Apresentação do Cursomat.ufcg.edu.br/medeiros/wp-content/uploads/sites/21/2019/08/apre… · O desenvolvimento do curso e a avalia˘c~ao ser~ao executados atrav es de avalia˘c~ao

Apresentacao do Curso

Luiz Antonio da Silva Medeiros(1)

[email protected]

(1)UAMAT / UFCG

UFCG, 2019

luiz:[email protected]

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1 IntroducaoObjetivo GeralConteudo ProgramaticoReferencias Bibliograficas

2 Erros, Representacao de Numeros

3 Discussao e Exemplos

4 Condicionamento de Algoritmos

5 ExercıciosExercıcios ResolvidosExercıcios Propostos

Medeiros Metodos Numericos

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ApresentacaoErros, Representacao de Numeros

Discussao e ExemplosCondicionamento de Algoritmos

Exercıcios

Objetivo GeralConteudo ProgramaticoReferencias Bibliograficas

Objetivos

Levar o aluno a entender o que e um metodo numerico e suaimportancia.

Levar o aluno a compreensao dos princıpios basicos dosmetodos numericos para a obtencao de solucoes aproximadasde problemas , atraves de algoritmos programaveis.

Dar condicoes ao aluno de encontrar solucoes aproximadas deproblemas cuja solucao exata e impossıvel.




Exercıcios


Ementa

Sistemas Numericos. Ponto flutuante, precisao e exatidao damaquina. Erros Computacionais. Solucao de Equacoes algebricas eTranscendentes. Resolucao de Sistemas de Equacoes Lineares.Sistemas Mal-Condicionados. Interpolacao e Ajustamento deCurvas. Diferenciacao e Integracao Numerica.




Exercıcios


AVALIACAO

O desenvolvimento do curso e a avaliacao serao executados atravesde avaliacao de desempenho escrita e por projetos, da seguinteforma:

Nota 1 . Media ponderada das notas das atividades:

Nota1 = 7 ∗ prova + 1.5 ∗ trabalho + 1.5 ∗ Lista

Nota 2. Media ponderada das notas de Atividades:

Nota2 = 7 ∗ prova + 1.5 ∗ trabalho + 1.5 ∗ Lista

Final. Media ponderada das notas de Atividades:

Final = 7 ∗ prova + 3 ∗ Trabalho




Exercıcios


Bibliografia

CUNHA, M. Cristina C. Metodos Numericos. 2 ed.Campinas: UNICAMP. 2000.

RUGIERO, Marcia e LOPES, Vera. Calculo Numerico:Aspectos Teoricos e Computacionais. 2a ed.Sao Paulo: Makron Books. 1996.

BUDER, Richard L. e FAIRES, J. Douglas. AnaliseNumerica.Sao Paulo: Thomson, 2001.




Exercıcios

Origem das incertezas.

Modelagem:

1 Ao modelar um problema, algumas simplificacoes saointroduzidas (nem tudo que influi no fenomeno e levado emconsideracao).

2 A inexistencia de tecnicas adequadas implicam emsimplificacoes no modelo matematico ou na escolha demetodos geram solucoes aproximadas.

Solucao:

1 a maquina trabalha com um numero finito de digıtos,insuficientes para representar os numeros reais.




Exercıcios


Modelagem:



Solucao:





Exercıcios


Modelagem:



Solucao:





Exercıcios

Caracterizacao dos Erros.

Erro Inicial consiste da soma das incertezas introduzidas noequacionamento do problema, na medicao dosparametros, nas condicoes iniciais etc.

Erro de Truncamento consiste dos erros gerados pelo truncamentode processos infinitos.

Erro de Arredondamento consiste da soma das incertezasassociadas a representacao do sistema de numeracaona maquina.




Exercıcios

Exemplos de erros de truncamento .

Exemplo 1

ex = 1 + x +x2

2!+ · · ·+ xn

n!+

ζ2

(n + 1)!, 0 ≤ ζ ≤ x .

Exemplo 2

f′(x) ≈ f (x + h)− f (x − h)

2h.




Exercıcios

Precisao Simples × Precisao Dupla.

Nos calculos que exigem maior precisao, pode-se adotar o recursode precisao dupla, que permite que a matissa seja representadacom o dobro do numero de dıgitos da precisao simples.Amenizando os efeitos do arredondamento.Obs. As calculadoras sao programadas de modo que o resultadoapresentado seja a representacao em ponto flutuante do valor daoperacao realizada com mais dıgitos na mantissa.




Exercıcios

Aritmetica de Ponto Flutuante.

Em 1985, o IEEE (Institute of Electrical and Eletronic Engineers)publicou um relatorio intitulado Binary Floating Point AritmeticStandart 754-1985 especificando normas para pontos flutuantesbinarios. Foram especificados formatos para precisao simples,dupla e expandida.




Exercıcios

Real Extenso.

Representacao de 64−bits (dıgitos binarios).

O primeiro bit e um indicador de sinal, seguido por uma parteexponencial de 11 bits, chamada caracterıstica. A partefracionaria de 52 bits, denominada de mantissa.

Observacao Como 52 dıgitos binarios correspondem a algoentre 16 e 17 dıgitos decimais, pode-se assumir que umnumero representado nesse sistema tem precisao de pelomenos 16 dıgitos decimais.




Exercıcios

Real Extenso.

Observacao A parte exponencial de 11 dıgitos binarios oferece umcampo de valores de 0 a 211 − 1 = 2047. Entretanto, a utilizacaode apenas numeros inteiros positivos para o expoente nao permiteuma representacao adequada de numeros de pequena magnitude.Que para representa-los, o valor 1023 e subtraıdo do valor dacaracterıstica, de modo que a parte exponencial varia no intervalode −1023 a 1024.A utilizacao desse sistema da um numero com ponto flutuante daforma:

(−1)s2c−1023(1 + m)

s: sinalc: caracterısticam: matissa.




Exercıcios

Exemplo.

X = 01000000001110111001000100 . . . 000︸︷︷︸52dıgitos

O primeiro bit a esquerda e zero, o que indica que X e positivo.Os outros 11 dıgitos, em vermelho, que indicam a caracterısticasao equivalentes ao numero decimal

c = 1 · 210 + 0 · 29 + · · ·+ 1 · 21 + 1 · 20 = 1027.

Portanto, a parte exponencial do numero e: 21027−1023 = 24.Os 52 bits finais da mantissa fornecem o numero

m = 1 · 2−1 + 1 · 2−3 + 1 · 2−4 + 1 · 2−8 + 1 · 2−12.




Exercıcios

Exemplo.

X = (−1)s2c−1023(1 + m)

= (−1)024(1 +1

2+

1

8+

1

16+

1

32+

1

256+

1

4096)

= 27, 56640625




Exercıcios

Qual e o proximo numero nessa maquina?.

SendoX = 27, 56640625

qual e o proximo numero nessa maquina?

Y = 01000000001110111001000100 . . . 00︸︷︷︸51dıgitos

1

Y = (−1)s2c−1023(1 + m)

= (−1)024(1 +1

2+

1

8+

1

16+

1

32+

1

256+

1

4096+

1

252)

= 27, 56640625000000177635683940025046467781066894531125

E quanto aos numero no intervalo [X ,Y ]?




Exercıcios

Underflow e Overflow.

underflow situacao em que a capacidade mınima da maquinanao e atingida.

overflow situacao em que a capacidade maxima da maquina eatingida.

Para refletir: Qual e a situacao pior: underflow ou overflow?




Exercıcios

Flutuante decimal.

O uso de dıgitos binarios tende a tornar menos evidente asdificuldades de computacao que aparecem quando um conjuntofinito de numeros wm linguagem de maquina e utilizado pararepresentar todos os numeros reais. Para discutir esses problemas,assumiremos como hipotese, que a forma normalizada de pontoflutuante decimal com k dıgitos e

±0.d1d2d3 . . . dk−1dk × 10n, 1 ≤ d1 ≤ 9 e 0 ≤ dj ≤ 9

para j = 2, 3, . . . , k .




Exercıcios

Formato de ponto flutuante.

Qualquer numero real positivo, dentro do campo de variacaonumerica de uma maquina, pode ser representado na forma

x = 0.d1d2d3 . . . dk−1dkdk+1dk+2 . . . 10n.

O formato de ponto flutuante de y , denotado por fl(y) e obtido,limitando-se a mantissa de y a k dıgitos.

fl(x) == 0.d1d2d3 . . . dk−1dk × 10n.

cujo erro de aproximacao pode ser por truncamento ouarredondamento.




Exercıcios

Exemplos.

Suponha que uma maquina trabalha com 8 dıgitos significativos nasua mantissa e considere

x1 = 0.1234567851234× 104 e x2 = 0.1234567849234× 104.

Qual e a representacao em ponto flutuante dos numeros x1 e x2utlizando trucamento?

Solucao:

x1 = 0.12345678× 104 e x2 = 0.12345678× 104.

E arredondamento?

Solucao:

x1 = 0.12345679× 104 e x2 = 0.12345678× 104.




Exercıcios

Valor de π .

A forma normalizada para π e:

π = 0, 314159265× 101.

A notacao em ponto flutuante de pi com cinco dıgitos, utilizando ometodo de truncamento e

fl(π) = π = 0, 31415× 101 = 3.1415.

A notacao em ponto flutuante de pi com cinco dıgitos, utilizando ometodo de arredondamento e

fl(π) = π = 0, 31416× 101 = 3.1416.




Exercıcios

erro de arredondamento .

Observacao: Independente do metodo de aproximacao(truncamento ou arredondamento), e comum se denominar o erroresultante da substituicao do numero real por sua notacao emponto flutuante por erro de arredondamento.




Exercıcios

Medidas de Erro.

Se xa e uma aproximacao do valor exato de x , definimos o erroabsoluto da aproximacao

Eabs = |xa − x |.

O erro relativo e definido por

Erel =|xa − x ||x |

.

Observacao:

α =|x − xa||x |

e|xa − x ||xa|

=α

1− α≈ α, qd α ≈ 0.




Exercıcios

Exemplo: Medidas de Erro.

x = 0.300× 101, xa = 0.3100× 101 → Eabs = 0.1 eErel = 0.3333× 10−1.

x = 0.300× 10−3, xa = 0.3100× 10−3 → Eabs = 0.1× 10−4 eErel = 0.3333× 10−1.

x = 0.300× 104, xa = 0.3100× 104 → Eabs = 0.1× 103 eErel = 0.3333× 10−1.

Como medida de precisao o erro absoluto pode ser enganoso e oerro relativo mais significativo, na medida em que este ultimo levaem consideracao a magnitude dos valores.




Exercıcios


x = 0.300× 101, xa = 0.3100× 101 → Eabs = 0.1 eErel = 0.3333× 10−1.

x = 0.300× 10−3, xa = 0.3100× 10−3 → Eabs = 0.1× 10−4 eErel = 0.3333× 10−1.

x = 0.300× 104, xa = 0.3100× 104 → Eabs = 0.1× 103 eErel = 0.3333× 10−1.





Exercıcios


x = 0.300× 101, xa = 0.3100× 101 → Eabs = 0.1 eErel = 0.3333× 10−1.

x = 0.300× 10−3, xa = 0.3100× 10−3 → Eabs = 0.1× 10−4 eErel = 0.3333× 10−1.

x = 0.300× 104, xa = 0.3100× 104 → Eabs = 0.1× 103 eErel = 0.3333× 10−1.





Exercıcios

Algarismos significativos.

Diz-se que o numero xa se aproxima do valor de x com talgarismos significativos, se t e o maior valor inteiro naonegativo para o qual

|x − xa||x |

< 5× 10−t .

Em linguagem de maquina, a representacao do numero x em pontoflutuante fl(x) apresenta um erro relativo

|x − fl(x)||x |

.




Exercıcios


Se k dıgitos decimais e o metodo de truncamento forem usadospara fazer a representacao em liguagem de maquina de

x = 0.d1d2d3 . . . dk−1dkdk+1dk+2 · · · × 10n,

entao

|x − fl(x)

x| = |0.d1 . . . dkdk+1 · · · × 10n − 0.d1 . . . dk · 10n

0.d1 . . . dkdk+1 · · · × 10n|

= | 0.dk+1dk+2 · · · × 10n−k

0.d1 . . . dkdk+1 · · · × 10n|

= | 0.dk+1dk+2 . . .

0.d1 . . . dkdk+1 . . .| × 10−k .




Exercıcios


Como d1 6= 0, o valor mınimo do denominador e 0.1 O numerdadore limitado para cima pelo valor 1. Consequentemente,

|x − fl(x)

x| = | 0.dk+1dk+2 . . .

0.d1 . . . dkdk+1 . . .| × 10−k

≤ 1

0.1× 10−k = 10−k+1.




Exercıcios

Problemas bem-postos.

Definicao: Um problema e bem posto quando ele satisfaz duascondicoes:

O problema tem uma unica solucao;

quando pequenas pertubacoes nos dados de entrada provocampequenas pertubacoes nos dados de saıda.

A condicao (28) e chamada estabilidade do problema com relacaoaos dados.

Definicao: Um metodo e estavel se pequenas pertubacoes nosdados coonduzem a solucoes proximas.




Exercıcios

Exemplo.

Considere o problema de encontrar as raızes dex2 − 100.22x + 1.2371 = 0.Usando Baskara e aritmetica de ponto flutuante com cinco dıgitos,temos:

x1 =100.22 + 100.19

2= 100.20 e x2 =

100.22− 100.19

2= 0.015.

Por outro lado, usando o fato que x1x2 = ca e aritmetica de ponto

flutuante com cinco dıgitos, temos:

x1 =100.22 + 100.19

2= 100.20 e x2 =

c

ax1=

1.2371

100.20= 0.012346.

Veja que, o erro relativo usando o primeiro procedimento e de21.5%, ao passo que o erro relativo com o segundo procedimento ede 0.0052%.




Exercıcios

Conclusao.

“O equilıbrio entre as influencias dos erros de truncamento earredondamento depende do problema e da habilidade humana.”




Exercıcios

Exercıcios ResolvidosExercıcios Propostos

Exercıcio 1.

Seja o numero real x = 8.7 (representacao decimal).

(a) Escreva a representacao de x na base 2.

(b) Escreva a representacao de x em ponto flutuante, com cincodıgitos, na base 2.




Exercıcios


Exercıcio 2.

Utilizando uma maquina com quatro dıgitos significativos, resolvao sistema abaixo. Depois inverta a ordem do sistema e resolva-onovamente.

0.003x + 30y = 5.001x + 4y = 1

(1)




Exercıcios


Exercıcio 1.

Seja o numero real x = 10.128 (representacao decimal). Escrevasua representacao em ponto flutuante, com cinco dıgitos, na base2.




Exercıcios


Exercıcio 2.

Considere os numeros:

(a)x = 0.0000111 (b)y = 9999456 (c)z = 999123

Considere a conta x × y ÷ z . As propriedades das operacoes demultiplicacao e divisao garantem que obteremos o mesmoresultado. Use uma calculadora e realize as contas nas seguinesordens:

(a) (x × y)/z

(b) x × (y/z)

(c) (x/z)× y)

O que voce observa? Agora, refaca as contas considerando ummaquina que trabalha com 7 dıgitos na mantissa e obtenha oserros absolutos e relativos de cada conta.




Exercıcios


Exercıcio 3.

Considere o sistema de equacoes{31.69x + 14.31y = 45.0013.11x + 5.89y = 19.00

cuja unica solucao e x = 7.2 e y = −12.8 Resolva o sistemausando quatro dıtigos e os metodos que voce conhece. Compare ejustifique os resultados.




Exercıcios


Exercıcio 4.

Os numeros abaixo sao fornecidos a um computador decimal quetrabalha com ponto flutuante e quatro dıgitos:

(a)x = 0.4523×104 (b)y = 0.2116×10−3 (c)z = 0.2583×10−1.

nesta maquina, as operacoes tem arredondamento no corte dosdıgitos, isto e, se o primeiro dıgito a ser desprezado for maior doque ou igual a 5, arredondar o ultimo dıgito significativo para cima.Calcule os erros relativos e absolutos das operacoes:

(a) x/y

(b) (xy)/z

(c) y/(xz)

(d) x − y




Exercıcios


Exercıcio 5.

Seja f (x) = xcos(x)−sen(x)x .

(a) Encontre limx→o

f (x).

(b) Utilize a aritmetica com arredondamento para valoresde quatro dıgitos para calcular f (0.1).

(c) Substitua cada funcao trigonometrica com seupolinomio de Maclaurin de 3o grau e repita o item(b).

(d) Encontre o erro relativo para os valores obtidos noitens (b) e (c).




Exercıcios


Exercıcio 6.

Seja f (x) = ex−e−x

x .

(a) Encontre limx→o

f (x).

(b) Utilize a aritmetica com arredondamento para valoresde quatro dıgitos para calcular f (0.1).

(c) Substitua cada funcao trigonometrica com seupolinomio de Maclaurin de 3o grau e repita o item(b).

(d) Encontre o erro relativo para os valores obtidos noitens (b) e (c).


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