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2013

Autor: João Revez

Ângulo Giro – Matemática online

www.angulogiro.pt

MATEMÁTICA E REALIDADE Operações Numéricas e Estimação

UFCD - 6673

PADRÕES E RELAÇÕES

PADRÕES E RELAÇÕES PADRÕES E RELAÇÕES

PADRÕES E RELAÇÕES NUMÉRICAS

NUMÉRICASNUMÉRICAS

NUMÉRICAS ........................................................................................... 1

C

CC

CONCEITO DE NÚMERO

ONCEITO DE NÚMEROONCEITO DE NÚMERO

ONCEITO DE NÚMERO ............................................................................................................................ 1

N

NN

NÚMEROS

ÚMEROS ÚMEROS

ÚMEROS I

II

INTEIROS RELATIVOS E

NTEIROS RELATIVOS E NTEIROS RELATIVOS E

NTEIROS RELATIVOS E RACIONAIS

RACIONAISRACIONAIS

RACIONAIS ........................................................................................ 3

N

NN

NÚMEROS INTEIROS RELA

ÚMEROS INTEIROS RELAÚMEROS INTEIROS RELA

ÚMEROS INTEIROS RELATIVOS

TIVOSTIVOS

TIVOS .............................................................................................................. 4

Operações e comparações

Operações e comparaçõesOperações e comparações

Operações e comparações ............................................................................................................. 8

Exercí

ExercíExercí

Exercícios

cioscios

cios ......................................................................................................................................... 14

R

RR

REPRESENTAÇÕES DE NÚM

EPRESENTAÇÕES DE NÚMEPRESENTAÇÕES DE NÚM

EPRESENTAÇÕES DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS

EROS FRACIONÁRIOSEROS FRACIONÁRIOS

EROS FRACIONÁRIOS ................................................................................. 20

P

PP

POTÊNCIAS DE BASE

OTÊNCIAS DE BASE OTÊNCIAS DE BASE

OTÊNCIAS DE BASE 10

1010

10......................................................................................................................... 20

Notação científica

Notação científicaNotação científica

Notação científica ........................................................................................................................... 20

Exercícios

ExercíciosExercícios

Exercícios ......................................................................................................................................... 25

M

MM

MÚLTIPLOS E DIVISORES

ÚLTIPLOS E DIVISORESÚLTIPLOS E DIVISORES

ÚLTIPLOS E DIVISORES........................................................................................................................ 27

Critérios de divisibilidade

Critérios de divisibilidadeCritérios de divisibilidade

Critérios de divisibilidade ............................................................................................................... 27

ESTIMAÇÃO E CÁLCULO

ESTIMAÇÃO E CÁLCULO ESTIMAÇÃO E CÁLCULO

ESTIMAÇÃO E CÁLCULO NUMÉRICO

NUMÉRICONUMÉRICO

NUMÉRICO .......................................................................................... 32

N

NN

NÚMEROS RACIONAIS REL

ÚMEROS RACIONAIS RELÚMEROS RACIONAIS REL

ÚMEROS RACIONAIS RELATIVOS

ATIVOSATIVOS

ATIVOS ......................................................................................................... 32

O

OO

OPERAÇÕES COM NÚMEROS

PERAÇÕES COM NÚMEROSPERAÇÕES COM NÚMEROS

PERAÇÕES COM NÚMEROS

RACIONAIS RELATIVOS

RACIONAIS RELATIVOSRACIONAIS RELATIVOS

RACIONAIS RELATIVOS ............................................................................ 35

Forma de fração

Forma de fraçãoForma de fração

Forma de fração .............................................................................................................................. 39

Forma de número decimal

Forma de número decimalForma de número decimal

Forma de número decimal ............................................................................................................. 39

N

NN

NÚME

ÚMEÚME

ÚMEROS IRRACIONAIS

ROS IRRACIONAISROS IRRACIONAIS

ROS IRRACIONAIS ......................................................................................................................... 41

Radiciação como operação inversa da potenciação

Radiciação como operação inversa da potenciaçãoRadiciação como operação inversa da potenciação

Radiciação como operação inversa da potenciação ................................................................. 42

E

EE

ESTIMAÇÃO

STIMAÇÃOSTIMAÇÃO

STIMAÇÃO,

,,

,

VALORES APROXIMADOS

VALORES APROXIMADOS VALORES APROXIMADOS

VALORES APROXIMADOS E ERROS

E ERROSE ERROS

E ERROS ................................................................................... 46

Arredondamentos

ArredondamentosArredondamentos

Arredondamentos ........................................................................................................................... 46

O

OO

OPERAÇÕES CO

PERAÇÕES COPERAÇÕES CO

PERAÇÕES COM POTÊNCIAS DE EXPOE

M POTÊNCIAS DE EXPOEM POTÊNCIAS DE EXPOE

M POTÊNCIAS DE EXPOENTE INTEIRO

NTE INTEIRONTE INTEIRO

NTE INTEIRO .......................................................................... 50

Exercícios

ExercíciosExercícios

Exercícios ......................................................................................................................................... 51

BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................................................... 54

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Padrões e relações numéricasPadrões e relações numéricasPadrões e relações numéricasPadrões e relações numéricas

Conceito de Conceito de Conceito de Conceito de númeronúmeronúmeronúmero

Número

NúmeroNúmero

Número é um objeto matemático utilizado para descrever quantidades, realizar

ordenações ou efetuar medidas.

É talvez um dos primeiros conceitos matemáticos

um dos primeiros conceitos matemáticosum dos primeiros conceitos matemáticos

um dos primeiros conceitos matemáticos assimilados

pela humanidade no processo de contagem.

O conceito de número

conceito de númeroconceito de número

conceito de número tem evoluído ao longo do tempo.

Os primeiros vestígios de contagens remontarão à idade da pedra, calcula-se cerca

de 50000 a.C..

Utilizando uma correspondência entre cada elemento do conjunto cuja dimensão

pretendiam saber, e uma marca, sobre um osso, madeira ou outros materiais. O

homem começava a contar ainda sem utilizar números.

É só mais tarde (no Neolítico), fundamentalmente devido ao desenvolvimento da

linguagem, que terão surgido as primeiras designações de número, e com estes os

primeiros sistemas de numeração e de medida.

O homem encontrava-se então, noutra fase da sua evolução, onde a sociedade se

começava a tornar mais complexa.

Este aumento de complexidade conduziu a uma maior necessidade de

conhecimentos e competências matemáticas, para fazer face a problemas cada vez

mais difíceis de resolver sem recurso a contagens, ordenações ou medições.

Para isto, os números naturais eram um bom começo. As necessidades do homem

por um lado – à medida que as sociedades se tornavam cada vez mais complexas -

o trabalho dos matemáticos por outro levou-nos a descobrir outros tipos de números

e diferentes sistemas de numeração.

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Sabe-se hoje nomeadamente através da arqueologia, que várias civilizações criaram

os seus próprios sistemas de numeração. Vejamos alguns exemplos:

� Os Maias

Maias Maias

Maias usavam um sistema de numeração vigesimal

numeração vigesimalnumeração vigesimal

numeração vigesimal;

� Os Romanos

RomanosRomanos

Romanos utilizavam o sistema decimal

sistema decimalsistema decimal

sistema decimal,

, ,

, semelhante ao nosso nos dias de

hoje, apenas os símbolos são diferentes;

� Os Babilónios

BabilóniosBabilónios

Babilónios recorriam a um sistema sexagesimal

sexagesimalsexagesimal

sexagesimal;

� Os Egípcios

EgípciosEgípcios

Egípcios a um sistema decimal

sistema decimalsistema decimal

sistema decimal semelhante ao Romano, mas com

símbolos diferentes.

Figura 1 - Papiro de Moscovo

Figura 2 - Papiro de Rhind

Ambos os papiros são da civilização Babilónica que no seu auge eram os mais

avançados sob o ponto de vista Matemático.

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Números Inteiros relativos e racionaisNúmeros Inteiros relativos e racionaisNúmeros Inteiros relativos e racionaisNúmeros Inteiros relativos e racionais

Como vimos anteriormente, a Matemática e consequentemente o conceito de número

estiveram desde os tempos mais remotos sempre presente na vida humana.

Os Números Naturais foram uma peça chave para o desenvolvimento da

humanidade.

Trata-se do conjunto numérico mais “popular”. Sendo que as suas principais utilidades

são, sem dúvida, a realização de contagens e ordenações:

� Contar o número de alunos que estão na sala;

� Ordenar os alunos de acordo com o número de inscrição.

O conjunto dos Números Naturais, tem infinitos elementos e representa-se por IN

ININ

IN.

Representado em extensão:

Representado em extensão:Representado em extensão:

Representado em extensão: IN =

�1,2,3,4,5, …

Representado na forma de conjunto

Representado na forma de conjuntoRepresentado na forma de conjunto

Representado na forma de conjunto

À medida que a sociedade se torna mais complexa, mais complexas se tornam as

necessidades do homem no que a contagens, ordenações e medições diz respeito.

Eis então que surge o conceito de nada na Matemática, mais concretamente o zero.

E é este ente Matemático, que provoca uma autêntica revolução.

- Como se podia representar matematicamente “nada”?

- Como traduzir matematicamente uma divida?

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Assim, se ao conjunto dos números naturais, juntarmos o 0 (zero) e todos os números

inteiros negativos, obtemos o conjunto dos Números Inteiros Relativos

Números Inteiros RelativosNúmeros Inteiros Relativos

Números Inteiros Relativos. Representa-

se por .

Representado em extensão

Representado em extensãoRepresentado em extensão

Representado em extensão:

::

:

� �… , �3, �2, �1,0,1,2,3, …

Representado na forma de conjunto

Representado na forma de conjuntoRepresentado na forma de conjunto

Representado na forma de conjunto

Deste modo facilmente concluímos que os números inteiros relativos são uma

extensão dos números naturais que incluem os números inteiros negativos, assim

como o zero.

Os números racionais, por sua vez, incluem frações de inteiros. Os números reais são

todos os números racionais mais os números irracionais.

Números inteiros relativosNúmeros inteiros relativosNúmeros inteiros relativosNúmeros inteiros relativos

Seja para representar temperaturas inferiores a zero, saldos negativos, parques

subterrâneos, etc., utilizamos números negativos.

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Por exemplo:

Figura

Figura Figura

Figura 3

33

3

–

––

–

termómetro indicando

termómetro indicando termómetro indicando

termómetro indicando

temperatura negativa

temperatura negativatemperatura negativa

temperatura negativa

-

--

-

Imagem

Imagem Imagem

Imagem

retirada de www.curtocuritiba.com.br

retirada de www.curtocuritiba.com.brretirada de www.curtocuritiba.com.br

retirada de www.curtocuritiba.com.br

Figura

Figura Figura

Figura 4

44

4

-

--

-

Saldo da balança comercial

Saldo da balança comercial Saldo da balança comercial

Saldo da balança comercial

portuguesa

portuguesa portuguesa

portuguesa -

--

-

Dados do banco de

Dados do banco de Dados do banco de

Dados do banco de

Portugal

PortugalPortugal

Portugal

Figura

Figura Figura

Figura 5

55

5

-

--

-

Painel de Elevador com

Painel de Elevador com Painel de Elevador com

Painel de Elevador com

indicação de piso subterrâneo

indicação de piso subterrâneoindicação de piso subterrâneo

indicação de piso subterrâneo

Vimos atrás que o conjunto dos números inteiros relativos é

� �… , �3, �2, �1,0,1,2,3, …

� Aos números inteiros inferiores a zero damos o nome de números inteiros

números inteiros números inteiros

números inteiros

negativos

negativosnegativos

negativos. Exemplo: -3, -2, -387.

� Aos números inteiros superiores a zero damos o nome de números inteiros

números inteiros números inteiros

números inteiros

posi

posiposi

positivos

tivostivos

tivos. Exemplo: 33, 26, 783.

� O zero

zerozero

zero é também um número inteiro, contudo, não é positivo nem negativo

não é positivo nem negativonão é positivo nem negativo

não é positivo nem negativo.

Principais subconjuntos de

Principais subconjuntos de Principais subconjuntos de

Principais subconjuntos de

+� �1,2,3, … � IN

0+� �0,1,2,3, …

-� �… � 3, �2, �1

0-� �… � 3, �2, �1,0