3x(x – 1)

FATORIAL

Definição: Chama-se fatorial de um número natural n, n 2, ao

produto de todos os números naturais de 1 até n. Assim :

n ! = n( n - 1) (n - 2) . . . 2 . 1, n 2 (lê-se: n fatorial)

1! = 1 0! = 1

A n ,p = n . (n -1) . (n –2) . . . (n – (p – 1)), IN n p, e np

Apostilas Exitus


Fórmula de arranjos simples com o auxílio de fatorial: Aplicações 1) Calcular:

a) 5! c) ! 6! 8

e) 2)! - (n! n

b) ! 4! 5

d) ! 10

! 10 ! 11

Solução: a) 5 ! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

b) 5! 4

! 4 5 ! 4! 5

c) 56! 6

! 6 7 8! 6! 8

d) 12! 10

111! 10!10

! 10 ! 10 11! 10

! 10 ! 11

e) nnn

2

! 2 -n ! 2 -n 1 -n

2)! -(n !n

2) Obter n, de modo que A n,2 = 30. Solução: Utilizando a fórmula, vem :

302)! - (n

! 2) - n ( 1) - n ( n302)! - (n! n

n = 6 n2 – n – 30 = 0 ou

n = –5 ( não convém)

3) Obter n, tal que: 4 . A n-1,3 = 3 . A n,3. Solução:

! 1 - n ! n3

! 4 - n ! 3 - n 4

! 3 - n ! n3

! 4 - n ! 1 - n 4

21n n312n4! 1 - n ! 1 - n n3

! 4 - n ! 4 - n 3 - n 4

4) Obter n, tal que : 4! n

! ) 1n ( - ! ) 2 n (

Solução:

4!

! n ) 1 n ( - !n ) 1n ( ) 2 n (n

4

! 1- 2 n ) 1 n ( !n

n

n + 1 = 2 n =1 (n + 1 )2 = 4

n + 1 = –2 n = –3 (não convém )

Exercícios 1) Assinale a alternativa correta:

a) 10 ! = 5! + 5 ! d) ! 2 ! 10

= 5

b) 10 ! = 2! . 5 ! e) 10 ! =10. 9. 8. 7! c) 10 ! = 11! -1!

2) Assinale a alternativa falsa; a) n! = n ( n-1)! d) ( n –1)! = (n- 1)(n-

2)! b) n! = n(n - 1) (n - 2)! e) (n - 1)! = n(n -1) c) n! = n(n – 1) (n - 2) (n - 3)! 3) Calcule:

a) ! 10! 12

c) ! 4 ! 3

! 7

b) ! 5

! 5 ! 7 d)

! 5! 6 - ! 8

4) Simplifique:

a) ! 1) - n (

! n d)

! 1) - n ( n ! n

b) 2 ! 1 n

! n ! 2 n

e)

! M! ) 1 - M ( 2 - ! 5M

c) ! n

! ) 1 n ( ! n

5) Obtenha n, em:

a) 10! n1)!(n

b) n!+( n - 1)! = 6 ( n - 1)!

c) 62)! - (n1)! - (n n

d) (n - 1)! = 120

6) Efetuando 1)! (n

n ! n

1

, obtém-se:

a) ! 1)(n

1

d) ! 1)(n

1 2n

b) ! n

1 e) 0

c) 1 - n

! 1) n ( ! n

7) Resolva as equações: a) A x,3 = 8A x,2 b) A x,3 = 3 . ( x - 1)

8) Obtenha n, que verifique 8n ! =

1 n! 1) (n ! 2) (n

lN np, e n p ,! pn

! nA P,N

Pn = n !

Apostilas Exitus


9) O número n está para o número de seus arranjos

3 a 3 como 1 está para 240, obtenha n.

PERMUTAÇÕES SIMPLES

Introdução: Consideremos os números de três algarismos

distintos formados com os algarismos 1, 2 e 3. Esses números são :

123 132 213 231 312 321

A quantidade desses números é dada por A3,3= 6.

Esses números diferem entre si somente pela posi-ção de seus elementos. Cada número é chamado de permutação simples, obtida com os algarismos 1, 2 e 3.

Definição: Seja I um conjunto com n elementos. Chama-se per-

mutação simples dos n elementos de l a toda a seqüên-cia dos n elementos.

O número de permutações simples de n elementos é indicado por Pn.

OBSERVAÇÃO: Pn = A n,n . Aplicações 1) Considere a palavra ATREVIDO. a) quantos anagramas (permutações simples)

podemos formar? b) quantos anagramas começam por A? c) quantos anagramas começam pela sílaba TRE? d) quantos anagramas possuem a sílaba TRE? e) quantos anagramas possuem as letras T, R e E

juntas? f) quantos anagramas começam por vogal e

terminam em consoante? Solução: a) Devemos distribuir as 8 letras em 8 posições

disponíveis. Assim:

Ou então, P8 = 8 ! = 40.320 anagramas b) A primeira posição deve ser ocupada pela letra A;

assim, devemos distribuir as 7 letras restantes em 7 posições, Então:

c) Como as 3 primeiras posições ficam ocupadas pe-

la sílaba TRE, devemos distribuir as 5 letras restantes em 5 posições. Então:

d) considerando a sílaba TRE como um único

elemento, devemos permutar entre si 6 elementos,

e) Devemos permutar entre si 6 elementos, tendo

considerado as letras T, R, E como um único elemento:

Devemos também permutar as letras T, R, E, pois não foi especificada a ordem :

Para cada agrupamento formado, as letras T, R, E

podem ser dispostas de P3 maneiras. Assim, para P6 agrupamentos, temos

P6 . P3 anagramas. Então: P6 . P3 = 6! . 3! = 720 . 6 = 4 320 anagramas f) A palavra ATREVIDO possui 4 vogais e 4

consoantes. Assim:

Exercícios 1) Considere a palavra CAPITULO: a) quantos anagramas podemos formar? b) quantos anagramas começam por C? c) quantos anagramas começam pelas letras C, A e

P juntas e nesta ordem? d) quantos anagramas possuem as letras C, A e P

juntas e nesta ordem? e) quantos anagramas possuem as letras C, A e P

juntas? f) quantos anagramas começam por vogal e termi-

nam em consoante? 2) Quantos anagramas da palavra MOLEZA

começam e terminam por vogal? 3) Quantos anagramas da palavra ESCOLA

possuem as vogais e consoantes alternadas? 4) De quantos modos diferentes podemos dispor as

letras da palavra ESPANTO, de modo que as

Apostilas Exitus


. . . ! ! ! n) . . . , ,(p

r1r21n

vogais e consoantes apareçam juntas, em qualquer ordem?

5) obtenha o número de anagramas formados com as letras da palavra REPÚBLICA nas quais as vogais se mantenham nas respectivas posições.

PERMUTAÇÕES SIMPLES, COM ELEMENTOS REPE-TIDOS

Dados n elementos, dos quais :

1 são iguais a

2 são iguais a . . . . . . . . . . . . . . . . . r são iguais a

sendo ainda que: r2 1 . . . = n, e indicando-se por ) . . . , ,(p r21n o número das permutações simples dos n elementos, tem-se que:

Aplicações 1) Obter a quantidade de números de 4 algarismos

formados pelos algarismos 2 e 3 de maneira que cada um apareça duas vezes na formação do número.

Solução:

os números são

3223 3232 33222332 2323 2233

A quantidade desses números pode ser obtida por:

números 61 2 ! 2! 2 3 4

! 2 ! 2! 4P 2,2

4

2) Quantos anagramas podemos formar com as

letras da palavra AMADA? solução: Temos:

Assim: anagramas 20

! 3! 3 4 5

! 1 ! 1 ! 3! 5 p 1,1,3

5

3) Quantos anagramas da palavra GARRAFA começam pela sílaba RA?

Solução: Usando R e A nas duas primeiras posições, restam 5

letras para serem permutadas, sendo que: Assim, temos: anagramas 60

! 2! 2 3 4 5 p 1,1,2

5

Exercícios 1) O número de anagramas que podemos formar

com as letras da palavra ARARA é: a) 120 b) 60 c) 20 d) 10 e) 30 2) O número de permutações distintas possíveis

com as oito letras da palavra PARALELA, começando todas com a letra P, será de ;

a) 120 b) 720 c) 420 d) 24 e) 360 3) Quantos números de 5 algarismos podemos

formar com os algarismos 3 e 4 de maneira que o 3 apareça três vezes em todos os números?

a) 10 b) 20 c) 120 d) 24 e) 6

4) Quantos números pares de cinco algarismos

podemos escrever apenas com os dígitos 1, 1, 2, 2 e 3, respeitadas as repetições apresentadas?

a) 120 b) 24 c) 20 d) 12 e) 6 5) Quantos anagramas da palavra MATEMÁTICA

terminam pela sílaba MA? a) 10 800 b) 10 080 c) 5 040 d) 5 400 e) 40 320

COMBINAÇÕES SIMPLES

Introdução: Consideremos as retas determinadas pelos quatro

pontos, conforme a figura.

1 13

D M A A,,A

{{{

1121F R AA, G

1

11 11 a ., . . , a ,a a

2

2222 a , . . . ,a ,a a

r

rrrr a , . . . ,a ,a a

Apostilas Exitus


Só temos 6 retas distintas ,CD ,BC ,AB(

)AD e BD ,AC porque , . . . ,BA e AB DC e CD repre-sentam retas coincidentes.

Os agrupamentos {A, B}, {A, C} etc. constituem

subconjuntos do conjunto formado por A, B, C e D. Diferem entre si apenas pelos elementos

componentes, e são chamados combinações simples dos 4 elementos tomados 2 a 2.

O número de combinações simples dos n elementos

tomados p a p é indicado por Cn,p ou

pn

.

OBSERVAÇÃO: Cn,p . p! = An,p.

Fórmula:

Aplicações 1) calcular: a) C7,1 b) C7,2 c) C7,3 d) C7,4 Solução:

a) C7,1 = 7! 6

! 6 7! 6 ! 1

! 7

b) C7,2 = 21! 5 1 2! 5 6 7

! 5 ! 2! 7

c) C7,3 = 35! 4 1 2 3! 4 5 6 7

! 4 ! 3! 7

d) C7,4= 35 1 2 3 ! 4! 4 5 6 7

! 3 ! 4! 7

2) Quantos subconjuntos de 3 elementos tem um

conjunto de 5 elementos?

ossubconjunt 101 2 ! 3! 3 4 5

! 2 ! 3! 5 C5,3

3) obter n, tal que 34

CC

n,2

n,3

Solução:

34

! n! ) 2- n ( ! 2

) 3 - n ( ! 3 ! n

34

! ) 2 - n ( ! 2! n

! ) 3 - n ( ! 3! n

42-n 34

! ) 3 - n ( 2 3! ) 3 - n ( ) 2 - n ( 2

convém 4) Obter n, tal que Cn,2 = 28. Solução:

56! )2(

! ) 2 -n ( ) 1 -n ( 28)! 2 -n ( ! 2

!n n

n

n = 8

n2 – n – 56 = 0 n = -7 (não convém)

5) Numa circunferência marcam-se 8 pontos, 2 a 2 distintos. Obter o número de triângulos que po-demos formar com vértice nos pontos indicados:

Solução: Um triângulo fica identificado quando escolhemos 3

desses pontos, não importando a ordem. Assim, o núme-ro de triângulos é dado por:

56! 5 . 2 3

! 5 . 6 7 8! 5 ! 3

! 8C8,3

6) Em uma reunião estão presentes 6 rapazes e 5

moças. Quantas comissões de 5 pessoas, 3 ra-pazes e 2 moças, podem ser formadas?

Solução: Na escolha de elementos para formar uma comissão,

não importa a ordem. Sendo assim :

escolher 3 rapazes: C6,3 =! 3 ! 3

! 6= 20 modos

escolher 2 moças: C5,2= 3! 2!! 5

= 10 modos

Como para cada uma das 20 triplas de rapazes temos

Seja l um conjunto com n elementos. Chama-se combinação simples dos n elementos de /, toma-dos p a p, a qualquer subconjunto de p elementos do conjunto l.

n = 6

lN } n p, { e np ,! ) p - n ( ! p

! n C p, n

Apostilas Exitus


10 pares de moças para compor cada comissão, então, o total de comissoes é C6,3 . C5,2 = 200.

7) Sobre uma reta são marcados 6 pontos, e sobre uma outra reta, paralela á primeira, 4 pontos.

a) Quantas retas esses pontos determinam? b) Quantos triângulos existem com vértices em

três desses pontos? Solução: a) C10,2 – C6,2 – C4,2 + 2 = 26 retas onde C6,2 é o maior número de retas possíveis de serem determinadas por seis pontos C4,2 é o maior número de retas possíveis de serem determinadas por quatro pontos .

b) C10,3 – C6,3 – C4,3 = 96 triângulos onde C6,3 é o total de combinações determinadas por três pontos alinhados em uma das retas, pois pontos colineares não determinam triângulo. C4,3 é o total de combinações determinadas por três pontos alinhados da outra reta.

8) Uma urna contém 10 bolas brancas e 6 pretas.

De quantos modos é possível tirar 7 bolas das quais pelo menos 4 sejam pretas?

Solução: As retiradas podem ser efetuadas da seguinte forma: 4 pretas e 3 brancas C6,4 . C10,3 = 1 800 ou 5 pretas e 2 brancas C6,5 . C10,2 = 270 ou 6 pretas e1 branca C6,6 . C10,1 = 10 Logo. 1 800 + 270 + 10 = 2 080 modos Exercícios 1) Calcule: a) C8,1 + C9,2 – C7,7 + C10,0 b) C5,2 +P2 – C5,3 c) An,p . Pp

2) Obtenha n, tal que : a) Cn,2 = 21 b) Cn-1,2 = 36 c) 5 . Cn,n - 1 + Cn,n -3 = An,3 3) Resolva a equação Cx,2 = x. 4) Quantos subconjuntos de 4 elementos possui um

conjunto de 8 elementos?

5) Numa reunião de 7 pessoas, quantas comissões de 3 pessoas podemos formar?

6) Um conjunto A tem 45 subconjuntos de 2

elementos. Obtenha o número de elementos de A

7) Obtenha o valor de p na equação: 12CA

4,p

3,p .

8) Obtenha x na equação Cx,3 = 3 . Ax , 2. 9) Numa circunferência marcam-se 7 pontos

distintos. Obtenha: a) o número de retas distintas que esses

pontos determinam; b) o número de triângulos com vértices nesses

pontos; c) o número de quadriláteros com vértices

nesses pontos; d) o número de hexágonos com vértices

nesses pontos.

10) A diretoria de uma firma é constituída por 7 dire-tores brasileiros e 4 japoneses. Quantas comis-sões de 3 brasileiros e 3 japoneses podem ser formadas?

11) Uma urna contém 10 bolas brancas e 4 bolas

pretas. De quantos modos é possível tirar 5 bo-las, das quais duas sejam brancas e 3 sejam pretas?

12) Em uma prova existem 10 questões para que os

alunos escolham 5 delas. De quantos modos isto pode ser feito?

13) De quantas maneiras distintas um grupo de 10

pessoas pode ser dividido em 3 grupos conten-do, respectivamente, 5, 3 e duas pessoas?

14) Quantas diagonais possui um polígono de n la-

dos?

15) São dadas duas retas distintas e paralelas. So-bre a primeira marcam-se 8 pontos e sobre a se-gunda marcam-se 4 pontos. Obter: a) o número de triângulos com vértices nos

pontos marcados; b) o número de quadriláteros convexos com

vértices nos pontos marcados.

16) São dados 12 pontos em um plano, dos quais 5, e somente 5, estão alinhados. Quantos triângu-los distintos podem ser formados com vértices em três quaisquer dos 12 pontos?

17) Uma urna contém 5 bolas brancas, 3 bolas pre-

tas e 4 azuis. De quantos modos podemos tirar 6 bolas das quais:

a) nenhuma seja azul b) três bolas sejam azuis c) pelo menos três sejam azuis

18) De quantos modos podemos separar os números

de 1 a 8 em dois conjuntos de 4 elementos? 19) De quantos modos podemos separar os números

de 1 a 8 em dois conjuntos de 4 elementos, de modo que o 2 e o 6 não estejam no mesmo conjunto?

20) Dentre 5 números positivos e 5 números

negativos, de quantos modos podemos escolher

Apostilas Exitus


quatro números cujo produto seja positivo?

21) Em um piano marcam-se vinte pontos, não alinhados 3 a 3, exceto cinco que estão sobre uma reta. O número de retas determinadas por estes pontos é: a) 180 b) 1140 c) 380 d) 190 e) 181

22) Quantos paralelogramos são determinados por

um conjunto de sete retas paralelas, interceptando um outro conjunto de quatro retas paralelas? a) 162 b) 126 c) 106

d) 84 e) 33

23) Uma lanchonete que vende cachorro quente ofe-

rece ao freguês: pimenta, cebola, mostarda e molho de tomate, como tempero adicional. Quan-tos tipos de cachorros quentes diferentes (Pela adição ou não de algum tempero) podem ser vendidos? a) 12 b) 24 c) 16 d) 4 e) 10

24) O número de triângulos que podem ser traçados utilizando-se 12 pontos de um plano, não haven-do 3 pontos em linha reta, é: a) 4368 b) 220 c) 48 d) 144 e) 180

25) O time de futebol é formado por 1 goleiro, 4 de-

fensores, 3 jogadores de meio de campo e 3 ata-cantes. Um técnico dispõe de 21 jogadores, sen-do 3 goleiros, 7 defensores, 6 jogadores de meio campo e 5 atacantes. De quantas maneiras po-derá escalar sua equipe? a) 630 b) 7 000 c) 2,26 . 109

d) 21000 e) n.d.a.

26) Sendo 5 . Cn, n - 1 + Cn, n - 3, calcular n. 27) Um conjunto A possui n elementos, sendo n 4.

O número de subconjuntos de A com 4 elementos é:

a)

) 4 - n (24! n

c) ( n – 4 ) ! e) 4 !

b) ) 4 - n (

! n d) n !

28) No cardápio de uma festa constam 10 diferentes tipos de salgadinhos, dos quais apenas 4 serão servidos quentes. O garçom encarregado de ar-rumar a travessa e servi-la foi instruído para que a mesma contenha sempre só dois tipos diferen-tes de salgadinhos frios e dois diferentes dos quentes. De quantos modos diversos pode o garçom, respeitando as instruções, selecionar os salgadinhos para compor a travessa? a) 90 d) 38 b) 21 e) n.d.a. c) 240

29) Em uma sacola há 20 bolas de mesma dimen-

são: 4 são azuis e as restantes, vermelhas. De quantas maneiras distintas podemos extrair um conjunto de 4 bolas desta sacola, de modo que haja pelo menos uma azul entre elas?

a) ! 12! 16

! 16! 20 d)

! 12! 16

! 16! 20

! 41

b) ! 16 ! 4

! 20 e)n.d.a.

c) ! 16! 20

30) Uma classe tem 10 meninos e 9 meninas. Quan-

tas comissões diferentes podemos formar com 4 meninos e 3 meninas, incluindo obrigatoriamente o melhor aluno dentre os meninos e a melhor a-luna dentre as meninas? a) A10,4 . A9,3 b) C10,4 - C9, 3 c) A9,2 – A8,3 d) C9,3 - C8,2 e) C19,7

31) Numa classe de 10 estudantes, um grupo de 4 será selecionado para uma excursão, De quan-tas maneiras distintas o grupo pode ser formado, sabendo que dos dez estudantes dois são mari-do e mulher e apenas irão se juntos? a) 126 b) 98 c) 115 d)165 e) 122

RESPOSTAS Principio fundamental da contagem

1) 63 2) 12 3) 20 4) 72 5) 6 760 000 6) 45 697 600 7) 216 8) 180 9) 360 10) 2 520 11) 120

14) 24 15) 90 pares e 120 ímpares 16) 18 17) 48 18) 72 19) 1 680 20) 504 21) 30 22) 20 23) 720 24) 48

Apostilas Exitus


12) 4 536 13) 60

25) 72 26) 96

Arranjos simples 1) a) 8 c) 336 b) 56 d) 1680 2) a) 9 b) 89,6 3) a) s = {3} b) S = {4} c) S = {5} Fatorial 1) e 2) e 3) a) 132 b) 43 c) 35 d) 330

4) a) n b) 1n2n

c) n + 2 d) 1 e)M

2M5

5) n = 9 b) n = 5 c) n = 3 d) n = 6 6) a 7) a) S = {10} b) S = {3} 8) n = 5 9) n = 17 Permutações simples

1) a) 40 320 d) 720 b) 5 040 e) 4 320 c) 120 f) 11 520

2) 144 3) 72 4) 288 5) 120

Permutações simples com elementos repetidos 1) d 2) c 3) a 4) d 5) b Combinações simples

1) a) 44 c)

)!pn(!p!n

b) 2 2) a) n = 7 b) n =

10 c) n = 4

3) S = {3} 4) 70 5) 35 6) 10 7) p=5 8) S={20} 9) a) 21 c) 35

b) 35 d) 7 10) 140 11) 180 12) 252 13) 2 520

14) 2

)3n(n

15) a) 160 b) 168 16) 210 17) a) 28 c) 252

b) 224 18) 70 19) 55 20) 105 21) e 22) b 23) c 24) b 25) d 26) n =4 27) a 28) a 29) d 30) d 31) b

PROBABILIDADE

ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTO Suponha que em uma urna existam cinco bolas verme-

lhas e uma bola branca. Extraindo-se, ao acaso, uma das bolas, é mais provável que esta seja vermelha. Isto irão significa que não saia a bola branca, mas que é mais fácil a extração de uma vermelha. Os casos possíveis seu seis:

Cinco são favoráveis á extração da bola vermelha. Di-

zemos que a probabilidade da extração de uma bola ver-

melha é 65

e a da bola branca, 61

.

Se as bolas da urna fossem todas vermelhas, a ex-

tração de uma vermelha seria certa e de probabilidade igual a 1. Conseqüentemente, a extração de uma bola branca seria impossível e de probabilidade igual a zero.

Espaço amostral: Dado um fenômeno aleatório, isto é, sujeito ás leis do

acaso, chamamos espaço amostral ao conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrerem. Vamos indica-lo pela letra E.

EXEMPLOS: Lançamento de um dado e observação da face voltada

para cima: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Lançamento de uma moeda e observação da face

voltada para cima : E = {C, R}, onde C indica cara e R coroa. Lançamento de duas moedas diferentes e observação

das faces voltadas para cima: E = { (C, C), (C, R), (R, C), (R, R) } Evento: Chama-se evento a qualquer subconjunto do espaço

amostral. Tomemos, por exemplo, o lançamento de um dado :

ocorrência do resultado 3: {3} ocorrência do resultado par: {2, 4, 6} ocorrência de resultado 1 até 6: E (evento certo) ocorrência de resultado maior que 6 : (evento

impossível) Como evento é um conjunto, podemos aplicar-lhe as

operações entre conjuntos apresentadas a seguir. União de dois eventos - Dados os eventos A e B,

chama-se união de A e B ao evento formado pelos resultados de A ou de B, indica-se por A B.

Intersecção de dois eventos - Dados os eventos A e

B, chama-se intersecção de A e B ao evento for-mado pelos resultados de A e de B. Indica-se por A

Apostilas Exitus


B.

Se A B = , dizemos que os eventos A e B são mutu-

amente exclusivos, isto é, a ocorrência de um deles elimina a possibilidade de ocorrência do outro.

Evento complementar – Chama-se evento comple-

mentar do evento A àquele formado pelos resultados que não são de A. indica-se por A .

Aplicações 1) Considerar o experimento "registrar as faces

voltadas para cima", em três lançamentos de uma moeda.

a) Quantos elementos tem o espaço amostral? b) Escreva o espaço amostral. Solução: a) o espaço amostral tem 8 elementos, pois para

cada lançamento temos duas possibilidades e, assim: 2 . 2 . 2 = 8.

b) E = { (C, C, C), (C, C, R), (C, R, C), (R, C, C), (R, R,C), (R, C, R), (C, R, R), (R, R, R) }

2) Descrever o evento "obter pelo menos uma cara

no lançamento de duas moedas". Solução: Cada elemento do evento será representado por um

par ordenado. Indicando o evento pela letra A, temos: A = {(C,R), (R,C), (C,C)}

3) Obter o número de elementos do evento "soma de pontos maior que 9 no lançamento de dois dados".

Solução: O evento pode ser tomado por pares ordenados com

soma 10, soma 11 ou soma 12. Indicando o evento pela letra S, temos:

S = { (4,6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)} n(S) = 6 elementos

4) Lançando-se um dado duas vezes, obter o núme-

ro de elementos do evento "número par no primei-ro lançamento e soma dos pontos igual a 7".

Solução: Indicando o evento pela letra B, temos: B = { (2, 5), (4, 3), (6, 1)} n(B) = 3 elementos Exercícios 1) Dois dados são lançados. O número de elementos

do evento "produto ímpar dos pontos obtidos nas faces voltadas para cima" é:

a) 6 c) 9 d) c) 18 e) d) 27 f) e) 30 2) Num grupo de 10 pessoas, seja o evento ''esco-

lher 3 pessoas sendo que uma determinada esteja sempre presente na comissão". Qual o número de elementos desse evento?

a) 120 b) 90 c) 45 d) 36 e) 28

3) Lançando três dados, considere o evento "obter

pontos distintos". O número de elementos desse evento é:

a) 216 b) 210 c) 6 d) 30 e) 36

4) Uma urna contém 7 bolas brancas, 5 vermelhas e

2 azuis. De quantas maneiras podemos retirar 4 bolas dessa urna, não importando a ordem em que são retiradas, sem recoloca-las?

a) 1 001 c) 14! b) 24 024 d) 6 006

e) ! 2 ! 5 ! 7

! 14

PROBABILIDADE

Sendo n(A) o número de elementos do evento A, e

n(E) o número de elementos do espaço amostral E ( A E), a probabilidade de ocorrência do evento A, que se indica por P(A), é o número real:

OBSERVAÇÕES:

1) Dizemos que n(A) é o número de casos favoráveis ao evento A e n(E) o número de casos possíveis.

2) Esta definição só vale se todos os elementos do espaço amostral tiverem a mesma probabilidade.

3) A é o complementar do evento A.

Propriedades:

) E ( n) A ( n ) A ( P

Apostilas Exitus


Aplicações 4) No lançamento de duas moedas, qual a

probabilidade de obtermos cara em ambas? Solução: Espaço amostral: E = {(C, C), (C, R), (R, C), (R,R)} n(E).= 4 Evento A : A = {(C, C)} n(A) =1

Assim: 41

) E ( n) A ( n ) A ( P

5) Jogando-se uma moeda três vezes, qual a

probabilidade de se obter cara pelo menos uma vez?

Solução: E = {(C, C, C), (C, C, R), (C, R, C), (R, C, C), (R, R, C),

(R, C, R), (C, R, R), (R. R, R)} n(E)= 8

A = {(C, C, C), (C, C, R), (C, R, C), (R, C, C), (R, R, C), (R, C, R), (C, R, R) n(A) = 7

87P(A)

) E ( n) A ( n ) A ( P

6) (Cesgranrio) Um prédio de três andares, com dois

apartamentos por andar, tem apenas três aparta-mentos ocupados. A probabilidade de que cada um dos três andares tenha exatamente um apar-tamento ocupado é : a) 2/5 c) 1/2 e) 2/3 b) 3/5 d) 1/3

Solução: O número de elementos do espaço amostral é dado

por :

n(E) = C6,3 = ! 3 ! 3

! 6 = 20

O número de casos favoráveis é dado por n (A) = 2 . 2

. 2 = 8, pois em cada andar temos duas possibilidades para ocupa-lo. Portanto, a probabilidade pedida é:

52

208

) E ( n) A ( n ) A ( P (alternativa a)

7) Numa experiência, existem somente duas

possibilidades para o resultado. Se a

probabilidade de um resultado é 31

, calcular a

probabilidade do outro, sabendo que eles são complementares.

Solução:

Indicando por A o evento que tem probabilidade 31

,

vamos indicar por A o outro evento. Se eles são complementares, devemos ter:

P(A) + P( A ) = 1 31 + P( A ) = 1

8) No lançamento de um dado, qual a probabilidade de obtermos na face voltada para cima um núme-ro primo?

Solução: Espaço amostral : E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(E) = 6 Evento A : A = {2, 3, 5} n(A) = 3

Assim: 21)A(P

63

) E ( n) A ( n ) A ( P

8) No lançamento de dois dados, qual a

probabilidade de se obter soma dos pontos igual a 10?

Solução: Considere a tabela, a seguir, indicando a soma dos

pontos: A B

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12

Da tabela: n(E) = 36 e n(A) = 3

Assim: 121

363

) E ( n) A ( n ) A ( P

Exercícios 1) Jogamos dois dados. A probabilidade de obtermos pontos iguais nos dois é:

a) 31

b) 365

c) 61

d) 361

e) 367

2) A probabilidade de se obter pelo menos duas

caras num lançamento de três moedas é;

a) 83

b) 21

32)A(P

Apostilas Exitus


c) 41

d) 31

e) 51

ADIÇÃO DE PROBABILIDADES Sendo A e B eventos do mesmo espaço amostral E,

tem-se que:

"A probabilidade da união de dois eventos A e B é i-

gual á soma das probabilidades de A e B, menos a proba-bilidade da intersecção de A com B."

Justificativa: Sendo n (A B) e n (A B) o número de elementos

dos eventos A B e A B, temos que: n( AB) = n(A) +n(B) – n(A B)

)E(n

)BA(n)E(n)B(n

)E(n)A(n

)E(n)BA(n

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) OBSERVA ÇÃO: Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, isto é: A

B = , então, P(A B) = P(A) + P(B). Aplicações 1) Uma urna contém 2 bolas brancas, 3 verdes e 4

azuis. Retirando-se uma bola da urna, qual a pro-babilidade de que ela seja branca ou verde?

Solução: Número de bolas brancas : n(B) = 2 Número de bolas verdes: n(V) = 3 Número de bolas azuis: n(A) = 4 A probabilidade de obtermos uma bola branca ou uma

bola verde é dada por: P( B V) = P(B) + P(V) - P(B V)

Porém, P(B V) = 0, pois o evento bola branca e o

evento bola verde são mutuamente exclusivos.

Logo: P(B V) = P(B) + P(V), ou seja:

P(B V) = 95)VB(P

93

92

2) Jogando-se um dado, qual a probabilidade de se

obter o número 4 ou um número par? Solução: O número de elementos do evento número 4 é n(A) = 1. O número de elementos do evento número par é n(B) = 3. Observando que n(A B) = 1, temos: P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

P(AB) = 21)BA(P

63

61

63

61

3) A probabilidade de que a população atual de um

pais seja de 110 milhões ou mais é de 95%. A probabilidade de ser 110 milhões ou menos é 8%. Calcular a probabilidade de ser 110 milhões.

Solução: Temos P(A) = 95% e P(B) = 8%.

A probabilidade de ser 110 milhões é P(A B).

Observando que P(A B) = 100%, temos: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A B) 100% = 95% + 8% - P(A B) (AB) = 3% Exercícios 1) (Cescem) Uma urna contém 20 bolas numeradas

de 1 a 20. Seja o experimento "retirada de uma bola" e considere os eventos;

A = a bola retirada possui um número múltiplo de 2 B = a bola retirada possui um número múltiplo de 5 Então a probabilidade do evento A B é:

a) 2013

c) 107

e) 2011

b) 54

d) 53

2) (Santa casa) Num grupo de 60 pessoas, 10 são

torcedoras do São Paulo, 5 são torcedoras do Palmeiras e as demais são torcedoras do Corin-thians. Escolhido ao acaso um elemento do grupo, a probabilidade de ele ser torcedor do São Paulo ou do Palmeiras é:

a) 0,40 c) 0,50 e) n.d.a. b) 0,25 d) 0,30

3) (São Carlos) S é um espaço amostral, A e B even-

tos quaisquer em S e P(C) denota a probabilidade associada a um evento genérico C em S. Assinale a alternativa correta.

a) P(A C) = P(A) desde que C contenha A

b) P(A B) P(A) + P(B) – P(A B) c) P(A B) < P(B) d) P(A) + P(B) 1 e) Se P(A) = P(B) então A = B

P(A B) = P (A) + P(B) – P(A B)

P(A B) = P(A) . P(B/A)

Apostilas Exitus


4) (Cescem) Num espaço amostral (A; B), as

probabilidades P(A) e P(B) valem respectivamente

31

e 32

Assinale qual das alternativas seguintes

não é verdadeira. a) S BA d) A B = B

b) AB = e) (AB) (AB) = S

c) A B = BA

5) (PUC) Num grupo, 50 pessoas pertencem a um clube A, 70 a um clube B, 30 a um clube C, 20 pertencem aos clubes A e B, 22 aos clubes A e C, 18 aos clubes B e C e 10 pertencem aos três clu-bes. Escolhida ao acaso uma das pessoas presen-tes, a probabilidade de ela:

a) Pertencer aos três Clubes é 53

;

b) pertencer somente ao clube C é zero; c) Pertencer a dois clubes, pelo menos, é 60%; d) não pertencer ao clube B é 40%; e) n.d.a.

6) (Maringá) Um número é escolhido ao acaso entre

os 20 inteiros, de 1 a 20. A probabilidade de o nú-mero escolhido ser primo ou quadrado perfeito é:

a) 51

c) 254

e) 53

b) 252

d) 52

PROBABILIDADE CONDICIONAL

Muitas vezes, o fato de sabermos que certo evento o-correu modifica a probabilidade que atribuímos a outro evento. Indicaremos por P(B/A) a probabilidade do evento B, tendo ocorrido o evento A (probabilidade condicional de B em relação a A). Podemos escrever:

Multiplicação de probabilidades: A probabilidade da intersecção de dois eventos A e B é

igual ao produto da probabilidade de um deles pela proba-bilidade do outro em relação ao primeiro.

Em símbolos:

Justificativa:

)A( n

)BA( n)A/B(P

)E(n)A( n)E(n

)BA( n

)A/B(P

)A( P)BA( P)A/B(P

P(A B) = P(A) . P(B/A) Analogamente: P(A B) = P(B) . P(A/B)

Eventos independentes: Dois eventos A e B são independentes se, e somente

se: P(A/B) = P(A) ou P(B/A) = P(B)

Da relação P(A B) = P(A) . P(B/A), e se A e B forem independentes, temos:

Aplicações:

1) Escolhida uma carta de baralho de 52 cartas e sabendo-se que esta carta é de ouros, qual a probabilidade de ser dama?

Solução: Um baralho com 52 cartas tem 13 cartas de ouro, 13

de copas, 13 de paus e 13 de espadas, tendo uma dama de cada naipe.

Observe que queremos a probabilidade de a carta ser uma dama de ouros num novo espaço amostral modifica-do, que é o das cartas de ouros. Chamando de:

evento A: cartas de ouros evento B: dama evento A B : dama de ouros

Temos:

2) Jogam-se um dado e uma moeda. Dê a

probabilidade de obtermos cara na moeda e o número 5 no dado.

Solução: Evento A : A = {C} n(A) = 1 Evento B : B = { 5 } n ( B ) = 1 Sendo A e B eventos independentes, temos:

)A( n)BA( n)A/B(P

P(A B) = P(A) . P(B)

131

)A( n)BA( n)A/B(P

Apostilas Exitus


P(A B) = P(A) . P(B) P(A B) = 61

21

P(A B) = 121

3) (Cesgranrio) Um juiz de futebol possui três cartões no

bolso. Um é todo amarelo, outro é todo vermelho, e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado lance, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra a um jogador. A probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela é:

a) 21

b) 52

c) 51

d) 32

e ) 61

Solução: Evento A : cartão com as duas cores Evento B: face para o juiz vermelha e face para o jogador amarela, tendo saído o cartão de duas cores

Temos:

P(A B) = P(A) . P(B/A), isto é, P(A B) =21

31

P(A B) = 61

(alternativa e)

Respostas: Espaço amostral e evento 1) b 2) d 3) b 4) a Probabilidade 1) c 2) b Adição de probabilidades 1) d 2) b 3) a 4) b 5) b 6) e

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Apostilas Exitus RACIOCINIO LOGICO · Apostilas Exitus Raciocínio Lógico 1 RACIOCINIO LOGICO Ao procurarmos a solução de um problema quando dispomos de dados como um ponto de