Aprendendo Álgebra Com o Cubo

Aprendendo Álgebra com o CuboMágico

Waldeck Schutzer

www.dm.ufscar.br/˜waldeck/

V Semana da Matematica da UFU

FAMAT, 25 a 28 de Outubro de 2005Aprendendo Algebra com o Cubo Magico – p.1/34

Resumo

1. Conhecendo melhor o Cubo Mágico

2. Permutações, grupos e as configurações do Cubo

3. Aplicação da Teoria de Grupos ao Cubo

Aprendendo Algebra com o Cubo Magico – p.2/34

Aula 2

Permutações, grupos e as Configurações do Cubo


Motivação

Na aula anterior, vimos que há algumasconfigurações do Cubo que são obviamenteinatingíveis. Será que há outras?

Quais são? Como demonstrá-las?

Sabemos que o número total de configurações éfinito, mas como calcular esse número?

A resposta a essas questões será surpreendente.

Com as noções de permutações e de grupospodemos respondê-las efetivamente.

Outro ganho: método algébrico.


Motivação








Motivação








Motivação








Motivação








Motivação








Permutações

Uma permutação é um rearranjo de um conjunto deobjetos.

A ênfase está no rearranjo, não os objetos em si.

Por exemplo, b, a, c é uma permutação do conjunto{a, b, c}.

Outro exemplo, 2, 1, 3 é uma permutação doconjunto {1, 2, 3}.

Ambas as permutações são essencialmente iguais,pois trocam o 1o e o 2o objetos do conjunto.

Então podemos sempre pensar que o conjuntopermutado é {1, 2, . . . , n}.


Permutações








Permutações








Permutações








Permutações








Permutações








Permutações

Podemos pensar em arranjos como um conjunto decaixas numeradas 1, 2, . . . , n, cada uma contendouma única bola.

1 2 . . . n

Permutar é tirar todas as bolas para fora . . .

. . .

. . . depois recolocá-las na mesma caixa ou em outradiferente, cada caixa contendo exatamente uma bola.

1 2 . . . n


Permutações


1 2 . . . n


. . .


1 2 . . . n


Permutações


1 2 . . . n


. . .


1 2 . . . n


Permutações

Uma permutação pode ser descrita por uma série deafirmações como

A bola que estava na caixa 1 foi para a caixa 2

A bola que estava na caixa 2 foi para a caixa 1...

A bola que estava na caixa n foi para a caixa n

Antes: 1 2 . . . n

Depois: 1 2 . . . nAprendendo Algebra com o Cubo Magico – p.5/34

Permutações

Uma permutação pode ser descrita pelo seguinteesquema

(

1 2 · · · n

2 1 · · · n

)

onde cada coluna representa uma das afirmaçõesacima.

Essa matriz dá uma descrição precisa dapermutação.

Torna fácil fazer a “composição” de permutações.


Contando permutações

Suponhamos que as bolas sejam indistinguíveis.

1 2 . . . n. . .

No começo, podemos escolher qualquer uma das nbolas para pôr na caixa 1.

Depois, qualquer uma das n − 1 bolas restantes parapôr na caixa 2, etc.

Portanto, o total de permutações én · (n − 1) · · · 2 · 1.

Esse número é chamado n-fatorial, também escriton!. Temos 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24,5! = 120, 6! = 720, 7! = 5040, . . .




1 2 . . . n. . .








1 2 . . . n. . .








1 2 . . . n. . .








1 2 . . . n. . .



Portanto, o total de permutações é n · (n− 1) · · · 2 · 1.



Notação de ciclos

Matrizes são convenientes para descreverpermutações.

Mas há uma modo mais simples: a notação deciclos.

Um ciclo pode ser pensado como uma série detransições de estado que acaba por retornar aoestado inicial.

S1 → S2 → · · · → Sn → S1


Notação de ciclos

Por exemplo, considere a permutação

σ =

(

1 2 3 4

3 2 4 1

)

Voltando a pensar nas caixas com bolas, estapermutação faz o seguinte:

A bola que estava na caixa 1 vai para a caixa 3.A bola que estava na caixa 3 vai para a caixa 4.A bola que estava na caixa 4 vai para a caixa 1.A bola que estava na caixa 2 vai para a caixa 2.

Repare no modo como as bolas das caixas 1,3 e 4transitam em círculo.


Notação de ciclos

Notando que a bola na caixa 2 permanece onde está,podemos representar o trânsito das demais bolas por

σ : 1 → 3 → 4 → 1

significando que a bola da caixa 1 vai para a caixa 3,a da caixa 3 vai para a caixa 4 e a da caixa 4 vai paraa caixa 1.

Melhor ainda, podemos simplesmente escrever

σ = (1 3 4)

significando a mesma coisa. Esta é a chamadanotação de ciclos de σ.


Notação de ciclos

Na notação de ciclos, os n elementos entreparênteses formam um n-ciclo.

Interpretação do ciclo: o primeiro objeto sai da caixaonde está e vai para caixa seguinte, e assim pordiante, até que o último objeto vai ocupar a primeiracaixa do ciclo.

Os seguintes 3-ciclos são todos iguais:

σ = (1 3 4) = (3 4 1) = (4 1 3)

Há ma vantagem evidente em usar ciclos:

ρ =

(

1 2 3 4 5 6

2 1 3 6 4 5

)

= (1 2)(4 6 5)


Notação canônica de ciclos

Na notação canônica de ciclos o menor objeto entreparênteses deve iniciar o ciclo.

ρ = (1 2)(3 5 4) está na forma canônica.

Mas η = (4 3)(2 1 5) não está.

No entanto, girando os elementos do ciclo, podemosreescrevê-lo na forma canônica: η = (3 4)(1 5 2).


Permutações das facetas do Cubo

Os movimentos R, L, F, B, U, D permutam oconjunto das facetas.

Por exemplo,

Ful Fu Fur

FrFl

FdFld

Frd

UrfUf

LufLf

1

4

68

16

20

Ldf

1537

25179

10Ulf

F→

Ful Fu Fur

FrFl

FdFld

Frd

UrfUfUlf

LufLdf

Lf

36

20 1615

13

19

4 8 1

57

2

14

F = (Fur Frd F ld Ful)(Fr Fd F l Fu)

(Ruf Drf Ldf Ulf)(Rfd Dlf Luf Urf)

(Rf Df Lf Uf)




Por exemplo,

Ful Fu Fur

FrFl

FdFld

Frd

UrfUf

LufLf

1

4

68

16

20

Ldf

1537

25179

10Ulf

F→

Ful Fu Fur

FrFl

FdFld

Frd

UrfUfUlf

LufLdf

Lf

36

20 1615

13

19

4 8 1

57

2

14



(Rf Df Lf Uf)




Por exemplo,

Ful Fu Fur

FrFl

FdFld

Frd

UrfUf

LufLf

1

4

68

16

20

Ldf

1537

25179

10Ulf

F→

Ful Fu Fur

FrFl

FdFld

Frd

UrfUfUlf

LufLdf

Lf

36

20 1615

13

19

4 8 1

57

2

14



(Rf Df Lf Uf)Aprendendo Algebra com o Cubo Magico – p.9/34


Ful Fu Fur

FrFl

FdFld

Frd

UrfUf

LufLf

1

4

68

16

20

Ldf

1537

25179

10Ulf

F→

Ful Fu Fur

FrFl

FdFld

Frd

UrfUfUlf

LufLdf

Lf

36

20 1615

13

19

4 8 1

57

2

14

Usando os números {1, 2, . . . 48} ao invés dosnomes das facetas, temos

F=(1 2 3 4)(5 6 7 8)(9 11 13 15)(10 12 14 16)(17 18 19 20)

As facetas centrais giram em torno de si mesmas,por isso não aparecem nos ciclos.


Decomposição em ciclos

Um fato importante surge quando usamos a notaçãode ciclos: toda permutação se decompõe como“produto” de ciclos disjuntos.

Por exemplo, a permutação(

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 3 6 8 7 2 10 9 4 11 5

)

consiste de dois 3-ciclos e um 4-ciclo:

(2 3 6)(4 8 9)(5 7 10 11)

Para ver por que isso é importante, estudemosaplicações repetidas de um ciclo.





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 3 6 8 7 2 10 9 4 11 5

)


(2 3 6)(4 8 9)(5 7 10 11)






1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 3 6 8 7 2 10 9 4 11 5

)


(2 3 6)(4 8 9)(5 7 10 11)



Repetição de ciclos

I: 1 2 3

(1 2 3): 1 2 3

(1 2 3)2 = (1 3 2): 1 2 3

(1 2 3)3 = I: 1 2 3



O que está acontecendo?

A cada aplicação de (1 2 3), as bolas avançam para acaixa seguinte no ciclo.

Mas há apenas 3 caixas no ciclo. Por isso, após trêsaplicações as bolas retornam para onde estavam noinício.

Isso não acontece com menos de três aplicações,portanto a ordem de (1 2 3) é 3.

Em geral a ordem do n-ciclo (i1 i2 · · · in) é igual an. Para compreender a ordem de uma permutaçãoqualquer, vamos recordar o conceito de MMC.






























MMC

Considere os conjuntos M(4) = {4, 8, 12, 16, . . .} eM(6) = {6, 12, 18, . . .} dos múltiplos de 4 e de 6.

12 é o primeiro número comum entre os dois, i.e, omenor elemento deM(4) ∩ M(6) = {12, 24, 36, . . .} = M(12).

Dizemos que 12 é o Mínimo Múltiplo Comum de 4 e6, e escrevemos MMC(4,6)=12.

Como 4 = 22 e 6 = 2 · 3, vemos que o MMC é oproduto dos fatores comumns e não-comunselevados à maior potência, isto é 12 = 223.


MMC






MMC






MMC






Repetição de permutações

Agora consideremos σ = (1 2)(3 4 5), que consistede um 2-ciclo e um 3-ciclo.

Observe que esses ciclos não tem elementos emcomum. Por isso a cada aplicação de σ podemosolhar apenas para {1, 2} ou apenas para {3, 4, 5}.

Após 2 aplicações, os elementos de {1, 2} voltam àposição original. Isso ocorre para σ2, σ4, σ6, . . .

Após 3 aplicações, os elementos de {3, 4, 5} voltamà posição original. Isso ocorre para σ3, σ6, σ9, . . .

σ6 é o primeiro a aparecer em ambas as listas.Portanto, a ordem de σ é 6.






























Ordem de permutações

Observe que 6 é o MMC de 2 e 3.

Se uma permutação consiste de m-ciclos e den-ciclos disjuntos então sua ordem é o MMC(m, n).

Se σ consiste de ciclos de tamanhos 2, 3, 6, 7, entãosua ordem é MMC(2, 3, 6, 7) = 42.

Considere σ = (1 2)(3 4 5), que tem ordem 6.

O que acontece se repetirmos σ três vezes?

O 3-ciclo desaparece, mas não o 2-ciclo, logoσ3 = (1 2).

Embora σ mova 5 elementos, σ3 move apenas 2.
























































Aplicação de ciclos no Cubo

E se os objetos permutados fossem os cubinhos docubo?

A macro S = F 2L2 move exatamente 13 cubinhos,mas vimos na aula anterior que S3 move apenas 4:

S : S3 :

Ela troca dois pares de cubinhos.


Aplicação de ciclos no Cubo

S : S3 :

Dando nomes aos cubinhos, a macro S faz:(DF UF )(DL UL)(FL FR BL)(DFL UFR UBL)(DLB ULB DRF )

Após executar a macro S três vezes, os elementospresentes nos 3-ciclos voltam à sua posição original.

No entanto, os elementos dos 2-ciclos forampermutados um número ímpar de vezes, por issopermanecem trocados. Logo,S3 = (DF UF )(DL UL).


De permutações a grupos

O que alcançamos até o momento?

Até agora aprendemos o que são permutações ecomo representá-las convenientemente usando anotação de ciclos.

Aplicamos essa noção ao Cubo para estudar certasmacros, aprendendo como e por que elas funcionam.

Mas isso não é o bastante para respondermos àsquestões acima.

Precisamos de alguma coisa para captar maisinformações sobre as propriedades do Cubo.

Precisamos de Grupos.


































O que é um grupo?

Um grupo é um objeto matemático abstrato quepode ser definido de modo muito elegante comapenas alguns poucos axiomas.

A partir desses poucos axiomas, muitos teoremasinteressantes podem ser provados.

O conjunto de todas as permutações das facetas doCubo é um grupo, bem grande e complexo (mas nãoé infinito).

A seguir vamos dar a definição formal de grupo eestudar alguns exemplos familiares de grupos.

A teoria de grupos é bastante poderosa. Na próximaaula vamos usá-la usá-la para resolver o Cubo.


O que é um grupo?







O que é um grupo?







O que é um grupo?







O que é um grupo?







Definição de Grupo

Um grupo é um conjunto G com uma operação binária ∗possuindo as seguintes propriedades:

A operação ∗ é fechada: se g, h ∈ G entãog ∗ h ∈ G.

A operação ∗ é associativa: se f, g, h ∈ G então(f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h).

Existe elemento identidade e ∈ G: para todo g ∈ G,temos g ∗ e = e ∗ g = g.

Todo elemento tem inverso: se g ∈ G então existeg−1 ∈ G tal que g ∗ g−1 = g−1 ∗ g = e.























Observações

Note que algumas propriedades familiares podemnão estar presentes num grupo.

Por exemplo, em G pode ser que existam elementosg e h tais que g ∗ h 6= h ∗ g.

Como só há uma operação ∗ em G, por simplicidadeescrevemos apenas gh ao invés de g ∗ h.

Assim, definimos também g2 = g ∗ g = gg,g3 = ggg, g0 = e e g−n = (gn)−1.


Observações






Observações






Observações






Conseqüências imediatas

O elemento identidade é único: se e′ fosse outraidentidade, então ee′ = e, mas também ee′ = e′,logo e′ = e.

O elemento inverso é único: se h fosse outro inversode g, então gh = hg = e. Mas gg−1 = e, logoh = he = h(gg−1) = (hg)g−1 = eg−1 = g−1.

Portanto, em um grupo G, a equação gx = e temúnica solução x = g−1.

De fato, podemos trocar os dois últimos axiomaspelo seguinte: dados quaisquer g, h ∈ G, existesolução x ∈ G para a equação gx = h.




















Exemplos de Grupos

Talvez o exemplo mais conhecido de grupo seja oconjunto dos inteiros Z com a operação de adição.

Os conjuntos dos racionais Q, reais R e complexosC com a adição também são grupos.

O conjunto dos naturais N com a adição não égrupo. Apesar de ter identidade (0), nenhum de seuselementos positivos tem inverso.

Todos esses grupos são infinitos e comutativos, i.e,vale a ∗ b = b ∗ a para todo a e b no grupo.

Um grupo muito importante é o grupo trivial. Eleconsiste apenas do elemento 1, e satisfaz 1 ∗ 1 = 1.


Exemplos de Grupos







Exemplos de Grupos







Exemplos de Grupos







Exemplos de Grupos







Aritmética Modular

Considere o conjunto Zn = {0, 1, . . . , n − 1}.

Defina nesse conjunto a seguinte operação: paratodo a, b ∈ Zn, a ∗ b é o resto da divisão da adiçãousual a + b por n.

Por exemplo, se n = 4, então 2 ∗ 2 = 0, pois(2+2=4) tem resto 0 quando dividido por 4. Domesmo modo, 2 ∗ 3 = 1 e 3 ∗ 3 = 2.

Pode ser verificado que Zn com a operação ∗ formaum grupo comutativo finito. Se não houverconfusão, costuma-se escrever + ao invés de ∗.


Aritmética Modular






Aritmética Modular






Aritmética Modular






Aritmética Modular

Agora considere Z∗n = {1, 2, . . . , n − 1}.

Defina a ∗ b como sendo o resto da divisão doproduto usual a · b por n.

Se n = p é um número primo, então isso define umgrupo comutativo finito, mas não se n for composto.

Por exemplo, se n = 6, então 2 não tem inversopois: 2 ∗ 1 = 2, 2 ∗ 2 = 4, 2 ∗ 3 = 0 6∈ Z∗

n, 2 ∗ 4 = 2e 2 ∗ 5 = 4. Ou seja 2 ∗ x = 1 não tem solução nesseconjunto.

Tanto Zn, quanto Z∗p são grupos cíclicos: seus

elementos são da forma 1, g, g2, . . . para algumg 6= e.


Aritmética Modular









Aritmética Modular









Aritmética Modular









Aritmética Modular









Um grupo não-comutativo

Todos os grupos vistos acima são comutativos, istoé, a ∗ b = b ∗ a para todo a, b no grupo.

Considere agora o conjunto

GL2(R) =

{(

a b

c d

)

| ad − bc 6= 0

}

.

Esse conjunto forma um grupo com a multiplicaçãode matrizes, pois det(AB) = det(A) det(B).

No entanto, se A =

(

1 0

1 1

)

e B =

(

1 1

0 1

)

,

então AB =

(

1 1

1 2

)

mas BA =

(

2 1

1 1

)

.





GL2(R) =

{(

a b

c d

)

| ad − bc 6= 0

}

.


No entanto, se A =

(

1 0

1 1

)

e B =

(

1 1

0 1

)

,

então AB =

(

1 1

1 2

)

mas BA =

(

2 1

1 1

)

.





GL2(R) =

{(

a b

c d

)

| ad − bc 6= 0

}

.


No entanto, se A =

(

1 0

1 1

)

e B =

(

1 1

0 1

)

,

então AB =

(

1 1

1 2

)

mas BA =

(

2 1

1 1

)

.





GL2(R) =

{(

a b

c d

)

| ad − bc 6= 0

}

.


No entanto, se A =

(

1 0

1 1

)

e B =

(

1 1

0 1

)

,

então AB =

(

1 1

1 2

)

mas BA =

(

2 1

1 1

)

.


Lembram-se das simetrias?

Uma simetria é um movimento de um objetogeométrico que o faz parecer sempre o mesmo.

Por exemplo, há quatro simetrias de uma elipse quea faz parecer sempre a mesma:

(1) Não fazer nada com a elipse.(r) Girar a elipse 180 graus por seu centro.(a) Refletir a elipse pelo seu eixo-menor.(b) Refletir a elipse pelo seu eixo-maior.

rb

a


Lembram-se das simetrias?

O conjunto G = {1, r, a, b} com a operação ∗definida por fazer o primeiro movimento depois osegundo, forma um grupo.

Podemos descrever a “tabuada” de ∗:

∗ 1 r a b

1 1 r a b

r r 1 b a

a a b 1 r

b b a r 1


Grupos de Permutações

Certos conjuntos de permutações também formamgrupos. A operação ∗ é simplesmente aplicar aprimeira permutação depois aplicar a segunda.

Isto é, se a é uma permutação e b é outra, então a ∗ bé aplicar a depois aplicar b. Por simplicidade,costuma-se escrever apenas ab.

O conjunto de todas as permutações das facetas doCubo forma um grupo R chamado Grupo de Rubik.

Ele consiste dos movimentos L, R, F, B, U, D e detodas as macros S, assumindo que duas macros queproduzem o mesmo resultado são vistas comoiguais, por exemplo F e F 5 são o mesmo elementodo grupo R.


















Ele consiste dos movimentos L, R, F, B, U, D e detodas as macros S, assumindo que duas macros queproduzem o mesmo resultado são vistas comoiguais, por exemplo F e F 5 são o mesmo elementodo grupo R. Aprendendo Algebra com o Cubo Magico – p.25/34


O número total de elementos do grupo R éexatamente o número de todas as possíveisconfigurações do Cubo.

Isso não significa que R deva conter todas aspermutações das facetas, mas apenas aquelas quepodem ser atingidas por meio dos movimentosacima.

Achando o tamanho de R responderemos à segundapergunta feita no início.

Se uma permutação não está em R então aconfiguração correspondente é impossível no Cubo.Isso responde à primeira pergunta.




















Multiplicando Permutações

Suponhamos que o conjunto a ser permutado seja{1, 2, 3, 4, 5}.

Desejamos fazer σ = (1 2 4)(3 5) seguido deτ = (1 3 5)(2 4), isto é, obter o produto dessaspermutações.

Basta seguir, cada elemento do conjunto e ver ondeele irá parar.

Por exemplo, σ leva 1 no 2 e τ leva 2 no 4, logo 1vai no 4, ou seja σ ∗ τ = (1 4 . . .

Em seguida, σ leva o 4 no 1 e τ leva o 1 no 3, o quedá σ ∗ τ = (1 4 3 . . .































Depois σ leva 3 no 5 e τ leva 5 no 1, fechando ociclo, ou seja, σ ∗ τ = (1 4 3) . . .

Ainda, σ leva 2 no 4 e τ leva 4 no 2, logo o 2 não semove. Como temos apenas 5 elementos, o 5 tambémnão se move.

Conclusão: (1 2 4)(3 5) ∗ (1 3 5)(2 4) = (1 4 3).

Daqui por diante vamos abandonar a ∗ e escreverapenas (1 2 4)(3 5)(1 3 5)(2 4) = (1 4 3).

É bom lembrar que a ordem faz diferença:(1 2)(1 3) = (1 2 3) mas (1 3)(1 2) = (1 3 2).





Conclusão: (1 2 4)(3 5) ∗ (1 3 5)(2 4) = (1 4 3).







Conclusão: (1 2 4)(3 5) ∗ (1 3 5)(2 4) = (1 4 3).







Conclusão: (1 2 4)(3 5) ∗ (1 3 5)(2 4) = (1 4 3).







Conclusão: (1 2 4)(3 5) ∗ (1 3 5)(2 4) = (1 4 3).




O Grupo Simétrico Sn

O grupo simétrico Sn é o grupo de todas aspermutações do conjunto {1, 2, . . . , n}. Já sabemosque ele tem n! elementos.

Por exemplo, se n = 3, temosS3 = {1, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}, quetem exatamente 3! = 6 elementos.

Em Sn é curioso notar o seguinte:(1 2) = (1 2)

(1 2)(1 3) = (1 2 3)

(1 2)(1 3)(1 4) = (1 2 3 4)

(1 2)(1 3)(1 4)(1 5) = (1 2 3 4 5)e não é difícil ver que esse padrão continua.






(1 2)(1 3) = (1 2 3)

(1 2)(1 3)(1 4) = (1 2 3 4)







(1 2)(1 3) = (1 2 3)

(1 2)(1 3)(1 4) = (1 2 3 4)




Portanto, todo n-ciclo se escreve como produto de2-ciclos. Mais ainda, se n é par, o número de2-ciclos é impar e se n é impar o número de doisciclos é par.

Como cada permutação pode ser escrita comoproduto de ciclos disjuntos, toda permutação seescreve como produto de 2-ciclos.

É claro que há infinitas maneiras de se fazer isso,por exemplo:(1 2 3) = (1 2)(1 3) = (1 2)(1 3)(1 2)(1 2) = · · ·,mas pode ser mostrado que o número total de2-ciclos é sempre par ou sempre impar.












Permutações Pares e Ímpares

Dizemos que uma permutaçao σ é par se ela seescreve como produto par de 2-ciclos. Casocontrário, dizemos que σ é ímpar.

(1 2 4)(3 5) = (1 2)(1 4)(3 5) é ímpar, mas(1 4 3) = (1 4)(1 3) é par. É claro que1 = (1 2)(1 2) é par.

Talvez não seja muito surpreendente que metade doselementos de Sn é par e a outra metade é ímpar.

A metade par, An, forma um grupo por si mesma,chamado grupo alternante. A metade ímpar não égrupo pois 1 ∈ An. Dizemos que An é um subgrupode Sn.




















Paridade no Cubo

Recordemos que o efeito de F nas facetas da facefrontal é exatamente(Fur Frd F ld Ful)(Fr Fd F l Fu), ou seja, umapermutação par.

Portanto, não existe nenhuma combinação demovimentos que consiga trocar apenas um par decubinhos, pois isso só pode ser conseguido com umapermutação impar.

No entanto, vimos acima que (F 2L2)3 troca 2 paresde cubinhos. Também já vimos na aula anterior queexistem macros para trocar ciclicamente 3 cubinhosde mesmo tipo. Claramente, essas permutações sãotodas pares.


Paridade no Cubo





Paridade no Cubo





Paridade e cubinhos de aresta

Observe atentamente a configuração dos cubinhosde aresta antes e depois do movimento F :

z

x

y

F→

z

x

y

Para cada cubinho de aresta, exatamente um par deflexas (em azul) foi invertido.


Paridade e cubinhos de aresta

Sempre exatamente um número par de cubinhos égirado.

z

x

y

F→

z

x

y

Portanto não é possível girar um único cubinho dearesta deixando os demais como estão.


Paridade dos cubinhos de canto

Sempre a rotação total dos oito cubinhos de cantodeve ser congruente a zero módulo 360◦.

Para ver isso, marcamos os 4 cubinhos do topo e os4 cubinhos de baixo e giramos uma face adjacente:

F→



Sempre a rotação total dos oito cubinhos de cantodeve ser congruente a zero módulo 360◦.

Para ver isso, marcamos os 4 cubinhos do topo e os4 cubinhos de baixo e giramos uma face adjacente:

F→



Olhando para um canto ao longo de uma retapassando pelo vértice e pelo centro do cubinho, há 3possíveis orientações para um cubinho:

A marca está em cima ou em baixo: o cubinhonão sofreu rotação (0◦).A marca está girada 120◦ no sentido horário.A marca está girada 240◦ no sentido horário.

Se somarmos todos esses números para os oitocantos, teremos um múltiplo de 360◦, ou seja arotação total será congruente a zero.

De fato, observe que dois cantos foram girados de120◦ e dois de 240◦.




A marca está em cima ou em baixo: o cubinhonão sofreu rotação (0◦).

A marca está girada 120◦ no sentido horário.A marca está girada 240◦ no sentido horário.






A marca está em cima ou em baixo: o cubinhonão sofreu rotação (0◦).A marca está girada 120◦ no sentido horário.

A marca está girada 240◦ no sentido horário.






















O tamanho do grupo R

Primeiro desconsideremos todas as restrições: há 8posições possíveis para um cubinho de canto e 12posições possíveis para um cubinho de aresta, numtotal de 8! · 12! rearranjos.

Cada cubinho de canto deve estar em uma das 3possíveis rotações, num total de 38 possibilidades.

Cada cubinho de aresta deve estar girado ou não,num total de 212 possibilidades.

Até agora isso dá um total de 8! · 12! · 38 · 212

rearranjos.







rearranjos.







rearranjos.







rearranjos.



Mas apenas 1/3 desses rearranjos terá a orientaçãocorreta dos cantos. Desses apenas 1/2 terá aorientação das arestas correta e finalmente, destesapenas 1/2 terá a paridade correta (par).

Portanto, o tamanho de R é

8! · 12! · 212 · 38

3 · 2 · 2= 43.252.003.274.489.856.000,

ou aproximadamente 4 × 1019 elementos.



Mas apenas 1/3 desses rearranjos terá a orientaçãocorreta dos cantos. Desses apenas 1/2 terá aorientação das arestas correta e finalmente, destesapenas 1/2 terá a paridade correta (par).

Portanto, o tamanho de R é

8! · 12! · 212 · 38

3 · 2 · 2= 43.252.003.274.489.856.000,

ou aproximadamente 4 × 1019 elementos.


Quão grande é 4 × 1019?

Para se ter uma idéia do tamanho de R, estima-se que onúmero total de estrelas no universo conhecido seja 1021,ou seja apenas 25 vezes mais do que o número total deconfigurações do cubo.

A Companhia de Brinquedos Ideal afirmava nacaixa do Cubo Mágico original que ele poderiaatingir mais de três bilhões de possíveisconfigurações. Isto é o mesmo que oMacDonald’s orgulhosamente anunciar que elesjá venderam mais de 120 hamburgers.– J. A. Paulos, Innumeracy


Fim da aula 2

Permutações, grupos e as Configurações do Cubowww.dm.ufscar.br/˜waldeck/rubik/


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Aprendendo Álgebra Com o Cubo