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APRENDIZAGEM DE NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA FRACIONÁRIA POR MEIO DA MODELAGEM MATEMÁTICA
Autor: Jarmes Venâncio Ramos1 Orientador: M. Sc. Daniel de Lima2
RESUMO Este artigo procura mostrar como se desenvolveu o Projeto de Intervenção Pedagógica, da etapa de Implementação e da Produção Didático-Pedagógica realizados para o Programa de Desenvolvimento Educacional do Paraná – PDE. Esta intervenção teve como objetivo capacitar os alunos do 4º ano do Curso de Formação de Docentes, futuros professores das séries iniciais da Educação Básica, do Colégio Estadual Ary João Dresch – EFMNP, da cidade Nova Londrina Núcleo Regional de Educação de Loanda – PR. Procurou-se utilizar a Modelagem Matemática como uma alternativa para explorar o tema números racionais que servirá de aporte aos conceitos, sendo que com estes serão estabelecidos vínculos para quantificar, qualificar, selecionar e contextualizar informações de maneira que sejam incorporadas às experiências do cotidiano. A implementação foi realizada sob forma de oficinas. Utilizou-se também, aliado à Modelagem Matemática, a resolução de problemas, exercícios com frações e material manipulativo construídos pelos próprios alunos. Como o projeto teve como público alvo futuros docentes, o foco esteve no desenvolvimento de atividades práticas que serão utilizadas nas séries iniciais da educação básica, aumentando a motivação dos alunos para o estudo dessa disciplina.
Palavras chaves: Ensino de frações; Modelagem matemática; Material manipulável.
ABSTRACT This paper aims at demonstrating how the Pedagogical Intervention Project (Projeto de Intervenção Pedagógica), developed during the Pedagogical Implementation and Production (Implementação e Produção Didático-Pedagógica) stage and part of the State Educational Development Program (Programa de Desenvolvimento Educacional), has been carried out. Such an intervention aimed at enabling Teaching Training 4th grade students, from Colégio Estadual Ary João Dresch – EFMNP, located in the city of Nova Londrina, member of Loanda School Board, to 1 Professor da Rede Pública de Educação Básica do Estado do Paraná, atua no colégio Estadual Ary
João Dresch. Graduado em Matemática pela UNOESTE. Especialização em: Didática e Metodologia do Ensino pela UNOPAR. 2 Professor Assistente do Colegiado de Matemática da UNESPAR – FAFIPA. Mestre em Métodos
Numéricos Aplicados à Engenharia pela Universidade Federal do Paraná (2004). Tem experiência na área de Matemática, com ênfase em Modelagem Matemática, atuando principalmente nos seguintes temas: Pesquisa Operacional, Programação Linear e Otimização.
1
teach Fractional Rational Numbers to Basic Education students. Mathematical Modeling has been used by means of strategy to explore the theme of rational numbers which will contribute for the comprehension of the concepts with which rational numbers will be linked in order to quantify, qualify, select and contextualize information aimed at being incorporated to the Basic Education students` daily life. In addition to Mathematical Modeling; problem solving, fraction activities as well as manipulatives (developed by the students) have also been used. Once the project has had training teachers as its target audience, it has focused on practical activities which might be used for Basic Education first grades. This approach has been demonstrated to motivate these teachers- to-be studies on the subject. The work has been carried out during workshops.
Keywords: Fraction teaching. Mathematical Modeling. Manipulatives.
1- INTRODUÇÃO
Ao se atuar como professor de Matemática na escola de educação básica no
Ensino Fundamental e Médio pode-se observar diariamente as dificuldades dos
estudantes em trabalhar com os números racionais, e em particular com as frações.
A presença constante dessas dificuldades sempre trouxe incomodo, o que, em tese,
espera-se que leve ao interesse pelo ensino e aprendizagem das frações. O trabalho
foi desenvolvido com os alunos do Curso de Formação de Docentes, onde iniciou-se
conhecendo as concepções desses futuros professores sobre essa área do
conhecimento matemático para discutir em que medida tais concepções influenciam
sua prática pedagógica. Diante disso, a indagação a ser respondida foi: Como
ensinar Frações por meio da Modelagem Matemática? De acordo com informações
vindas desses alunos, diversas são as dificuldades na compreensão e no uso do
conceito de frações como também nas operações que as envolve. Com o objetivo
de auxiliá-los na superação dessas dificuldades e introduzi-los num processo
reflexivo sobre o ensino deste conceito, realizou-se oficinas, nas quais,
paralelamente, trabalhou-se com material concreto, materiais manipuláveis, jogos,
resolução de problemas, discussão das soluções e a formalização dos conceitos
envolvidos.
É sabido que a matemática faz parte da vida de todos nós, sendo que é
utilizada nas mais variadas situações do dia-a-dia e desta forma, se colocando como
2
base de quase todas as áreas do conhecimento humano, desenvolvendo os níveis
de aprendizagem e criatividade.
O futuro depende da imaginação criadora da humanidade do nosso tempo
atual e posterior. Hoje, um grande desafio para o professor é fazer com que o aluno
compreenda o seu papel na sociedade, de agente ativo e transformador da sua
realidade enxergando a importância da Matemática no seu dia-a-dia.
Este projeto apresentou a Modelagem Matemática como uma proposta para
explorar o tema Números Racionais que servirá de aporte aos conceitos, com os
quais serão estabelecidos vínculos para quantificar, qualificar, selecionar e
contextualizar informações de maneira que sejam incorporadas às experiências do
cotidiano. Como o projeto atendeu futuros docentes, o foco esteve em desenvolver
atividades práticas que poderão ser utilizadas nas séries iniciais da Educação
Básica, aumentando a motivação dos alunos para o estudo dessa disciplina
1.1 - A FORMAÇÃO DO PROFESSOR DAS SÉRIES INICIAIS DA EDUCAÇÃO
BÁSICA
A discussão que permeia a formação do professor tem sido amplamente
difundida nas últimas décadas, principalmente, porque se tem observado que a
deficiência nesse processo de construção da perspectiva educacional é também um
fator determinante dos resultados negativos que se tem obtido com o trabalho
referente à educação matemática nas escolas ao longo dos anos.
Para atuar como professor nos anos iniciais do Ensino Fundamental no
Brasil, não se exige formação especifica em uma área do conhecimento. Conforme a
LDB 9394/96, o Curso de Formação de Docentes, em nível médio habilita o futuro
professor. Em 1996, a LDB (Lei de Diretrizes e Bases da Educação), em seu artigo
62 institui que:
A formação de docentes para atuar na educação básica far-se-á em nível superior, em curso de licenciatura, de graduação plena, em universidades e institutos superiores de educação, admitida, como formação mínima para o exercício do magistério na educação infantil e nas quatro primeiras séries do ensino fundamental, a oferecida em nível médio, na modalidade Normal.
3
Nessa perspectiva, observa-se que a partir de 2007 conforme a legislação
os professores que tenham o diploma do curso normal, em nível médio estão
habilitados a trabalharem com a educação infantil e as séries iniciais do ensino
fundamental. Assim, eles perante a lei estão habilitados para atuarem no ensino da
matemática das séries iniciais do ensino fundamental.
Com essa observação já se verifica que o profissional desta etapa escolar
não possui, na verdade, conhecimento aprofundado em nenhuma área, sabe ou
supõe-se que sabe o que é básico e geral.
Assim sendo, é de extrema importância que durante sua formação estes
futuros professores tenham contato com diferentes técnicas para facilitar o
aprendizado visto que, o professor é quem diretamente sistematiza e planeja as
aulas a serem trabalhadas dentro da sala de aula, assim vislumbra-se ser ele que,
dentro de suas possibilidades, organiza sua ação pedagógica dentro da melhor
perspectiva de aprendizagem para seus alunos.
Conforme Lorenzato (2006), a importância da utilização de material de apoio
visual ou visual–tátil como facilitador de aprendizagem vem sendo discutidos como
de extrema importância por vários educadores. O autor defende a necessidade dos
professores utilizarem atividades dinamizadoras para o trabalho com os conteúdos,
em forma de material didático ele define Material Didático (MD) como qualquer
instrumento que facilite o processo de ensino aprendizagem que pode ser desde um
giz, calculadora, filme, quebra cabeça, entre outros.
Nestas concepções, ele compreende que o uso Material Didático bem
utilizado poderá auxiliar o professor na sua práxis pedagógica servindo como uma
ferramenta para que os alunos enxerguem a matemática com outros olhos e que um
número maior de alunos goste mais desta disciplina.
No entanto, é importante que o professor - peça chave no processo de
ensino e aprendizagem - saiba como utilizá-lo. Isto é, ele deve ter claro qual o
conteúdo que se pretende trabalhar e quais os objetivos que almeja atingir.
Lorenzato (2006, p.24) destaca ainda que:
O professor de matemática, ao planejar sua aula, precisa perguntar-se: será conveniente, ou até mesmo necessário, facilitar a aprendizagem com algum material didático? Com qual? Em outras palavras o professor está respondendo as questões: “Por que material didático?”, “Qual é o material didático?” e “Quando utilizá-lo?”. Em seguida, é preciso perguntar-se: “Como este material
4
deverá ser utilizado?”. Está última questão é fundamental, embora não suficiente, para que possa ocorrer uma aprendizagem significativa.
Nota-se aqui a importância de utilizar materiais didáticos de forma planejada,
pois se isso não ocorrer os resultados não poderão ser positivos. Ainda destaca que
apesar do planejamento pode ocorrer de o professor não conseguir atingir todos os
seus objetivos.
1.2 - O ENSINO E APRENDIZAGEM DAS FRAÇÕES
As frações surgiram para solucionar problemas da vida do homem e já eram
usadas desde a Antiguidade. Os egípcios (por volta de 200 a.C.) usavam as frações
unitárias, os babilônios, as sexagesimais e os gregos descobriram as frações como
razão entre inteiros (BROLEZZI, 1996). Durante muito tempo o desenvolvimento foi
lento e veio a se concretizar com o desenvolvimento da aritmética e do cálculo. Com
ele, ficou claro que as frações se submetiam às mesmas regras que os inteiros.
Dessa forma, os números, que antes serviam apenas para funções restritas,
tornaram-se “marcas” úteis para inúmeros usos (FERREIRA, 2001).
Atualmente, com as calculadoras, o uso social diminuiu, mas não diminuiu
sua importância, pois “seu estudo se justifica, entre outras razões, por ser
fundamental para o desenvolvimento de outros conteúdos matemáticos (proporções,
equações, cálculo algébrico)” (BRASIL, l998, p.103).
O novo milênio trouxe para a sociedade grandes desafios e para os
educadores um desafio maior, “[...] entre eles o de antever e propor à sociedade um
novo cidadão, que comandará a economia, a produção, o lazer e outras atividades
que ainda surgirão nas próximas décadas.” (BIEMBENGUT; 2000, p.9). Para a
educação matemática, esses desafios são ainda maiores, pois toda atividade
praticada por um individuo envolve matemática, desde a mais simples até as mais
complexas, por isso, devemos utilizar toda articulação possível para aprender e
ensinar Matemática.
Devido a essa constante transformação, nós educadores temos que estar
sempre atentos às mudanças sociais, tecnológicas e cientificas para desenvolver um
5
pensamento critico e estar preparados para as abordagens curiosas dos alunos em
sala de aula. Segundo Lima (1999, p.5).
Quem usa a mente como instrumento de trabalho não pode deixar de cultivar, diariamente, a inteligência. Os professores, por exemplo, precisam atualizar-se permanentemente, acompanhando o desenvolvimento da ciência e da tecnologia (os mestres são os intermediários entre as pesquisas, descobertas e inovações, e as novas gerações).
Essa curiosidade natural dos alunos leva-os a aprendizagem, e partindo dos
conhecimentos matemáticos já adquiridos, que se consegue levá-los à construção
de um conhecimento mais elaborado, com apropriação dos conceitos de forma
prazerosa e legítima; não podemos nos enganar achando que nossos alunos são
como páginas em branco, onde podemos escrever nelas, da forma que achamos
mais fácil ou mais correta, não, os alunos mesmo nas séries iniciais já trazem
consigo uma bagagem muito significativa de conhecimento matemático. D’Ambrosio
(2005, p.18) diz que: “todo indivíduo vivo desenvolve conhecimentos e tem um
comportamento que reflete esse conhecimento, que por sua vez vai-se modificando
em função dos resultados do comportamento. Para cada indivíduo, seu
comportamento e conhecimento estão em permanente transformação”
2 - MODELAGEM MATEMÁTICA
Conforme as Diretrizes Curriculares de Matemática do Estado do Paraná
(2008), o ensino de Matemática deve contribuir para que o aluno tenha condições de
constatar regularidades, generalizações e apropriação de linguagem adequada para
descrever e interpretar fenômenos matemáticos e de outras áreas do conhecimento.
E modelagem matemática está presente na vida do homem desde os tempos
remotos, ao utilizar conhecimentos matemáticos para modelar e resolver situações
problemáticas com as quais se deparava. Quando esses conhecimentos se
mostravam insuficientes, a busca de novos objetos e/ou relações matemáticas fazia-
se necessário (Costa e Ghedin, 2007). Eis alguns modelos importantes criados pelo
homem: a roda inventada pelos sumérios no ano 3000 a.C.; o modelo criado por
Eratóstenes (276-196 a.C) para calcular a circunferência da Terra e os modelos
6
criados por Galileu Galilei (1564-1642) para a queda dos corpos e para o movimento
parabólico dos projéteis.
A Modelagem Matemática é uma metodologia alternativa que pode ser
utilizada em todos os níveis de ensino, pois o grande desafio hoje é fazer com que o
aluno compreenda o seu papel na sociedade, de agente ativo e transformador da
sua realidade, e a importância da matemática no seu dia-a-dia e, existem também
outros desafios a serem vencidos, como por exemplo, a falta de apoio das
instituições de ensino no sentido de viabilizar condições necessárias e suficientes às
praticas de ensino alternativos, a própria desmotivação por parte do professor que
exerce uma carga excessiva de horas de trabalho, falta de interesse por parte dos
alunos, indisciplina, resistência por parte de outros professores da área que estão
“acostumados” com o ensino tradicional e se opõem a tentativa de buscar novas
metodologias de ensino se opondo às mudanças, pois obrigaria à estes uma
reciclagem em sua metodologia de ensino, o programa do currículo é previamente
estabelecido não dando muitas vezes a oportunidade do professor variar sua
metodologia de ensino, pois é necessário “cumprir” o programa (que é inflexível),
entre outros.
A fim de romper com essas barreiras epistemológicas, a modelagem
matemática surge para desenvolver ambientes de investigação em sala de aula que
privilegiem a construção e aplicação dos conceitos, respeitando os aspectos
históricos, teóricos e de relacionamento com outras ciências. Este trabalho será
embasado em autores que discutem a modelagem matemática na educação em
diferentes níveis de ensino e contextos.
Para Bassanezi (2002), faz-se necessário buscar alternativas de ensino
aprendizagem que facilitem a compreensão da matemática e sua utilização.
Segundo o autor, a modelagem matemática é capaz de unir a teoria e prática,
motivar o aluno no entendimento da realidade que o cerca e na busca de meios para
agir sobre ela e transformá-la.
Segundo Burak (2004), a modelagem matemática vem ao encontro das
expectativas do educando, por dar sentido ao que ele estuda, por satisfazer suas
necessidades, seus interesses, realizando seus objetivos. O aluno passa a trabalhar
com mais entusiasmo e perseverança formando atitudes positivas em relação às
frações, ou seja, há o despertar do gosto pela disciplina.
7
Barbosa (2004, p. 4), ao discutir atividades de modelagem na educação
matemática desenvolvidas no ensino, sintetiza que modelagem matemática “é um
ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a problematizar e
investigar, por meio da matemática, situações com referência na realidade”. O autor
registra situações com modelagem matemática desenvolvidas em sala de aula e as
conquistas obtidas em favor da educação matemática.
Caldeira (2004), ao se referir à modelagem matemática, enfatiza a
necessidade dos conhecimentos para o aluno atuar como sujeito de transformação
social e sugere que essa aprendizagem parta do contexto sociocultural do aluno,
proporcionando-lhe o desenvolvimento do pensamento lógico, da criatividade, de
aprender conceitos e de construir estruturas matemáticas, a fim de compreender a
realidade social, histórica e cultural.
Diante desses argumentos, entende-se que a modelagem matemática faz
sentido para a aprendizagem a partir do contexto do aluno, pois o mesmo passa a
ser um agente ativo no processo de construção do saber. Portanto, para
desenvolver este trabalho os dados a serem pesquisados deverão estar no contexto
dos alunos favorecendo a aprendizagem da disciplina e o professor deve estar
ciente do contexto no qual seu aluno está inserido.
2.1- POR QUE FAZER MODELAGEM MATEMÁTICA?
Hoje quando se fala em Educação Matemática, almeja-se um ensino que
possibilita aos estudantes análises, discussões, conjecturas, apropriação de
conceitos e formulação de idéias. “Aprende-se Matemática não somente por sua
beleza ou pela consistência de suas teorias, mas, para que, a partir dela, o homem
amplie seu conhecimento e, por conseguinte, contribua para o desenvolvimento da
sociedade” (SEED/PR, 2008, p.48).
A educação matemática apresenta certo grau de complexidade, pois “[...]
exige uma constante superação de conflitos, rupturas, retornos, e esses obstáculos
integram as ações de aprender e de ensinar” (PAIS, 2006, p.8). Tais dificuldades
podem ser percebidas quando aos conceitos matemáticos são colocados os
conhecimentos do cotidiano, ou reciprocamente.
8
Propõe-se neste trabalho, fazer uma análise de como está acontecendo o
ensino dos números racionais representados por frações no Ensino Médio e, mais
especificamente no Curso de Formação de Docentes com o objetivo de procurar
possíveis caminhos que possam conduzir a uma prática do ensino de Frações
utilizando a Modelagem Matemática.
Sabe-se que alguns aplicativos de modelagem e simulação tem auxiliado
estudantes e professores a visualizarem, generalizarem e representarem o fazer
matemático de uma maneira passível de manipulação, pois permitem construção,
interação, trabalho colaborativo, processos de forma dinâmica e o confronto entre a
teoria e a prática.
Portanto, pretende-se pesquisar maneiras de ensinar o conteúdo Números
Racionais para os futuros professores proporcionando uma formação diferenciada e
contextualizada das Frações.
2.2 TIPOS DE MODELAGEM
Classifica-se Modelagem Matemática em três tipos:
- O professor apresenta a descrição de uma situação-problema, com as
informações necessárias à sua resolução e o problema formulado, cabendo aos
alunos o processo de resolução;
- O professor traz para a sala um problema de outra área da realidade,
cabendo aos alunos a coleta das informações necessárias à sua resolução;
- A partir de temas não-matemáticos, os alunos formulam e resolvem
problemas. Eles também são responsáveis pela coleta de informações e
simplificação das situações-problema.
2.3 BENEFÍCIOS PARA OS ALUNOS AO TRABALHAR COM MODELAGEM
MATEMÁTICA
9
Como método científico a modelagem apresenta algumas características de
investigação que também se fazem presentes quando aplicada no ensino.
Conforme Ponte e colaboradores (2005: 13), investigar em Matemática "é
descobrir relações entre objetos matemáticos conhecidos ou desconhecidos,
procurando identificar as respectivas propriedades". Envolve quatro momentos:
exploração e formulação de questões, organização de dados e formulação de
conjecturas, realização de testes e reformulação das conjecturas, justificação e
avaliação.
Diante dessas características investigativas apresenta algumas
potencialidades que permite aos alunos desenvolver uma aprendizagem
significativa. Dentre os argumentos favoráveis a sua utilização no ensino, Barbosa
(2004a, 2004b), Bassanezi (2004) e Monteiro e Junior (2001) destacam:
A motivação dos alunos e do próprio professor uma vez que os alunos são
convidados a participar de um ambiente de investigação por meio da Matemática,
situações oriundas de outras áreas da realidade. Conforme (Barbosa, 2001, p.6-7).
"A investigação é o caminho pelo qual a indagação se faz. É a busca, seleção,
organização e manipulação de informações." Envolve quatro momentos: exploração
e formulação de questões, organização de dados e formulação de conjecturas,
realização de testes e reformulação das conjecturas, justificação e avaliação.
(Ponte et al., 2005). É neste sentido que este ambiente se aproxima daquele
proposto para o ensino de Matemática.
2.4 - CONDIÇÕES PARA IMPLEMENTAÇÃO DA MODELAGEM MATEMÁTICA
NA ESCOLA.
É importante que o professor conheça as etapas da modelagem para que
possa definir os responsáveis (aluno e/ou professor) pelas atividades de cada etapa
e adequar sua aplicação à realidade da turma, considerando aspectos como: os
conceitos prévios estudados pelos alunos; o conteúdo programático a ser
desenvolvido; os objetivos conceituais, o grau de desenvolvimento do aluno bem
como o seu processo de evolução; o tempo para sua aplicação e a experiência do
professor com atividades de modelagem.
10
As etapas para aplicação da modelagem matemática em cursos regulares
são apresentadas por autores como Biembengut e Hein (2003), Bassanezi (2004) e
Rosa (20001 apud Rosa 2005) com características comuns, exceto o diagnóstico,
encontrado apenas em Biembengut e Hein (2003). Estas etapas são sugeridas como
uma forma de minimizar as dificuldades para sua aplicação. Um esquema das
principais etapas é apresentado na figura 1.
fonte: pepsic.bvsalud.org/img/revistas/cc/v14n3/a10fig
No diagnóstico o professor deverá fazer um levantamento sobre a realidade
sócio-econômica, os interesses e metas dos alunos, o conhecimento matemático
que possuem; considerar o tempo disponível para realização de trabalho extraclasse
e destinar um número de horas-aula para orientação do trabalho.
1- Escolha do tema: com base no diagnóstico, o(s) tema(s) pode(m) ser
escolhido(s) pelo professor, pelos alunos ou em conjunto. Biembengut e Hein (2003)
sugere que o professor selecione possíveis temas para que os alunos não escolham
um tema inadequado ao desenvolvimento do conteúdo desejado ou um tema
complexo em relação ao conhecimento matemático que possuem. Caso sejam
escolhidos vários temas, os estudantes devem ser distribuídos em grupos que
11
possuem o mesmo interesse de pesquisa e que desenvolva no mínimo o conteúdo
programático.
2- Interação com o tema: faz-se um estudo (coleta de informações) sobre o
tema escolhido através de visitas técnicas a órgãos e profissionais, pesquisa na
internet, livros, revistas, entrevistas, reportagens de jornais ou experimentos. Caso
os alunos não tenham acesso à internet, ou para otimizar o tempo, o professor pode
fornecer os dados (Rosa, 2005; Barbosa, 2001, 2004a) nas empresas.
Os estudantes devem propor questões que de uma maneira geral,
inicialmente são bastante simples, podendo ser solucionadas utilizando conceitos
matemáticos que já conhecem. O professor pode, então, ajudá-los a formular
questões mais complexas que permitam desenvolver o novo conteúdo programático
e possibilite fazer generalizações com a utilização de analogias com situações
correlatas (Rosa, 2005).
Os itens 1 e 2 relacionados anteriormente no esquema estão dentro da
realidade das escolas, mas não fazem parte do ensino da Modelagem. Portanto a
Modelagem Matemática inicia-se a partir dos próximos itens.
3- Formulação do problema: o professor deve auxiliar os estudantes na
formulação do(s) problema(s) matemático(s) relacionado(s) ao tema, das hipóteses
utilizando a simbologia adequada e descrevendo as relações em termos
matemáticos, uma vez que a transferência da linguagem verbal para linguagem
matemática é na maioria das vezes uma tarefa que exige esforço dos alunos. Na
medida em que se está formulando ou resolvendo o problema, o conteúdo
programático vai sendo desenvolvido. Deste modo, a matemática vai sendo
desenvolvida à medida que se faz necessária (Rosa, 2005).
4- Elaboração dos modelos matemáticos: o professor deve orientar os
estudantes na construção do modelo devido sua natureza conceitual e abstrata.
Deve-se indicar porque algumas características do modelo foram consideradas e
outras rejeitadas. A partir do modelo obtido, os estudantes podem elaborar
estratégias que os auxiliam na explicação, análise e resolução do problema.
5- Resolução dos problemas matemáticos: nesta etapa, os conceitos
matemáticos que foram identificados na elaboração dos modelos matemáticos
devem ser sistematizados. (Rosa, 2005). O professor deve mostrar outros exemplos
e propor exercícios para que o conteúdo não se restrinja ao modelo obtido,
12
permitindo assim, que o aluno aprimore a apreensão dos conceitos (Biembengut e
Hein, 2003).
6- Interpretação da solução: cada grupo/estudante deve avaliar e interpretar
a solução, verificando a adequação da solução obtida ao modelo utilizado. A
interpretação da solução envolve uma retomada dos conceitos matemáticos que
estão relacionados ao problema. Por isso, recomenda-se que a interpretação do
resultado obtido com a resolução do modelo matemático seja realizada de diferentes
maneiras: analítica, gráfica, geométrica ou algébrica (Rosa, 2005).
7-Validação da solução: o resultado obtido pelo modelo matemático é
comparado com o sistema "real".
8- Exposição escrita e oral do trabalho: esta etapa é importante, pois muitas
vezes, os alunos não possuem um registro escrito organizado daquilo que fizeram e
têm muitas limitações na comunicação matemática oral (Ponte et al., 2005). Cada
grupo deve elaborar um relatório contendo o objetivo do trabalho, a justificativa e o
referencial teórico do tema escolhido; a definição do problema, das hipóteses e
questões levantadas; os procedimentos utilizados para organizar os dados, validar
as conjecturas, obter o modelo e solucionar o problema; as tentativas realizadas e
dificuldades encontradas; as conclusões do trabalho e a bibliografia (Biembengut e
Hein, 2003; Ponte et al., 2005). Após elaboração do relatório, os grupos devem
expor os resultados da pesquisa para os demais, pois eles podem colaborar com
sugestões para a modificação ou aperfeiçoamento dos modelos obtidos.
9- Avaliação: devem ser avaliados critérios como organização, clareza e
criatividade (Ponte et al.2005). Uma sugestão dada por (o prof. Dr. Barbosa, 1999),
uma avaliação por meio de relatórios, analisando o grau de desenvolvimento do
aluno bem como o seu processo de evolução, ou seja, o que ele realmente
aprendeu através da Modelagem Matemática.
O ensino da Matemática deve ter por finalidade preparar cidadãos para
atuarem de forma conhecedora e confiante na sociedade e não apenas visar a
transmissão de conteúdos. No ensino da Matemática, pode-se observar alguns
pontos críticos, como as dificuldades que os alunos encontram em conceituar
matemática, números e as operações básicas, ausência de significado com relação
a Matemática, falta de relação entre a matemática e outras áreas do conhecimento,
bem como sua utilização na vida diária. Percebe-se assim que a Matemática não
lhes é ensinada como uma disciplina a ajudar no desenvolvimento do pensamento e
13
raciocínio lógico, mas sim de forma mecânica sem uma construção e sem ligação
com o cotidiano do aluno.
Neste sentido, acredita-se que a proposta de trabalho é viável para sua
aplicação, pois Ensinar Matemática por meio de experiências pessoais e culturais
relevantes ajudará os alunos a conhecer mais sobre si próprio, sobre o cotidiano,
sobre a sua cultura, e sobre sua sociedade (FASHEH, 1998).
O papel da Matemática na sociedade, segundo Barbosa (2001), é
reconhecido pelas suas aplicações na solução de problemas naturais, humanos ou
sociais, geralmente obtidos com a utilização dos modelos matemáticos, que
parecem descrever satisfatoriamente os fenômenos que os suscitam,
independentemente da interferência humana.
A disciplina de Matemática, por várias razões, é considerada muito difícil e
desinteressante para muitos, e até inacessível para outros. No entanto, há muitas
pessoas cientes que o conhecimento matemático é muito importante para o mundo
moderno.
D’Ambrosio (2002, p.29) salienta que “Matemática que vem dominando os
programas é, em grande parte, desinteressante, obsoleta e inútil para as gerações
atuais”, e Teixeira (2002) nos lembra que poucas reformas aconteceram na
Matemática neste século. Novos conteúdos foram acrescentados ao programa sem
no entanto “modificar a velha memorização, a repetição infindável de exercícios e o
poder de centralização das ações pedagógicas assumidas pelo professor”
(TEIXEIRA, 2002,p.42).
Geralmente quando aborda-se frações os alunos apresentam dificuldades.
Diante disso, percebe-se que atualmente as escolas públicas em geral vêm a cada
dia exigindo menos dos alunos em relação aos cálculos com frações nas situações
do cotidiano.
O ensino de frações nas series iniciais é importantíssimo como ensino
aprendizagem na medida em que se encontra presente e interconectado com outros
conceitos dentro do campo da matemática e de outras ciências.
Dessa forma, a abordagem desse conteúdo por meio da Modelagem
Matemática que tem como pressuposto, segundo as Diretrizes Curriculares de
matemática (2008) a problematização de situações do cotidiano, possibilita que o
aluno possa levantar problemas e sugerir questionamentos sobre situações de vida
o que aproximará as frações da vida do aluno tornando-as mais fácil de
14
entendimento, pois os problemas reais poderão transformar-se em problemas
matemáticos.
2.5 - ASPECTOS A SEREM CONSIDERADOS AO APLICAR A MODELAGEM
MATEMÁTICA
Embora sejam vários os argumentos favoráveis ao uso da modelagem,
Bassanezi (2004) e Monteiro e Junior (2001) destacam algumas dificuldades a
serem enfrentadas para que ela possa ser utilizada em cursos regulares, tais como:
A necessidade de tempo para planejar as atividades de modelagem,
preferindo, assim, restringir suas aulas ao conteúdo do livro didático, que geralmente
apresenta a sequência: teoria, exemplos, exercícios de fixação e problemas de
aplicação.
A mudança de postura dos estudantes exigida pelo ambiente de
modelagem, de passiva para ativa, pois acostumados a ver o professor como
transmissor de conhecimentos, quando colocados no centro do processo ensino-
aprendizagem, muitas vezes oferece resistência ao uso da modelagem.
Acostumados a aplicarem algoritmos e fórmulas, conseguem atingir o seu objetivo
(na maioria das vezes, é obter boa nota) com problemas mais simples (estritamente
matemáticos).
A falta de conhecimento pelos professores para desenvolver atividades de
modelagem, seja por falta de conhecimento do processo ou por medo de se
depararem em situações embaraçosas devido desconhecerem as áreas onde as
aplicações matemáticas foram abordadas. Esse último fator reflete mais uma vez a
necessidade de uma reorientação epistemológica dos professores no que diz
respeito à visão descontextualizada, algorítmica, infalível e analítica da ciência.
Mas, alguns dos obstáculos citados podem ser minimizados na medida em
que os temas e situação-problema escolhidos sejam motivadores; não apresentem,
a princípio, grande grau de dificuldade tanto para o aluno quanto para o professor,
especialmente se este não tiver experiência em atividades de modelagem
matemática; o professor esteja atento e auxilie os alunos na condução das
atividades e esteja disposto a pesquisar temas de outras áreas e de relevância
15
social que possam ser fontes de investigação matemática (Monteiro e Junior, 2001).
O prof. Jonei Cerqueira Barbosa, da Universidade Jorge Amado-Salvador, dá a
seguinte sugestão com relação à aplicação da Modelagem Matemática dentro do
atual programa:
- Conhecer os limites da instituição de ensino;
- Começar com modelos curtos e mais simples, que durem no máximo duas
aulas, por exemplo;
- Analisar o tempo, e aquilo que é possível saber;
- Analisar o seu saber e o saber do aluno;
- A disposição e grau de interesse dos alunos, bem como a sua motivação;
- A disposição e apoio da equipe pedagógica da escola.
3 - O DESENVOLVIMENTO DA PROPOSTA NA ESCOLA
Considerando a escola, como uma instituição que possibilita o acesso aos
saberes, tão importantes para a formação do individuo e que um dos objetivos do
Projeto Político Pedagógico deste colégio reconhece os aspectos e relevância social
da Matemática bem como tem preocupação com a efetivação da aprendizagem da
Matemática pelos alunos, pretende-se com a realização deste trabalho integrar as
prerrogativas das Diretrizes Curriculares, as necessidades dos alunos e a proposta
da escola.
Faz-se uma abordagem histórica das frações e levantam-se os obstáculos
epistemológicos. A seguir, observa-se alguns aspectos da transposição didática
através da analise dos manuais didáticos, do levantamento da concepção sobre
frações de alunos do Curso de Formação de Docentes e os obstáculos didáticos
encontrados com o objetivo de desenvolver atividades práticas que possam ser
utilizadas nas Séries Iniciais da Educação Básica.
Com isso, desenvolve-se atividades com a participação efetiva dos alunos
do Curso de Formação de Docentes com o intuito de conseguirmos sanar as
dificuldades apresentadas e procuraremos mostrar que a forma com que o professor
apresenta o conteúdo pode fazer diferença. Neste sentido, destaca-se também que
a Modelagem Matemática contribui de forma significativa para o aprendizado dos
conteúdos propostos.
16
Lorenzato (2006, p.25) reforça que: Para o aluno, mais importante que
conhecer essas verdades matemáticas, é obter a alegria da descoberta, a
percepção da sua competência, a melhoria da auto-imagem, a certeza de que vale a
pena procurar soluções e fazer constatações, a satisfação do sucesso, e
compreender que a matemática, longe de ser um bicho-papão, é um campo de
saber onde ele, aluno, pode navegar.
Assim é de extrema importância que o professor entenda a Matemática
como uma disciplina que está não acima dos seres humanos.
Posteriormente, efetua-se análise de estudo de caso, fazendo com que o
aluno busque mapear suas concepções de Frações, declaradas na construção de
mapas conceituais sobre este tema. Procura-se observar também o aluno lidando
com questões contextualizadas (situação problema), que requer a aplicação de
Frações. Com esse enfoque, tenta-se verificar se ocorrem mudanças nas
concepções dos alunos sobre a aplicabilidade das Frações.
Na sequência faz-se pesquisas e organiza materiais para o trabalho com os
números racionais de forma particular as Frações e aplica com os alunos. Por fim,
será organiza-se material de apoio pedagógico para os professores.
4-ESTRATÉGIAS PARA O ENSINO DAS FRAÇÕES POR MEIO DA MODELAGEM
MATEMÁTICA
Investigar as concepções dos alunos do Curso de Formação de Docentes
sobre Frações e estratégias de aprendizagem sustentadas por estes, e examinar
relação entre as concepções dos alunos e a prática de atividades contextualizadas.
Construir o conceito de número fracionário junto aos estudantes do Curso de
Formação de Docentes futuros professores das series iniciais da Educação Básica,
via as concepções parte/todo, quociente e medida, de modo que eles reflitam sobre
estas diferentes abordagens e dêem sentido a este conceito.
Apresentar a utilização da Modelagem Matemática como estratégia de
ensino e aprendizagem das Frações, mostrando sua instrumentalização para a
compreensão da problematização da vida diária e fazer com que os alunos do Curso
17
de Formação de Docentes, obtenham uma aprendizagem mais significativa voltada
a sua realidade e ao ensino dos alunos das séries iniciais da Educação Básica.
Tornar o estudante capaz de identificar os diferentes contextos nos quais a
noção de fração esta presente.
Instrumentalizar o estudante para que ele seja capaz de efetuar operações
básicas – adição, subtração, multiplicação e divisão – com frações, por meio de
atividades manipulativas e formais, tornando-o capaz de identificar os diferentes
contextos nos quais a noção de frações está presente.
Produzir uma Unidade Didática demonstrando o ensino das Frações
utilizando a Modelagem Matemática.
5.1- ANÁLISE E RESULTADOS DA PESQUISA 5.1.1- PRÉ-TESTE
Elaboramos um instrumento inicial de avaliação contendo dez questões, com
o objetivo de verificar a concepção que os futuros professores têm antes de qualquer
instrução sobre números fracionários.
O pré-teste foi elaborado a partir dos testes utilizados no levantamento da
concepção dos alunos. Seus resultados foram usados na comparação com os
resultados do pós-teste, com o intuito de verificar se os objetivos propostos foram
atingidos.
QUESTÕES
Com o objetivo de levantar as experiências ou fatos que marcaram os
estudos de frações dos futuros professores. Antes de iniciar os trabalhos com a
18
Modelagem Matemática. Elaboramos um instrumento de avaliação para analisar que
idéia esses alunos fazem da disciplina quanto ao nível de dificuldade, como a
consideram em termos de preferência e importância, as concepções de uma boa
aula e de um bom professor de Matemática e de como acham que aprendem
melhor.
1) Que boa experiência você teve durante sua aprendizagem de frações?
Tabela1: Distribuição dos alunos segundo as experiências sobre a
aprendizagem de frações.
Respostas Número de alunos Percentual %
Nenhuma ou nada marcante 4 31
Algumas, mas esqueci tudo 6 46
Só teoria 3 23
Total 13 100
Fonte: O autor (2011)
Gráfico 1: Distribuição dos alunos segundo as experiências sobre a aprendizagem de frações.
As experiências dos alunos sobre a aprendizagem de frações
Fonte: O autor (2011)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Nenhuma Alguma Só teoria
Série1
19
Esta questão teve como objetivo verificar as experiências ou fatos que
marcaram os estudos de frações dos futuros professores.
Observamos: que a maioria deles relataram nenhuma experiência vivida ou
não souberam descrever algo que os tivesse marcado durante seus estudos de
frações.
2) O que você entende por frações? Para que servem?
Tabela 2: Distribuição dos alunos segundo para que servem as frações
Respostas Número de alunos Percentual (%)
Repartir tudo 9 69
Para tudo 1 8
Repartir algo 3 23
Total 13 100
Fonte: O autor (2011)
Gráfico 2: Distribuição dos alunos segundo para que servem as frações.
Para que servem as frações
Fonte: O autor (2011)
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
repartir tudo para tudo repartir algo
Série1
20
3) Como é feita a leitura de uma fração?
Tabela 3: Distribuição dos alunos segundo a leitura de uma fração
Resposta Nº de alunos Percentual (%)
Certa 11 85
Errada 2 15
Total 13 100
Fonte: O autor (2011)
Gráfico 3: Distribuição dos alunos segundo a leitura de uma fração
Leitura de uma fração
Fonte: O autor (2011)
4) Qual fração é maior 3
1ou
4
1?
Tabela 4: Distribuição do alunos segundo as respostas no pré-teste e no pós-teste.
Resposta Nº de alunos Pré-teste (%) Nº de alunos Pós-teste (%)
Certa 5 38 13 100
Errada 8 62 0 0
Total 13 100 13 100
Fonte: O autor (2011)
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
certa errada
Série1
21
O objetivo é observar como eles se colocam perante o conhecimento que
têm, e se conseguem explicitar as suas dificuldades.
Gráfico 4: Distribuição dos alunos segundo seus conhecimentos a respeito das frações
Comparação entre os resultados no pré-teste e o pós-teste sobre o valor de cada fração.
Fonte: O autor (2011)
5) Como você se sai quando trabalha com frações?
Tabela 5: Distribuição dos alunos segundo como se saem quando trabalham com frações.
Respostas Número de alunos Percentual %
Não me saio muito bem, é difícil, tenho dificuldade.
9 69
Tem coisas que nunca ficam claras, esqueço as regras.
3 23
Certa facilidade com os números, mas dificuldades com os desenhos.
1 8
Total 13 100
Fonte: O autor (2011)
Gráfico 5: Distribuição dos alunos segundo como se saem quando
22
trabalham com frações.
Como os alunos se saem quando trabalham com frações
Fonte: O autor (2011)
O objetivo desta questão é observar como eles se colocam diante o
conhecimento que têm, e se conseguem explicar as suas dificuldades.
A maioria fala de suas dificuldades, até porque somente um admite ter tido certa facilidade com as frações.
O objetivo é verificar que tipo de procedimento eles usam para resolver essa situação problema.
6) Divida os três chocolates entre as cinco crianças. Quanto cada criança vai receber?
Tabela 6: Distribuição dos alunos segundo a divisão de três chocolates entre cinco crianças.
Respostas Nº de alunos Pré-teste (%) Nº de alunos Pós-teste (%)
Certa 2 15 6 46
Errada 11 85 7 54
Total 13 100 13 100
Fonte: O autor (2011)
23
Gráfico 6: Distribuição dos alunos segundo a divisão de três chocolates entre cinco crianças.
Comparação entre o resultado do pré-teste e o pós-teste da divisão de três chocolates entre cinco crianças.
Fonte: O autor (2011)
Observar os procedimentos de distribuição utilizados, se representam tortas para visualizar a distribuição; se distribuem tortas inteiras, dividindo somente uma, ou se dividem todas as tortas. De que forma escrevem esta resposta.
Somente 2 alunos (15%) acertaram a questão. O restante ou ficou sem resolvê-la ou resolveu de forma inadequada.
7) Se dividirmos 4 tortas entre três crianças, que fração das tortas cada criança vai receber?
Que sentença matemática posso usar para representar essa situação?
Objetivo é perceber, a partir dessas operações, a atitudes que tomam perante a correção da produção de um aluno. E observar como eles operam com frações.
Tabela 7. Distribuição dos alunos segundo a divisão de quatro tortas entre três crianças
Resposta Nº de alunos
Pré-teste (%)
Nº de alunos
Pós-teste (%)
Certa 4 31 7 54
Errada 9 69 6 46
Total 13 100 13 100
Fonte: O autor (2011)
24
Gráfico 7: Distribuição dos alunos segundo a divisão de 4 tortas entre três crianças. Divisão de quatro tortas entre três crianças
Fonte: O autor (2011)
Observamos que 7 alunos responderam corretamente, sendo que destes 2 responderam 4/3, 4 responderam 1 1/3 e 1 respondeu 1/3 de cada torta.
8) Um aluno deu as respostas abaixo para cinco contas envolvendo frações:
a) 6
1+
6
3
6
2 b)
13
2
8
1
5
1 c)
0
21
35
6
35
27
d) 5
0
9
3
4
3 e)
2
1
4
2
2
1
O que você diria a esse aluno depois da correção?
Tabela 8. Distribuição dos alunos segundo a resposta de um aluno sobre os resultados de cinco operações.
Resposta Nº de alunos Pré-teste (%) Nº de alunos Pós-teste (%)
Certa 7 54 8 62
Errada 6 46 5 38
Total 13 100 13 100
Fonte: O autor (2011)
25
Gráfico 8. Distribuição dos alunos segundo resposta de um aluno sobre os resultados de cinco operações.
Comparação entre o pré-teste e o pós-teste sobre a correção de cinco operações fracionárias
Fonte:Oautor(2011)
9) Comprei nove goiabas e 3
2 delas tinham bichos. Quantas goiabas
estavam estragadas?
Tabela 9: Distribuição dos alunos segundo a resolução de uma situação problema com fração.
Resposta Nº de alunos Pré-teste (%) Nº de alunos Pós-teste (%)
Certa 2 15 11 85
Errada 11 85 2 15
Total 13 100 13 100
Fonte: O autor (2011)
26
Gráfico 9: Distribuição dos alunos segundo a resolução de uma situação problema com fração.
Comparação entre o resultado do pré-teste e do pós-teste de uma situação problema.
Fonte: O autor (2011)
10) Ilustre as frações
3
2 e
3
1 desenhando uma série de bolas que
mostre que 3
2 das bolas são pretas e
3
1 são vermelhas.
Objetivo é que percebam que nesta situação a distribuição deve ser feita em partes com a mesma quantidade de bolinhas, podendo essas partes serem representadas por frações.
Tabela 10: Distribuição dos alunos segundo a resolução de uma situação problema com números fracionários.
Resposta Nº de alunos Pré-teste (%) Nº de alunos Pós-teste (%)
certa 9 69 4 31
errada 4 31 9 69
total 13 100 13 100
Fonte: O autor (2011)
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
Pré-teste Pós-teste
certa
errada
27
Gráfico 10: Distribuição dos alunos segundo a resolução de uma situação problema com números fracionários. Comparação entre o resultado do pré-teste e o pós-teste de uma situação problema com números fracionários.
Fonte: O autor (2011)
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Esse trabalho teve como objetivo capacitar os alunos do Curso de Formação
de Docentes futuros professores das séries iniciais da Educação Básica, romper
resistências de modo a torná-los capazes de integrar as novas metodologias para
ensinar os conteúdos matemáticos. Buscando através das oficinas a potencialização
pelo acesso e habilidade no uso de diferentes técnicas para facilitar o aprendizado
possibilitando a organização de suas ações pedagógicas dentro da melhor
perspectiva de aprendizagem para seus alunos. A Modelagem Matemática como
ferramenta, incluindo recursos (materiais didáticos manipulativos de aprendizagem),
capazes de produzir e estimular a produção dos professores de diferente maneira,
de forma articulada à proposta pedagógica e a uma concepção interacionista de
aprendizagem, colocando o maior número possível de problemas de
ensino/aprendizagem dos números fracionários, para que os futuros professores
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
pré-teste pós-teste
certa
errada
28
refletissem sobre os principais pontos da introdução do número fracionário no
ensino.
Durante a realização do material didático, o trabalho foi visto pelos alunos
como um momento descontraído de aprendizagem. Com relação às atividades a
atitude e a disposição dos alunos mantiveram-se as mesmas. Essa atitude não
mudou, mesmo durante as correções surgiam discussões acaloradas, quase
sempre, geradas pelo rompimento que propúnhamos com o conhecimento
estabelecido.
Muitos grupos não tiveram dúvidas na execução das questões, porque
acreditavam, naquele momento, que estavam corretos e só foram perceber seus
erros na correção das atividades.
Com relação aos resultados, das questões do pós-teste esperava-se que
todos responderiam corretamente mostrando domínio do conteúdo trabalhado.
Porém podemos perceber que para alguns alunos o conhecimento adquirido
anteriormente, apresentava raízes profundas, e necessitaria de um trabalho, mais
longo para que essas raízes fossem removidas e pudessem crescer novamente com
mais força e em outras direções.
Podemos concluir que as questões inicialmente colocadas foram em parte
respondidas satisfatoriamente, e que é possível fazer um trabalho mais construtivo
com várias concepções na formação dos futuros professores das séries iniciais,
reforçando a necessidade de um trabalho de formação a partir de novos enfoques
didáticos e pedagógicos, para o conceito de número fracionário.
Esperamos que os resultados e as conclusões desta pesquisa contribuam
efetivamente para o desenvolvimento do ensino de frações, tornando-o significativo,
não só para o professor, como também para os alunos. Esperamos ter contribuído
também para a prática pedagógica do professor, independente do conteúdo
abordado, levando-o a refletir sobre as concepções espontâneas de seus alunos,
permitindo várias soluções para um mesmo problema e não a repetição de modelos
pré-determinados para cada tipo de situação. Esperamos também que, com a
prática e o amadurecimento do professor, sua contribuição pessoal e dos alunos
envolvidos tragam contribuições importantes para o processo de ensino
aprendizagem dos números fracionários.
29
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E ELETRÔNICAS:
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em:<www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/1852-8.pdf?>, acesso em
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_____. A "contextualização" e a Modelagem na educação matemática do
ensino médio. Recife. Anais, 8º Encontro Nacional de Educação. (2004b).
BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática – uma
nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2002.
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BRASIL. Lei nº. 9.394,de 20.12.96: Lei de Diretrizes e Base da Educação Nacional.
Brasília: 1996.
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Londrina: UEL, 2004. 1 CD-ROM.
30
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acesso em 14 jan. 2011.
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Disponível em: <pepsic.bvsalud.org/scielo.php?pid=S1806...script=sci>, acesso em
13 jan2011.
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em:<http://sites.unifra.br/Portals/35/Artigos/2007/Vol_1/V-JOGOS>, acesso em: 03
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GUIMARÃES, Luiz Carlos e CABANAS Maria Inmaculada Chao. Laboratório de
Pesquisa e Desenvolvimento em Ensino de Matemática e Ciências - LIMC.
Disponível em:<http://limc.ufrj.br/limc/images/b/bd/Manual_bingo_A4.pdf>, acesso
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LORENZATO, S. Laboratório de ensino de matemática e materiais didáticos
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Programa Educ@r – Curso para professores de 1ª a 4ª série do Ensino
Fundamental. Disponível em <http://educar.sc.usp.br/matematica/matematica.html>,
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31
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Secretaria de Estado da Educação. Curitiba: SEED, 2008. Disponível
em:<http//www.diaadiaeducacao.seed.pr.gov.br>, acesso em: 22 dez. 2010.
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Disponível em: <www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao/maria_jose.pdf> acesso
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SOARES, M.R. Modelagem Matemática como Estratégia de Ensino e
Aprendizagem no Ensino Fundamental I. 2007. 46 f. Monografia (Especialização
em Instrumentalização para o Ensino de Matemática). Universidade Tecnológica
Federal do Paraná. Cornélio Procópio, 2007.
32
ANEXO 1
Registro das Ações Realizadas nas Oficinas
Período Ação
16/08 2 aulas
Apresentação do projeto ao Diretor, Equipe Pedagógica e alunos.
Números Racionais: Uma abordagem metodológica de ensino utilizando a Modelagem Matemática.
23/08 2 aulas
Apresentação e resolução de problemas do cotidiano envolvendo números racionais.
Relacionamento de problemas do cotidiano com as frações utilizadas na escola, utilizando a idéia de Modelagem Matemática.
27/08 4 aulas
Construção histórica dos conceitos básicos de Frações e Modelagem Matemática.
Pesquisa desenvolvida no laboratório de informática abordando história das Frações e da Modelagem Matemática.
30/08, 03/09, 13/09 17/09. 8 aulas
Confecção de materiais manipulativos.
Confecção do material, desenvolvidos em grupos, para representar as frações e os jogos.
20/09, 24/09, 04/10 08/10 8 aulas
Aplicação de atividades com o uso do material manipulativo confeccionado pelos alunos cursistas.
Acompanhamento das atividades feitas em grupo onde cada grupo apresentou a aplicabilidade do material confeccionado e sua função dentro das Frações.
18/10, 22/10, 08/11 19/11 8 aulas
Desenvolvimento das atividades.
Atividade desenvolvidas através de jogos sendo que cada grupo apresentou a aplicabilidade do material para desenvolver o conteúdo programado.
Total 32 horas
1º - Caracterização da atividade de Modelagem Matemática
Suas fases; Escolha do Tema; levantamento das questões a partir desse
Tema; as possibilidades de resolução e validação; como poderão ser utilizados na
sala de aula.
2º - Aspectos da atividade de Modelagem Matemática
33
Principais aspectos das atividades; natureza; organização da sala de aula;
discussão entre aluno e professor neste ambiente; comunicação no ambiente de
Modelagem.
3º - O fazer Modelagem Matemática
Preocupação do processo de fazer a atividade de Modelagem Matemática
na sala de aula.
4º - Reflexão sobre as possibilidades
Discussão/reflexão sobre as possibilidades da Modelagem Matemática no
ensino de Matemática; avaliação sobre essa pratica no processo ensino-
aprendizagem.
Histórico sobre as frações
Apresentação das frações;
Leitura das frações;
Representação das frações;
Para que servem as frações;
Principais erros cometidos pelos alunos quando trabalham com esse
conteúdo.
Material manipuláveis
1º - Tiras retangulares representando as frações
Comentário sobre as atividades desenvolvidas com esse material.
- operações de adição e subtração com os mesmos denominadores e com
denominadores diferentes;
- frações equivalentes;
2º - Círculos de cores diferentes para representar as frações.
3º - Operações com sobreposição de frações
Utilização de peças construídas com folhas transparentes e sobrepondo as
mesmas para efetuar as operações de adição, subtração, multiplicação e de divisão.
34
4º - Atividades complementares para melhor entendimento dos alunos
através dos seguintes jogos:
- Domino das frações;
- Bingo das frações;
- Baralho das frações.
Relato do projeto de implementação
A Implementação Pedagógica com os alunos do 4º ano do Curso de
Formação de Docentes do meu Colégio e do município foi uma experiência muito
gratificante, pois todos tiveram total liberdade de perguntar e tirar suas dúvidas
quanto ao conteúdo proposto em Unidade Didática que é sobre Números Racionais
mais especificamente as Frações.
Durante a aplicação das atividades propostas em minha Produção Didático
Pedagógica pude observar que maioria dos alunos tinham muita insegurança em
trabalhar Frações, pois alegaram que este conteúdo sempre foi visto de forma
bastante vaga e superficial dificultando assim sua compreensão e aprendizagem,
portanto, para trabalhar esse conteúdo com seus futuros alunos iriam ter bastante
dificuldades, durante o desenvolvimento do curso surgiram as dificuldades como:
- não saber quando que uma fração é maior que a outra;
- como representar uma fração;
- que para representar uma fração o todo ou o inteiro tem que ser dividido do
mesmo tamanho ou com a mesma quantidade;
- muita dificuldade quanto às operações, pois não conseguem entender que
cada operação tem uma maneira diferente de ser resolvida.
Isso foi muito bom, porque alguns que se sentiam constrangidos por não
compreender o conteúdo passaram a entender, compreender e assimilar o mesmo
através das atividades propostas no meu material didático e até tiveram segurança
de aplicar as mesmas atividades entre as outras equipes, pois o meu trabalho foi
desenvolvidos entre equipes.
Por isso é importante lembrarmos, que mesmo após nossa graduação
devemos estar sempre nos atualizando, nos capacitando, seja através de pesquisas,
cursos, seminários, grupos de estudos onde podemos estar trocando experiências
com nossos colegas.
35
ANEXO 2
PRÉ-TESTE
Questões
1) Que boa experiência você teve durante sua aprendizagem de frações?
2) O que você entende por frações? Para que servem?
3) Como é feita a leitura de uma fração?
4) Qual fração é maior 3
1ou
4
1?
O objetivo é observar como eles se colocam perante o conhecimento que
têm, e se conseguem explicitar as suas dificuldades.
5) Como você se sai quando trabalha com frações?
O objetivo é verificar que tipo de procedimento eles usam para resolver essa
situação problema.
6) Divida os três chocolates entre as cinco crianças. Quanto cada criança vai
receber?
Observar os procedimentos de distribuição utilizados, se representam tortas
para visualizar a distribuição; se distribuem tortas inteiras, dividindo somente uma,
ou se dividem todas as tortas. De que forma escrevem esta resposta.
7) Se dividirmos 4 tortas entre três crianças, que fração das tortas cada
criança vai receber?
Que sentença matemática posso usar para representar essa situação?
36
Objetivo é perceber, a partir dessas operações, a atitudes que tomam
perante a correção da produção de um aluno. E observar como eles operam com
frações.
8) Um aluno deu as respostas abaixo para cinco contas envolvendo frações:
a) 6
1+
6
3
6
2 b)
13
2
8
1
5
1 c)
0
21
35
6
35
27
d) 5
0
9
3
4
3 e)
2
1
4
2
2
1
O que você diria a esse aluno depois da correção?
9) Comprei nove goiabas e 3
2 delas tinham bichos. Quantas goiabas
estavam estragadas?
10) Ilustre as frações 3
2 e
3
1 desenhando uma série de bolas que mostre
que 3
2das bolas são pretas e
3
1são vermelhas.
Objetivo é que percebam que nesta situação a distribuição deve ser feita em
partes com a mesma quantidade de bolinhas, podendo essas partes serem
representadas por frações.
37
ANEXO 2.1
PÓS-TESTE
Questões
1)Que boa experiência você teve durante sua aprendizagem de frações
nesse curso? 2) O que você entende por frações? Para que servem?
3) Como é feita a leitura de uma fração?
4) Qual fração é maior 3
1ou
4
1?
5) Como você se sentirá quando for trabalhar com as frações? 6) Divida os três chocolates entre as cinco crianças. Quanto cada criança vai
receber?
7) Se dividirmos 4 tortas entre três crianças, que fração das tortas cada criança vai receber? Que sentença matemática posso usar para representar essa situação?
8) Comprei nove goiabas e 3
2 delas tinham bichos. Quantas goiabas estavam
estragadas?
9) Um aluno deu as respostas abaixo para cinco contas envolvendo frações:
a) 6
1+
6
3
6
2 b)
13
2
8
1
5
1 c)
0
21
35
6
35
27
d) 5
0
9
3
4
3 e)
2
1
4
2
2
1
O que você diria a esse aluno depois da correção?
10) Ilustre as frações 3
2 e
3
1 desenhando uma série de bolas que mostre
que 3
2das bolas são pretas e
3
1são vermelhas.
38
ANEXO 3
Como o objetivo principal desse trabalho é ver como se efetuam as
operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com frações.
Para isso, vamos utilizar as noções de: frações iguais (ou equivalentes) e de
simplificação de frações, apresentadas anteriormente.
Utilizaremos as idéias básicas das operações simples, sempre com o uso de
desenhos e nunca decorando regras e, só depois deveremos usar as técnicas
operatórias.
Adição de frações com denominadores iguais
5
2 +
5
1 =
5
3
Registro do aluno
O aluno deverá trabalhar com o retângulo que foi dividido em cinco partes,
separar duas peças, e depois, uma peça do mesmo retângulo. Após, deverá fazer a
contagem.
Professor:
Com outras atividades semelhantes a essa o aluno deverá perceber que
somando frações com denominadores iguais, o que muda é somente o numerador.
2
1+
2
1 =
2
2
Professor:
Você pode trabalhar de forma que o aluno também perceba que quando o
resultado da soma der igual ao denominador, ela representa um inteiro.
Adição de frações com denominadores diferentes
4
1+
6
1 =
12
5
39
Registro do aluno
O aluno deverá separar as peças de cada fração acima e procurar nos
demais retângulos, quais peças se sobrepõe sobre o 1/4 e sobre 1/6 ao mesmo
tempo;
Ele deverá perceber que as partes que se sobrepõe é do retângulo dividido
em doze partes, onde cabem três peças no 1/4 e duas peças no 1/6;
Após determinar as peças é só contar o numero delas que foi necessário
sobrepor, e teremos o resultado.
Professor:
É importante que o aluno perceba que para somar frações com
denominadores diferentes, reduzimos as frações ao mesmo denominador e
aplicamos a regra anterior.
Observação:
Este método é bom porque mostra a relação entre somar frações e as
frações equivalentes, e deve ser usado com os alunos, mas além de entendermos o
que estamos fazendo, é sempre útil conhecermos técnicas práticas para fazer
contas. No caso da adição de frações, vamos continuar usando, é claro, a idéia de
encontrar frações equivalentes às originais, mas com denominadores iguais, só que
ao invés de fazermos listas e as compararmos, vamos usar uma técnica mais direta.
Veja:
Queremos somar 6
5 e
10
3;
Para achar frações equivalentes a 6
5 e a
10
3, o método mais direto é
multiplicar o numerador e o denominador de cada uma delas por um mesmo
número, diferente de zero;
6
5=
a
a
.6
.5 e
10
3 =
b
b
.10
.3
40
Agora perguntamos: “6 . a = 10 . b, porque as duas frações têm que ter o
mesmo denominador. Quais são estes números a e b?”. Há muitas respostas, por
exemplo, “6 . 5 = 10 . 3”, mas há uma resposta que é bem fácil de achar, não temos
que procurar muito: “6 . 10 = 10 . 6”. Se multiplicarmos um denominador pelo outro,
vai dar o mesmo resultado que se multiplicar o outro pelo um!
Agora sim. A fração equivalente a 6
5 é encontrada multiplicando-se seu
numerador e seu denominador por 10; a fração equivalente a 10
3 é encontrada
multiplicando-se seu numerador e seu denominador por 6;
6
5 .
10
10 =
60
50 e
10
3 .
6
6 =
60
18, de modo que
6
5 +
10
3 =
60
50 +
60
18 =
60
68
Vamos resumir esta técnica para somar frações:
O denominador do resultado vai ser o produto dos dois denominadores (no
caso acima, 6 .10 = 60)
Multiplique “em cruz” os numeradores e denominadores, e some os
resultados:
6
5 X
10
3 5.10 + 3.6=50 + 18 = 68, que é o numerador do resultado.
Assim: 6
5+
10
3=
10.6
10.5+
10.6
6.3=
60
68
60
18
60
50
A vantagem de se usar com os alunos, no inicio, esta notação mais longa, é
que fica sempre possível ver a relação com frações equivalentes, mas à medida que
eles adquiram segurança, pode-se sugerir uma notação mais abreviada, mais
resumida:
60
68
60
6.310.5
10
3
6
5
Usando letras para resumir e expressar de forma simbólica:
41
db
cbda
d
c
b
a
.
..
Subtração de frações com denominadores iguais
5
1
5
4 =
5
3
Registro do aluno:
O aluno deverá trabalhar com o retângulo que foi dividido em cinco partes,
separar quatro peças, retira uma peça. Após, deverá fazer a contagem.
Professor:
Com outras atividades semelhantes a essa o aluno deverá perceber que
subtraindo frações com denominadores iguais, o que muda é somente o numerador
Subtração de frações com denominadores diferentes
6
1
3
1
2
1
Registro do aluno:
O aluno deverá separar as peças de cada fração acima e procurar nos
demais retângulos, quais peças se sobrepõe sobre 1/2 e sobre 1/3 ao mesmo
tempo;
Ele deverá perceber que as partes que se sobrepõe é do retângulo dividido
em seis partes, onde cabem duas peças no 1/3 e três peças no 1/2;
Após determinar as peças é só tirar e contá-las, e teremos o resultado.
Professor:
Quando os denominadores são diferentes, podemos torná-los iguais usando
o mesmo procedimento utilizado na adição. Por exemplo, vamos efetuar a
subtração:
42
Portanto, as regras para a subtração são análogas às da adição:
Para subtrair frações que têm denominadores diferentes, reduzimos as
frações ao mesmo denominador, subtraímos os numeradores e conservamos o
denominador.
Observação:
Tudo que dissemos sobre a adição, vale também para a subtração:
60
18
60
12
60
30
10.6
6.2
10.6
10.3
10
2
6
3
Para somar frações com números inteiros, basta lembrar que números
inteiros podem ser representados como frações com denominador 1:
5
23
5
3
5
20
1.5
1.3
5.1
5.4
5
3
1
4
5
34
Estamos certos de que se você examinar esta conta, pensando sobre ela,
vai criar um modo mais pratico de somar números naturais e frações.
Finalmente, se você tiver que somar mais de duas frações, nossa sugestão
é que some duas, depois mais outra, e assim por diante, ou que use o método de
procurar frações equivalentes, para somar todas de uma vez.
Sugestões Materiais e atividades
Para as próximas atividades vamos confeccionar quadradinhos de forma que
possamos trabalhar com a multiplicação e divisão de frações.
Construção do material
43
Material:
Os quadradinhos podem ser confeccionados com folhas de EVA. Essa
construção deverá ser feita pelos próprios alunos em sala de aula. Os quadradinhos
têm uma importância muito grande para a serem utilizados para o calculo da
multiplicação de frações.
Multiplicação de frações.
15
8
5
4
3
2x
Registro do aluno:
O aluno deverá trabalhar com três quadradinhos sendo dois azuis e um
branco para montar um retângulo e formar a fração 2/3, e depois, cinco
quadradinhos, quatro verdes e um branco para montar o outro retângulo e formar a
outra fração. Após, deverá fazer a contagem das peças coloridas, e teremos o
resultado.
Operações com sobreposição de frações
Utilizando as peças construída com papel celofane, ou papel vegetal
pintado, da mesma cor.
Adição:
Sobrepondo as duas figuras, observa-se que: 9
4 e
3
1 representa a parte em azul-
escuro, na qual as cores azul-claro se sobrepõem. Logo, a parte azul-escuro da
figura corresponde a 27
4do todo essa parte é contada duas vezes e as outras partes
azul-claro é contada uma única vez, ficando assim:
44
27
21
3
1
9
4
27
21
27
5
27
8
27
4
27
4
Subtração
Na subtração as figuras são sobrepostas da mesma maneira só que o
resultado é contado somente a parte azul-claro que ficou nos9
4, ou seja:
8 - 5 = 3
Logo: 27
3
27
9
27
12
3
1
9
4
9
4 –
3
1 =
27
3
27
9
27
12
Multiplicação:
Sobrepondo as duas figuras, o resultado visual obtido será o seguinte:
45
Observa-se que 4/9 de 1/3 representa a parte em azul-escuro, na qual as
cores azul-claro se sobrepõem. Logo, a parte azul-escuro da figura corresponde a
4/27 do todo.
Logo: 27
4
3
1
9
4x
9
4 x
3
1 =
27
4
Divisão
Sobrepondo as duas figuras de frações.
Por exemplo, quando se propõe ao aluno calcular 9
4 :
3
1, pergunta-se a ele
quantas vezes 9
4 cabe em
3
1:
9
12
3
1:
9
4
9
4 :
3
1 =
9
12
46
No outro exemplo, quando se propõe calcular 1/3 : 4/9, pergunta-se a ele
quantas vezes 1/3 cabe em 4/9:
9
12
3
1:
9
4
3
1 :
9
4 =
12
9
Avaliação:
A avaliação por meio de relatórios, analisando o grau de desenvolvimento do
aluno bem como seu processo de evolução, ou seja, o que ele realmente aprendeu
através da Modelagem Matemática.
O trabalho com problemas pode ser desencadeado por varias abordagens,
podemos trabalhar com um jogo que apresente problema para os participantes;
podemos trazer problema antigo, resgatando a historia da matemática, e assim por
diante. O que pretendemos com esse trabalho é usar a Modelagem Matemática
como fator gerador de problemas. Como já foi definido anteriormente, a Modelagem
consiste na transformação de problemas da realidade em problemas matemáticos e
interpretação de suas soluções na linguagem real (BASSANEZI, 2002),
desenvolvendo nos alunos, dessa forma, habilidades que auxiliem na resolução
desses problemas.
47
ANEXO 4
Desenvolvimento das atividades durante a implementação do projeto na escola
Alunos produzindo o material didático Alunos construindo o material pedagógico
Dominó das frações construído pelos alunos Baralho das frações construído pelos alunos
Construção dos círculos fracionários Construção do Bingo das frações
48
ANEXO 5
Relato das atividades do GTR
Síntese da temática 1
No fórum foi proposta uma discussão sobre como o Projeto de Intervenção
Pedagógica poderia contribuir para melhorar a qualidade de ensino numa
aprendizagem mais significativa para o professor e aluno e após a leitura do referido
projeto, os participantes interagiram uns com os outros achando interessante
trabalhar as Frações através da Modelagem Matemática e a utilização de Material
Didático e Manipulável favorecendo assim o aprendizado do conteúdo de Frações
mais interessante para o aluno. No diário foi solicitado aos cursistas o seguinte: os
conteúdos citados na Estratégia de Ação do Projeto de Intervenção que seriam
trabalhados através de Material Didático e Manipulativo poderiam contribuir com a
prática pedagógica de cada um em sala de aula de forma mais significativa para o
aluno. E segundo as respostas dadas por eles é que trabalhar as Frações da
maneira que está no Projeto de Intervenção irá contribuir muito com suas práticas
pedagógicas e o uso de Material Didático e Manipulativo é de suma importância para
o ensino deste conteúdo.
Síntese da temática 2
O fórum desta temática tinha como texto para leitura a Produção Didático-
Pedagógica e foi solicitado aos cursistas uma socialização com os colegas a
respeito da referida Produção e alguns disseram que as atividades sugeridas nessa
produção é de extrema importância visto que apresentam significados
49
fundamentados na Modelagem Matemática sendo bastante elogiada pelos colegas
cursistas pela elaboração desta Produção.
No diário, as considerações sobre a Produção Didática alguns disseram que
esta apresenta atividades muito interessantes sempre com um resgate histórico do
tema. Figuras, materiais e textos muito bem produzidos e elaborados, inseridos de
tal maneira que fica muito fácil de acompanhar a sequência do trabalho. Objetivos
claros, estratégias amplas e referências de grande relevância fazem com que
o projeto culmine num excelente caderno de atividades e fonte de pesquisa para
qualquer professor e que a construção de materiais manipulativos faz com que as
aulas de matemática aconteçam de maneira mais dinâmica, atrativa e interessante.
Consequentemente os alunos se apropriam dos conteúdos com muito mais
facilidade e dificilmente esquecerão aquilo que lhes fora ensinado.
Enfim, nesta temática houve ótimas contribuições por parte dos cursistas e
que é difícil citar todas neste espaço, só posso deixar aqui meu agradecimento a
todos.
Síntese da Temática 3
Nesta temática o texto para leitura foi as ações de implementação e tivemos
dois fóruns, o primeiro o título foi “Vamos Refletir e Opinar” onde coloquei um
pequeno comentário de como foi minha Implementação Pedagógica na minha
escola cujo trabalho foi desenvolvimento com os alunos do 4º ano do Curso de
Formação de Docentes e aqui os cursistas me parabenizaram por este trabalho e
outros disseram que precisamos estar sempre estudando mesmo depois de ter
terminado a graduação, pois foi através de cursos de formação continuada que
muitos aprenderam a trabalhar melhor os conteúdos enriquecendo assim suas
aulas. E no segundo fórum que é Vivenciando a Prática, os cursistas apresentaram
ótimas sugestões de trabalho utilizando a prática e a construção de material
manipulativo para o conteúdo de frações. Também aqui quero deixar meu muito
obrigado a todos pelas excelentes contribuições deixadas pelos cursistas.
50
Considerações finais
Em primeiro lugar quero deixar meus sinceros agradecimentos a cada um de
vocês que sem medir esforços para estar contribuindo em meu GTR que para mim
como professor PDE foi uma experiência nova e ao mesmo tempo muito grandiosa,
pois tive o privilégio interagir com professores de diversas escolas, cidades e NRE
diferentes e onde as dificuldades e necessidades são praticamente as mesmas
vivenciadas por todos.
Quanto ao trabalho cujo título é “Números Racionais: Uma abordagem
metodológica utilizando a Modelagem Matemática” espera-se ter atendido a todos
dentro dos objetivos propostos, pois o Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola
e a Produção Didático-Pedagógica procurou-se levar a todos através de atividades
numa sequência didática os conteúdos de Frações de maneira significativa,
prazerosa e atrativa para que os professores possam estar desenvolvendo com seus
alunos essa metodologia com a história dos conteúdos frações através da
Modelagem Matemática.
E, finalmente, quanto aos fóruns e diários todos os participantes que
deixaram suas contribuições e interagiram com os demais colegas atenderam as
expectativas.