Arco Ogiva

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  • 5/27/2018 Arco Ogiva

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    UNIVERSIDADE DE BRASLIA

    FACULDADE DE TECNOLOGIA

    DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL

    TEORIA DO ARCO DE ALVENARIA: UMA PERSPECTIVA

    HISTRICA

    PATRICIA CRISTINA CUNHA NUNES

    ORIENTADOR: LINEU JOS PEDROSO

    DISSERTAO DE MESTRADO EM ESTRUTURAS E

    CONSTRUO CIVIL

    BRASLIA/DF: ABRIL 2009

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    FICHA CATALOGRFICA

    NUNES, PATRCIA CRISTINA CUNHA

    Teoria do Arco de Alvenaria: Uma Perspectiva Histrica [Distrito Federal] 2009.xvi, 160p., 297 mm (ENC/FT/UnB, Mestre, Estruturas e Construo Civil, 2009).Dissertao de Mestrado Universidade de Braslia. Faculdade de Tecnologia.

    Departamento de Engenharia Civil e Ambiental.

    1.Arco 2.Arco de Alvenaria

    3.Engenharia Estrutural 4.Teoria das Estruturas

    I. ENC/FT/UnB II. Ttulo (srie)

    REFERNCIA BIBLIOGRFICA

    NUNES, P. C. C. (2009). Teoria do Arco de Alvenaria: Uma Perspectiva Histrica.Dissertao de Mestrado em Estruturas e Construo Civil, Publicao E.DM-005A/09,Departamento de Engenharia Civil e Ambiental, Universidade de Braslia, Braslia, DF,160p.

    CESSO DE DIREITOSAUTOR: Patrcia Cristina Cunha Nunes.

    TTULO: Teoria do Arco de Alvenaria: Uma Perspectiva Histrica.

    GRAU: Mestre ANO: 2009

    concedida Universidade de Braslia permisso para reproduzir cpias desta dissertao

    de mestrado e para emprestar ou vender tais cpias somente para propsitos acadmicos ecientficos. O autor reserva outros direitos de publicao e nenhuma parte dessa dissertaode mestrado pode ser reproduzida sem autorizao por escrito do autor.

    _________________________________________

    Patrcia Cristina Cunha NunesSHIL QI 15 Conj. 04 Casa 04, Lago Norte.71.535-245 Braslia DF [email protected]

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    UNIVERSIDADE DE BRASLIA

    FACULDADE DE TECNOLOGIA

    DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

    TEORIA DO ARCO DE ALVENARIA: UMA PERSPECTIVA

    HISTRICA

    PATRICIA CRISTINA CUNHA NUNES

    DISSERTAO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DEENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL DA FACULDADE DETECNOLOGIA DA UNIVERSIDADE DE BRASLIA COMO PARTEDOS REQUISTOS NECESSRIOS PARA A OBTENO DO GRAUDE MESTRE EM ESTRUTURAS E CONSTRUO CIVIL.

    APROVADA POR:

    _________________________________________________

    Prof. Lineu Jos Pedroso, Dr. Ing. (ENC-UnB)

    (Orientador)

    _________________________________________________

    Prof. Luciano Mendes Bezerra, PhD (ENC-UnB)

    (Examinador Interno)

    _________________________________________________

    Prof. Jos Manoel Morales Snchez , DSc. (FAU-UnB)

    (Examinador Externo)

    BRASLIA/DF, 28 DE ABRIL DE 2009

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    Dedicado a todos os cientistas dos quais a razo apaixonadaguiou os passos da descoberta.

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    AGRADECIMENTOS

    Agradeo aos meus pais, in memoriam, pelo incio de toda a minha caminhada, pelos

    valores morais e ticos que me foram passados to importantes quando se resolve abraara carreira acadmica como uma escolha de vida. Pelo incentivo que sempre recebi, desdepequenininha, ao lecionar para meus alunos invisveis, com meu quadro negro feito dasplacas de cimento do muro da minha casa em construo e pequenos pedaos de gizrecebidos com carinho da professora amorosa da primeira srie, a Tia Assucena, de umaescola pblica da cidade satlite prxima ao Plano Piloto de Lcio Costa!

    Aos meus amados irmos, Helena, Sandra e Carlos, que possibilitaram meu ingresso nauniversidade e a descoberta de um mundo muito maior do que poderia imaginar em meussonhos de infncia para o meu futuro. Stela, in memoriam, minha irm querida queacompanhou meus paizinhos queridos naquele acidente fatal... 23 anos recm completosde pura razo e lucidez das metas a serem cumpridas na vida, embaladas em uma meiguicenica.

    tia Gracinha, irm querida da minha mezinha, que representa todo o amor verdadeiroque uma famlia pode sonhar em ter de sua matriarca. Generosa e leal a todos e a tudo oque acredita ser verdadeiro. Sbios conselhos a quem tem ouvidos para ouvir suaspalavras.

    Vernica e ao Bira, que carinhosamente me recebem como uma filha, aps um longocaminho, sendo os pais que to cedo perdi...

    Dinda Lucila Lacerda Fontoura, escritora da vida e dos sentimentos mais nobres que

    algum pode ter. Exemplo de fibra, fora, f, perseverana e amor ao prximo. Honrosa acada palavra que nos deixa em seus poemas e crnicas.

    Aos tantos amigos que reconheceram em mim, por vezes, a Sra. Zineide minhamezinha, to sensata e doce, e o Sr. Alberto meu pai querido, apaixonado e verdadeiro;a esses amigos que me fizeram lembrar, nos difceis momentos, de ser ora um, ora ooutro.

    Ao professor Federico Foce, da Universidade de Gnova, pela ajuda to atenciosa econstante alm dos esclarecimentos valiosos; ao professor Ekkehard Ramm, daUniversidade de Stuttgart, pelas conversas sobre a histria da teoria das estruturas (emespecial, a prima-dona das estruturas as belas estruturas em casca) e experincia

    compartilhada; a Benedikt Schleicher, Ove Arup Londres, pelas informaes e recepo;a Holger Falter, Ove Arup Dublin, pelo empenho em fazer acontecer alguns encontros;ao professor Karl-Eugen Kurrer, pelas palavras de incentivo.

    Universidade de Braslia (UnB), pela infra-estrutura e Coordenao deAperfeioamento de Pessoal de Nvel Superior (CAPES) pela bolsa de estudos. AoPrograma de Ps-graduao em Estruturas e Construo Civil (PECC), pelo aceite de umaaluna arquiteta e pelo apoio at o instante da defesa.

    Ao professor e orientador Lineu Jos Pedroso pelo incentivo constante busca doconhecimento.

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    Pela confiana do corpo docente em minha capacidade, especialmente aos professoresLuciano Mendes Bezerra, pela excelncia dos cursos ministrados to importantes paraminha formao; Maria de Ftima Souza e Silva, pelo incentivo pesquisa; Rosa Maria

    Sposto, to solcita e amiga como coordenadora do PECC no binio; Jos Luis Vital deBrito, pela pacincia e direcionamento investigativo; Paul William Partridge, pelosconselhos objetivos; Neusa Maria Bezerra Mota, pela ampliao dos horizontes; GracielaDoz de Carvalho, pelas conversas e contedo tcnico adquirido.

    Aos amigos engenheiros Carlos Augusto e Soraya, pelo apoio e carinho.

    Aos professores da Faculdade de Arquitetura e Urbanismo da UnB que, como nas palavrasdo professor Frank Svenson, provocaram as inquietaes propulsoras da busca peloconhecimento; Jaime Almeida, pelo exemplo profissional e pela serenidade; Cristina Juc,pelas palavras encorajadoras; e, especialmente ao professor Jos Manoel Morales Snchezque nos idos de 1998 e 1999 tanto me influenciou na busca por compreender melhor o

    comportamento das estruturas. Tal interesse foi alm da minha graduao, culminando naescolha do tema da presente dissertao. Esse processo no foi to fcil como dizerbolacha, mas serviu como um belo incentivo.

    E, especialmente, ao meu marido, luz que Deus acendeu na minha vida para que eupudesse seguir pelo escuro trajeto da vida e chegar a um porto seguro. Amor maior quepossibilitou alcanar e vencer os mais distantes e pedregosos caminhos. Raul, sem vocno seria possvel!

    Patrcia Cristina Cunha Nunes

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    Arco non altro che una fortezza causata da due debolezze.

    O arco no outra coisa seno uma fortaleza resultante de duas fraquezas.

    Leonardo da Vinci

    [1] Representao medieval alegrica do tringulo eqiltero e, porextenso, do arco ogival eqiltero (Villard de Honnecourt, Sc. XIII)

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    RESUMO

    TEORIA DO ARCO DE ALVENARIA: UMA PERSPECTIVA HISTRICA

    Autor: Patrcia Cristina Cunha NunesOrientador: Lineu Jos Pedroso, Dr. Ing.Programa de Ps-Graduao em Estruturas e Construo CivilBraslia, Abril de 2009

    O arco de alvenaria um dos grandes testemunhos da evoluo da cincia estrutural.

    Conjuntamente com a cpula e a abbada, que constituem seu prolongamento natural noespao, o arco de alvenaria, enquanto elemento arquitetnico e estrutural, est na base da

    arquitetura ocidental, e, portanto, de parte significativa do patrimnio histrico, muito

    particularmente de muitos dos edifcios mais emblemticos legados pela histria

    contemporaneidade. Durante sculos, sua utilizao se fundamentou em regras estruturais

    baseadas na tradio e no conhecimento emprico, mas com o advento da cincia moderna,

    se desenvolveram ferramentas analticas que possibilitavam a compreenso cientfica de

    seu comportamento estrutural e a elaborao de regras cientficas para o seu clculo.

    Surgem, ento, as teorias cientficas do arco de alvenaria, que recorrem em especial Mecnica e Matemtica para explicarem o comportamento do arco e desenvolverem

    mtodos de base cientfica para o dimensionamento dessas estruturas. Este trabalho faz um

    exame crtico analtico do desenvolvimento dessas teorias, no perodo histrico que se

    estende do sculo XV, com os escritos de Leonardo da Vinci, at meados do sculo XX, s

    vsperas do desenvolvimento das ferramentas numricas. So identificadas algumas

    mudanas de paradigma durante esse perodo, que convergem para o debate atual entre a

    teoria elstica e a teoria plstica. Este trabalho de pesquisa envolveu uma consulta ampla a

    fontes primrias (em meio eletrnico) e secundrias. So descritas algumas das teorias e

    mtodos mais influentes no perodo, buscando-se inseri-los no quadro geral das grandes

    linhas tericas. Entre os temas examinados encontram-se o modelo do arco de alvenaria

    como sistema de cunhas polidas, a investigao de seus mecanismos de colapso,

    experimentos comprobatrios da existncia da linha de empuxo bem como seu

    funcionamento, a teoria elstica aplicada aos arcos de alvenaria e, de forma resumida, a

    teoria da carga limite.

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    ABSTRACT

    THEORY OF THE MASONRY ARCH: AN HISTORICAL PERSPECTIVE

    Author: Patrcia Cristina Cunha Nunes

    Supervisor: Lineu Jos Pedroso, Dr. Ing.

    Postgraduate Program in Structure and Civil Construction Engineering

    Braslia, April 2009

    The masonry arch is a great witness of the evolution of Structural Science. Together withvault and the dome, which naturally result from its evolving in space, the masonry arch as

    both architectural and structural element is in the basis of western architecture, so that it

    also makes up an important part of our heritage, particularly including some of our most

    emblematic, icons buildings. For centuries the building of masonry arch relied on structural

    rules based upon tradition and empirical knowledge, but with the rise of modern science,

    analytical tools have been brought to light which made it possible to build up a scientific

    understanding of its structural behavior and to draw up science based rules for the

    dimensioning of new vaulted structures. That is the born of masonry arch scientific

    theories, which call upon Mechanics and Mathematics to explain the way arches behave

    and to develop new methods for finding safe dimensions of new structures and assessing

    the safety of existing ones. This work makes an analytical exam of such theories, in

    respect to the period that runs from the 15th century, with the writings by Leonardo up to

    the mid 20thcentury, at the dawn of computer technology and numerical tools. Paradigm

    shifts are identified within this time frame which converges to present days disputes

    between plastic and elastic theory over the field of masonry vaults. This research work

    relied substantially on primary resources from electronic media, as well as on secondary

    resources. It describes some of the most influential methods, while considering them in the

    broad framework of the great theoretical lines. It explores the masonry arch modeled as a

    system of frictionless wedges, the study of its collapse modes, some historic experiments

    showing the thrust line existence and behavior, the elastic theory and the limit analysis

    applied to the masonry arch, among other issues.

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    SUMRIO

    1 - INTRODUO .......................................................................................................... 01

    1.1 - JUSTIFICATIVA ............................................................................................. 04

    1.2 - OBJETIVOS ..................................................................................................... 06

    1.3 - METODOLOGIA ............................................................................................. 06

    1.4 - ORGANIZAO DOS CAPTULOS .............................................................. 08

    2 - GENERALIDADES SOBRE O ARCO ...................................................................... 09

    2.1 - CONCEITO ...................................................................................................... 09

    2.2 - FUNES E USOS .......................................................................................... 09

    2.3 - TERMINOLOGIA ............................................................................................ 13

    2.4 - CLASSIFICAO ........................................................................................... 15

    2.4.1 - Quanto forma .......................................................................................... 15

    2.4.2 - Quanto funo na estrutura ...................................................................... 28

    2.4.3 - Quanto ao mtodo de resistncia ao empuxo horizontal ............................. 29

    2.4.4 - Quanto ao grau de estaticidade:.................................................................. 302.5 - CONSIDERAS SOBRE A GEOMETRIA dos arcos .................................... 32

    3 - O USO DO ARCO COMO ELEMENTO ESTRUTURAL NA ARQUITETURA

    OCIDENTAL .................................................................................................................. 35

    3.1 - CONSIDERAES INICIAIS ......................................................................... 35

    3.2 - O ARCO E SUAS APLICAES NA ARQUITETURA ................................. 35

    3.2.1 - Coberturas curvas na arquitetura ocidental: breve discusso de alguns casos

    ............................................................................................................................. 383.2.2 - Pontes em arco de alvenaria no perodo renascentista: quatro casos ........... 51

    4 - GENERALIDADES SOBRE OS ARCOS DE ALVENARIA ..................................... 57

    4.1 - A ALVENARIA ............................................................................................... 57

    4.2 - CONSTRUO ............................................................................................... 60

    4.3 - LINHA DE EMPUXO ...................................................................................... 61

    4.4 - MECANISMOS DE COLAPSO ....................................................................... 69

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    5 - TEORIAS CIENTFICAS DO ARCO DE ALVENARIA ........................................... 78

    5.1 - CONSIDERAES INICIAIS ......................................................................... 78

    5.2 - REGRAS TRADICIONAIS .............................................................................. 81

    5.3 - TEORIA DAS CUNHAS .................................................................................. 84

    5.3.1 - Generalidades ............................................................................................ 84

    5.3.2 - Leonardo da Vinci ..................................................................................... 84

    5.3.3 - La Hire e Blidor ....................................................................................... 86

    5.3.4 - Depois de Blidor ...................................................................................... 93

    5.4 - TEORIA DA ROTAO DE ADUELAS ................................ ........................ 93

    5.4.1 - Generalidades ............................................................................................ 93

    5.4.2 - Trabalhos precursores ................................................................................ 94

    5.4.3 - Estudos experimentais no sculo XVIII ..................................................... 96

    5.4.4 - Coulomb .................................................................................................. 100

    5.4.5 - Depois de Coulomb ................................................................................. 105

    5.5 - TEORIA DA LINHA DE EMPUXO ............................................................... 106

    5.5.1 - Consideraes iniciais.............................................................................. 106

    5.5.2 - Hooke e Gregory ..................................................................................... 1075.5.3 - Aplicaes prticas .................................................................................. 109

    5.5.4 - Emerson .................................................................................................. 114

    5.5.5 - Moseley .................................................................................................. 115

    5.5.6 - Mry ........................................................................................................ 118

    5.5.7 - Barlow ..................................................................................................... 123

    5.6 - TEORIA ELSTICA ...................................................................................... 125

    5.6.1 - Comentrios iniciais ................................................................................ 125

    5.6.2 - Antecedentes ........................................................................................... 126

    5.6.3 - Saavedra .................................................................................................. 128

    5.6.4 - Winkler ................................................................................................... 130

    5.6.5 - OIAV (Associao Austraca de Engenheiros e Arquitetos) ..................... 132

    5.6.6 - Pontes ...................................................................................................... 135

    5.7 - TEORIA DA CARGA LIMITE ...................................................................... 136

    6 - CONCLUSES E RECOMENDAES ................................................................. 146

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    6.1 - CONCLUSES .............................................................................................. 146

    6.2 - RECOMENDAES ..................................................................................... 148

    REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ............................................................... ............. 150

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    LISTA DE FIGURAS

    Figura 2.1 Exemplos de uso do arco. ............................................................................. 10

    Figura 2.2 O papel simblico da geometria do arco. .......................................... ............ 12

    Figura 2.3 Terminologia do arco de alvenaria. .............................. ................................. 13

    Figura 2.4 Classificao dos arcos. ................................................................................ 15

    Figura 2.5 Classificao dos arcos com geometria baseada no crculo ........................... 16

    Figura 2.6 Tipos de arco. ............................................................................................... 18

    Figura 2.7 Arco pleno. .................................................................................................. 19

    Figura 2.8 Arco segmentar. ........................................................................................... 20

    Figura 2.9 Arco catenrio. ............................................................................................. 21

    Figura 2.10 Parbola y = x2comparada catenria e ao semicrculo. ............................. 23

    Figura 2.11 Arco Ogival ................................................................................................ 24

    Figura 2.12 Arco Elptico. ............................................................................................. 25

    Figura 2.13 Ponte de lAlma.......................................................................................... 26

    Figura 2.14 Arco abatido. .............................................................................................. 27

    Figura 2.15 Classificao dos arcos quanto funo na estrutura e/ou como elemento de

    articulao espacial no edifcio. ................................................................................ 29

    Figura 2.16 Classificao dos arcos quanto ao mtodo de resistncia ao empuxo lateral....

    ................................................................................................................................. 30

    Figura 2.17 Classificao dos arcos quanto ao grau de estaticidade. .............................. 31

    Figura 2.18 Exemplos histricos de estruturas proporcionais.. ............................... ........ 32

    Figura 2.19 Geometrias no proporcionais. ................................................................... 33

    Figura 2.20 Relao entre a flecha e o empuxo de um arco..............................................34

    Figura 3.1 Hipteses para o desenvolvimento inicial do arco ......................................... 36

    Figura 3.2 Exemplos de arcos naturais............................................................................38Figura 3.3 Cpula falsa do Tesouro de Atreu. ................................................................ 39

    Figura 3.4 Tesouro de Atreu. ......................................................................................... 39

    Figura 3.5 Abbada de aresta ........................................................................................ 41

    Figura 3.6 Abbada de aresta e sistema basilical ........................................................... 42

    Figura 3.7 Panteo de Roma .......................................................................................... 43

    Figura 3.8 Panteo de Roma. ......................................................................................... 43

    Figura 3.9 Arcos na estrutura do Panteo de Roma . ...................................................... 44

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    Figura 3.10 Transio entre cpula circular e base quadrada. ..................................... ... 45

    Figura 3.11 Santa Sofia, Istambul. ................................................................................. 46

    Figura 3.12 Cpulas circulares sobre bases quadradas ........... ........................................ 46Figura 3.13 Anlise esttica da estrutura de Santa Sofia. ............................................... 47

    Figura 3.14 Contrafortes da Catedral de Chartres. ......................................................... 48

    Figura 3.15 Abbada de bero apoiada na chave de outra .............................................. 49

    Figura 3.16 Arcobotante. ............................................................................................... 49

    Figura 3.17 Catedral de Chartres ................................................................................... 50

    Figura 3.18 Modelo computacional de seo tpica da Catedral de Maiorca ................... 51

    Figura 3.19 Pontes na Itlia. .......................................................................................... 52

    Figura 3.20 Ponte de Santa Trinit, Florena ................................................................. 53Figura 3.21 Arco catenrio rotacionado em 90o. ........................................................... 53

    Figura 3.22 Ponte de Rialto, Veneza.............................................................................. 55

    Figura 3.23 Ponte Fleisch, Nuremberg. ......................................................................... 56

    Figura 4.1 Alvenaria histrica. ...................................................................................... 57

    Figura 4.2 Desenho explicativo de Moseley para a linha de empuxo.............................. 62

    Figura 4.3 Arco de aduelas. ........................................................................................... 63

    Figura 4.4 Arco em alvenaria sujeito apenas ao peso prprio, variando-se o centro de

    empuxo da pedra de fecho. ....................................................................................... 64

    Figura 4.5 Configuraes do diagrama de peso conforme alteraes diversas ................ 64

    Figura 4.6 Linha de empuxo mxima e mnima. ......................................... ................... 65

    Figura 4.7 Ensaios de Barlow e Jenkin ........................................................................ 66

    Figura 4.8 Modelos invertidos de Gaud. ....................................................................... 67

    Figura 4.9 Parque Gell, Barcelona. .............................................................................. 68

    Figura 4.10 Influncia da direo das juntas na linha de empuxo. .................................. 68

    Figura 4.11 Linha de empuxo em apoios e a influncia do carregamento vertical .......... 69

    Figura 4.12 Mecanismos de colapso em arcos semicirculares ............ ............................ 70

    Figura 4.13 Aduelas consecutivas em um arco de alvenaria ............................... ............ 71

    Figura 4.14 Modos de colapso do arco de alvenaria por rotao de aduelas, formas gerais.

    ................................................................................................................................. 72

    Figura 4.15 Modos de colapso do arco de alvenaria por rotao de aduelas, com

    formao de rtula plstica no coroamento. .............................................................. 73

    Figura 4.16 Estudo do equilbrio ................................................................................... 74

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    Figura 4.17 Forma geral das linhas de empuxo mxima e mnima para um arco simtrico

    . ................................................................................................................................ 76

    Figura 5.1 Duomo de Florena ..................................................................................... 78Figura 5.2 Quadro cronolgico da teoria cientfica do arco de alvenaria. ............... ........ 80

    Figura 5.3 Regra de Derand/Blondel ............................................................................. 83

    Figura 5.4 Leonardo da Vinci. Estudos sobre o arco de alvenaria .................................. 85

    Figura 5.5 La Hire, 1695. .............................................................................................. 86

    Figura 5.6 La Hire, 1712. .............................................................................................. 88

    Figura 5.7 Blidor. Mtodo de clculo do apoio ou contraforte de um arco.................... 92

    Figura 5.8 Baldi. ........................................................................................................... 96

    Figura 5.9 Danyzy. Ensaios experimentais com modelos reduzidos .............................. 97Figura 5.10 Ponte de Nemours ....................................................................................... 99

    Figura 5.11 Boistard. Resultado de ensaio experimental com modelo reduzido. ............ 99

    Figura 5.12 Mtodo de Coulomb. ................................................................................ 101

    Figura 5.13 Coulomb. Estados limitesH, H, H1,H1. Hminna coroa ......................... 104

    Figura 5.14 Catedral de St. Paul, Londres .................................................................... 110

    Figura 5.15 Cpula da Baslica de So Pedro, Roma ................................................... 112

    Figura 5.16 Poleni. Anlise da estabilidade da cpula de So Pedro, Roma. ................ 113

    Figura 5.17 Emerson. Arco catenrio. ......................................................................... 114

    Figura 5.18 Moseley. Linha de empuxo e linha de presso .......................................... 116

    Figura 5.19 Moseley . ................................................................................................. 117

    Figura 5.20 Mry. Mtodo grfico de determinao da linha de empuxo .................... 120

    Figura 5.21 Exemplos de aplicao do mtodo de Mry ..................... ........................ 121

    Figura 5.22 Mry. Diviso da espessura do arco em funo da resistncia do material....

    ............................................................................................................................... 122

    Figura 5.23 Barlow. Experimentos realizados para comprovar a existncia da linha de

    empuxo . ................................................................................................................ 125

    Figura 5.24 Saavedra. Teoria elstica aplicada ao arco de alvenaria............................. 128

    Figura 5.25 OAIV. Comparao da carga limite em arcos de ensaio ........................... 133

    Figura 5.26 OAIV. Testes em arcos de ensaio de alvenaria e concreto ........................ 134

    Figura 5.27 Exemplos de pontes em arco de alvenaria a partir do final do sculo XIX......

    ............................................................................................................................... 136

    Figura 5.28 Nova conformao de um arco de alvenaria com deslocamento dos apoios

    ............................................................................................................................... 138

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    Figura 5.29 Posio mxima e mnima da linha de empuxo em um arco de alvenaria. . 139

    Figura 5.30 Formao de rtula entre duas aduelas consecutivas ................................. 140

    Figura 5.31 Proposio de Moseley para a linha de empuxo. ....................................... 142Figura 5.32 Colapso de arco circular sob carregamento concentrado ........................... 144

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    1

    1 - INTRODUO

    Na linguagem da Esttica, a idia de dar sustentao a uma construo, que define a

    funo da estrutura, se traduz como a capacidade de transmisso ao solo das cargas

    solicitantes, de modo a constituir um conjunto estvel. Nesse sentido, uma estrutura pode

    ser compreendida como um sistema que recebe solicitaes externas, as absorve

    internamente e as transmite at onde possam encontrar seu sistema esttico equilibrante

    (Sussekind, 1981), no caso das estruturas arquitetnicas, o solo.

    Para Engel (1981), a estrutura tem por objetivo manter sob controle as cargas

    gravitacionais, as foras externas e as tenses internas, canalizando-as ao longo de

    trajetos previstos, com a inteno de mant-las num sistema de ao e reao

    interdependentes, que d o equilbrio a cada componente individual, assim como ao

    sistema estrutural como um todo. A idia das cargas sendo conduzidas ao longo dos

    elementos que compem a estrutura ilustrada metaforicamente por meio da imagem da

    gua sendo conduzida ao longo de uma tubulao.

    Assim, o funcionamento estrutural pode ser compreendido como o modo como a estrutura

    cumpre o seu papel, isto , o modo como conduz at o solo as cargas gravitacionais, as

    foras externas e as tenses internas. De acordo com Salvadori (2006), evocando ainda a

    imagem da gua, o fluxo das cargas buscar sempre o caminho mais direto, ou seja, o

    caminho mais natural. So diversos os arranjos propostos pelos construtores ao longo da

    histria para esse encaminhamento, seja o caminho emprico do empilhamento de

    pedras, das amarraes de madeira e folhagem nos abrigos primitivos at solues

    construtivas cada vez mais elaboradas, o fato que as leis da natureza tm sido

    manipuladas ao longo do tempo seguindo um mesmo princpio: conter e distribuir os

    esforos gerados por elas.

    Ao longo da histria da arquitetura, possvel notar uma tendncia de produo de vos

    cada vez maiores e de espaos cobertos cada vez mais amplos, com um menor grau de

    obstruo por elementos estruturais. Isso est em grande parte associado a requisitos

    funcionais. No que diz respeito produo do abrigo, se pode pensar, por exemplo, nos

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    motivos que levaram os antigos romanos a construir suas grandes termas abobadadas, ou

    nas razes que lanaram cidades europias no desafio de erguer catedrais gticas no lugar

    de suas antigas igrejas, ou ainda nas razes que levam a sociedade contempornea adesafiar a resistncia dos materiais na cobertura de seus estdios de futebol, aeroportos e

    fbricas. Cabe lembrar a afirmativa de Engel (1981): a estrutura faz as foras mudarem sua

    direo, de modo que o espao para o movimento humano permanea sem obstculos. No

    que diz respeito construo das pontes, onde o movimento humano tem lugar

    principalmente acima, e no abaixo da estrutura, a necessidade de reduzir os obstculos,

    mas tambm os custos e os prazos, tm tambm participao fundamental na motivao

    dessa busca por vos cada vez maiores.

    Em um espao de grande extenso, a ser coberto horizontalmente com o mnimo de apoios

    intermedirios, o problema da absoro e da conduo dos esforos at o solo se torna

    especialmente desafiador. Na busca de resposta para esse desafio, possvel identificar, na

    histria da arquitetura ocidental,1um princpio de fundamental importncia: a curvatura.

    Nas coberturas curvas, alm de economia de material, a curvatura introduz ganhos de

    resistncia, o que pode ser verificado no exemplo simples de uma folha de papel apenas

    apoiada em suas extremidades, comparada a outra que esteja submetida a algum tipo de

    curvatura. Tais vantagens da curvatura para a proviso de espao coberto se manifestaram

    de forma especialmente marcante na cpula e na abbada, resultantes, respectivamente, da

    rotao do arco e de sua translao no espao sobre uma reta.

    O arco estrutural se originou no Egito Antigo e os exemplos conhecidos mais antigos so

    abbadas de bero datadas de 3.500 a.C (Turner, 1996). Os antigos romanos converteram o

    arco em um elemento central de projeto arquitetnico e estrutural - tradio que se

    perpetuou no tempo e se renovou ao longo da histria, viabilizando materialmente e

    revestindo-se do carter arquitetnico prprio de diversas culturas e momentos histricos.

    Nesse contexto, Jordan (1985) afirma que o tema arco quaisquer que sejam suas variaes

    estilsticas, foi a base da arquitetura europia. possvel comprovar tal observao no

    desenvolvimento da arquitetura - bizantina, romnica, gtica, renascentista, barroca,

    1 A arquitetura ocidental pode ser compreendida, em termos gerais, como a produo arquitetnica dachamada Civilizao Ocidental. Apesar de no haver uma definio universalmente aceita das fronteirasgeogrficas e temporais da Civilizao Ocidental, a expresso arquitetura ocidentaldiz respeito arquiteturaeuropia - da civilizao grega antiga atualidade, bem como quela das regies geogrficas que se tornaramherdeiras da cultura europia, como o continente americano.

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    3

    neoclssica a partir do uso da potencialidade estrutural do arco, construdo em pedra ou

    tijolos.

    Apenas com a revoluo industrial, no sculo XIX, o arco de alvenaria comeou a ser

    preterido como soluo estrutural para a cobertura de grandes vos, em favor

    especialmente do ferro, cuja lgica e esttica estrutural caracterizam os grandes espaos

    cobertos dos novos programas de arquitetura: estaes ferrovirias, fbricas, estufas

    botnicas, pavilhes de exposio. O uso do arco de alvenaria se preservou especialmente

    na construo de pontes, cumpriu um papel fundamental na expanso da malha ferroviria

    europia, e experimentou ainda um ressurgimento fugaz, ainda que glorioso, nos ltimos

    anos do sculo XIX e primeiros anos do sculo XX. A partir da dcada de 1920, o uso dasestruturas em arco de alvenaria rapidamente se tornou marginal, substitudo pelos novos

    materiais estruturais, em especial o ao e o concreto, considerados mais apropriados s

    necessidades da sociedade industrial.

    O interesse pelas estruturas em arco de alvenaria se renovou aps a II Guerra Mundial, mas

    agora em novas bases. No se tratava e no se trata mais de construir estruturas em

    alvenaria, mas de preservar as estruturas existentes, herdadas do passado. Os arcos,

    abbadas e cpulas de tijolo ou pedra esto presentes em uma parte significativa do

    patrimnio arquitetnico, em nvel mundial, e muitos dos edifcios mais emblemticos da

    histria da arquitetura foram construdos em alvenaria. A Baslica de So Pedro, em Roma,

    a Mesquita de Hagia Sophia, em Istambul, o Mosteiro dos Jernimos, em Lisboa e a Igreja

    da Candelria, no Rio de Janeiro, so alguns exemplos.

    A preservao deste patrimnio histrico, frente a patologias estruturais ou potenciais

    abalos ssmicos, por exemplo, exige o aprofundamento da compreenso do funcionamento

    das estruturas em arco de alvenaria. O tema tem sido objeto de interesse crescente por parte

    do meio acadmico e profissional internacional, bem como de investimentos crescentes em

    pesquisa. Diversas instituies renomadas dispem de ncleos especficos de pesquisa

    dedicados ao estudo de estruturas em alvenaria, seno de profissionais especializados no

    tema, ligados seja aos cursos de arquitetura ou de engenharia. Pode-se citar como

    exemplos o Massachusetts Institute of Technology MIT (Estados Unidos), Universidade

    do Minho (Portugal) e Universit degli Studi di Roma "La Sapienza" (Itlia), entre outras.

    Os mtodos numricos so um recurso indispensvel nesse campo de investigao, e a

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    literatura registra contendas acirradas a respeito das ferramentas computacionais e

    abordagens de modelagem mais adequadas, bem como a respeito dos limites da

    modelagem computacional frente complexidade intrnseca s construes histricas reais.

    1.1 - JUSTIFICATIVA

    Paralelamente a essas pesquisas voltadas para a compreenso e predio do

    comportamento de estruturas especficas, com o objetivo de assegurar sua preservao,

    tm-se consolidado um campo correlato de investigao, a histria da teoria das

    estruturas. Seu objeto tem sido descrito como a histria da relao entre a Mecnica e a

    Arquitetura, isto , da relao entre o saber fazer, que se conforma norma, respeitando

    uma determinao e uma congruncia perfeitas com seu objetivo, e a teoria, que confirma a

    norma e testemunha a necessidade de determin-la em congruncia com as leis da

    natureza (Radelet-de-Grave; Benvenuto, 1994, p. 7). Argumenta-se que a pesquisa

    histrica sobre a relao entre a Mecnica e a Arquitetura iniciou sua fase de maturidade

    na dcada de 1970, sendo que a primeira conferncia internacional sobre histria da teoria

    das estruturas ocorreu em 1995 (Historical perspectives on structural analysis, Madrid).

    Trata-se, portanto, de uma disciplina recente.

    De acordo com Kurrer (2008), a importncia da disciplina de histria da teoria das

    estruturas para a engenharia civil reside em seu potencial como instrumental em quatro

    frentes distintas: uma cientfica, interna teoria das estruturas, na verificao da

    consistncia interna de novas teorias, por meio da reflexo sobre sua gnese e objeto; uma

    prtica, no campo da engenharia, como fonte de um conhecimento necessrio preservao do patrimnio histrico, e tambm capaz de contribuir com a evoluo dos

    processos de construo modernos; uma cultural, na democratizao do conhecimento da

    engenharia, uma vez que pode ajudar a tornar a teoria das estruturas mais acessvel ao

    pblico leigo; e, finalmente, uma frente didtica, na tarefa de superar o formulismo no

    aprendizado da teoria das estruturas.

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    No que diz respeito a esse ltimo ponto, introduzir o contexto histrico contribui para que

    os mtodos da teoria das estruturas sejam compreendidos, experienciados e ilustrados

    como o resultado de processos sociais e histricos de produo do conhecimento, e nocomo verdades a priori. Ao mesmo tempo em que isso torna o conhecimento mais

    palatvel aos estudantes, estimula o interesse pela pesquisa em teoria das estruturas, pois

    mostra que seus mtodos so o resultado de uma construo coletiva no tempo, isto , de

    conquistas progressivas a partir dos insights e do trabalho de um grande nmero de

    cientistas e engenheiros. Em outras palavras, ao desmistificar a origem do conhecimento na

    engenharia estrutural, a histria da teoria das estruturas ajuda a cultivar nos estudantes a

    percepo de que eles tambm podem vir a contribuir nesse processo. Do ponto de vista

    epistemolgico, a disciplina da histria da teoria das estruturas representa uma unio entreanlise estrutural e mecnica aplicada, com contribuies das cincias humanas: filosofia,

    histria geral, sociologia, histrias da cincia, tecnologia, indstria e engenharia (Kurrer,

    2008).

    O presente trabalho se insere nesse campo de investigao e tem por objeto a histria das

    teorias cientficas do arco de alvenaria. O desenvolvimento de regras estruturais baseadas

    no conhecimento cientfico do comportamento das estruturas no um desafio recente no

    que diz respeito s estruturas em alvenaria. Na verdade, desde que a Esttica comeou a ser

    aplicada Arquitetura, o arco de alvenaria se converteu em objeto de investigao desse

    campo do conhecimento. No coincidncia, portanto, que o primeiro estudo das

    condies de segurana de um edifcio existente por meio da anlise estrutural, tal como se

    a conhece hoje, foi a avaliao, em 1743, da estabilidade de uma grande cpula de

    alvenaria (Mainstone, 1997), a da Baslica de So Pedro (Roma), que poca, sofria um

    processo pronunciado de fissuramento.

    Os primeiros modelos tericos do arco de alvenaria derivavam da aplicao da teoria das

    cinco mquinas (roldana, alavanca, cunha, roda e eixo, parafuso) e da mecnica

    renascentista, e pressupunham a inexistncia de atrito entre as aduelas. Desde ento, a

    trajetria evolutiva da teoria do arco de alvenaria passou por uma melhor compreenso dos

    mecanismos de colapso do arco, pela consolidao e explorao do conceito da linha de

    empuxo, e, posteriormente, pela aplicao da teoria elstica e da teoria plstica ao arco de

    alvenaria. No obstante sua importncia, o trajeto histrico das teorias cientficas do arco

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    de alvenaria, se ainda relativamente raro na literatura estrangeira, muito escasso na

    literatura em lngua portuguesa, em especial entre autores brasileiros.

    1.2 - OBJETIVOS

    O presente trabalho tem por objetivos gerais, por um lado, contribuir para preencher a

    lacuna na literatura brasileira relativa histria do arco de alvenaria, e, por outro,

    contribuir para o desenvolvimento no pas da histria da teoria das estruturas enquanto

    disciplina da cincia da engenharia.

    Os objetivos especficos deste trabalho so:

    Apresentar os aspectos gerais da temtica do arco de alvenaria;

    Apresentar brevemente o estgio atual do conhecimento terico sobre o

    funcionamento estrutural dos arcos de alvenaria, em especial no que diz

    respeito linha de empuxo e aos mecanismos de colapso;

    Elaborar uma resenha da evoluo histrica das teorias cientficas do arco de

    alvenaria, de sua origem at o advento dos mtodos numricos, no incluindo

    estes.

    1.3 - METODOLOGIA

    A metodologia adotada consistiu em consulta e anlise crtica comparada de fontes

    secundrias e consulta s fontes primrias, sempre que possvel e pertinente, de forma a

    subsidiar uma sntese do conhecimento para cada um dos tpicos abordados. Em suma, as

    etapas de trabalhos podem ser descritas da seguinte forma:

    Leitura comparada dos principais autores contemporneos de referncia no

    tema;

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    Consulta s fontes primrias, sempre que acessveis, em meio eletrnico;

    Leitura de apoio, em textos diversos;

    Sntese do conhecimento;

    Entre os autores contemporneos, cabe mencionar, entre outros, J. Heyman (Gr-

    Bretanha), S. P. Timoshenko (Estados Unidos), F. Foce e A. Becchi (Itlia), K. E. Kurrer

    (Alemanha) e S. Huerta (Espanha), entre outros. Autores como R. J. Mainstone (Gr-

    Bretanha), P. B. Loureno (Portugal), J. A. Ochsendorf (Estados Unidos), G. Croci (Itlia)

    e P. Roca (Espanha) so autoridades de reconhecimento internacional no campo da anlise

    estrutural de construes histricas, particularmente de alvenaria, mas como o enfoque do

    presente trabalho a histria da teoria do arco de alvenaria, os textos de sua autoria so

    considerados como leitura de apoio, com importantes contribuies em questes

    complementares. O mesmo valido para J. Sakarovitz (Frana), em relao histria da

    estereotomia, ou S. Kostof (Turquia/Estados Unidos), R. F. Jordan e B. Fletcher (Gr-

    Bretanha) em relao histria da arquitetura.

    A consulta a fontes primrias, por sua vez, foi possvel devido ao trabalho de digitalizao

    e disponibilizao gratuita de obras de domnio pblico, que vem sendo empreendido por

    diversas instituies e iniciativas. Cabe citar a biblioteca digital Fuentes para la Historia

    de la Construccin, no mbito do projeto Bibliotheca Mechanico-Architectonica, de

    iniciativa de de A. Becchi e F. Foce (Universidade de Gnova) e S. Huerta (Universidades

    de Madri); Gallica, coleo digitalizada da Biblioteca Nacional da Frana; os projetos

    GutembergeInternet Archive, bibliotecas digitais sediadas nos Estados Unidos, mantidas e

    ampliadas por redes de voluntrios; Google Books, servio de visualizao e baixa de

    livros e artigos na internet; entre outros.

    Este trabalho est calcado, portanto, em fontes documentais e de referncia que, de certa

    forma, influenciam a organizao e desenvolvimento do texto. Outras fontes e

    contribuies no acessadas poderiam certamente ter contribudo para outra orientao.

    Portanto, a temtica aqui desenvolvida representa uma contribuio pessoal, fornecendo

    uma dada sistematizao do conhecimento em questo, sendo que outras variantes de

    abordagens diferentes poderiam ser possveis dentro deste mesmo tema, uma vez que o

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    vasto contedo envolvendo os arcos permitiria o envolvimento das mais diversificadas

    fontes documentais provenientes de vrias origens.

    1.4 - ORGANIZAO DOS CAPTULOS

    Este trabalho encontra-se dividido em quatro captulos e um anexo. O primeiro captulo

    apresenta noes gerais sobre o arco: conceito, terminologia, tipologia, funo. Trata-se de

    abordagem introdutria ao tema. O Captulo 2 apresenta um panorama histrico do uso do

    arco de alvenaria como elemento estrutural ao longo da histrica da arquitetura. Estende-se

    a definio de arco aos elementos estruturais tridimensionais que geometricamente so

    obtidos pela translao do arco no espao, ou seja, as abbadas e, como espcie particular

    de abbada, a cpula. So comentadas as principais caractersticas tipolgicas e os

    principais desenvolvimentos relacionados construo em arco de alvenaria, a partir de

    exemplos emblemticos de cada um dos perodos da histria da arquitetura ocidental:

    romano antigo, bizantino, romnico, gtico, renascentista, barroco e neoclssico. O fio

    condutor dessa anlise a evoluo das grandes coberturas abobadadas, se fazendoreferncia tambm a episdios selecionados da histria da construo de pontes. No

    captulo 3, so tratados aspectos gerais do arco de alvenaria, identificados alguns aspectos

    construtivos e apresentados os conceitos de linha de empuxo e mecanismos de colapso.

    O captulo 4, enfim, aborda a histria das teorias do arco de alvenaria desde o sculo XVI,

    dividida conforme suas linhas tericas principais: teoria da cunha, da rotao de aduelas,

    da linha de empuxo e teorias elstica e plstica aplicadas ao arco de alvenaria. Entre as

    numerosas contribuies, procurou-se destacar algumas das mais importantes, a exemplode Baldi e Hooke (sculo XVII), La Hire, Blidor e Coulomb (sculo XVIII), Moseley,

    Mry, Rankine e Winkler (sculo XIX), e Heyman (sculo XX), entre outros. O anexo A

    traz o clculo de um arco elstico isosttico.

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    2 - GENERALIDADES SOBRE O ARCO

    2. 1 - CONCEITO

    O arco pode ser definido como um elemento estrutural curvo que transmite seu peso

    prprio e as sobrecargas a dois apoios, por meio apenas ou principalmente de esforos

    normais simples de compresso (Torroja, 1960; Engel, 1981; Salvadori apudSilva e Souto,

    2000). O arco , portanto, um sistema estrutural de forma-ativa (Engel, 1981), assim como

    o cabo, que transmite cargas somente atravs de esforos de trao. De acordo com Engel

    (1981), o mecanismo de suporte dos sistemas estruturais de forma-ativa, que permite a

    conduo das cargas solicitantes por meio de esforos normais simples, reside

    essencialmente na forma material, de modo que o desvio da forma adequada pode colocar

    em risco o funcionamento do sistema ou demandar mecanismos adicionais de

    compensao.

    2.2 - FUNES E USOS

    De acordo com Silva e Souto (2000), as obras estruturais se destinam a quatro funes

    fundamentais: abrigo, trfego, conduo e conteno. A funo de abrigo diz respeito a

    delimitar, cobrir ou proteger um espao. As estruturas destinadas ao trfego so aquelas

    que visam facilitar a circulao de pessoas, animais, veculos e materiais, como as estradas

    e ferrovias, incluindo pontes, viadutos e tneis. A funo de conduo diz respeito

    conduo de lquidos (canais e tubos) ou gases (dutos e chamins), enquanto a funo de

    conteno diz respeito conteno e armazenagem das mais diversas substncias, por meio

    de reservatrios, silos, barragens, arrimos, escoras, etc. Ao longo da histria, o arco tem

    sido utilizado em estruturas destinadas a todas essas funes, em diferentes formas e

    combinaes (Figura 2.1).

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    (a)

    (c)

    Figura 2.1 Exemplos de uJacques-Germain Soufflot,1(Eslovnia), Rudolf Jaussne

    Lapa, antigo Aqueduto dconcludo em 1750 (Flickr,Sidney (Austrlia) P.Simps

    O arco um sistema estrutur

    acordo com Torroja (1960), o

    (1981: p. 26), por sua vez, afi

    suas qualidades para cobrir

    civilizao, com suas deman

    2 Eduardo Torroja (1899-1961) utitensional", "princpios tensionais")solicitaes, tenses e deformaes,

    10

    (b)

    (d)

    o do arco: a) na funo de abrigo: Panthon, Pa57-1790; b) na funo de trfego: ponte ferrovi

    r,1905 (Flickr, c2008) ; c) na funo de condua Carioca, Rio de Janeiro, Jos Fernandes Pinto2008); d) na funo de conteno: Barragem don, E.O. Moriarty e W. Randle, 1855-1856 (Fli

    l de fundamental importncia na histria da a

    arco foi o maior invento tensional 2 da arte c

    ma que os sistemas estruturais de forma ativa

    grandes vos, encerram um significado es

    as por amplos espaos livres. Para esse autor,

    liza o termo em destaque, tensional ("fenmeno tensi, de forma abrangente, em referncia natureza daprpria dos diferentes tipos estruturais.

    ris (Frana),ria, Solkano: Arcos daAlpoim,Parramatta,kr, c2008).

    rquitetura. De

    lssica. Engel

    em virtude de

    ecial para a

    os elementos

    nal", "invenorelao entre as

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    estruturais de forma ativa podem ser condensados para formar estruturas de superfcie e,

    nesse sentido, Jordan (1985, p.50) argumenta que os diferentes tipos de arco, as arcadas,

    as abbadas e as cpulas so variaes sobre o tema arco e que este tema, quaisquer quesejam as alteraes estilsticas, foi a base da arquitetura europia.

    Alm de sua funo estrutural, o arco desempenha funes de natureza esttica e como

    elemento de articulao espacial.3O arco ogival, por exemplo, um dos elementos mais

    caractersticos da arquitetura gtica, enquanto o arco semicircular um dos elementos mais

    caractersticos da arquitetura renascentista. A arquitetura gtica e a renascentista tm

    natureza muito distinta. Segundo Brando (1999: p.43), na catedral gtica, o resultado

    um movimento vertical vertiginoso e uma impulso mstica que no favorece umacontemplao sossegada, mas sim um sentimento de xtase, transcendncia e admirao,

    enquanto o sentido da igreja renascentista concretizar a imagem de um universo

    matematicamente organizado, uniforme e belamente proporcionado. A forma do arco

    ogival ou semicircular constitui um dos recursos mais importantes na busca de um e

    outro objetivo.

    Alm de elemento importante de articulao espacial e linguagem arquitetnica, o arco

    tambm se reveste freqentemente de importantes significados simblicos, em especial em

    edifcios religiosos. A geometria do arco ogival, por exemplo, est associada ao vesica

    piscis(ou ichtus), figura geomtrica resultante da interseo de dois crculos idnticos, de

    forma que o centro de cada um se encontra na circunferncia do outro (Figura 2.2a). O

    vesica piscissimboliza a mediao de opostos,4 e est associado ao simbolismo cristo da

    Santssima Trindade (Fletcher, 2004).

    De acordo com Critchlow (1983), o portal mourisco com abertura em arco de ferradura

    (Figura 2.2b) esconde uma estrutura geomtrica complexa. Na tradio erudita islmica, o

    crculo um arqutipo do mundo das idias, ou Cu, enquanto o quadrado um

    arqutipo do mundo da matria. A moldura externa do arco circunscreve um polgono de

    sete lados, em referncia direta aos Sete Cus do Coro. Assim, o arco de ferradura

    3 Articulao espacial diz respeito s relaes, visuais e de acessibilidade, que se estabelecem entre oslugares, independentemente da forma. Envolvem, por exemplo, seqncias espaciais e gradaes entre lugarpblico privado, aberto e fechado, entre outras. A articulao espacial influencia o modo como determinadoespao utilizado.4Segundo alguns autores, a mediao, a reconciliao entre o homem e Deus, por intermdio de Cristo, quetem no peixe um de seus smbolos.

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    visualmente toma a parte superior do retngulo e a transforma na linguagem simblica do

    mundo das idias, cumprindo o papel de relembrar ao fiel sobre a conciliao do homem

    com Deus (Critchlow, 1983 p. 102).

    (a) (b)

    Figura 2.2 O papel simblico da geometria do arco: a) arco ogival e geometria da vesicapiscis sobreposio de desenho esquemtico da vsica piscis (modificado Fletcher,2004) sobre desenho de janela em arco ogival eqiltero da Catedral de Reims, Frana

    (modificado Viollet Le-Duc, 1854); b) geometria subjacente a portal de acesso amesquita no sul da Espanha, em arco de ferradura (Critchlow, 1983).

    Em resumo, ao longo da histria, v-se o arco como elemento estrutural, isto , como

    componente dos sistemas de suporte e transmisso de cargas que conferem estabilidade s

    estruturas; e nessa condio, o uso do arco vai ao encontro das quatro funes

    fundamentais das estruturas mencionadas anteriormente: abrigo, trfego, conduo e

    conteno. Mas alm de sua funo estrutural, o arco desempenha um papel fundamental

    na histria da arquitetura associado a funes estticas, simblicas e de articulao

    espacial.

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    13

    2.3 - TERMINOLOGIA

    Figura 2.3 Terminologia do arco de alvenaria. Fonte: desenho esquemtico sobre detalhede perspectiva interna da Baslica de Vzelay, Frana, 1150 (modificado Viollet Le-

    Duc, 1854).

    Os principais elementos constituintes e medidas do arco de alvenaria so indicados na

    Figura 3.5Aduela o termo que designa o bloco em cunha que compe a zona curva do

    arco, colocado em sentido radial, com a face cncava para o interior e a convexa para o

    exterior. O plano de contato entre duas aduelas denominado junta. A aduela superior,

    que fecha ou trava a estrutura denominada chave ou fecho. Nos arcos

    descontnuos (ver Figura 2.4), a chave formada por duas aduelas. As aduelas inferiores,

    posicionadas na base do arco, so denominadas aduelas de arranque. O arco se apia

    no p-direito, ou apoio, que pode ser uma coluna (como no exemplo da Figura 2.3),

    5 Na literatura, no h uniformidade na apresentao dos termos e definies. Esta seo foi baseadaespecialmente em Corona e Lemos (1972), Pevsner, Fleming e Honour (c1977), Tacla (1984), Turner (1996),Ching (1999) e na consulta a obras gerais de referncia.

  • 5/27/2018 Arco Ogiva

    30/93

    14

    pilastra, consolo ou massa de alvenaria. O termo imposta designa o ltimo bloco do p-

    direito, no qual se apia a aduela de arranque, ou, alternativamente, a seo

    correspondente ao plano que separa o p-direito e o arco.

    A face interior e cncava do arco denominada intradorso, a face exterior e convexa

    denoninada extradorso, e a face frontal (plano abdc, na Figura 2.3) denominada

    testa ou paramento. As nascentes ou nascenas correspondem s arestas

    inferiores das aduelas de arranque (pontos a, b, c, d, na Figura 2.3) e se situam na linha

    das nascentes, ou linha de arranque. No extremo oposto, coroamento o ponto

    mais elevado do arco (ponto e, na Figura 2.3), posicionado no extradorso, sobre o eixo

    vertical da chave. O termo junta de coroamento designa a seo tranversalcorrespondente a este eixo. Nos arcos descontnuos, a junta de coroamento corresponde a

    uma junta propriamente dita, entre as duas aduelas que constituem a chave. O termo rim

    designa a seo transversal situada a meia altura do arco.

    O vo, luz, ou abertura do arco corresponde medida da distncia entre suas

    nascentes, tomada pelo intradorso (entre os pontos a e c, na Figura 2.3); a abertura

    externa corresponde medida da distncia entre as nascentes tomada pelo extradorso

    (entre os pontros b e d, na Figura 2.3); o vo terico corresponde medida da distncia

    entre as nascentes tomada pelo eixo do arco. Flecha, ou altura a medida da

    distncia entre a linha das nascentes e a face inferior da chave. A relao entre a flecha e o

    vo costuma ser expressa por uma frao de numerador unitrio (Ex: 1/3, 1/6,5) e constitui

    um dos elementos mais importantes da geometria do arco, pois est diretamente associada

    a seu comportamento mecnico. A espessura do arco corresponde medida da

    distncia entre o intradorso e o extradorso. O arco pode ter espessura constante (como no

    exemplo da Figura 2.3) ou varivel. Neste ltimo caso, costuma-se indicar a espessura na

    chave, nas impostas e nos rins. Essas so reas especialmente relevantes para o equilbrio

    do arco de alvenaria, como visto adiante.

  • 5/27/2018 Arco Ogiva

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    15

    2.4 - CLASSIFICAO

    2.4.1 - Quanto forma

    A curva do intradorso pode ser considerada o elemento isolado mais importante da

    caracterizao de um arco, uma vez que a forma material do arco est diretamente

    relacionada tanto a sua expresso arquitetnica quanto ao seu desempenho estrutural. H

    inmeros sistemas de classificao dos arcos em relao curva do intradorso, sendo que

    muitas das listagens de tipos de arcos presentes na literatura no correspondem a

    sistemas rigorosos de classificao propriamente ditos.

    Com base na forma geomtrica, Sjourn (1914) prope um sistema de classificao dos

    arcos baseado em trs variveis: a relao 2f b a= entre a flecha (b) e o vo (2a) do arco;

    a curva do intradorso, se completa ou segmental; e a curva do intradorso, se contnua ou

    descontnua (Figura 2.4).

    12

    f

    Figura 2.4 Classificao dos arcos (modificado Sjourn, 1914).

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    32/93

    De acordo com Sjourn (19

    acordo com a magnitude da

    mdio (1 1

    72 3f> > ) ou mui

    Ainda em relao geometri

    outras variveis: a diretriz d

    construda a partir do crculo,

    caso de curva policntrica,

    exemplo, afirma que, de acor

    em: arcos planos (adintelados

    constitudos por segmentos d

    constitudos por segmentos

    conforme o nmero de segme

    Nmero de Centros

    1

    2

    3

    4

    Figura 2.5 Classifica

    16

    14), os arcos de curva rebaixada podem ser cl

    relao ( f ) entre flecha e vo, em arcos po

    to (1

    2 3f ) rebaixados.

    a do intradorso, os arcos podem ser classifica

    a curva (crculo, elipse, hiprbole, etc.); no

    se simples (monocntrica) ou composta (po

    nmero de centros. Dessa forma, Middlento

    do com a curva do intradorso, os arcos podem

    ; arcos constitudos por segmentos de circunfer

    e outros tipos de curva (elptico, parablico,

    de circunferncia, por sua vez, podem ser

    tos que os compem (Figura 2.5).

    Nome do arco ou forma do intradorso

    o dos arcos com geometria baseada no crculo,Middlenton (1905).

    ssificados, de

    uco ( 17

    f ),

    os a partir de

    aso de curva

    licntrica); no

    n (1905), por

    ser divididos

    ncia; e arcos

    tc). Os arcos

    classificados

    segundo

  • 5/27/2018 Arco Ogiva

    33/93

    17

    Fletcher (1987) apresenta um inventrio com 35 tipos de arcos (Figura 2.6), a saber:

    triangular (Figura 2.6.1); falso (Figura 2.6.2); pleno, circular, semi-circular, de meio ponto,

    de volta inteira, de volta redonda, de volta perfeita, redondo, de pleno centro, romano(Figura 2.6.3); peraltado, ultra-semicircular (Figura 2.6.4); segmentar; abaulado (Figura

    2.6.5); de ferradura, bizantino, mourisco, rabe, revindo, capaz (Figuras 2.6.6 e 2.6.9)6;

    acairelado (Figura 2.6.7); de ferradura apontado (Figura 2.6.8) ; ogival peraltado (Figura

    2.6.10); ogival sobrelevado, ogival lanceolado, lanceolado (Figura 2.6.11); ogival

    equiltero (Figura 2.6.12); ogival rebaixado (Figura 2.6.13); segmentar apontado (Figura

    2.6.14); abatido, asa de cesto, asa de balaio, anse de panier, sarapanel, rebaixado, de trs

    ou mais centros (Figura 2.6.15); abatido rebaixado (Figura 2.6.16); tudor, de quatro

    centros, gtico ingls (Figura 2.6.17); aviajado, montante, em rampa, rampante, dearranques desiguais, de ps desiguais, descendente, escono (Figura 2.6.18); otomano,

    falso tudor (Figura 2.6.19); elptico, semielptico (Figura 2.6.20); parablico (Figura

    2.6.21); trilobulado, trilobado, trifoliado (Figura 2.6.22 e 2.6.24)7; trilobulado apontado,

    trilobado apontado, trifoliado apontado (Figura 2.6.23 e 2.6.25); pentalobulado,

    pentalobado (Figura 2.6.26); polilobulado, polilobado (Figura 2.6.27); contracurvado,

    conopial, de carena, de querena, de colchete, de moldura, flamejante (Figura 2.6.28 e

    2.6.29); pseudo abatido (Figura 2.6.30); adintelado (Figura 2.6.31); ogival italiano (Figura

    2.6.32); veneziano (Figura 2.6.33); florentino (Figura 2.6.34); de ombros (Figura 2.6.35).

    Ragette (2003) prope classificar os vrios tipos de arco em trs grupos: arcos genunos,

    cuja forma corresponde ao fluxo natural das foras (catenrio, parablico, semicircular,

    segmental, ogival, abatido, entre outros); arcos adversos, que no correspondem

    completamente ao fluxo natural das foras (contracurvado, de ferradura, de ombros); e

    arcos decorativos, que contradizem a linha natural do abobadar ou no trabalham como

    arcos, mas sim como aplicaes decorativas (por exemplo, o polilobulado). Os tipos que

    Ragette classifica como genunos so os mais recorrentes na literatura sobre a teoria do

    arco de alvenaria, objeto deste trabalho: semicircular, segmentar, ogival, abatido, catenrio,

    parablico e elptico.

    6 Na literatura encontram-se informaes divergentes quanto s diversas denominaes para o arco deferradura (mourisco, bizantino, rabe, etc) e suas variaes (figuras 6, 8 e 9, entre outras). Neste trabalho, noso feitas distines especficas.7 Fletcher (1987) faz distino entre arco trilobulado e trifoliado, seno que no primeiro, tanto intradorsoquanto extradorso so formados por lbulos, enquanto no segundo apenas o intradorso. GICEA (S/d), por suavez, considera os dois termos como sinnimos.

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    18

    Figura 2.6 Tipos de arco (modificado Fletcher, 1987).

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    2.4.1.1 Generalidades sob

    Arco Pleno

    O intradorso corresponde a u

    um s centro, posicionado

    180 (Figura 2.7a). Correspon

    em funo desse valor, o

    sobrelevados. Exemplo de a

    (Figura 2.7b).

    Figura 2.7 Arco pleno: a) gSo Miguel, So Miguel

    Arco Segmentar

    O intradorso corresponde a u

    uma dimenso consideravelm

    dos nascedouros e o arco des

    apud Pillet, 1895) apresen

    segmentares com a relao

    ( )112f =,

    Figura 2.8a a 2.8e.

    entre ( )1 6f = e ( )1 9f =

    rebaixados, sendo freqente o

    (a)

    19

    re os arcos ditos genunos

    ma semicircunferncia, sendo formado, portan

    obre a linha dos nascedouros e descrevendo

    de ao nico arco com relao entre a flecha e

    s demais arcos so classificados como r

    plicao: Igreja de So Miguel, So Miguel

    ometria (Fletcher, 1987); b) exemplo de aplicaas Misses (RS), 1735-1745 (em runas) (Flick

    m arco de circunferncia. O raio de curvatura,

    nte maior que a do vo, o centro encontra-se a

    creve um ngulo inferior a 180. Croizette-De

    ta dados empricos para o dimensioname

    ( f ) entre a flecha e o vo variando entre

    Segundo Corradi (1998), a tradio recomenda

    , para evitar o empuxo elevado de arcos e

    uso de cos segmentares com abertura de 60 e r

    (b)

    to, a partir de

    m ngulo de

    vo f = e,

    baixados ou

    das Misses

    o: Igreja der, c2008).

    portanto, tem

    aixo da linha

    noyers (1885

    to de arcos

    ( )1 4f = e

    va o intervalo

    cessivamente

    elao entre a

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    20

    flecha e o vo ( )17,5f = ( Figura 2.8f). Exemplo de aplicao: Ponte de Rialto, Veneza,

    Itlia (Antonio da Ponte, 1588-1591), Figuras 3.22c e 3.22d.

    Figura 2.8 Arco segmentar: a)f= ; b)f= 1/6; c)f= 1/7,5; d)f= 1/9; e)f= 1/12;

    Arco Catenrio

    A catenria definida como a forma que um fio ideal assume quando suspenso apenas por

    suas duas extremidades. Ideal implica que o fio perfeitamente flexvel e inextensvel,

    no tem espessura e tem densidade uniforme. A catenria, portanto, corresponde a uma

    abstrao matemtica da forma de um fio ou cabo suspenso (Math Virtual Museum, s/d). A

    catenria definida pela funo

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    sen

    onde 2,71828...e = , base dos

    O estudo da catenria foi fun

    arco de alvenaria, como demo

    (2004) o estudo da catenria

    entendida equivocadamente c

    seu anagrama matemtico a r

    ao longo dos sculos seguin

    descobriu que o princpio estr

    aquele trabalhando compre

    Bernoulli, dedicaram tratado

    assumiria a forma de uma ca

    segue exatamente a linha de e

    Figura 2.9 Arco caten(Heyman, 1998); c) e

    (atualme

    21

    coshx

    y aa

    =

    do, ( ) ( )cosh 2

    x x

    e ex

    +

    =

    logaritmos naturais.

    amental para o desenvolvimento de uma teori

    nstrado mais adiante (ver Captulo 5). De acord

    remonta a Galileo em seus estudos sobre me

    omo um parbola. Robert Hooke em 1970 j

    esposta para a estabilidade do arco de alvenar

    es. No final do sculo XVII, David Gregor

    tural do arco de alvenaria o mesmo do cabo

    sso, este trao. Outros matemticos, como

    s prticos de construo. Um arco perfei

    tenria (Figura 2.9a), na medida em que sua f

    mpuxo (Heyman, 1998).

    io: a) e b) Anlise de membrana de arco bidimemplo de aplicao: Taq-i-Kisra, Ctesiphon, 53nte Salman Pak, Iraque) (Flickr, c2008).

    (2.1)

    (2.2)

    cientfica do

    o com Huerta

    nica, porm

    anunciava em

    ia investigada

    (1659-1708)

    m suspenso,

    Leibniz e os

    to, portanto,

    orma material

    nnsional1-579

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    22

    Para o arco com origem das coordenadas no fecho ( 0dy dx y= = para 0x= ) e

    carregamento de intensidade ( w) distribudo uniformemente ao longo da curva (Figura

    2.8a), tem-se, a partir da Figura 2.9b:

    ( )d d sen

    d( cos ) 0

    w s P

    P

    =

    = (2.3)

    como

    tandy

    dx = (2.4)

    e

    2 2

    1ds dy

    dx dx

    = +

    (2.5)

    ento

    ( )1

    cos 1y kxk

    = (2.6)

    Onde (k) uma constante envolvendo a intensidade ( w) de carregamento e o valor 0P do

    componente horizontal do empuxo nos apoios:

    0

    wk

    P= (2.7)

    No sculo XVIII, o uso do arco catenrio foi recomendado, com base no princpio de que,

    nos arcos de alvenaria, o peso prprio predominante em relao s cargas acidentais,

    devido s grandes dimenses das aduelas (Corradi, 1998). A pouca difuso da prtica, noentanto, est associada a questes construtivas, especialmente a maior dificuldade na

    execuo do cimbramento e complexidade do corte das pedras, bem como a questes de

    natureza esttica (Kurrer, 2008). Alguns exemplos notveis de uso do arco catenrio

    couberam a Antonio Gald (1852-1926), a exemplo do projeto da igreja para a Colnia

    Gell (Barcelona, 1898) (Figura 4.8).

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    23

    Arco Parablico

    A parbola uma curva plana que pode ser definida como o conjunto dos pontoseqidistantes de um dado ponto (foco) e de uma dada reta (diretriz), ou como uma seo

    cnica gerada pela interseo de uma superfcie cnica de segundo grau com um plano

    paralelo geratriz do cone.

    Se a catenria corresponde forma material de um cabo ideal suspenso pelas extremidades

    e submetido exclusivamente ao peso prprio, a parbola corresponde forma material de

    um cabo ideal sujeito a um conjunto de cargas pontuais distribudas uniformemente ao

    longo de sua projeo. Como o peso prprio distribui-se uniformemente no ao longo daprojeo, mas da extenso do arco, logo a carga total ser mais elevada junto aos apoios,

    que na parbola. Por esse motivo, quando a relao entre a flecha e o vo no muito

    grande, e, conseqentemente, a inclinao junto aos apoios no muito acentuada, a

    diferena entre a parbola e a catenria mnima. Na Figura 2.10, so comparadas a

    circunferncia, a catenria e a parbola definida por 2y x= .

    Figura 2.10 Parbola y = x2comparada catenria e ao semicrculo (Heyman, 1998).

    semicrculo

    catenria

    parbola 2y x=

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    24

    Arco Ogival

    O arco ogival, tambm denominado de arco gtico, quebrado, agudo, apontado, em pontaou cruzado, formado por dois segmentos de curva (em geral arcos de circunferncia),

    traados a partir de centros eqidistantes do centro do vo, e que se interceptam formando

    um ngulo agudo no fecho. De origem islmica, o arco ogival est na base da revoluo

    que deu origem arquitetura gtica, iniciada na Frana a partir do sculo XI. De acordo

    com Viollet-le-Duc (1854), a primeira forma de arco ogival adotada na arquitetura

    ocidental foi o lanceolado, cujos centros encontram-se externos s impostas, o que,

    conseqentemente, conduz a um ngulo mais agudo (Figura 2.6.11). Posteriormente, so

    adotados, preferencialmente, trs tipos de arco ogival: o eqiltero, o de pontos teros(tiers-point) e o de pontos quintos (quinte-point) (Figura 2.11).

    (a) (b) (c)

    Figura 2.11 Arco Ogival: a) eqiltero; b) de terceiro ponto; c) de quinto ponto(modificado Viollet-Le-Duc, 1854).

    No arco ogival equiltero, o vo corresponde base de um tringulo equiltero cujos

    vrtices coincidem com os centros de curvatura e o fecho do arco (Figura 2.11a). 8O arco

    de pontos teros (tiers-point) obtido pela interseo das duas curvas cg e eg cujos

    centros, situados em 3 e 2, respectivamente, so obtidos tomando-se a primeira das

    8Prolongado-se a curva dhdo arco at a perpendicular base ad, se obtem um quarto de circunferncia.Como em 2 o segmento dh dividido em duas partes iguais, de mesma medida que o segmento hb, entoh corresponde ao terceiro ponto do quarto de crculo bd, dividido em trs partes iguais. Por esse motivo, otermo arco de terceiro-ponto tambm aplicado ao arco eqiltero, de forma equivocada, segundo Viollet-le-Duc (1854).

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    trs partes nas quais dividi

    2.11b). O traado do arco de

    procedimento, com a diferen1854).

    Arco Elptico

    A elipse definida como o lu

    suas distncias a dois pontos

    maior que a distncia entre os

    (a)

    Figura 2.12 Arco ElpticParis, Frana (Pa

    demoli

    A elipse denominada obla

    maior eixo o vertical. A equ

    9Denomina-se lugar geomtrico apropriedade. A equao de um lugcujas solues so os pares de cooconsideramos um ponto P (x, y) ggeomtrico.

    25

    da cada metade da linha ce de nascedouro d

    pontos quintos (quinte-point) (Figura 2.11c) se

    a de que a base dividida em cinco partes (Vi

    gar geomtrico dos pontos de um plano,9 tal

    fixos, denominados focos, F1 e F2, constant

    focos (2a > 2c) (Figura 2.12a).

    (b)

    o: a) geometria; b) exemplo de aplicao: Pontul-Martin Gallocher de Lagalisserie, 1855-185a em 1970) (Structurae, c1998-2009).

    a quando o maior eixo o horizontal e prol

    ao da elipse oblata com centro na origem (0,0

    2 2

    2 21

    x y

    a b+ =

    m conjunto de pontos tais que todos eles (e s eles) poar geomtrico do plano cartesiano uma equao nasrdenadas (x, y) dos pontos do lugar geomtrico. Para onrico e aplicamos a P a propriedade caracterstica dos

    arco (Figura

    gue o mesmo

    ollet-Le-Duc,

    ue a soma de

    , igual a 2a e

    e lAlma,,

    ta quando o

    ) :

    (2.8)

    ssuem uma dadaincgnitas x e yter tal equao,pontos do lugar

  • 5/27/2018 Arco Ogiva

    42/93

    26

    O arco elptico tem o intradorso definido por uma semi-elipse, ou por um segmento de

    semi-elipse. O arco elptico prolato raro na arquitetura ocidental, ao contrrio dos arcos,

    abbadas e cpulas elpticos oblatos (Stevens, s/d). Apesar das crticas em decorrncia doempuxo elevado gerado, o uso do arco elptico na construo de pontes se difundiu no

    sculo XIX, sendo comum a relao entre a flecha e o vof= (Corradi, 1998), fenmeno

    atribudo ao desenvolvimento de mtodos mais prticos para o traado da elipse. Exemplo

    de aplicao: Pont de lAlma, Paris, Frana (Paul-Martin Gallocher de Lagalisserie, 1855-

    1856, demolida em 1970).

    Figura 2.13 Ponte de lAlma, em 1889. Ao fundo a Passerelle de l'Alma nocais d'Orsay (Paris in Photos, c2008).

    Arco Abatido

    O arco abatido uma aproximao ao arco elptico, cujo uso apresenta dificuldades de

    projeto e de construo, associadas mudana contnua dos centros de curvatura. No

    sentido mais usual, o arco abatido aquele cujo intradorso corresponde a uma curva

    composta, formada por trs segmentos de circunferncia, de onde o termo arco de trs

    centros pode ser utilizado como sinnimo de arco abatido. De acordo com Corradi (1998),

    um dos arcos abatidos mais difundidos aquele cujos trs arcos de circunferncia tm

    igual abertura de 60 (Figura 2.14a).

  • 5/27/2018 Arco Ogiva

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    A definio de arco abatido,

    qualquer de arcos de circunfe

    2.14c e 2.14d). Quanto mais a

    (a)

    (c)

    Figura 2.14 Arco abatidoaplicao: Ponte d

    concluda em 1774c) arco de cin

    O uso de trs centros de cur

    problemas estticos decorren

    nascentes. O aumento do n

    utilizados para reduzir este ef

    de curvatura: Ponte de Neully

    demolida em 1954) (Figura 2.

    27

    no entanto, pode ser generalizada para um

    rncia, sendo mais comuns os de 3, 5, 7 e 9 c

    batido o arco, maior o nmero de curvas e centr

    (b)

    (d)

    : a) arco de trs centros (Maquaire, c2008); b) ee Neuilly, Paris, Frana, Jean-Rodolphe Perron, demolida em 1954 (Un bonjour de Puteaux, s/o centros; d) arco de sete centros (Koch, s/d).

    atura, com relao entre a flecha e o vo f=

    es da diferena elevada entre o raio no fech

    mero de centros de curvatura tambm um

    ito visual indesejvel. Exemplo de aplicao, c

    , Paris, Frana (Jean-Rodolphe Perronet, concl

    14b).

    nmero finito

    ntros (Figura

    os.

    xemplo det,

    d);

    1/3, apresenta

    e o raio nas

    dos mtodos

    om 11 centros

    da em 1774,

  • 5/27/2018 Arco Ogiva

    44/93

    28

    2.4.2 - Quanto funo na estrutura

    Os arcos tambm podem ser classificados de acordo com a funo que exercem na

    estrutura e/ou articulao espacial do edifcio:

    Arcobotante (botaru): encontra-se no exterior de uma construo e descarrega o empuxo

    de uma abbada situada no interior para o contraforte no exterior, ao qual se encontra

    conjugado (Figura 2.15a, 4).

    Arco diafragma (toral, perpianho): disposto perpendicularmente ao cumprimento do espaoabobadado (a nave de uma igreja, por exemplo), separando-o em reas de de modo a

    aliviar a carga das paredes laterais (Figura 2.15a, 2).

    Arco formalete (formeiro, formalote): disposto longitudinalmente ao espao abobadado

    (Figura 2.15a, 1).

    Arco de ogiva: estrutura o esqueleto da abbada de arestas, cruzando-se com outro no

    centro (chave) e distribuindo o peso at os pilares de apoio (Figura 2.15a, 3).

    Arco de cruzeiro: na igreja, separa a nave da capela-mor ou do coro, situando-se no

    cruzeiro.

    Arco de penetrao (de encontro): aquele comum s abbadas que se cruzam penetrando

    uma na outra.

    Arco cego: no ladeia uma passagem ou abertura, a sua rea tapada e geralmente surge

    como elemento de relevo numa parede.

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    (a)Figura 2.15 Classificao darticulao espacial no edifc

    b) perspectiva axonomtricReino Unido, projeto de S

    Arco de descarga : situa-se ac

    Arco em talude: praticado nu

    Arco invertido (infletido): arc

    pontos de apoio sobregarrega

    2.4.3 - Quanto ao mtodo de

    Arco de fundao: o empuxo

    Arcos mltiplos: o empuxo

    arcos adjacentes (Figura 2.16

    29

    (b)os arcos quanto funo na estrutura e/ou comio: a) catedral gtica (modificado Viollet Lea, projeto de biblioteca para o Trinity College,ir Christopher Wren, 1732 (modificado Heym

    ima de uma verga para aliviar o peso da parede.

    muro de suporte em talude com finalidade de

    o que se constri nas fundaes, com o objetivo

    os (Figura 2.15b, 1).

    resistncia ao empuxo horizontal

    orizontal absorvido diretamente pelo solo (Fi

    horizontal contrabalanceado pelo empuxo

    ).

    elemento de-Duc, 1854);ambridge,

    an, 1998).

    o reforar.

    e descarregar

    gura 2.16a).

    orizontal dos

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    Arco reforado: o empuxo horizontal absorvido pelos apoios ou contrafortes (Figura

    2.16c).

    Arco atirantado: o empuxo horizontal absorvido por tirante fixado s impostas (Figura

    2.16d).

    (a) (b)

    (c) (d)

    Figura 2.16 Classificao dos arcos quanto ao mtodo de resistncia ao empuxo lateral:a) arco de fundao; b) arcos mltiplos; c) arco reforado; d) arco atirantado

    (modificado Engel, 1981).

    2.4.4 - Quanto ao grau de estaticidade

    Arcos com trs rtulas (triarticulado) tambm denominado isosttico, ou seja, as reaes

    de apoio podem ser determinadas atravs das equaes do equilbrio esttico (Figura

    2.17a).

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    Arcos com duas rtulas estruturas externamente hiperesttica (uma vez) cujas reaes de

    vnculo s podero ser calculadas a partir de equaes de compatibilidade de deformaes

    (Figura 2.17b).

    Arcos com uma rtula - estruturas externamente hiperesttica (duas vezes) cujas reaes de

    vnculo s podero ser calculadas a partir de equaes de compatibilidade de deformaes

    (Figura 2.17c).

    Arcos rgidos ou biengastados so estruturas externamente hiperesttica cujas reaes de

    vnculo s podero ser calculadas a partir de equaes de compatibilidade de deformaes

    (Figura 2.17d).

    Figura 2.17 Classificao dos arcos quanto ao grau de estaticidade: a) arco triarticulado;b) arco com duas rtulas; c) arco com uma nica rtula; e d) arco biengastado.

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    2.5 - CONSIDERAS SOBRE A GEOMETRIA DOS ARCOS

    At a consolidao de uma teoria cientfica do arco de alvenaria, no final do sculo XIX, odimensionamento das estruturas de alvenaria era feito com base em regras empricas, como

    visto (Corradi, 1998; Huerta, 2004; Kurrer, 2008). Do sculo XV ao XIX, as regras

    empricas, tratadas na bibliografia como modo de clculo tradicional, pautavam-se em

    proporcionalidades geomtricas. Nas palavras de Huerta (2004, p.387), para os antigos

    construtores uma forma estrutural vlida, isto , j construda e demonstrando

    estabilidade, correta independentemente de seu tamanho, e precisamente uma

    geometria adequada a que assegura a estabilidade das obras de alvenaria. Verifica-se,

    portanto, ao longo da histria, edificaes com propores semelhantes em escalasdiferentes (Figura 2.18). As cpulas mostrada nas Figuras 2.18a, 2.18c e 2.18e tm

    aproximadamente as mesmas propores embora as duas primeiras sejam de revoluo e a

    terceira seja poligonal. As estruturas das Figuras 2.18g e 2.18i, possuem propores bem

    semelhantes, embora a segunda tenha medidas aproximadamente 3,5 vezes maiores que a

    primeira.

    Figura 2.18 Exemplos histricos de estruturas proporcionais. Cpula da Catedral de SanBiagio, Genova (1518-1537), vo de 14m: a) seo transversal (Huerta, 2004) e b) vistaexterna (Flickr, c.2009). Cpula da Baslia de So Pedro, Roma (1590), vo de 42m: c)

    seo transversal (Huerta, 2004) e d) vista externa (Flickr, c.2009). Cpula da Catedral deSanta Maria del Fiore, Florena (1296-1436), vo de 42m: e) seo transversal (Huerta,

    2004) e f) vista externa. Santa Sofa, Tessalnica (sc. VIII): g) perspectiva esquemtica.(Choisy, 1951) e h) vista externa (Flickr, c.2009). Santa Sofia, Istambul (532-537): i)

    perspectiva esquemtica (Choisy, 1951) e j) vista externa (Flickr, c.2009).

    (a) (c) (e) (g) (i)

    (b) (d) (f) (h) (j)

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    Galileo, em Dialogues, publicado em 1638, contradiz essa afirmao, defendendo que se

    deve considerar os materiais envolvidos, e que nem sempre peas maiores indicam maior

    resistncia (Huerta, 2004). Diante desses dois posicionamentos discordantes, a histriarevela a necessidade de se revisar outras consideraes. Considere-se, por exemplo, a

    Ponte de Rialto (Veneza, 1588-1591), construda em alvenaria de blocos de pedra (Figura

    19a), e o Viaduct du Bernand, projeto em concreto armado (1910), no edificado. A

    relao flecha/vo das duas pontes praticamente a mesma, mas a segunda tem a espessura

    na chave ( ce ) muito menor que a primeira, de forma que a relao entre ( ce ) e o vo

    quase trs vezes menor no Viaduct du Bernand que em Rialto, demonstrando que existem

    outras variveis a serem consideradas no estudo de geometrias proporcionais.

    Figura 2.19 Geometrias no proporcionais: (a) Ponte de Rialto, Veneza (1588-1591),

    na qual1

    25ce

    l= ; (b) Projeto para o Viaduc du Bernand, (1910), no qual

    1

    72ce

    l= . (Huerta,

    2004).

    Um parmetro de extrema importncia na geometria dos arcos a relao entre flecha e

    vo. Esta relao est diretamente associada ao empuxo gerado pela estrutura e,

    conseqentemente, ao dimensionamento de seus apoios. Engel (1989) demonstrou essa

    relao de forma grfica (Figura 2.20).

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    Figura 2.20 Relao entre a flecha e o empuxo de um arco (modificado Engel, 1989).

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    3 - O USO DO ARCO COMO ELEMENTO ESTRUTURAL NA

    ARQUITETURA OCIDENTAL

    3.1 - CONSIDERAES INICIAIS

    Neste captulo ser apresentado um panorama histrico do uso do arco como elemento

    estrutural. A definio de arco encontra-se entre os elementos estruturais tridimensionais

    que geometricamente ora so obtidos pela translao do arco no espao, resultando em

    abbadas, ora pela rotao em torno de um eixo fixo, resultando em um tipo particular de

    abbada denominada cpula. Sero comentadas as principais caractersticas tipolgicas e

    os principais desenvolvimentos relacionados construo em arco de alvenaria a partir de

    exemplos emblemticos de cada um dos perodos da histria da arquitetura ocidental at o

    advento da Revoluo Industrial: romano antigo, bizantino, romnico, gtico, renascentista

    e neo-classicisista.

    3.2 - O ARCO E SUAS APLICAES NA ARQUITETURA

    Neste trabalho, estruturas em arco sero tratadas com o termo arqueadas, entendidas no

    sentido da traduo literal do termo em ingls archedpara identificar estruturas geradas a

    partir do arco. Ainda hoje essas estruturas provocam admirao e levam o observador a se

    perguntar como elas permanecem de p e o que inspirou o modo como foram concebidas e

    construdas. Lembrando que o arco um elemento estrutural que funciona basicamente compresso, optou-se por materiais duradouros, incombustveis e disponveis: a pedra e o

    tijolo. Em um sentido mais amplo, pode-se pensar na combinao entre dois dos princpios

    vitruvianos firmitase utilitas, na composio arquitetnica desse tipo estrutural.

    Aparentemente, os arcos de alvenaria surgiram na Mesopotmia ou Egito, h 6000 anos

    (Huerta, 2001), e, como base de solues estruturais as mais variadas e desafiadoras,

    ocuparam um papel fundamental no desenvolvimento da Arquitetura Ocidental. Arcos

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    denominados falsos eram construdos por meio da sobreposio de pedras em fiadas

    horizontais deslocadas umas em relao s outras, como no Tesouro de Atreu (Figura 3.2).

    Nesse tipo de construo, a solidarizao dos esforos se d por seu peso prprio e nopelo desenho de sua estrutura, ou seja, a estrutura no funciona por meio de sua geometria.

    Alguns autores sugerem que o arco verdadeiro pode ter aparecido de forma acidental,

    por exemplo, quando as pedras de u