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APRESENTAÇÃO E AGRADECIMENTOS
O seguinte material foi elaborado para compor o projeto de aulas de nivelamento
e tutoria, idealizado e realizado pelo CAEP (Centro Acadêmico de Engenharia
de Produção) – UFSCar para os alunos e alunas ingressados em 2020.
Os assuntos abordados no material foram preparados pelos participantes do
projeto e são:
Matemática Básica – Mariana Michetti, aluna de graduação em Engenharia de
Produção
Funções Exponenciais, Logarítmicas e Polinomiais – Gabriel Dalla, aluno
de graduação em Engenharia de Produção
Vetores, Matrizes e Determinantes – Ana Dias, aluna em graduação de
Engenharia de Produção
Trigonometria – Beatriz Conti, aluna em graduação de Engenharia de
Produção
Agradecimentos aos outros participantes do projeto, indispensáveis para que o
material fosse preparado e chegasse a esse nível:
Sofia Lucena, aluna de graduação em Engenharia de Produção.
Laís Meiko, aluna de graduação em Engenharia de Produção.
SUMÁRIO MATEMÁTICA BÁSICA ...................................................................................... 2
FUNÇÕES POLINOMIAIS .................................................................................. 6
FUNÇÕES EXPONENCIAIS ............................................................................ 13
FUNÇÕES LOGARÍTMICAS ............................................................................ 17
VETORES, MATRIZES E DETERMINANTES ................................................. 21
VETORES ..................................................................................................... 21
MATRIZES .................................................................................................... 26
DETERMINANTES ....................................................................................... 29
TRIGONOMETRIA ........................................................................................... 32
MATEMÁTICA BÁSICA FRAÇÕES
As frações são, basicamente, uma forma de dividir números em partes
iguais.
Só é possível comparar, somar, ou subtrair frações quando o denominador é o
mesmo.
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
𝟐
𝟓+
𝟒
𝟓=
𝟔
𝟓 Denominadores iguais – operação é feita somando
os numeradores e conservando o denominador.
𝟐
𝟒+
𝟑
𝟏𝟔=
𝟖+𝟑
𝟏𝟔=
𝟏𝟏
𝟏𝟔 Denominadores diferentes – usamos a regra do
Mínimo Múltiplo Comum para decidir o novo denominador da
fração. Nesse caso, o 16 é facilmente visto como múltiplo do
4, então fica fácil fazer a operação. Ao decidir o número que
será o novo denominador, precisamos “dividir pelo de baixo
e multiplicar pelo de cima” os dois numeradores e, aí sim,
somá-los.
MULTIPLICAÇÃO
𝟑
𝟒∙
𝟐
𝟓=
𝟔
𝟐𝟎=
𝟑
𝟏𝟎 Para multiplicar frações, basta multiplicarmos os
numeradores entre si e também os denominadores
entre si.
𝟏
𝟐∙ 𝟐𝒙 = 𝒙 Exemplo clássico do método de “cortar” numerador e
denominador entre si.
ATENÇÃO! Só podemos “cortar” números envolvidos estritamente em
multiplicações, jamais em somas/subtrações.
DIVISÃO
𝟐𝐱
𝟓÷
𝟒
𝟑𝐱=
𝟐𝐱
𝟓∙
𝟑𝐱
𝟒=
𝟑𝐱𝟐
𝟏𝟎 Dividir uma fração por outra é a mesma coisa
que multiplicar uma fração pelo inverso da outra.
𝟐𝒙
𝟓𝟒
𝟑𝒙
=𝟑𝒙𝟐
𝟏𝟎 Podemos usar também o famoso método
“barrigão, barriguinha”, ou Meios por Extremos, que
consiste em posicionar as frações em forma de uma
fração “dupla” e multiplicar seus extremos entre si e
também seus meios entre si. Os extremos são o
numerador da fração final e os meios, o denominador.
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
Propriedades
Não é possível somar ou subtrair potências e raízes distintas.
24 ∙ 25 = 29 Na multiplicação de potências de mesma base nós
mantemos a base e somamos os expoentes.
37
34= 33 Na divisão de potências de mesma base nós mantemos a
base e subtraímos os expoentes.
(22)3 = 26 Na potência de uma potência, podemos multiplicar os
expoentes.
(2 ∙ 𝑥)3 = 23 ∙ 𝑥3 Uma potência de uma multiplicação pode ser separada
dessa forma.
√32
∙ √72
= √212
Na multiplicação de raízes de mesmo índice nós
multiplicamos os radicandos e conservamos os índices.
√43
√113 = √
4
11
3 Na divisão de raízes podemos colocar a fração toda dentro
de uma raiz só.
√5 + √3 = √5 + √3 Não existe propriedade para soma ou subtração de
raízes distintas!
Expoente negativo
O expoente negativo inverte a fração na qual está aplicado.
𝟐
𝟓
−𝟏=
𝟓
𝟐 𝟐−𝟐 = 𝟒−𝟏 =
𝟏
𝟒 𝒙−𝟑 =
𝟏
𝒙𝟑
Expoente fracionário
O expoente fracionário representa uma raiz. No caso, numerador é o expoente
do valor, e o denominador é o índice da raiz.
𝒙𝟏
𝟐 = √𝒙 𝒙𝟑
𝟒 = √𝒙𝟑𝟒 𝒙
𝟒
𝟑 = √𝒙𝟒𝟑
POLINÔMIOS
Um polinômio é uma expressão formada por variáveis e coeficientes.
4𝑥3 + 2𝑥 + 6
A adição e subtração de polinômios são feitas entre os termos semelhantes
(variáveis com o mesmo coeficiente) e a multiplicação é feita através da
propriedade distributiva. Já para a divisão precisamos usar métodos como o da
Chave e o de Briot-Ruffini. Estes métodos, assim como o Teorema do Resto,
serão vistos na aula de Funções Polinomiais.
Soma e subtração
Feita termo a termo
𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥 + 3
0 + 7𝑥2 − 12𝑥 + 9
𝑥3 + 9𝑥2 − 11𝑥 + 12
Multiplicação
(𝑥2 + 2) ∙ (2𝑥3 − 𝑥) = 2𝑥5 − 𝑥3 + 4𝑥3 − 2𝑥
= 2𝑥5 + 3𝑥3 − 2𝑥
+
PRODUTOS NOTÁVEIS
Multiplicações com resultados padronizados.
Soma pela diferença: (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2
Quadrado da soma: (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
Quadrado da diferença: (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2
Cubo da soma: (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3
Cubo da diferença: (𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3
FATORAÇÃO
Transformação de uma soma em uma multiplicação
Fator comum em evidência: 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑎(𝑥 + 𝑦)
Diferença de quadrados: 𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 − 𝑏)
Trinômio quadrado perfeito: 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)2
𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)2
Trinômio do 2o grau: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑥 − 𝑥1) ∙ (𝑥 − 𝑥2), 𝑥1 𝑒 𝑥2
raízes do polinômio
Soma de cubos: 𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2)
Diferença de cubos: 𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏) ∙ (𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2)
Cubo perfeito: 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)3
𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)3
FUNÇÕES POLINOMIAIS As funções polinomiais são aquelas escritas de forma
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎3𝑥3 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0
(𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1, ⋯ , 𝑎0 ∈ ℝ, 𝑎𝑛 ≠ 0, 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 0)
sendo cada a os coeficientes, e n o grau da função.
O gráfico dessas funções será estudado a fundo na disciplina de Cálculo 1, e,
por isso, o foco dessa aula situa-se em entender possíveis manipulações
envolvendo polinômios, como o cálculo das raízes do polinômio, divisão de
polinômios, teorema do resto e teorema de D’Alembert – esses conceitos serão
importantíssimos no cálculo de Limites de Funções Polinomiais.
Raízes de uma Função Polinomial
Um número 𝑡 é dito raiz de um polinômio caso 𝑝(𝑡) = 0, isto é, numa
representação gráfica, 𝑦 = 0 para 𝑥 = 𝑡.
Gráfico do polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 − 6𝑥
Como pode ser visto, as raízes são 𝑥 = −2, 𝑥 = 0 𝑒 𝑥 = 3. Para esses 3
valores de 𝑥, 𝑦 = 0.
O número de raízes de um polinômio é equivalente ao seu grau, ou seja: um
polinômio de grau 3, possui 3 raízes, um de grau 4, possui 4 raízes, etc.
Para encontrar as raízes de um polinômio, basta igualá-lo a 0 e resolver a
equação resultante.
Normalmente, casos de fatoração auxiliam imensamente nesse processo.
Exercícios Resolvidos
1) Dado o polinômio 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒎𝒙 + 𝟔, e, sabendo que 12 é raiz,
determine m.
Se 12 é raiz do polinômio, então 𝑝(12) = 0
Assim,
122 − 12𝑚 + 6 = 0
𝑚 =150
12=
25
2
2) Determine as raízes do polinômio 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙
Para encontrar as raízes, igualamos o polinômio a 0:
𝑥3 − 𝑥2 − 6𝑥 = 0
Colocando o fator comum x em evidência:
𝑥(𝑥2 − 𝑥 − 6) = 0
Há dois fatores se multiplicando resultando em 0, portanto um deles tem de
ser 0. Portanto, temos:
𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0
Resolvemos a equação de segundo grau para encontrar as outras duas
raízes:
𝑥 = −2 𝑜𝑢 𝑥 = 3
Assim, temos como raízes:
𝑥 = −2, 𝑥 = 0, 𝑥 = 3
3) Dado o polinômio 𝒑(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝒎𝒙 + 𝒏, e, sabendo que 𝟐 é
raiz e 𝒑(−𝟏) = 𝟔, determine m e n.
Como 2 é uma das raízes do polinômio, então 𝒑(𝟐) = 𝟎:
2 ∙ 23 − 6 ∙ 22 + 2𝑚 + 𝑛 = 0
2𝑚 + 𝑛 = 8
De 𝒑(−𝟏) = 𝟔, temos que:
2 ∙ (−1)3 − 6 ∙ (−1)2 + (−1)𝑚 + 𝑛 = 0
−𝑚 + 𝑛 = 14
Daí, temos um sistema de equações, compostos por (1) e (2).
Resolvendo-o, subtraindo (2) de (1), temos 𝑚 = −2, e, substituindo esse valor
em (2), temos 𝑛 = 12.
𝑚 = −2 𝑛 = 12
Representação gráfica do polinômio.
Divisão de polinômios
Imagine que estamos no início de nosso desenvolvimento matemático:
aprendendo as contas de divisão com números naturais (sem a tão temida
conta com vírgula).
Uma conta simples: 7 dividido por 2
7 2
−6 3
1
Caso multipliquemos o quociente pelo divisor e somarmos com o resto,
chegamos ao dividendo, ou, de modo mais claro: 3 ∙ 2 + 1 = 7
Isso é chamado de algoritmo da divisão, e o mesmo é válido para polinômios.
Desse modo, temos que, dado um polinômio 𝑝(𝑥), ele pode ser escrito como a
multiplicação entre o quociente e o divisor somado com o resto:
𝑝(𝑥) = 𝑞(𝑥) ∙ 𝑑(𝑥) + 𝑟(𝑥)
Caso o resto 𝑟(𝑥) seja igual a 0, o polinômio 𝑝(𝑥) é divisível por 𝑑(𝑥). Caso
contrário, ele não é divisível, e o resto tem grau menor que o divisor.
Para realizar a divisão de polinômios, comumente se usa o método da chave,
chamado também de divisão longa. A explicação será feita com um exemplo:
Vamos dividir 𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 − 𝑥 + 12 por 𝑞(𝑥) = 𝑥 − 2
Inicialmente, dividimos a potência de maior grau do dividendo pela potência de
maior grau do divisor.
𝑥3 − 6𝑥2 − 𝑥 + 12 𝑥 − 2
𝑥2
Então, multiplicamos o resultado dessa divisão pelo divisor, e subtraímos do
dividendo (ou seja, o resultado volta com o sinal trocado):
𝑥3 − 6𝑥2 − 𝑥 + 12 𝑥 − 2
−𝑥3 + 2𝑥2 𝑥2
−4𝑥2 − 𝑥 + 12
Do resultado obtido na subtração, reiniciamos o processo:
𝑥3 − 6𝑥2 − 𝑥 + 12 𝑥 − 2
−𝑥3 + 2𝑥2 𝑥2 − 4𝑥
−4𝑥2 − 𝑥 + 12
+4𝑥2 − 8𝑥
−9𝑥 + 12
A operação finaliza-se quando o grau do resultado da subtração é menor que o
grau do divisor. Assim, obtemos o resto:
𝑥3 − 6𝑥2 − 𝑥 + 12 𝑥 − 2
−𝑥3 + 2𝑥2 𝑥2 − 4𝑥 − 9
−4𝑥2 − 𝑥 + 12
+4𝑥2 − 8𝑥
−9𝑥 + 12
+9𝑥 − 18
−6
Teorema do Resto
O Teorema do Resto nos diz que, em uma divisão de um polinômio 𝑝(𝑥) por
um divisor de forma 𝑑(𝑥) = 𝑥 − 𝑡, ou seja, um polinômio de primeiro grau, o
resto dessa divisão é igual a 𝑝(𝑡), sendo 𝑡 raiz de 𝑑(𝑥), isto é, raiz do divisor.
Por exemplo, vamos calcular o resto da divisão de p(x) = 4x2 − 2x + 3, por
q(x) = 2x − 1.
De acordo com o Teorema, o resto da divisão será igual ao polinômio calculado
na raiz do divisor. Por isso, encontremos a raiz do divisor:
2𝑥 − 1 = 0
𝑥 =1
2
A raiz do divisor é 1
2. Calculando 𝑝 (
1
2):
𝑝 (1
2) = 4 ∙ (
1
2)
2
− 2 ∙ (1
2) + 3 = 3
Então, pelo Teorema do Resto, o resto é 3.
Confirmando pelo método da chave:
4𝑥2 − 2𝑥 + 3 2𝑥 − 1
−4𝑥2 + 2𝑥 2𝑥
3
Teorema de D’Alembert
O Teorema de D’Alembert é consequência direta do Teorema do Resto, e nos
afirma que, um polinômio 𝑝(𝑥) é divisível por 𝑑(𝑥) = 𝑥 – 𝑡 se, e somente se,
𝑝(𝑡) = 0.
Para melhor entendimento, analisemos sobre o que versa o teorema: um
polinômio ser divisível por outro, e sabemos que isso ocorre na divisão quando
o resto dessa é 0.
Logo: “um polinômio é divisível por outro se e somente se o resto da divisão
entre eles for 0.” Vimos, no Teorema do Resto, que, dividindo um polinômio
𝑝(𝑥) por um divisor 𝑑(𝑥) = 𝑥 – 𝑡, o resto é definido por 𝒑(𝒕).
Isso desembaça nossa visão em relação ao teorema, uma vez que agora
percebemos que 𝑝(𝑡) corresponde ao resto da divisão, e, para que a divisão
seja exata, é óbvio que 𝑝(𝑡), o resto, tem de ser igual a 0.
Ademais, há uma importante informação contida ainda nesse teorema: se
𝑝(𝑡) = 0, então 𝒕 é raiz do polinômio.
Sendo assim, o teorema nos diz:
“Um polinômio 𝑝(𝑥) é divisível por 𝑑(𝑥) = 𝑥 – 𝑡 se, e somente se, 𝑝(𝑡) = 0.”
Ao mesmo tempo que:
“Um polinômio 𝑝(𝑥) é divisível por 𝑑(𝑥) = 𝑥 – 𝑡 se, e somente se, 𝑡 for raiz de
𝑝(𝑥)”.
Analisemos o seguinte caso:
𝑝(𝑥) =𝑥2 − 5𝑥 + 6
𝑥 − 2
Qual seria o valor desse polinômio para 𝑥 = 2?
Substituindo diretamente, ocorreria um absurdo, já que o denominador seria 0.
Então, como calcular esse valor?
Ao identificar que as raízes do polinômio são 2 e 3, o problema está resolvido,
pois, de acordo com o Teorema de D’Alembert, como 2 é raiz de 𝑝(𝑥), 𝑝(𝑥) é
divisível por 𝑥 – 2.
Efetuando a divisão, temos que 𝑝(𝑥) = 𝑥 – 3, logo, 𝑝(2) = 2 − 3 = −1.
Esse raciocínio é amplamente utilizado em resolução de problemas de Limites
de Funções Polinomiais, em que é cobrada do aluno a “remoção da
indeterminação”, ou seja, lidar com situações em que há absurdos matemáticas,
como a divisão por 0.
Exercícios Resolvidos
1) Verifique se o polinômio 𝒑(𝒙) = 𝟑𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟏 é divisível por
𝒒(𝒙) = 𝒙 + 𝟓
Inicialmente, precisamos encontrar a raiz do divisor:
𝑥 + 5 = 0 ⟹ 𝑥 = −5
Então, pelo teorema de D’Alembert, para que 𝑝(𝑥) seja divisível por 𝑞(𝑥),
𝑝(5) = 0. Calculando p(5):
𝑝(−5) = 3 ∙ (−5)3 − 2 ∙ (−5)2 − 5 ∙ (−5) − 1 =≠ 0
Como visto, p(-5) =, que é diferente de 0. Por isso, concluímos que p(x) não
é divisível por q(x).
2) Determine o valor de c para que 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟓 − 𝒄𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟔
seja divisível por 𝒒(𝒙) = 𝒙 − 𝟐
Pelo Teorema de D’Alembert, para que a hipótese seja verdadeira:
𝑝(2) = 0
25 − 𝑐 ∙ 24 + 2 ∙ 23 + 22 − 2 + 6 = 0
32 – 16𝑐 + 16 + 4 – 2 + 6 = 0
𝑐 = 7
2
3) O polinômio 𝒑(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝟏𝟓 é divisível por 𝒙 + 𝟏 e por 𝒙 − 𝟓.
Determine 𝒂 e 𝒃.
Pelo Teorema de D’Alembert:
𝑝(−1) = 0, já que −1 é a raiz do primeiro divisor, e 𝑝(5) = 0, já que 5 é a raiz
do segundo divisor. Com isso, temos duas equações:
𝑎 ∙ (−1)2 + 𝑏 ∙ (−1) + 15 = 0 ⟹ 𝑎 − 𝑏 = −15
𝑎 ∙ 52 + 𝑏 ∙ 5 + 15 = 0 ⟹ 25𝑎 + 5𝑏 = −15
{𝑎 − 𝑏 = −15
25𝑎 + 5𝑏 = −15
Resolvendo o sistema, temos:
𝑎 = −3 𝑏 = 12.
FUNÇÕES EXPONENCIAIS Para entender de fato esse tipo de função, é importante que se conheça as
equações exponenciais, tais que, dada uma equação: 𝑎𝑥 = 𝑏𝑦 ,
se 𝑎 = 𝑏, então 𝑥 = 𝑦. (𝑎, 𝑏 > 0 𝑒 𝑎, 𝑏 ≠ 1)
Por isso, temos a seguinte forma de resolução:
Igualar as bases
Igualar as equações dos expoentes
Resolver a equação!
Exercícios Resolvidos
1) Determine x, tal que 𝟐𝑿 = 𝟏𝟎𝟐𝟒:
Inicialmente, precisamos igualar as bases.
Fatorando 1024, identificamos ser 210. Logo, temos:
2x = 210
Igualadas as bases, igualamos os expoentes:
x = 10
2) Determine os valores de x, tal que 𝟑𝒙𝟐−𝟑𝒙 = 𝟏
𝟗
Inicialmente, precisamos igualar as bases. Para isso, é necessário recordar
a propriedade de expoentes negativos. Fatorando 1
9, temos 3−2. Assim,
segue-se:
3𝑥2−3𝑥 = 3−2
Igualadas as bases, igualamos os expoentes, para então resolver a
equação de 2º grau.
x2 − 3𝑥 + 2 = 0
Utilizando as relações de Girard (soma e produto), 𝑥 = 2, 𝑥 = 1.
3) Resolva a equação exponencial 𝟎, 𝟐𝟓𝟏−𝒙 = 𝟎, 𝟓𝟐𝒙.
Antes de igualar as bases, transformamos os números decimais em
frações, para que seja mais fácil trabalhar com os expoentes. Logo, temos:
(1
4)
1−𝑥
= (1
2)
2𝑥
Igualando as bases, temos:
(1
2)
2(1−𝑥)
= (1
2)
2𝑥
(1
2)
2−2𝑥
= (1
2)
2𝑥
Assim, igualamos os expoentes e resolvemos a equação:
2 − 2𝑥 = 2𝑥
𝑥 = 1
2
Agora sim, vamos às funções exponenciais!
Sendo a e b constantes reais, uma função exponencial em x é a função que
pode ser escrita na forma 𝒇(𝒙) = 𝒃 ∙ 𝒂𝒙 (𝒃 ≠ 𝟎, 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏), em que a é base
(constante), e x é o expoente (variável).
O gráfico dessa função pode ser dado de dois modos:
(a) Base > 1
(b) 0 < Base < 1
Estudemos agora o comportamento dessas duas funções:
Temos como domínio todo o conjunto ℝ;
Como imagem, temos os valores positivos do conjunto ℝ.
Usualmente, em Cálculo, utiliza-se a base e, sendo e o número de Euler.
Esse número é caracterizado como limite tendendo a +∞ da função: 𝑓(𝑥) =
(1 +1
𝑥 )𝑥, noção essa a qual será introduzida ao fim do curso de pré-calculo.
Porém, com nossos conhecimentos atuais sobre funções exponenciais,
podemos aproximar esse resultado.
Exercícios Resolvidos
4) Dada a função exponencial 𝒇(𝒙) = (𝒌 − 𝟖)𝒙, determine k para que
essa função exista e seja bem definida.
A questão nos pede para garantir a existência da função, e, para isso,
devemos lembrar que uma função exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 é definida para
todo a > 0 e a ≠ 1.
Logo, temos que garantir as seguintes condições:
k − 8 > 0 e k − 8 ≠ 1
Resolvendo essas relações, obtemos:
k > 8 e k ≠ 9
5) Sendo 𝒇(𝒙) = 𝟐𝟐𝒙+𝟏, e sabendo que 𝒇(𝒂) = 𝟒 ∙ 𝒇(𝒃), determine o
valor de a – b.
Desenvolvendo a relação dada no enunciado, temos:
22𝑎+1 = 4 ∙ 22𝑏+1
Substituindo 4 = 2², e utilizando a propriedade de multiplicação de
expoentes de mesma base, temos:
22𝑎+1 = 22𝑏+3
Igualando os expoentes, temos:
2𝑎 + 1 = 2𝑏 + 3
2𝑎 − 2𝑏 = 2
𝑎 − 𝑏 = 1
6) Esboce o gráfico da função 𝒇(𝒙) = 𝟏𝟎−𝒙.
Para esboçar o gráfico de uma função exponencial, é importante
transforma-la na forma 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙, para então analisar o intervalo em que a
base está, e então determinar o esboço do gráfico.
Assim, utilizando a propriedade do expoente negativo, temos que:
𝒇(𝒙) = 𝟏𝟎−𝒙 = (𝟏
𝟏𝟎)
𝒙
Desse modo, observamos que a base da função situa-se entre 0 e 1, tendo,
então, como esboço:
FUNÇÕES LOGARÍTMICAS Para entender as funções logarítmicas, é importante que se entenda o objeto
de estudo dessas funções: o logaritmo.
Denotamos o logaritmo por log𝑏 𝑎 (𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1), em que a é o
logaritmando, e b é a base do logaritmo.
Temos, como propriedades dos logaritmos:
(a) log𝑎(𝑏 ∙ 𝑐) = log𝑎 𝑏 + log𝑎 𝑐
(Regra do Produto)
(b) log𝑎(𝑏
𝑐) = log𝑎 𝑏 − log𝑎 𝑐
(Regra do Quociente)
(c) log𝑎 𝑏𝑛 = 𝑛 ∙ log𝑎 𝑏
(Regra do Expoente)
(d) log𝑎𝑛 𝑏 = 1
𝑛∙ log𝑎 𝑏 (Regra do Expoente na base)
Além disso, tem-se também a mudança de base, dada por: log𝑏 𝑎 =log𝑐 𝑎
log𝑐 𝑏
É importante notar que as equações exponenciais e logarítmicas são
especialmente relacionadas, uma vez que o logaritmo nos dá o expoente da
potência. Por exemplo:
log2 4 = 2, pois 22 = 4.
Para escrever isso com formalidade matemática, temos:
log𝑏 𝑎 = 𝑥 ⇔ 𝑏𝑥 = 𝑎
Exercícios Resolvidos
1) Sabendo que 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒃 − 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒂 = 𝟓, determine a razão b/a.
Utilizando a Regra do Quociente, a expressão torna-se:
𝐥𝐨𝐠𝟐
𝒃
𝒂= 𝟓
Desenvolvendo o logaritmo, temos:
𝒃
𝒂= 25 ⟹
𝒃
𝒂= 32
2) Dado o 𝒍𝒐𝒈 𝟐, 𝟏 = 𝟎, 𝟑𝟐, determine 𝒍𝒐𝒈 𝟐𝟏𝟎.
Sabemos que log 210 = log(2,1 ∙ 100).
Utilizando a Regra do Produto, temos:
log(2,1 ∙ 100) = log 2,1 + log 100 = 0,32 + 2 = 2,32
3) Sabendo que 𝐥𝐨𝐠 √𝒂 = 𝟏, 𝟐𝟑𝟔, determine 𝐥𝐨𝐠 √𝒂𝟑.
Transformando a raiz em expoente, temos que: log √𝑎 = log 𝑎1 2⁄ .
Utilizando a Regra do Expoente, obtém-se:
log 𝑎1
2⁄ = 1
2log 𝑎 = 1,236 ⟹ log 𝑎 = 2,472
Com o mesmo desenvolvimento da Regra do Expoente, sabemos que:
log √𝑎3 = log 𝑎1 3⁄ = 1
3log 𝑎
Substituindo log 𝑎 = 2,472, conclui-se que:
log √𝑎3 = log 𝑎1 3⁄ = 1
3log 𝑎 =
1
3∙ 2,472 = 0,824
Agora, voltando-se de fato às funções logarítmicas, temos a função definida por
𝑓(𝑥) = log𝑏 𝑥 (𝑥 > 0, 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1), em que b é a base, e x é a variável.
O gráfico dessa função pode ser dado de dois modos:
(a) Base > 1
(b) 0 < Base < 1
(a) (b)
Ainda, é possível transformar a função de (b) em (a), utilizando a regra do
expoente na base.
A partir da análise feita anteriormente entre a relação das equações
exponenciais e o logaritmo, podemos confirmar o fato de as funções exponencial
e logarítmica serem funções inversas. Temos, como representação gráfica
dessa relação, o seguinte comportamento:
Usualmente, nas disciplinas de Cálculo, usa-se, assim como nas funções
exponenciais, a base 𝒆. Assim, temos: log𝑒 𝑥, ou, como é feita a notação formal,
ln 𝑥.
Exercícios Resolvidos
4) Dada a função 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒙−𝟐(𝒙 − 𝟖), determine o intervalo em que é
bem definida.
Ao solicitar o intervalo em que uma função é bem definida, o exercício nos
pede o domínio da função, e, para encontra-lo, devemos nos atentar às
condições de existência. No caso da função logarítmica, temos:
log𝑏 𝑎 (𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1)
Então, para atender às condições, devemos satisfazer:
𝑥 − 8 > 0; 𝑥 − 2 > 0 𝑒 𝑥 − 2 ≠ 1
Trabalhando essas relações, obtemos:
𝑥 > 8; 𝑥 > 2 𝑒 𝑥 ≠ 3
Nesse caso, 𝑥 > 8 pressupõe as outras duas, logo, a função é bem definida
a partir desse valor.
5) Dada a função 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝟏/𝟐(−𝒙𝟐 + 𝟗), determine seu domínio.
Para encontrar o domínio dessa função, devemos atender à condição de
existência do logaritmando, ou seja, garantir que −𝒙𝟐 + 𝟗 > 𝟎
Assim, temos que 𝑥2 < 9, e, portanto, a função está bem definida no intervalo
-3 < 𝑥 < 3.
6) O gráfico da função 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝒌 𝒙 está representado no gráfico a
seguir. Em qual intervalo encontra-se a base k?
O comportamento decrescente do gráfico indica que a base k encontra-se entre
0 e 1, ou seja: 0 < 𝑘 < 1
7) O gráfico da função 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒙 está representado no gráfico a
seguir. Determine o valor de b.
Sabemos, pelo comportamento do gráfico, que 𝑏 > 1. Utilizaremos o ponto
(0,25, −1), ou melhor, o ponto (1
4, −1), para encontrar o valor exato de b.
Substituindo esse ponto na função, temos que:
log𝑏 (1
4) = −1
Desenvolvendo o logaritmo, obtemos:
𝑏−1 = 1
4⟹ 𝑏 = 4
VETORES, MATRIZES E DETERMINANTES
VETORES
DEFINIÇÃO
Vetor é um segmento de reta orientado que apresenta módulo (tamanho),
direção e sentido. Os vetores são usados para expressar grandezas físicas
vetoriais, ou seja, aquelas que só podem ser completamente definidas se
conhecemos o seu valor numérico, a direção em que atuam (horizontal e
vertical), bem como o seu o sentido (para cima, para baixo).
Posição, velocidade, aceleração, força e quantidade de movimento são
bons exemplos de grandezas vetoriais.
As direções de um vetor podem ser definidas com base no sistema de
coordenadas escolhido, por exemplo. Usando-se o sistema cartesiano, as
direções do espaço seriam x e y, tais quais os eixos de um gráfico, e um vetor
poderia ser escrito como V = (x, y).
OPERAÇÕES
SOMA DE VETORES PARALELOS
Para encontrarmos a soma resultante desses vetores, basta somarmos o módulo
de cada um. além disso, o vetor resultante estará na mesma direção e sentido
dos vetores paralelos, e seu tamanho deverá ser o tamanho dos dois vetores
originários.
Dados os vetores descritos na imagem abaixo: �⃗� = (𝑎, 𝑏) e �⃗⃗� = (𝑐, 𝑑)
A soma é dada por: �⃗� + �⃗⃗� = (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑)
SUBTRAÇÃO DE VETORES PARALELOS
A subtração de vetores pode ser vista como uma “soma com o oposto”, ou seja:
�⃗� − �⃗⃗� = �⃗� + (−�⃗⃗�)
Assim, seria o vetor resultante de dois vetores opostos, isto é, o valor de seu
módulo é dado pela diferença no módulo desses, como é possível ver na figura
seguinte:
�⃗� − �⃗⃗� = �⃗� + (−�⃗⃗�) = (𝑎 − 𝑐, 𝑏 − 𝑑)
No caso dos vetores serem opostos, isto é, possuírem mesmo módulo, mesma
direção e sentidos opostos, o vetor resultante é nulo, chamado de Vetor Nulo,
representado usualmente por 0⃗⃗ = (0,0).
PITÁGORAS
Para encontrarmos o vetor resultante de dois vetores perpendiculares, devemos
ligar o início de um dos vetores à ponta do outro. O vetor resultante, nesse caso,
formará a hipotenusa de um triângulo retângulo, e, então, utiliza-se o Teorema
de Pitágoras com os módulos dos vetores somados.
|�⃗⃗�|2
= |�⃗�|2 + |�⃗⃗�|2
MÉTODO DO PARALELOGRAMO
Vetores que não se encaixam em nenhum dos casos anteriores podem ser
determinados geometricamente pela regra do paralelogramo, como na próxima
figura, em que �⃗⃗� é a soma dos vetores azul e vermelho.
Sendo θ o ângulo formado entre os dois vetores de base (azul e vermelho), o
módulo do vetor resultante poderá ser obtido por meio da seguinte fórmula:
|�⃗⃗�|2
= |�⃗�|2 + |�⃗⃗�|2
+ 2 ∙ |�⃗�| ∙ |�⃗⃗�| ∙ cos (θ)
Exercícios Resolvidos
1) Observe a figura a seguir e determine quais os vetores que:
a) Possuem a mesma direção
Direção vertical: A, E, F; direção horizontal: B, G; direção oblíqua: C, D
b) Possuem o mesmo sentido
Usualmente, utiliza-se os pontos cardeais para determinar o sentido de um vetor.
Por isso, temos: Norte: A, F; Nordeste: C,D
c) Possuem a mesma intensidade (módulo)
A, B, E, F = 2u, isto é, os 4 vetores possuem módulo de 2 unidades do desenho.
d) São iguais
A, F: possuem a mesma intensidade (módulo), a mesma direção vertical e o
mesmo sentido norte
2) Uma pessoa sai para dar um passeio pela cidade, fazendo o seguinte
percurso: sai de casa e anda 2 quarteirões para o Norte; dobra à esquerda
andando mais 2 quarteirões para Oeste, virando, a seguir, novamente à
esquerda e andando mais dois quarteirões para o Sul. Sabendo que cada
quarteirão mede 100m, o deslocamento da pessoa é:
Desenhando o percurso baseando-se nos sentidos descritos pelos pontos
cardeais, temos que:
a) 700m para o sudeste
b) 200 m para o oeste
c) 200 m para o norte
d) 700 m em direções variadas
e) 0m
3) Dados os vetores “a”, “b”, “c”, “d” e “e” a seguir representados, obtenha
o módulo do vetor soma:
�⃗⃗� = �⃗� + �⃗⃗� + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒
Redesenhando o sistema e realizando métodos do paralelogramo:
Temos que:
|�⃗⃗�|2
= 42 + 62
|�⃗⃗�| = √52
a) zero
b) √20
c) 1
d) 2
e) √52
4) Um jogador de golfe necessita de quatro tacadas para colocar a bola no
buraco. Os quatro deslocamentos estão representados na figura abaixo.
Sendo d1 = 15 m, d2 = 6,0 m, d3 = 3,0 m e d4 = 1,0 m, a distância inicial da
bola ao buraco era, em metros, igual a:
Desenhando o vetor desejado, percebemos a existência de um triângulo
retângulo de catetos 5 e 12. Assim, aplicamos o Teorema de Pitágoras.
|𝑆|2
= 52 + 122
|𝑆| = 13
a) 5,0
b) 11
c) 13
d) 17
e) 25
5) Dados os vetores u,v, x, y, w de mesmo módulo, qual das relações abaixo
está correta?
a) u + w = y
b) x + w = u
c) x + y = u
d) x + y + z = u
e) u + v + y = u
MATRIZES
DEFINIÇÃO
Matrizes são tabelas de números. Se uma matriz tem 𝑚 linhas e 𝑛 colunas,
dizemos que ela é uma matriz de ordem 𝑚 × 𝑛, ou simplesmente é uma matriz
𝑚 × 𝑛
Os elementos da matriz A são indicados por 𝑎𝑖𝑗, onde o 𝑖 representa o índice da
linha e 𝑗 representa o índice da coluna para o elemento em questão. Assim, para
localizarmos um elemento na coluna, procuramos o número da linha e da coluna,
esses números são os índices 𝑖 e 𝑗.
TIPOS DE MATRIZES
MATRIZ LINHA
É uma matriz que possui somente uma linha.
MATRIZ COLUNA
É uma matriz que possui uma única coluna.
MATRIZ NULA
É uma matriz que possui todos os seus elementos iguais a zero.
MATRIZ QUADRADA
É uma matriz em que o número de colunas é igual ao número de linhas. Sendo
A uma matriz quadrada de ordem 𝑚 × 𝑛, podemos dizer que ela tem ordem 𝑛
MATRIZ IDENTIDADE
São as matrizes quadradas onde a diagonal principal é composta por elementos
de valor e todos os outros elementos são 0.
MATRIZ TRANSPOSTA
Uma matriz transposta é uma matriz resultante da troca ordenadamente de
linhas pelas colunas de outra matriz, ou seja, as linha da matriz original se
transforma nas colunas da matriz transposta. Se temos uma matriz A, então a
transposta de A tem notação At.
OPERAÇÕES
SOMA E SUBTRAÇÃO
Para fazer a adição de duas matrizes, devemos somar todos os elementos
correspondentes de uma matriz com a outra, ou seja, somar linha com linha e
coluna com coluna. As matrizes devem ter a mesma ordem.
Soma de Matrizes
Subtração de Matrizes
MULTIPLICAÇÃO POR UM NÚMERO ESCALAR
Na multiplicação por um número, simplesmente multiplica-se os valores 𝑎𝑖𝑗 da
matriz pelo número em questão, de forma análoga a propriedade distributiva da
multiplicação. Em exemplo com a matriz A:
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
A multiplicação das matrizes 𝐴 e 𝐵, nesta ordem, resulta em 𝐶𝑚 𝑥 𝑝, de forma
que 𝐶 seja obtida pela soma dos produtos dos elementos da linha 𝑖 de 𝐴 com os
da coluna 𝑗 de B, de modo em que a primeira linha de 𝐴 multiplica a primeira
coluna de 𝐵, a segunda linha de 𝐴 multiplica a segunda coluna e 𝐵,
subsequentemente, até que a última linha multiplique a última coluna.
Tiramos disso duas informações importantes: a ordem da multiplicação é
importante, portanto 𝐴 × 𝐵 ≠ 𝐵 × 𝐴, e é necessário que o número de linhas da
primeira seja igual o número de colunas da segunda, para que o algoritmo da
multiplicação ocorra sem problemas.
DETERMINANTES O determinante de uma matriz A é um número real indicado por det A. O
determinante só existe caso a matriz seja quadrada, ou seja, possua o mesmo
número de linhas e colunas.
Para cada ordem de matrizes, há uma forma usual diferente para obter o valor
do determinante:
ORDEM 2:
ORDEM 3:
Para matrizes de ordem 3, deve-se aplicar a regra de Sarrus para calcular o
determinante. Este método só se aplica para matrizes de ordem 3. Copiamos a
1ª e a 2ª coluna para a direita da matriz:
ORDEM SUPERIOR A 3:
TEOREMA DE LAPLACE
O teorema de Laplace nos diz que o determinante de uma matriz é igual a soma
dos produtos entre os termos de uma linha matriz e seus respectivos cofatores,
ou seja:
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑎1,1 ∙ 𝐴1,1 + 𝑎1,2 ∙ 𝐴1,2 + 𝑎1,3 ∙ 𝐴1,3 + ⋯ + 𝑎1,𝑛 ∙ 𝐴1,𝑛
para uma matriz quadrada de ordem 𝑛
Primeiramente, calcula-se o cofator.
Para calcularmos o cofator ou complemento algébrico de um elemento 𝑎𝑖𝑗, em
uma matriz M de ordem n, com n > 1, devemos utilizar a seguinte fórmula:
𝑀𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 . 𝐷𝑖𝑗
Onde 𝑖 e 𝑗 são os índices do elemento em questão, e 𝐷𝑖𝑗 representa o
determinante da matriz resultante com a eliminação das linhas e colunas para o
elemento escolhido.
Vamos calcular o cofator 𝑀2,3 para a matriz abaixo:
Para facilitar o cálculo utilizando o teorema de Laplace, devemos escolher uma
linha ou coluna com a maior quantidade de zeros possíveis, pois isso faz com
que sejam necessárias menos contas. Por exemplo, vamos calcular o
determinante da seguinte matriz:
Utilizaremos a primeira linha, pois nela há a maior quantidade de zeros. De
acordo com o teorema de Laplace:
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑎1,1 ∙ 𝐴1,1 + 𝑎1,2 ∙ 𝐴1,2 + 𝑎1,3 ∙ 𝐴1,3 + 𝑎1,4 ∙ 𝐴1,4
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 1 ∙ 𝐴1,1 + 0 ∙ 𝐴1,2 + 2 ∙ 𝐴1,3 + 0 ∙ 𝐴1,4
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 1 ∙ 𝐴1,1 + 2 ∙ 𝐴1,3
Por conta dos zeros, não é necessário calcular dois dos cofatores, nos
deixando somente com os cofatores 𝐴1,1 e 𝐴1,3:
𝐴1,1 = (−1)1+1 . |131
102
112
| = −1 e 𝐴1,3 = (−1)1+3 . |22
−1
131
112
| = 10
Então:
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 1 ∙ (−1) + 2 ∙ 10 = 19
Exercícios propostos
1) Considere a matriz 𝑨 = (𝟏 −𝟏
−𝟏 𝟏), então A⁴+ 2A³ + 4A² + 8A é igual a:
a) A⁶
b) A⁸
c) A¹⁰
d) A⁵
2) Dadas as matrizes 𝑨 = (𝟏 𝟐 −𝟑𝟒 𝟓 𝟎
) 𝒆 𝑩 = (𝟏 −𝟐𝟑 𝟎𝟒 −𝟑
), determine 𝑨 + 𝟐𝑩𝒕:
R: A + 2Bt = (3 8 50 5 −6
)
3) Considere as matrizes 𝑨 = (−𝟏 𝟐 𝟓𝟎 𝟏 −𝟒𝟑 −𝟐 𝟕
) e 𝑩 = (𝟎 −𝟐 𝟑𝟏 𝟒 −𝟓
−𝟑 𝟐 𝟎 ),
determine (𝑨𝒕 + 𝑩𝒕) e (𝑨 + 𝑩)𝒕 e compare-os.
R: (𝐴 + 𝐵)𝑡 = (𝐴𝑡 + 𝐵𝑡) = (−1 1 00 5 08 −9 7
)
4) Determine 𝒙 e 𝒚 sabendo que 𝑨 é uma matriz identidade: 𝑨 =
(𝟐𝒙 − 𝟓 𝟎 𝟎
𝟎 𝟏 𝟎𝟎 𝒚 + 𝒙 𝟏
)
R: 𝑥 = 3 e 𝑦 = −3
5) Dadas as matrizes: 𝑨 = (𝟏 𝟒 𝟎𝟏 −𝟑 𝟏
) 𝒆 𝑩 = (𝟏 −𝟏
−𝟏 𝟏𝟓 𝟎
).
Calcule 𝑨 ∙ 𝑩 e 𝑩 ∙ 𝑨, e compare-os.
R: 𝐴 ∙ 𝐵 = (−3 39 −4
) e 𝐵 ∙ 𝐴 = (0 7 −10 −7 15 20 0
), o que nos mostra que o produto
não é comutativo.
TRIGONOMETRIA
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Dado o seguinte triângulo retângulo, em que A é a hipotenusa e B e C são os
catetos:
Temos as seguintes relações trigonométricas em relação a 𝛼.
𝑐 é o cateto oposto a alfa, enquanto 𝑏 é o cateto adjacente.
𝑠𝑒𝑛𝑜 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 =1
𝑠𝑒𝑛𝑜=
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 =1
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜=
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 =1
𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒=
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
Os ângulos de 30°, 45° e 60º são chamados de ângulos notáveis, e, quanto a
Seno, Cosseno e Tangente, possuem seguintes valores:
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
É uma representação gráfica de um círculo de raio 1 que determina o cálculo das
razões trigonométricas.
Além das relações já ditas anterioremente, há uma importante relação identificada no Círculo Trigonométrico, a Relação Fundamental da Trigonometria:
𝑠𝑒𝑛2(𝜃) + 𝑐𝑜𝑠2(𝜃) = 1 QUADRANTES DO CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
Quando dividimos o círculo trigonométrico em quatro partes iguais, temos
os quatro quadrantes que o constituem. Para compreender melhor,
observe a figura abaixo:
Relações Trigonométricas
30° 45° 60°
Seno 1
2 √2
2
√3
2
Cosseno √3
2
√2
2
1
2
Tangente √3
3
1 √3
1.° Quadrante: 0º a 90º
2.° Quadrante: 90º a 180º
3.° Quadrante: 180º a 270º
4.° Quadrante: 270º a 360º
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO E SEUS SINAIS
De acordo com o quadrante em que está inserido, os valores do seno cosseno
e tangente variam. Ou seja, os valores podem ser positivos ou negativos
dependendo do ângulo escolhido.
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO EM RADIANOS
Algumas relações entre graus e radianos:
π rad = 180°
2π rad = 360°
π/2 rad = 90°
π/3 rad = 60°
π/4 rad = 45°
Exercícios propostos
1) Os ponteiros de um relógio marcam duas horas e vinte minutos. O
menor ângulos entre os ponteiros é:
a) 45
b) 50°
c) 55°
d) 60°
e) 65° 2) Os moradores de certa cidade costumam fazer caminhada em torno
de duas de suas praças. A pista que contorna uma dessas praças é
um quadrado de lado L e tem 640 m de extensão; a pista que contorna
a outra praça é um círculo de raio R e tem 628 m de extensão. Nessas
condições, o valor da razão R/L é aproximadamente igual a:
Use π = 3,14.
a) ½
b) 5/8
c) 5/4
d) 3/2
TEORIA EUCLIDIANA
Lei dos Senos
A Lei dos Senos estabelece que num determinado triângulo, a razão entre o
valor de um lado e o seno de seu ângulo oposto, será sempre constante.
Dessa forma, para um triângulo ABC de lados a, b, c, a Lei dos Senos
é representada pela seguinte fórmula:
Lei dos Cossenos
A Lei dos Cossenos estabelece que em qualquer triângulo, o quadrado de
um dos lados, corresponde à soma dos quadrados dos outros dois lados,
menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre
eles.
Dessa maneira, sua fórmula é representada da seguinte maneira:
Lei das Tangentes
A Lei das Tangentes estabelece a relação entre as tangentes de dois
ângulos de um triângulo e os comprimentos de seus lados opostos.
Dessa forma, para um triângulo ABC, de lados a, b, c, e ângulos α, β e γ,
opostos a estes três lados, têm-se a expressão:
Exercícios propostos
1) Duas ferrovias se cruzam segundo um ângulo de 30°. Em km, a
distância entre um terminal de cargas que se encontra numa das
ferrovias, a 4 km do cruzamento, e a outra ferrovia, é igual a:
a) 2√3
b) 2
c) 8
d) 4√3
2) Se um cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo
medem 2a e 4a, respectivamente, então a tangente do ângulo
oposto ao menor lado é:
a) 2√3
b) √3/3
c) √3/6
d) √20/20
