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Áreas – parte 2

Rodrigo Lucio

Isabelle Araújo

Área do Círculo

Veja o círculo inscrito em um quadrado.

Medida do lado do quadrado: 2r.

Área da região quadrada: (2r)2 = 4r2.

Então, a área do círculo com raio

de medida r é menor do que 4r2.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2

r2r 2r

2r

2r

Área do Círculo

Agora observe o mesmo círculo circunscrito a um quadrado.

O quadrado tem diagonais de medidasde 2r.

Como o quadrado é um caso particularde losango, a área da região quadradapode ser obtida assim:

𝟐𝒓 . 𝟐𝒓

𝟐=

𝟒𝒓𝟐

𝟐= 2r2

Então, a área do círculo com raio de medida r é maior do que 2r2.


r

r

r

r

Área do Círculo

Assim, em um círculo com raio de medida r,

a área A é tal que:

2r2 < A < 4r2

A área A é obtida pelo produto de um

número próximo de 3 por r2.


Determinação da área circular

Temos duas maneiras para determinar a área do círculo.

• 1ª maneira: Usando círculo dividido em setores.

O círculo a seguir foi dividido em um número par desetores circulares que formaram uma figura cujocontorno lembra um retângulo.


r

rr


Onde a área da figura anterior

(“retângulo”), que é também a área do

círculo, é A = (r).r r2, isto é:

A = r2



• 2ª maneira: Usando polígonos regulares

Área da região determinada por uma polígono regular é

dado por A =𝒂𝑷

𝟐, em que a é a medida do apótema e P é o

perímetro. Analise as figuras a abaixo:


a

a

a

a r


À medida que aumentamos o número de

lados dos polígonos regulares, a tendência

é chegar ao círculo, no qual o apótema

passa a ser o raio (r) e o perímetro passa a

ser o comprimento da circunferência (2r).

Assim, a área do círculo pode ser

representada por:

A = 𝑎𝑃

2 A =

𝑟 . 2𝑟2

A = r2


Vamos praticar...

Obtenha quantas pessoas cabem,

aproximadamente, em uma praça circular

de 20m de raio, considerando 5 pessoas por

metro quadrado.

A = r2 A = 3,14 . 202 A = 1256 m2

Número aproximado de pessoas = 1256 . 5

Número aproximado de pessoas = 6280


Vamos praticar...

Calcule a área da varanda representada na

figura abaixo.

Analisemos a imagem da seguinte forma:


3m

1,5m1,5m

Vamos praticar...

Assim, para obter a área da varanda somamosa área do retângulo e a do semicírculo.

Área do retângulo = 3 . 1,5

Área do retângulo = 4,5m2

Área do semicírculo = . (1,5)2

𝟐 . 2,25

𝟐

7,065𝟐

3,5325m2

Área da varanda = 4,5 + 3,5325 8,0325m2


Vamos praticar...

Um ajudante leva 2 h para limpar o piso de umgalpão, de forma circular com 4 m de raio. Se oraio desse galpão fosse 8 m, quanto tempo elelevaria?

Calculamos a área dos dois galpões: o 1º com4 m de raio e o 2º com 8 m de raio.

1º galpão:

A1 = 42 A1 = 16 A1 = 50,24m2

A2 = 82 A2 = 64 A2 = 200,96m2


Vamos praticar...

Para limpar o 1º galpão de 50,24 m² gasta-se 2 h e para limpar o 2º galpão de200,96m2 gasta-se um tempo desconhecidode x h. Quanto maior for a área do galpão,maior será o tempo gasto para limpá-lo,têm-se grandezas diretamenteproporcionais. Logo:2

𝑥=

50,24

200,96 50,24x = 401,92 x =

401,92

50,24

x = 8h


Vamos praticar...

Um terreno tem a forma da figura abaixo.

Na figura estão registrados alguns dados do

terreno, que nos permite calcular a sua

área. Calcule então a área desse terreno.


8m

6m

Vamos praticar...

Como o terreno é formado por duas figurassendo elas um triângulo e um semicírculo.Assim, vamos obter a área do triângulo edepois do semicírculo.

Área do triângulo = 8 .6

2

Área do triângulo = 48

2

Área do triângulo = 24m2


8m

6m

Vamos praticar...

Agora iremos obter a área do semicírculo. Para issoprecisamos do raio do semicírculo que é a metade dodiâmetro. Onde nesse caso a hipotenusa do triângulo éo diâmetro do semicírculo(D). Assim, podemos usar oteorema de Pitágoras para obter o diâmetro(D).

D2 = 62 + 82

D2 = 36 + 64

D2 = 100

D = 10m

Logo o raio do semicírculo é 5m.


8m

6m

Vamos praticar...

Agora vamos determinar a área do

semicírculo:

Área do semicírculo =𝟓𝟐

𝟐

𝟐𝟓𝟐

m2

Área do terreno = 24 +252

48+25

2

48 +78,5

2

126,5

2 63,25m2


Vamos praticar...

O perímetro do quadrado ABCD da figura é

32cm. Calcule a área da região colorida da

figura.


D C

BA

Vamos praticar...

A região colorida representa a diferença

entre a área do quadrado e dos quatro

setores. Então, vamos calcular a área do

quadrado:

Através do perímetro do quadrado (P)

determinaremos o lado (𝒍), que será usado

para a o calculo da área, assim:

P = 4 . 𝑙 32 = 4 . 𝑙 𝑙 =32

4 𝒍 = 8cm


Vamos praticar...

Área do quadrado = 𝑙2 82 64cm2

Observando a imagem vemos que o lado (𝒍) equivale a 2r. Assim:

8 = 2r r = 8

2 r = 4cm


D C

BA

rr

r

r

r r

r

r

Vamos praticar...

Observe a imagem ao lado:

Vemos que cada setor circular corresponde a𝟏

𝟒da

área do circulo, logo os 4 setores representam aárea do circulo.


D C

BA

rr

r

r

r r

r

r Cr

r

Vamos praticar...

Área do círculo = r2 16cm2

Região colorida = Área do quadrado -

Área do círculo

Região colorida = 64 - 16

Região colorida = 64 – 50,24 13,76cm2


Razão de semelhança

Duas figuras são semelhantes quando uma

é a ampliação da outra. A figura mostra dois

quadriláteros semelhantes.


Razão de semelhança

A razão entre duas linhas de figurassemelhantes é denominada de razão desemelhança(k).

L𝟐

L𝟏

= k


L1 L2

Razão de semelhança para área

A razão entre as áreas de figurassemelhantes é igual ao quadrado darazão de semelhança(k2).

A2

A1= k2


A1A2

Vamos praticar...

A área do triângulo retângulo é de 30cm2. A

área de um triângulo retângulo semelhante

ao primeiro é de 120cm2. Se a hipotenusa

do primeiro triângulo mede 13cm, quanto

mede a hipotenusa do segundo triângulo?

A razão entre as áreas é:

k2 = A2

A1 k2 =

120

30 k2 = 4 k = 2


Vamos praticar...

A razão entre as hipotenusas é:

k = hipot2hipot1

k = hipot213

2 = hipot213

hipot2 = 26cm


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