Aproximações ao cálculo de perdas em redes de energia ...grau de Doutor “Aplicação do Teorema de Tellegen e de Redes Adjuntas ao Cálculo de Tensões e Perdas em Sistemas de

Aproximações ao cálculo de perdas em redes de energia

eléctrica

João Tiago Abelho dos Santos Calheiros Andrade

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Orientadores: Prof. Doutor Luís António Fialho Marcelino Ferreira

Prof.ª Doutora Célia Maria Santos Cardoso de Jesus

Júri

Presidente: Prof.ª Doutora Maria Eduarda de Sampaio Pinto de Almeida Pedro

Orientador: Prof.ª Doutora Célia Maria Santos Cardoso de Jesus

Vogal: Prof. Doutor Duarte de Mesquita e Sousa

Setembro de 2014

ii

iii

“O único lugar onde o sucesso vem antes do trabalho é no dicionário.” –

Albert Einstein

iv

v

Agradecimentos

Em primeiro lugar, agradeço aos meus orientadores, professor Marcelino Ferreira e professora

Célia de Jesus, pela ajuda e auxílio prestados durante a realização desta dissertação.

Obrigado também a todos os professores que ao longo da vida me foram dispensando os seus

ensinamentos e cimentando os meus conhecimentos.

Igualmente agradeço aos meus amigos e colegas por todos estes anos de convívio e amizade

que muito contribuiu para me trazer até aqui.

E por fim, o maior obrigado de todos aos meus pais e avós por toda a compreensão, apoio e

força nos momentos mais difíceis. Sem vocês não teria sido possível.

vi

Resumo

De um modo geral, esta dissertação surge no âmbito da análise de redes de energia eléctrica,

bem como da tentativa de encontrar métodos alternativos para o cálculo de perdas na transmissão,

após a ocorrência de perturbações.

Surge ainda com o objectivo de retomar o trabalho realizado na dissertação para obtenção do

grau de Doutor “Aplicação do Teorema de Tellegen e de Redes Adjuntas ao Cálculo de Tensões e

Perdas em Sistemas de Energia Eléctrica” [5], realizada pela Prof.ª Doutora Célia Maria Santos

Cardoso de Jesus.

Uma vez que a definição da topologia de operação da rede pode significar um elevado número de

possíveis configurações para a mesma, torna-se imperativo encontrar uma forma alternativa de saber

quais as melhores soluções, sem envolver o cálculo de trânsitos de energia para todos os casos.

Desta forma, numa primeira fase, trata-se o conceito de rede adjunta e calculam-se as

sensibilidades de perdas para quaisquer parâmetros da rede, com base no Teorema de Tellegen e no

conceito de redes adjuntas. Posteriormente desenvolve-se uma fórmula exacta, continuando-se o

estudo sobre a avaliação de perdas.

Finalmente, estuda-se a ideia de, reduzindo o esforço computacional e o espaço de observação

da rede, obter resultados fiáveis para o cálculo de perdas, com base num modelo aproximado.

Todos os cálculos e resultados obtidos foram realizados com auxílio do MATLAB.

Palavras-chave

Redes de energia eléctrica, avaliação de perdas, redes adjuntas, Teorema de Tellegen, análise

de sensibilidades

vii

Abstract

In general, this dissertation appears in the ambit of the analysis of power networks, as well as the

attempt of finding alternative methods for calculating the transmission losses after the occurrence of

disturbances.

Another goal of this dissertation is to follow the study performed in the PhD dissertation “Aplicação

do Teorema de Tellegen e de Redes Adjuntas ao Cálculo de Tensões e Perdas em Sistemas de

Energia Eléctrica” [5], realized by the Prof. Dr. Célia Maria Santos Cardoso de Jesus.

Once the definition of the network operation topology can mean a large number of possible

configurations, it becomes imperative to find an alternative way of knowing what the best solutions

without involving the calculation of power flows to all cases.

This way, in a first stage, it is treated the concept of adjoint network and the loss sensitivities are

calculated for any network parameters, based on the Tellegen’s Theorem and on the concept of

adjoint networks. Posteriorly, it is developed a precise formula, continuing the study of the loss

evaluation.

Finally, we study the idea of get reliable results for the calculation of losses, reducing the

computational effort and the network’s observation space, based on an approximate model.

All the calculations and the obtained results were performed using MATLAB.

Key words

Power networks, loss evaluation, adjoint networks, Tellegen’s theorem, sensitivity analysis

viii

Índice

Agradecimentos ....................................................................................................... v

Resumo .................................................................................................................... vi

Abstract ................................................................................................................... vii

Índice de Figuras ...................................................................................................... x

Índice de Tabelas .................................................................................................... xii

Lista de Símbolos e Abreviaturas ........................................................................ xiii

1. Introdução ............................................................................................................. 1

1.1 Contexto e Motivação ........................................................................................................... 2 1.2 Análise do problema e principais objectivos ..................................................................... 4 1.3 Estrutura da Dissertação ...................................................................................................... 5

2. Avaliação de perdas – Sensibilidades, Teorema de Tellegen e conceito de

redes adjuntas .......................................................................................................... 7

2.1 Introdução .............................................................................................................................. 8 2.2 Objectivos .............................................................................................................................. 8

2.2.1 Fórmulas para o cálculo de sensibilidades ..................................................................... 9 2.2.2 Modelação da rede adjunta ............................................................................................. 9

2.3 Teorema de Tellegen ............................................................................................................. 9 2.4 Representação simbólica da rede adjunta ....................................................................... 10 2.5 Sensibilidades - Fórmulas .................................................................................................. 11 2.6 Modelação ............................................................................................................................ 12

2.6.1 Ramo .................................................................................................................. 12 2.6.2 Ramo .................................................................................................................. 12 2.6.3 Ramo .................................................................................................................. 13 2.6.4 Ramo .................................................................................................................. 13 2.6.5 Soma de Tellegen.......................................................................................................... 14

2.7 Exemplo ................................................................................................................................ 15 2.8 Considerações sobre o capítulo ........................................................................................ 21

3. Avaliação de perdas – Fórmula exacta ............................................................. 23

3.1 Introdução ............................................................................................................................ 24 3.2 Objectivos ............................................................................................................................ 25 3.3 Variações de tensão - equações exactas .......................................................................... 25 3.4 Dedução da fórmula exacta ................................................................................................ 26

3.4.1 Ramo .................................................................................................................. 27 3.4.2 Ramo .................................................................................................................. 27 3.4.3 Ramo .................................................................................................................. 28 3.3.4 Ramo .................................................................................................................. 28

3.5 Fórmula exacta .................................................................................................................... 29 3.6 Exemplo ................................................................................................................................ 30

3.6.1 Exemplo Fórmula Exacta .............................................................................................. 30 3.6.2 Comparação de resultados ........................................................................................... 33

3.7 Considerações sobre o capítulo ........................................................................................ 37

4. Avaliação de tensão em redes de distribuição - Modelo aproximado ........... 39

ix

4.1 Introdução ............................................................................................................................ 40 4.2 Objectivo .............................................................................................................................. 40 4.3 Trânsito de energia convencional VS Equações com base no Teorema de Tellegen . 41 4.4 Solução local para as novas equações ............................................................................. 42 4.5 Exemplos .............................................................................................................................. 43

4.5.1 Testes e Resultados ...................................................................................................... 44 4.6 Considerações sobre o capítulo ........................................................................................ 53

5. Avaliação de perdas em redes de distribuição - Modelo aproximado ........... 55

5.1 Introdução ............................................................................................................................ 56 5.2 Objectivos ............................................................................................................................ 57 5.3 Modelo aproximado por solução local .............................................................................. 57

5.3.1 Conceito ......................................................................................................................... 57 5.3.2 Procedimento ................................................................................................................. 58

5.4 Modelos para comparação ................................................................................................. 59 5.4.1 Fórmula exacta .............................................................................................................. 59 5.4.2 Avaliação por sensibilidades ......................................................................................... 59

5.5 Exemplos .............................................................................................................................. 60 5.6 Considerações sobre o capítulo ........................................................................................ 64

6. Síntese final ........................................................................................................ 65

6.1 Síntese .................................................................................................................................. 66 6.2 Continuidade do estudo ..................................................................................................... 68

Bibliografia .............................................................................................................. 69

Anexos..................................................................................................................... 71

1. Rede de 5 barramentos dos capítulos 2 e 3 .................................................. 72

2. Rede de 10 barramentos dos capítulos 4 e 5 (todos os ramos) .................. 73

3. Rede de 10 barramentos dos capítulos 4 e 5 (versão com menos ramos) . 75

x

Índice de Figuras

Figura 2.1 - Representação simbólica dos elementos da rede adjunta ………………………………... 10

Figura 2.2 – Representação do sistema de energia exemplo ……………………………...…...………. 15

Figura 2.3 – Rede adjunta correspondente ao sistema de energia da figura 2.2 ……………………... 15

Figura 2.4 – Rectas de nível relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, calculadas

a partir das sensibilidades, no espaço , ……………………………………………................. 18


a partir das sensibilidades, no espaço e ……………………………………………………...... 19


a partir das sensibilidades, no espaço e …………………………………………………..... 20

Figura 3.1 – Curvas de nível relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, calculadas

a partir da fórmula exacta, no espaço e ……………………………………………………….. 31


a partir da fórmula exacta, no espaço e ………………………………………………………... 32


a partir da fórmula exacta, no espaço e …………………………………………………..... 33

Figura 3.4 – Comparação dos resultados obtidos relativamente ao cálculo de perdas de energia

por sensibilidades e pela fórmula exacta, no espaço e …………………………………….... 34


por sensibilidades e pela fórmula exacta, no espaço e ……………………………………..... 35


por sensibilidades e pela fórmula exacta, no espaço e …………………………………... 36

Figura 4.1 – Rede de distribuição completa (10 barramentos) utilizada nos testes do Modelo

aproximado para avaliação de tensão ……………………………………………………………………... 43

Figura 4.2 – Rede de distribuição da figura 4.1 com perturbação (retirar ramo que liga os nós

7 e 9) …………………………………………………………………………………………........................ 44

Figura 4.3 – Comparação do erro de uma solução local para os dois tipos de equações .……….… 44

xi

Figura 4.4 – Valores de erro do modelo aproximado relativamente ao cálculo exacto das tensões,

para diferentes níveis de carga nos barramentos ………………………………………………………... 45

Figura 4.5 – Valores de erro do modelo aproximado relativamente ao cálculo exacto das tensões

com carga nominal nos barramentos …………………………………………………………………….... 46

Figura 4.6 – Rede de distribuição derivada da rede da figura 4.1 (reduzido número de ligações

entre os barramentos) ……………………………………………………………………………………….. 47

Figura 4.7 – Rede de distribuição da figura 4.5 com perturbações (retirar ramo entre os

barramentos 2 e 4 e ligar os barramentos 5 e 9) …………………………………………………………. 48

Figura 4.8 – Comparação entre modelo aproximado e exacto no cálculo da parte real das tensões

nos barramentos directamente perturbados – região curta ……………………………………………... 49

Figura 4.9 – Comparação entre modelo aproximado e exacto no cálculo da parte real das tensões

nos barramentos directamente perturbados e barramentos vizinhos – região alargada …………….. 50

Figura 4.10 – Comparação entre modelo aproximado e exacto no cálculo da parte imaginária das

tensões nos barramentos directamente perturbados – região curta ………………………………….... 51

Figura 4.11 – Comparação entre modelo aproximado e exacto no cálculo da parte imaginária das

tensões nos barramentos directamente perturbados e barramentos vizinhos – região alargada ….. 52

Figura 5.1 – Diagrama de procedimentos do modelo aproximado para avaliação de perdas em

redes de distribuição …………………………………………………………………………………………. 58

Figura 5.2 – Perdas na rede da figura 4.1 considerando diferentes perturbações, calculadas pela

fórmula exacta, por sensibilidades e pelo modelo aproximado para perdas ………………………….. 60

Figura 5.3 – Perdas na rede da figura 4.1 para diferentes % da carga nominal, calculadas pela

fórmula exacta, por sensibilidades e pelo modelo aproximado …………………………………………. 61

Figura 5.4 – Perdas na rede da figura 4.6 considerando diferentes perturbações, calculadas pela

fórmula exacta e pelo modelo aproximado ………………………………………………………………... 63

xii

Índice de Tabelas

Tabela 2.1 – Valores de tensão do sistema de energia e da rede adjunta correspondente ... 16

Tabela 2.2 – Valores de sensibilidade nos ramos e nós do sistema de energia relativos aos

diferentes parâmetros do mesmo ..................................................................................................... 16

Anexos

Tabela 1.1 – Dados dos ramos - rede de 5 barramentos ................................................................. 72

Tabela 1.2 – Potências injectadas nos barramentos – rede de 5 barramentos ............................... 72

Tabela 2.1 – Dados dos ramos – rede completa de 10 barramentos ............................................... 73

Tabela 2.2 – Potências injectadas nos barramentos – rede completa de 10 barramentos .............. 74

Tabela 3.1 – Dados dos ramos – rede de 10 barramentos (versão com menos ramos) .................. 75

Tabela 3.2 – Potências injectadas nos barramentos – rede de 10 barramentos (versão com

menos ramos) ................................................................................................................................... 76

xiii

Lista de Símbolos e Abreviaturas

Δ - Símbolo que denota a variação de uma grandeza

¨ - Símbolo que denota as grandezas adjuntas correspondentes à rede adjunta

˄ - Símbolo que denota as grandezas adjuntas correspondentes à rede adjunta

~ - Símbolo que denota as grandezas adjuntas correspondentes à rede adjunta

* - Símbolo que denota o conjugado de uma grandeza

- Índice do ramo de referência

- Conjunto de índices dos ramos da rede passiva

- Conjunto de índices dos ramos que correspondem a cargas activas (corresponde a na tese

de referência [5])

- Conjunto de índices dos ramos de geração

– Subconjunto de para ramos que sofrem alterações na potência activa de geração

– Subconjunto de para ramos que sofrem alterações no módulo da tensão de geração

- Subconjunto de para ramos que sofrem alterações de potência complexa

- Subconjunto de para ramos que sofrem alterações na sua admitância

- Tensão no ramo k

- Corrente no ramo k

- Admitância do ramo k

xiv

1

Capítulo 1

Introdução Este primeiro capítulo introduz o tema da dissertação, Aproximações ao cálculo de perdas em

redes de energia eléctrica, abordando o contexto em que se insere, a motivação, expondo ainda o

problema em questão.

A estrutura seguida ao longo da dissertação é também apresentada neste capítulo.

2

1.1 Contexto e Motivação

A energia eléctrica é uma forma de energia que, mediante a transformação adequada, pode

apresentar-se de outras formas que permitam o seu uso directo, em forma de luz, movimento ou

ainda calor.

Essencialmente produzida em centrais termoeléctricas, centrais hidroeléctricos, sistemas eólicos,

solares e nucleares, é uma das formas de energia mais utilizadas pela humanidade e considerada,

nos dias de hoje, como um ‘bem de primeira necessidade’, uma vez que é impensável viver sem

energia eléctrica.

Em Portugal, os principais produtores de energia eléctrica em regime ordinário são a EDP

Produção, com produção hidráulica e térmica, a Iberdrola, com produção exclusivamente hidráulica, a

REN Trading, que tem como principal função a gestão da Turbogás e da Tejo Energia, e a

ELECGÁS, ambas com produção exclusivamente térmica. Existe ainda alguma produção em regime

especial. Ao nível do transporte, a REN é a concessionária de serviço público exclusiva da RNT

(Rede Nacional de Transporte), em muito alta e alta tensão, ligando os produtores aos centros de

consumo e cobrindo a totalidade do território continental. O sector da distribuição de electricidade

divide-se em média e alta tensão e baixa tensão. A distribuição em média e alta tensão é operada em

exclusivo pela EDP Distribuição, através da RND (Rede Nacional de Distribuição). No mercado de

distribuição de baixa tensão, ainda que operado quase na totalidade também pela EDP Distribuição,

existem algumas excepções em que a distribuição de energia eléctrica está atribuída a pequenos

operadores.

Previsões apontam para o aumento do consumo de energia eléctrica no futuro. Neste sentido, é

importante a realização de estudos que facilitem a análise e aumentem a fiabilidade e eficiência dos

sistemas de energia eléctrica.

Existem vários critérios de qualidade nos sistemas de energia eléctrica. Um dos principais

indicadores da eficiência de uma rede eléctrica é as perdas de energia que ocorrem ao longo da sua

estrutura. Muitas vezes, o estudo das perdas de energia baseia-se na análise da diferença entre a

energia comprada e a energia facturada por parte da empresa responsável pela distribuição. O

principal problema desta análise é que não permite conhecer a localização das perdas e quais os

parâmetros da rede responsáveis pela sua ocorrência. Da mesma forma, a análise referida apenas

sugere um montante de perdas, o que torna difícil a realização de um estudo de optimização para

uma rede de dimensões reais.

Uma vez que a optimização desempenha um papel de grande relevância no planeamento, gestão

e operação dos sistemas de energia eléctrica, é neste contexto que se insere o estudo desenvolvido

nesta dissertação, análise de modelos aproximados para o cálculo de perdas de energia que

permitam obter resultados precisos, num curto espaço de tempo e com reduzido esforço

computacional.

Esta dissertação tem ainda como principal motivação retomar em parte o estudo realizado em

2004 pela Prof.ª Doutora Célia Maria Santos Cardoso de Jesus, na sua tese de doutoramento

“Aplicação do Teorema de Tellegen e de Redes Adjuntas ao Cálculo de Tensões e Perdas em

3

Sistemas de Energia Eléctrica”. A principal ideia será retomar a parte deste estudo referente aos

modelos, aproximados e exactos, sugeridos como alternativa para a avaliação de perdas em redes de

energia eléctrica.

Desta forma é sugerido, ao leitor da presente dissertação, realizar uma leitura da mesma em

paralelo com a tese de referência [5] e seguindo as sugestões que para ela remetem. Os exemplos

práticos apresentados ao longo dos vários capítulos desta dissertação seguem muitas vezes os

exemplos da tese de doutoramento de referência [5] ilustrando, no entanto, diferentes casos,

diferentes pontos de funcionamento e diferentes redes de energia. Por outro lado, e como forma de

confirmar a validade do código MATLAB desenvolvido, os exemplos ilustrativos apresentados na tese

de referência [5] foram reproduzidos. Esta reprodução de exemplos, bem como os resultados e

gráficos obtidos pela mesma com sucesso, não é apresentada nesta dissertação, uma vez que foi

apenas realizada como método de verificação e validação do código. Ainda assim, e uma vez que os

exemplos apresentados nesta dissertação correspondem de certa forma a exemplos dados na tese

de referência [5], pode encontrar-se em cada exemplo uma nota de redireccionamento para o

exemplo correspondente no estudo realizado anteriormente [5], por forma a complementar o estudo e

exemplo em questão.

Realizando esta ponte entre a presente dissertação e a tese de doutoramento da Prof.ª Doutora

Célia Maria Santos Cardoso de Jesus pretende-se retomar e complementar o estudo realizado

anteriormente sobre a aproximação ao cálculo de perdas e, ainda, facilitar a compreensão do leitor,

principalmente se este pretender prosseguir estudos relacionados com esta temática.

Desta forma, e por uma questão de simplificação e fluência na escrita e leitura da presente

dissertação, a tese de doutoramento “Aplicação do Teorema de Tellegen e de Redes Adjuntas ao

Cálculo de Tensões e Perdas em Sistemas de Energia Eléctrica” será a partir deste ponto referida

como tese de referência seguida do número que a representa na bibliografia [5].

4

1.2 Análise do problema e principais objectivos

A energia eléctrica produzida nos centros de geração, normalmente localizados a grandes

distâncias dos centros de consumo, é transportada por linhas de transmissão que alimentam as

subestações de subtransmissão, localizadas mais próximo dos centros urbanos. A partir deste ponto,

o papel do sistema de distribuição de energia eléctrica é o de levar a electricidade a todos os

consumidores do sistema, onde quer que estes se encontrem.

Evidentemente, uma vez que alimentam consumidores tão diversos e tão distanciados, as redes

eléctricas apresentam características muito específicas e alguns problemas tecnológicos.

A reconfiguração de redes de distribuição possui um papel importante no planeamento dos

sistemas de energia, onde é preciso definir a topologia em que a rede irá operar. Um dos objectivos

deste trabalho será o estudo de várias configurações de uma rede por forma a analisar a evolução

das perdas de distribuição de energia e tentar minimizá-las.

Existem outras formas de redução destas perdas de distribuição, no entanto, são as

reconfigurações que apresentam as soluções economicamente mais viáveis. O processo de

reconfiguração consiste em retirar e inserir ramos na rede, processo este que corresponde a

perturbações da mesma.

Tradicionalmente, o cálculo de perdas de energia em determinada rede pode ser efectuado

realizando o trânsito de energia (Power Flow) através de métodos como Newton-Raphson, Gauss-

Seidel ou Desacoplamento. Outra hipótese para o cálculo de perdas seria o igualmente clássico

Método do Bs. Com estas duas soluções pode-se chegar ao cálculo exacto das perdas numa rede,

no entanto, existe um grande problema associado. No cálculo de perdas para um elevado número de

possíveis configurações de uma determinada rede, o tempo e esforço de computação seria

demasiado elevado.

Desta forma, esta dissertação sugere estudar o desempenho de diferentes aproximações ao

cálculo de perdas em redes de energia eléctrica em termos de precisão de resultados como função

do esforço computacional e do espaço de observação da rede.

5

1.3 Estrutura da Dissertação

A forma como esta dissertação está organizada tem por base uma estrutura que segue uma linha

de raciocínio, ao longo da qual se vão tirando conclusões e comparando estudos de capítulos

anteriores com os estudos dos capítulos correntes. Todas as análises feitas ao longo da dissertação

são ilustradas com exemplos práticos, quem têm por base os exemplos apresentados na tese de

referência [5].

Antes de se iniciar qualquer explicação ou análise acerca do tema em questão, Aproximações ao

cálculo de perdas em redes de energia eléctrica, tem-se o primeiro capítulo da dissertação. Um

capítulo meramente introdutório que tem como objectivos a apresentação do tema, a explanação do

contexto e do problema em análise, explicar a relação entre esta dissertação e a tese de referência

[5] e ainda expor os principais objectivos deste estudo, terminando com esta apresentação da

estrutura geral da dissertação.

O Capítulo 2, Avaliação de perdas – sensibilidades, Teorema de Tellegen e conceito de

redes adjuntas, assim como é sugerido pelo título do capítulo, introduz uma primeira forma de

avaliação de perdas em redes de energia eléctrica, as sensibilidades, assim como conceitos

fundamentais para esta dissertação. São eles, o Teorema de Tellegen e o conceito de rede adjunta

de um sistema de energia.

O Capítulo 3, Avaliação de perdas – Fórmula exacta, segue o estudo do capítulo anterior e,

com base nos conceitos apresentados no mesmo, desenvolve-se neste capítulo uma fórmula exacta

para o cálculo de perdas. Como foi dito anteriormente, esta dissertação segue uma linha de raciocínio

e, como tal, logo neste terceiro capítulo é feita a ligação com o capítulo anterior, comparando-se

alguns resultados e tirando-se algumas conclusões acerca dos modelos apresentados até esta fase.

O Capítulo 4, Avaliação de tensão em redes de distribuição - Modelo aproximado, é um

capítulo de grande importância, uma vez que serve de estudo base para o capítulo seguinte. As

equações aproximadas para o cálculo de tensões nos barramentos de uma rede de distribuição,

analisadas neste capítulo, serão a base do modelo aproximado para avaliação de perdas do capítulo

5. São ainda estudadas, neste capítulo, soluções locais para as equações de cálculo de tensões,

como forma de aproximação.

O Capítulo 5, Avaliação de perdas em redes de distribuição - Modelo aproximado, é o

capítulo que justifica, no verdadeiro contexto da dissertação, a existência do capítulo 4. Neste

capítulo é apresentado um modelo aproximado para o cálculo de perdas que tem por base as tensões

aproximadas calculadas com o modelo apresentado no capítulo anterior. Para este modelo é ainda

utilizada a fórmula exacta desenvolvida no terceiro capítulo, ainda que de forma aproximada e

localizada. Este capítulo é o culminar dos estudos feitos ao longo da dissertação e onde se podem

6

tirar as conclusões relacionadas com a precisão dos modelos para avaliação de perdas, aquando da

ocorrência de perturbações e fazendo variar as condições de funcionamento dos sistemas.

O Capítulo 6, Síntese Final, conclui a dissertação, apresentando-se conclusões gerais

como forma de encerrar os tópicos abertos neste capítulo introdutório. Apresentam-se algumas

considerações relativamente ao problema e contexto que poderão, no final da dissertação, fazer

maior sentido. As possibilidades de trabalho futuro que poderão ter por base o estudo elaborado

nesta dissertação são também abordadas.

A secção Anexos contém informações relacionadas com as redes de energia utilizadas nos

exemplos práticos apresentados ao longo de todos os capítulos.

7

Capítulo 2

Avaliação de perdas –

Sensibilidades, Teorema de

Tellegen e conceito de redes

adjuntas

Neste capítulo aborda-se a avaliação de perdas através do cálculo das sensibilidades e explica-

se o procedimento para o cálculo das mesmas com base no Teorema de Tellegen e no conceito de

redes adjuntas. São ainda apresentadas as fórmulas utilizadas no processo, bem como um exemplo

para uma rede de cinco barramentos.

8

2.1 Introdução

O conceito de rede tratado nesta dissertação e o Teorema de Tellegen são uma base teórica para

o cálculo de perdas em redes.

O Teorema de Tellegen exprime uma relação entre grandezas de ramos de duas redes adjuntas,

isto é, com o mesmo grafo (1)

.

A avaliação de perdas começa com um estudo de sensibilidades, uma vez que estas

desempenham um papel fundamental no planeamento e reconfiguração de redes de distribuição.

Neste capítulo, estabelece-se a relação entre as variações incrementais de variável dependente

(variações ) e uma série de variações incrementais nas variáveis independentes da rede ( ,

, , , ).

Desta forma, após a definição de rede adjunta e descrição da sua representação simbólica, são

apresentadas as fórmulas para o cálculo de sensibilidades de perdas, relativamente a qualquer

parâmetro do sistema, susceptível de sofrer perturbações.

O estudo efectuado neste capítulo tem por base o estudo desenvolvido no capítulo 4 da tese de

referência [5] relacionado com a avaliação de perdas por sensibilidades.

Relativamente à estrutura do capítulo 2, após esta breve introdução (2.1), encontram-se os

objectivos do capítulo (2.2), seguindo-se a apresentação do Teorema de Tellegen (2.3) e a

representação simbólica da rede adjunta (2.4). As secções 2.5 e 2.6 são destinadas à apresentação

das fórmulas das sensibilidades e à modelação que permite obter a variação . Por fim, apresenta-

se um exemplo de aplicação do estudo realizado (2.7) e são descritas algumas considerações finais

sobre o capítulo (2.8).

2.2 Objectivos

Este capítulo tem como principais objectivos:

1. A apresentação das fórmulas para o cálculo das sensibilidades de perdas (perdas

incrementais de primeira ordem) relativamente a qualquer parâmetro do sistema.

2. Derivação das fórmulas a partir do Teorema de Tellegen e do conceito de redes adjuntas.

_______________________

(1) Entende-se por grafo um conjunto de pontos (vértices) ligados entre si por segmentos de recta (arestas)

9

2.2.1 Fórmulas para o cálculo de sensibilidades

As fórmulas apresentadas neste capítulo permitem calcular todo o tipo de sensibilidades, isto é,

tanto as que dizem respeito a quantidades nodais, relacionadas com as cargas (potência activa e

reactiva) ou com parâmetros dos geradores (potência activa e tensão gerada), como as que dizem

respeito a alterações da rede (mudanças nas resistências e/ou reactâncias das linhas). Estas

fórmulas podem também ser consultadas nas páginas 93 e 94 da tese de referência [5] ou na

publicação referida no ponto [1] da bibliografia.

2.2.2 Modelação da rede adjunta

A modelação da rede adjunta definida para o sistema de energia inclui tanto a modelação de nós

PQ e PV, como de todas as perturbações possíveis de ocorrer na rede.

As fórmulas são derivadas a partir do Teorema de Tellegen em vez das convencionais equações

do trânsito de energia.

2.3 Teorema de Tellegen

Como foi dito anteriormente, o Teorema de Tellegen exprime uma relação entre grandezas de

ramos de duas redes adjuntas.

Assim, considerando uma rede de energia N onde é a tensão através do ramo k ϵ K (conjunto

de índices para todos os ramos da rede), e considerando ainda uma rede (rede adjunta à rede de

energia em estudo), onde é a corrente que atravessa o ramo k, o teorema de Tellegen diz que:

∑

No caso de redes que sofrem variações incrementais o Teorema de Tellegen sugere:

∑

Uma vez que as perdas são uma quantidade real e a equação acima é uma equação complexa,

usa-se a parte real da equação:

∑ { }

10

2.4 Representação simbólica da rede adjunta

A representação simbólica da rede adjunta é topologicamente equivalente à rede de energia,

apresentando ambas as redes a mesma estrutura de grafo. Sendo assim, a rede adjunta é definida

segundo as seguintes regras:

1. A representação do barramento de balanço, ou de referência, da rede de energia N é feito por

uma fonte de tensão independente na rede adjunta das perdas – equação 2.13

2. A representação das linhas na rede adjunta é efectuada através da mesma admitância da linha

da rede de energia, isto é, o ramo k da rede passiva corresponde a uma admitância na

representação simbólica da rede adjunta – equação 2.14

3. A representação dos ramos correspondentes a barramentos do tipo PQ (ramo de carga) é

realizada na rede adjunta por uma fonte de corrente dependente – equação 2.15

4. A representação dos ramos correspondentes a barramentos do tipo PV (geradores) é realizada

por meio de uma fonte de tensão dependente – equação 2.16

A figura seguinte mostra a representação simbólica dos elementos da rede adjunta:

Fig. 2.1 - Representação simbólica dos elementos da rede adjunta

(1) Fonte de tensão independente (2) Admitância (3) Fonte de corrente dependente (4) Fonte de

tensão dependente

11

2.5 Sensibilidades - Fórmulas

As seguintes fórmulas retiradas de [1] e/ou [5] são a base para computação das sensibilidades

de perdas de energia do sistema relativamente a qualquer grandeza do mesmo, incluindo a tensão de

referência do sistema, a demanda de potência activa e reactiva, magnitude da tensão gerada e

parâmetros de transmissão da rede. Os valores relativos à rede adjunta estão representados com um

trema.

{ } k ϵ (2.4)

{ } k ϵ (2.5)

k ϵ (2.6)

{

} k ϵ (2.7)

{

} k ϵ (2.8)

{

} k ϵ (2.9)

{

} k ϵ (2.10)

As fórmulas para a sensibilidade de perdas com respeito a e , k ϵ derivam das fórmulas

anteriores que estão relacionadas com parâmetros dos ramos da rede ( – Network):

{

} k ϵ (2.11)

{

} k ϵ (2.12)

É importante notar que as grandezas adjuntas são definidas segundo o seguinte sistema [1]:

k ϵ (2.13)

k ϵ (2.14)

k ϵ (2.15)

k ϵ (2.16)

12

2.6 Modelação

Nesta secção do capítulo 2 é apresentada a metodologia para obter as fórmulas das

sensibilidades, tendo esta por base a modelação da rede adjunta.

Tendo em conta a já apresentada soma de Tellegen (primeira parte da equação 2.3), e

considerando as diferentes partições do conjunto (ver lista de símbolos)

(2.17)

conseguem obter-se, com base no sistema das grandezas adjuntas, os k termos da soma de

Tellegen. Pode consultar-se uma modelação mais detalhada das fórmulas das sensibilidades na

secção 4.4 da tese de referência [5] (pp 95 a 97).

2.6.1 Ramo

Começando pelo nó de referência e considerando-se o ramo pertencente à partição ( ),

assume-se uma alteração na tensão de referência de . Desta forma, o termo 0 da soma de

Tellegen é

(2.18)

Então, com base no sistema que define as grandezas adjuntas, mais concretamente assumindo a

equação 2.13, o termo 0 da soma de Tellegen fica:

(2.19)

2.6.2 Ramo

Considerando agora um ramo da partição e assumindo-se uma alteração na admitância

desse ramo ΔYk, uma vez que , então

(2.20)

Combinando as equações 2.3 e 2.20, chega-se ao termo k da soma de Tellegen

{ ( ) } (2.21)

Tal como na secção anterior, tendo por base o sistema que define as grandezas adjuntas e

considerando a equação 2.14, chega-se ao termo k da soma de Tellegen que é

(2.22)

13

2.6.3 Ramo

Olhando agora para um ramo pertencente à partição e alterando a potência complexa de

carga , tem-se

(2.23)

Utilizando agora a equação 2.23 e substituindo na equação 2.3, obtém-se o termo k da soma de

Tellegen

{ (

)

} (2.24)

Novamente com base no sistema que modela a rede adjunta e utilizando para este caso a

equação 2.15, o termo k da equação de Tellegen contribui da seguinte forma

{

} (2.25)

2.6.4 Ramo

Por fim, considerando um ramo da partição e assumindo desta vez duas alterações, uma na

amplitude da tensão e outra na potência activa tem-se que

(2.26)

(2.27)

Tendo mais uma vez presente a equação base do teorema de Tellegen (2.3) e utilizando as

equações 2.26 e 2.27, o termo k da soma de Tellegen pode escrever-se

{ (

)} {

}

{

} (2.28)

Considerando então a última equação do sistema de modelação da rede adjunta (2.16), o termo k

da soma de Tellegen baseia-se nos termos

{

} {

} (2.29)

14

2.6.5 Soma de Tellegen

A variação de primeira ordem na potência de pode obter-se através da soma das

contribuições de todos os ramos, correspondentes à soma de Tellegen (contribuições deduzidas ao

longo da modelação realizada anteriormente). Tendo em conta que esta variação de primeira ordem

corresponde, no nó de referência, a

(2.30)

obtém-se

{( ) } (2.31)

∑ { }

∑ {

}

∑ {

}

∑ {

}

As derivadas parciais, representadas na secção 2.5 Formulas, são facilmente obtidas tendo em

conta o seguinte diferencial:

∑ ( )

(2.32)

15

2.7 Exemplo

Por forma a clarificar toda a informação contida neste capítulo, segue-se um exemplo da

aplicação do conceito de rede adjunta e do cálculo das sensibilidades, relativamente aos diferentes

parâmetros de uma rede exemplo de cinco barramentos (dados da rede em anexo). Considere-se

então a rede da figura abaixo.

Fig. 2.2 – Representação do sistema de energia exemplo. Os barramentos estão numerados a

negrito, enquanto a numeração dos ramos não tem qualquer formatação. Nó 0 – referência. Nó 2 –

PV. Nós 1, 2 e 3 – PQ

Com base na secção 2.4, e seguindo a representação simbólica para redes adjuntas, obtém-se

para o sistema de energia da figura 2.2 a seguinte representação adjunta

Fig. 2.3 – Rede adjunta correspondente ao sistema de energia da figura 2.2. A numeração dos

barramentos e ramos segue a mesma lógica da figura anterior

16

O próximo passo implica o cálculo dos valores de tensão para cada barramento, bem como os

valores de tensão da rede adjunta correspondentes. Só com todos estes valores é possível calcular

as sensibilidades das perdas com base nas fórmulas da secção 2.5.

Desta forma, na tabela em baixo estão representados os valores de tensão para os nós da rede

exemplo e da correspondente rede adjunta.

k

0 1 1

1 0.9966 - j0.0828 1.0390 + j0.0863

2 1.0621 + j0.0213 1.0487 - j0.0370

3 0.9338 - j0.1366 1.0088 + j0.1680

4 0.9935 - j0.0431 1.0166 + j0.0481

Tab. 2.1 – Valores de tensão do sistema de energia e da rede adjunta correspondente

Note-se que para chegar aos valores de tensão para os ramos passivos, faz-se

ou , para o ramo que liga os barramentos i e j. Por exemplo, para se obter faz-se

. Fazendo chega-se ao valor de . Exemplificando:

Tendo todos os valores de tensão, quer da rede de energia quer da sua rede adjunta, podem

então calcular-se as sensibilidades das perdas para os diferentes parâmetros do sistema. Na tabela

seguinte encontram-se alguns dos valores de sensibilidade para o sistema de energia exemplo.

Tipo de ramo k

Referência 0

- 0.0913

Ramos passivos

8

10

0.3578 - 0.0022

0.2014 - 0.0068

Nós PQ

1

3

4

0.0426 - 0.0000

0.0834 0.0213

0.0234 0.0040

Nó PV 2

-1.0942 0.5313

Tab. 2.2 – Valores de sensibilidade nos ramos e nós do sistema de energia relativos aos diferentes

parâmetros do mesmo

17

Este exemplo tem semelhanças com o exemplo apresentado a partir da página 102 da tese de

referência [5], no qual também se estudaram as sensibilidades relativas aos parâmetros de uma rede

de cinco barramentos (diferente da rede utilizada nesta dissertação).

As figuras apresentadas de seguida ilustram a evolução das perdas, com base no cálculo das

sensibilidades, aquando da ocorrência de perturbações em alguns parâmetros da rede. A explicação

mais detalhada de cada caso será dada seguidamente à figura. Note-se que, as figuras apresentadas

neste capítulo ilustram as rectas de nível obtidas a partir do cálculo de perdas por sensibilidades,

sendo que a sua comparação com as curvas de nível exactas apenas será realizada no próximo

capítulo. No exemplo do capítulo 4 da tese de referência [5], as imagens apresentadas ilustram as

perdas calculadas por sensibilidades para um determinado ponto de funcionamento e apresentam as

curvas de nível exactas respeitantes às perdas do sistema. Os valores de perdas obtidos no exemplo

da tese de referência [5] foram recalculados com sucesso ainda que não apresentados nesta

dissertação.

No primeiro caso, figura 2.4, está representada a evolução das perdas, dependendo das

potências activa e reactiva do nó 3 e do sistema de energia da figura 2.2.

No caso seguinte, está ilustrada a forma como evoluem as perdas de energia do sistema, com

dependência nas potências activas de dois nós PQ. As potências seleccionadas na figura 2.5 foram

e .

A última figura (2.6) representa a evolução do valor das perdas de energia relativamente à

existência de perturbações na resistência e na reactância e do ramo que liga os

barramentos 2 e 4 do sistema.

18

Fig. 2.4 – Rectas de nível relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, calculadas a partir

das sensibilidades, no espaço ,

Como foi dito anteriormente, as rectas representadas na figura 2.4 ilustram as perdas de energia

do sistema da figura 2.2 no espaço , .

Está ainda representado o valor das perdas para o ponto de funcionamento base e

.

Os valores de sensibilidade responsáveis pelas rectas de nível desta figura são

e

.

19


das sensibilidades, no espaço e

Por sua vez, as rectas representadas na figura 2.5 ilustram as perdas de energia do sistema da

figura 2.2 no espaço , .

Está igualmente representado o valor das perdas para o ponto de funcionamento base

e .

Neste caso, os valores de sensibilidade responsáveis pelas rectas de nível da figura são

e

.

20


das sensibilidades, no espaço e

No exemplo da figura 2.6, as rectas representadas ilustram as perdas de energia do sistema da

figura 2.2 no espaço , .

À semelhança dos exemplos anteriores, está representado o valor das perdas para o ponto de

funcionamento base e .

Neste caso, os valores de sensibilidade responsáveis pelas rectas de nível da figura são

e

.

21

2.8 Considerações sobre o capítulo

Com o exemplo dado na secção 2.7 ilustrou-se todo o procedimento explicado ao longo do

capítulo.

Exemplificou-se o conceito de rede adjunta para um sistema de energia exemplo de cinco

barramentos e calcularam-se as sensibilidades para os vários parâmetros do mesmo, com base nas

fórmulas apresentadas na secção 2.5.

As imagens obtidas ilustram a evolução das perdas de energia do sistema quando este sofre

perturbações em alguns parâmetros. Como seria de esperar, o cálculo das perdas a partir do modelo

de sensibilidades, dá origem a rectas de nível, uma vez que o conceito base desta aproximação

representa uma evolução linear de perdas de energia.

Outra conclusão que pode tirar-se de cada uma das imagens com as rectas de nível será, quais

dos parâmetros testados poderão ter uma maior influência nas perdas de energia, quando sofrem

perturbações. Por exemplo, considerando a figura 2.5, pode ver-se facilmente que uma perturbação

da potência activa do barramento 1 tem maior efeito nas perdas do que a mesma perturbação na

potência activa do barramento 4. Isto confirma os valores de sensibilidade para cada um destes nós

relativamente à potência activa (

= 0.0426 e

= 0.0234) que consideram o barramento 1 mais

sensível a perturbações deste parâmetro.

Os resultados obtidos neste capítulo reforçam os resultados obtidos no exemplo apresentado na

tese de referência [5], relativamente ao cálculo de perdas por sensibilidades. Referir mais uma vez

que os valores de sensibilidade e de perdas obtidos no exemplo apresentado a partir da página 102

da tese de referência [5] foram recalculados com sucesso, provando assim a correcta implementação

do modelo de sensibilidades em MATLAB.

O estudo efectuado neste capítulo será tido em conta mais à frente, a título de comparação com

outros modelos de cálculo de perdas de energia, onde poderão tirar-se algumas conclusões acerca

da sua precisão.

22

23

Capítulo 3

Avaliação de perdas – Fórmula

exacta

Neste capítulo aborda-se a avaliação de perdas através da utilização da fórmula exacta

desenvolvida com base no Teorema de Tellegen e no conceito de redes adjuntas, como seguimento

do capítulo anterior. É ainda descrita a sua modelação, bem como alguns exemplos para a rede de

cinco barramentos já utilizada.

24

3.1 Introdução

O estudo desenvolvido neste capítulo apresenta-se como tendo por base o capítulo anterior, no

entanto, com uma diferença de importante relevo. Não fazer quaisquer aproximações na utilização

das equações de Tellegen levando, desta forma, ao desenvolvimento da fórmula exacta para o

cálculo de perdas.

Este capítulo deve ser considerado relevante no âmbito desta dissertação, uma vez que, na

comparação entre modelos aproximados para o cálculo de perdas, é em relação ao modelo exacto

que se consideram os erros e se pode concluir acerca da performance das aproximações realizadas.

Tal como no capítulo anterior, as perdas no sistema são uma consequência de perturbações na

rede, sendo tidos em conta todos os tipos de perturbações já anteriormente considerados.

Desta forma, são agora disponibilizadas, sobre a forma de equações exactas, todas as relações

relativas às fórmulas derivadas para as sensibilidades, tornando possível a determinação dos valores

exactos de perdas em todos e quaisquer barramentos de uma rede de distribuição de energia

eléctrica. Este capítulo tem por base o estudo realizado no capítulo 5 da tese de referência [5] e

procura complementá-lo com um novo exemplo, que completa também o exemplo do capítulo

anterior.

É importante notar que, para calcular as perdas através da fórmula exacta, é necessário fazer

primeiro a avaliação das tensões do sistema quando sujeito a perturbações. Desta forma, são

primeiramente apresentadas as equações exactas para avaliação da tensão. Estas, à semelhança do

capítulo anterior, fazem uso de grandezas adjuntas que correspondem às redes adjuntas (valores

reais) e (valores imaginários). A modelação destas equações não será apresentada uma vez que o

raciocínio é semelhante ao já apresentado na modelação das fórmulas de sensibilidade e ao que será

posteriormente apresentado para a fórmula exacta das perdas. Para obter informações mais

detalhadas, tanto das equações exactas para avaliação da tensão como da sua modelação e ainda

analisar alguns exemplos, deve consultar-se o capítulo 3 da tese de referência [5] – “Avaliação de

tensão – Equações exactas”.

A estrutura deste capítulo é semelhante à do capítulo 2, começando-se com uma breve nota

introdutória, seguida dos seus principais objectivos (3.2). A diferença consiste na secção 3.3 que

apresenta as equações para avaliação das variações de tensão. É então explicada a modelação da

fórmula exacta para avaliação das perdas (3.4), apresentando-se a respectiva fórmula obtida na

secção 3.5. O capítulo termina com um exemplo de aplicação da fórmula desenvolvida (3.6) e

algumas considerações finais (3.7).

25

3.2 Objectivos

Tal como anteriormente, o grande objectivo deste capítulo consiste no cálculo de perdas em

redes de distribuição com base no Teorema de Tellegen e no conceito de rede adjunta, contudo,

agora de forma exacta, não se considerando quaisquer aproximações.

Dividindo em pequenos objectivos tem-se para este capítulo:

1. Apresentação da fórmula exacta continuando o estudo do capítulo anterior e calculando as

variações de tensão de forma exacta.

2. Exemplificar a fórmula utilizando a rede de cinco barramentos já descrita no cálculo das

sensibilidades.

3.3 Variações de tensão - equações exactas

Esta secção serve, exclusivamente, para apresentar as equações exactas utilizadas no cálculo

das variações de tensão, aquando da ocorrência de perturbações no sistema. As variações de tensão

calculadas a partir das equações seguintes serão utilizadas, mais à frente, na fórmula exacta para o

cálculo de perdas. Estas equações exactas para o cálculo das variações de tensão podem

igualmente ser consultadas nas páginas 53 e 54 da tese de referência [5].

Assim, a parte real das variações de tensão nos barramentos calcula-se da seguinte forma:

{ } (3.1)

∑ { }

∑ {

}

∑ {

}

∑ {

}

∑ {

}

∑ { ( {

}

{

})}

26

A parte imaginária das variações de tensão nos barramentos é calculada a partir de:

(3.2)

∑ { }

∑ {

}

∑ {

}

∑ {

}

∑ {

}

∑ { ( {

}

{

})}

3.4 Dedução da fórmula exacta

À semelhança do capítulo anterior, a dedução apresentada nesta secção do capítulo 3 terá por

base o teorema de Tellegen e considera-se novamente as diferentes partições do conjunto (ver

lista de símbolos).

(3.3)

Ainda seguindo a lógica do capítulo 2, tem-se um sistema [5] que vai definir as grandezas

adjuntas, apresentado a seguir:

27

(3.4)

k ϵ (3.5)

k ϵ (3.6)

k ϵ (3.7)

É importante notar que esta análise dedutiva da fórmula exacta é em tudo semelhante à

modelação da soma de Tellegen do capítulo anterior, assentando a única diferença no facto de

considerar para as expressões que representam as perturbações os termos de ordem superior, o que

garante a exactidão dos resultados obtidos. Assim sendo, a dedução apresentada de seguida é

realizada da mesma forma que a modelação do capítulo 2, apresentando-se apenas para cada

partição a(s) perturbação(ões) respectivas, o termo da fórmula exacta que se obtém e a contribuição

final para a fórmula exacta, após a aplicação de uma das condições do sistema considerado em cima.

Para uma modelação mais detalhada da fórmula exacta para o cálculo de perdas deve consultar-se a

secção 5.4 da tese de referência [5] (pp 116 a 119).

3.4.1 Ramo

Tal como foi feito anteriormente e começando pelo ramo pertencente à partição e

considerando uma variação de , o termo 0 da soma de Tellegen é

{ } (3.8)

Assumindo a equação 3.4, o termo 0 da soma de Tellegen fica:

{ } (3.9)

3.4.2 Ramo

Considerando um ramo da partição e assumindo-se uma alteração na admitância desse ramo

, então

(3.10)

Sendo o termo k da soma de Tellegen

{ ( ) } (3.11)

28

Recorrendo à equação 3.5 do sistema das grandezas adjuntas obtém-se o termo k simplificado

{ } (3.12)

3.4.3 Ramo

Olhando agora para um ramo pertencente à partição e alterando a potência complexa de

carga

(3.13)

O termo k da fórmula é

{ (

)

} (3.14)

Simplificado pela equação 3.6, o termo k fica

{

} (3.15)

3.3.4 Ramo

Para os ramos da partição e tendo em conta alterações na amplitude da tensão e na

potência activa tem-se que

(3.16)

(3.17)

Obtêm-se assim os últimos termos da soma de Tellegen:

{ (

)} {

}

{

}

{ ( {

}

{

})} (3.18)

Considerando então a última equação do sistema das grandezas adjuntas (3.7), o termo k da

soma de Tellegen baseia-se apenas nos termos

29

{

} {

}

{ ( {

}

{

})} (3.19)

3.5 Fórmula exacta

Considerando também os termos de ordem superior, o Teorema de Tellegen sugere que a

fórmula exacta [5] é

∑ (3.20)

Juntando agora todos os termos obtidos na dedução anterior chega-se a , obtendo-se a

fórmula que permite calcular com exactidão as perdas para uma rede distribuição, relativamente a

qualquer perturbação que possa ocorrer na mesma.

{( ) (3.21)

∑

∑

∑

∑

∑

∑ ( {

}

{

})}

30

3.6 Exemplo

Tal como no capítulo anterior, esta secção “Exemplo” serve para apresentar os resultados obtidos

aquando da aplicação das expressões e modelos descritos ao longo do capítulo.

Seguindo também a lógica do capítulo anterior, serão então apresentadas as curvas de nível

relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, dependendo da ocorrência de perturbações

em diferentes parâmetros da rede. Estes resultados serão apresentados na subsecção 3.6.1.

Na subsecção 3.6.2 ter-se-á então uma primeira comparação de resultados entre modelos. Esta

primeira comparação torna possível começar a tirar algumas conclusões relativamente à precisão do

modelo de cálculo de perdas por sensibilidades, quando comparado com a fórmula exacta deduzida

com base no Teorema de Tellegen e no conceito de redes adjuntas. Remetendo para a tese de

referência [5] podemos igualmente encontrar no exemplo do capítulo relativo à fórmula exacta

algumas comparações dos resultados obtidos por sensibilidades com os resultados obtidos de forma

exacta (pp 124 e 125). Tal como no capítulo anterior alguns dos resultados obtidos no exemplo da

tese de referência [5] foram replicados com sucesso, provando-se assim a correcta implementação

da fórmula exacta no MATLAB.

3.6.1 Exemplo Fórmula Exacta

As figuras apresentadas de seguida ilustram a evolução das perdas, com base na fórmula exacta

deduzida a partir do Teorema de Tellegen e no conceito de redes adjuntas, para a ocorrência de

perturbações em alguns parâmetros do sistema de energia. Os espaços escolhidos são semelhantes

aos apresentados no capítulo 2 para tornar possível a posterior comparação de resultados. A

explicação mais detalhada de cada caso será dada a seguir à respectiva figura.

Nestas figuras estão, à semelhança das figuras obtidas no exemplo do capítulo anterior, está

ainda assinalado o valor das perdas para os pontos de funcionamento do caso base (determinado

através de um trânsito de energia convencional).

31

No primeiro caso está representada a evolução das perdas com base na fórmula exacta,

dependendo das potências activa e reactiva do nó 3 e do sistema de energia da figura 2.2.

Fig. 3.1 – Curvas de nível relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, calculadas a partir

da fórmula exacta, no espaço e

Está ainda representado o valor das perdas para o ponto de funcionamento base e

que é igual a 0.0475.

32

No segundo exemplo, está ilustrada a forma como evoluem as perdas de energia do mesmo

sistema, com dependência nas potências activas de dois nós PQ. As potências seleccionadas na

figura 3.2 foram e .



Neste exemplo é claramente notório que, apesar das perdas de energia aumentarem tanto com a

potência activa do barramento 1 como com a potência activa do barramento 2, têm uma evolução

mais rápida para valores de potência activa mais elevados no primeiro barramento.

Está igualmente representado o valor das perdas para o ponto de funcionamento base

e que é igual a 0.0475.

33

A figura 3.3 representa a evolução do valor das perdas de energia relativamente à existência de

perturbações na resistência e na reactância e do ramo que liga os barramentos 2 e 4 do

sistema.



À semelhança dos exemplos anteriores, está representado o valor das perdas para o ponto de

funcionamento base e que é novamente igual a 0.0475.

Tal como já tinha sido visto no capítulo das sensibilidades, confirma-se com este exemplo que a

resistência de uma linha tem um efeito muito superior relativamente às perdas de energia do que a

sua reactância.

A secção seguinte permite tirar algumas conclusões relativamente a estes dois modelos uma vez

que são comparados os resultados dos dois modelos já conhecidos.

3.6.2 Comparação de resultados

Como foi dito, esta secção de comparação de resultados permite tirar as primeiras conclusões

relativamente à precisão do modelo de sensibilidades para o cálculo de perdas.

Uma vez que, tanto no capítulo 2 como neste capítulo os exemplos escolhidos foram os mesmos,

podem então sobrepor-se os resultados e observar quão preciso é o cálculo de perdas por

sensibilidades em relação ao cálculo de perdas pela fórmula exacta desenvolvida neste capítulo.

34

Fig. 3.4 – Comparação dos resultados obtidos relativamente ao cálculo de perdas de energia por

sensibilidades e pela fórmula exacta, no espaço e

Tendo em conta a figura acima, a primeira diferença que se destaca é o facto de, quando se trata

da fórmula exacta, se obterem curvas de nível e não rectas, uma vez que as perdas não evoluem

necessariamente de forma linear com a variação de um parâmetro.

Para este caso específico, olhando para a imagem, pode considerar-se que o cálculo de perdas

por sensibilidades aproxima-se daquilo que são os valores exactos, pelo menos no que diz respeito à

evolução das perdas. Naturalmente, no ponto de funcionamento base e , a

recta das sensibilidades é tangente à curva de nível resultante da fórmula exacta, sendo o valor das

perdas para este ponto 0.0475. Isto acontece uma vez que para as sensibilidades é realizado um

trânsito de energia para o caso base. Olhando para outras rectas, como é o caso em que as perdas

são 0.04 e 0.06, vê-se que estas rectas de sensibilidades não são tangentes à curva que corresponde

ao mesmo valor de perdas, no entanto, são bastante próximas.

Considerando outro ponto de funcionamento específico, podemos olhar para o caso em que a

potência activa do barramento 3 é 0.2 e a potência reactiva é 0.1. Aqui pode ver-se, que o valor de

perdas para este ponto de funcionamento quando calculado pelas sensibilidades é igual a 0.03,

enquanto, na realidade, o valor de perdas exacto é de 0.0345. O mesmo acontece com o ponto de

funcionamento em que as potências activa e reactiva são, respectivamente, 0.65 e 0.15, onde

segundo as sensibilidades o valor de perdas é de 0.07 quando o valor real é 0.078. Com esta análise

mais precisa, percebe-se que o erros do modelo de sensibilidades para este exemplo são

consideráveis (entre 10% e 15%).

35



Neste segundo exemplo, em que o plano escolhido envolve as potências activas de dois dos

barramentos pode ver-se que os resultados do cálculo de perdas por sensibilidades são mais

precisos para valores de potência mais elevados e, ainda, que o sentido de evolução das perdas é

correcto.

Observando a imagem, nota-se que para alguns pontos de funcionamento, os resultados obtidos

a partir das sensibilidades são muito próximos dos valores exactos, uma vez que as rectas de nível

são praticamente tangentes às curvas de nível da fórmula exacta. No entanto, à medida que nos

afastamos deste ponto de funcionamento, para potências activas mais baixas, o erro vai aumentar e

os resultados começam a ser menos precisos. Tenhamos em conta, por exemplo, o caso em que

uma perturbação leva as potências activas de ambos os barramentos para 0.55. Para este caso, o

valor de perdas calculado pelas sensibilidades é 0.0442, sendo que o valor exacto é de 0.0449.

Olhando para este ponto de funcionamento na imagem, vê-se que a recta de nível é praticamente

tangente à curva de nível, obtendo-se então um erro muito pequeno de 1.55%. Ainda dentro dos

resultados com bons níveis de precisão, podemos observar o ponto em que ambas as potências

activas vão para 0.8. Aqui, pelas sensibilidades, o valor de perdas é igual a 0.0607, e pela fórmula

exacta é 0.060. Novamente um erro muito pequeno de cerca de 1.2%.

Por outro lado, se considerarmos uma perturbação que afaste o sistema do ponto de

funcionamento base, e com potências activas abaixo deste ponto para o barramento 4, irão obter-se

erros superiores. Considerando assim, um ponto próximo do cruzamento de uma recta de nível com

uma curva, a potência activa do barramento 1 é igual a 0.45 e a potência activa do barramento 4 é

0.4. Neste ponto, o resultado para as perdas obtido através das sensibilidades é de 0.0364, sendo

36

que o valor exacto corresponde a aproximadamente 0.040. Quer isto dizer que o valor se tornou

menos preciso, verificando-se um erro de cerca de 9%.

Não obstante e após esta avaliação detalhada, podemos considerar que para este exemplo, o

modelo aproximado por sensibilidades tem uma precisão bastante razoável.



Para este exemplo final, em que o plano escolhido foi o da resistência e reactância do ramo que

liga os barramentos 2 e 4, percebe-se facilmente que a variação da reactância é o principal factor

para reduzir significativamente a precisão do modelo de sensibilidades.

Se considerarmos a reactância no ponto de funcionamento base ( ) e variarmos

apenas a resistência, o valor das perdas calculadas a partir das sensibilidades, é aproximado ao valor

exacto (rectas tangentes ou que cruzam as curvas de nível nestes pontos). No entanto, variando a

reactância, a precisão vai diminuir bastante. Olhando, por exemplo, para o ponto em que uma

perturbação reduz a resistência do ramo para 0.02pu, ficando a reactância com valor igual a 0.45pu,

as perdas exactas são de 0.045, enquanto pelas sensibilidades se obtém 0.04. Este erro é

considerável (cerca de 11%) e observando a evolução da curva tende a aumentar. Resumindo, para

este exemplo, as rectas de nível geradas pela análise das sensibilidades dão a ideia de que as

perdas diminuem com o aumento da reactância, quando na verdade aumentam.

37


Fazendo uma breve revisão do que foi apresentado até este capítulo é importante recordar que

foram, até agora, estudadas duas formas diferentes de calcular as perdas num sistema de energia

eléctrica. São eles o cálculo de perdas por sensibilidades e a fórmula exacta.

Note-se que ambos têm por base o Teorema de Tellegen e o conceito de rede adjunta, matérias

que foram igualmente abordadas.

Após este capítulo é então possível tirar conclusões acerca da precisão do modelo aproximado

por sensibilidades. Analisando os vários exemplos descritos é possível dizer que este modelo pode,

em alguns casos, ter uma precisão aceitável obtendo-se resultados próximos dos exactos, porém

pode igualmente gerar valores que se afastam consideravelmente da realidade. Nos dois primeiros

exemplos, em que se consideraram perturbações ao nível de potências activas e reactivas nos

barramentos, os resultados obtidos foram aceitáveis, não só do ponto de vista da sua proximidade

com os valores exactos, mas também do ponto de vista da evolução das perdas com a variação dos

parâmetros em questão. Por outro lado, o último exemplo, representa um caso em que o modelo

aproximado por sensibilidades, apresenta resultados ‘enganosos’, uma vez que sugere a diminuição

das perdas com o aumentar de um parâmetro, quando na realidade acontece precisamente o

contrário.

Os resultados obtidos com os exemplos apresentados neste capítulo permitem reforçar as

conclusões da tese de referência [5] acerca de uma análise de perdas por sensibilidades e

recorrendo ao modelo exacto, uma vez que também nos exemplos dados em [5] o modelo de

sensibilidades apresentou erros elevados para alguns espaços de parâmetros e erros inferiores para

outros, relativamente à fórmula exacta.

Desta forma, deve ter-se em conta que através das sensibilidades, ainda que possam obter-se

resultados com um pequeno esforço computacional e um tempo de cálculo atractivo quando

comparado com a realização de um trânsito convencional de energia para cada caso possível, pode

chegar-se a resultados muito distantes da realidade. Isto faz deste modelo útil quando a precisão dos

resultados não é o mais importante, mas sim a facilidade e rapidez com que são obtidos.

Por outro lado, a fórmula exacta derivada do Teorema de Tellegen é bastante precisa, uma vez

que faz o uso das variações de tensão exactas em cada barramento, também elas calculadas com

base no mesmo teorema e no conceito de rede adjunta.

38

39

Capítulo 4

Avaliação de tensão em redes de

distribuição - Modelo aproximado

Abordagem do tema aproximação na avaliação de tensões, contrapondo-se o trânsito de energia

convencional com o novo modelo numa solução local. Estudo da precisão para ambos os casos com

um exemplo e posteriores conclusões.

40

4.1 Introdução

Neste capítulo será abordada a avaliação de tensões de forma aproximada.

Apesar de o tema desta dissertação incidir sobre a aproximação ao cálculo de perdas, este

capítulo servirá de base para o capítulo seguinte. Como o próprio título indica, no capítulo 4 será

apresentado um modelo a partir do qual se obterão valores de tensão aproximados, que serão

posteriormente utilizados no modelo aproximado de perdas apresentado no próximo capítulo.

Abordando o tema “equações de trânsito de energia para redes de distribuição”, sabe-se que as

tensões são as grandezas desconhecidas, que são necessárias tantas equações quantos os

barramentos da rede e que estas equações têm por base o princípio da conservação da potência em

cada um dos nós.

Contudo, existe outro tipo de equações de trânsito de energia, também elas assentes no conceito

de redes adjuntas e baseadas no Teorema de Tellegen. Serão estas equações o principal alvo de

estudo deste capítulo. Note-se que aqui apenas serão consideradas redes com um nó de referência e

os restantes nós PQ – rede de distribuição.

Ainda que este capítulo esteja relacionado com o capítulo 6 da tese de referência [5] tem por

base a publicação referenciada com o número [2] na bibliografia. Exemplos de ambas as publicações

são a base para os exemplos apresentados neste capítulo, no entanto, os exemplos aqui

apresentados utilizam redes de distribuição diferentes (10 barramentos) e cujas características

podem ser consultadas no final em anexo. Nos exemplos apresentados na tese de referência [5] são

comparados mais modelos para o cálculo de tensões (e.g. sensibilidades para cálculo de tensões),

uma vez que o trabalho desenvolvido nessa tese também envolve o estudo do cálculo aproximado de

tensões. Na presente dissertação o estudo incidirá exclusivamente sobre o modelo apresentado

neste capítulo e sobre as equações convencionais numa solução local.

A estrutura deste capítulo conta, tal como nos anteriores, com uma nota introdutória (4.1),

seguida do objectivo principal que se pretende demonstrar (4.2). Na secção 4.3 apresentam-se, em

forma de comparação, os dois tipos de equações de trânsito de energia abordados neste capítulo,

sendo que a secção 4.4 se destina à apresentação das equações baseadas no modelo de Tellegen

mas para uma solução local, isto é, definindo-se uma região de acção em torno da perturbação

ocorrida. Seguem-se então as comuns secções de exemplos (4.5) e considerações sobre o capítulo

(4.6).

4.2 Objectivo

O grande objectivo do capítulo 4 é fazer-se a comparação dos dois tipos de equações de trânsito

de energia (eqs. convencionais e eqs. com base no Teorema de Tellegen), aquando da ocorrência de

perturbações locais, estudando-se qual a precisão para cada um dos casos na obtenção da resposta

de todo o sistema de distribuição.

Desta forma, será apresentado um modelo de equações de solução local baseado no Teorema

de Tellegen e será comparado com a solução local do modelo convencional de trânsito de energia.

41

4.3 Trânsito de energia convencional VS Equações com base no

Teorema de Tellegen

Olhando primeiramente para o caso convencional, as equações de trânsito de energia [2]

apresentam-se da seguinte forma:

∑

(4.1)

∑

(4.2)

sendo que m corresponde ao índice do nó, é a admitância do ramo mk, e

correspondem à magnitude da tensão nos nós m e k respectivamente, assim como e são,

respectivamente, os ângulos da tensão em m e k.

e

são a potência activa e reactiva

injectadas.

Como foi dito anteriormente, na nota introdutória, quando se fala em trânsito de energia em redes

de distribuição, os valores que correspondem a incógnitas são os valores de tensão, sendo assim

necessário, que o número de equações 4.1 e 4.2 corresponda ao número de barramentos de rede.

No entanto, o foco do capítulo 4 é estudar as equações de trânsito de energia para um contexto

diferente, o estudo do comportamento do sistema a perturbações localizadas.

Assim sendo, voltando à base de estudo definida para esta dissertação, segundo o Teorema de

Tellegen e com base no conceito de redes adjuntas, apresentam-se em baixo as novas equações de

trânsito de energia [2]:

{ ∑

∑

∑

}

(4.3)

{ ∑

∑

∑

}

(4.4)

onde novamente m corresponde ao índice de um nó.

42

Tal como nas equações de Tellegen dos capítulos anteriores, temos agora um conjunto de

partições de K, sendo que corresponde aos ramos que sofrem uma perturbação na sua

admitância, para os nós cuja perturbação afecta a sua potência complexa e para todos

os nós da rede.

Nestas equações, os valores de , , e são conhecidos, assim como os valores

e , que correspondem às quantidades adjuntas e são computadas juntamente com todas as

outras grandezas conhecidas, para o caso base considerado.

Note-se que, o cálculo e desenvolvimento de expressões para estas grandezas adjuntas (~ e ^)

não são apresentados nesta dissertação, uma vez que são em tudo semelhantes ao cálculo das

grandezas adjuntas apresentado no capítulo 2 e não são o foco principal deste estudo.

Comparando agora os dois conjuntos de equações de trânsito de energia, são notadas uma série

de diferenças. Para começar, as equações com base no Teorema de Tellegen têm em conta

quantidades incrementais e . A outra grande diferença assenta no facto de as equações

que são alvo de estudo neste capítulo serem de uma natureza mais local. Quer isto dizer que não são

necessárias tantas equações quanto o número de nós da rede em estudo, sendo suficiente um

conjunto de equações que contemple os nós directamente envolvidos nas perturbações – região curta

– ou um conjunto que também inclua os nós vizinhos dos nós envolvidos em cada perturbação –

região alargada.

Um dos objectivos, no exemplo dado no final deste capítulo, será precisamente comprovar a

natureza mais local destas equações, face às equações do trânsito de energia convencional.

4.4 Solução local para as novas equações

Um modelo de solução local consiste na obtenção da resposta do sistema, considerando apenas

uma região localizada em torno da(s) perturbação(ões).

Assim, tendo em conta as equações 4.3 e 4.4 e excluindo todos os termos que não se incluem na

região definida, obtêm-se as equações do modelo aproximado por solução local para avaliação de

tensões [2]. São elas:

{ ∑

∑

∑

}

(4.5)

{ ∑

∑

∑

}

(4.6)

43

Note-se que agora tem-se a partição , em vez da partição . Esta nova partição contém

todos os nós dentro da região definida em torno da perturbação (apenas nós envolvidos – região

curta - ou incluindo nós vizinhos – região alargada).

É importante reter que é igualmente possível fazer esta mesma aproximação, definindo uma

região localizada em torno da perturbação, para as equações convencionais. Este teste será feito na

secção seguinte, podendo então tirar-se conclusões acerca da precisão para os dois grupos de

equações aquando da aproximação por solução local.

4.5 Exemplos

Neste capítulo, a secção de exemplo visa, principalmente, mostrar a precisão do modelo

aproximado para avaliação da tensão em redes de distribuição. Como tal, é apresentada uma rede de

distribuição de 10 barramentos, com a qual se irá testar o modelo apresentado, após a ocorrência de

algumas perturbações na mesma.

O primeiro teste feito nesta secção de exemplo será a avaliação do erro de cálculo da variação de

tensão nos barramentos para uma solução local, quer do modelo aproximado, quer das equações

convencionais de trânsito de energia. Este teste implica a aplicação de uma perturbação na rede (e.g.

retirar uma linha), testando-se ainda o efeito de diferentes cargas na precisão do novo modelo

desenvolvido.

Numa segunda abordagem vai verificar-se a diferença de precisão do modelo aproximado

considerando-se uma região superior para a solução local, isto é, considerando-se não apenas os

nós envolvidos na perturbação, mas também os nós vizinhos (região alargada).

Desta forma, considera-se para os primeiros testes a rede de 10 barramentos da figura 4.1

apresentada em baixo. Note-se que, os dados relativos a resistências e reactâncias dos ramos, bem

como potências injectadas nos nós, se encontram no final em anexo.

Fig. 4.1 – Rede de distribuição completa (10 barramentos) utilizada nos testes do Modelo

aproximado para avaliação de tensão

44

4.5.1 Testes e Resultados

Nesta secção segue-se a apresentação dos testes realizados e respectivos resultados.

Fig. 4.2 – Rede de distribuição da figura 4.1 com perturbação (retirar ramo entre os nós 7 e 9)

A figura 4.2 mostra a ocorrência de uma perturbação na configuração da rede de distribuição. A

perturbação em causa é o retirar de um dos ramos da rede (ramo a vermelho que liga os barramentos

7 e 9).

O primeiro gráfico apresenta os resultados para uma aproximação por solução local de ambos os

modelos (equações derivadas do Teorema de Tellegen e equações convencionais do trânsito de

energia).

Fig. 4.3 – Comparação do erro de uma solução local para os dois tipos de equações

45

O gráfico anterior mostra-nos que, quando efectuada uma localização do problema, apenas com

as equações derivadas do Teorema de Tellegen se obtêm bons resultados. Considerou-se uma

região de observação contendo apenas os barramentos envolvidos directamente na perturbação -

região curta - e utilizando ambas as equações calcularam-se os novos valores de tensão. Assim, em

comparação com os resultados obtidos pela fórmula exacta para o cálculo de variações de tensão

apresentada na secção 3.3 do capítulo anterior, pode verificar-se que o erro para as equações de

Tellegen é praticamente nulo (valores de erro representados por circulos azuis e sobrepondo o eixo)

enquanto que, para as equações convencionais, os erros resultantes desta solução local foram

bastante consideráveis. Prova-se, desta forma, que as equações derivadas do Teorema de Tellegen

são bastante precisas, mesmo para uma solução local, enquanto que, para a mesma situação, as

equações convencionais não apresentam resultados precisos. Este resultado reforça o resultado

apresentado no gráfico da página 153 da tese de referência [5] no qual se pode igualmente ver que o

erro das equações derivadas do Teorema de Tellegen é praticamente nulo ao contrário das equações

convencionais, para uma solução local.

Os testes realizados a partir deste ponto apenas contemplam as equações baseadas no Teorema

de Tellegen. O gráfico em baixo mostra os erros no cálculo das tensões nos barramentos para a

solução local destas equações, considerando exclusivamente os nós envolvidos na perturbação (7 e

9) – região curta – e diferentes níveis de carga nos barramentos.

Fig. 4.4 – Valores de erro do modelo aproximado relativamente ao cálculo exacto das tensões para

diferentes níveis de carga nos barramentos

46

Observando o gráfico da figura 4.4, há duas conclusões claras que podem ser tiradas. A primeira

é que, naturalmente, o erro de cálculo aumenta com o nível de carga nos barramentos. A segunda é

que, independentemente do nível de carga nos barramentos, os valores de erro são muito pequenos,

aproximando-se muito de 0 (ordem de 10-6

). Note-se, ainda que considerando apenas os barramentos

envolvidos na perturbação – região curta – que os resultados mostram que uma solução local das

equações baseadas no Teorema de Tellegen, para o cálculo de tensões, é bastante precisa.

Outra conclusão que pode ser tirada olhando para o gráfico da figura 4.4 é que, a partir dos

valores de carga nominal, o aumento do erro é superior do que a diminuição do mesmo para valores

de carga abaixo dos nominais. Os erros para valores de carga a 125% dos valores nominais,

aumentaram mais do que diminuíram ao considerar-se 50% da carga nominal. Um teste com

conclusões semelhantes pode ser encontrado na página 152 tese de referência [5].

O gráfico em baixo mostra o erro de cálculo do teste realizado no gráfico anterior, mas apenas

para valores nominais de carga.

Fig. 4.5 – Valores de erro do modelo aproximado relativamente ao cálculo exacto das tensões com

carga nominal nos barramentos

47

Os próximos testes realizados servem para mostrar o aumento de precisão das equações

derivadas do Teorema de Tellegen quando é considerada uma região de observação superior. Todos

os valores exactos de tensão apresentados de seguida foram calculados com as equações

apresentadas na secção 3.3 desta dissertação.

Assim sendo, os próximos testes consideram uma perturbação na rede de distribuição da figura

4.6, à qual é retirado um ramo e inserido outro que liga barramentos diferentes. Notar ainda que nos

testes seguintes, a carga nos barramentos foi colocada a 150% dos valores nominais por forma a

obterem-se resultados mais expressivos e fáceis de observar. Na tese de referência [5] é possível

encontrar um teste semelhante mas para uma rede de 14 barramentos (pp 164 a 169). O exemplo

apresentado na presente dissertação tem apenas em conta a parte real e imaginária das variações de

tensão nos barramentos, enquanto no exemplo da tese de referência [5], o módulo e fase das

variações de tensão são também considerados. É importante notar mais uma vez que, por questões

de validação do código MATLAB implementado para este modelo aproximado para avaliação de

valores de tensão, o exemplo aqui referido da tese de referência [5] (pp 164 a 169) foi reconstituído

com sucesso, obtendo-se os mesmos resultados e gráficos ainda que não apresentados nesta

dissertação.

Como forma de esclarecimento note-se que, tanto na presente dissertação como na tese de

referência [5], e ainda que as equações derivadas do Teorema de Tellegen calculem apenas as

variações de tensão nos barramentos após a ocorrência de perturbações na rede, os gráficos de

resultados dos exemplos apresentados mostram os valores de tensão nos barramentos após a

perturbação em vez das variações (valor base de tensão + variação calculada).

A rede em baixo é a rede de distribuição a ser perturbada. É em tudo semelhante à rede da figura

4.1, tendo apenas um reduzido número de ligações entre os barramentos.

Fig. 4.6 – Rede de distribuição derivada da rede da figura 4.1 (reduzido número de ligações entre os

barramentos)

48

A imagem seguinte mostra a perturbação considerada e quais os barramentos envolvidos. Assim,

ao retirar-se o ramo que liga os barramentos 2 e 4 e colocando-se um ramo de ligação entre os

barramentos 5 e 9, a região curta de observação irá conter os nós 2, 4, 5 e 9 (directamente

envolvidos nas perturbações), enquanto que a região alargada de observação (também contém os

barramentos vizinhos) inclui os nós 2, 4, 5, 9 e, ainda, os nós 3, 6, 7.

Fig. 4.7 – Rede de distribuição da figura 4.5 com perturbações (retirar ramo entre os barramentos 2 e

4 e ligar os barramentos 5 e 9)

Referir ainda que, caso seja feito um acompanhamento simultâneo do exemplo da tese de

referência [5] (pp 164 a 169 e que considera uma rede de 14 barramentos), a sintaxe utilizada para

referir as diferentes regiões de observação é diferente. Desta forma, na tese de referência [5] foi

utilizado o termo “camada 1”, para referir a região de observação que contém apenas os barramentos

envolvidos directamente na perturbação, e que corresponde, na presente dissertação, ao termo

“região curta de observação” ou apenas “região curta”. Para o caso em que os barramentos vizinhos

são incluídos na região de estudo, a tese de referência [5] utiliza o termo “camada 2” cuja

correspondência na presente dissertação é “região alargada de observação” ou apenas “região

alargada”.

49

Considerando a perturbação descrita em cima, o primeiro gráfico de resultados compara os

valores exactos da parte real da tensão, com os mesmos valores quando calculados pelas equações

baseadas no Teorema de Tellegen, para a solução local considerando apenas a região curta de

observação – barramentos 2, 4, 5 e 9.

Fig. 4.8 – Comparação entre modelo aproximado e exacto no cálculo da parte real das tensões nos

barramentos directamente perturbados – região curta

Olhando para o gráfico anterior pode ver-se que existe alguma diferença entre os valores exactos

(traço contínuo) e os valores calculados com o modelo aproximado (traço ponteado), ainda que isto

não aconteça para todos os nós.

Note-se que esta diferença entre valores exactos e aproximados, ainda que bem visível

graficamente, é bastante reduzida (ordem de 10-2

), o que mostra a grande precisão do modelo

aproximado por solução local das novas equações derivadas do Teorema de Tellegen.

50

No gráfico seguinte, pretende observar-se se, considerando uma região superior, a precisão dos

valores aumenta. Assim, considerando também os barramentos vizinhos daqueles que estão

directamente envolvidos nas perturbações (barramentos 3, 6 e 7) obtém-se o gráfico da figura 4.9, em

baixo.

Fig. 4.9 – Comparação entre modelo aproximado e exacto no cálculo da parte real das tensões nos

barramentos directamente perturbados e barramentos vizinhos – região alargada

No gráfico da figura 4.9, pode então ver-se que os valores da parte real da tensão se tornaram

mais precisos aumentando a região de estudo. Comparando entes gráfico com o da figura 4.8, nota-

se claramente que a diferença de valores, principalmente dos barramentos 4 e 9, foi bastante

reduzida. Neste último gráfico, o facto de a linha ponteada (modelo aproximado) se sobrepor muito

mais à linha dos valores exactos, significa que a precisão dos resultados aumentou com a região de

observação.

51

As próximas imagens são o resultado dos testes que, seguindo a mesma linha de raciocínio dos

dois testes anteriores, consideram agora a parte imaginária dos valores de tensão nos barramentos.

Assim, o gráfico apresentado em baixo mostra a parte imaginária dos valores de tensão

calculados a partir das novas equações derivadas do Teorema de Tellegen face aos valores

clculados pelas equações exactas, considerando apenas a região curta de observação.

Fig. 4.10 – Comparação entre modelo aproximado e exacto no cálculo da parte imaginária das

tensões nos barramentos directamente perturbados – região curta

Neste caso, ainda que os valores calculados a partir do modelo aproximado sejam mais precisos

que os observados para a parte real das tensões nas mesmas condições (figura 4.8), nota-se para o

barramento 9 uma diferença bastante explicita entre os valores aproximados e os valores reais.

52

Tal como nos exemplos apresentados para a parte real das tensões é esperado que, com o

aumento da região de observação, as pequenas diferenças observadas na imagem anterior sejam

reduzidas e se tornem quase nulas. A figura em baixo mostra-nos os resultados da parte imaginária

das tensões considerando-se então a região alargada de observação para o modelo aproximado por

solução local das equações derivadas do Teorema de Tellegen.

Fig. 4.11 – Comparação entre modelo aproximado e exacto no cálculo da parte imaginária das

tensões nos barramentos directamente perturbados e barramentos vizinhos – região alargada

Olhando para o gráfico acima, em que é considerada a região alargada de observação, a linha

ponteada correspondente aos valores aproximados sobrepõem, praticamente, a linha contínua dos

valores exactos. Isto significa que também na parte imaginária dos valores de tensão, se verifica o

fenómeno do aumento de precisão no cálculo de tensões através do modelo aproximado por solução

local com base no Teorema de Tellegen quando se aumenta a região de observação.

53


Tal como foi dito no início deste capítulo, o estudo aqui descrito serve de base para o capítulo

seguinte, uma vez que o cálculo aproximado de perdas poderá ter por base o cálculo aproximado de

valores de tensão nos barramentos aqui considerado.

O grande objectivo deste capítulo era mostrar que o modelo aproximado para o cálculo de

tensões baseado no Teorema de Tellegen e no conceito de redes adjuntas tem uma precisão

bastante aceitável o que permite, ao mesmo tempo, inseri-lo num modelo aproximado para o cálculo

de perdas.

Os testes realizados provam que, de facto, os valores de tensão calculados a partir deste modelo,

após qualquer perturbação da rede, são muito próximos dos valores de tensão exactos e que, quanto

maior a região de estudo considerada, maior será a precisão do modelo. Tal como sugerido

anteriormente, o acompanhamento em simultâneo dos exemplos apresentados nesta dissertação e

dos exemplos apresentados na tese de referência [5] permite reforçar esta conclusão acerca do

modelo aproximado por solução local desenvolvido neste capítulo uma vez que, nos exemplos de

ambas as dissertações, o comportamento do modelo foi semelhante, podendo notar-se um aumento

de precisão com a região de observação.

Outro dos objectivos era estudar uma solução local para as equações convencionais de trânsito

de energia. Este teste foi o primeiro a ser realizado na secção de exemplo, tendo-se chegado à

conclusão que, considerando apenas a região perturbada para estas equações, os resultados obtidos

revelam um erro muito superior, comparativamente à solução local do modelo aproximado com base

no Teorema de Tellegen. Pode assim dizer-se que as novas equações derivadas do Teorema de

Tellegen têm um carácter mais local do que as equações convencionais. Testes apresentados na

publicação [2] devem igualmente ser consultados para reforçar esta conclusão.

Introduzindo o próximo capítulo, será estudado um modelo aproximado para avaliação de perdas,

que tem por base as equações para o cálculo aproximado de tensões estudadas neste capítulo, as

quais apresentaram resultados muito bons relativamente à precisão, quando comparados com os

valores exactos.

54

55

Capítulo 5

Avaliação de perdas em redes de

distribuição - Modelo aproximado

Capítulo destinado à apresentação de um modelo aproximado para cálculo de perdas que tem

por base o capítulo anterior, isto é, o cálculo aproximado e localizado das variações de tensão.

Numa fase final compara-se o método apresentado neste capítulo com outros métodos para

cálculo de perdas já abordados ao longo da dissertação (sensibilidades e fórmula exacta).

56

5.1 Introdução

O capítulo 5 deve ser tido em conta como um capítulo chave na obtenção de conclusões. Não só

apresenta um modelo aproximado para o cálculo de perdas, que tem por base todo o estudo

efectuado no capítulo anterior (avaliação aproximada de valores de tensão), como ainda tem em

conta a comparação ao nível de desempenho e precisão dos diferentes modelos para cálculo de

perdas em redes de distribuição de energia eléctrica.

Note-se também que para calcular as perdas de forma exacta é necessário calcular as tensões

de forma exacta. Com uma simples leitura do capítulo 3 (fórmula exacta para avaliação de perdas) é

facilmente perceptível esta questão. No entanto, a ideia do modelo aproximado para a avaliação de

perdas consiste na obtenção de bons resultados para as perdas, fazendo um menor esforço para

calcular as tensões. Quer isto dizer que, mesmo recorrendo à fórmula exacta desenvolvida no

capítulo 3, nem todos os termos desta vão ser utilizados, mas apenas aqueles para os quais se

obteve um valor de ΔV, através da utilização do modelo aproximado para avaliação de tensões

desenvolvido no capítulo anterior.

Numa abordagem simplificada, este modelo é a fusão dos dois capítulos anteriores, pois envolve

a utilização da fórmula exacta de forma aproximada.

O estudo desenvolvido neste capítulo tem por base o capítulo 7 da tese de referência [5]. A

consulta deste capítulo na tese de referência [5] irá reforçar a ideia da validade deste modelo

aproximado, uma vez que podem encontrar-se alguns testes semelhantes e que pretendem

demonstrar o comportamento do mesmo face a outros modelos para cálculo de perdas. Notar que, na

tese de referência [5], o modelo aproximado apresentado neste capítulo surge com o nome de LMini

(notação não utilizada na presente dissertação).

Relativamente à estrutura deste capítulo é conservada a estrutura utilizada para os capítulos

anteriores. Introduz-se o capítulo, bem como os seus principais objectivos (5.2), segue-se a

explicação teórica do modelo a desenvolver (5.3), uma apresentação geral dos modelos com que se

pretende comparar o modelo desenvolvido (5.4) e de seguida, já como forma de tirar as conclusões

chave da dissertação, são apresentados exemplos por forma a comparar os diferentes métodos de

cálculo de perdas propostos (5.5). O capítulo termina com uma secção de considerações sobre o

mesmo (5.6).

57

5.2 Objectivos

Para este capítulo é importante clarificar a existência não de um, mas de dois grandes objectivos.

O primeiro objectivo deste capítulo é estabelecer equações aproximadas e procedimentos para o

cálculo de perdas em redes de distribuição, através do desenvolvimento de um modelo aproximado

que engloba estudos apresentados anteriormente nesta dissertação, mais concretamente o modelo

aproximado para avaliação de tensões e a fórmula exacta desenvolvida a partir do Teorema de

Tellegen.

Outro objectivo é obter conclusões, comparando os diferentes modelos desenvolvidos para

avaliação de perdas em redes, ao nível da precisão dos resultados.

Cumpridos estes objectivos podem então tirar-se as conclusões finais que são o grande objectivo

da dissertação.

5.3 Modelo aproximado por solução local

5.3.1 Conceito

Como foi explicado de forma geral na introdução, a grande ideia deste modelo é o cálculo de

perdas por aproximação, utilizando a fórmula exacta do capítulo 3, mas de forma aproximada.

Nesta secção pretende-se uma abordagem mais específica, isto é, qual o tipo de aproximações

que serão feitas na fórmula exacta do terceiro capítulo por forma a conseguir-se um modelo

aproximado para as perdas.

Outra questão que se põe, e como pode verificar-se pelo título desta secção (5.3 – Modelo

aproximado por solução local), é precisamente como será feita esta localização no modelo a

desenvolver.

Assim, como resposta a estas duas questões, pode dizer-se que este modelo aproximado

envolve a utilização da fórmula exacta para cálculo de perdas, contudo, não se utilizam todas as

variações de tensão, mas apenas algumas (certas variações podem ser consideradas como

desprezáveis), e para essas variações não serão utilizados valores exactos, mas aproximados.

Como tal, as variações de tensão calculadas incidirão exclusivamente sobre os ramos mais

influentes (como explicado no capítulo anterior, ramos onde ocorrem as perturbações e/ou ramos da

sua vizinhança). Estes valores de variações de tensão a utilizar devem ser obtidos segundo o modelo

aproximado para avaliação de tensões desenvolvido no capítulo 4.

58

5.3.2 Procedimento

De uma forma mais explícita, o modelo aproximado para o cálculo de perdas em redes de

distribuição, segue o procedimento apresentado no diagrama abaixo.

Fig. 5.1 – Diagrama de procedimentos do modelo aproximado para avaliação de perdas em redes de

distribuição

59

5.4 Modelos para comparação

Como tem vindo a ser dito, neste capítulo 5, além de se apresentar o modelo aproximado para o

cálculo de perdas em redes de distribuição, faz-se também a comparação de resultados entre os

modelos estudados ao longo da dissertação.

Assim, com base na ocorrência de perturbações na rede de distribuição de 10 barramentos já

utilizada nos exemplos do capítulo 4 (rede completa e versão da mesma com menos ramos), vão

comparar-se os resultados do cálculo de perdas quando calculados através das sensibilidades, com

recurso ao modelo aproximado para avaliação de perdas estudado neste capítulo e, ainda,

recorrendo à fórmula exacta desenvolvida a partir do Teorema de Tellegen. Na tese de referência [5]

é ainda comparado um outro modelo aproximado baseado em equações convencionais de cálculo de

perdas (MLL). No entanto, não foi considerado na presente dissertação uma vez que, como pode

confirmar-se nos exemplos da tese de referência [5] os seus resultados são pouco precisos,

afastando-se muito dos valores reais.

A proximidade dos resultados dos modelos, relativamente aos resultados obtidos pela fórmula

exacta, irá indicar o nível de precisão de cada um deles para cada situação testada.

5.4.1 Fórmula exacta

Como o próprio nome sugere, utilizando a fórmula exacta desenvolvida com base no Teorema de

Tellegen e no conceito de redes adjuntas, obtêm-se resultados exactos semelhantes aos obtidos

através de um trânsito de energia convencional. Assim sendo, os resultados obtidos com esta fórmula

serão utilizados como referência, por forma a conseguir apurar os níveis de precisão dos restantes

modelos desenvolvidos.

Lembrar que esta fórmula foi desenvolvida e estudada no terceiro capítulo desta dissertação,

como continuidade do estudo desenvolvido ao longo do capítulo 2. Para explicações mais

aprofundadas e detalhadas acerca da fórmula exacta deve consultar-se o capítulo 3.

5.4.2 Avaliação por sensibilidades

A avaliação de perdas por sensibilidades, desenvolvida no capítulo 2, representa outro modelo

estudado nesta dissertação e que, no terceiro capítulo, foi já comparado com a fórmula exacta. Esta

comparação foi realizada sobrepondo-se as rectas de nível, geradas pelo modelo de sensibilidades,

com as curvas de nível do modelo exacto.

Neste capítulo poderá ver-se o comportamento e precisão desta avaliação por sensibilidades

comparado, não só com a fórmula exacta, mas também com o modelo aproximado para avaliação de

perdas aqui desenvolvido. Poderá igualmente ver-se o comportamento do modelo das sensibilidades,

relativamente aos restantes modelos, para diferentes funcionamentos de uma rede de distribuição,

como por exemplo, quando a carga nos barramentos é inferior ou superior aos valores nominais.

Para um estudo mais detalhado, acerca das sensibilidades e das respectivas fórmulas para cada

parâmetro da rede, deverá consultar-se o capítulo 2 desta dissertação.

60

5.5 Exemplos

À semelhança dos capítulos anteriores, é na secção de exemplo que são apresentados todos os

testes realizados, bem como os resultados dos mesmos.

Aqui, os testes realizados põem frente a frente os três modelos desenvolvidos ao longo da

dissertação, para diferentes condições de funcionamento de uma rede de distribuição e aquando da

ocorrência de diferentes perturbações na mesma.

Referir ainda que, para os testes realizados nesta secção, o modelo aproximado para avaliação

de perdas desenvolvido neste capítulo apenas considerou os barramentos envolvidos na perturbação,

isto é, a região curta de observação, não tendo em conta os nós vizinhos. Pode então dizer-se que

este modelo foi estudado considerando o seu pior cenário, isto é, a sua forma menos precisa.

Para o primeiro teste foi utilizada a rede de distribuição da figura 4.1 tendo-se estudado o valor

das perdas para cinco casos diferentes, como o retirar de ramos ( ) e variação de cargas em

alguns barramentos ( ). O gráfico em baixo mostra os resultados obtidos para as perdas

calculadas pelos três modelos.

Fig. 5.2 – Perdas na rede da figura 4.1 considerando diferentes perturbações, calculadas pela fórmula

exacta, por sensibilidades e pelo modelo aproximado para perdas

Olhando para o gráfico, algo que salta imediatamente à vista, é o facto de as perdas serem muito

superiores para os dois últimos casos, quando comparados com os três primeiros.

Isto acontece porque, nos dois últimos casos, as perturbações afectam as cargas de alguns nós

da rede. Desta forma pode dizer-se que uma perturbação do tipo tem maior influência no

comportamento da rede que uma reconfiguração simples, como retirar ou inserir ramos, fazendo com

que os valores de perdas se afastem mais do valor calculado para o caso base. Pode ver-se ainda

61

que, para estes casos em que a perturbação afecta os valores de carga, a precisão dos modelos

diminui, obtendo-se resultados mais afastados dos resultados exactos.

Outra conclusão que se pode tirar com uma rápida observação do gráfico é que, para qualquer

situação, o modelo aproximado desenvolvido neste capítulo e que tem por base o uso da fórmula

exacta é muito mais preciso que o modelo das sensibilidades. Para os três primeiros casos em que

apenas ocorrem reconfigurações simples da rede e são retirados alguns ramos, a linha que

representa o modelo aproximado sobrepõe a linha de valores exactos. O mesmo não acontece com a

linha relativa às sensibilidades que, apesar de próxima, nunca se sobrepõe à linha dos resultados da

fórmula exacta. Para os dois últimos casos, o cálculo de perdas através de sensibilidades gera

resultados com um erro bastante significativo.

Este é o teste mais geral deste capítulo relativamente à análise das diferentes perturbações

através dos diferentes modelos estudados, podendo dizer-se que este teste é transversal a todos os

exemplos apresentados na tese de referência [5], não correspondendo a nenhum deles em

específico.

Em suma, com base neste teste pode dizer-se mais uma vez que, se o nível de precisão

requerido não for muito elevado, o modelo de sensibilidades pode ser suficiente, no entanto, poderá

apresentar resultados afastados da realidade para casos em que as perturbações envolvam mais do

que simples alterações dos valores de impedância nos ramos.

O segundo teste realizado tem como principal objectivo mostrar o comportamento dos diferentes

modelos quando se encontra em funcionamento com diferentes níveis de carga nos seus

barramentos. Assim, a perturbação induzida foi apenas uma perturbação simples de configuração. À

rede representada na figura 4.1 retirou-se o ramo que liga os barramentos 1 e 6. Os resultados

encontram-se no gráfico em baixo.

Fig. 5.3 – Perdas na rede da figura 4.1 para diferentes % da carga nominal, calculadas pela fórmula

exacta, por sensibilidades e pelo modelo aproximado

62

Olhando para o gráfico da figura 5.3, é novamente visível uma maior precisão para o modelo

aproximado comparativamente ao modelo de sensibilidades.

Acontece que, segundo os resultados apresentados, o modelo de sensibilidades pode ser

bastante preciso quando a carga nos barramentos é reduzida relativamente ao seu valor nominal.

Pelo contrário, para valores de carga superiores aos nominais, o erro do modelo de

sensibilidades pode atingir quase os 40%, fazendo com que os resultados se afastem bastante dos

valores reais. Note-se que, para este exemplo específico, o modelo de sensibilidades é também

pouco preciso quando as cargas se encontram nos valores nominais. Como já tínhamos visto noutros

exemplos, o modelo de sensibilidades nem sempre apresenta resultados muito fiáveis (ver exemplo

da figura 3.6 – sensibilidades para o espaço resistência, reactância de um ramo).

Notar que, o modelo aproximado desenvolvido neste capítulo 5, apesar de muito preciso, também

apresenta valores com um erro maior, quando a carga nos barramentos tem valores acima dos

valores nominais.

Concluindo a análise deste teste, pode dizer-se que os modelos aproximados para cálculo de

perdas apresentam resultados tanto melhores, quanto menores forem os valores de carga nos

barramentos, relativamente aos seus valores nominais.

Um teste semelhante mas considerando uma rede de distribuição de 14 barramentos pode ser

analisado consultando a página 190 da tese de referência [5]. Os resultados obtidos permitiram tirar

conclusões semelhantes reforçando assim o que foi dito anteriormente relativamente à influência dos

valores de carga nos barramentos sobre a precisão dos modelos. O teste da página 190 da tese de

referência [5] foi ainda reconstituído com a única intenção de validar o código MATLAB

implementado, não sendo portanto apresentado na presente dissertação.

63

Por fim, o terceiro e último teste tem por base a rede apresentada na figura 4.6 (rede de

distribuição de 10 barramentos – versão com menos ramos) na qual ocorre a perturbação sugerida na

figura 4.7 (retirar ramo 2 – 4 e inserir ramo entre os barramentos 5 e 9).

Para este teste não foi considerado o modelo de sensibilidades, uma vez que, o cálculo de

sensibilidades implementado não envolve ramos que antes não existiam na rede. Assim, a ideia deste

teste será verificar que perturbações irão provocar um maior desvio dos resultados do modelo

aproximado relativamente aos resultados da fórmula exacta, sendo que com os nós a funcionar com

a carga nominal apenas está em causa a perturbação nos ramos.

Este exemplo pode também ser comparado ao exemplo da página 192 da tese de referência [5],

no qual se perturba uma rede de 14 barramentos com a remoção de um ramo e, de seguida, se

perturba a carga de alguns nós. No exemplo da tese de referência [5] pode ver-se também o

comportamento do modelo das sensibilidades uma vez que só foi retirado um ramo e não houve

qualquer inserção.

Fig. 5.4 – Perdas na rede da figura 4.6 considerando diferentes perturbações, calculadas pela fórmula

exacta e pelo modelo aproximado

Note-se que, apesar de o gráfico, em todos os casos, sugerir um afastamento entre os valores

dos dois modelos, observando a escala de valores de perdas pode ver-se que o erro é sempre muito

pequeno. A principal conclusão que se pode tirar deste teste é que, quando ocorrem perturbações

nas cargas dos barramentos, as perdas afastam-se do valor calculado para o caso base. Esta

conclusão vem confirmar o que já tinha sido dito no primeiro teste relativamente à influência de

perturbações do tipo . É também para estes casos (casos 2 e 3 na figura 5.4) que o modelo

aproximado apresenta valores um pouco mais afastados dos valores reais, ainda que, sempre

bastante próximos.

64


O final deste capítulo permite chegar às principais conclusões desta dissertação. Após todos os

testes realizados conhece-se agora, quais os níveis de precisão de cada modelo implementado, quer

para o cálculo dos valores de perdas de energia em redes, quer para o cálculo de tensões nos

barramentos.

Após este capítulo, em que foi estudado o modelo aproximado para avaliação de perdas baseado

na fórmula exacta e numa localização das novas equações de cálculo das tensões apresentadas no

capítulo 4, sabe-se quais os parâmetros da rede que, quando perturbados, afectam mais, ou menos,

tanto os valores de perdas de energia, como a precisão de cada modelo. A conclusão que se pôde

tirar é que uma perturbação ao nível da carga de um qualquer barramento tem maior influência nas

perdas do que uma perturbação ao nível das impedâncias dos ramos. Da mesma forma, uma

perturbação relacionada com a potência complexa dos barramentos faz com que os resultados

aproximados dos valores de perdas sejam mais afastados da realidade.

Outras conclusões que se podem tirar, estão relacionadas com o funcionamento da rede

relativamente aos níveis de carga nos seus barramentos e de que forma esta questão afecta não só o

desempenho dos diferentes modelos, mas também os valores de perdas na rede.

Sabe-se agora que o funcionamento da rede, com níveis de carga nos barramentos superiores

aos valores nominais, tem uma influência negativa no desempenho e na precisão dos modelos de

cálculo aproximado. As perdas de energia também são directamente afectadas por esta questão,

uma vez que crescem com os níveis de carga dos barramentos da rede, isto é, para cargas abaixo

dos valores nominais as perdas são menores, sendo que aumentam consideravelmente quando os

níveis de carga ultrapassam os valores nominais.

Como conclusão particular deste capítulo, o modelo aproximado para avaliação de perdas em

redes de distribuição aqui analisado, apresentou sempre resultados com valores muito próximos dos

reais (calculados pela fórmula exacta).

Mais uma vez, os resultados obtidos e previamente estudados na tese de referência [5] foram

comprovados através de novos testes sugeridos na presente dissertação, permitindo não só reforçar

o seu significado mas também garantir a sua validade.

65

Capítulo 6

Síntese final

Este capítulo encerra o estudo realizado com algumas conclusões que são resposta às questões

realizadas no capítulo de introdução. É, de facto, uma síntese que faz referência, de forma resumida,

a todos os estudos efectuados ao longo da dissertação e das conclusões que se obtiveram para cada

um deles.

São ainda abordados possíveis estudos que podem dar continuidade ao trabalho elaborado nesta

dissertação.

66

6.1 Síntese

Foi no âmbito do estudo e análise de redes que surgiu o tema Aproximações ao cálculo de

perdas em redes de energia eléctrica. Para este tema seguiu-se um estudo que foi sugerindo

diferentes modelos aproximados para o cálculo de perdas que pudessem ser uma alternativa fiável e

precisa ao convencional trânsito de energia, uma vez que, como foi dito no início, para redes com um

número muito elevado de possíveis configurações, realizar esta operação para cada possibilidade

poderá requerer muito tempo e um elevado esforço computacional. Foi também com a intenção de

retomar e seguir o estudo previamente realizado na dissertação para obtenção do grau de Doutor da

Prof.ª Doutora Célia Maria Santos Cardoso de Jesus que surge a presente dissertação. Para este

efeito, pode agora considerar-se que este trabalho veio reforçar todas as conclusões anteriormente

obtidas na tese utilizada como referência [5] relativamente ao cálculo aproximado de perdas uma vez

que, para diferentes exemplos apresentados se obtiveram resultados de significado semelhante.

O estudo efectuado no capítulo 2 apresentou o Teorema de Tellegen e o conceito de rede adjunta

como base para a modelação de fórmulas que permitiram calcular a sensibilidade à ocorrência de

perturbações de cada parâmetro de uma rede. Para a rede exemplo de cinco barramentos foram

realizados alguns testes que, tal como previsto, geraram rectas de nível que sugeriram qual a

evolução e os valores aproximados de perdas se determinados parâmetros fossem perturbados. Os

resultados obtidos só puderam ser avaliados no capítulo seguinte, através da comparação com

resultados gerados pela fórmula exacta, no entanto, olhando apenas para as rectas de nível geradas

pelas sensibilidades, pode comparar-se a evolução destas com os valores de sensibilidades

calculados previamente para cada parâmetro.

No capítulo 3 estudou-se a modelação de uma fórmula exacta, baseada no anteriormente

apresentado Teorema de Tellegen. Utilizando a mesma rede de cinco barramentos, e considerando

os espaços de parâmetros dos exemplos do capítulo anterior, obtiveram-se então valores de perdas

que geraram curvas de nível que ilustram a verdadeira evolução destas e os seus valores reais. No

final do capítulo sobrepuseram-se as curvas de nível geradas com as rectas de nível resultantes das

sensibilidades. Os resultados obtidos mostraram que o modelo das sensibilidades pode, em alguns

casos, gerar resultados que sugerem uma evolução errada das perdas para perturbações ocorridas

em determinados parâmetros da rede. Para outros casos, a evolução de perdas apresentou-se

correcta, mas sempre com alguns erros consideráveis relativamente ao seu valor. As principais

conclusões retiradas deste capítulo foram que é possível calcular as perdas exactas sem recorrer ao

convencional trânsito de energia e, ainda, que o cálculo das perdas de energia a partir do estudo de

sensibilidades, poderá ser útil quando apenas se pretenda ter uma ideia da possível evolução e

dimensão dos valores de perdas relativamente a determinado parâmetro, sem despender de muito

tempo e sem grande esforço computacional. Estas conclusões relacionadas com o estudo de

sensibilidades foram comprovadas no capítulo 5.

No quarto capítulo estudou-se a possibilidade de calcular as tensões nos barramentos de uma

rede de distribuição de forma aproximada, tendo em vista a construção de um modelo aproximado

para o cálculo de perdas. Sugeriram-se novas equações como alternativa às equações convencionais

67

e, para ambas, foi analisada a possibilidade de serem utilizadas de forma localizada, isto é, apenas

tendo em conta uma região predefinida da rede contendo, naturalmente, os barramentos envolvidos

na perturbação. Com os testes realizados, apenas se obtiveram bons resultados para a solução local

com as novas equações sugeridas, tendo-se chegado a erros muito superiores para as equações

convencionais. Relativamente aos testes realizados com as novas equações, mostrou-se também

que, considerando uma região superior e incluindo nesta os barramentos vizinhos daqueles que estão

directamente envolvidos na perturbação, os valores de variação de tensão encontrados se

aproximam muito mais dos valores exactos. De notar que, os valores de tensão exactos foram

calculados a partir de equações exactas para avaliação das tensões, também elas baseadas no

Teorema de Tellegen. A modelação destas equações não foi apresentada por se considerar em tudo

semelhante à modelação da fórmula exacta para avaliação de perdas e, também, por não estar

directamente incluída no âmbito desta dissertação.

No capítulo 5, que pode ser considerado o capítulo final desta dissertação, apresentou-se então o

modelo aproximado para o cálculo de perdas, que tem por base o cálculo aproximado de tensões do

capítulo 4. Os testes realizados permitiram comparar este modelo com a fórmula exacta,

desenvolvida no terceiro capítulo, e com o modelo de sensibilidades apresentado no capítulo 2. Este

modelo aproximado para o cálculo de perdas mostrou-se uma alternativa bastante precisa, uma vez

que, para todos os testes considerados, desde a ocorrência de perturbações nos ramos, à ocorrência

de perturbações ao nível das cargas de alguns barramentos, passando pelo funcionamento da rede

com níveis de carga acima e abaixo dos valores nominais, apresentou sempre resultados com erros

muito pequenos relativamente à fórmula exacta. Novamente, o cálculo de perdas através do estudo

das sensibilidades revelou-se uma solução considerável sempre que a precisão dos resultados não

seja, de todo, o mais importante e apenas se pretenda ter uma ideia da influência de um parâmetro

nas perdas da rede.

Toda esta análise elaborada com vista a encontrar soluções aproximadas para o cálculo de

perdas em redes de energia eléctrica permitiu chegar à conclusão que existem, de facto, soluções

que não envolvem o cálculo excessivo de trânsitos de energia. Para todas as soluções apresentadas,

apenas é realizado um trânsito de energia para o ponto de funcionamento base da rede, sendo que,

os resultados seguintes são obtidos considerando-se apenas as variações ocorridas nos diferentes

parâmetros da rede.

Todos os modelos abordados nesta dissertação, quer para avaliação de perdas quer para

avaliação de tensão, foram implementados em MATLAB como parte do trabalho original da mesma.

A próxima secção refere os estudos realizados anteriormente e os casos práticos reais em que

estas aproximações podem ser utilizadas. Sugere ainda possíveis estudos que podem dar

continuidade à análise efectuada nesta dissertação.

68

6.2 Continuidade do estudo

A eficiência energética de uma rede eléctrica está directamente relacionada com as perdas de

energia enquanto esta é transportada até cada consumidor.

As redes de distribuição são, em geral, redes de grandes dimensões. São redes complexas que

ligam um número muito elevado de barramentos e que, quer do ponto de vista da dimensão, quer do

ponto de vista económico, podem ser consideradas as redes eléctricas de maior importância. Como

tal, há um grande interesse em encontrar uma solução óptima de funcionamento relativamente à

configuração destas redes.

Sendo a análise de perdas de energia um dos principais critérios para a reconfiguração de redes,

é importante que existam soluções eficientes para a avaliação das mesmas, considerando que as

hipóteses para a reconfiguração de uma rede de distribuição são bastante vastas.

As soluções apresentadas nesta dissertação têm por base o Teorema de Tellegen e o conceito

de redes adjuntas. Este conceito foi abordado pela primeira vez ainda nos anos 70 com a intenção de

estudar as sensibilidades em pequenas redes electrónicas. Os estudos neste campo levaram ao

desenvolvimento de novas equações de trânsito de energia e possibilitaram, consequentemente, a

criação de métodos para o cálculo de perdas, fazendo uma análise muito mais rápida e eficiente de

possíveis configurações nas redes de distribuição. Um desses estudos é a tese de referência [5] em

que a presente dissertação se baseia e pretende complementar com alguns exemplos e conclusões.

Neste contexto, e considerando que o trabalho desenvolvido nesta dissertação visou apenas, de

forma sucinta, dar a conhecer, analisar e testar a eficácia de alguns destes métodos alternativos já

abordados na tese de referência [5], seria interessante continuar o estudo sobre a aplicação dos

mesmos para redes de dimensões reais, tentando encontrar-se, para um número elevado de

possíveis configurações, um ponto de funcionamento óptimo. Este estudo deveria ser feito recorrendo

aos vários modelos aqui apresentados podendo, desta forma, comparar-se novamente os resultados

obtidos para cada um deles.

69

Bibliografia

[1] C.M.S.C. Jesus and L.A.F.M. Ferreira, “Loss sensitivity formulas by adjoint networks”, Electric

Power Systems Research, ELSEVIER, 23 de Junho 2010.

[2] C.M.S.C. Jesus and L.A.F.M. Ferreira, “Comparing Power Flow Equations on a Local Basis for

Distribution Networks”, Int. Conf. on Power Engineering, POWERENG, Setúbal – Portugal, 12-

14 de Abril 2007.

[3] T.S. de Almeida e B. Costa Pinto, “O sector eléctrico em Portugal continental – contributo para

discussão”, Banco BPI, Março de 2011.

[4] J. P. Sucena Paiva, “Redes de energia eléctrica – uma análise sistémica”, IST Press, 2ª

Edição, Dezembro 2007.

[5] C.M.S.C. Jesus, “Aplicação do Teorema de Tellegen e de Redes Adjuntas ao Cálculo de

Tensões e Perdas em Sistemas de Energia Eléctrica”, Dissertação para obtenção do grau de

Doutor, Instituto Superior Técnico, Dezembro 2004.

[6] MathWorks - MATLAB Documentation Center. [Online] http://www.mathworks.com/help/matlab/

70

71

Anexos

72

1. Rede de 5 barramentos dos capítulos 2 e 3

1.1. Dados dos ramos

Ramo Resistência (% de pu) Reactância (% de pu)

0 – 1 (5) 10.0 40.0

0 – 3 (6) 15.0 60.0

0 – 4 (7) 5.0 20.0

1 – 2 (8) 5.0 20.0

1 – 3 (9) 10.0 40.0

2 – 4 (10) 5.0 20.0

1.2. Potências injectadas nos barramentos

Barramento Potência activa (pu) Potência reactiva (pu)

0 (Ref) - - - - - - - - - -

1 (PQ) -0.60 -0.30

2 (PV) 1.00 0.48

3 (PQ) -0.40 -0.10

4 (PQ) -0.60 -0.20

73

2. Rede de 10 barramentos dos capítulos 4 e 5 (todos os

ramos)



0 – 1 8.350 10.250

0 – 2 6.320 18.530

0 – 3 4.860 14.150

1 – 6 6.670 16.200

2 – 3 8.360 17.100

2 – 4 3.560 17.660

2 – 6 9.500 18.900

3 – 4 5.680 25.750

3 – 5 10.740 26.020

4 – 5 9.670 12.060

4 – 6 3.350 6.750

5 – 9 18.200 35.780

6 – 7 0.000 42.300

6 – 8 2.170 20.120

6 – 9 7.100 13.940

7 – 8 16.350 30.450

7 – 9 7.680 11.110

74



0 (Ref) - - - - - - - - - -

1 (PQ) 0.212 0.250

2 (PQ) -0.578 0.250

3 (PQ) -0.170 0.250

4 (PQ) -0.383 0.045

5 (PQ) 0.000 0.000

6 (PQ) -0.648 -0.045

7 (PQ) -0.065 -0.019

8 (PQ) 0.076 0.250

9 (PQ) -0.186 -0.053

75

3. Rede de 10 barramentos dos capítulos 4 e 5 (versão com

menos ramos)



0 – 1 8.350 10.250

0 – 2 6.320 18.530

0 – 3 4.860 14.150

1 – 6 6.670 16.200

2 – 4 3.560 17.660

3 – 5 10.740 26.020

4 – 6 3.350 6.750

6 – 7 0.000 42.300

6 – 8 2.170 20.120

7 – 9 7.680 11.110

(dados iguais à secção 2.1 dos anexos para os ramos existentes)

76



0 (Ref) - - - - - - - - - -

1 (PQ) 0.212 0.250

2 (PQ) -0.578 0.250

3 (PQ) -0.170 0.250

4 (PQ) -0.383 0.045

5 (PQ) 0.000 0.000

6 (PQ) -0.648 -0.045

7 (PQ) -0.065 -0.019

8 (PQ) 0.076 0.250

9 (PQ) -0.186 -0.053

(dados iguais à secção 2.2 dos anexos para os barramentos)

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Aproximações ao cálculo de perdas em redes de energia ...grau de Doutor “Aplicação do Teorema de Tellegen e de Redes Adjuntas ao Cálculo de Tensões e Perdas em Sistemas de