Apresentação Sistemas

ECO018: MODELAGEM E

ANÁLISE DE SISTEMAS

DINÂMICOS

Professor: Msc. André Chaves Magalhães

Dr. Dair José de Oliveira 1

IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS: MODELO

MATEMÁTICO DE UM SISTEMA DINÂMICO DE

QUARTA ORDEM

Amanda de Souza Limas

Clara Duarte de Sant Anna

Luan Carlos de Almeida Silva

Zélia Gabriela Ferreira Gomes

2

Modelo Matemático

• “Modelo matemático de um sistema dinâmico é definido como o conjunto

de equações que representa a dinâmica do sistema com precisão, ou pelo

menos, razoavelmente bem.” Ogata (2010)

• Pode ser representado de muitas maneiras diferentes e, portanto, pode ter

vários modelos matemáticos (Função de Transferência, Variáveis de Estados,

Diagrama de Blocos, Método dos Mínimos Quadrados).

3

Modelo Matemático

• Objetivo: analisar o comportamento de uma variável contínua de interesse,

analisando se ocorre:

o A tendência a um valor finito após a aplicação de uma excitação;

o Possibilidade de diminuir o tempo do regime transitório.

4

Modelo Matemático

• A dinâmica de muitos sistemas pode ser descrita através de equações

diferenciais;

• Conhecidos os valores de entrada e saída de um sistema, é possível obter um

modelo matemático que descreve o comportamento do sistema

5

Modelo Matemático

6

• O modelo matemático é do tipo:

Com n≥m, onde y representa a saída e x é a entrada

xbxbxbxbxbyayayayaya mmmmm

nnnnn

1)2(

2)1(

1)(

01)2(

2)1(

1)(

0 ......

Modelo Matemático

7

• O sistema trabalhado neste trabalho é de quarta ordem e a equação a qual

pretende-se encontrar é do tipo:

ubyat

ya

t

ya

t

ya

t

y0012

2

23

3

34

4

Modelo Matemático

• Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação,

encontramos a equação equivalente:

(Função de Transferência)

8

sasasasas

b

sU

sYsGs

0123

4

0

²³)(

)()(

Modelo Matemático

• Esse é um procedimento que exemplifica a identificação de sistemas de

modo que, para tanto, se faz necessário determinar os parâmetros reais a0, a1,

a2, a3 e b0.

9

Objetivos

• Projetar e construir um sistema físico de quarta ordem (Filtro ativo de quarta

ordem, topologia Sallen Key e formato de resposta Chebyshev do tipo 1);

• Obter uma representação por função de transferência de quarta ordem;

10

Objetivos

• Validar FT a partir de um conjunto de dados, empregando a teoria de

modelagem e análise de sistemas dinâmicos;

• Encontrar outras três formas de representações matemáticas – Modelo por

Variáveis de Estados, Diagrama de Blocos e Método dos Mínimos Qua-

drados.

11

Softwares utilizados

• MATLAB;

• PSIM

12

Teoria sobre identificação de sistemas

• A identificação de sistemas dinâmicos pode ser definida como a utilização de

procedimentos numéricos;

• Visam obter modelos de sistemas dinâmicos, a partir de medidas das suas

entradas e saídas.

13

Teoria sobre identificação de sistemas

• Os procedimentos para identificação de sistemas:

I. Coleta de dados;

II. Escolha da representação do modelo;

III. Escolha da estrutura do modelo;

IV. Estimação de parâmetros;

V. Testes de validação do modelo.

14

Métodos dos mínimos quadrados

• Basicamente, para um sistema representado na forma de uma tabela com N

medidas (dados de entradas e saídas anteriores φ, deseja-se determinar os

coeficientes θ de uma equação que represente o sistema de maneira mais

adequada possível.

• O erro ξ da aproximação obtida é minimizado conforme um critério

quadrático J

15


16

• As equações seguintes expressam a conceituação:

)()'()( mmly

N

i

iJ1

')²(


• Denotando F o vetor transposto dos regressores, E o vetor de erro e y os

valores reais, tem-se a expressão de erro :

E = y – Fq

• Dessa forma, a função de custo pode ser escrita como

J = [y-Fq]’[y-Fq]

17


• Desenvolvendo a equação anterior, obtém-se:

J = y’y - 2q’F’y + q’F’Fq

• O vetor coeficientes que minimiza a função de custo é obtido derivando J em

relação à θ e igualando a expressão obtida a zero, resultando em:

-2F’y + 2F’Fq=0

18


• Assim, os valores estimados dos coeficientes da equação de modelagem são

dados por:

19

yFFF ']'[ 1

Filtros

• Filtros são circuitos elétricos que permitem passagem de corrente elétrica ou

tensão elétrica em uma faixa de frequências e inibem a passagem em outras

frequências.

20

Filtros

• São classificados em função da banda passante e em função da ordem dofiltro, podendo ser:

Passa Baixa;

Passa Alta;

Passa Faixa;

Rejeita Faixa;

Defasador ;

Variável de Estado.

21

Filtros

• Os filtro também pode ser classificado quanto ao formato da resposta:

Bessel: faixa de passagem e de rejeição planas e região de transição suave

Butterworth: faixa de passagem e de rejeição planas e região de transição moderada

Chebyshev 1: faixa de passagem com oscilação, região de transição moderada e faixa derejeição plana

Chebyshev 2: faixa de passagem plana, região de transição moderada e faixa de rejeiçãocom oscilação

Elíptico: faixa de passagem e rejeição com oscilações e região de transição abrupta

22

Filtros

• E de acordo com a sua topologia, sendo:

Cauer: Indutores e capacitores (passivo)

Sallen Key: Resistores e capacitores (ativo)

Realimentação múltipla: Resistores e capacitores (ativo)

Variáveis de estado: Resistores e capacitores (ativo)

Biquadrático: Resistores e capacitores (ativo)

23

Filtros

• A Figura 1a seguir apresenta

a resposta característica de

cada tipo de filtro:

24Figura 1: Respostas de diferentes filtros

Sistema físico

• Filtro ativo de quarta ordem, topologia Sallen Key e formato de resposta

Chebyshev tipo 1:

25

Figura 2: Sistema físico montado no software PSIM

Sistema físico

• Os valores de frequência de corte fc e fator de qualidade Q escolhidos foram:

-Primeira parte (1° amp-op): -Segunda parte (2° amp-op):

fc = 999,66 Hz fc = 1003,28 Hz

Q = 0,541525622 Q = 1,305756486

26

Sistema físico

• Para o filtro de quarta ordem desejado, temos a frequência de corte e o fatorde qualidade:

fc = 1000 Hz

Q = Q2 – Q1 = 1,305756486 - 0,541525622 = 0,764230864 (Q > 0,707 -característico do filtro Chebyshev).

27

Sistema físico

• Os valores dos resistores foram escolhidos e os valores de capacitância foram

determinados resolvendo-se o sistema de equações formado pelas equações:

28

21212

1

CCRRf c

)( 211

2121

RRC

CCRRQ

Sistema físico

• Para uma simulação feita usando o software PSIM, o sinal de entrada é o da

figura a seguir:

29Figura 3: Sinal de entrada no PSIM

Sistema físico

• O sinal de saída obtido está apresentado na figura a seguir:

30Figura 4: Sinal de saída no PSIM

Sinal de entrada do sistema físico

• O sinal de entrada foi obtido no gerador de funções visto na Figura 5:

31Figura 5: Osciloscópio

Sinal de saída do sistema físico

32Figura 6: Sinal de saída dado no osciloscópio


• Comparando-se a Figura 6 com a Figura 1 pode-se concluir que a saída do

sistema físico se assemelha a saída característica do filtro Chebyshev tipo 1.

33


• O fator de qualidade Q determina o formato da resposta do filtro, sendo:

Bessel: Q = 0,5

Butterworth: Q = 0,707

Chebyshev: Q > 0,707

• Como já mostrado previamente, os cálculos comprovam o tipo de filtro:

Q = Q2 – Q1 = 1,305756486 - 0,541525622 = 0,764230864

(Q > 0,707 - característico do filtro Chebyshev).

34

Desenvolvimento matemático

• Função de transferência -G(s)- é a relação da transformada de Laplace da

saída para a transformada de Laplace da entrada.

• A estrutura básica do filtro utilizado é mostrada na Figura 7:

35Figura 7: Filtro Passa Baixa Sallen Key


• Denominando:

I1 a corrente no resistor 1;

I2 a corrente no capacitor 2;

I3 a corrente no resistor r;

I4 a corrente na entrada inversora do amplificador operacional;

Vi o sinal de tensão na entrada;

Vo o sinal da tensão na saída;

Va o sinal de tensão no ponto de nó entre R1 e R2(no ponto de introdução de C2 no circuito)

36


• Temos:

I² =

I³ = com I1 = I2 + I3

37

1

1R

VVI Ai

sC

VV oA

2

1

sCR

VA

12

1


• Desenvolvendo tem-se:

38

1R

VV Ai

sC

VV oA

2

1

sCR

VA

1

2

1

112

122

11

sCR

sCVsVCsVC

R

V

R

V AoA

Ai

o

i

A sVCR

VsC

RsCR

sCV 2

1

2

112

1 1

1


• A tensão em C1:

• Com o ganho unitário:

VA = Vo(R2C1s+1)

39

sCR

VsC

V

A

C

1

2

11 1

1

oAo

A

VsCR

VV

sCR

VsC

1

1)1(

1

1

12

1

2

1


Vo(R2C1s+1)

Vo(R2C1s+1)

40

sC

RsCR

sC2

112

1 1

1 oi sVC

R

V2

1

1

)1()1(

12

1212121

sCR

sCRsRCsCRsCo

i sVCR

V2

1

11

121221211211 ²1

R

V

R

sRCsRCsCCRRsCRsCRVo i

)(1)(

1

221211

sFsCRRRRsCV

V

i

o


• Como a topologia da segunda parte do circuito é igual à topologia do

primeiro, temos F(s) = H(s), em que:

G(s) = F(s) H(s)

e:

41

1)()²(

1 = F(s)

12112121 sCRCRRRCCs

1)()²(

1 = H(s)

34334343 sCRCRRRCCs


42

]1)()²([1]1)()²()[(]1)()²()[²(

1

]1)()²(][1)()²([

1)(

34334343343343431211343343432121

3433434312112121

CRCRsRRCCsCRCRsRRCCsCRCRsCRCRsRRCCsRRCCs

CRCRsRRCCsCRCRsRRCCssG

)²()³()(

1)(

43434231323141313131212121321421321321321432143214 RRCCRRCCRRCCRRCCRRCCRRCCsRRRCCCRRRCCCRRRCCCsRRRRCCCCs

sG

]1)(

1...

43332111 RCRCRCRCs


• Substituindo os valores de , tem-se:

43

43214321 RRRRCCCC

134.124²1048762104.25³10525248735.41024445107.6

1)(

512416

sssssG

15131134 10601421788.110991207852.1²10081643167.4³10246831922.7

1)(

sssssG

Validação do modelo por variáveis de estado

• Para o sistema de equações diferenciais que possui derivadas na função de

entrada, como:

44

xbxbxbxbxbyayayayaya mm

mmm

nn

nnn

1

)2(

2

)1(

1

)(

01

)2(

2

)1(

1

)(

0 ......


• Uma maneira de obter uma equação de estado e a equação de saída, para esse

caso, é definir as seguintes n variáveis como um conjunto de n variáveis de

estado:

45


46


47


48


49


50

• Para validar as equações de variáveis de estado, foi utilizada a seguinte rotina

no MATLAB:

den = [1 7.246831922x103 4.081643167x1011 1.991207852x1013 1.601421788x1015];

num = [0 0 0 0 1.601421788x1015];

[A,B,C,D] = tf2ss(num,den);

ES = ss(A,B,C,D)

[y,t,x] = step(ES);


• Desse modo, a imagem gerada

está representada na Figura 7.5:

51

Figura 7.5: Resposta ao degrau para a

validação das equações de espaço de estados


• A Figura 7.5 representa a saída para o sinal de entrada como degrau. Esta

imagem é semelhante ao sinal esperado, como na Figura 8(b), comprovando

a validade da equação de espaços de estado.

52

Validação da Função de Transferência

• No Simulink, um sinal da foi aplicado (Figura 8 - a)a um bloco de função de

transferência com os dados da FT gerando a saída vista na Figura 8(b):

53Figura 8 - Validação da Função de Transferência com (a) sinal de excitação e (b) sinal de saída


• O sinal estabilizado na Figura 9(b) indica que a função de transferência é

coerente com o sistema em estudo:

54Figura 9 - Validação da função de transferência a partir de uma forma de onda quadrada com (a) entrada e (b) saída


• A Figura 10(a) mostra o sinal aplicado a FT referentes à Figura 8 e a Figura

10(b) mostra o sinal aplicado a FT referentes à Figura 9:

55

Figura 10(a) Figura 10(b)


• É notável que a Figura 6 (saída do sistema físico) é semelhante à Figura 9(b),

indicando a validade da função de transferência.

56

Diagrama de blocos

• O Diagrama de blocos da FT é apresentado a seguir dividido em duas

imagens para melhor visualização:

57

58

59

Diagrama de blocos

• Substituindo por valores reais o diagrama de blocos, temos a representação a

seguir:

60

61

62

Análise do comportamento dinâmico do

sistema

• Para fazer a análise do sistema, foi utilizado método de Routh de modo a

determinar a sua estabilidade, sendo:

s4 1 4.081643167 x 1011 1.601421788 x 1015

s³ 7.246831922 x 10³ 1.991207852 x 10³

s² 4.081643167x 1011 1.601421788 x 1015

s -2.843076016 x 106

s0 1.601421788 x 1015

Observa-se duas trocas de sinal na primeira coluna dos coeficientes. Essas duas trocas

de sinal mostram que o sistema é instável, com duas raízes no semi plano direito.63

Desenvolvimento do método dos mínimos

quadrados

• Código do MATLAB e resposta ao degrau:

A0 = 1.601421788e15;

A1 = 1.991207852e13;

A2 = 4.081643167e11;

A3 = 7.2468922e3;

A4 = 1;

B0 = 1.601421788e15;

64


quadrados

• Função de transferência com os parâmetros encontrados pelo toolbox: G2=tf(B0,[A4 A3 A2 A1 A0])

figure

step(G2)

title('Resposta ao degrau')

xlabel('Tempo')

ylabel('Amplitude')

grid on;

hleg3 = legend('Modelo mínimos quadrados','Modelo toolbox','Location','SouthOutside');

%características da resposta ao degrau para G1 e G2

S1=stepinfo(G1)

S2=stepinfo(G2)65


quadrados

S1 =

RiseTime: 0.0109

SettlingTime: 0.0195

SettlingMin: 0.0806

SettlingMax: 0.0893

Overshoot: 0

Undershoot: 0

Peak: 0.0893

PeakTime: 0.0522 66

S2 =

RiseTime: 0.0233

SettlingTime: 0.1343

SettlingMin: 0.9298

SettlingMax: 1.2629

Overshoot: 26.2889

Undershoot: 0

Peak: 1.2629

PeakTime: 0.0565


quadrados

• Função de transferência:

Transfer function:

1.601e015

---------------------------------------------------------------------------

s^4 + 7247 s^3 + 4.082e011 s^2 + 1.991e013 s + 1.601e015

67

Apêndice B

• Vide arquivo em anexo para mais

detalhes

z =

1.0e+005 *

-0.0005

-0.0360 + 6.3887i

-0.0360 - 6.3887i

68

p =

1.0e+005 *

-0.0360 + 6.3887i

-0.0360 - 6.3887i

-0.0002 + 0.0006i

-0.0002 - 0.0006i

k =

0

Conclusão

• À partir dos modelos matemáticos desenvolvidos no presente trablaho, foi

possível modelar e analisar um sistema físico de quarta ordem, bem como

comparar seus parâmetros (encontrados à partir dos diferentes modelos).

• Foi possível também estudar a estabilidade do sistema, sendo instável, com

dois polos no semi-plano direito.

69

Referências

• SOUZA, Antonio C. Zambroni de, PINHEIRO, Carlos A. M., Introdução a Modelagem, Analise e Simulação de Sistemas Dinâmicos, 1 Edição, Interciência, 2008.

• OLIVEIRA, Dair José de, BRAGA, Denis de Carvalho. Laboratório 9: Introdução ao Toolbox de Identificação de Sistemas. 04-04 de jun de 2012. 18 p. Notas de Aula.

• OGATA, Katsuhiko. Engenharia de Controle Moderno, 5ª Edição, Pearson Prentice Hall, São Paulo, 2010.

• PICHORIM, S. F. FILTROS ATIVOS. Notas de Aula

• http://www.clubedaeletronica.com.br/Eletronica/PDF/Amp-OP%20IV%20-%20filtros.pdf

• SILVA, J. T. L. e FILTROS ATIVOS: PROJETO. Notas de Aula

70

Referências

• RUEDA, D. E. IMPLEMENTAÇÃO DE UM CIRCUITO ELETRÓNICO UNIVERSAL DE SUPORTE À IMPLEMENTAÇÃO DE FILTROS ANALÓGICOS NA BANDA DO ÁUDIO. Tese de Obtenção de Grau em Engenharia Eletroeletrônica.

• http://www.elt09.unifei.edu.br/roteiroslab/AmpOp_Lab8.pdf

• MELGES, D. CIRCUITOS ELÉTRICOS III. Notas de Aula

• FABRIZZIO, P. FILTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA. Notas de Aula

• SOUZA, A. A. de COMPARAÇÃO DE EFICIÊNCIA DE FILTROS DIGITAIS IIR E FIR. Centro Federal de Educação Tecnológica de Santa Catarina - CEFET-SC CST em Sistemas de Telecomunicações.2008<http://www.sj.cefetsc.edu.br/~moecke/DISCIPLINAS/PSD3606/2008_2/Prj_2008_2_Adriano_Aurelio.pdf>

• INPE. ANÁLISE DE RESPOSTA TRANSITÓRIA: SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM (CONTINUAÇÃO).Notas de Aula

71

Documents

Apresentação Sistemas