Ariadne Nogueira T C Programa: Matemática Orientador: Prof. Dr. … · 2017-12-06 · Integrais concentradas na fronteira e aplicações para problemas elípticos semilineares Ariadne

Integrais concentradas na fronteirae aplicações para problemas

elípticos semilineares

Ariadne Nogueira

TESE APRESENTADAAO

INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICADA

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULOPARA

OBTENÇÃO DO TÍTULODE

DOUTORA EM CIÊNCIAS

Programa: Matemática

Orientador: Prof. Dr. Marcone Corrêa Pereira

Co-orientador: Prof. Dr. José Maria Arrieta Algarra

Durante o desenvolvimento deste trabalho a autora recebeu auxílio financeiro do CNPq.

São Paulo, agosto de 2017

Integrais concentradas na fronteira e aplicaçõespara problemas elípticos semilineares

Esta versão da tese contém as correções e alterações sugeridaspela Comissão Julgadora durante a defesa da versão original do trabalho,

realizada em 09/08/2017. Uma cópia da versão original está disponível noInstituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo.

Comissão Julgadora:

• Prof. Dr. Marcone Corrêa Pereira (orientador) - IME-USP

• Prof. Dr. Antônio Luiz Pereira - IME-USP

• Prof. Dr. Alexandre Nolasco de Carvalho - ICMC-USP

• Profa. Dra. Maria do Carmo Carbinatto - ICMC-USP

• Profa. Dra. Gleiciane da Silva Aragão - UNIFESP

“Mira a la derecha y a la izquierda del tiempo,

y que tu corazón aprenda a estar tranquilo.”

(Federico García Lorca)

Agradecimentos

Agradeço, primeiramente, a Deus pela força e pela oportunidade de concluir mais esta etapa naminha vida. Agradeço muito também a minha família pelo suporte e por acreditar, junto comigo,que tudo seria possível. Em especial minha mãe, meu modelo de pessoa e grande orgulho, sougrata pela ajuda em todos os aspectos, paciência e dedicação para que eu conseguisse seguir meupróprio rumo na vida, sabendo que há alguém que me ama sem restrições, sempre com muitorespeito, confiança e incentivo. Sem sombra de dúvida, tal presença me ajudou muito em todas asfases deste trabalho.

Gostaria também de relembrar dos meus amigos distantes, de minha cidade natal e de outrasépocas da vida, agradecer pela paciência com as minhas ausências e por me fazerem tão bem nomomento em que eu voltava pra casa ou quando vinham me visitar aqui, me ajudando a passar pelasturbulências da jornada. Vocês me fizeram ter certeza que, muitas vezes, a distância só potencializaos sentimentos quando eles são bem cultivados, não importa se temos um oceano nos separando.

Sem esquecer das pessoas que São Paulo, essa cidade gigantesca, aproxima e distancia, masque continuam sendo parte importante da vida aqui. Meu agradecimento vai para Rafa, Marina,Stefani e Will, que, há muito ou pouco tempo, já são parte importante da minha vida e eu esperoque continuem por perto.

Agradeço, em especial, a quem me ajudou durante minha fantástica e enriquecedora estadia emMadri, Espanha. Queria agradecer a hospitalidade pessoal e profissional do Prof. Dr. José M. Arri-eta, sempre muito atencioso e gentil, com sugestões e correções que, ao longo de todo o trabalho,só enriqueceram minha experiência no doutorado sanduíche. Ao Manuel e à Lourdes pelo auxílioconstante, dentro e fora da academia, e a todas as outras pessoas da Universidad Complutense deMadrid que, de alguma maneira, me ajudaram em um ambiente novo e diferente, especialmente aogrupo de pesquisa “Comportamento Asintótico y Dinámica de Ecuaciones Diferenciales”. Alémdeles, não sei o que eu faria sem a Pricila sendo minha parceira de viagem e enfermeira no mo-mento em que eu mais precisei, ou sem minhas americanas Ashley e Hannah como companheirasde vida madrileña, meu muito obrigado de coração por estarem lá comigo.

Não posso me esquecer também dos amigos que o IME/USP me trouxe e que me ajudaram

i

ii

a enfrentar todos os obstáculos desses anos de doutorado. Particularmente gostaria de agradecerTonton, Glauce, Tatá e Maikel por estarem sempre presentes quando precisei. Mesmo que a vidaacadêmica tenha nos separado, os levarei comigo onde estiver.

Finalmente, gostaria de agradecer ao grupo de Dinâmica de Equações de Evolução do IME/USPpela ajuda durante o desenvolvimento da tese. Em particular, gostaria de agradecer meu orientadorProf. Dr. Marcone Corrêa Pereira pela amizade e pelo companheirismo nesses anos, me ajudandosempre que necessário e me guiando nesse caminho que, de certa forma, foi novo para nós dois.

Por último, agradeço ao IME/USP e ao CNPq pela confiança e apoio financeiro neste projeto.

Resumo

Neste trabalho estudamos propriedades de integrais concentradas, ou seja, integrais cujo inte-grando atua apenas em uma vizinhança do domínio em questão. Tais termos são utilizados paraconhecer o comportamento do integrando em regiões cuja medida de Lebesgue se aproxima dezero quando um parâmetro tende a zero. Ilustraremos estes resultados abstratos através de duasaplicações, ambas em domínios Lipschitz de R2, onde adicionamos um termo de concentraçãoem problemas semilineares elípticos: domínio com fronteira oscilante que tende a um domíniolimite fixo; e domínio do tipo fino com fronteira oscilante. Em ambos os casos, provamos a semi-continuidade superior e inferior da família de soluções dos problemas.

Palavras-chave: integrais concentradas, perturbação de contorno, equações diferenciais parciais,equações elípticas, semi-continuidade superior e inferior.

iii

Abstract

In this work we study concentrating integrals properties, in other words, we analyze integralswhich function that is been integrated acts only in a neighborhood of the boundary of the domain.Such terms are use to know the behaviour of the integrand in regions which Lebesgue measuretends to zero when a parameter goes to zero. We will illustrate these abstract results through twoapplications, both in Lipschitz domains of R2, where we add a concentration term in semi linearelliptic problems: oscillating boundary domain which tends to a fixed limit domain; and a thindomain with a oscillatory boundary. In both cases we prove the upper and lower semicontinuity ofthe family of solutions from these problems.

Keywords: concentrating integrals, boundary perturbations, partial differential equations, semili-near elliptic equations, upper and lower semicontinuity.

v

Sumário

Introdução 1

I Teoria geral: integrais concentradas 11

1 Preliminares 131.1 Espaços de Sobolev Fracionários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.1 Espaços euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.2 Subconjuntos abertos de espaços euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2 Espaços de Lebesgue-Bochner e Sobolev-Bochner generalizados . . . . . . . . . . 20

1.3 Teorema do traço, densidade e imersões de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4 Teoria abstrata sobre convergência compacta de operadores . . . . . . . . . . . . . 27

2 Integrais concentradas 332.1 Equivalência de normas em domínios não-regulares de R2 . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2 Integrais concentradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2.1 Para ε > 0 fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2.2 Comportamento no limite ε→ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3 Perturbações da não-linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

II Aplicações 57

3 Domínios com fronteira oscilante 593.1 Operador de extensão e E-convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2 Caso linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2.1 Existência de solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2.2 Convergência de soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

vii

viii SUMÁRIO

3.3 Caso semilinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3.1 Existência de solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3.2 Semicontinuidade de soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4 Domínio fino com fronteira oscilante 774.1 Operador de extensão e E-convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.2 Caso linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.2.1 Existência de solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.2.2 Convergência de soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.3 Caso semilinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.3.1 Existência de solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.3.2 Semicontinuidade de soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Referências Bibliográficas 99

Introdução

Contextualização histórica e objetivos

As equações diferenciais parciais, também chamadas EDPs, são amplamente utilizadas comoferramentas para a modelagem matemática de fenômenos em diversas áreas de estudo, comoEngenharia, Física, Química, Biologia, Economia, entre outros. Entender o comportamento dasequações e suas soluções pode ajudar a compreender melhor os modelos e, consequentemente, assituações modeladas. De modo mais específico, aqui estamos interessados em problemas de pertur-bação de contorno em EDPs, que são importantes ao se garantir que o comportamento qualitativoobservado no sistema aproximado pode ser transferido ao problema original de alguma forma.

Problemas de perturbação de contorno foram estudados por diversos autores, desde o pio-neiro Rayleigh [1945], até estudos mais recentes de shape optmization (Delfour e Zolésio [2011]),homogeneização (Cioranescu e Donato [1999], Tartar [2009]), domínios finos (Elsken [2005],Hale e Raugel [1992a]), domínios que possuem fronteira oscilante (Arrieta e Carvalho [2004],Chechkin, Friedman, e Piatnitski [1999], Henry, Hale, e Pereira [2005], Pereira e Pereira [2007]),domínios perfurados (Cioranescu et al. [2012]), domínios do tipo dumbbell (Arrieta et al. [2006,2009a,b]), entre outros. Neste trabalho falaremos um pouco mais de problemas com fronteira os-cilante e domínios finos, acrescentando termos concentrados próximos à fronteira em ambos oscasos e analisando seu comportamento.

O caso abordando soluções de problemas elípticos com reações concentradas em uma vi-zinhança da fronteira foi estudado inicialmente em Arrieta, Jiménez-Casas, e Rodríguez-Bernal[2008a], onde a vizinhança é uma faixa de espessura ε e tem base na fronteira, não possui oscila-ção e está dentro de Ω, como ilustrado na Figura 1.

ωϵ

Ω

Figura 1: Domínio fixo suave com faixa de concentração de ordem ε na fronteira.

1

2 INTRODUÇÃO

Mais precisamente, em Arrieta et al. [2008a] foi provado que as soluções convergem, em cer-tos espaços, à solução de um problema elíptico definido em Ω, onde os termos concentrados setornam uma condição de fronteira no limite. Tal comportamento notar-se-á típico, fazendo comque esses resultados de convergência possam ser vistos como uma maneira de se transferir infor-mações do interior para a fronteira. Depois disso, em Jiménez-Casas e Rodríguez-Bernal [2009]e Jiménez-Casas e Rodríguez-Bernal [2011] foi analisado o problema parabólico e o comporta-mento assintótico dos atratores quando há concentração, onde a semicontinuidade superior dosatratores foi provada. Em ambos os artigos, o domínio Ω base em questão é C2.

Posteriormente, alguns resultados de Arrieta et al. [2008a] foram adaptados a um problemaelíptico semilinear definido em um quadrado Ω de R2 em Aragão, Pereira, e Pereira [2012], con-siderando a vizinhança interior da fronteira dada por ωε, com ωε ⊂ Ω e alto comportamento osci-latório. Note que tal domínio, ilustrado na Figura 2, não é mais suave como os anteriores.

ωϵ

Ω

Figura 2: Domínio fixo com concentração determinada por função com comportamento oscilatório nafronteira.

Com este mesmo enfoque, o trabalho de Aragão e Oliva [2011] estudou problemas de reação-difusão com retardo envolvendo uma faixa de concentração em uma fronteira suave. Além disso,foi estudado em Pereira [2013] e Aragão, Pereira, e Pereira [2014] a dinâmica do fluxo geradopelo caso parabólico definido em um domínio C2 com termos concentrados na fronteira interior,como ilustrado na Figura 3, onde tal vizinhança apresenta grande oscilação, provando-se a semi-continuidade superior e inferior da família de atratores nestes casos.

Figura 3: Concentração determinada por função oscilante na fronteira de um domínio fixo

O comportamento das soluções de equações elípticas não-lineares, com condições de fronteirade Neumann não-homogêneas e definidas em domínios cujas fronteiras variam rapidamente foiestudado em Arrieta e Bruschi [2007], para o caso de deformação Lipschitz uniforme da fronteira,e em Arrieta e Bruschi [2010], para caso de deformação não-Lipschitz, porém sem concentraçãode termos e ambos definidos em domínios suaves. Casos homogêneos mais gerais de perturbaçõesdo domínio, incluindo particularmente estes problemas, foram estudados em Arrieta e Carvalho

3

[2004], onde prova-se resultados sobre convergência espectral e semicontinuidade superior deatratores do problema parabólico.

No que diz respeito à concentração de termos, em Aragão e Bruschi [2016] e Aragão e Bruschi[2015] foram estudados os casos de Arrieta e Bruschi [2007] e Arrieta e Bruschi [2010], respecti-vamente, com concentração exterior na fronteira, isto é, a reação acontece no exterior da fronteirado aberto limite. Novamente, a reação concentrada na vizinhança do domínio perturbado se trans-forma em fluxo atuando na fronteira do domínio no problema limite. Note que, neste caso, comoa concentração acontece em uma vizinhança exterior do domínio, o domínio perturbado não estácontido no domínio limite, como ilustrado na Figura 4.

Figura 4: Domínio com fronteira oscilante e concentração exterior na fronteira.

No Capítulo 3 deste trabalho analisaremos o comportamento das soluções de problemas elíp-ticos, com condições de fronteira Neumann homogêneas, da forma

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

−∆vε + vε = 1

εγχθεf(vε) em Ωε,

∂vε

∂νε= 0 em ∂Ωε,

(1)

com ε > 0, γ > 0, νε = (νε1, νε2) vetor normal unitário apontando para fora na fronteira do domínioΩε, ∂/∂νε a derivada na direção do vetor νε, χθε função característica do conjunto θε, f uma funçãoC2, definidos em domínios como os da Figura 5.

Ωϵ

θϵ

Figura 5: Domínio com concentração na fronteira oscilante estudado no Capítulo 3.

Note que a aplicação abordada aqui difere dos casos anteriores por não restringir tal concentra-ção como exterior ou interior ao domínio limite. Além disso, trabalhamos apenas com deformaçõesdo tipo Lipschitz, como se estivéssemos em uma carta do domínio estudado em Arrieta e Bruschi[2007], porém, no caso de condições de fronteira homogênea, e aplicamos uma concentração dada

4 INTRODUÇÃO

de forma mais geral que em Aragão e Bruschi [2016]. Aqui estudaremos a convergência de solu-ções no caso linear na Seção 3.2 e a semicontinuidade superior e inferior do problema semilinearna Seção 3.3 em H1(Ωε), onde mostramos como a concentração do problema perturbado nova-mente se transforma em um fluxo que atua na fronteira do domínio limite.

Por outro lado, também nos interessará neste trabalho o chamado domínio fino. Aqui nos refe-rimos a problemas de domínios finos quando assumimos que os abertos onde as EDPs estão defi-nidas se degeneram em subconjuntos de espaços Euclidianos de dimensão menor que o original.Tais domínios aparecem em muitos campos da ciência, como dinâmica de fluidos (lubrificação,condução de fluidos em tubos finos, dinâmica de oceanos), mecânica de sólidos (barras ou placasfinas) ou fisiologia (circulação do sangue).

Existem muitos trabalhos na literatura lidando com equações diferenciais parciais em domíniosfinos, como os pioneiros Hale e Raugel [1992a], Hale e Raugel [1992b] e Raugel [1995], além dossubsequentes Prizzi e Rybakowski [2001], Prizzi et al. [2002] e Elsken [2005], onde os autoresestudam o comportamento assintótico de sistemas dinâmicos dados por uma classe de equaçõesparabólicas definidas em um domínio fino de Rn, para n ≥ 2.

Mais recentemente, trabalhos como Arrieta e Pereira [2010], Arrieta, Carvalho, Pereira, e Silva[2011], Arrieta e Pereira [2011], Arrieta e Pereira [2013], Arrieta e Villanueva-Pesqueira [2014a],Arrieta e Villanueva-Pesqueira [2014b], Arrieta e Villanueva-Pesqueira [2014c], Pereira [2016] eArrieta e Villanueva-Pesqueira [2017] estudaram problemas lineares e semilineares em diferentesclasses de domínios finos que possuem fronteira oscilante, com condições de fronteira de Neu-mann, discutindo problemas limites e propriedades de convergência de soluções e atratores nasequações elípticas e parabólicas, respectivamente.

De forma mais específica, quando incluímos termos concentrados na fronteira do domínio,podemos citar o trabalho de Barros e Pereira [2016], onde é analisado um problema não-linearelíptico definido em um domínio fino sem oscilação, porém com concentração numa vizinhançada fronteira definida por uma função altamente oscilante, ilustrado na Figura 6.

Rϵ

θϵ

Figura 6: Domínio fino padrão com concentração oscilante na fronteira.

Sendo assim, no Capítulo 4 trabalharemos também com equações elípticas, sob condições defronteira de Neumann homogênea, do tipo

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

−∆vε + vε = 1

εγχoεf(vε) em Rε,

∂vε

∂νε= 0 em ∂Rε,

(2)

com ε > 0, γ > 0, νε = (νε1, νε2) vetor normal unitário apontando para fora na fronteira do domíniofino Rε, ∂/∂νε a derivada na direção do vetor νε, χoε função característica do conjunto oε, f declasse C2, definidas em um domínio fino que possui fronteira altamente oscilante e, além disso, háum termo concentrado em uma vizinhança da fronteira. Tal domínio é ilustrado na Figura 7.

Note que tal aplicação generaliza os trabalhos anteriores por unificar os problemas de domíniofino com fronteira altamente oscilante e com termos concentrados em uma vizinhança da fronteira.Dessa forma, novamente estudaremos o problema elíptico de modo a provar a convergência dassoluções no problema linear na Seção 4.2 e a semicontinuidade superior e inferior da família de

5

oϵ

Rϵ

Figura 7: Domínio fino com concentração na fronteira oscilante estudado no Capítulo 4.

soluções no caso semilinear na Seção 4.3 em L2(0,1;Hs(0,Gε(x))), para 1/2 < s < 1, ondeGε é afunção que define o domínio fino Rε, mostrando a influência da geometria do domínio perturbadoe da concentração no problema limite obtido.

Para tal análise de problemas, neste trabalho estudaremos com mais cuidado propriedadesde um termo integral que contém funções concentradas em uma vizinhança da fronteira de seudomínio. A aplicação mostrada aqui implicará em generalizar casos de problemas definidos emdomínios com fronteira variante, adicionando um termo de integral concentrada. Assim, procu-ramos identificar propriedades relacionadas à variação do domínio e à concentração agindo deforma simultânea, tentando entender o comportamento limite dos problemas e como tais termos oinfluenciam. Mais especificamente, estudamos integrais da forma

1

εγ ∫θε∣u(x)∣qdx

para diferentes valores de q ≥ 2 e conjuntos abertos θε ⊂ Ωε ⊂ R2 da forma

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Ωε = (x1, x2) ∈ R2;x1 ∈ (0,1),0 < x2 < Gε(x1),θε = (x1, x2) ∈ R2;x1 ∈ (0,1),Gε(x1) − εγHε(x1) < x2 < Gε(x1),

(3)

onde γ > 0, Gε = G(x1, ε) e Hε = H(x1, ε) são funções positivas cujas hipóteses específicasserão estabelecidas a cada situação. Integrais assim descritas foram estudadas nos trabalhos deArrieta, Jiménez-Casas, e Rodríguez-Bernal [2008a] e Arrieta, Rodríguez-Bernal, e Rossi [2008b],apontando propriedades importantes destes termos.

Desta forma, a primeira metade deste trabalho tem como foco entender melhor a análise assin-tótica deste termo via estimativas e passagens ao limite. Depois disso, aplicamos tais resultados àsequações elípticas semilineares e estudamos suas soluções.

Resultados Obtidos

No começo desta tese, durante o Capítulo 1, organizamos notações e definições de espaçosfuncionais, de modo a usá-los com mais segurança no decorrer do trabalho. Um dos pontos princi-pais é dado no estudo de equivalência de normas em espaços de Sobolev cujo domínio não é suavee varia com relação a um parâmetro ε, além de estabelecer hipóteses necessárias para a utilizaçãode certas inclusões com constantes independentes deste parâmetro.

Além disso, a Seção 1.4 desenvolve as ferramentas abstratas necessárias para melhor aborda-gem da semicontinuidade superior e inferior das soluções de problemas, através do conceito deE-convergência e convergência compacta, como utilizadas, por exemplo, em Carvalho e Piskarev[2006], Arrieta et al. [2006] e Arrieta e Bruschi [2007]. Tal seção será um guia no desenvolvi-mento da segunda parte deste trabalho, mostrando os passos necessários para obtenção de resulta-dos de convergência.

Sobre as integrais concentradas, no Capítulo 2 obtemos resultados estimando seus valores para

6 INTRODUÇÃO

cada ε > 0 e analisando o comportamento das integrais quando fazemos ε tender a zero. Mais espe-cificamente, buscamos resultados similares aos obtidos em Arrieta et al. [2008a] e Barros e Pereira[2016], por exemplo, onde os autores buscaram estudar o comportamento das integrais concentra-das para depois aplicá-lo em problemas semilineares elípticos.

Nosso principal objetivo foi desenvolver estimativas nas integrais concentradas exigindo me-nos da suavidade do domínio. Os casos abordados nesta tese possuem fronteira Lipschitz, ondeparte do domínio é descrito como o gráfico de uma função. A suavidade de tal função é designadaem cada caso, através de hipóteses específicas.

Na Seção 2.1, estabelecemos:

Hipótese 1: G ∶ R × (0,1) → R é uma função positiva e uniformemente limitada, com0 < G0 ≤ G(x, ε) ≤ G1 para todo (x, ε) ∈ R × (0,1).

Hipótese 2: O aberto Ωε admite operador de extensão contínuo Pε ∶ L2(Ωε) → L2(U), onde ofecho de Ωε está contido em U para todo ε > 0, com U = U1 ×U2, tal que, para uε ∈ L2(Ωε),

∥Pεuε∥H1(U) ≤ C0∥uε∥H1(Ωε),

∥Pεuε∥L2(U1;Hs(U2)) ≤ Cs∥uε∥L2(0,1;Hs(0,Gε(x))),

∥Pεuε∥L2(U) ≤ C1∥uε∥L2(Ωε),

onde C0,Cs,C1 > 0 independem de ε > 0.

e, a partir destas hipóteses, desenvolvemos propriedades dos espaços de Sobolev e Sobolev-Bochnergeneralizados (ver o conceito de espaço de Sobolev-Bochner generalizados na Definição 1.2.3) queserão utilizados nos estudos das integrais concentradas.

Os principais resultados ao analisar integrais concentradas, para cada ε > 0 fixo, são obtidos nosLemas 2.2.1 e 2.2.2, onde estabelecemos estimativas da integral a partir da norma dos espaços baseH1(Ωε) e L2(0,1;Hs(0,Gε(x))), isto é, dado uε ∈ H1(Ωε) obtemos estimativas, com constantesC > 0 independentes de ε, da forma

1

εγ ∫θε∣uε∣2 ≤ C∥uε∥2

L2(0,1;Hs(0,Gε(x))),

sob a Hipótese 1, e1

εγ ∫θε∣uε∣2 ≤ C∥uε∥q

H1(Ωε), para 2 ≤ q < 4,

ao acrescentarmos a Hipótese 2, por exemplo.

Para o estudo do comportamento assintótico das integrais concentradas, introduzimos

Hipótese 3:

(i) a função Gε converge uniformemente a m, onde m ∶ (0,1) → R é uma função ao menosLipschitz, de modo que Gε(x1)→m(x1) quando ε→ 0, para todo x1 ∈ (0,1);

(ii) a função Hε(⋅) deve convergir fraco-estrela em L∞(0,1) a uma função que representaremospor µh.

O conjunto Ωε, θε é chamado de conjunto admissível quando as funções que o definem sa-tisfazem as Hipóteses 1, 2 e 3 (ver Definição 2.2.4).

7

Ao considerarmos o aberto dado por

Ω = (x1, x2) ∈ R2; 0 < x1 < 1,0 < x2 <m(x1)

tal que sua fronteira superior seja dada como

Γ = (x1, x2) ∈ R2; 0 < x1 < 1, x2 =m(x1),

onde m ∶ (0,1) → R é uma função positiva limitada ao menos Lipschitz e com derivada limitada,obtemos propriedades sobre a convergência das integrais concentradas quando ε tende a zero.

Um dos principais resultados, ao trabalhar em um conjunto admissível, é dado pela Proposição2.2.5, que afirma, para u,ϕ ∈H1(U), valer

1

εγ ∫θεu(x1, x2)ϕ(x1, x2)dx2dx1 Ð→ ∫

Γµγ(u)γ(ϕ)dS,

quando ε→ 0, onde γ é o operador traço dado no Corolário 1.3.2 e

µ(x1) =µh√

1 +m′(x1)2.

Note que o termo µ capta a influência da concentração do problema perturbado e a geometriado domínio limite.

Tendo em vista tais propriedades, a Seção 2.3 aborda a análise da aplicação dada por

Fε ∶ L2(0,1;Hs(0,Gε(x)))→H−1(Ωε)uz→ Fε(u) ∶H1(Ωε)→ R

v ↦ ⟨Fε(u), v⟩ =1

εγ ∫θεf(u)v,

onde 1/2 < s < 1 e f ∈ C2(R), que será utilizada na elaboração dos problemas elípticos semiline-ares vistos na sequência do trabalho, estabelecendo condições para continuidade e diferenciabili-dade desta aplicação (ver Proposições 2.3.2 e 2.3.4).

Após o estudo cuidadoso das integrais concentradas, partimos para as aplicações às equaçõeselípticas semilineares com concentração na fronteira oscilante, tendo como objetivo provar a semi-continuidade superior e inferior das soluções. Na análise de cada problema citado há uma repetiçãode certos procedimentos. Como descrito, conseguimos dar um embasamento abstrato suficiente-mente satisfatório na primeira parte do trabalho e, com isso, o problema se resume a checar ashipóteses necessárias aos teoremas abstratos.

Como mencionado antes, no Capítulo 3 estudaremos o comportamento das soluções de pro-blemas elípticos, com condições de fronteira Neumann homogêneas, da forma dada em (1).

A formulação do domínio (3) que usaremos aqui é tal que

(i) Gε(x1) =m(x1) + εg(x1/εα), com

(a) m ∶ (0,1)→ R ao menos Lipschitz com derivada limitada e

(b) g ∶ (0,1) → R é uma função C1, limitada, Lg-periódica com derivada limitada eα ≤ 1.

(ii) Hε(x1) = h(x1/ε), h limitada e Lh-periódica.

8 INTRODUÇÃO

Observação: Note que, sob essas condições, se denotarmos gε(x) = g(x/εα) e hε(x) = h(x/ε),existem µg, µh ∈ R tais que

gε∗ µg =

1

Lg∫

Lg

0g(s)ds e hε

∗ µh =1

Lh∫

Lh

0h(s)ds

em L∞(0,1) usando [Cioranescu e Donato, 1999, Teorema 2.6].

Neste caso, o problema limite de (1) é dado por

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

−∆u + u = 0 em Ω,∂u

∂ν= µf(u) em Γ,

onde o domínio limite é dado por

Ω = (x1, x2); 0 < x1 < 1,0 < x2 <m(x1),

com Γ = (x1, x2); 0 < x1 < 1, x2 =m(x1) sua fronteira superior e

µ(x1) =µh√

1 +m′(x1)2.

Note que o termo µ traduz a influência da concentração através da média da função Hε, dadapor µh, e da geometria do espaço limite, definido pela função m. Tal termo também sugere queo domínio limite não pode ser qualquer, implicando condições mínimas de suavidade à fronteirado aberto Ω. Além disso, note que a concentração se transforma em um termo na fronteira daequação limite, fazendo com que ela seja um problema de Neumann com condições de fronteiranão-homogênea, diferentemente do problema perturbado.

Por outro lado, no Capítulo 4 trabalharemos com equações em domínio fino, sob condiçõesde fronteira de Neumann homogênea, do tipo (2). Mas, sendo Rε fino, optamos por fazer umamudança de variáveis e trabalhamos com o problema equivalente

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

−∂2uε

∂x21

− 1

ε2

∂2uε

∂x22

+ uε = 1

εγχθεf(uε) em Ωε,

∂uε

∂x1

N ε1 +

1

ε2

∂uε

∂x2

N ε2 = 0 em ∂Ωε,

(4)

com N ε = (N ε1 ,N

ε2) vetor normal unitário apontando para fora na fronteira do novo domínio Ωε.

Neste caso, o domínio (3) do problema (4) tem as propriedades:

(i) G(x, ε) = g(x/ε) e H(x, ε) = h(x/εβ), β > 0, onde as funções g, h ∶ (0,1) → R são suaves,positivas, Lg e Lh-periódicas, respectivamente, e tais que existem g0, g1, h0, h1 ∈ R com

0 < g0 ≤ g(x) ≤ g1 <∞, 0 ≤ h0 ≤ h(x) ≤ h1 <∞, ∀x ∈ (0,1);

(ii) g possui derivadas limitadas.

Sob estas hipóteses, o problema limite de (4) é da forma

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

−q0uxx + u = f0(u) em (0,1),ux(0) = ux(1) = 0,

9

comq0 =

1

∣Y ∗∣ ∫Y ∗[1 − ∂X

∂y1

(y1, y2)]dy1dy2 e f0(⋅) =Lg∣Y ∗∣

µhf(⋅),

onde X é definido pelo problema auxiliar

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

−∆X = 0 em Y ∗,∂X

∂N= 0 em B2,

∂X

∂N= − g′(y1)√

1 + g′(y1)2em B1,

X é Lg-periódica em y1,

∫Y ∗Xdy1dy2 = 0

e a célula representativa dada por

Y ∗ = (y1, y2) ∈ R2; 0 < y1 < Lg,0 < y2 < g(y1),

sendo B1 e B2 são as fronteiras superior e inferior de ∂Y ∗, respectivamente.Observe que tal coeficiente 0 < q0 < 1 reflete como a geometria do domínio, em particular

sua rugosidade, influencia o coeficiente de difusão da equação unidimensional limite. Entretanto,perceba que neste caso as condições de fronteira do problema limite se mantém Neumann homo-gêneas e a concentração se torna um termo na não-linearidade que age no interior do intervalolimite.

Além disso, é importante notar que o caso estudado no Capítulo 3 é em um conjunto admis-sível, aonde foram utilizados todos os resultados desenvolvidos no Capítulo 2. Enquanto isso, aanálise do Capítulo 4 se fez de forma mais manual, analisando a situação de forma mais específica,por se tratar de uma perturbação mais singular.

Em ambos os casos analisou-se:

(i) a família de equações elípticas lineares associada ao problema (ver Seções 3.2 e 4.2);

(ii) a convergência de soluções da família de equações lineares (ver Teorema 3.2.4 e Corolário4.2.4);

(iii) a família de equações elípticas semilineares (ver Seções 3.3 e 4.3);

(iv) semicontinuidade superior das soluções da família de problemas semilineares (ver Teoremas3.3.7 e 4.3.8)

(v) supondo adicionalmente que a solução do problema limite é hiperbólica, a semicontinuidadeinferior das soluções da família de problemas semilineares (ver Teoremas 3.3.8 e 4.3.9);

Ademais, no caso do Capítulo 3, provou-se na Proposição 3.3.13 também a unicidade de solu-ções na semicontinuidade inferior, ou seja, que, próximo a um ponto de equilíbrio hiperbólico daequação limite, existe apenas um ponto de equilíbrio do sistema perturbado para cada ε > 0.

Organização geral do trabalho

De maneira geral, a tese está dividida em duas partes. A primeira diz respeito ao embasamentoteórico necessário para o melhor entendimento do problema proposto: integrais concentradas. Por

10 INTRODUÇÃO 0.0

outro lado, a segunda parte contém duas aplicações com problemas definidos em domínios Lips-chitz de R2 e apresentando termos concentrados na fronteira, modificando artigos publicados an-teriormente.

A primeira parte consiste de dois capítulos. O Capítulo 1 apresenta as definições e propriedadesiniciais necessárias para a leitura da tese, como os espaços de Sobolev fracionários, Lebesgue eSobolev-Bochner generalizados, seus teoremas principais e a teoria abstrata de E-convergência econvergência compacta. No Capítulo 2, por sua vez, após o estudo das propriedades das normasdos espaços de Sobolev fracionários em um domínio Lipschitz específico de R2, estima-se asintegrais concentradas e estuda-se as propriedades de sua passagem ao limite sob certas hipótesesadicionais; terminando o capítulo, temos a análise da aplicação não-linear que pode ser obtidaperturbando uma função f de classe C2, restringindo-a a apenas uma vizinhança da fronteira eutilizando os resultados de integral concentrada.

Já a segunda parte é focada nas aplicações das propriedades obtidas na primeira através dedois problemas elípticos em R2. O Capítulo 3 aborda o problema elíptico definido em um domíniocom fronteira Lipschitz com fronteira oscilante, que “tende” a um domínio limite quando ε tendea zero, como descrito em (1). Finalmente, o Capítulo 4 fala sobre o problema elíptico definido emum domínio com fronteira Lipschitz que é fino e possui fronteira oscilante, dado em (2).

Parte I

Teoria geral: integrais concentradas

11

CAPÍTULO 1

Preliminares

O objetivo principal deste capítulo será apresentar os espaços que serão utilizados duranteeste trabalho e as ferramentas abstratas importantes para o estudo da convergência de soluções deproblemas elípticos lineares e semilineares. O foco principal será definir formalmente e explicitarpropriedades básicas úteis, principalmente no que diz respeito à equivalência de normas entre osespaços definidos.

A Seção 1.1 lidará com as diferentes definições da literatura clássica para espaços de Sobolevfracionários, mostrando em quais situações tais definições são equivalentes. Outro ponto será mos-trar em detalhes como se comporta a equivalência das normas entre esses espaços, a dependênciado domínio nessa relação e suas consequências.

Tal detalhe será de suma importância, pois, nos Capítulos 2, 3 e 4, analisaremos propriedadesde integrais concentradas e EDPs elípticas semilineares definidas em domínios que variam depen-dendo de um parâmetro ε, estudando seu comportamento quando ε tende a zero. Assim, necessi-tamos controlar de maneira refinada tais constantes de equivalência para navegar com segurançaentre as diferentes definições quando necessário.

Além disso, na Seção 1.2 definiremos os chamados espaços de Lebesgue-Bochner e Sobolev-Bochner generalizados. Tais espaços, amplamente utilizados, em sua forma simplificada, na aná-lise de equações de evolução, aqui ganham um novo significado. No nosso contexto, ajudam adesenvolver diferentes propriedades das integrais concentradas na fronteira, implicando na poste-rior convergência de soluções (vide seções 2.2 e 2.3, por exemplo).

Por sua vez, a Seção 1.3 enunciará teoremas de traço, propriedades de densidade, imersãocontínua e compacta para espaços de Sobolev fracionários, resultados que serão úteis para melhorentendimento dos espaços.

Finalmente, a Seção 1.4 tratará das definições de E-convergência e convergência compacta,que serão utilizadas na segunda parte da tese para a demonstração de continuidade das soluções deproblemas elípticos semilineares cujos domínios serão perturbados com relação a um parâmetro ε.

1.1 Espaços de Sobolev Fracionários

Nesta seção explicitaremos as definições para espaços de Sobolev que serão utilizadas pos-teriormente. Para tanto, usaremos como referências principais os trabalhos de Adams [1975],Grisvard [1985], Lions e Magenes [1972], Yagi [2010], Necas [2012], Triebel [1978], McLean

13

14 PRELIMINARES 1.1

[2000] e Di Nezza et al. [2012], apontando as diferentes abordagens com respeito a este assuntoquando necessário, começando com a definição em todo o Rn, depois se estendendo-a para abertosΩ ⊂ Rn.

Diremos que dois espaços X,Y são algébrica e topologicamente equivalentes se X = Y comoconjuntos e as normas ∥ ⋅ ∥X e ∥ ⋅ ∥Y são equivalentes (ver Necas [2012]).

1.1.1 Espaços euclidianos

No que segue, seja α multi-índice, tome s ∈ R, n ∈ N e p ∈ R, com 1 ≤ p <∞. Denotaremos porm a parte inteira e σ a parte não-inteira de s, respectivamente, e, assim, s =m+σ, onde σ ∈ [0,1).

Definição 1.1.1. Para s > 0, denotaremos por W s,p(Rn) o espaço das distribuições definidas emRn tais que

(i) ∂αu ∈ Lp(Rn), para ∣α∣ ≤m, quando s =m ∈ N;

(ii) u ∈Wm,p(Rn) e

∬Rn×Rn

∣∂αu(x) − ∂αu(y)∣p∣x − y∣n+σp

dxdy <∞,

para ∣α∣ =m, quando s =m + σ.

Definimos a norma em W s,p(Rn), que o torna Banach, como:

∥u∥pWm,p(Rn) = ∑

∣α∣≤m∫Rn

∣∂αu(x)∣pdx no caso (i)

e

∥u∥pW s,p(Rn) = ∥u∥p

Wm,p(Rn) + ∑∣α∣=m

∬Rn×Rn


dxdy no caso (ii).

Observação 1.1.2. Note que esta definição é equivalente à habitual dada em Adams [1975] ouLions e Magenes [1972], dentre muitos outros, para espaços de Sobolev Wm,p, onde m ∈ N. Ointeressante para nosso trabalho será analisar tais espaços quando lidamos com W s,p para s nãointeiro.

Para o espaço dual:

Definição 1.1.3. Para s < 0 denotamos por W s,p(Rn) o espaço dual de W −s,q(Rn), onde q é oconjugado de p (isto é, 1/p + 1/q = 1).

Observação 1.1.4. No caso p = 2 usaremos a notação Hs(Rn) em vez de W s,2(Rn). Neste caso,os espaços serão Hilbert.

Além disso, podemos definir também:

Definição 1.1.5. Denotamos porHsp(Rn) o espaço das distribuições temperadas u em Rn tais que

∫ (1 + ∣ξ∣2)sp/2∣Fu(ξ)∣pdξ <∞,

onde F é a transformada de Fourier dada por

Fu(ξ) = 1

(2π)n/2 ∫e−ixξu(x)dx.

1.1 ESPAÇOS DE SOBOLEV FRACIONÁRIOS 15

Sobre estes espaços obtemos o seguinte teorema.

Teorema 1.1.6. Os espaçosHs2(Rn) eHs(Rn) são algébrica e topologicamente equivalentes para

todo s ∈ R.

Demonstração. Ver [Yagi, 2010, pg 41].

Para o próximo resultado, precisaremos de uma definição auxiliar: espaços de interpolação (ver[Yagi, 2010, pg. 14]).

SejamX0 eX1 espaços de Banach com normas ∥ ⋅∥X0 e ∥ ⋅∥X1 , respectivamente, comX1 sendoimerso de forma densa e contínua em X0. Considere

S = z; 0 < Rez < 1

no plano complexo C. Denotamos porH(X0,X1) o espaço das funções analíticas com as seguintespropriedades:

H(X0,X1) =F (z); F (z) é uma função analítica para z ∈ S com valores em X0,

e é limitada e contínua para z = 1 + iy com valores em X1

Para F ∈ H(X0,X1) definimos sua norma por

∥F ∥H = max sup−∞<y<∞

∥F (iy)∥X0 , sup−∞<y<∞

∥F (1 + iy)∥X1

e, com isso, H é um espaço de Banach (vide [Triebel, 1978, Teorema 1.9.1]).Para cada 0 ≤ θ ≤ 1, definimos o espaço [X0,X1]θ, que chamaremos de interpolação complexa

entre X0 e X1, como

[X0,X1]θ = U ∈X0; existe uma função F ∈ H(X0,X1) tal que U = F (θ) (1.1)

e, para U ∈ [X0,X1]θ, sua norma é definida por

∥U∥θ = infF ∈H,F (θ)=U

∥F ∥H.

Com esta norma, [X0,X1]θ é um espaço de Banach (ver [Triebel, 1978, Teorema 1.9.2]).Temos, com isso, as seguintes propriedades destes espaços.

Proposição 1.1.7. São válidas:

(a) [X0,X1]0 =X0 e [X0,X1]1 =X1 com isometrias;

(b) Para 0 < θ < 1, X1 ⊂ [X0,X1]θ ⊂X0 de forma densa e contínua;

(c) Para 0 < θ < 1, ∥U∥θ ≤ ∥U∥1−θX0

∥U∥θX1, para todo U ∈X1;

(d) Sejam Y0 e Y1 espaços de Banach tais que Y1 ⊆ Y0 densamente e B ∶ Xj → Yj , j = 0,1, umoperador linear. Se ∥Bx∥Y0 ≤ C0∥x∥X0 e ∥Bx∥Y1 ≤ C1∥x∥X1 , então ∥Bx∥θ ≤ Cθ∥x∥θ, ondeCθ = C1−θ

0 Cθ1 .

Demonstração. Ver [Triebel, 1978, Teorema 1.9.3] e [Yagi, 2010, Teorema 1.15].

16 PRELIMINARES 1.1

Sendo assim, temos o seguinte teorema que relaciona isometricamente os espaços de potênciasfracionárias de um operador (ver [Henry, 1981, Definição 1.4.1]) com espaços de interpolaçãocomplexa.

Teorema 1.1.8. Sejam X espaço de Hilbert e A um operador definido positivo e auto-adjunto emX . Então, para 0 < θ < 1, temos que D(Aθ) = [X,D(A)]θ com isometria de normas.

Demonstração. Ver [Yagi, 2010, Teorema 16.1].

Além disso, obtemos o seguinte teorema, que nos mostra uma outra maneira de definir espaçosde Sobolev fracionários com uma norma equivalente.

Teorema 1.1.9. Para 0 ≤ s0 < s1 <∞,

Hs(Rn) = [Hs0(Rn),Hs1(Rn)]θ

com normas equivalentes, onde 0 ≤ θ ≤ 1 e s = (1 − θ)s0 + θs1.


Observação 1.1.10. Note que, de certa forma, conseguimos obter espaços de Sobolev fracionáriosem Rn usando os Teoremas 1.1.8 e 1.1.9 de outras duas maneiras algébrica e topológicamenteequivalentes, tomando operadores e espaços convenientes.

1.1.2 Subconjuntos abertos de espaços euclidianos

Lidaremos agora com um aberto Ω ⊂ Rn e nosso propósito será definir espaços de Sobo-lev fracionários em Ω. Para tanto, pode-se seguir escolas independentes, com distintas definiçõesdeste espaço. Cada abordagem possui suas vantagens e, em geral, isto pode nos levar a diferentesespaços.

As propriedades de uma função em um espaço de Sobolev, quando esta é definida em umaberto Ω contido no espaço euclidiano, dependem fortemente das propriedades de sua fronteira∂Ω. Nesta seção estenderemos as ideias da seção anterior, pontuando as diferentes definições deespaços de Sobolev, que coincidem algebricamente e possuem normas equivalentes para fronteirassuficientemente regulares.

Primeiramente, explicitaremos definições de suavidade da fronteira do domínio Ω ⊂ Rn. Talconceito se mostra primordial pois, em razão deste, podemos obter mais propriedades de um es-paço de funções definidas em Ω, como será visto em seguida.

Definição 1.1.11. Seja Ω ⊂ Rn um aberto. Dizemos que a fronteira ∂Ω é contínua (resp. Lipschitz,continuamente diferenciável, de classe Ck,1, m vezes diferenciável, suave) se, para todo x ∈ ∂Ω,existe vizinhança V de x e novas coordenadas y1, y2, ..., yn tais que

(i) V é um hipercubo nas novas coordenadas: V = (y1, ..., yn); −ai < yi < ai,1 ≤ i ≤ n;

(ii) existe uma função contínua (resp. Lipschitz, continuamente diferenciável, de classe Ck,1, mvezes diferenciável, suave) ϕ definida em V ′ = (y1, ..., yn−1); −ai < yi < ai,1 ≤ i ≤ n−1 talque

(a) ∣ϕ(y′)∣ ≤ an/2, ∀y′ ∈ V ′”,

(b) Ω ∩ V = y = (y′, yn) ∈ V ; yn < ϕ(y′),

(c) ∂Ω ∩ V = y = (y′, yn) ∈ V ; yn = ϕ(y′).


Em outras palavras, em uma vizinhança de x, Ω está abaixo do gráfico de ϕ e, consequentemente,a fronteira ∂Ω é o gráfico de ϕ.

Observação 1.1.12. Dizemos que uma função f é de classe Ck,α(O) se suas derivadas até ordemk são Hölder-contínuas com expoente α. Desta forma, para k ≥ 0 temos um espaço com norma

∥f∥Ck,α(O) = ∥f∥Ck(O) +max∣β∣=k

∣∂βf ∣C0,α(O),

onde β é multi-índice,

∣∂βf ∣C0,α(O) = supx,y∈O

∣∂βf(x) − ∂βf(y)∣∣x − y∣α

e∥f∥Ck(O) = max

∣β∣≤ksupx∈O

∣∂βf(x)∣.

Note que para α = 1 e k = 0 temos funções Lipschitz definidas em O ⊂ Rn.

Um outro conceito importante é a chamada propriedade do cone.

Definição 1.1.13. Seja Ω ⊂ Rn aberto. Dizemos que Ω tem a propriedade uniforme do segmento(respectivamente, do cone) se para todo x ∈ Γ = ∂Ω, existem uma vizinhança V de x em Rn enovas coordenadas y1, y2, ..., yn tais que

(a) V é um hipercubo nas novas coordenadas, isto é, V = (y1, y2, ..., yn); −aj < yj < aj,1 ≤ j ≤n;

(b) y − z ∈ Ω quando y ∈ Ω ∩ V e z ∈ C, onde C é o segmento aberto (0, ..,0, zn); 0 < zn <h (respectivamente, C é o cone aberto (z′, zn); (cotg θ)∣z′∣ < zn < h, para algum θ ∈(0, π/2)), para algum h > 0.

Com isso, obtemos a seguinte equivalência.

Teorema 1.1.14. Seja Ω ⊂ Rn aberto limitado. Então Ω tem a propriedade do cone uniforme se, esomente se, Ω tem fronteira Lipschitz.

Demonstração. Ver [Grisvard, 1985, Teorema 1.2.2.2].

Vejamos agora diferentes definições de espaços que, posteriormente, serão unificadas para de-signar os espaços de Sobolev fracionários utilizados neste trabalho. Note que eles não são neces-sariamente iguais para qualquer Ω ⊂ Rn, então mostraremos em que condições tal equivalência éatingida.

Definição 1.1.15. Para s > 0, denotaremos por W s,p(Ω) o espaço das distribuições definidas emΩ tais que

(i) ∂αu ∈ Lp(Ω), para ∣α∣ ≤m, quando s =m ∈ N;

(ii) u ∈Wm,p(Ω) e

∬Ω×Ω


dxdy <∞

para ∣α∣ =m, quando s =m + σ.

18 PRELIMINARES 1.1

Definimos a norma em W s,p(Ω), que o torna Banach, como:

∥u∥pWm,p(Ω)

= ∑∣α∣≤m

∫Ω∣∂αu(x)∣pdx no caso (i)

e

∥u∥pW s,p(Ω)

= ∥u∥pWm,p(Ω)

+ ∑∣α∣=m

∬Ω×Ω


dxdy no caso (ii).

Observação 1.1.16. Não podemos reproduzir diretamente a definição da subseção anterior dedual para s < 0 pois, em geral, D(Ω), o espaço das funções C∞ com suporte compacto definidasem Ω, não é denso em W s,p(Ω). Consequentemente, o espaço dual de W s,p(Ω) não pode seridentificado como um espaço de distribuições em Ω. E esta é a razão para definir outra família deespaços de Sobolev.

Definição 1.1.17. Para s > 0 denotamos por W s,p(Ω) o fecho de D(Ω) em W s,p(Ω).

Com esse espaço auxiliar podemos então definir:

Definição 1.1.18. Para s < 0, denotamos por W s,p(Ω) o dual do espaço W −s,q(Ω), onde q éconjugado de p (ou seja, 1/p + 1/q = 1).

Ademais, outra definição de mesmo estilo é dada por:

Definição 1.1.19. Para s > 0 denotamos por W s,p(Ω) o espaço de todas as restrições a Ω deelementos de W s,p(Rn) .

Em outras palavras,W s,p(Ω) = rΩ(u); u ∈W s,p(Rn),

onde a restrição de u ∈W s,p(Rn), rΩ(u), é definida por

⟨rΩ(u), ϕ⟩ = ⟨u, ϕ⟩, ∀ϕ ∈ D(Ω),

com ϕ sendo a extensão trivial de ϕ por zero fora de Ω.A norma em W s,p(Ω), que o torna Banach, é definida por

∥u∥W s,p(Ω) = infrΩ(U)=u

∥U∥W s,p(Rn).

Observação 1.1.20. No caso p = 2 usamos novamente as notações Hs(Ω), Hs(Ω) e Hs(Ω) aoinvés deW s,2(Ω), W s,2(Ω) e W s,2(Ω), respectivamente. Mais uma vez, estes espaços são Hilbert.

Com essas definições em mãos, temos o seguinte resultado relacionado à existência de opera-dor contínuo de extensão que nos ajuda a esclarecer a relação entre W s,p(Ω) e W s,p(Ω).

Teorema 1.1.21. Seja Ω subconjunto aberto e limitado de Rn com fronteira Lipschitz. Então existeum operador linear contínuo PΩ ∶W s,p(Ω)→W s,p(Rn) tal que rΩ(PΩu) = u.


Observação 1.1.22. Tal operador definido no Teorema 1.1.21 não é necessariamente único.

Sendo assim, temos o seguinte corolário:


Corolário 1.1.23. Seja Ω ⊂ Rn aberto limitado e de fronteira Lipschitz, então Hs(Ω) = Hs(Ω),com

∥u∥Hs(Ω) ≤ ∥u∥Hs(Ω) ≤ ∥PΩ∥L(Hs(Ω),Hs(R))∥u∥Hs(Ω)

onde ∥PΩ∥ é a norma de algum operador de extensão contínuo PΩ ∶Hs(Ω)→Hs(Rn).

Demonstração. Dado u ∈ Hs(Ω), existe U ∈ Hs(Rn) tal que u = rΩ(U) e ∥u∥Hs(Ω) = ∥U∥H(Rn).Segue que

∥u∥Hs(Ω) ≤ ∥U∥Hs(Rn) = ∥u∥Hs(Ω).

Reciprocamente, se u ∈ Hs(Ω), então u = U ∣Ω para U = PΩu, onde P é um operador extensãolinear contínuo de Hs(Ω) a Hs(Rn), que existe pelo Teorema 1.1.21, segue que u ∈ Hs(Ω) e

∥u∥Hs(Ω) ≤ ∥U∥Hs(Rn) = ∥PΩu∥Hs(Rn) ≤ ∥PΩ∥∥u∥Hs(Ω),

concluindo a prova.

Observação 1.1.24. Note que a norma ∥PΩ∥ do operador construído no Teorema 1.1.21 podedepender fortemente do domínio Ω. Tal dependência deverá ser analisada cuidadosamente nonosso trabalho, pois lidamos com domínios Ωε, que dependem fortemente de um parâmetro ε eserão analisados tomando o limite de ε a zero.

Além disso, podemos enunciar também o seguinte resultado novamente, como no caso Rn:

Teorema 1.1.25. Seja Ω ⊂ Rn aberto limitado e de fronteira Lipschitz. Então temos que, para0 ≤ s0 < s1 <∞,

Hs(Ω) = [Hs0(Ω),Hs1(Ω)]θcom normas equivalentes, onde 0 ≤ θ ≤ 1 e s = (1 − θ)s0 + θs1.


O teorema acima é técnico e não deixa margens para um melhor controle das constantes deequivalência das normas e sua dependência com relação ao operador de extensão do domínio. Umresultado mais acessível que nos ajudará a entender, em casos específicos, como as normas equi-valentes citadas no teorema anterior se relacionam foi provado em Chandler-Wilde et al. [2015].

Teorema 1.1.26. Suponha Ω ⊂ Rn aberto limitado, s0 ≤ s1, 0 < θ < 1 e defina s = s0(1 − θ) + θs1.Se chamarmos Hθ

[]∶= [Hs0(Ω), Hs1(Ω)]θ, então Hs(Ω) ⊂ Hθ

[], com ∥u∥Hθ

[]≤ ∥u∥Hs(Ω) para

u ∈ Hs(Ω).Além disso, se para alguns λ0, λ1 ≥ 1 existir operador de extensão contínuo P ∶ Hs0(Ω) →

Hs0(Rn) = Hs0(Rn) com

∥Pu∥Hsj (Rn) ≤ λj∥u∥Hsj (Ω), ∀u ∈ Hsj(Ω), j = 0,1,

então Hs(Ω) =Hθ[]

e

λθ−10 λ−θ1 ∥u∥Hs(Ω) ≤ ∥u∥Hθ

[]≤ ∥u∥Hs(Ω),∀u ∈ Hs(Ω).

Demonstração. Vide [Chandler-Wilde et al., 2015, Lema 4.2].

Isto implica que, com a construção de um operador contínuo de extensão conveniente, podemoscontrolar as normas dos espaços. Desta forma, utilizamos tal resultado para provar o seguinteteorema.

20 PRELIMINARES 1.2

Proposição 1.1.27. Seja Ω ⊂ Rn aberto que admite operador de extensão PΩ com as propriedadesdo Teorema 1.1.26 com s0 = 0, s1 = 1. Então existem constantes C1,C2 > 0 (dependendo deλ1, λ2, ∥PΩ∥) tais que

C1∥v∥Hs(Ω) ≤ ∥v∥Hs[](Ω) ≤ C2∥v∥Hs(Ω), ∀v ∈Hs(Ω),0 ≤ s ≤ 1.

Demonstração. Dado v ∈Hs(Ω), pelo Corolário 1.1.23

∥v∥Hs(Ω) ≤ ∥v∥Hs(Ω) ≤ ∥PΩ∥L(Hs(Ω),Hs(Rn))∥v∥Hs(Ω),

onde ∥PΩ∥L(Hs(Ω),Hs(Rn)) está bem definida pelo Teorema 1.1.26 e pode depender do domínio Ω.Analogamente, usando a notação do Teorema 1.1.26, obtemos

λs−10 λ−s1 ∥v∥Hs(Ω) ≤ ∥v∥Hθ

[](Ω) ≤ ∥v∥Hs(Ω).

Assim, juntando estas informações temos

λs−10 λ−s1 ∥v∥Hs(Ω) ≤ λs−1

0 λ−s1 ∥v∥Hs(Ω) ≤ ∥v∥Hθ[](Ω)

≤ ∥v∥Hs(Ω) ≤ ∥PΩ∥L(Hs(Ω),Hs(Rn))∥v∥Hs(Ω),

concluindo o resultado.

Sendo assim, como os domínios com o quais trabalharemos nesta tese são abertos limitadosde R2 com fronteira Lipschitz, obtemos diferentes definições, porém algébrica e topologicamenteequivalentes, para o que chamaremos de espaço de Sobolev fracionário associado a este aberto.Porém, note que a equivalência de normas depende fortemente do domínio em que tal espaço estádefinido.

Utilizaremos a definição que for mais conveniente no momento, mas sempre tendo em menteque tais definições não seriam equivalentes para um aberto qualquer e que a equivalência de normasdeve ser vista com cuidado.

1.2 Espaços de Lebesgue-Bochner e Sobolev-Bochner generaliza-dos

Nesta seção definiremos o conceito de espaços de Lebesgue-Bochner e Sobolev-Bochner demaneira mais generalizada, ambos importantes para a posterior análise do comportamento dasintegrais concentradas presentes nos problemas apresentados nesta tese (vide, por exemplo, Seção2.2).

O conceito apresentado nesta seção foi visto de forma análoga em Meier e Böhm [2008]. Cons-truiremos então os espaços Lp(Ω;Lq(Yx)), Lp(Ω;W s,q(Yx)) e W s,p(Ω;Lq(Yx)) espaços de fun-ções definidas em uma família de limitados Q = ∪x∈Ω(x × Yx), onde Ω ⊂ Rn e Yx ⊂ Y ⊂ Rm sãoabertos, com n,m ≥ 1, 1 ≤ p ≤∞ e 1 ≤ q <∞.

Tais espaços se apresentam como uma natural generalização dos espaços de Lebesgue e So-bolev usando o conceito da integral de Bochner, ou seja, o estudo de espaços contendo funçõesque tomam valores em espaços de Banach. A generalização dada aqui volta à definição usual deespaços de Lebesgue-Bochner e Sobolev-Bochner quando Yx = Y . Alguns resultados aqui sãomais conhecidos quando Ω = [0, T ] e x é a variável que representa o tempo, porém lidaremos comcasos mais gerais. Livros que abordam este tipo de espaço são Gasinski e Papageorgiou [2006],Robinson [2001] e Cazenave e Haraux [1998].

1.2 ESPAÇOS DE LEBESGUE-BOCHNER E SOBOLEV-BOCHNER GENERALIZADOS 21

Definição 1.2.1. Sejam Ω ⊂ Rn e Y ⊂ Rm domínios limitados. Para cada x ∈ Ω, seja Yx ⊂ Y outrodomínio tal que

Q = Ω × Yx ∶= ⋃x∈Ω

(x × Yx) ⊂ Rn+m

é mensurável com respeito a medida de Lebesgue (n+m) dimensional. Consideraremos 1 ≤ p ≤∞e 1 ≤ q <∞. O caso q =∞ não será considerado.

Os espaços Lebesgue-Bochner generalizados, denotados por Lp(Ω;Lq(Yx)), são definidos por

Lp(Ω;Lq(Yx)) ∶= u ∶ Q→ R mensurável ;u(x, ⋅) ∈ Lq(Yx) para quase todo x ∈ Ω

e se tornam Banach com a norma

∥u∥Lp(Ω;Lq(Yx)) =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

(∫Ω ∥u(x, ⋅)∥pLq(Yx)

dx)1/p, p <∞

ess supx∈Ω

∥u(x, ⋅)∥Lq(Yx), p =∞

No caso p = q = 2, tais espaços se tornam Hilbert com o produto interno

(u, v)L2(Ω;L2(Yx)) = ∫Ω(u(x, ⋅), v(x, ⋅))L2(Yx)dx.

Observação 1.2.2. Como q < ∞, a função x ↦ ∥u(x, ⋅)∥Lq(Yx) é mensurável pelo teorema deFubini. Então, o espaço Lp(Ω;Lq(Yx)) está bem definido.

De forma análoga podemos também definir outros espaços.

Definição 1.2.3. Os espaços de Sobolev-Bochner generalizados, denotados por Lp(Ω;W s,q(Yx))para s > 0, são definidos por

Lp(Ω;W s,q(Yx)) ∶= u ∈ Lp(Ω;Lq(Yx));u(x, ⋅) ∈W s,q(Yx).

Tais espaços se tornam Banach com a norma

∥u∥Lp(Ω;W s,q(Yx)) =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

(∫Ω ∥u(x, ⋅)∥pW s,q(Yx)

dx)1/p, p <∞,

ess supx∈Ω

∥u(x, ⋅)∥W s,q(Yx), p =∞.

No caso p = q = 2 tais espaços se tornam, novamente, Hilbert.

Observação 1.2.4. A prova da completude desses espaços se reduz à completude deLp(Ω;Lq(Yx))de forma análoga ao argumento para espaços de Sobolev.

Sobre tais espaços, podemos listar algumas propriedades gerais provadas em [Meier e Böhm,2008, Proposição 2, Proposição 3, Proposição 5].

Proposição 1.2.5. São válidas as seguintes afirmações:

(i) Se p <∞ então as funções simples e as funções contínuas em Q são densas emLp(Ω;Lq(Yx)).Em particular, Lp(Ω;Lq(Yx)) é separável.

(ii) (Espaço dual) Se 1 ≤ p < ∞ e 1 < q < ∞, com p′, q′ seus conjugados, então o operadorJ ∶ Lp′(Ω;Lq

′(Yx))→ [Lp(Ω;Lq(Yx))]′ dado por

J(f)g = ∫Ω∫Yxf(x, y)g(x, y)dydx, g ∈ Lp(Ω;Lq(Yx)), f ∈ Lp′(Ω;Lq

′(Yx)),

22 PRELIMINARES 1.3

é um isomorfismo isométrico. Em particular, Lp(Ω;Lq(Yx)) é reflexivo para p > 1.

(iii) O espaço Lp(Ω;W s,q(Yx)) é separável se p <∞ e reflexivo se 1 < p, q <∞.

No Capítulo 2 lidaremos com propriedades mais específicas de tais espaços quando os mesmosforem definidos em abertos convenientes do R2, onde se situarão nossas aplicações dos Capítulos3 e 4.

1.3 Teorema do traço, densidade e imersões de Sobolev

Nesta seção enunciaremos teoremas sobre densidade e traço para espaços de Sobolev fracio-nários, que serão utilizados algumas vezes durante o trabalho. Além disso, mostraremos quandocertas constantes obtidas nas imersões de Sobolev de abertos com fronteira Lipschitz de Rn, n ≥ 1,são independentes do domínio e, assim, poderão ser utilizadas posteriormente quando analisarmosproblemas em domínios que variam com um parâmetro ε.

Os resultados reproduzidos e adaptados ao nosso contexto são de [Grisvard, 1985, Seção 1.5],Necas [2012], Cioranescu e Donato [1999] e [Di Nezza, Palatucci, e Valdinoci, 2012, Seção 2],sendo focados muitas vezes no caso p = 2, que nos será importante posteriormente.

Começamos a seção enunciando o Teorema do Traço para domínios não-regulares e, para tanto,precisaremos de uma definição auxiliar: vetor normal à fronteira Lipschitz.

Usando a notação da Definição 1.1.11, quando Γ é a fronteira Lipschitz de um aberto limitadoΩ ⊂ Rn, então um vetor normal exterior unitário ν está definido quase sempre (para a medida usualde superfície em Γ) por

ν(y′, ϕ(y′)) ∶= 1√1 + ∂1ϕ(y′)2 + ... + ∂n−1ϕ(y′)2

−∂1ϕ(y′), . . . ,−∂n−1ϕ(y′),1

para y ∈ V ′. Finalmente, usando uma partição da unidade, é possível definir um campo de vetoresem uma vizinhança de Ω tal que ν é um vetor normal exterior unitário quase sempre sobre Γ = ∂Ω.Observe que, quando a fronteira é de classe Ck,1, o campo de vetores é apenas de classe Ck−1,1.

Agora denotamos por γ o operador definido por γ(u) = u∣Γ quando u é uma função suave.

Teorema 1.3.1. Seja Ω ⊂ Rn com fronteiraCk,1. Assuma s−1/p não inteiro, s ≤ k+1, s−1/p = l+σ,0 < σ < 1, l ∈ N. Então a aplicação

u↦ γu, γ ∂u∂ν, . . . , γ

∂lu

∂ν l ,

que é definida para u ∈ Ck,1(Ω), tem uma única extensão contínua a um operador de W s,p(Ω) emΠli=0W

s−j−1/p,p(∂Ω). Tal operador possui inversa à direita contínua que independe de p.


Mais especificamente usaremos o seguinte corolário para k = 0.

Corolário 1.3.2. Seja Ω ⊂ Rn com fronteira Lipschitz e considere 1/2 < s ≤ 1, 1 < p <∞. Então aaplicação u ↦ γu definida para u ∈ C0,1(Ω) tem uma única extensão contínua a um operador deW s,p(Ω) a W s−1/p,p(∂Ω). Tal operador possui inversa à direita contínua que independe de p.

1.3 TEOREMA DO TRAÇO, DENSIDADE E IMERSÕES DE SOBOLEV 23

Observação 1.3.3. Para o caso p = 2 e n = 1 no Corolário 1.3.2 anterior, dado um intervalonão-degenerado qualquer em R, digamos (a, b) com a < b, temos que existe difeomorfismo

Φ ∶ (0,1)→ (a, b)z ↦ Φ(z) = (b − a)z + a,

onde a = Φ(0) e b = Φ(1). Note que tal difeomorfismo também induz um isomorfismo de Hs(a, b)em Hs(0,1), para 1/2 < s ≤ 1, bastando utilizar Φ−1 como uma mudança de variáveis nas inte-grais que definem tais normas. De fato, dado v ∈Hs(a, b) temos que v Φ ∈Hs(0,1) com

∥v Φ∥2Hs(0,1) = ∫

1

0∣v Φ(y)∣2dy + ∫

1

0∫

1

0

∣v Φ(y1) − v Φ(y2)∣2∣y1 − y2∣1+2s

dy1dy2

= ∫b

a∣v(z)∣2 1

(b − a)dz + ∫

b

a∫

b

a

∣v(z1) − v(z2)∣2∣z1 − z2∣1+2s

(b − a)1+2s

(b − a)dz1dz2

≤ max(b − a)−1, (b − a)2s∥v∥2Hs(a,b), para 1/2 < s ≤ 1.

Logo, usando a continuidade do operador traço dado no Corolário 1.3.2, obtemos que, para1/2 < s ≤ 1, existe C > 0 tal que

∣v(b)∣ = ∣v Φ(1)∣ ≤ C∥v Φ∥Hs(0,1) ≤K∥v∥Hs(a,b)

onde K > 0 depende de C > 0 e do tamanho do intervalo (a, b).

Para um domínio com fronteira Lipschitz, dada a existência do vetor exterior normal unitárioquase sempre, é possível demonstrar outro resultado de suma importância no estudo de problemasutilizando espaços de Sobolev: o Teorema de Green, reproduzido abaixo.

Teorema 1.3.4. Sejam Ω ⊂ Rn aberto limitado com fronteira Lipschitz, u ∈ W 1,p(Ω) e v ∈W 1,q(Ω), onde 1/p + 1/q = 1. Então

∫Ω

∂u

∂xiv + ∫

Ω

∂v

∂xiu = ∫

∂Ωγ(u)γ(v)νidS,

onde ν = (ν1, ...νn) é o vetor normal unitário exterior, que existe em quase todo ponto de ∂Ω.

Demonstração. Ver [Necas, 2012, Cap. 3, Teorema 1.1].

Além disso, temos o seguinte teorema de densidade:

Teorema 1.3.5. Seja Ω ⊂ Rn um aberto limitado. Então, para todo p > 1 e s > 0, valem:

(i) O conjunto C∞(Ω) é denso em W s,p(Ω);

(ii) Se Ω tem fronteira contínua, C∞c (Ω) é denso em W s,p(Ω), onde

C∞c (Ω) = u∣Ω ;u ∈ C∞

c (Rn).


Com tais resultados estabelecidos, podemos agora trabalhar com as imersões contínuas dosespaços de Sobolev fracionários. Algumas dessas imersões são condicionadas às propriedades dodomínio Ω, como veremos a seguir.

24 PRELIMINARES 1.3

Proposição 1.3.6. Sejam Ω ⊂ Rn e 0 ≤ s ≤ s′ < 1. Então

∥u∥Hs(Ω) ≤ C∥u∥Hs′(Ω),

para alguma constante C = C(n, s) ≥ 1 independente do domínio Ω. Em particular, Hs′(Ω) ⊆Hs(Ω).

Demonstração. Se s = 0 segue diretamente da definição. Considerando 0 < s ≤ s′ < 1, temosprimeiramente que

∫Ω∫

Ω∩∣x−y∣≥1

∣u(x)∣2∣x − y∣n+2s

dydx ≤ ∫Ω∣u(x)∣2∫

∣z∣≥1

1

∣z∣n+2sdzdx ≤K(n, s)∥u∥2

L2(Ω).

Consequentemente, se levarmos em conta a estimativa acima, obtemos

∫Ω∫

Ω∩∣x−y∣≥1

∣u(x) − u(y)∣2∣x − y∣n+2s

dydx ≤ 2(∫Ω∫

Ω∩∣x−y∣≥1

∣u(x)∣2 + ∣u(y)∣2∣x − y∣n+2s

dydx)

≤ 2K(n, s)∥u∥2L2(Ω)

. (1.2)

Por outro lado,

∫Ω∫

Ω∩∣x−y∣<1

∣u(x) − u(y)∣2∣x − y∣n+2s

dydx ≤ ∫Ω∫

Ω

∣u(x) − u(y)∣2∣x − y∣n+2s′ dydx. (1.3)

Combinando (1.2) e (1.3) obtemos

∥u∥2Hs(Ω)

≤ (2K(n, s) + 1)∥u∥2L2(Ω)

+ ∫Ω∫

Ω

∣u(x) − u(y)∣2∣x − y∣n+2s′ dydx,

de onde segue o resultado, obtendo C = C(n, s) independente de Ω.

Para a inclusão no caso s′ = 1 pedimos mais sobre a fronteira do aberto Ω para que possamosestender as funções de H1(Ω) para H1(Rn).

Proposição 1.3.7. Sejam Ω ⊂ Rn aberto com fronteira Lipschitz, 0 < s < 1 e PΩ ∶ Hs(Ω) →Hs(Rn) operador de extensão contínuo. Então

∥u∥Hs(Ω) ≤ C∥u∥H1(Ω),

onde C = C(∥PΩ∥, s, n). Em particular, H1(Ω) ⊆Hs(Ω).

Demonstração. Como temos pela Proposição 1.3.5 que as funções C∞c (Ω) são densas em Hs(Ω),

para todo s > 0, podemos provar este resultado usando tais funções e a conclusão sai por densidade.Seja u ∈ C∞

c (Ω). Provamos em (1.2) que

∫Ω∫

Ω∩∣x−y∣≥1

∣u(x) − u(y)∣2∣x − y∣n+2s

dydx ≤ C1(n, s)∥u∥L2(Ω), (1.4)

onde tal constante independe do domínio.Por outro lado, como Ω possui fronteira Lipschitz, pelo Teorema 1.1.21 existe extensão contí-

nua PΩ tal que PΩu ∈H1(Rn), com

∥PΩu∥H1(Rn) ≤ ∥PΩ∥∥u∥H1(Ω). (1.5)

1.3 TEOREMA DO TRAÇO, DENSIDADE E IMERSÕES DE SOBOLEV 25

Sendo assim, obtemos, mudando variáveis e considerandoB1 a bola unitária centrada em zero,

∫Ω∫

Ω∩∣x−y∣<1

∣u(x) − u(y)∣2∣x − y∣n+2s

dydx ≤ ∫Rn∫B1

∣PΩu(x) − PΩu(z + x)∣2∣z∣n+2s

dzdx

= ∫Rn∫B1

∣PΩu(x) − PΩu(z + x)∣2∣z∣2

1

∣z∣n+(s−1)2dzdx.

Pelo Teorema do Valor Médio para Integrais, para 0 < t < 1,

∣PΩu(x) − PΩu(z + x)∣2∣z∣2

≤ ∣∇PΩu(x + tz)∣2 = (∫1

0∣∇PΩu(x + tz)∣dt)

2

.

Assim, ao voltarmos à integral anterior, aplicando a Desigualdade de Hölder e (1.5),

∫Ω∫

Ω∩∣x−y∣<1

∣u(x) − u(y)∣2∣x − y∣n+2s

dydx ≤ ∫Rn∫B1

∣PΩu(x) − PΩu(z + x)∣2∣z∣2

1

∣z∣n+(s−1)2dzdx

≤ ∫Rn∫B1

(∫1

0∣∇PΩu(x + tz)∣dt)

2 1

∣z∣n+(s−1)2dzdx

≤ ∫Rn∫B1∫

1

0

∣∇PΩu(x + tz)∣2∣z∣n+(s−1)2

dtdzdx

≤ ∫B1∫

1

0

∥∇PΩu∥2L2(Rn)

∣z∣n+(s−1)2dtdz ≤ C(s, n)∥∇PΩu∥2

L2(Rn)

≤ C(s, n)∥PΩu∥H1(Rn) ≤ C(s, n)∥PΩ∥∥u∥H1(Ω).

Consequentemente,

∫Ω∫

Ω∩∣x−y∣<1

∣u(x) − u(y)∣2∣x − y∣n+2s

dydx ≤ C2(s, n, ∥PΩ∥)∥u∥H1(Ω). (1.6)

Portanto, de (1.4) e (1.6),∥u∥Hs(Ω) ≤ C∥u∥H1(Ω),

onde C = C(∥PΩ∥, n, s).

Observação 1.3.8. Note que, na Proposição 1.3.7, a constante de imersão dos espaços dependede Ω devido ao operador de extensão contínuo.

Com estas proposições demonstradas, o próximo teorema segue quase diretamente.

Teorema 1.3.9. Considere Ω ⊂ Rn e seja s, s′ ≥ 0. Então, para cada ε > 0, se s < s′ segue que

∥u∥Hs(Ω) ≤ C∥u∥Hs′(Ω),

onde C = C(s, s′, n,Ω) > 0. Em particular, Hs′(Ω) ⊆Hs(Ω).

Demonstração. O caso 0 ≤ s < s′ ≤ 1 foi provado nas Proposições 1.3.6 e 1.3.7. Quando s′ > s > 1,escreva s = k + σ e s′ = k′ + σ′, onde k, k′ inteiros e σ,σ′ ∈ (0,1). Se k = k′ podemos usar aProposição 1.3.6 para concluir que Hs′(Ω) está imerso em Hs(Ω) continuamente. Por outro lado,se k′ ≥ k+1, usando novamente as Proposições 1.3.6 e 1.3.7 obtemos a seguinte cadeia de imersõescontínuas,

Hs′(Ω) =Hk′+σ′(Ω) ⊆Hk′(Ω) ⊆Hk+1(Ω) ⊆Hk+σ(Ω) =Hs(Ω),

26 PRELIMINARES 1.3

concluindo o teorema.

De forma geral, temos os seguintes teoremas gerais de imersão e imersão compacta de espaçosde Sobolev fracionários, que podem ser encontrados, por exemplo, em [Yagi, 2010, Cap 1, Seção11.6] e [Grisvard, 1985, Cap. 1, Seção 1.4.4].

Teorema 1.3.10. Sejam Ω = Rn,Rn+ ou um aberto limitado com fronteira Lipschitz de Rn, onde

Rn+ é o semiplano positivo. Seja 1 < p <∞ e 0 ≤ s <∞.

(a) Se 0 ≤ s < n/p, então W s,p(Ω) ⊆ Lr(Ω) com inclusão contínua, onde p ≤ r ≤ pn/(n − ps).

(b) Se s = n/p, então W n/p,p(Ω) ⊆ Lr(Ω) com inclusão contínua, onde r é qualquer número talque p ≤ r <∞.

(c) Se s > n/p, então

W s,p(Ω) ⊂⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

C(Rn)(resp. C(Rn+)), quando Ω = Rn(resp. Rn

+),C(Ω), quando Ω é limitado.

Quando Ω é limitado, tal imersão é contínua.

Teorema 1.3.11. Seja Ω ⊂ Rn um aberto limitado com fronteira Lipschitz. Para 1 < p <∞ e s > 0,a imersão i ∶W s,p(Ω)→ Lp(Ω) é compacta.

Teorema 1.3.12. São válidas as seguintes inclusões se Ω ⊂ Rn aberto com fronteira Lipschitz,1 < p, q <∞:

(a) W s,p(Ω) ⊆W t,q(Ω) para t ≤ s e p ≤ q tais que s − n/p = t − n/q; e

(b) W s,p(Ω) ⊂ Ck,α(Ω) para k < s−n/p < k+1, onde α = s−k−n/p e k um inteiro não-negativo.

Os teoremas de imersão de Sobolev desta seção podem ser adaptados para os espaços de Le-besgue e Sobolev-Bochner generalizados da Seção 1.2. Por exemplo, se s < s′ então temos queL2(Ω;Hs′(Yx)) ⊆ L2(Ω;Hs(Yx)) e

∥u∥L2(Ω;Hs(Yx)) ≤ C∥u∥L2(Ω;Hs′(Yx)).

Porém, para casos de imersão compacta necessitamos ter mais cuidado. Não é sempre verdadeque, se B0 ⊂ B com imersão compacta, então Lp(0,1;B0) ⊂ Lp(0,1;B) com imersão compacta(ver [Cioranescu e Donato, 1999, pg. 60]). Desta forma, o próximo resultado é importante e indicaa construção de um espaço onde tal propriedade de imersão compacta é mantida.

Proposição 1.3.13. Sejam B0 ⊂ B ⊂ B1 espaços de Banach tais que B0 e B1 são reflexivos.Suponha também que a imersão B0 ⊂ B é compacta. Se a, b ∈ R, defina

W = v; v ∈ Lp0(a, b;B0),∂v

∂x1

∈ Lp1(a, b;B1) ,

com 1 < p0 < p1 <∞. Então

(i) W é um espaço de Banach com a norma do gráfico definida por

∥v∥W = ∥v∥Lp0(a,b;B0) + ∥ ∂v∂x1

∥Lp1(a,b;B1)

;

1.4 TEORIA ABSTRATA SOBRE CONVERGÊNCIA COMPACTA DE OPERADORES 27

(ii) a imersão W ⊂ Lp0(a, b;B) é compacta.

Demonstração. Ver [Cioranescu e Donato, 1999, Proposição 3.57].

Corolário 1.3.14. SeQ = (0,1)×(0,1), então a imersãoH1(Q) ⊂ L2(0,1;Hs(0,1)) é compacta,para 0 < s < 1.

Demonstração. Sabendo, pelo Teorema 1.3.11, que H1(0,1) ⊂ L2(0,1) com imersão compacta.Assim, se tomarmos a = 0, b = 1, p0 = p1 = 2, B0 = H1(0,1), B1 = L2(0,1) e B = Hs(0,1)na notação de Proposição 1.3.13, então obtemos que W é um espaço de Banach com a norma dográfico definida por

∥v∥W = ∥v∥L2(0,1;H1(0,1)) + ∥ ∂v∂x1

∥L2(0,1;L2(0,1))

= ∥v∥H1(Q)

e, dessa forma, W é isométrico a H1(Q).Logo, usando a Proposição 1.3.13, obtemos que H1(Q) ⊂ L2(0,1;Hs(0,1)) com imersão

compacta.

1.4 Teoria abstrata sobre convergência compacta de operadores

Como mencionado anteriormente, nos Capítulos 3 e 4 estudaremos o comportamento assintó-tico das soluções de problemas elípticos com reações concentradas na fronteira. Para tanto, alémdas estimativas de integrais concentradas que serão obtidas no Capítulo 2, vamos utilizar as no-ções de E-convergência e convergência compacta. Notamos que tal noção se mostrou muito ade-quada na análise assintótica de uma vasta gama de problemas associados, por exemplo, a perturba-ção de contorno para EDPs (Arrieta e Bruschi [2007], Arrieta e Bruschi [2010], Aragão e Bruschi[2016], Aragão e Bruschi [2015]) e a EDPs definidas em domínios finos (Arrieta et al. [2006],Arrieta et al. [2011], Pereira [2016]), entre outros.

Nesta seção estabeleceremos uma notação que será utilizada no resto do trabalho e enuncia-remos os principais resultados relacionados a esse tipo de convergência. O objetivo será, ao final,ter a mão um método que nos levará à prova da semi-continuidade superior e inferior de uma fa-mília de soluções num contexto abstrato, problema que será retomado de forma mais concreta nasegunda parte da tese.

Aqui compilaremos alguns resultados que serão úteis posteriormente e estão provados emArrieta, Carvalho, e Lozada-Cruz [2006], Arrieta e Bruschi [2007], Carvalho [2012], Silva [2007]e Carvalho [2017]. Uma teoria mais geral pode ser encontrada em Carvalho e Piskarev [2006].

Considere Zεε uma família de espaços de Hilbert, 0 ≤ ε ≤ 1, e suponhamos que existe umafamília de operadores lineares limitados

Eε ∶ Z0 → Zε

com a seguinte propriedade:

∥Eεu∥Zε → ∥u∥Z0 ,∀u ∈ Z0, quando ε→ 0.

Pelo Princípio da Limitação Uniforme Generalizado, segue que existem ε0 < 1 e M > 0 taisque

supε∈[0,ε0]

∥Eε∥L(Z0,Zε) ≤M.

28 PRELIMINARES 1.4

(ver [Silva, 2007, pg 24] ou [Carvalho, 2017, pg 80]).

Com isso, podemos definir os seguintes conceitos.

Definição 1.4.1. Uma sequência uε, com uε ∈ Zε, é dita ser E-convergente a u ∈ Z0 se ∥uε −Eεu∥Zε

ε→0ÐÐ→ 0. Denotaremos tal convergência por uεEÐ→ u.

Definição 1.4.2. Uma sequência uε, com uε ∈ Zε, é dita ser fracamente E-convergente a u ∈Z0 se para qualquer sequência E-convergente a w temos (wε, uε)Zε → (u,w) quando ε → 0.Denotaremos tal convergência por uε

E u.

Estamos interessados em estudar o comportamento das soluções dos problemas semilineares.Para tanto, buscaremos provar o que será definido como semi-continuidade superior e inferior emrelação ao operador Eε.

Assim, dizemos que uma família de conjuntos Jε ⊂ Zε é

(i) semicontínua superiormente em ε = 0 se distH(Jε,EεJ0)ε→0ÐÐ→ 0,

(ii) semicontínua inferiormente em ε = 0 se distH(EεJ0, Jε)ε→0ÐÐ→ 0,

onde, se A,B ⊂ Zε, distH(A,B) é a semidistância de Hausdorff dada por

distH(A,B) = supx∈A

infy∈B

∥x − y∥Zε . (1.7)

Sabendo da definição acima, pode-se obter o seguinte Lema, que explicita convenientes condi-ções para a semi-continuidade e que será utilizado posteriormente.

Lema 1.4.3. (i) A família Jε é semicontínua superiormente em ε = 0 se toda sequência uε,com uε ∈ Jε e ε→ 0, possui uma subsequência E-convergente para um elemento de J0;

(ii) A família Jε é semicontínua inferiormente em ε = 0 se J0 é compacto e para todo u ∈ J0

existe uma sequência uε, com uε ∈ Jε e ε→ 0, tal que uεEÐ→ u.

Demonstração. Ver [Carvalho, 2012, Lema 1.2.2].

Começamos com proposições básicas lidando com E-convergência.

Proposição 1.4.4. Se ∥uε∥Zε ≤ K, u ∈ Z0 e para todo w ∈ Z0 vale (Eεw,uε)Zε → (w,u), entãouε

E u.

Demonstração. Ver [Arrieta e Bruschi, 2007, Proposição 3.1].

Proposição 1.4.5. Se uεE u e lim supε→0 ∥uε∥Zε ≤ ∥u∥Z0 então uε

EÐ→ u.


Agora vamos introduzir uma noção de compacidade entre os operadores usando esta conver-gência.

Definição 1.4.6. Uma sequência un, un ∈ Zεn com εn → 0, é E-relativamente compacta se paratoda subsequência un′ existem uma subsequência un′′ e um elemento u ∈ Z0 tais que un′′

EÐ→ u.Uma família é dita E-relativamente compacta se toda sequência un, un ∈ Xεn com εn → 0, éE-relativamente compacta.


Definição 1.4.7. Uma família de operadores lineares contínuos Tε, com Tε ∶ Zε → Zε, E-converge para T ∶ Z0 → Z0 quando ε → 0 se Tεuε

EÐ→ Tu para qualquer uεEÐ→ u. Denotaremos

por TεEEÐÐ→ T .

Finalmente, podemos definir uma noção de convergência compacta com os operadores.

Definição 1.4.8. Uma família de operadores compactos Tε, com Tε ∶ Zε → Zε, converge com-pactamente para T ∶ Z0 → Z0 quando ε → 0 se, para qualquer família uε com ∥uε∥Zε limitado,temos que Tεuε é E-relativamente compacta e Tε

EEÐÐ→ T . Denotaremos por TεCCÐÐ→ T .

Com essas definições temos o seguinte lema.

Lema 1.4.9. Se TεCCÐÐ→ T , então:

(a) existem ε0 > 0 e M > 0 tais que sup0<ε≤ε0 ∥Tε∥L(Zε) ≤M ;

(b) se N(I + T0) = 0, existem ε1 > 0 e C > 0 tais que N(I + Tε) = 0 para todo 0 < ε ≤ ε1 e

∥(I + Tε)−1∥L(Zε) ≤ C, ∀0 ≤ ε ≤ ε1.

Demonstração. Ver [Arrieta e Bruschi, 2007, Lema 3.1].

Além disso, o seguinte teorema será de suma importância posteriormente.

Teorema 1.4.10. Seja Tε ∶ Zε → Zε uma família de operadores compactos tal que TεCCÐÐ→ T0. Seja

uε ∈ Zε ponto fixo de Tε tal que ∥uε∥Zε é uniformemente limitado. Então existe subsequência, quetambém chamaremos uε, e u ∈ Z0 com u = T0u tal que uε

EÐ→ u.

Demonstração. Ver [Arrieta e Bruschi, 2007, Teorema 3.1].

Nas aplicações que serão vistas nos Capítulos 3 e 4, consideraremos tais Tε como as inversasde certos operadores diferenciais Aε ∶D(Aε) ⊂ Zε → Zε, ε ≥ 0.

Sendo assim, considere problemas semilineares da forma

Aεuε = Fε(uε) (1.8)

eA0u = F0(u) (1.9)

definidos em um espaço de Banach Zε, com o operador linear Aε ∶ D(Aε) ⊂ Zε → Zε e aplicaçãoFε ∶ Zε → Zε, tais que:

Hipótese 1.4.11. (i) Aε é fechado, densamente definido, com resolvente compacto e 0 ∈ ρ(Aε);

(ii) A−1ε

CCÐÐ→ A−10 ;

(iii) A−1ε Fε

CCÐÐ→ A−10 F0.

A técnica utilizada é primeiramente analisar tal operador através de propriedades de conver-gência das soluções dos problemas lineares dados por

Aεuε = f ε e A0u0 = f0,

30 PRELIMINARES 1.4

com certos f ε ∈ Zε e f0 ∈ Z0 (representada pela Hipótese 1.4.11(ii)). Feito isso, estabelecere-mos as propriedades de Fε necessárias para analisar a convergência, em certo sentido, de uε =A−1ε Fε(uε) dado em (1.8) (representada pela Hipótese 1.4.11(iii)).

A primeira proposição válida neste contexto, usando o Teorema 1.4.10, é a seguinte:

Proposição 1.4.12. Para qualquer sequência uε∗, uε∗ solução de (1.8), existe uma subsequência,que também denotaremos como uε∗, e u∗ solução de (1.9) tal que uε∗

EÐ→ u∗.

Demonstração. Ver [Arrieta e Bruschi, 2007, Corolário 5.2] ou [Arrieta et al., 2006, Proposição5.6].

Tal proposição nos leva à semi-continuidade superior das soluções. Porém, para o resultado“recíproco”, a semi-continuidade inferior, precisaremos de mais uma definição auxiliar:

Definição 1.4.13. Seja u∗ solução de (1.9). Dizemos que ela é hiperbólica se o espectro σ(A0 −F ′

0(u∗)) do operador linearizado A0 − F ′0(u∗) é disjunto do eixo imaginário.

Com isso, podemos enunciar:

Proposição 1.4.14. Para qualquer ponto de equilíbrio hiperbólico u∗ solução de (1.9), existesequência uε∗, uε∗ solução de (1.8), tal que uε∗

EÐ→ u∗.

Demonstração. Ver [Arrieta e Bruschi, 2007, Corolário 5.3] ou [Arrieta et al., 2006, Proposição5.7].

Note, porém, que o tipo de continuidade visto até agora não exclui a possibilidade de que,próximo a uma solução do limite, existam várias soluções diferentes do problema perturbado paracerto ε > 0. Nosso próximo passo agora é mostrar que, com mais algumas propriedades, é possívelobter uma certa unicidade dos pontos de equilíbrio.

Para tanto precisamos impor condições na não-linearidade Fε para garantir que, próxima a umasolução hiperbólica do problema limite (1.9), teremos uma, e apenas uma, solução da equaçãoperturbada (1.8). Isto é obtido ao analisarmos o problema linearizado em torno de uma solução eestabelecendo condições para F ′

ε. O problema linearizado em torno de uε∗ solução de (1.8) é dadopor

Aεvε = Fε(uε∗ + vε) − Fε(uε∗) − F ′

ε(uε∗)vε

Dessa forma, precisaremos que nosso problema satisfaça mais hipóteses:

Hipóteses 1.4.15. (i) Se uε∗, com uε∗ ∈ Zε, é família de soluções de (1.8) tais que uε∗EÐ→ u∗

então A−1ε F

′ε(uε∗)

CCÐÐ→ A−10 F

′0(u∗);

(ii) Dado uε∗ ∈ Zε solução de (1.8), existe K > 0 tal que, para todo vε ∈ H1(Ωε) com ∥vε∥Zε ≤ 1,vale

∥A−1ε Fε(uε∗ + vε) −A−1

ε Fε(uε∗) −A−1ε F

′ε(uε∗)vε∥Zε ≤K∥vε∥1+δ

Zε , para algum δ ∈ (0,1).

E com isso pode-se mostrar o seguinte resultado:

Proposição 1.4.16. Para qualquer ponto de equilíbrio hiperbólico u∗ solução de (1.9), existemη > 0 e ε0 > 0 tal que há um, e apenas um, equilíbrio uε∗ solução de (1.8) com ∥uε∗ −Eεu∗∥Zε ≤ η,para 0 < ε ≤ ε0.


Demonstração. Ver [Arrieta e Bruschi, 2007, Proposição 5.5] ou [Arrieta et al., 2006, Teorema5.8].

Logo, usando as Proposições 1.4.12, 1.4.14 e 1.4.16 prova-se a semicontinuidade superior einferior das soluções de (1.8) em ε = 0, além de um conceito de unicidade de solução do problemaperturbado quando analisada próxima à solução do problema limite (1.9). Tais resultados serãoretomados nos Capítulos 3 e 4.

CAPÍTULO 2

Integrais concentradas

Neste capítulo veremos com mais detalhes o comportamento de integrais da forma

1

εγ ∫θε∣u(x)∣qdx

para diferentes valores de q ≥ 2 e de conjuntos abertos θε ⊂ R2 da forma

θε = (x1, x2) ∈ R2; x1 ∈ (0,1),Gε(x1) − εγHε(x1) < x2 < Gε(x1),

onde γ > 0, Gε = G(x1, ε) e Hε = H(x1, ε) são funções reais cujas hipóteses serão estabelecidasa cada situação. Este termo será referido durante este trabalho como integral concentrada, por re-presentar o efeito de uma função quando analisada apenas em uma vizinhança da fronteira.

De maneira geral, um bom controle dessa integral será importante para a análise de modelosdefinidos em abertos de R2, que possuem um comportamento de “degeneração” ou “convergên-cia” a um domínio limite quando um parâmetro ε tende a zero, e tal que existem termos reagindoapenas em uma vizinhança de ordem εγ próxima da fronteira, com γ > 0, e que é descrita atravésde funções limitadas.

Sendo assim, na Seção 2.1 explicitaremos resultados sobre um domínio com fronteira Lips-chitz (usando a Definição 1.1.11), analisando espaços de Sobolev e Lebesgue-Bochner neste con-texto. Na Seção 2.2 estaremos interessados, primeiramente, em estimar as integrais concentradasna Subseção 2.2.1 e, depois, em analisar certos limites destas integrais, sob hipóteses adicionaisno domínio, durante a Subseção 2.2.2. Por último, na Seção 2.3 estudaremos as propriedades dafunção definida como uma integral concentrada, representando a reação na vizinhança da fronteira,e que será utilizada posteriormente como não-linearidade nos problemas elípticos.

2.1 Equivalência de normas em domínios não-regulares de R2

Nosso objetivo nesta seção será provar propriedades mais específicas dos espaços de Lebesguee Sobolev-Bochner já utilizando o contexto que nos interessa neste trabalho.

33

34 INTEGRAIS CONCENTRADAS 2.1

Dado ε ∈ (0,1) fixo, seja Ωε o aberto de R2 da forma

Ωε = (x1, x2) ∈ R2; 0 < x1 < 1,0 < x2 < G(x1, ε).

Chamaremos G(x1, ε) = Gε(x1). Sabendo válidas as imersões de Sobolev provadas na Seção1.3, explicitemos algumas propriedades que serão úteis mais adiante para este tipo de domínio.

Para tanto, considere:

Hipótese 1: G ∶ R × (0,1) → R é uma função positiva e uniformemente limitada, com 0 < G0 ≤G(x, ε) ≤ G1 para todo (x, ε) ∈ R × (0,1).

Vejamos primeiramente um lema de extensão unidimensional que nos ajudará a explicitar asconstantes envolvidas no cálculo da equivalência de normas entre as diferentes definições de espa-ços de Sobolev.

Lema 2.1.1. Fixados ε > 0 e x1 ∈ (0,1), se chamarmos Iε = (0,Gε(x1)), onde Gε(x1) = G(x1, ε),com G ∶ R × (0,1) → R satisfazendo a Hipótese 1, existe um operador contínuo linear P ∶L2(Iε) → L2(R) tal que Pu = u em Iε, com ∥Pu∥L2(R) ≤ λ0∥u∥L2(Iε), ∥Pu∥Hs(R) ≤ λs∥u∥Hs(Iε) e∥Pu∥H1(R) ≤ λ1∥u∥H1(Iε), para 0 < s < 1, onde λ0, λs, λ1 ≥ 1 independentes de ε > 0 e x1 ∈ (0,1).

Demonstração. Note que I0 ∶= (0,G0) ⊂ Iε, para todo ε > 0. Iremos construir o operador extensãopedido no enunciado primeiro estendendo de Iε até I = (0,G1) e depois de I até R. Começamosdividindo a primeira parte em dois casos.

Se 2G0 ≥ G1, defina Pε através de uma reflexão em y na fronteira como: dado ϕ ∈ L2(Iε),

(Pεϕ)(y) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

ϕ(y), se y ∈ Iε,ϕ(2Gε(x1) − y), se y ∈ I ∖ Iε.

Mostremos que, de fato, Pε está bem definido, isto é, que (2Gε(x1)−y) ∈ Iε se y ∈ I ∖ Iε. Comefeito, se y ∈ I ∖ Iε,

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

2Gε(x1) − y > 2Gε(x1) −G1 ≥ 2Gε(x1) − 2G0 > 0,

2Gε(x1) − y < 2Gε(x1) −Gε(x1) = Gε(x1).

Logo, (2Gε(x1) − y) ∈ Iε. Provemos agora a continuidade. Dado ϕ ∈H1(Iε),

∥Pεϕ∥2L2(I) = ∫

I∣Pεϕ∣2 = ∫

Iε∣Pεϕ∣2 + ∫

I∖Iε∣Pεϕ∣2 = ∫

Iε∣ϕ∣2 + ∫

G1

Gε(x1)∣ϕ(2Gε(x1) − y)∣2dy

= ∥ϕ∥2L2(Iε)

+ ∫Gε(x1)

2Gε(x1)−G1

∣ϕ(z)∣2dz ≤ ∥ϕ∥2L2(Iε)

+ ∫Gε(x1)

2G0−G1

∣ϕ(z)∣2dz ≤ 2∥ϕ∥2L2(Iε)

,

∥P ′εϕ∥2

L2(I) = ∫I∣∂Pεϕ∂y

∣2

= ∫Iε∣∂Pεϕ∂y

∣2

+ ∫I∖Iε

∣∂Pεϕ∂y

∣2

= ∫Iε∣∂ϕ∂y

∣2

+ ∫G1

Gε(x1)∣ ∂∂yϕ(2Gε(x1) − y)∣

2

dy

= ∥∂ϕ∂y

∥2

L2(Iε)

+ ∫G1

Gε(x1)∣−∂ϕ∂y

(2Gε(x1) − y)∣2

dy

≤ ∥∂ϕ∂y

∥2

L2(Iε)

+ ∫Gε(x1)

2G0−G1

∣∂ϕ∂y

(z)∣2

dz ≤ 2∥∂ϕ∂y

∥2

L2(Iε)

2.1 EQUIVALÊNCIA DE NORMAS EM DOMÍNIOS NÃO-REGULARES DE R2 35

e, para 0 < s < 1 temos

∥Pεϕ∥2Hs(I) = ∥Pεϕ∥2

L2(I) +∬I×I

∣Pεϕ(y1) − Pεϕ(y2)∣2∣y1 − y2∣1+2s

dy

≤ 2∥ϕ∥2L2(Iε)

+∬Iε×Iε

∣Pεϕ(y1) − Pεϕ(y2)∣2∣y1 − y2∣1+2s

dy +∬A

∣Pεϕ(y1) − Pεϕ(y2)∣2∣y1 − y2∣1+2s

dy

+∬B

∣Pεϕ(y1) − Pεϕ(y2)∣2∣y1 − y2∣1+2s

dy +∬C

∣Pεϕ(y1) − Pεϕ(y2)∣2∣y1 − y2∣1+2s

dy

≤ ∥ϕ∥2L2(Iε)

+ ∥ϕ∥2Hs(Iε)

+ I1 + I2 + I3,

onde

A = Gε(x1) < y1 < G1 × Gε(x1) < y2 < G1,B = Gε(x1) < y1 < G1 × 0 < y2 < Gε(x1),C = 0 < y1 < Gε(x1) × Gε(x1) < y2 < G1.

Analisando as integrais separadamente, obtemos, com a mudança de variáveis

z1 = 2Gε(x1) − y1 e z2 = 2Gε(x1) − y2

a seguinte integral:

∬A

∣Pεϕ(y1) − Pεϕ(y2)∣2∣y1 − y2∣1+2s

dy = ∫G1

Gε(x1)∫

G1

Gε(x1)

∣ϕ(2Gε(x1) − y1) − ϕ(2Gε(x1) − y2)∣2∣y1 − y2∣1+2s

dy

≤ 2∬Iε×Iε

∣ϕ(z1) − ϕ(z2)∣2∣z1 − z2∣1+2s

dz.

Por outro lado, se (y1, y2) ∈ B, então y2 < Gε(x1) e se chamarmos z1 = 2Gε(x1) − y1 obtemos

∬B

∣Pεϕ(y1) − Pεϕ(y2)∣2∣y1 − y2∣1+2s

dy = ∫G1

Gε(x1)∫

Gε(x1)

0

∣ϕ(2Gε(x1) − y1) − ϕ(y2)∣2∣y1 − y2∣1+2s

dy

=∬Iε×Iε

∣ϕ(z1) − ϕ(y2)∣2∣2Gε(x1) − z1 − y2∣1+2s

dy2dz1

≤ 3∬Iε×Iε

∣ϕ(z1) − ϕ(y2)∣2∣z1 − y2∣1+2s

dy2dz1,

pois

∣z1 − y2∣ = ∣2Gε(x1) − y1 − y2∣ = ∣y2 + y1 − 2Gε(x1)∣≤ ∣y2 − y1∣ + 2∣y1 −Gε(x1)∣ ≤ 3∣y1 − y2∣ = 3∣2Gε(x1) − z1 − y2∣.

E de forma análoga,

∬C

∣Pεϕ(y1) − Pεϕ(y2)∣2∣y1 − y2∣1+2s

dy ≤ 3∬Iε×Iε

∣ϕ(y1) − ϕ(z2)∣2∣y1 − z2∣1+2s

dz2dy1,

provando que∥Pεϕ∥Hs(I) ≤ C∥ϕ∥Hs(Iε).

Agora, se G1 > 2G0, precisamos primeiro estender a função inicial ϕ na direção de y negativo


para depois construir Pε de modo análogo ao caso anterior. Ou seja, se ϕ0 está definido em Iε, aestenderemos ao conjunto y ∈ R; −G0 < y < Gε(x1) como

ϕ1(y) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

ϕ0(y), se 0 < y < Gε(x1),ϕ0(−y), se −G0 < y ≤ 0.

Continuando este processo iterativamente, obtemos

ϕn(y) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

ϕn−1(y), se − (n − 1)G0 < y < Gε(x1),ϕn−1(−y − 2(n − 1)G0), se − nG0 < x2 ≤ −(n − 1)G0.

Dado ϕ0 ∈ H1(Iε), existe n suficientemente grande tal que nG0 > G1, e desta forma podemosconstruir ϕn e definir Pε como

(Pεϕ0)(y) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

ϕn(y), se y ∈ Iε,ϕn(2Gε(x1) − y), se y ∈ I ∖ Iε,

satisfazendo as condições requeridas. De fato, note que Pε está bem definido, pois se y ∈ Iε entãoPεϕ0(y) = ϕn(y) = ϕ0(y) e se y ∈ I ∖ Iε então Gε(x1) < y < G1 e, sabendo que nG0 > G1, segueque

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

2Gε(x1) − y < 2Gε(x1) −Gε(x1) = Gε(x1)2Gε(x1) − y > 2Gε(x1) −G1 > 2Gε(x1) − nG0 > −nG0

e, portanto, (2Gε(x1) − y) está no domínio de ϕn, mostrando que Pε está bem definida.Além disso, usando nG0 > G1 e a definição de ϕn, temos, se chamarmos Inε = (−nG0,G1),

∥Pεϕ0∥2L2(I) = ∫

I∣Pεϕ0∣2 = ∫

Iε∣Pεϕ0∣2 + ∫

I∖Iε∣Pεϕ0∣2

= ∫Iε∣ϕn∣p + ∫

G1

Gε(x1)∣ϕn(x1,2gε(x1) − y)∣2dy ≤ ∫

Iε∣ϕn∣2 + ∫

Gε(x1)

2Gε(x)−G1

∣ϕn(y)∣2dy

≤ 2∥ϕn∥2L2(Inε )

≤ 2(n + 1)∥ϕ0∥2L2(Iε)

,

e os outros resultados em Hs(I) e H1(I) seguem de forma análoga.Podemos, novamente refletindo valores, estender o domínio de Pε para funções definidas

(−nG0,2G1) se nG0 > G1, para algum n. Desta forma, podemos definir a extensão para todaa reta real. Sendo assim, para u ∈ H1(Iε), seja ψ ∈ C∞

c (R) tal que I ⊂ supp(ψ), com ψ = 1 em I ,ψ = 0 em R ∖ (−G0,G1 +G0), e defina

Pu = ψPε(u).

Assim, este operador satisfaz as propriedades do enunciado pois herdará propriedades de Pε.

Agora explicitaremos a relação das normas deHs(0,Gε(x1)), Hs(0,Gε(x1)) eHs[](0,Gε(x1))

para x1 ∈ (0,1) e ε > 0 fixados.

Teorema 2.1.2. Seja Iε = (0,Gε(x1)), com ε > 0, x1 ∈ (0,1) e 1/2 < s ≤ 1 fixados, onde G ∶R × (0,1) → R, Gε(x) = G(x, ε), satisfaz a Hipótese 1. Então existem constantes C1,C2 > 0independentes de ε > 0 e x1 ∈ (0,1) tais que

C1∥v∥Hs(Iε) ≤ ∥v∥Hs[](Iε)

≤ C2∥v∥Hs(Iε),∀v ∈Hs(Iε).


Demonstração. Dado v ∈Hs(Iε), pelo Corolário 1.1.23 já provado

K−1∥v∥Hs(Iε) ≤ ∥v∥Hs(Iε) ≤K∥P ∥L(Hs(Iε),Hs(R))∥v∥Hs(Iε)

onde K, ∥P ∥L(Hs(Iε),Hs(R)) independem de ε. Analogamente, pelo Teorema 1.1.26, se usarmos oLema 2.1.1 e sua notação, obtemos que

λs−10 λ−s1 ∥v∥Hs(Iε) ≤ ∥v∥Hθ

[](Iε)≤ ∥v∥Hs(Iε),

onde λ0, λ1 independem de ε pela construção de P .Assim, juntando estas informações temos que

λs−10 λ−s1 K

−1∥v∥Hs(Iε) ≤ λs−10 λ−s1 ∥v∥Hs(Iε) ≤ ∥v∥Hθ

[](Iε)

≤ ∥v∥Hs(Iε) ≤K∥P ∥L(Hs(Iε),Hs(R))∥v∥Hs(Iε)

concluindo o resultado para C1 = λs−10 λ−s1 K

−1 e C2 =K∥P ∥L(Hs(Iε),Hs(R)).

Consequentemente, podemos enunciar novas propriedades dos espaços de Lebesgue e Sobolev-generalizados em Ωε utilizando de alguma forma as normas equivalentes dos espaços de SobolevHs(Iε), já que elas se relacionam através de constantes que independem de ε. Um exemplo é dadoa seguir.

Proposição 2.1.3. Se G ∶ R× (0,1)→ R, Gε(x) = G(x, ε), satisfaz a Hipótese 1, então H1(Ωε) ⊆L2(0,1;Hs(0,Gε(x1))), para 0 ≤ s ≤ 1, com constante de inclusão independente de ε.

Demonstração. Para cada x1 ∈ (0,1) e ε > 0 fixados, sabemos pelo Teorema 2.1.2 que

∥u(x1, ⋅)∥Hs(0,Gε(x1)) ≤ C∥u(x1, ⋅)∥Hs[](0,Gε(x1)),

onde C > 0 independe de ε > 0 e de x1 ∈ (0,1).Assim, pela Proposição 1.1.7(c),

∥u(x1, ⋅)∥Hs(0,Gε(x1)) ≤ C∥u(x1, ⋅)∥1−sL2(0,Gε(x1))

∥u(x1, ⋅)∥sH1(0,Gε(x1))

Aplicando o Teorema 1.3.6, obtemos

∥u(x1, ⋅)∥Hs(0,Gε(x1)) ≤ C∥u(x1, ⋅)∥1−sHs(0,Gε(x1))

∥u(x1, ⋅)∥sH1(0,Gε(x1)),

seguindo que∥u(x1, ⋅)∥sHs(0,Gε(x1))

≤ C∥u(x1, ⋅)∥sH1(0,Gε(x1)).

Consequentemente, ao integrarmos obtemos,

∥u∥2L2(0,1;Hs(0,Gε(x1)))

= ∫1

0∥u(x1, ⋅)∥2

Hs(0,Gε(x1))dx1 ≤ C ∫

1

0∥u(x1, ⋅)∥2

H1(0,Gε(x1))dx1

= C∥u∥2L2(0,1;H1(0,Gε(x1)))

≤ C∥u∥2H1(Ωε)

,


Uma pergunta relevante seria se a inclusão provada na Proposição 2.1.3 seria compacta. Paratal situação ocorrer, precisaremos de mais hipóteses sobre o domínio, como veremos a seguir.


Proposição 2.1.4. Suponha G ∶ R × (0,1) → R, Gε(x) = G(x, ε), satisfazendo a Hipótese 1 e∣G′

ε(x)∣ ≤ C, para todo x ∈ R. Se 1/2 < s < 1, então H1(Ωε) ⊆ L2(0,1;Hs(0,Gε(x1))) comimersão compacta.

Demonstração. Primeiramente, seja Q = (0,1) × (0,1). Se definirmos

φε ∶ Q→ Ωε

(x, y)↦ (x1, x2) = φε(x, y) ∶= (x, yGε(x))

temos que φε é injetora, de classe C1, com

Jφε = ( 1 0yG′

ε(x) Gε(x))

e G0 ≤ det(Jφε) = Gε(x) ≤ G1. Note que, assim, φε é um difeomorfismo sobre sua imagem e suainversa está bem definida, com

φ−1ε ∶ Ωε Ð→ Q

(x1,x2)↦ (x, y) = φ−1ε (x1, x2) ∶= (x1, x2/Gε(x1)).

Com isso, ao considerar

Φε ∶ H1(Ωε)→H1(Q)u↦ Φε(u) ∶= u φε

temos que∥Φε(u)∥H1(Q) ≤ C∥u∥H1(Ωε), (2.1)

com constante C > 0 independente de ε > 0. De fato, fazendo a mudança de coordenadas conveni-ente e usando φ−1

ε ,

∥Φε(u)∥2L2(Q)

= ∫1

0∫

1

0∣u(x, yGε(x))∣2dydx

= ∫1

0∫

Gε(x1)

0∣u(x1, x2)∣2

1

Gε(x1)dx2dx1 ≤

1

G0

∥u∥2L2(Ωε)

.

Além disso,

∥∂Φε(u)∂x

∥2

L2(Q)

= ∫1

0∫

1

0∣ ∂u∂x1

(x, yGε(x)) + yG′ε(x)

∂u

∂x2

(x, yGε(x))∣2

dydx

≤ ∫1

0∫

Gε(x1)

0

2

Gε(x1)∣ ∂u∂x1

(x1, x2)∣2

dx2dx1 + ∫1

0∫

Gε(x1)

0

2G′ε(x1)2

Gε(x1)∣ ∂u∂x2

(x1, x2)∣2

dx2dx1

≤ C0 ∥∂u

∂x1

∥2

L2(Ωε)

+C1 ∥∂u

∂x2

∥2

L2(Ωε)

e

∥∂Φε(u)∂y

∥2

L2(Q)

= ∫1

0∫

1

0∣ ∂u∂x2

(x, yGε(x))Gε(x1)∣2

dydx

= ∫1

0∫

Gε(x1)

0∣ ∂u∂x2

(x1, x2)∣2 G2

ε(x1)Gε(x1)

dx2dx1 ≤ G1 ∥∂u

∂x2

∥2

L2(Ωε)

,


provando a desigualdade (2.1).

Por outro lado, se considerarmos

Ψε ∶ L2(0,1;Hs(0,1))→ L2(0,1;Hs(0,Gε(x1)))u↦ Ψε(u) ∶= u φ−1

ε

temos que, para todo 1/2 < s < 1,

∥Ψε(u)∥L2(0,1;Hs(0,Gε(x1))) ≤K∥u∥L2(0,1;Hs(0,1)), (2.2)

com constante K > 0 independente de ε > 0. Com efeito, para 1/2 < s < 1, fazendo a mudança decoordenadas conveniente e usando φε

∥Ψε(u)∥2L2(0,1;Hs(0,Gε(x)))

= ∫1

0∫

Gε(x1)

0∣u(x1, x2/Gε(x1))∣2dx2dx1+

+ ∫1

0[∫

Gε(x1)

0∫

Gε(x1)

0

∣u(x1, z1/Gε(x1)) − u(x1, z1/Gε(x1))∣2∣z1 − z2∣1+2s

dz1dz2]dx1

= ∫1

0∫

1

0∣u(x, y)∣2Gε(x)dydx + ∫

1

0[∫

1

0∫

1

0

∣u(x,w1) − u(x1,w2)∣2∣Gε(x)(w1 −w2)∣1+2s

Gε(x)dw1dw2]dx1

≤ G1∥u∥2L2(Q)

+ 1

G2s0∫

1

0[∫

1

0∫

1

0

∣u(x,w1) − u(x1,w2)∣2∣w1 −w2∣1+2s

dw1dw2]dx1 ≤K∥u∥2L2(0,1;Hs(0,1)),

Agora, para s = 1, de forma análoga obtemos

∥Ψε(u)∥2L2(0,1;H1(0,Gε(x)))

= ∫1

0∫

Gε(x1)

0∣u(x1, x2/Gε(x1))∣2dx2dx1+

+ ∫1

0∫

Gε(x1)

0∣∂u∂y

(x1, x2/Gε(x1))1

Gε(x1)∣2

dx2dx1

= ∫1

0∫

1

0∣u(x, y)∣2Gε(x)dydx + ∫

1

0∫

1

0∣∂u∂y

(x, y)∣2 1

Gε(x1)dydx

≤ G1∥u∥2L2(Q)

+ 1

G0

∥∂u∂y

∥2

L2(Q)

≤K∥u∥2L2(0,1;H1(0,1)),

como queríamos demonstrar.

Pelo Corolário 1.3.14 temos que a inclusão

H1(Q) L2(0,1;Hs(0,1))

é compacta. Porém, note que

H1(Ωε)Φε H1(Q) L2(0,1;Hs(0,1)) Ψε L2(0,1;Hs(0,Gε(x1))),

onde as aplicações definidas por Φε e Ψε possuem constantes que independem de ε, como vistoem (2.1) e (2.2).

Portanto, compondo as aplicações,H1(Ωε) ⊆ L2(0,1;Hs(0,Gε(x1))) com imersão compacta,para 1/2 < s < 1, concluindo a demonstração.


Agora, considere:

Hipótese 2: O aberto Ωε admite operador de extensão contínuo Pε ∶ L2(Ωε) → L2(U), onde ofecho de Ωε está contido em U para todo ε > 0, com U = U1 ×U2, tal que

∥Pεuε∥H1(U) ≤ C0∥uε∥H1(Ωε),

∥Pεuε∥L2(U1;Hs(U2)) ≤ Cs∥uε∥L2(0,1;Hs(0,Gε(x))),

∥Pεuε∥L2(U) ≤ C1∥uε∥L2(Ωε),

onde C0,Cs,C1 > 0 independem de ε > 0.

Observação 2.1.5. Note que, se G satisfaz a Hipótese 1 e ∣G′ε(x)∣ ≤ C para todo x ∈ R, onde

C independe de ε > 0, então o aberto Ωε satisfaz a Hipótese 2. Para tanto, veja os operadoresde extensão definidos em [Arrieta et al., 2011, Lema 3.1] e [McLean, 2000, Apêndice A], que sãoobtidos por construções análogas a realizada na prova do Lema 2.1.1.

Sobre a equivalência das normas entre as definições de espaço de Sobolev temos novamente:

Teorema 2.1.6. Seja Ωε ⊂ R2, com ε > 0, onde G ∶ R × (0,1) → R, Gε(x) = G(x, ε), satisfaz asHipóteses 1 e 2. Então existem constantes C1,C2 > 0 independentes de ε tal que

C1∥v∥Hs(Ωε) ≤ ∥v∥Hs[](Ωε)

≤ C2∥v∥Hs(Ωε),∀v ∈Hs(Ωε)

Demonstração. Análogo à demonstração do Teorema 2.1.2.

Além disso, outras propriedades referentes aos espaços de Lebesgue e Sobolev-Bochner gene-ralizados podem ser provadas.

Proposição 2.1.7. Suponha Ωε ⊂ R2 satisfazendo as Hipóteses 1 e 2. Então são válidas as seguin-tes inclusões, com constantes de imersão que independem de ε:

(a) H1(Ωε) ⊂ L∞(0,1;L2(0,Gε(x)));

(b) dado q ≥ 2, temos H1(Ωε) ⊂ Lq(0,1;Hs(0,Gε(x))), onde s = 2/q;

(c) H1(Ωε) ⊂ Lq(Ωε), para 1 ≤ q ≤ 6.

Demonstração. (a) Fixado x1 ∈ (0,1), usando o operador de extensão da Hipótese 2 temos que

∥u(x1, ⋅)∥L2(0,Gε(x1)) ≤ ∥Pεu(x1, ⋅)∥L2(0,G1).

Consequentemente,

∥u∥L∞(0,1;L2(0,Gε(x1))) ≤ ∥Pεu∥L∞(0,1;L2(0,G1)). (2.3)

Ao usarmos [Cazenave e Haraux, 1998, Corolário 1.4.36], temos que

∥Pεu∥L∞(0,1;L2(0,G1)) ≤ C∥Pεu∥H1(0,1;L2(0,G1)) ≤ C∥Pεu∥H1(U). (2.4)

Logo, usando (2.4) em (2.3) e a continuidade do operador de extensão ∥Pε∥ independe de ε,temos que

∥u∥L∞(0,1;L2(0,Gε(x1))) ≤ C∥Pεu∥H1(U) ≤ CC1∥u∥H1(Ωε),



(b) Primeiramente, seja q ≥ 2 e defina s = 2/q, 0 < s ≤ 1. Para cada x1 ∈ (0,1) fixo, temosnovamente pelo Teorema 2.1.2 e Proposição 1.1.7(c) que existe C > 0 independente de ε e x1

tal que

∥u(x1, ⋅)∥Hs(0,Gε(x1)) ≤ C∥u(x1, ⋅)∥Hs[](0,Gε(x1)) ≤ C∥u(x1, ⋅)∥1−s

L2(0,Gε(x1))∥u(x1, ⋅)∥sH1(0,Gε(x1))

.

Temos que H1(Ωε) ⊂ L∞(0,1;L2(0,Gε(x1))) pelo item (a). Consequentemente,

∥u(x1, ⋅)∥Hs(0,Gε(x1)) ≤ C∥u∥1−sH1(Ωε)

∥u(x1, ⋅)∥sH1(0,Gε(x1)).

Pela Proposição 2.1.3, H1(Ωε) ⊂ L2(0,1;H1(0,Gε(x1))) e, então,

∥u∥qLq(0,1;Hs(0,Gε(x1)))

= ∫1

0∥u(x1, ⋅)∥2/s

Hs(0,Gε(x1))dx1

≤ ∫1

0(C∥u∥1−s

H1(Ωε)∥u(x1, ⋅)∥sH1(0,Gε(x1))

)2/sdx1

≤ C2/s∥u∥2(1−s)/s

H1(Ωε) ∫1

0∥u(x1, ⋅)∥2

H1(0,Gε(x1))dx1

≤ C2/s∥u∥2(1−s)/s

H1(Ωε)∥u∥2

H1(Ωε)= C2/s∥u∥2/s

H1(Ωε)= Cq∥u∥q

H1(Ωε).

(c) Pelo item anterior, temos que H1(Ωε) ⊆ Lq(0,1;H2/q(0,Gε(x1))) para q ≥ 2. Sabendo queLq(Ωε) = Lq(0,1;Lq(0,Gε(x1))) isometricamente, basta provar que, para cada x1 ∈ (0,1) eε > 0 fixos,

H2/q(0,Gε(x1)) ⊆ Lq(0,Gε(x1)),

com constante de imersão independente de x1, ε.

Se 1 ≤ q ≤ 2, então teríamos que provar que H1(0,Gε(x1)) ⊆ L2(0,Gε(x1)), o que seguedireto da definição dos espaços.

Por outro lado, se 2 < q ≤ 4, então 1/2 ≤ 2/q < 1. Pelos Teoremas 1.3.9 e 1.3.10(b), temosque,

H2/q(R) ⊆H1/2(R) ⊆ Lr(R), ∀r ≥ 2.

Em particular a inclusão acima vale para r = q, com 2 ≤ q ≤ 4. Além disso, pelo Lema2.1.1, existe operador contínuo de extensão P ∶ Hs(0,Gε(x1)) → Hs(R), com constanteindependente de ε, x1 para qualquer 1/2 < s < 1. Logo,

∥u(x1, ⋅)∥Lq(0,Gε(x1)) ≤ ∥Pu(x1, ⋅)∥Lq(R) ≤ C∥Pu(x1, ⋅)∥H1/2(R)

≤ C∥Pu(x1, ⋅)∥H2/q(R) ≤ C∥P ∥∥u(x1, ⋅)∥H2/q(0,Gε(x1)).

Finalmente, se 4 < q ≤ 6 então 1/3 ≤ 2/q < 1/2. Pelos Teoremas 1.3.9 e 1.3.10(a), temos que,

H2/q(R) ⊆ Lr(R), ∀2 ≤ r ≤ 2

1 − 2s.

Notando que q = 2

s≤ 2

1 − 2s, temos

H2/q(R) ⊆ Lq(R).


De forma análoga ao feito no caso anterior, usando o operador de extensão, prova-se o resul-tado.

2.2 Integrais concentradas

Um ponto chave para o melhor entendimento do problema proposto é saber como se compor-tam as funções quando concentradas numa vizinhança oscilatória da fronteira. Para tanto, necessi-tamos encontrar relações entre tais integrais concentradas e normas definidas no espaço todo, paracada ε > 0. Veremos que a constante 1/εγ , fator que aparece multiplicado às funções concentradasna vizinhança de espessura εγ , terá um papel importante no controle destas integrais.

2.2.1 Para ε > 0 fixo

Considere os domínios, para ε > 0, dados por

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Ωε = (x1, x2) ∈ R2; 0 < x1 < 1, 0 < x2 < G(x1, ε)θε = (x1, x2) ∈ R2; 0 < x1 < 1, G(x1, ε) − εγH(x1, ε) < x2 < G(x1, ε)

onde γ > 0, G,H ∶ R × (0,1)→ R são funções positivas.Utilizando esta notação, obtemos os importantes lemas, que serão usados durante todo o tra-

balho:

Lema 2.2.1. SuponhaG,H ∶ R×(0,1)→ R satisfazendo a Hipótese 1. Para ε0 > 0 suficientementepequeno, existe constante C > 0, independente de ε ∈ (0, ε0) e de uε ∈ H1(Ωε), tal que, para todo1/2 < s ≤ 1, 0 < ε < ε0, vale

1

εγ ∫θε∣uε∣2 ≤ C∥uε∥2

L2(0,1;Hs(0,Gε(x1))),

1

εγ ∫θε∣uε∣2 ≤ C (∥uε∥2

Hs(Ωε)+ ∥∂u

ε

∂x2

∥2

L2(Ωε)

) ,

e1

εγ ∫θε∣uε∣q ≤ C∥uε∥q

Lq(0,1;Hs(0,Gε(x1))),∀q ≥ 1.

Em particular,1

εγ ∫θε∣u∣2 ≤ C∥u∥2

H1(Ωε).

Demonstração. Para u ∈ H1(Ωε), fixe x1 ∈ (0,1) e, assim, temos que u(x1, ⋅) ∈ H1(0,Gε(x1))quase sempre. Defina

z∗ ∶= G0 − εγ0H1 e zε ∶= Gε(x1) − εγHε(x1)

para ε0 > 0 suficientemente pequeno de modo que, para todo ε < ε0, vale

[zε − z∗, zε] ⊂ [0,Gε(x1)].

Veja Figura 2.1 para um melhor entendimento do contexto. A busca de z∗ ocorre para transferira análise de um domínio que varia para um intervalo fixo, fazendo com que as constantes obtidassejam uniformes em ε, como veremos a seguir.

2.2 INTEGRAIS CONCENTRADAS 43

Figura 2.1: Fixado x1 ∈ (0,1), ε > 0, obtemos a seguinte fibra, para ε < ε0.

Usando o Teorema do Traço 1.3.2 para n = 1 segue que, para (Gε(x1) − εγHε(x1)) < x2 <Gε(x1) e 1/2 < s ≤ 1, existe K > 0 independente de ε > 0 tal que

∣u(x1, x2)∣ ≤K∥u(x1, ⋅)∥Hs(0,Gε(x1)). (2.5)

Note que tal constante K > 0 obtida independe de ε e de x1 fixados, já que o intervalo onde talteorema foi aplicado é fixo e independente destas variáveis. Além disso, também independe de x2

usando a Observação 1.3.3.

Sendo assim, usando (2.5),

1

εγ ∫θε∣u∣2 = ∫

1

0

1

εγ ∫Gε(x1)

Gε(x1)−εγHε(x1)∣u(x1, x2)∣2dx2dx1

≤ ∫1

0

1

εγ ∫Gε(x1)

Gε(x1)−εγHε(x1)K2∥u(x1, ⋅)∥2

Hs(0,Gε(x1))dx2dx1

≤K2H1∫1

0∥u(x1, ⋅)∥2

Hs(0,Gε(x1))dx1 = C1∥u∥2

L2(0,1;Hs(0,Gε(x1))),

onde C2 independe de ε, concluindo a primeira desigualdade.

Consequentemente, usando a mesma ideia anterior, ao elevar a integral a q ≥ 2 segue, por (2.5),

1

εγ ∫θε∣u∣q ≤ C2∫

1

0∥u(x1, ⋅)∥qHs(0,Gε(x1))

dx1 = C2∥u∥qLq(0,1;Hs(0,Gε(x1))),

mostrando a última desigualdade.

Por outro lado, temos pelo Teorema 1.3.5 que C∞(Ωε) é denso em H1(Ωε). Logo, podemostomar u ∈ C∞(Ωε) e depois argumentar por densidade. Sendo assim, fixado x1 ∈ (0,1) temos que,pelo Teorema Fundamental do Cálculo, vale

u(x1, x2) = u(x1,0) + ∫x2

0

∂u

∂x2

(x1, s)ds.


Assim,

∣u(x1, x2)∣2 ≤ 2∣u(x1,0)∣2 + 2 ∣∫x2

0

∂u

∂x2

(x1, s)ds∣2

≤ 2∣u(x1,0)∣2 + 2

⎡⎢⎢⎢⎢⎣(∫

x2

0∣ ∂u∂x2

(x1, s)∣2

ds)1/2

(∫x2

012ds)

1/2⎤⎥⎥⎥⎥⎦

2

≤ 2∣u(x1,0)∣2 + 2x2∫x2

0∣ ∂u∂x2

(x1, s)∣2

ds

≤ 2∣u(x1,0)∣2 + 2Gε(x1)∫x2

0∣ ∂u∂x2

(x1, s)∣2

ds.

Segue que

∫Gε(x1)

Gε(x1)−εγHε(x1)∣u(x1, x2)∣2dx2 ≤ 2∫

Gε(x1)

Gε(x1)−εγHε(x1)∣u(x1,0)∣2dx2

+ 2Gε(x1)∫Gε(x1)

Gε(x1)−εγHε(x1)(∫

x2

0∣ ∂u∂x2

(x1, s)∣2

ds)dx2

≤ 2εγHε(x1)∣u(x1,0)∣2 + 2Gε(x1)εγHε(x1)∫Gε(x1)

0∣ ∂u∂x2

(x1, x2)∣2

dx2

≤ 2εγH1∣u(x1,0)∣2 + 2G1εγH1∫

Gε(x1)

0∣ ∂u∂x2

(x1, x2)∣2

dx2.

Consequentemente, se γ(u) é o traço da função u,

1

εγ ∫θε∣u∣2 = 1

εγ ∫1

0∫

Gε(x1)

Gε(x1)−εγHε(x1)∣u(x1, x2)∣2dx2dx1

≤ 2H1∫1

0∣u(x1,0)∣2dx1 + 2G1H1∫

1

0∫

Gε(x1)

0∣ ∂u∂x2

(x1, x2)∣2

dx2dx1

≤ 2H1 (∥γ(u)∥2L2(0,1) +G1 ∥

∂u

∂x2

∥2

L2(Ωε)

) .

Pelo Teorema do Traço dado pelo Corolário 1.3.2, se Ω0 = (0,1) × (0,G0) independente de ε,com Ω0 ⊂ Ωε, existe constante c > 0 tal que ∥γ(u)∥L2(0,1) ≤ c∥u∥Hs(Ω0), para 1/2 < s ≤ 1. Assim,voltando à desigualdade anterior, obtemos

1

εγ ∫θε∣u∣2 ≤ 2H1 (c∥u∥2

Hs(Ω0)+G1 ∥

∂u

∂x2

∥2

L2(Ωε)

) ≤ C1 (∥u∥2Hs(Ωε)

+ ∥ ∂u∂x2

∥2

L2(Ωε)

) ,

com C1 independente de ε. Finalmente, a última afirmação segue utilizando a desigualdade acima,pois

1

εγ ∫θε∣u∣2 ≤ C1 (∥u∥2

Hs(Ω0)+ ∥ ∂u

∂x2

∥2

L2(Ωε)

) ≤ C∥u∥2H1(Ωε)

,

ou equivalentemente usando a Proposição 2.1.3 a partir da primeira desigualdade obtida, con-cluindo o lema.

Lema 2.2.2. SejamG,H satisfazendo a Hipótese 1 e Ωε ⊂ R2 satisfazendo a Hipótese 2. Para ε0 >0 suficientemente pequeno, existe constante C > 0, independente de ε ∈ (0, ε0) e de uε ∈ H1(Ωε),


tal que, para todo 2 ≤ q < 4, 0 < ε < ε0, vale

1

εγ ∫θε∣uε∣q ≤ C∥uε∥q

H1(Ωε), 2 ≤ q < 4.

Demonstração. Usando (2.5), da demonstração do Lema 2.2.1, obtemos que

∣u(x1, x2)∣ ≤K∥u(x1, ⋅)∥Hs(0,Gε(x1)),

onde K > 0 independe de ε > 0 e x1 ∈ (0,1).Consequentemente, tomando q = 2/s, comoH1(Ωε) ⊂ Lq(0,1;Hs(0,Gε(x1))) continuamente

para 1/2 < s ≤ 1 com constante independente de ε pela Proposição 2.1.7(b), segue que

1

εγ ∫θε∣u∣q ≤Kq ∫

1

0∥u(x1, ⋅)∥qHs(0,Gε(x1))

dx1

=Kq∥u∥qLq(0,1;Hs(0,Gε(x1)))

≤ C∥u∥qH1(Ωε)

,

provando a desigualdade.

2.2.2 Comportamento no limite ε→ 0

Após estimarmos as integrais concentradas para um ε > 0 dado, o próximo passo será lidar como comportamento das mesmas quando passamos o limite para ε → 0. Para tanto, necessitaremossupor mais hipóteses sobre as funções G e H que definem a vizinhança oscilante onde estudamostais reações.

Novamente em R2 com os abertos

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩


onde γ > 0, G,H ∶ R × (0,1)→ R, e chamaremos G(x, ε) = Gε(x) e H(x, ε) =Hε(x).

Considere também o aberto dado por

Ω = (x1, x2) ∈ R2; 0 < x1 < 1,0 < x2 <m(x1)

tal que sua fronteira superior seja dada como

Γ = (x1, x2) ∈ R2; 0 < x1 < 1, x2 =m(x1),

onde m ∶ (0,1)→ R é uma função contínua.Além disso, considere

Hipótese 3:

(i) a função Gε converge uniformemente a m, onde m ∶ (0,1) → R é uma função ao menosLipschitz, com derivada (que existe em quase todo ponto) limitada, de modo que Gε(x1) →m(x1) quando ε→ 0, para todo x1 ∈ (0,1);

(ii) a função Hε(⋅) converge fraco-estrela em L∞(0,1) a uma função que representaremos porµh;


Observação 2.2.3. Uma expressão natural para H é ser da forma Hε(x1) = h(x1/εβ), ondeh ∶ R → R é uma função limitada e de período Lh. Com estas hipóteses, podemos usar o Teoremada convergência à média (ver [Cioranescu e Donato, 1999, Teorema 2.6]) e obter

Hε µh =1

Lh∫

Lh

0h(s)ds fraco* em L∞(0,1).

Definição 2.2.4. Se as funções que definem o par Ωε, θε de abertos de R2 satisfazem as Hipóte-ses 1, 2 e 3 chamaremos de conjunto admissível.

Com isso, podemos provar os seguintes resultados. Note que eles evidenciam um comporta-mento do tipo “traço” às funções, ou ainda, que as integrais convergem à integrais na fronteiraquando fazemos o limite de ε a zero.

Proposição 2.2.5. Seja Ωε, θε um conjunto admissível. Se u,ϕ ∈H1(U), então

1

εγ ∫θεu(x1, x2)ϕ(x1, x2)dx2dx1 Ð→ ∫

Γµγ(u)γ(ϕ)dS,


µ(x1) =µh√

1 +m′(x1)2.

Além disso, a função µ independe da parametrização escolhida em Γ e, assim, é única.

Demonstração. Dado η > 0, queremos provar que existe ε0 > 0 tal que, para ε < ε0,

∣ 1

εγ ∫θεuϕdx − ∫

Γµγ(u)γ(ϕ)dS∣ < η.

Como sabe-se que o conjunto

C∞c (U) ∶= u ∈ C∞(U); u = v∣U , com v ∈ C∞

c (R2)

é denso em H1(U), dados u,ϕ ∈H1(U) existem sequências uν,ϕν em C∞c (U) tais que

∥uν − u∥H1(U) → 0 e ∥ϕν − ϕ∥H1(U) → 0 quando ν → 0.

Note que, como as sequências uν,ϕν são convergentes, existem constantes C,Cϕ > 0independentes de ε > 0 tais que ∥uν∥H1(U) ≤ C, ∥ϕν∥H1(U) ≤ Cϕ.

Dessa forma, dado η > 0, existe ν0 > 0 tal que, para todo ν < ν0, temos que

∥uν − u∥H1(U) ≤η

6K1

e ∥ϕν − ϕ∥H1(U) ≤η

6K2

, (2.6)

onde ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

K1 = maxC2Cϕ, ∥µ∥L∞(0,1)∥γ∥2CϕK2 = maxC2∥u∥H1(U), ∥µ∥L∞(0,1)∥γ∥2∥u∥H1(U),

com C > 0 sendo a constante dada no Lema das Integrais Concentradas 2.2.1 e ∥γ∥ é a norma dooperador contínuo traço.


Com isso, para cada ν < ν0, temos que

∣ 1

εγ ∫θεuϕ − ∫

Γµγ(u)γ(ϕ)∣ ≤ ∣ 1

εγ ∫θεu(ϕ − ϕν) + 1

εγ ∫θε(u − uν)ϕν ∣+

+ ∣ 1

εγ ∫θεuνϕν − ∫

Γµγ(uν)γ(ϕν)∣+

+ ∣∫Γµγ(uν)(γ(ϕν) − γ(u)) + ∫

Γµγ(u)(γ(ϕν) − γ(ϕ))∣

= I + II + III. (2.7)

Vejamos agora como cada parte da integral dada em (2.7) se comporta. Sendo assim, para I ,usando a desigualdade de Hölder, o Lema das Integrais Concentradas 2.2.1 e as propriedades dadasem (2.6),

I = ∣ 1

εγ ∫θεu(ϕ − ϕν) + 1

εγ ∫θε(u − uν)ϕν ∣

≤ ( 1

εγ ∫θε∣u∣2)

1/2

( 1

εγ ∫θε∣ϕ − ϕν ∣2)

1/2

+ ( 1

εγ ∫θε∣u − uν ∣2)

1/2

( 1

εγ ∫θε∣ϕν ∣2)

1/2

≤ C2∥u∥H1(U)∥ϕ − ϕν∥H1(U) +C2∥u − uν∥H1(U)∥ϕν∥H1(U) ≤η

6+ η

6= η

3. (2.8)

Por outro lado, usando a desigualdade de Hölder, as propriedades do operador traço e as limi-tações dadas em (2.6), segue em III que

III = ∣∫Γµγ(ϕν)(γ(uν) − γ(u)) + ∫

Γµγ(u)(γ(ϕν) − γ(ϕ))∣

≤ ∥µ∥L∞(0,1) [(∫Γ∣γ(ϕν)∣2)

12

(∫Γ∣γ(uν) − γ(u)∣2)

12

+ (∫Γ∣γ(u)∣2)

12

(∫Γ∣γ(ϕν) − γ(ϕ)∣2)

12

]

≤ ∥µ∥L∞(0,1)[∥γ∥2∥ϕν∥H1(U)∥uν − u∥H1(U) + ∥γ∥2∥u∥H1(U)∥ϕν − ϕ∥H1(U)]

≤ η6+ η

6= η

3. (2.9)

Finalmente, para estimar o termo dado em II , faremos primeiramente uma mudança de variá-veis dada por

y1 = x1 e y2 =x2 −Gε(x1) + εγHε(x1)

εγHε(x1),

obtendo, para cada ν < ν0 e usando as propriedades de Gε,Hε dadas,

1

εγ ∫θεuν(x1, x2)ϕν(x1, x2)dx2dx1 =

1

εγ ∫1

0∫

Gε(x1)

Gε(x1)−εγHε(x1)uν(x1, x2)ϕν(x1, x2)dx2dx1

= ∫1

0∫

1

0uν(y1,Gε(y1) − εγHε(y1)(1 − y2))ϕν(y1,Gε(y1) − εγHε(y1)(1 − y2))Hε(x1)dy2dy1

→ ∫1

0∫

1

0µhu

ν(y1,m(y1))ϕν(y1,m(y1))dy2dy1 = ∫1

0µhu

ν(y1,m(y1))ϕν(y1,m(y1))dy1

= ∫Γ

µh√1 +m′(x1)2

γ(uν)γ(ϕν)dS = ∫Γµγ(uν)γ(ϕν)dS, quando ε→ 0,

uniformemente, onde a última integral segue da mudança de variáveis para transformá-la em umaintegral de linha.


Assim, dado η > 0, existe ε0 > 0 tal que, para todo ε < ε0 vale

∣ 1

εγ ∫θεuνϕν − ∫

Γµγ(uν)γ(ϕν)dS∣ < η

3. (2.10)

Portanto, dado η > 0, usando (2.8), (2.9) e (2.10) em (2.7) temos que, para ε < ε0,

∣ 1

εγ ∫θεuϕ − ∫

Γµγ(u)γ(ϕ)∣ < η

3+ η

3+ η

3= η,

como queríamos demonstrar.Para provar a segunda parte do enunciado, suponha que µ dependa da parametrização. Então

existem µ1 e µ2, ambos satisfazendo a Proposição 2.2.5 para u ≡ 1. Pela unicidade do limite segueque

∫Γµ1ϕdS = ∫

Γµ2ϕdS, ∀ϕ ∈ C∞

c (U).

Isso implica que µ1 = µ2 quase sempre em Γ, o que é uma contradição.

Analogamente à Proposição 2.2.5, provam-se também os seguintes resultados:

Corolário 2.2.6. Seja Ωε, θε um conjunto admissível. Se u ∈H1(U), então

1

εγ ∫θεu(x1, x2)2dx2dx1 Ð→ ∫

Γµγ(u)2dS,


µ(x1) =µh√

1 +m′(x1)2.

Demonstração. Basta tomar u = ϕ na Proposição 2.2.5.

Corolário 2.2.7. Seja Ωε, θε um conjunto admissível. Se u,ϕ ∈ H1(U) e f ∶ R → R é umafunção limitada e de classe C1, então

1

εγ ∫θεf(u(x1, x2))ϕ(x1, x2)dx2dx1 → ∫

Γµγ(f(u))γ(ϕ)dS,


µ(x1) =µh√

1 +m′(x1)2.

Demonstração. Utilizando o mesmo cálculo da demonstração da Proposição 2.2.5, podemos as-sumir u,ϕ ∈ C∞

c (U) e depois utilizar a densidade em H1(U). Assim, usando a mesma mudançade variáveis da Proposição 2.2.5 e o fato de f ser C1,

1

εγ ∫θεf(u)ϕdx2dx1 =

1

εγ ∫1

0∫

Gε(x1)

G(x1,ε−εγHε(x1)f(u(x1, x2))ϕ(x1, x2)dx2dx1

= ∫1

0∫

1

0f(u(y1,Gε(y1) − εγHε(y1)(1 − y2)))ϕ(y1,Gε(y1) − εγHε(y1)(1 − y2))Hε(y1)dy2dy1

→ ∫Γµγ(f(u))γ(ϕ)dS

2.3 PERTURBAÇÕES DA NÃO-LINEARIDADE 49

e o final da demonstração segue de modo análogo ao já feito na prova da Proposição 2.2.5.

Corolário 2.2.8. Seja Ωε, θε um conjunto admissível. Se u,ϕ,ψ ∈H1(U), então

1

εγ ∫θεu(x1, x2)ϕ(x1, x2)ψ(x1, x2)dx2dx1 → ∫

Γµγ(u)γ(ϕ)γ(ψ)dS,


µ(x1) =µh√

1 +m′(x1)2.

Corolário 2.2.9. Seja Ωε, θε um conjunto admissível. Se u,ϕ,ψ ∈ H1(U) e f ∶ R → R é umafunção limitada e de classe C1, então

1

εγ ∫θεf(u(x1, x2))ϕ(x1, x2)ψ(x1, x2)dx2dx1 → ∫

Γµγ(f(u))γ(ϕ)γ(ψ)dS,


µ(x1) =µh√

1 +m′(x1)2.

Observação 2.2.10. Um exemplo de Ωε, θε um conjunto admissível é dado no Capítulo 3, defi-nido em (3.2), onde usaremos tais propriedades de convergência na análise do problema elípticodefinido neste domínio.

Observação 2.2.11. Note que quando não possuirmos a “convergência do domínio”, no sentidode que não existe função m tal que Gε converge uniformemente a m(x1), cada caso deverá serestudado independentemente, dependendo fortemente de outras propriedades específicas das fun-ções em cada contexto. Teremos um exemplo de um domínio não admissível no Capítulo 4, definidoem (4.3), associado com o problema elíptico de domínio fino.

2.3 Perturbações da não-linearidade

Considere novamente os domínios, para ε > 0, dados por

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩


onde γ > 0, G,H ∶ R × (0,1)→ R são funções positivas.O objetivo desta seção é apresentar uma proposição mais geral com as principais caracterís-

ticas da função que definirá a não-linearidade dos problemas elípticos abordados nos próximoscapítulos.

Tal aplicação foi escolhida para representar o que chamaremos de reação concentrada. Comela, pretendemos analisar a influência de certa função quando a estudamos apenas em uma regiãodo domínio oscilante, numa vizinhança que se degenera quando passamos o limite em um parâ-metro ε.

Sendo assim, considere os espaços de Lebesgue-Bochner generalizados como na Seção 1.2,para 1/2 < s < 1 e 0 < ε < 1 fixados, Xε = L2(0,1;Hs(0,G(x1, ε))) com as normas usuais. Além


disso, considere a função

Fε ∶H1(Ωε)→X ′ε

u↦ Fε(u) ∶Xε → R (2.11)

v ↦ ⟨Fε(u), v⟩ =1

εγ ∫θεf(u)v,

onde f ∈ C2(R) com derivadas limitadas até segunda ordem.

Observação 2.3.1. Consideramos f ∈ C2 limitada e com derivada limitada até segunda ordem,porque estaremos interessados em analisar f(u) onde u possui imagem uniformemente limitada,isto, satisfazendo ∥u∥L∞(Ωε) ≤ K, para K > 0 independente de ε. Logo, podemos “cortar” anão-linearidade, que será determinada por f , de modo que ∣f(x)∣ + ∣f ′(x)∣ + ∣f ′′(x)∣ ≤ M , paratodo x ∈ R. Maiores detalhes podem ser vistos em [Arrieta et al., 2006, Observação 2.2] ou[Arrieta e Bruschi, 2007, Observação 2.2].

Dessa forma, conseguimos provar um resultado análogo ao apresentado em [Aragão et al.,2014, Lema 3.6] e [Pereira, 2016, Lema 3.1].

Proposição 2.3.2. Se G,H satisfazem a Hipótese 1, então são válidas as seguintes afirmações,onde todas as constantes mencionadas independem de ε > 0:

(a) existe K > 0 tal quesup

uε∈H1(Ωε)

∥Fε(uε)∥X′ε≤K;

(b) Fε é Lipschitz e, consequentemente, contínua, ou seja, existe L > 0 tal que

∥Fε(uε1) − Fε(uε2)∥X′ε≤ L∥uε1 − uε2∥H1(Ωε), ∀uε1, uε2 ∈H1(Ωε).

Demonstração. (a) Para uε ∈H1(Ωε),

∥Fε(uε)∥X′ε= sup

∥vε∥Xε=1

∣⟨Fε(uε), vε⟩∣.

Logo, dado vε ∈Xε, segue do Lema 2.2.1 que

∣⟨Fε(uε), vε⟩∣ ≤1

εγ ∫θε∣f(uε)vε∣ ≤ ( 1

εγ ∫θε∣f(uε)∣2)

12

( 1

εγ ∫θε∣vε∣2)

12

≤ (supx∈R

∣f(x)∣)H1/21 C∥vε∥Xε .

Portanto,

supuε∈H1(Ωε)

∥Fε(uε)∥X′ε≤ (sup

x∈R∣f(x)∣)H1/2

1 C =K.

(b) De fato, dados uε1, uε2 ∈H1(Ωε), temos

∥Fε(uε1) − Fε(uε2)∥X′ε= sup

∥vε∥Xε=1

∣⟨Fε(uε1), vε⟩ − ⟨Fε(uε2), vε⟩∣.


Usando o Lema 2.2.1 novamente, segue que

∣⟨Fε(uε1), vε⟩ − ⟨Fε(uε2), vε⟩∣ = ∣⟨Fε(uε1) − Fε(uε2), vε⟩∣ ≤1

εγ ∫θε∣(f(uε1) − f(uε2))vε∣

≤ ( 1

εγ ∫θε∣f(uε1) − f(uε2)∣2)

1/2

( 1


1/2

≤ (supx∈R

∣f ′(x)∣)C2∥uε1 − uε2∥H1(Ωε)∥vε∥Xε .

Logo,

∥Fε(uε1) − Fε(uε2)∥X′ε≤ (sup

x∈R∣f ′(x)∣)C2∥uε1 − uε2∥Xε = L∥uε1 − uε2∥Xε

e, portanto, Fε é Lipschitz com constante independente de ε.

Observação 2.3.3. Note que os resultados provados na Proposição 2.3.2 também são válidas setomarmos

Fε ∶Xε →X ′ε

u↦ Fε(u) ∶Xε → R

v ↦ ⟨Fε(u), v⟩ =1

εγ ∫θεf(u)v,

Fε ∶H1(Ωε)→H−1(Ωε)u↦ Fε(u) ∶H1(Ωε)→ R

v ↦ ⟨Fε(u), v⟩ =1

εγ ∫θεf(u)v

e

Fε ∶Xε →H−1(Ωε)u↦ Fε(u) ∶H1(Ωε)→ R

v ↦ ⟨Fε(u), v⟩ =1

εγ ∫θεf(u)v

pois, pela Proposição 2.1.3, temos que H1(Ωε) ⊆Xε com constante de inclusão que independe deε e o Lema 2.2.1 nos permite trabalhar com as desigualdades obtidas de forma análoga.

Acrescentando que Ωε satisfaz também a Hipótese 2, podemos provar mais propriedades sobrea aplicação Fε definida em (2.11).

Proposição 2.3.4. SeG,H satisfazem a Hipótese 1 e Ωε satisfaz também a Hipótese 2, as seguintespropriedades adicionais são válidas, onde todas as constantes mencionadas independem de ε > 0.

(a) Fε é Frechet-diferenciável, com

F ′ε ∶H1(Ωε)→ B(H1(Ωε),X ′

ε)uε ↦ F ′

ε(uε) ∶H1(Ωε)→X ′ε

wε ↦ F ′ε(uε)(wε) ∶Xε → R

vε ↦ ⟨F ′ε(uε)(wε), vε⟩ =

1

εγ ∫θεf ′(uε)wεvε, ∀wε ∈Xε;


(b) fixado uε ∈H1(Ωε), existe constante C > 0 tal que

∥F ′ε(uε)(wε2 −wε1)∥X′

ε≤ C∥wε2 −wε1∥H1(Ωε), ∀wε1,wε2 ∈H1(Ωε);

(c) existem ϑ ∈ (0,1) e M > 0 tais que

∥F ′ε(uε) − F ′

ε(vε)∥L(Xε,H−1(Ωε)) ≤M∥uε − vε∥ϑXε , ∀uε, vε ∈Xε;

(d) existem δ ∈ (0,1) e k > 0 tais que

∥F ′ε(uε) − F ′

ε(vε)∥L(H1(Ωε),X′ε)≤ k∥uε − vε∥δH1(Ωε)

, ∀δ ∈ (0,1), ∀uε, vε ∈H1(Ωε).

Demonstração. (a) De fato, dados uε, hε ∈ H1(Ωε) e vε ∈ Xε, aplicando o Teorema do ValorMédio, o Lema 2.2.1 e a Desigualdade de Hölder,

∣⟨Fε(uε + hε) − Fε(uε)−F ′ε(u)h, vε⟩∣ ≤

1

εγ ∫θε∣f(uε + hε) − f(uε) − f ′(uε)hε∣∣vε∣

≤ ( 1

εγ ∫θε∣f(uε + hε) − f(uε) − f ′(uε)hε∣2)

1/2

( 1


1/2

≤ C ( 1

εγ ∫θε∣(f ′(ξε) − f ′(uε))hε∣2)

1/2

∥vε∥Xε (2.12)

onde uε(x) ≤ ξε(x) ≤ (uε + hε)(x). Note que, aplicando novamente o Teorema do ValorMédio, obtemos

∣(f ′(ξε) − f ′(uε))hε∣2 ≤ ∣f ′′(ηε)∣2∣ξε − uε∣2∣hε∣2 ≤ (supx∈R

∣f ′′(x)∣) ∣hε∣4 (2.13)

para ξε(x) ≤ ηε(x) ≤ uε(x), para todo x ∈ Ωε.

Por outro lado,

∣(f ′(ξε) − f ′(uε))hε∣2 = ∣f ′(ξε) − f ′(uε)∣2∣hε∣2 ≤ 2(supx∈R

∣f ′(x)∣)2

∣hε∣2. (2.14)

Então juntando (2.13) e (2.14) segue que

∣(f ′(ξε) − f ′(uε))hε∣2 ≤Kmin∣hε∣2,1∣hε∣2. (2.15)

Entretanto, para todo δ ∈ [0,1],

min∣hε∣2,1 = min∣hε∣2,1δ min∣hε∣2,11−δ ≤ ∣hε∣2δ

e, então, (2.15) se torna

∣(f ′(ξε) − f ′(uε))hε∣2 ≤K ∣hε∣2(1+δ), ∀δ ∈ [0,1].

Segue de (2.12) que

∣⟨Fε(uε + hε) − Fε(uε) − F ′ε(uε)hε, vε⟩∣ ≤ C ( 1

εγ ∫θε∣hε∣2(1+δ))

1/2

∥v∥Xε .


Logo, se δ ∈ (0,1), usando o Lema 2.2.2 obtemos

∥Fε(uε + hε) − Fε(uε) − F ′ε(uε)hε∥X′

ε≤ C ( 1

εγ ∫θε∣hε∣2(1+δ))

1/2

≤ C2∥hε∥1+δH1(Ωε)

.

Consequentemente,

lim∥hε∥H1(Ωε)→0

∥Fε(uε + hε) − Fε(uε) − F ′ε(uε)hε∥X′

ε

∥hε∥H1(Ωε)

≤ lim∥hε∥H1(Ωε)→0

C2∥hε∥δH1(Ωε)= 0

e, então, Fε é Frechet diferenciável.

(b) Com efeito, como f, f ′, f ′′ são limitadas, se wε1,wε2 ∈ H1(Ωε) e vε ∈ Xε, temos pelo Lema

2.2.2 que

∣⟨F ′ε(uε)wε2 − F ′

ε(uε)wε1, vε⟩∣ ≤1

εγ ∫θε∣(f ′(uε)wε2 − f ′(uε)wε1)vε∣

≤ (supx∈R

∣f ′(x)∣) ( 1

εγ ∫θε∣wε2 −wε1∣2)

1/2

( 1


1/2

≤ C (supx∈R

∣f ′(x)∣) ∥wε2 −wε1∥H1(Ωε)∥v∥Xε .

Consequentemente,∥F ′

ε(uε)(wε2 −wε1)∥X′ε≤ C∥wε2 −wε1∥H1(Ωε),

provando o resultado.

(c) Se uε, vε ∈H1(Ωε),

∥F ′ε(uε) − F ′

ε(vε)∥L(H1(Ωε),X′ε= sup

∥wε∥H1(Ωε)=1

sup∥zε∥Xε=1

⟨(F ′ε(uε) − F ′

ε(vε))wε, zε⟩.

Logo, se wε ∈ H1(Ωε) e zε ∈ Xε, segue pelo Lema 2.2.2 e pela Desigualdade de Höldergeneralizada com 3 < q < 4 e 4 < p < 6 (como 1/p + 1/q = 1/2) que

∣⟨(F ′ε(uε) − F ′

ε(vε))wε, zε⟩∣ ≤1

εγ ∫θε∣(f ′(uε) − f ′(vε))wεzε∣

≤ ( 1

εγ ∫θε∣f ′(uε) − f ′(vε)∣p)

1/p

( 1

εγ ∫θε∣wε∣q)

1/q

( 1

εγ ∫θε∣zε∣2)

1/2

≤ C2 ( 1


1/p

∥wε∥H1(Ωε)∥zε∥Xε .

Então,

∥F ′ε(uε) − F ′

ε(vε)∥L(H1(Ωε),X′ε)≤ C2 ( 1


1/p

.

Agora, para todo x ∈ Ωε, temos

∣f ′(uε(x)) − f ′(vε(x))∣ ≤ 2(supx∈R

∣f ′(x)∣) .


Por outro lado, pelo Teorema do Valor Médio,

∣f ′(uε(x)) − f ′(vε(x))∣ ≤ (supx∈R

∣f ′′(x)∣) ∣uε(x) − vε(x)∣.

Logo, se ϑ ∈ (0,1),

∣f ′(uε) − f ′(vε)∣p ≤Kmin1, ∣uε − vε∣p=Kmin1, ∣uε − vε∣pϑ min1, ∣uε − vε∣p1−ϑ

≤K ∣uε − vε∣ϑp.

Tomando ϑ tal que ϑp = 2 (isto é, para algum 1/3 < ϑ < 1/2), segue que

∥F ′ε(uε) − F ′

ε(vε)∥L(Xε,H−1(Ωε)) ≤ C2 ( 1

εγ ∫θεK ∣uε − vε∣2)

1/p

≤M∥uε − vε∥ϑH1(Ωε).

(d) Se uε, vε ∈H1(Ωε),

⟨Fε(uε + vε) − Fε(uε) − F ′ε(uε)vε,wε⟩ =

1

εγ ∫θε(f(uε + vε) − f(uε) − f ′(uε)vε)wε.

Logo, utilizando a mesma técnica do item (c) obtemos, para qualquer δ ∈ (0,1), que

1

εγ ∫θε∣f(uε + vε) − f(uε) − f ′(uε)vε∣∣wε∣ ≤

≤ ( 1

εγ ∫θε∣f(uε + vε) − f(uε) − f ′(uε)vε∣2)

1/2

( 1

εγ ∫θε∣wε∣2)

1/2

≤ C ( 1

εγ ∫θε∣vε∣2(1+δ))

1/2

∥wε∥Xε ≤ k∥vε∥1+δH1(Ωε)

∥wε∥Xε .

Logo,∥Fε(uε + vε) − Fε(uε) − F ′

ε(uε)vε∥X′ε≤ k∥vε∥1+δ

Xε , ∀δ ∈ (0,1),

o que conclui a prova.

Observação 2.3.5. Note que os resultados provados na Proposição 2.3.4 também são válidas setomarmos

Fε ∶H1(Ωε)→H−1(Ωε)u↦ Fε(u) ∶H1(Ωε)→ R

v ↦ ⟨Fε(u), v⟩ =1

εγ ∫θεf(u)v

ou

Fε ∶Xε →H−1(Ωε)u↦ Fε(u) ∶H1(Ωε)→ R

v ↦ ⟨Fε(u), v⟩ =1

εγ ∫θεf(u)v,


pois, pela Proposição 2.1.3, temos que H1(Ωε) ⊆ Xε com constante de inclusão que independede ε e os Lemas 2.2.1 e 2.2.2 nos permitem trabalhar com as desigualdades obtidas de formaanáloga.

Tais propriedades serão utilizadas na segunda parte da tese, onde estudaremos o comporta-mento das soluções de problemas elípticos com a não-linearidade representada por Fε.

Parte II

Aplicações

57

CAPÍTULO 3

Domínios com fronteira oscilante

Neste capítulo estudaremos um problema elíptico semilinear definido em um domínio osci-lante de R2, onde há um fenômeno de reação concentrada em uma vizinhança da fronteira. Maisprecisamente, considere a equação elíptica, com condições de fronteira de Neumann homogênea,dada por

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

−∆vε + vε = 1


∂vε


(3.1)

com ε > 0, νε = (νε1, νε2) vetor normal unitário apontando para fora na fronteira do domínio Ωε,∂/∂νε a derivada na direção do vetor νε, f uma função C2 e

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Ωε = (x1, x2); 0 < x1 < 1, 0 < x2 < Gε(x1)θε = (x1, x2); 0 < x1 < 1, Gε(x1) − εγHε(x1) < x2 < Gε(x1)

(3.2)

onde os domínios são determinados por funções Gε(x1) = G(x1, ε) e Hε(x1) = H(x1, ε), comG ∶ (0,1) × (0,1)→ R e H ∶ (0,1) × (0,1)→ R.

As classes de funções Gε e Hε que consideraremos aqui são tais que:

(i) existem constantes G0,G1,H0,H1,C ∈ R tais que

0 < G0 ≤ Gε(x) ≤ G1, 0 ≤H0 ≤Hε(x) ≤H1 e ∣G′ε(x)∣ ≤ C, ∀x ∈ (0,1), ε ∈ (0,1).

(ii) Gε(x1) =m(x1) + εg(x1/εα), onde

(a) m ∶ (0,1) → R limitada, ao menos Lipschitz, com derivada (que existe, então, pelomenos em quase todo ponto) limitada e

(b) g ∶ (0,1)→ R limitada, C1, Lg-periódica com derivada limitada e α ≤ 1;

(iii) Hε(x1) = h(x1/ε), h limitada e Lh-periódica.

Observação 3.0.1. Usando o [Cioranescu e Donato, 1999, Teorema 2.6], temos que gε(x) =

59

60 DOMÍNIOS COM FRONTEIRA OSCILANTE 3.0

g(x/εα) e hε(x) = h(x/εβ) satisfazem

gε∗ µg =

1

Lg∫

Lg

0g(s)ds e hε

∗ µh =1

Lh∫

Lh

0h(s)ds em L∞(0,1),

com µg, µh ∈ R.

Tal classe de domínios é um caso particular dos problemas estudados em Carvalho e Piskarev[2006], porém no caso sem concentração na fronteira. Os trabalhos de Aragão e Bruschi [2016]e Aragão e Bruschi [2015] introduziram termos concentrados, no entanto, considerando um casoparticular de θε do que é exposto neste capítulo.

Ωϵ

θϵ

Figura 3.1: Domínio com concentração na fronteira oscilante.

Sendo assim, as equações estão definidas em domínios que possuem fronteira oscilante Ωε

e tendem a um domínio limite Ω, quando fazemos ε ir a zero (no sentido de distH(Ωε,Ω) +distH(∂Ωε, ∂Ω) → 0 quando ε → 0, onde distH é a semidistância de Hausdorff dada em (1.7)).Neste capítulo consideramos uma classe de perturbações que, a grosso modo, é caracterizadapelo fato de que, localmente, em torno de cada ponto x0 ∈ ∂Ω e para todo 0 < r ≤ 1, temos∣∂Ωε∩B(x0,r)∣∣∂Ω∩B(x0,r)∣

≤ C, para alguma constante C > 0 independente de x0, r e ε, onde B(x0, r) é abola centrada em x0 e com raio r e ∣ ⋅ ∣ denota a medida de Lebesgue do conjunto. Chamamos talperturbação de “deformação Lipschitz”, como em Arrieta e Bruschi [2007].

Além disso, existem termos concentrados em vizinhanças θε da fronteira oscilante, explicita-dos pela função χθε e pelo termo 1/εγ . Note que, neste termo, há a mesma ordem comparada àespessura da vizinhança da fronteira oscilatória onde há concentração, dada por εγ . Tal fator seráde suma importância no estudo do comportamento das funções concentradas neste aberto.

A análise deste capítulo se baseia em estudar o comportamento das soluções da equação dife-rencial parcial dada em (3.1) quando fazemos ε tender a zero. Note que devemos ter cuidado poisas soluções estarão definidas em domínios diferentes, que podem variar com ε na fronteira oscila-tória (por Gε(x)) e na concentração da vizinhança oscilatória (de ordem εγ), simultaneamente.

3.1 OPERADOR DE EXTENSÃO E E-CONVERGÊNCIA 61

Provaremos que, neste caso, o problema limite de (3.1) é dado por

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

−∆u + u = 0 em Ω,∂u


(3.3)


Ω = (x1, x2); 0 < x1 < 1,0 < x2 <m(x1),

com Γ = (x1, x2); 0 < x1 < 1, x2 =m(x1) sua fronteira superior, e

µ(x1) =µh√

1 +m′(x1)2.

Neste caso, note que o termo µ traduz a influência da concentração através da média da funçãoHε, dada por µh, e da geometria do espaço limite, definido pela função m. Tal termo tambémsugere que o domínio limite não pode ser qualquer, implicando condições mínimas de suavidadeà fronteira de Ω.

3.1 Operador de extensão e E-convergência

Como vamos comparar funções definidas em domínios diferentes, Ωε e Ω, precisaremos deferramentas que nos auxiliem na construção de um tipo de convergência. Um operador contínuode extensão específico pode ser construído de modo a facilitar nossa abordagem do problema.

Proposição 3.1.1. Seja Ωε uma família de domínios como definidos em (3.2). Então, para cada1 ≤ p ≤∞, existem ε0 > 0 e operador de extensão PΩε ∶ L1(Ωε) → L1(R2) tal que, com a notaçãode X(V ) = Lp(V ) ou W 1,p(V ) para um aberto V ⊂ R2, PΩε transforma funções de X(Ωε) emX(R2) e

∥PΩε∥L(X(Ωε),X(R2)) ≤K, para 0 < ε < ε0.

Além disso, a maneira como o operador PΩε é construído, temos que PΩεu ≡ 0 fora do abertoU .


Observação 3.1.2. Tal construção dos operadores PΩε nos permite construir uma nova famíliade operadores PΩε,V ∶ X(Ωε) → X(V ) definidos por PΩε,V = RV PΩε , onde RV é o operadorrestrição ao aberto V . Com essa notação, PΩε = PΩε,R2 . Também, ∥PΩε,V ∥L(X(Ωε),X(V )) ≤ C, comC > 0 independente de ε (ver [Arrieta e Bruschi, 2007, Observação 4.2]).

Observação 3.1.3. Desta forma, note que estamos trabalhando em um caso no qual Ωε, θε é umconjunto admissível, como na Definição 2.2.4.

Agora, considere o operador

Eε ∶H1(Ω)→H1(Ωε)u↦ Eεu ∶= RεPu,

onde P ∶H1(Ω)→H1(R2) é um operador contínuo de extensão (que existe pelo Teorema 1.1.21)e Rε ∶H1(R2)→H1(Ωε) o operador restrição a Ωε. Com esta definição, obtemos

∥Eεu∥H1(Ωε) → ∥u∥H1(Ω)


quando ε→ 0 (ver Arrieta e Bruschi [2007]). Assim podemos definir uma noção de E-convergênciacomo na Seção 1.4 e utilizar resultados ali mencionados. Desta forma, nesta seção dizemos queuε ∈ H1(Ωε) E-converge para u ∈ H1(Ω) se ∥uε − Eεu∥H1(Ωε) → 0 quando ε → 0, onde Eε foidado acima.

O próximo lema é geral e dele obtém-se a E-convergência de uma sequência conveniente defunções definidas em Ωε. Tal resultado será utilizado posteriormente.

Lema 3.1.4. Seja uma família uε, com uε ∈H1(Ωε), tal que ∥uε∥H1(Ωε) ≤M . Então

(i) existe uma subsequência de uε, denotada por uεk , e u0 ∈H1(Ω) tal que uεkE u0;

(ii) existe uma subsequência de uε, denotada por uεn , e u ∈ H1(U) tal que PΩεn ,Uuεn u em

H1(U) e uεnE u∣Ω.

Demonstração. Ver [Arrieta e Bruschi, 2007, Lema 4.3].

3.2 Caso linear

Nesta seção estamos interessados no comportamento das soluções do problema linear comconcentração na fronteira oscilante e com condição de fronteira homogênea de Neumann, dadopor

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

−∆uε + uε = 1

εγχθεf ε em Ωε,

∂uε


(3.4)

onde f ε ∈ L2(Ωε) com ∥f ε∥2L2(θε)

≤ Cεγ , para algum C > 0 independente de ε, com Ωε, θε dadosem (3.2).

Mostraremos a convergência de soluções uε ∈ H1(Ωε) de (3.4) para a solução do problemalimite definido por

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

−∆u + u = 0 em Ω,∂u

∂ν= f em Γ,

(3.5)


Ω = (x1, x2); 0 < x1 < 1,0 < x2 <m(x1),

com Γ = (x1, x2); 0 < x1 < 1, x2 =m(x1) sua fronteira superior, e f ∈ L2(Γ) é tal que

1

εγ ∫θεf εϕ→ ∫

Γfγ(ϕ)dS, ∀ϕ ∈ C∞(U).

3.2 CASO LINEAR 63

3.2.1 Existência de solução

A existência e unicidade de solução para o problema (3.4), ε > 0, segue do Teorema de Lax-Milgram ([Evans, 1998, Seção 6.2.1, Teorema 1]). De fato, defina

aε ∶H1(Ωε) ×H1(Ωε)→ R

(uε, vε)↦ aε(uε, vε) = ∫Ωε

(∂uε

∂x1

∂vε

∂x1

+ ∂uε

∂x2

∂vε

∂x2

+ uεvε) .

Segue que a formulação fraca de (3.4) pode ser escrita como: encontrar uε ∈H1(Ωε) tal que

aε(uε, vε) =1

εγ ∫θεf εvε, ∀vε ∈H1(Ωε).

Agora observe que, para todo uε, vε ∈H1(Ωε), usando ∥f ε∥2L2(θε)

≤ Cεγ e Lema 2.2.1, temos:

(i) aε(uε, vε) = ∫Ωε

(∂uε

∂x1

∂vε

∂x1

+ ∂uε

∂x2

∂vε

∂x2

+ uv) ≤ ∥uε∥H1(Ωε)∥vε∥H1(Ωε);

(ii) ∣aε(uε, uε)∣ = ∥uε∥2H1(Ωε)

;

(iii) define um funcional linear limitado, pois

1

εγ ∫θεf εvε ≤ ( 1

εγ ∫θε∣f ε∣2)

1/2

( 1


1/2

≤ C∥vε∥H1(Ωε).

Logo, aε é uma forma bilinear estritamente coercitiva, para cada ε > 0, e usando Lax-Milgramexiste uma única solução uε ∈H1(Ωε) tal que

∫Ωε

(∂uε

∂x1

∂vε

∂x1

+ ∂uε

∂x2

∂vε

∂x2

+ uv) = 1

εγ ∫θεf εvε, ∀vε ∈H1(Ωε).

De forma análoga também podemos provar, usando o Teorema de Lax-Milgram, a existênciade uma única solução u ∈H1(Ω) do problema limite (3.5). De fato, defina

a0 ∶H1(Ω) ×H1(Ω)→ R

(u, v)↦ a0(u, v) = ∫Ω( ∂u∂x1

∂v

∂x1

+ ∂u

∂x2

∂v

∂x2

+ uv) .

Segue que a formulação fraca de (3.4) pode ser escrita como encontrar u ∈H1(Ω) tal que

a0(u, v) = ∫Γfγ(v)dS, ∀v ∈H1(Ω),

e vale, para todo u, v ∈H1(Ω), usando as propriedades do operador traço γ ∶H1(Ω)→ L2(Γ):

(i) a0(u, v) = ∫Ω( ∂u∂x1

∂v

∂x1

+ ∂u

∂x2

∂v

∂x2

+ uv) ≤ ∥u∥H1(Ω)∥v∥H1(Ω);

(ii) ∣a0(u,u)∣ = ∥u∥2H1(Ω)


∫Γfγ(v)dS ≤ (∫

Γ∣f ∣2dS)

1/2

(∫Γ∣γ(v)dS∣2)

1/2

≤ C∥v∥H1(Ω).


Logo, a0 é uma forma bilinear estritamente coercitiva e usando Lax-Milgram existe uma únicasolução u ∈H1(Ω) tal que

∫Ω( ∂u∂x1

∂v

∂x1

+ ∂u

∂x2

∂v

∂x2

+ uv) = ∫Γfγ(v)dS, ∀v ∈H1(Ω),

provando a afirmação.

3.2.2 Convergência de soluções

Com o objetivo de provar a convergência de uma sequência de soluções uε ∈ H1(Ωε) de (3.4)para uma solução u ∈ H1(Ω) de (3.5), estudaremos certas propriedades desses equilíbrios e anali-saremos como eles se relacionam através de extensões e E-convergência.

Para cada ε > 0, considere o operador linear

Aε ∶D(Aε) ⊂ L2(Ωε)→ L2(Ωε)uε ↦ Aεu

ε = −∆uε + uε,

com D(Aε) = uε ∈H2(Ωε);∂uε

∂ν= 0.

Com isso note que o problema (3.4) pode ser escrito como

Aεuε = 1

εγχθεf ε.

Sendo assim, começamos com um lema básico sobre limitação uniforme das soluções.

Lema 3.2.1. Sejam φε ∈ H1(Ωε) uma sequência uniformemente limitada em L2(Ωε) e wε ∈H1(Ωε) dado por wε = A−1

ε φε. Então ∥wε∥H1(Ωε) ≤ C para algum C > 0 independente de ε.

Demonstração. Como wε = A−1ε φ

ε, segue pela definição dos operadores que, para qualquer ϕ ∈H1(Ωε),

∫Ωε

∂wε

∂x1

∂ϕε

∂x1

+ ∫Ωε

∂wε

∂x2

∂ϕε

∂x2

+ ∫Ωεwεϕε = ∫

Ωεφεϕε.

Assim, tomando ϕε = wε temos que, usando a Desigualdade de Hölder e a limitação de φε,

∥wε∥2H1(Ωε)

= ∫Ωεφεwε ≤ (∫

Ωεφε)

1/2

(∫Ωεwε)

1/2

= ∥φε∥L2(Ωε)∥wε∥L2(Ωε) ≤ C∥wε∥H1(Ωε).

Logo, ∥wε∥H1(Ωε) ≤ C.

Se olharmos agora para integrais concentradas numa vizinhança da fronteira oscilante, temosa seguinte proposição.

Proposição 3.2.2. Seja f ε ∈ L2(Ωε) tal que

1

εγ ∫θε∣f ε∣2 ≤ C,

3.2 CASO LINEAR 65

para algum C > 0 independente de ε. Então, para qualquer sequência ε → 0, existem subsequên-cia, que também chamaremos de ε, e f0 ∈ L2(Γ) tal que ε→ 0 e

1


Γf0γ(ϕ)dS, ∀ϕ ∈ C∞(U),

onde γ é o operador traço definido no Teorema 1.3.2.

Demonstração. Defina o operador

Lε ∶H1(U)→ R

ϕ↦ Lε(ϕ) =1

εγ ∫θεf εϕ.

Usando o Lema das Integrais Concentradas 2.2.1, temos

∣Lε(ϕ)∣ ≤ ( 1


1/2

( 1

εγ ∫θε∣ϕ∣2)

1/2

≤ C∥ϕ∥H1(Ωε) ≤ C∥ϕ∥H1(U). (3.6)

Logo, Lε ∈ (H1(U))′ e é uniformemente limitado neste espaço. Assim, pelo Teorema deBanach-Alaoglu-Bourbaki ([Brezis, 2010, Teorema 3.16]), tomando subsequências se necessário,existe L0 ∈ (H1(U))′ tal que

Lε(ϕ)→ L0(ϕ), ∀ϕ ∈H1(U), (3.7)

e com limite uniforme quando ϕ estiver em subconjuntos compactos.Além disso, como, pelo Corolário 2.2.6,

( 1


1/2

→ (∫Γµ∣γ(ϕ)dS∣2)

1/2

(3.8)

e, olhando para (3.6), temos

∣Lε(ϕ)∣ ≤ C ( 1


1/2

, (3.9)

com C > 0 independente de ε, obtemos ao passar ao limite com ε → 0 na desigualdade em (3.9),aplicando (3.7) e (3.8), que

∣L0(ϕ)∣ ≤ C (∫Γµ∣γ(ϕ)∣2dS)

1/2

, ∀ϕ ∈ C∞(U).

Como o traço de H1(Ω) é denso em L2(Γ), obtemos que existe f0 ∈ L2(Γ) tal que

L0(ϕ) = ∫Γf0γ(ϕ),∀ϕ ∈ C∞(U)dS,


Observação 3.2.3. Assumindo f ∈ C(U) e f ε = χθεf , então a Proposição 3.2.2 vale para f0 = f∣Γ .

Sendo assim, podemos provar o seguinte resultado de convergência de soluções para o pro-blema linear com concentração na fronteira oscilante.


Teorema 3.2.4. Seja uε ∈H1(Ωε) solução fraca de (3.4), ou seja, de

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

−∆uε + uε = 1


∂uε

∂ν= 0 em ∂Ωε,

supondo que exista C > 0, independente de ε, tal que ∥f ε∥L2(θε) ≤ Cεγ . Então:

(i) se existe subsequência, também chamada ε, com ε→ 0 e tal que

1


Γf0γ(ϕ)dS, ∀ϕ ∈ C∞(U),

para algum f0 ∈ L2(Γ), então existe u ∈ H1(U) tal que PΩε,Uuε u em H1(U), onde

PΩε,U ∈ L(H1(Ωε),H1(U)) é o operador extensão construído na Proposição 3.1.1, e u0 =u∣Ω satisfaz

∫Ω∇u0∇ϕ + ∫

Ωu0ϕ = ∫

Γf0γ(ϕ)dS, ∀ϕ ∈H1(Ω),

com γ ∶H1(Ω)→ L2(Γ) operador traço dado no Corolário 1.3.2.

(ii) para toda sequência ε → 0 existem subsequência (digamos também ε) e f0 ∈ L2(Γ) tais queε→ 0 e

1


Γf0γ(ϕ), ∀ϕ ∈ C∞(U).

Em particular, para esta subsequência vale o item anterior.

Demonstração. Se definirmos φε = 1

εγχθεf ε temos, pelo Lema 3.2.1, que a solução uε ∈ H1(Ωε)

do problema dado no enunciado, uε = A−1ε φ

ε, é tal que existe C > 0 satisfazendo ∥uε∥H1(Ωε) ≤ C.

Desta forma, pelo Lema 3.1.4, existe uma subsequência de uε, denotada novamente por uε, eu ∈ H1(U) tal que PΩε,Uu

ε u em H1(U) e uεE u∣Ω . Com isso, chamando u0 = u∣Ω , temos que,

como uεE u0,

(uε, ϕ)H1(Ωε) → (u0, ϕ)H1(Ω) = ∫Ω∇u0∇ϕ + ∫

Ωu0ϕ,

para todo ϕ ∈H1(U). Por outro lado, como uε = A−1ε φ

ε, então

(uε, ϕ)H1(Ωε) = ∫Ωεφεϕ = 1


Γf0γ(ϕ)dS,

para todo ϕ ∈H1(U) pela Proposição 3.2.2.

Logo, pela unicidade do limite,

∫Ω∇u0∇ϕ + ∫

Ωu0ϕ = ∫

Γf0γ(v)dS

e, assim, u ∈ H1(U) satisfaz o item (i). Para o item (ii) basta usar a Proposição 3.2.2 e aplicar oitem (i).

3.3 CASO SEMILINEAR 67

3.3 Caso semilinear

Nesta subseção voltamos ao nosso objetivo principal: a análise do comportamento das soluçõesquando ε tende a zero no problema semilinear (3.1), dado por

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

−∆vε + vε = 1


∂vε


com ε > 0, γ > 0, νε = (νε1, νε2) vetor normal unitário apontando para fora na fronteira do domínioΩε, ∂/∂vε a derivada na direção do vetor νε e χθε a função característica do conjunto θε. Nestecaso, considere f de classe C2 limitada e com derivadas limitadas até a segunda ordem.

Observação 3.3.1. Tal restrição em f é justificada da mesma forma que na Observação 2.3.1.

Mostraremos a convergência de soluções de (3.1) para uma solução do problema limite, defi-nido em (3.3) e dado por

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

−∆u + u = 0 em Ω,∂u



Ω = (x1, x2); 0 < x1 < 1,0 < x2 <m(x1),

com Γ = (x1, x2); 0 < x1 < 1, x2 =m(x1) sua fronteira superior, e

µ(x1) =µh√

1 +m′(x1)2.

Assim, estudaremos nesta seção existência e semicontinuidade das soluções neste caso, comconcentração na fronteira oscilante.


As soluções de (3.1) e (3.3) serão obtidas como pontos fixos de aplicações não-lineares apro-priadas. Para tanto, vamos escrever tais problemas na forma abstrata.

Primeiramente, para o problema (3.1), considere novamente o operador linear

Aε ∶D(Aε) ⊂ L2(Ωε)→ L2(Ωε)uε ↦ Aεu

ε = −∆uε + uε,

com D(Aε) = uε ∈H2(Ωε);∂uε

∂ν= 0.

Denote Z0ε = L2(Ωε), Z1

ε = D(Aε) e considere a escala de espaços de Hilbert construídos porinterpolação complexa entre Z0

ε e Z1ε (ver Definição em (1.1) no Capítulo 1). No nosso contexto,

tais espaços coincidem isometricamente com os espaços de potência fracionária do operador Aε(ver Teorema 1.1.8). Tal escala pode ser estendida para potências negativas tomando Z−α

ε = (Zαε )′,

para α > 0. Note que Z1/2ε = H1(Ωε) e Z−1/2

ε = (H1(Ωε))′. Sendo assim, se considerarmos as


realizações de Aε nesta escala, obtemos que Aε,−1/2 ∈ L(Z1/2ε , Z

−1/2ε ) é dado por

⟨Aε,−1/2 uε, ϕε⟩ = ∫

Ωε∇uε∇ϕε + uεϕε, ∀ϕε ∈H1(Ωε).

Com um certo abuso de notação, iremos identificar todas as diferentes realizações deste ope-rador e as escreveremos como apenas Aε.

Desta forma, o problema (3.1) pode ser reescrito na forma abstrata como

Aεuε = Fε(uε), (3.10)

onde a não-linearidade Fε é dada por

Fε ∶H1(Ωε)→X ′ε

u↦ Fε(u) ∶Xε → R

v ↦ ⟨Fε(u), v⟩ =1

εγ ∫θεf(u)v,

onde Xε = L2(0,1;Hs(0,Gε(x1))) para 1/2 < s < 1, X ′ε = L2(0,1;H−s(0,Gε(x1))) e f ∈ C2(R)

com derivadas limitadas até segunda ordem.Sendo assim, uε ∈ H1(Ωε) é uma solução de (3.10) se, e somente se, uε = A−1

ε Fε(uε), ou seja,uε ∈ H1(Ωε) é ponto fixo da aplicação A−1

ε Fε ∶ H1(Ωε) → H1(Ωε). Com isso, a existência de so-lução neste caso segue do Teorema do Ponto Fixo de Schaefer [Evans, 1998, Seção 9.2.2, Teorema4].

De fato, como provaremos na Proposição 3.3.6, o operador A−1ε Fε é compacto. Logo, basta

provar que o conjuntoOε = ϕε ∈H1(Ωε); ϕε = A−1

ε Fε(ϕε)

é limitado para concluir a existência. Porém, para qualquer ϕε ∈ Oε temos, usando a Desigualdadede Hölder e o Lema 2.2.1,

∥ϕε∥2H1(Ωε)

≤ 1

εγ ∫θε∣f(ϕε)ϕε∣ ≤ (sup

x∈R∣f(x)∣)H1/2

1 ( 1

εγ ∫θε∣ϕε∣2)

1/2

≤ C∥ϕε∥H1(Ωε)

e, portanto, ∥ϕε∥H1(Ωε) ≤ C, concluindo a prova.Da mesma forma podemos analisar o problema limite dado em (3.3) de modo abstrato defi-

nindo o operador linear

A0 ∶D(A0) ⊂ L2(Ω)→ L2(Ω)u↦ A0u = −∆u + u,

com D(A0) = u ∈H2(Ω); ∂uε

∂ν= 0. Com isso pode-se construir os espaços de potências fracio-

nárias e considerar a não-linearidade dada por

F0 ∶H1(Ω)→ L2(0,1;H−s(0,m(x1)))u↦ F0(u) ∶ L2(0,1;Hs(0,m(x1)))→ R

v ↦ ⟨F0(u), v⟩ = ∫Γµγ(f(u))γ(v)dS,

onde 1/2 < s < 1.


Assim, o problema (3.3) pode ser reescrito na forma abstrata como

A0u = F0(u) (3.11)

e, nesta notação, u ∈ H1(Ω) é uma solução de (3.11) se, e somente se, u = A−10 F0(u), ou seja,

u ∈ H1(Ω) é ponto fixo da aplicação A−10 F0 ∶ H1(Ω) → H1(Ω). Novamente, a existência de

solução segue pelo Teorema do Ponto Fixo de Schaefer análogo ao feito no caso anterior.

3.3.2 Semicontinuidade de soluções

Novamente com o objetivo de provar um tipo de convergência de uma sequência de soluçõesuε ∈ H1(Ωε) de (3.10) para uma solução u ∈ H1(Ω) de (3.11), estudaremos certas propriedadesdesses equilíbrios, utilizando o que foi feito na seção anterior e analisaremos como eles se relaci-onam através de extensões e E-convergência.

Um resultado importante no que diz respeito a análise do comportamento da soluções é provara limitação uniforme das mesmas na norma de L∞(Ωε). Sendo assim, provaremos:

Proposição 3.3.2. Considere uε ∈ H1(Ωε) solução de (3.10). Então existe C > 0 independente deε > 0 tal que ∥uε∥L∞(Ωε) ≤ C.

Demonstração. Se uε ∈H1(Ωε) é solução de (3.10), então para todo ϕ ∈H1(Ωε) vale

∫Ωε

∂uε

∂x1

∂ϕε

∂x1

+ ∫Ωε

∂uε

∂x2

∂ϕε

∂x2

+ ∫Ωεuεϕε = 1

εγ ∫θεf(uε)ϕε.

Assim, dado k > 0, tomando ϕε = (uε − k)+ ∈H1(Ωε), onde

(uε − k)+(x1, x2) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

uε(x1, x2) − k, se (x1, x2) ∈ Aε,k ∶= (x1, x2) ∈ Ωε; uε(x1, x2) > k,0, caso contrário,

temos que

∫Ωε

∂uε

∂x1

∂(uε − k)+∂x1

+ ∫Ωε

∂uε

∂x2

∂(uε − k)+∂x2

+ ∫Ωεuε(uε − k)+ = 1

εγ ∫θεf(uε)(uε − k)+

Isto implica que, usando a Desigualdade de Hölder e a definição deAε,k, somando e subtraindotermos adequados,

∥(uε − k)+∥2H1(Ωε)

= 1

εγ ∫θε∩Aε,kf(uε)(uε − k) − ∫

Ωε∩Aε,kk(uε − k)

≤ ( 1

εγ ∫θε∩Aε,k∣f(uε)∣2)

1/2

( 1

εγ ∫θε∩Aε,k∣uε − k∣2)

1/2

≤ ∥f∥∞ (∣θε∣∣Aε,k∣εγ

)∥(uε − k)+∥H1(Ωε)

Como o conjunto θε tem ordem εγ , obtemos a seguinte estimativa

∥(uε − k)+∥H1(Ωε) ≤ C1∣Aε,k∣1/2 (3.12)

onde C > 0 independe de ε > 0.


Por outro lado, note que, para p, q conjugados,

∥(uε − k)+∥L1(Aε,k) = ∫Aε,k

(uε − k) ≤ (∫Aε,k

1p)1/p

(∫Aε,k

(uε − k)q)1/q

≤ ∣Aε,k∣1/p∥(uε − k)+∥Lq(Ωε) (3.13)

Pela Proposição 2.1.7(c) temos que H1(Ωε) ⊆ Lq(Ωε) para 2 ≤ q ≤ 4, com constante queindepende de ε. Assim, tomando 2 < q < 4 e 1 < p < 2 seu conjugado, obtemos, utilizando (3.12)em (3.13) que

∥(uε − k)+∥L1(Aε,k) ≤ C2∣Aε,k∣1/p∥(uε − k)+∥H1(Ωε)

≤ C2∣Aε,k∣1/pC1∣Aε,k∣1/2 =K ∣Aε,k∣1/2+1/p =K ∣Aε,k∣1+δ

para algum δ > 0, pois 1/2 < 1/p < 1.Logo, aplicando o [Ladyzhenskaya e Ural’tseva, 1968, Lema 5.1] obtemos que ∥uε∥L∞(Ωε) é

uniformemente limitada por constante que independe do domínio, provando a proposição.

Além disso, prova-se também que:

Lema 3.3.3. Sejam uε ∈H1(Ωε) uma sequência uniformemente limitada e wε ∈H1(Ωε) dado porwε = A−1

ε Fε(uε). Então ∥wε∥H1(Ωε) ≤ C para algum C > 0 independente de ε.

Demonstração. Como wε = A−1ε Fεu

ε, segue pela definição dos operadores que, para qualquerϕε ∈H1(Ωε),

∫Ωε

∂wε

∂x1

∂ϕε

∂x1

+ ∫Ωε

∂wε

∂x2

∂ϕε

∂x2

+ ∫Ωεwεϕε = 1

εγ ∫θεf(uε)ϕε.

Assim, tomando ϕε = wε temos que, usando a Desigualdade de Hölder, a limitação de f e o Lema2.2.1,

∥wε∥2H1(Ωε)

≤ ( 1

εγ ∫θε∣f(uε)∣2)

1/2

( 1


1/2

≤ (supx∈R

∣f(x)∣)H1/21 ∥wε∥H1(Ωε).

Logo, ∥wε∥H1(Ωε) ≤ C.

Agora iremos analisar o comportamento da parte não-linear do problema estudado.

Proposição 3.3.4. Sejam wε, uε ∈H1(Ωε) e w,u ∈H1(U) tais que PΩε,U(uε) u e PΩε,U(wε)w em H1(U). Então

1

εγ ∫θεf(uε)wε → ∫

Γµγ(f(u))γ(w)dS,

ondeµ(x1) =

µh√1 +m′(x1)2

.


Demonstração. Usando a Desigualdade de Hölder e o Lema 2.2.1, temos

∣ 1

εγ ∫θεf(uε)wε − ∫

Γµγ(f(u))γ(w)dS∣ ≤ ∣ 1

εγ ∫θε(f(uε) − f(u))wε∣+

+ ∣ 1

εγ ∫θεf(u)(wε −w)∣ + ∣ 1

εγ ∫θεf(u)w − ∫

Γµγ(f(u))γ(w)dS∣

≤ ( 1

εγ ∫θε∣f(uε) − f(u)∣2)

1/2

( 1


1/2

+ ( 1

εγ ∫θε∣f(u)∣2)

1/2

( 1

εγ ∫θε∣wε −w∣2)

1/2

+

+ ∣ 1


Γµγ(f(u))γ(w)dS∣

≤ (supx∈R

∣f(x)∣) ∥wε −w∥Xε + (supx∈R

∣f ′(x)∣) ∥uε − u∥Xε∥wε∥H1(Ωε)+

+ ∣ 1


Γµγ(f(u))γ(w)dS∣ = I + II + III,

onde Xε = L2(0,1;Hs(0,Gε(x1))) para 1/2 < s < 1.Note que podemos escrever U ⊂ U1 ×U2, com U1, U2 ⊂ R abertos, (0,1) ⊂ U1 e (0,Gε(x1)) ⊂

U2 para todo x1 ∈ (0,1) e para todo 0 < ε ≤ ε0, e, assim,H1(U) ⊂H1(U1×U2) ⊂ L2(U1;Hs(U2)) =∶XU , onde a última inclusão é compacta pela Proposição 2.1.4. Logo,

I = (supx∈R

∣f(x)∣)H1/21 ∥wε −w∥Xε ≤ (sup

x∈R∣f(x)∣)H1/2

1 ∥PΩε,Uwε −w∥XU → 0

e

II = (supx∈R

∣f ′(x)∣) ∥uε − u∥Xε∥wε∥H1(Ωε) ≤ (supx∈R

∣f ′(x)∣) ∥PΩε,Uwε −w∥XU ∥PΩε,Uw

ε∥H1(U) → 0.

Finalmente, III → 0 pelo Corolário 2.2.7, e concluímos a demonstração da Proposição.

Sendo assim, para 0 < ε ≤ ε0, denote por

Eε,R = uε ∈H1(Ωε); uε é solução de (3.10) e ∥uε∥L∞(Ωε) ≤ R

o conjunto das soluções de (3.10) uniformemente limitadas em L∞(Ωε) e

E0,R = u ∈H1(Ω); u é solução de (3.11) e ∥u∥L∞(Ω) ≤ R

o conjunto das soluções de (3.11) uniformemente limitadas em L∞(Ω).

Como vamos comparar funções definidas em domínios diferentes Ωε e Ω, novamente conside-ramos o operador

Eε ∶H1(Ω)→H1(Ωε)u↦ Eεu ∶= RεPu

definido na Seção 3.1.

O principal objetivo desta seção é provar o seguinte resultado:

Teorema 3.3.5. São válidos:


(i) Para qualquer sequência uε ∈ Eε,R, com ε → 0, existe subsequência (também denominada

uε) e u0 ∈ E0,R tais que uεEÐ→ u0.

(ii) Para qualquer ponto de equilíbrio hiperbólico u0 ∈ E0,R, existe sequência uε ∈ Eε,R tal que

uεEÐ→ u0 quando ε→ 0.

Além disso, existem η > 0 e ε0 > 0 tais que existe um único uε ∈ Eε,R que satisfaz

∥uε −Eεu0∥H1(Ωε) ≤ η, para 0 < ε < ε0.

Semicontinuidade superior e inferior

Agora provaremos o resultado que implicará na semicontinuidade das soluções de (3.10) utili-zando os resultados provados na Seção 1.4.

Proposição 3.3.6. Com a notação de (3.10) e (3.11) temos A−1ε Fε

CCÐÐ→ A−10 F0.

Demonstração. Para provar esta convergência compacta, vamos verificar os itens separadamente.

(a) A−1ε Fε ∶H1(Ωε)→H1(Ωε) é um operador compacto, para todo ε > 0.

De fato, como H1(Ωε) ⊆ Xε com inclusão compacta pela Proposição 2.1.4 para cada ε > 0fixado, então X ′

ε ⊆ (H1(Ωε))′ compactamente. Com isso, temos

H1(Ωε)FεÐ→X ′

ε

iÐ→H−1(Ωε)A−1εÐÐ→H1(Ωε),

onde Fε é Lipschitz pela Proposição 2.3.2(b), provando a compacidade de A−1ε Fε.

(b) Se ∥uε∥H1(Ωε) ≤K, então A−1ε Fε(uε) é E-relativamente compacto.

Seja uε tal que ∥uε∥H1(Ωε) ≤ K. Pelo Lema 3.1.4 obtemos uma subsequência, que também

chamaremos de uε, e u ∈ H1(U) com PΩε,Uuε u em H1(U) e uε

E u∣Ω . Considere agorawε = A−1

ε Fε(uε). Pelo Lema 3.3.3, ∥wε∥H1(Ωε) ≤ C e, portanto, novamente pelo Lema 3.1.4,existe subsequência, que também denotaremos porwε, e funçãow ∈H1(U) tal que PΩε,Uw

ε w em H1(U) e wε

E w∣Ω . Denote u0 = u∣Ω e w0 = w∣Ω .

Mostremos agora que w0 = A−10 F0(u0). Para tanto, note que wε

E w0 implica que, paraqualquer v ∈H1(U),

(wε, v)H1(Ωε) → (w0, v)H1(Ω).

Por outro lado, pela definição do problema e usando a Proposição 3.3.4, temos

(wε, v)H1(Ωε) =1

εγ ∫θεf(uε)v → ∫

Γµγ(f(u0))γ(v)dS.

Pela unicidade do limite obtemos

⟨A0w0, v⟩ = (w0, v)H1(Ω) = ∫Γµγ(f(u0))γ(v)dS = ⟨F0(u0), v⟩, ∀v ∈H1(U),

e, portanto, w0 = A−10 F0(u0). Provemos, finalmente, que ∥wε∥H1(Ωε) → ∥w0∥H1(Ω), implicando


que wεEÐ→ w0 pela Proposição 1.4.5. Com efeito, usando a Proposição 3.3.4 novamente,

∥wε∥2H1(Ωε)

= (wε,wε)H1(Ω) = (A−1ε Fε(uε),wε)H1(Ω)

= 1

εγ ∫θεf(uε)wε → ∫

Γµγ(f(u0))γ(w0)dS

= (A−10 F0(u0),w0)H1(Ω) = (w0,w0)H1(Ω) = ∥w0∥2

H1(Ω).

(c) Se uεEÐ→ u então A−1

ε Fε(uε)EÐ→ A−1

0 F0(u).

De fato, se assumimos que uεEÐ→ u então ∥uε∥H1(Ωε) ≤ C, para algum C > 0 independente

de ε. Em particular, para qualquer subsequência de uε podemos encontrar outra subsequên-cia, denotando todas por uε, tal que, usando o mesmo argumento do item anterior, temosPΩε,U(uε) u, com u0 = u∣Ω e, para essa subsequência, A−1

ε Fε(uε)EÐ→ A−1

0 F0(u0). Como istofoi provado para qualquer subsequência, obtemos a E-convergência de toda a família, isto é,A−1ε Fε(uε)

EÐ→ A−10 F0(u0).

Provado isso, temos o seguinte resultado.

Teorema 3.3.7. Para qualquer família de soluções uε em Eε,R existe u solução em E0,R e uma

subsequência de uε, também chamada de uε, tal que uεEÐ→ u.

Demonstração. Basta aplicar o Teorema 1.4.10.

Também obtemos uma espécie de recíproca do teorema anterior quando a solução limite éhiperbólica.

Teorema 3.3.8. Se u solução em E0,R é hiperbólica, então existe sequência uε de soluções em

Eε,R tal que uεEÐ→ u.

Demonstração. Basta aplicar a Proposição 1.4.14.

Observação 3.3.9. No caso em que todos os pontos de equilíbrio da equação limite (3.11) são hi-perbólicos, temos que todos são isolados e existe apenas um número finito deles (ver [Arrieta et al.,2006, Corolário 5.4 e Proposição 5.5]).

Assim, pelos resultados anteriores, obtemos a família de soluções uε∗ε≥0 de (3.10) é semi-contínua superiormente e inferiormente em ε = 0 usando o Lema 1.4.3.

Unicidade na semicontinuidade inferior

Vejamos agora a unicidade, próximo um equilíbrio hiperbólico da equação limite, das soluçõesdo problema para um mesmo valor de ε, provando o Teorema 3.3.5 de forma completa.

Já foi estudado na Seção 2.3, mais especificamente nas Proposições 2.3.2, 2.3.4 e Observação2.3.5, que, dentre outras propriedades, a função Fε é Frechet-diferenciável, com

F ′ε ∶H1(Ωε)→ L(H1(Ωε),X ′

ε)u↦ F ′

ε(u) ∶H1(Ωε)→X ′ε

w ↦ F ′(u)w ∶Xε → R

v ↦ ⟨F ′ε(u)w, v⟩ =

1

εγ ∫θεf ′(u)wv.

Com isso em mente, podemos provar mais resultados de convergência.


Proposição 3.3.10. Sejam uε, vε ∈ H1(Ωε) e u, v ∈ H1(U) tais que PΩε,U(uε) u e PΩε,U(vε)v em H1(U). Então, para todo ϕ ∈H1(U),

1

εγ ∫θεf ′(uε)vεϕ→ ∫

Γµγ(f ′(u))γ(v)γ(ϕ)dS

ondeµ(x1) =

µh√1 +m′(x1)2

.

Demonstração. Com efeito,

1

εγ ∫θεf ′(uε)vεϕ = 1

εγ ∫θεf ′(uε)(vε − v)ϕ + 1

εγ ∫θε(f ′(uε) − f ′(u))vϕ +

+ 1

εγ ∫θεf ′(u)vϕ = I + II + III.

Analisando cada termo da integral acima separadamente obtemos, usando o Lema 2.2.1 lem-brando da definição do espaço XU usado na demonstração da Proposição 3.3.4,

I = 1

εγ ∫θεf ′(uε)(vε − v)ϕ ≤ (sup

x∈R∣f ′(x)∣) ( 1

εγ ∫θε∣vε − v∣2)

1/2

( 1


1/2

≤ C∥vε − v∥Xε∥ϕ∥H1(Ωε) ≤ C∥PΩε,Uvε − v∥XU ∥ϕ∥H1(U) → 0.

Como f ′ é uma função limitada e C1, aplicando o Corolário 2.2.9 obtemos

III = 1

εγ ∫θεf ′(u)vϕ→ ∫

Γµγ(f ′(u))γ(ϕ)γ(ψ)dS,

ondeµ(x1) =

µh√1 +m′(x1)2

.

Finalmente, note que podemos escrever II como

Φε ∶H1(U)→ R

ϕ↦ 1

εγ ∫θε(f ′(uε) − f ′(u))vϕ.

Desta forma, Φ é um operador linear limitado em H1(U). Com efeito, usando o Lema 2.2.1,

∣Φε(ϕ)∣ ≤ 2(supx∈R

∣f ′(x)∣) ( 1

εγ ∫θε∣v∣2)

1/2

( 1


1/2

≤ C∥v∥H1(U)∥ϕ∥H1(U).

Além disso, para todo ϕ ∈ C∞c (U) temos

Φε(ϕ) =1

εγ ∫θε(f ′(uε) − f ′(u))vϕ

≤ (supx∈R

∣f ′′(x)∣) ( 1

εγ ∫θε∣uε − u∣2)

1/2

( 1


1/2

(supx∈U

∣ϕ(x)∣)

≤K∥PΩε,Uuε − u∥XU ∥v∥H1(U) → 0

e, portanto, por densidade, II = Φε(ϕ)→ 0, para todo ϕ ∈H1(U), concluindo o resultado.


Agora podemos provar um resultado importante sobre a convergência compacta dos operadoresA−1ε F

′ε(uε∗), se uε∗ ∈H1(Ωε) é solução de (3.10).

Proposição 3.3.11. Se uε sequência de soluções de (3.10), uε ∈H1(Ωε), e u0 ∈H1(Ω) soluçãode (3.11) temos então que A−1

ε F′ε(uε)

CCÐÐ→ A−10 F

′0(u0) sempre que uε

EÐ→ u0.

Demonstração. Provaremos novamente por etapas, como na Proposição 3.3.6.

(i) A−1ε F

′ε(uε) ∶H1(Ωε)→H1(Ωε) é compacto, para ε > 0.

Novamente, como H1(Ωε) ⊆ Xε com imersão compacta pela Proposição 2.1.4, então X ′ε ⊆

(H1(Ωε))′ compactamente. Com isso, fixado uε solução de (3.10), temos

H1(Ωε)F ′ε(uε)ÐÐÐ→X ′

ε

iÐ→ (H1(Ωε))′A−1εÐÐ→H1(Ωε),

onde F ′ε(uε) é contínua pela Proposição 2.3.2(b), provando a compacidade de A−1

ε F′ε(uε).

(ii) A−1ε F

′ε(uε)vε é uma família E-relativamente compacta sempre que ∥vε∥H1(Ωε) ≤ C.

Seja vε família em H1(Ωε) tal que ∥vε∥H1(Ωε) ≤ C e defina wε = A−1ε F

′ε(uε)vε. Isto signi-

fica que, para todo ϕ ∈H1(Ωε) vale

∫Ωε

∂wε

∂x1

∂ϕ

∂x1

+ ∫Ωε

∂wε

∂x2

∂ϕ

∂x2

+ ∫Ωεwεϕ = 1

εγ ∫θεf ′(uε)vεϕ

Ao fazermos ϕ = wε segue, usando a Desigualdade de Hölder, a limitação de f ′ e o Lema2.2.1, que

∥wε∥2H1(Ωε)

= 1

εγ ∫θεf ′(uε)vεwε ≤ (sup

x∈R∣f ′(x)∣)C2∥vε∥H1(Ωε)∥wε∥H1(Ωε)

e, assim, ∥wε∥H1(Ωε) ≤ K, para algum K > 0 independente de ε. Logo, pelo Lema 3.1.4obtemos subsequências, que também denotaremos por vε e wε, e elementos v,w ∈ H1(U)tais que PΩε,U(vε) v e PΩε,U(wε) w ambas em H1(U), com vε

E v∣Ω e wεE w∣Ω .

Denote v0 = v∣Ω e w0 = w∣Ω .

Provemos agora que w0 = A−10 F

′0(u0)v0. Para tanto, primeiramente observe que, se ϕ ∈

H1(U), então

(wε, ϕ)H1(Ωε) =1

εγ ∫θεf ′(uε)vεϕ (3.14)

Note que, por um lado, usando a Proposição 3.3.10,

1

εγ ∫θεf ′(uε)vεϕ→ ∫

Γµγ(f ′(u0))γ(v0)γ(ϕ)dS = (A−1

0 F′0(u0)v0, ϕ)H1(Ω)

e, por outro, como wεE w0,

(wε, ϕ)H1(Ωε) → (w0, ϕ)H1(Ω)

Logo, w0 = A−10 F

′0(u0)v0. Finalmente, mostremos que wε

EÐ→ w0. Pela Proposição 1.4.5,basta mostrar que ∥wε∥H1(Ωε) → ∥w0∥H1(Ω). Porém, se tomarmos ϕ = wε em (3.14) obtemos,de forma análoga ao feito na demonstração da Proposição 3.3.6, a convergência das normas.


(iii) A−1ε F

′ε(uε)vε

EÐ→ A−10 F

′0(u0)v0 se vε

EÐ→ v0.

Para provar que wεEÐ→ w0 para a sequência toda usamos a prova análoga à demonstração

deste passo na Proposição 3.3.6.

Finalmente, provemos mais uma propriedade da norma da linearização em torno de uma solu-ção de (3.10) para depois podermos concluir o objetivo principal desta seção.

Lema 3.3.12. Dado uε∗ ∈ H1(Ωε) solução de (3.10), existe K > 0 tal que, para todo vε ∈ H1(Ωε)com ∥vε∥H1(Ωε) ≤ 1, vale

∥A−1ε (Fε(uε∗ + vε) − Fε(uε∗) − F ′

ε(uε∗)vε)∥H1(Ωε) ≤K∥vε∥1+αH1(Ωε)

, para algum α ∈ (0,1).

Demonstração. Seja wε = A−1ε (Fε(uε∗ + vε) − Fε(uε∗) − F ′

ε(uε∗)vε). Isto implica que wε é tal que,para todo ϕ ∈H1(Ωε),

∫Ωε

∂wε

∂x1

∂ϕ

∂x1

+ ∫Ωε

∂wε

∂x2

∂ϕ

∂x2

+ ∫Ωεwεϕ = 1

εγ ∫θε(f(uε∗ + vε) − f(uε∗) − f ′(uε∗)vε)ϕ

Tomando ϕ = wε, segue que, para fixado p < 2 de modo que seu conjugado q obedeça 2 < q < 4,temos pelo Lema 2.2.2,

∥wε∥2H1(Ωε)

= 1

εγ ∫θε(f(uε∗ + vε) − f(uε∗) − f ′(uε∗)vε)wε

≤ ( 1

εγ ∫θε∣f(uε∗ + vε) − f(uε∗) − f ′(uε∗)vε∣p)

1/p

( 1

εγ ∫θε∣wε∣q)

1/q

≤ C ( 1

εγ ∫θε∣f(uε∗ + vε) − f(uε∗) − f ′(uε∗)vε∣p)

1/p

∥w∥H1(Ωε)

Analogamente à prova da Proposição 2.3.4(d) obtemos, para α ∈ (0,1) tal que p(1 + α) = 2,ou seja, 2/p = (1 + α),

∥wε∥2H1(Ωε)

≤ C ( 1


12

2p

≤ C2∥v∥2/p

H1(Ωε)= C2∥v∥1+α

H1(Ωε)∥w∥H1(Ωε)

e, portanto,∥wε∥H1(Ωε) ≤K∥v∥1+α

H1(Ωε)


Com essas ferramentas podemos provar a unicidade de soluções no teorema principal.

Proposição 3.3.13. Se u∗0 é um equilíbrio hiperbólico de (3.11), então existem δ > 0 e ε0 tal que,para 0 < ε < ε0 há uma, e apenas uma, uε∗ solução de (3.1) tal que ∥uε∗ −Eεu∗0∥H1(Ωε) ≤ η.


Assim, unificando os resultados, obtemos:

Demonstração do Teorema 3.3.5. Para o item (i) temos o Teorema 3.3.7 e para o item (ii) aplica-se o Teorema 3.3.8 e a Proposição 3.3.13.

CAPÍTULO 4

Domínio fino com fronteira oscilante

Nesta seção estamos interessados em estudar o comportamento das soluções de equações di-ferenciais parciais semilineares elípticas definidas em domínios finos, onde parte de sua fronteiraapresenta comportamento oscilatório e há um fenômeno de reação concentrada nesta vizinhança.Dessa forma, iremos estudar problemas, com condições de fronteira de Neumann homogênea, dotipo

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

−∆vε + vε = 1

εγχoεf(vε) em Rε,

∂vε

∂νε= 0 em ∂Rε,

(4.1)

com ε > 0, γ > 0, νε = (νε1, νε2) vetor normal unitário apontando para fora na fronteira do domínioRε, ∂/∂νε a derivada na direção do vetor νε, χoε a função característica do conjunto oε e

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Rε = (x, y); 0 < x < 1, 0 < y < εg(x/ε)oε = (x, y); 0 < x < 1, ε(g(x/ε) − εγh(x/εβ)) < y < εg(x/ε)

onde assumimos:

(i) β > 0;

(ii) a não-linearidade f ∶ R→ R é uma função C2;

(iii) as funções g, h ∶ (0,1) → R, que definem o domínio são funções suaves, positivas, Lg eLh-periódicas, respectivamente, e tais que existem g0, g1, h0, h1 ∈ R com

0 < g0 ≤ g(x) ≤ g1 <∞, 0 ≤ h0 ≤ h(x) ≤ h1 <∞, ∀x ∈ (0,1);

(iv) g possui derivadas limitadas.

Observação 4.0.1. Usando o [Cioranescu e Donato, 1999, Teorema 2.6], temos que gε(x) =g(x/ε) e hε(x) = h(x/εβ) satisfazem

gε∗ µg =

1

Lg∫

Lg

0g(s)ds e hε

∗ µh =1

Lh∫

Lh

0h(s)ds em L∞(0,1),

com µg, µh ∈ R.

77

78 DOMÍNIO FINO COM FRONTEIRA OSCILANTE 4.0

Tal domínio é ilustrado na Figura 4.1.

oϵ

Rϵ

Figura 4.1: Domínio fino com concentração na fronteira oscilante.

Sendo assim, as equações estão definidas em domínios finos, com termos concentrados emvizinhanças oε da fronteira oscilante, explicitados pela função χoε e pelo termo 1/εγ . Note que,neste termo, há a mesma ordem comparada à espessura da vizinhança da fronteira oscilatória ondehá concentração, dada por εγ . Tal fator será de suma importância no estudo do comportamento dasfunções concentradas neste aberto.

Observe que nos referimos a problemas de domínios finos quando assumimos que os abertosonde as EDPs estão definidas se degeneram em subconjuntos de espaços Euclidianos de dimensãomenor que o original. No nosso caso, os abertos de R2 se degeneram no intervalo (0,1).

A análise deste capítulo se baseia em estudar o comportamento das soluções da equação dife-rencial parcial dada em (4.1) quando fazemos ε tender a zero. Note que isto não é algo que podeser feito diretamente posto que as soluções estarão definidas em domínios diferentes, que variamdiretamente com ε tanto na espessura do domínio fino (de ordem ε), como na amplitude da funçãona fronteira oscilatória (variando como x/ε) e na concentração da vizinhança oscilatória (de ordemεγ), simultaneamente.

Dessa forma, nosso primeiro passo foi escolher qual seria o melhor método de encarar o pro-blema, para que tal análise seja razoável e proveitosa do ponto de vista matemático. A estratégiaescolhida foi fazer uma mudança de variáveis, transformando o domínio fino inicial em outro quenão seja fino, mas ainda com propriedades que dependem fortemente de ε. Feito isso, nos basea-mos em resultados já provados da literatura para provar nosso resultado de convergência.

Para tanto, reescalamos o domínio do nosso problema inicial de modo que ele não seja maisfino; porém, ele ainda terá fronteira altamente oscilante. Isto é obtido através da transformaçãoclássica usada para esta abordagem em domínios finos, que mantém o eixo x e multiplica osvalores de y por um fator 1/ε, ou seja, tomando o isomorfismo ψε ∶ R2 → R2 definido como(x1, x2) = ψε(x, y) ∶= (x, y/ε), que nos leva ao problema equivalente:

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

−∂2uε

∂x21

− 1

ε2

∂2uε

∂x22

+ uε = 1


∂uε

∂x1

N ε1 +

1

ε2

∂uε

∂x2

N ε2 = 0 em ∂Ωε,

(4.2)

com N ε = (N ε1 ,N

ε2) vetor normal unitário apontando para fora na fronteira do novo domínio Ωε,

χθε a função característica do conjunto θε e

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Ωε = (x1, x2); 0 < x1 < 1, 0 < x2 < gε(x1)θε = (x1, x2); 0 < x1 < 1, gε(x1) − εγhε(x1) < x2 < gε(x1)

(4.3)

Tal domínio reescalado é ilustrado na Figura 4.2.

Note que os problemas (4.1) e (4.2) são equivalentes, no sentido de que uma solução vε ∈H2(Rε) de (4.1) se, e somente se, uε = vε ψ−1

ε ∈H2(Ωε) é solução de (4.2).

4.0 79

θϵ

Ωϵ

Figura 4.2: Domínio modificado, ainda dependendo fortemente de ε, com concentração na fronteira osci-lante.

De fato, vε ∈H2(Rε) é solução de (4.1), temos, para todo φε ∈H1(Rε), a seguinte igualdade:

∫Rε∇vε∇φε + ∫

Rεvεφε = 1

εγ ∫oεf(vε)φε. (4.4)

Observe que definindo, como anteriormente feito, para cada ε > 0 fixado a aplicação

ψε ∶ R2 Ð→ R2

(x,y)↦ ψε(x, y) ∶= (x, y/ε) = (x1, x2),

segue que ψε é um difeomorfismo linear (usando o Teorema da Aplicação Aberta), com ψε(Rε) =Ωε, ψε(oε) = θε e matriz jacobiana dada por

Jψε(x, y) =⎛⎜⎜⎜⎝

∂x1

∂x

∂x1

∂y∂x2

∂x

∂x2

∂y

⎞⎟⎟⎟⎠=⎛⎝

1 0

01

ε

⎞⎠.

Tal aplicação induz um isomorfismo entreH2(Rε) eH2(Ωε). Sendo assim, para wε ∈H2(Rε),ao considerarmos uε = wε ψ−1

ε ∈H2(Ωε), segue que wε = uε ψε e, assim,

∂wε

∂x(x, y) = ∂u

ε

∂x1

(ψε(x, y))∂x1

∂x(x, y) = ∂u

ε

∂x1

(x1, x2)

e∂wε

∂y(x, y) = ∂u

ε

∂x2

(ψε(x, y))∂x2

∂y(x, y) = 1

ε

∂uε

∂x2

(x1, x2).

De maneira análoga, se tomarmos φε ∈ H1(Rε) função teste, temos que ϕε = φε ψε é funçãoteste em H1(Ωε), onde valem as mesmas relações explicitadas acima. Então, mudando variáveisna integral e substituindo tais funções em (4.4) obtemos para toda função ϕε = φε ψε ∈H1(Ωε)

0 = ∫Rε∇vε∇φε + ∫

Rεvεφε − 1

εγ ∫oεf(vε)φε

= ε(∫Ωε

∂uε

∂x1

∂ϕε

∂x1

+ 1

ε2 ∫Ωε

∂uε

∂x2

∂ϕε

∂x2

+ ∫Ωεuεϕε − 1

εγ ∫θεf(u)ϕε)

e, portanto, uε satisfaz a fórmula variacional de (4.2) com ε > 0. Para provar que é solução, comowε ∈ H2(Ωε) por Hale e Raugel [1992b], resta mostrar que uε ∈ H2(Ωε) satisfaz a condição


de fronteira do problema. De fato, note que os vetores normais unitários exteriores às fronteirassuperiores de Rε e Ωε são dados por

νε(x, εgε(x)) = (νε1, νε2) =⎛⎝

−g′ε(x)√1 + g′ε(x)2

,1√

1 + g′ε(x)2

⎞⎠

e

N ε(x1, gε(x1)) = (N ε1 ,N

ε2) =

⎛⎝

−ε−1g′ε(x1)√1 + ε−2g′ε(x1)2

,1√

1 + ε−2g′ε(x1)2

⎞⎠,

respectivamente. Como

(νε1, νε2) = kε(εN ε1 ,N

ε2), onde kε =

√1 + ε−2g′ε(x1)2

√1 + g′ε(x)2

,

segue que

0 = ∂wε

∂ν= (∂w

ε

∂x,∂wε

∂y) (νε1, νε2) = (∂u

ε

∂x1

,1

ε

∂uε

∂x2

)kε(εN ε1 ,N

ε2) = εkε (

∂uε

∂x1

N ε1 +

1

ε2

∂uε

∂x2

N ε2)

⇔ (∂uε

∂x1

N ε1 +

1

ε2

∂uε

∂x2

N ε2) = 0

e, portanto, provamos o resultado desejado.

Como citado anteriormente, note na Figura 4.3 que o novo domínio obtido após esta mudançaainda depende fortemente de ε e possui um comportamento específico quando mandamos tal pa-râmetro para zero, apesar de não ser fino como o inicial.

Figura 4.3: Ilustração do comportamento de Ωε quando ε decresce.

De agora em diante olharemos apenas para o problema modificado. Porém, ao trabalharmoscom o limite das soluções desta equação diferencial, deve-se ter em mente que, como se tratainicialmente de um problema em domínio fino, seu limite, intuitivamente, deve ser um problemaunidimensional. Com efeito, essa será nossa tarefa: mostrar que, num certo sentido, o problemasingular que varia com ε proposto pode ser aproximado por um problema regular unidimensional.

Note que, nesta nova formulação, temos um grande mecanismo de difusão na direção de x2.Tal mecanismo, explicitado pelo termo 1/ε2 na equação, fará com que as soluções de (4.2) se tor-nem cada vez mais homogêneas na direção de x2 conforme ε tende a zero. Espera-se que este fatonos guie a uma solução limite que não dependerá desta variável, sendo, como o esperado, definida


apenas em (0,1).

Mostraremos que o problema limite de (4.2) será da forma

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

−q0uxx + u = f0(u) em (0,1),ux(0) = ux(1) = 0,

(4.5)

comq0 =

1

∣Y ∗∣ ∫Y ∗[1 − ∂X

∂y1

(y1, y2)]dy1dy2 e f0(⋅) =Lg∣Y ∗∣

µhf(⋅),


⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

−∆X = 0 em Y ∗,∂X

∂N= 0 em B2,

∂X

∂N= − g′(y1)√

1 + g′(y1)2em B1,

X Lg-periódica em y1,

∫Y ∗Xdy1dy2 = 0


Y ∗ = (y1, y2) ∈ R2; 0 < y1 < Lg,0 < y2 < g(y1),

com B1 e B2 suas fronteiras superior e inferior, respectivamente.Note que o coeficiente de difusão q0 mostra a influência da geometria do domínio no operador

limite, enquanto a aplicação f0 também evidencia a presença da concentração no problema singu-lar. Além disso, o problema limite ainda possui condições de fronteira de Neumann homogênease a influência da concentração se evidencia apenas na não-linearidade com a média µh da funçãoque a determina.

4.1 Operador de extensão e E-convergência

Como nosso objetivo é, posteriormente, compreender o comportamento das soluções das equa-ções perturbadas dados por (4.2) quando ε vai a zero, um primeiro passo é decidir de que formairemos comparar tais funções que estão definidas em espaços diferentes que variam com ε. Umapossível abordagem é a utilização de operadores de extensão Pε, onde se constrói um operadorcontínuo e que estende as funções definidas em Ωε para um domínio fixo Ω, que independe do parâ-metro ε e contém todos os domínios Ωε, como na Figura 4.5. Tal técnica foi usada em Arrieta et al.[2011],onde Ω = (0,1) × (0, g1), com g1 sendo o valor máximo da função que define a oscilaçãoda fronteira.

Ωϵ

Ω

Figura 4.4: Exemplo de extensão do domínio com fronteira oscilante a um domínio fixo.


Considere, assim, Oε = (x1, x2); 0 < x1 < 1, 0 < x2 < Gε(x1) e O = (x1, x2); 0 < x1 <1, 0 < x2 < G1, onde Gε ∶ (0,1) → R função C1 tal que 0 < G0 ≤ Gε(x) ≤ G1 e Gε possuiderivada contínua. Note que Oε ⊂ O, para todo ε > 0.

Lema 4.1.1. Com a notação acima, existem contante K > 0, independente de ε e p, e operador deextensão contínuo

Pε ∈ L(Lp(Oε), Lp(O)) ∩L(W 1,p(Oε),W 1,p(O)) ∩L(W 1,p∂l

(Oε),W 1,p∂l

(O))

(onde W 1,p∂l

é o conjunto das funções em W 1,p que zeram na fronteira lateral do domínio) tais que

∥Pεϕε∥Lp(O) ≤K∥ϕε∥Lp(Oε),

∥∂Pεϕε

∂x1

∥Lp(O)

≤K (∥∂ϕε

∂x1

∥Lp(Oε)

+ η(ε) ∥∂ϕε

∂x2

∥Lp(Oε)

) ,

∥∂Pεϕε

∂x2

∥Lp(O)

≤K ∥∂ϕε

∂x2

∥Lp(Oε)

,

para todo ϕε ∈W 1,p(Oε), com 1 ≤ p ≤∞ e η(ε) = supx1∈(0,1) ∣G′ε(x1)∣.

Demonstração. Ver [Arrieta et al., 2011, Lema 3.1].

Sendo assim, este operador será importante para a análise da convergência por estender funçõesdefinidas em um domínio perturbado Ωε para Ω, que é fixo, de modo conveniente.

Observação 4.1.2. Um resultado semelhante pode ser construído no caso em que a função Gε

independente de ε.

Ao considerarmos H1ε (Ωε) sendo o espaço H1(Ωε) com a norma

∥u∥2H1ε (Ωε)

= ∥u∥2L2(Ωε)

+ ∥ ∂u∂x1

∥2

L2(Ωε)

+ 1

ε2∥ ∂u∂x2

∥2

L2(Ωε)

temos que o operador de extensão criado no Lema 4.1.1 possui uma propriedade importantequando analisado em funções específicas, como dada na proposição a seguir.

Proposição 4.1.3. Usando a notação anterior, para Gε(x1) = g(x1/ε) e Ω = (0,1) × (0, g1), se∥u∥H1

ε (Ωε)≤K, onde K > 0 independe de ε, então ∥Pεu∥H1(Ω) será uniformemente limitado, onde

Pε é o operador construído no Lema 4.1.1.Além disso, se temos uma sequência uε tal que ∥uε∥H1

ε (Ωε)≤ C, então podemos extrair sub-

sequência (com a mesma notação) tal que

Pεuε → u0 em L2(Ω), Pεuε u0 em H1(Ω) e

∂Pεuε

∂x2

→ 0 em L2(Ω),

para u0 ∈H1(Ω). Neste caso, podemos considerar u0 ∈H1(0,1), pois é uma função independentede x2.

Demonstração. De fato, temos

∥uε∥H1ε (Ωε)

≤ C ⇒ ∥uε∥L2(Ωε) ≤ C, ∥∂uε

∂x1

∥L2(Ωε)

≤ C e ∥∂uε

∂x2

∥L2(Ωε)

≤ Cε.


Pelo Lema 4.1.1,

∥Pεuε∥2H1(Ω)

= ∥Pεuε∥2L2(Ω)

+ ∥∂Pεuε

∂x1

∥2

L2(Ω)

+ ∥∂Pεuε

∂x2

∥2

L2(Ω)

≤K [∥uε∥2L2(Ωε)

+ (∥∂uε

∂x1

∥2

L2(Ωε)

+ η2(ε) ∥∂uε

∂x2

∥2

L2(Ωε)

) + ∥∂uε

∂x2

∥2

L2(Ωε)

] .

Sabendo que g tem derivadas limitadas, segue que

η(ε) = supx1∈(0,1)

∣G′ε(x1)∣ =

1

εsup

x1∈(0,1)

∣g′(x1/ε)∣ ≤C

ε

e, então, para 0 < ε < 1 existe M > 0 independente de ε > 0 tal que

∥Pεuε∥H1(Ω) ≤K∥uε∥2L2(Ωε)

+K ∥∂uε

∂x1

∥2

L2(Ωε)

+ (KC2ε2 + ε4

ε2) 1

ε2∥∂u

ε

∂x2

∥2

L2(Ωε)

≤ C∥uε∥2H1ε (Ωε)

≤ M,

implicando que

∥Pεuε∥L2(Ω) ≤M, ∥∂Pεuε

∂x1

∥L2(Ω)

≤M, ∥∂Pεuε

∂x2

∥L2(Ω)

≤ εM.

Com isso, existem subsequência de Pεuε e u0 ∈H1(Ω) tais que

Pεuε → u0 em L2(Ω), Pεuε u0 em H1(Ω), ∂Pεu

ε

∂x2

→ 0 em L2(Ω).

Tais limites implicam que u0(x1, x2) = u0(x1) em Ω e, mais especificamente,

∂u0

∂x2

(x1, x2) = 0 qtp em Ω.

De fato, para toda ϕ ∈ C∞0 (Ω), temos

∫Ω

∂u0

∂x2

ϕdx1dx2 = −∫Ωu0∂ϕ

∂x2

dx1dx2 =

= − limε→0∫

Ω(Pεuε)

∂ϕ

∂x2

dx1dx2 = − limε→0∫

Ω

∂Pεuε

∂x2

ϕdx1dx2 = 0.

Em particular, podemos então considerar u0 ∈H1(0,1), provando o resultado.

Além disso, construiremos novamente estruturas abstratas que serão usadas para analisar pro-blemas definidos em diferentes espaços. Agora também voltaremos ao conceito dos espaços deSobolev e de Lebesgue-Bochner definidos na Seção 1.2, os quais serão úteis para a definição dosoperadores Eε e para as posteriores análises de convergência.

Fixado 1/2 < s < 1, defina X = L2(0,1;Hs(0, g1)), Xε = L2(0,1;Hs(0, gε(x1))) para ε > 0 eX0 = L2(0,1) com a norma dada por ∥u∥X0 =

√µg∥u∥L2(0,1).


Assim, X0 ⊂ Xε para ε > 0, H1(Ωε) ⊂ Xε para ε > 0 pela Proposição 2.1.3 e claramenteH1(0,1) ⊂X0. Sendo assim, considere o operadores Eε definidos por

Eε ∶X0 →Xε

u↦ (Eεu)(x1, x2) = u(x1).

Note que dado u ∈X0, temos que

∥Eεu∥2Xε = ∫

1

0∥(Eεu)(x1, ⋅)∥2

Hs(0,gε(x1))dx1 = ∫

1

0gε(x1)∣u(x1)∣2dx1 → µg∥u∥2

L2(0,1) = ∥u∥2X0.

Com isso, podemos definir noções de E-convergência nestes espaços, como feito no Capítulo1, na Seção 1.4.

Em trabalhos prévios (como Arrieta et al. [2011] e Pereira [2016], por exemplo), tais resultadossão provados em outro espaço: L2(Ωε). Esta abordagem distinta se deve à não-linearidade Fε termelhores propriedades quando analisada em Xε = L2(0,1;Hs(0, gε(x1))) ou em H1(Ωε), comoexplicitado na Proposição 2.3.2.

Ademais, como não temos convergência forte de soluções em H1(Ωε) por estarmos traba-lhando em domínios finos com fronteira necessariamente oscilante (g não é uma função constante),o espaço Xε = L2(0,1;Hs(0, gε(x1))) é o mais conveniente para espaço base deste problema.

4.2 Caso linear

Nesta seção analisaremos a convergência da família de soluções do problema linear com con-centração na fronteira oscilante. Além de sua representatividade como problema individual, esteresultado é importante e será utilizado na próxima seção, em um dos passos anteriores à demons-tração da semicontinuidade superior e inferior das soluções de equilíbrio do problema semilinear.

Para tanto, considere

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

−∂2uε

∂x21

− 1

ε2

∂2uε

∂x22

+ uε = 1


∂uε

∂x1

N ε1 +

1

ε2

∂uε

∂x2

N ε2 = 0 em ∂Ωε,

(4.6)

com f ε ∈ L2(Ωε), ∥f ε∥2L2(θε)

≤ Cεγ para algum C > 0 independente de ε, e


onde γ > 0, β > 0, gε(x) ∶= g(x/ε), hε(x) ∶= h(x/εβ), g, h ∶ R → R são funções suaves, positivas,Lg e Lh-periódicas, resp., e tais que existem g0, g1, h0, h1 > 0 com 0 < g0 ≤ g(x) ≤ g1 < ∞ e0 ≤ h0 ≤ h(x) ≤ h1 <∞, para todo x ∈ R. Além disso, considere que g possui derivadas limitadas.

4.2 CASO LINEAR 85


Considere os operadores Aε definidos por

D(Aε) ∶= uε ∈H2(Ωε);∂uε

∂x1

N ε1 +

1

ε2

∂uε

∂x2

N ε2 = 0

Aε ∶D(Aε) ⊂ L2(Ωε)→ L2(Ωε)

uε z→ Aεuε ∶= −∂

2uε

∂x21

− 1

ε2

∂2uε

∂x22

+ uε.

Dado ε > 0, note que as soluções fracas do problema (4.6) são uε ∈H1(Ωε) tais que

∫Ωε

(∂uε

∂x1

∂ϕε

∂x1

+ 1

ε2

∂uε

∂x2

∂ϕε

∂x2

+ uεϕε)dx1dx2 =1

εγ ∫θεf εϕεdx1dx2, ∀ϕε ∈H1(Ωε).

Sendo assim, usando as hipóteses iniciais sobre f ε obtemos a existência e unicidade de solu-ções através do Teorema de Lax-Milgram ([Evans, 1998, Seção 6.2.1, Teorema 1]). De fato, definao operador

aε ∶H1ε (Ωε) ×H1

ε (Ωε)→ R

(uε, vε)↦ aε(uε, vε) = ∫Ωε

(∂uε

∂x1

∂vε

∂x1

+ 1

ε2

∂uε

∂x2

∂vε

∂x2

+ uεvε) .

Segue que a formulação fraca de (4.6) pode ser escrita como: encontrar u ∈H1ε (Ωε) tal que

aε(uε, vε) =1

εγ ∫θεf εvε, ∀vε ∈H1

ε (Ωε),

e possui as seguintes propriedades, usando ∥f ε∥2L2(θε)

≤ Cεγ e o Lema 2.2.1, para todo uε, vε ∈H1(Ωε):

(i) aε(uε, vε) = ∫Ωε

(∂uε

∂x1

∂vε

∂x1

+ 1

ε2

∂uε

∂x2

∂vε

∂x2

+ uεvε) ≤ ∥uε∥H1ε (Ωε)

∥vε∥H1ε (Ωε)

;

(ii) ∣aε(uε, uε)∣ = ∥uε∥2H1ε (Ωε)

.


1

εγ ∫θεf εvε ≤ ( 1


1/2

∥vε∥H1(Ωε) ≤ C∥vε∥H1ε (Ωε)

.

Logo, aε é uma forma bilinear estritamente coercitiva, para cada ε > 0, e usando Lax-Milgramexiste uma única solução uε ∈H1

ε (Ωε) tal que

∫Ωε

(∂uε

∂x1

∂vε

∂x1

+ 1

ε2

∂uε

∂x2

∂vε

∂x2

+ uεvε) = 1

εγ ∫θεf εvε, ∀vε ∈H1(Ωε),

provando o resultado.Estabelecemos agora o candidato a problema limite de (4.6). Com o método de múltiplas es-

calas usado em [Arrieta et al., 2011, Seção 2] obtém-se formalmente o candidato a limite homo-genizado de (4.6). Considere a célula representativa ilustrada na Figura 4.5, definida por

Y ∗ = (y1, y2) ∈ R2; 0 < y1 < Lg,0 < y2 < g(y1)


e sejam B1 e B2 as fronteiras superior e inferior de ∂Y ∗, respectivamente.

Y*

Figura 4.5: Exemplo de célula representativa Y ∗.

Ao considerarmos o problema auxiliar dado por

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

−∆X = 0 em Y ∗,∂X

∂N= 0 em B2,

∂X

∂N= − g′(y1)√

1 + g′(y1)2em B1,

X é Lg-periódica em y1,

∫Y ∗Xdy1dy2 = 0,

(4.7)

nosso candidato a problema limite de (4.6) é da forma

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

−q0uxx + u = f0 em (0,1),ux(0) = ux(1) = 0,

(4.8)

ondeq0 =

1

∣Y ∗∣ ∫Y ∗[1 − ∂X

∂y1

(y1, y2)]dy1dy2 (4.9)

e, supondo que existe sequência ε→ 0 tal que

f ε(⋅) ∶= 1

εγ ∫gε(x1)

gε(x1)−εγhε(x1)f ε(x1, x2)dx2 f(⋅)

em L2(0,1) para algum f ∈ L2(0,1), então f0(x1) ∶=Lg∣Y ∗∣

f(x1).

Finalmente, mostra-se que o problema limite (4.8) está bem posto e possui uma única solução,utilizando o Teorema de Lax-Milgram, pois 0 < q0 < 1 (ver [Villanueva-Pesquera, 2015, Observa-ção 1.2.8]).

Observe que tal coeficiente 0 < q0 < 1 reflete como a geometria do domínio, em particular suarugosidade, influencia no coeficiente de difusão da equação unidimensional limite. Além disso,notaremos que, no caso linear, não há mudança no limite com relação ao caso sem concentração,pois o termo f “absorve” bem a reação próxima da vizinhança oscilante.

4.2 CASO LINEAR 87

4.2.2 Convergência de soluções

Nesta subseção apontamos resultados já conhecidos de artigos anteriores e mostramos comonosso problema se encaixa como corolário sob certas condições.

No trabalho feito por [Arrieta et al., 2011, Teorema 4.3] foi provado o seguinte resultado, uti-lizando a técnica das funções teste oscilantes, desenvolvida originalmente por Tartar [1977] e apli-cadas em Cioranescu e Paulin [1979], para provar a convergência das soluções no domínio finopara o limite homogeneizado:

Teorema 4.2.1. Seja uε ∈H1(Ωε) solução de

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

−∂2uε

∂x21

− 1

ε2

∂2uε

∂x22

+ uε = φε em Ωε,

∂uε

∂x1

N ε1 +

1

ε2

∂uε

∂x2

N ε2 = 0 em ∂Ωε,

onde φε ∈ L2(Ωε), com ∥φε∥L2(Ωε) ≤ C, para algum C > 0 independente de ε. Então

(i) se temos sequência ε→ 0 tal que

φε(x1) = ∫g(x1/ε)

0φε(x1, x2)dx2 φ(x1)

fracamente em L2(0,1) para algum φ ∈ L2(0,1), segue que Pεuε u0 em H1(Ω) paraalgum u0 ∈ H1(Ω), onde Pε ∈ L(L2(Ωε), L2(Ω)) ∩ L(H1(Ωε),H1(Ω)) é o operador ex-tensão construído no Lema 4.1.1, Ω = (0,1) × (0, g1), com u0(x1, x2) = u0(x1) para todo(x1, x2) ∈ Ω, implicando que podemos considerar u0 ∈ H1(0,1), e u0 ∈ H1(0,1) é a únicasolução de

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

−q0uxx + u = φ0 em (0,1),ux(0) = ux(1) = 0,

onde 0 < q0 < 1 é dado por (4.9) e

φ0(⋅) =Lg∣Y ∗∣

φ(⋅).

(ii) para qualquer sequência ε → 0 existe subsequência tal que as funções φε φ em L2(0,1)para alguma função φ ∈ L2(0,1). Em particular, o resultado do item anterior vale para estasubsequência.

Observação 4.2.2. Como o Teorema de Lax-Milgram garante a unicidade da solução fraca doproblema limite unidimensional, sabemos que toda subsequência fracamente convergente da sequên-cia Pεuε converge ao mesmo limite. Portanto toda a sequência converge fracamente ao limite u0.

Observação 4.2.3. Note que, sendo q0 uma constante, segue da teoria de regularidade de equaçõeselípticas que u0 ∈H2(0,1).

Dessa forma, podemos enunciar o resultado principal desta subseção como uma aplicaçãoparticular do teorema anterior, explicitado por:


Corolário 4.2.4. Seja uε ∈H1(Ωε) solução de (4.6), ou seja, de

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

−∂2uε

∂x21

− 1

ε2

∂2uε

∂x22

+ uε = 1


∂uε

∂x1

N ε1 +

1

ε2

∂uε

∂x2

N ε2 = 0 em ∂Ωε,

e suponha que exista C > 0, independente de ε, tal que ∥f ε∥2L2(θε)

≤ Cεγ . Então

(i) se temos sequência ε→ 0 tal que

f ε(x1) ∶=1

εγ ∫gε(x1)

gε(x1)−εγhε(x1)f ε(x1, x2)dx2 f(x1)

em L2(0,1), para algum f ∈ L2(0,1), então

Pεuε u0

em H1(Ω) e, consequentemente,Pεu

ε → u0

em L2(0,1;Hs(0, g1)) para 1/2 < s < 1, onde Pε ∈ L(L2(Ωε), L2(Ω))∩L(H1(Ωε),H1(Ω))é o operador extensão construído no Lema 4.1.1, com u0(x1, x2) = u0(x1) para todo (x1, x2) ∈Ω, implicando que podemos considerar u0 ∈H1(0,1), e u0 satisfaz

∫1

0(q0

∂u0

∂x1

∂ϕ

∂x1

+ u0ϕ)dx1 = ∫1

0f0ϕdx1, ∀ϕ ∈H1(0,1),

com q0, f0 dados por

q0 ∶=1

∣Y ∗∣ ∫Y ∗(1 − ∂X

∂y1

(y1, y2))dy1dy2 e f0(x1) ∶=Lg∣Y ∗∣

f(x1),

onde temos a célula representativa Y ∗ ∶= (y1, y2); 0 < y1 < L,0 < y2 < g(y1) e X soluçãodo problema auxiliar (4.7).

(ii) para toda sequência ε → 0 existe subsequência (digamos também ε → 0) tal que f ε f emL2(Ω) para algum f ∈ L2(Ω). Em particular, para esta subsequência vale o item anterior.

Demonstração. Basta tomar φε = 1

εγχθεf ε no Teorema 4.2.1.

Observação 4.2.5. Se f ε independe de x2 e de ε, isto é, se f ε(x1, x2) = f(x1), então

f0 =Lg∣Y ∗∣

µhf,

onde µh é dada na Observação 4.0.1.

4.3 Caso semilinear

Nesta subseção temos como objetivo: estudar o comportamento das soluções do problemaperturbado quando ε tende a zero. Para tanto, usaremos o operador de extensão construído na


Seção 4.1, mais especificamente na Proposição 4.1.1, e suas propriedades. Tais propriedades serãoúteis para resultados de convergência compacta que implicarão na semicontinuidade superior einferior das soluções do problema semilinear.

Para tanto, considere novamente (4.2) dado por

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

−∂2uε

∂x21

− 1

ε2

∂2uε

∂x22

+ uε = 1


∂uε

∂x1

N ε1 +

1

ε2

∂uε

∂x2

N ε2 = 0 em ∂Ωε,

com f ∶ R→ R de classe C2 limitada e com derivadas limitadas até segunda ordem e

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩


onde γ > 0, β > 0, gε(x) ∶= g(x/ε), hε(x) ∶= h(x/εβ), g, h ∶ (0,1) → R são funções suaves,positivas, Lg e Lh-periódicas e tal que existem g0, g1, h0, h1 > 0 com 0 < g0 ≤ g(x) ≤ g1 < ∞e 0 ≤ h0 ≤ h(x) ≤ h1 < ∞, para todo x ∈ (0,1). Além disso, considere que g possui derivadaslimitadas.

Observação 4.3.1. Tal restrição em f é justificada da mesma forma que na Observação 2.3.1.


Inicialmente vamos escrever o problema (4.2) em uma forma abstrata e obter suas soluçõescomo pontos fixos de aplicações não-lineares adequadas.

Para tanto, considere novamente os operadores

Aε ∶D(Aε) ⊂ L2(Ωε)→ L2(Ωε)

uε z→ Aεuε ∶= −∂

2uε

∂x21

− 1

ε2

∂2uε

∂x22

+ uε,

com D(Aε) ∶= uε ∈H2(Ωε);∂uε

∂x1

N ε1 +

1

ε2

∂uε

∂x2

N ε2 = 0.

Denote Z0ε = L2(Ωε), Z1

ε = D(Aε) e considere a escala de espaços de Hilbert construídos porinterpolação complexa entre Z0

ε e Z1ε (ver definição em (1.1) no Capítulo 1). No nosso contexto,

tais espaços coincidem isometricamente com os espaços de potência fracionária do operador Aε(ver Teorema 1.1.8). Tal escala pode ser estendida para potências negativas tomando Z−α

ε = (Zαε )′,

para α > 0. Note que Z1/2ε = H1

ε (Ωε) e Z−1/2ε = (H1

ε (Ωε))′. Sendo assim, se considerarmos asrealizações de Aε nesta escala, obtemos que Aε,−1/2 ∈ L(Z1/2

ε , Z−1/2ε ) é dado por

⟨Aε,−1/2 uε, ϕε⟩ = ∫

Ωε(∂u

ε

∂x1

∂ϕε

∂x1

+ 1

ε2

∂uε

∂x2

∂ϕε

∂x2

+ uεϕε) , ∀ϕε ∈H1(Ωε).

Com um certo abuso de notação, iremos identificar todas as diferentes realizações deste ope-rador e as escreveremos como apenas Aε.

Desta forma, o problema (4.2) pode ser reescrito na forma abstrata como

Aεuε = Fε(uε), (4.10)


onde a não-linearidade Fε é dada por

Fε ∶Xε →X ′ε

uε ↦ Fε(uε) ∶Xε → R

vε ↦ ⟨Fε(uε), vε⟩ =1

εγ ∫θεf(uε)vε,

onde f ∈ C2(R) com derivadas limitadas até segunda ordem.Sendo assim, uε ∈ H1(Ωε) é uma solução de (4.10) se, e somente se, uε = A−1

ε Fε(uε), ou seja,uε ∈H1(Ωε) é ponto fixo da aplicação A−1

ε Fε∣H1(Ωε) ∶H1(Ωε)→H1(Ωε). A existência de soluçãocomo ponto fixo segue do Teorema do Ponto Fixo de Schaefer [Evans, 1998, Seção 9.2.2, Teorema4].

De fato, como provaremos na Proposição 4.3.7, o operador A−1ε Fε ∶ Xε → Xε é compacto e,

assim, ao compor com a inclusão de H1(Ωε) em Xε, que é contínua pela Proposição 2.1.3, e coma restrição de Xε a H1(Ωε) obtemos a compacidade. Logo, basta provar que o conjunto

Oε = ϕε ∈H1(Ω); ϕε = A−1ε Fε(ϕε)

é limitado para concluir a existência. Porém, para qualquer ϕε ∈ Oε temos, usando o Lema 2.2.1 e0 < ε < 1,

∥ϕε∥2H1(Ωε)

≤ ∥ϕε∥2H1ε (Ωε)

≤ 1

εγ ∫θε∣f(ϕε)ϕε∣ ≤ (sup

x∈R∣f(x)∣)h1/2

1 ( 1

εγ ∫θε∣ϕε∣2)

1/2

≤ C∥ϕε∥H1(Ωε)

e, portanto, ∥ϕε∥H1(Ωε) ≤ C, concluindo a prova.Da mesma forma podemos analisar nosso candidato a problema limite (4.5). Considere

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

−q0uxx + u = f0(u) em (0,1),ux(0) = ux(1) = 0,

comq0 =

1

∣Y ∗∣ ∫Y ∗[1 − ∂X

∂y1

(y1, y2)]dy1dy2 e f0(⋅) =Lg∣Y ∗∣

µhf(⋅),


⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

−∆X = 0 em Y ∗,∂X

∂N= 0 em B2,

∂X

∂N= − g′(y1)√

1 + g′(y1)2em B1,

X Lg-periódica em y1,

∫Y ∗Xdy1dy2 = 0


Y ∗ = (y1, y2) ∈ R2; 0 < y1 < Lg,0 < y2 < g(y1),

com B1 e B2 as fronteiras superior e inferior de ∂Y ∗, respectivamente.Desta forma, ao escrever (4.5) de modo abstrato, definindo o operador linear no espaço X0 =


L2(0,1) com a norma dada por ∥u∥2X0

= µg∥u∥2L2(0,1)

, obtemos

A0 ∶D(A0) ⊂ Z0 → Z0

u↦ A0u = −q0uxx + u,

comD(A0) = u ∈H2(Ω);ux(0) = ux(1) = 0. Além disso, podemos considerar a não-linearidadedada por

F0 ∶H1(0,1)→ L2(0,1)u↦ F0(u) ∶ L2(0,1)→ R

v ↦ ⟨F0(u), v⟩ =Lg∣Y ∗∣

µh∫1

0f(u(x1))v(x1)dx1,

Assim, o problema (4.5) pode ser reescrito na forma abstrata como

A0u = F0(u) (4.11)

e, nesta notação, u ∈ H1(0,1) é uma solução de (4.11) se, e somente se, u = A−10 F0(u), ou seja,

u ∈ H1(0,1) é ponto fixo da aplicação A−10 F0 ∶ H1(0,1) → H1(0,1). Novamente, o resultado

segue pelo Teorema do Ponto Fixo de Schaefer de modo análogo ao feito no caso anterior.

4.3.2 Semicontinuidade de soluções

Nesta seção estamos interessados em analisar novamente o comportamento das soluções de(4.10) através do conceito de E-convergência definido na Seção 4.1.

Nosso primeiro passo é provar a limitação uniforme em H1ε (Ωε) das soluções de (4.10).

Proposição 4.3.2. Se uε ∈ H1(Ωε) é solução de (4.10), então ∥uε∥H1ε (Ωε)

≤ K, para algum K > 0independente de ε.

Demonstração. Dado ε > 0, uε ∈H1(Ωε) é solução de (4.10) se, para toda ϕε ∈H1(Ωε), vale

∫Ωε

(∂uε

∂x1

∂ϕε

∂x1

+ 1

ε2

∂uε

∂x2

∂ϕε

∂x2

+ uεϕε)dx1dx2 =1

εγ ∫θεf(uε)ϕεdx1dx2,

Tomando ϕε = uε acima, podemos usar a hipótese de limitação sobre f e o Lema 2.2.1, se-guindo que, para ε suficientemente pequeno,

∥∂uε

∂x1

∥2

L2(Ωε)

+ 1

ε2∥∂u

ε

∂x2

∥2

L2(Ωε)

+ ∥uε∥2L2(Ωε)

≤ 1

εγ ∫θε∣f(uε)uε∣dx1dx2

≤ ( 1

εγ ∫θε∣f(uε)∣2dx1dx2)

1/2

( 1

εγ ∫θε∣uε∣2dx1dx2)

1/2

≤ (supx∈R

∣f(x)∣)h1/21 C∥uε∥H1(Ωε) ≤ (sup

x∈R∣f(x)∣)h1/2

1 C∥uε∥H1ε (Ωε)

.

Dessa forma, ∥uε∥H1ε (Ωε)

≤K, com

∥uε∥L2(Ωε) ≤K, ∥∂uε

∂x1

∥L2(Ωε)

≤K, ∥∂uε

∂x2

∥L2(Ωε)

≤ εK.


Feito isso, o próximo resultado nos mostra o comportamento das integrais concentradas quandoε tende a zero neste contexto. Perceba que a situação retratada aqui é distinta da analisada naSubseção 2.2.2 do Capítulo 2, pois o domínio analisado não tende, quando fazemos ε decrescer,de forma direta a um domínio limite.

Proposição 4.3.3. Sejam uε ∈ H1(Ωε) e u0 ∈ H1(Ω) tais que Pεuε u0 em H1(Ω), ondeu0(x1, x2) = u0(x1), para todo (x1, x2) ∈ Ω. Então

1

εγ ∫θεf(uε)ϕ→ µh∫

1

0f(u0)ϕ, ∀ϕ ∈H1(0,1), (4.12)

onde µh é a média de h dada na Observação 4.0.1.

Demonstração. De fato,

1

εγ ∫θεf(uε)ϕ − µh∫

1

0f(u0)ϕ = 1

εγ ∫θε(f(uε) − f(u0))ϕ +

1

εγ ∫θεf(u0)ϕ − ∫

1

0µhf(u0)ϕ

Usando o Lema 2.2.1, a Observação 4.0.1 e a limitação de f e f ′, segue que, para 1/2 < s < 1,

∣ 1

εγ ∫θεf(uε)ϕ − µh∫

1

0f(u0)ϕ∣ ≤

1

εγ ∫θε∣f(uε(x1, x2)) − f(u0(x1))∣∣ϕ(x1)∣dx2dx1

+ ∣ 1

εγ ∫1

0∫

gε(x1)

gε(x1)−εγhε(x1)f(u0(x1))ϕ(x1)dx2dx1 − ∫

1

0f(u0(x1))µhϕ(x1)dx1∣

≤ ( 1

εγ ∫θε∣f(uε(x1, x2)) − f(u0(x1))∣2dx2dx1)

1/2

( 1

εγ ∫θε∣ϕ(x1)∣2dx2dx1)

1/2

+ ∣∫1

0

1

εγ[gε(x1) − (gε(x1) − εγhε(x1))]f(u0(x1))ϕ(x1)dx1 − ∫

1

0f(u0(x1))µhϕ(x1)dx1∣

≤ (supx∈R

∣f ′(x)∣)C1 (1

εγ ∫θε∣uε(x1, x2) − u0(x1)∣2dx2dx1)

1/2

∥ϕ∥H1(Ωε)

+ ∫1

0∣f(u0(x1))ϕ(x1)∣∣hε(x1) − µh∣dx1

≤ (supx∈R

∣f ′(x)∣)C1C2∥uε − u0∥Xε∥ϕ∥H1(0,1) + ∫1

0∣f(u0(x1))ϕ(x1)∣∣hε(x1) − µh∣dx1

≤K∥Pεuε − u0∥X + ∫1

0∣f(u0(x1))ϕ(x1)∣∣hε(x1) − µh∣dx1 → 0, quando ε→ 0.

onde X = L2(0,1;Hs(0, g1)).

Proposição 4.3.4. Sejam uε, vε ∈ H1(Ωε) e u0, v0 ∈ H1(Ω) tais que Pεuε u0 e Pεvε v0 emH1(Ω), com u0(x1, x2) = u0(x1) e v0(x1, x2) = v0(x1), para todo (x1, x2) ∈ Ω. Então

1

εγ ∫θεf(uε)vεφ→ µh∫

1

0f(u0)v0φ, ∀φ ∈H1(0,1).


Demonstração.

1

εγ ∫θεf(uε(x1, x2))vε(x1, x2)φ(x1)dx1dx2 − µh∫

1

0f(u0(x1))v0(x1)φ(x1)dx1

≤ 1

εγ ∫θεf(uε(x1, x2))(vε(x1, x2) − v0(x1))φ(x1)dx1dx2

+ 1

εγ ∫θε(f(uε(x1, x2)) − f(u0(x1)))v0(x1)φ(x1)dx1dx2

+ ( 1

εγ ∫θεf(u0(x1))v0(x1)φ(x1)dx1dx2 − µh∫

1

0f(u0(x1))v0(x1)φ(x1)dx1) = I1 + I2 + I3

onde I1, I2, I3 são as respectivas parcelas da desigualdade. Olhando-as separadamente, mostremosque todas convergem a zero quando ε tende a zero usando as limitações de f e f ′, além do Lema2.2.1, com 1/2 < s < 1. Relembrando que Xε = L2(0,1;Hs(0, gε(x1))) e X = L2(0,1;Hs(0, g1)),segue que:

• Para I1, temos

1

εγ ∫θε∣f(uε(x1, x2))φ(x1)∣∣vε(x1, x2) − v0(x1)∣dx1dx2 ≤

≤ ( 1

εγ ∫θε∣f(uε(x1, x2))φ(x1)∣2dx1dx2)

1/2

( 1

εγ ∫θε∣vε(x1, x2) − v0(x1)∣2dx1dx2)

1/2

≤ C (supx∈R

∣f(x)∣) ∥φ∥H1(0,1)∥vε − v0∥Xε ≤K∥Pεvε − v0∥2X → 0, quando ε→ 0.

• Para I2, temos

1

εγ ∫θε∣f(uε(x1, x2)) − f(u0(x1))∣∣v0(x1)φ(x1)∣dx1dx2 ≤

≤ ( 1

εγ ∫θε∣f(uε(x1, x2)) − f(u0(x1))∣2dx1dx2)

1/2

( 1

εγ ∫θε∣v0(x1)φ(x1)∣2dx1dx2)

1/2

≤ supx∈R

∣f ′(x)∣ supx∈[0,1]

∣φ(x)∣ ( 1

εγ ∫θε∣uε(x1, x2) − u0(x1)∣2dx1dx2)

12

( 1

εγ ∫θε∣v0(x1)∣2dx1dx2)

12

≤K1∥uε − u0∥Xε∥v0∥H1(0,1) ≤K2∥Pεuε − u0∥X → 0, quando ε→ 0.

• Para I3, temos

∣ 1

εγ ∫θεf(u0(x1))v0(x1)φ(x1)dx1dx2 − µh∫

1

0f(u0(x1))v0(x1)φ(x1)dx1∣ =

= ∣∫1

0f(u0(x1))v0(x1)φ(x1)hε(x1)dx1 − µh∫

1

0f(u0(x1))v0(x1)φ(x1)dx1∣

≤ ∫1

0∣(hε(x1) − µh)f(u0(x1))v0(x1)φ(x1)∣dx1 → 0, quando ε→ 0,

como queríamos demonstrar.

Sendo assim, para 0 < ε ≤ ε0, denote por

Eε,R = uε ∈H1(Ωε); uε é solução de (4.10) e ∥uε∥L∞(Ωε) ≤ R


o conjunto das soluções de (4.10) uniformemente limitadas por R em L∞(Ωε) e

E0,R = u ∈H1(0,1); u é solução de (4.11) e ∥u∥L∞(0,1) ≤ R

o conjunto das soluções de (4.11) uniformemente limitadas por R em L∞(0,1).

Considere então novamente os operadores Eε definidos por

Eε ∶X0 →Xε

u↦ (Eεu)(x1, x2) = u(x1),

onde, fixado 1/2 < s < 1, define-se X = L2(0,1;Hs(0, g1)), Xε = L2(0,1;Hs(0, gε(x1))), paraε > 0, e X0 = L2(0,1) com a norma dada por ∥u∥X0 =

√µg∥u∥L2(0,1) definidos na Seção 4.1.

Novamente, o principal objetivo desta seção é provar o seguinte resultado, que implica nasemicontinuidade superior e inferior das soluções uniformemente limitadas de (4.10) em ε = 0.

Teorema 4.3.5. São válidos:

(i) Para qualquer sequência uε ∈ Eε,R, com ε → 0, existem subsequência (também denominada

uε) e u0 ∈ E0,R tais que uεEÐ→ u0.

(ii) Para qualquer ponto de equilíbrio hiperbólico u0 ∈ E0,R, existe sequência uε ∈ Eε,R tal que

uεEÐ→ u0 quando ε→ 0.

Para analisarmos as soluções de (4.10), precisaremos analisar propriedades de compacidade edo comportamento dos operadores relacionados a este problema.

Semi-continuidade superior e inferior

Um primeiro resultado a ser provado é, então, a convergência compacta dos operadores A−1ε ,

que definem o problema linear.

Proposição 4.3.6. Considerando o operador definido em (4.10), temos que A−1ε

CCÐ→ A−10 , com

A−1ε ∶Xε →Xε e A−1

0 ∶X0 →X0.

Demonstração. Para demonstrar tal afirmação, dividiremos a prova em três partes.

(i) A−1ε é compacto para cada ε > 0.

De acordo com resultados anteriores, como Arrieta et al. [2011], ao considerarmos Aε ∶L2(Ωε)→H1(Ωε) temos que ele é contínuo, pois 0 ∈ ρ(Aε). Porém, no nosso caso conside-ramos o operador Aε anterior definido em Xε, que está continuamente incluído em L2(Ωε).Dessa forma, como H1(Ωε) está incluído compactamente em Xε pela Proposição 2.1.4, te-mos que

XεiÐ→ L2(Ωε)

A−1ε H1(Ωε)

iÐ→Xε.

Portanto, A−1ε ∶ Xε → Xε é uma família de operadores compactos, para ε > 0. Analogamente

para ε = 0.

(ii) A−1ε f

ε é uma família E- relativamente compacta quando ∥f ε∥Xε é limitada.


De fato, tome família f εε∈(0,1) em Xε tal que ∥f ε∥Xε ≤M e defina uε ∶= A−1ε f

ε. Com isso,Aεuε = f ε e uε satisfaz, para ε suficientemente pequeno,

∥uε∥2H1ε (Ωε)

≤ ∫Ωε

∣f εuε∣ ≤ (∫Ωε

∣f ε∣2)1/2

(∫Ωε

∣uε∣2)1/2

= ∥f ε∥L2(Ωε)∥uε∥L2(Ωε) ≤ ∥f ε∥Xε∥uε∥H1(Ωε) ≤M∥uε∥H1ε (Ωε)

.

Assim, pelas propriedades do operador de extensão Pε explicitadas na Proposição 4.1.3, se-gue que ∥Pεuε∥H1(Ω) é uniformemente limitado e existem u0 ∈ H1(0,1) e subsequência,também denominada Pεuε tais que Pεuε u0 em H1(Ω) e, consequentemente, Pεuε → u0

em X .

Portanto, segue que

∥A−1ε f

ε −Eεu0∥Xε = ∥uε −Eεu0∥Xε = ∥(Pεuε − u0)∣Ωε∥Xε ≤ ∥Pεuε − u0∥X → 0.

Logo, A−1ε f

ε EÐ→ u0 em Xε.

(iii) A−1ε f

ε E→ A−10 f0 se fε

E→ f0.

Com efeito, como no item anterior suponha uε ∶= A−1ε f

ε. Segue que Aεuε = f ε, ∥f ε∥Xε élimitada por ser E-convergente e, assim, existem novamente subsequência de uε (tambémchamada uε) e u0 ∈H1(0,1) tais que Pεuε u0 em H1(Ω).

Como fεE→ f0, segue que

f ε ∶= ∫g(x1/ε)

0f ε(x1, x2)dx2 f0

em L2(0,1). Logo, usando o Teorema 4.2.1 temos que u0 satisfaz

∫1

0(−q0u

′′0 + u0)ϕ = ∫

1

0f0ϕ, ∀ϕ ∈H1(0,1).

Portanto, A0u0 = f0, isto é, u0 = A−10 f0 e

∥A−1ε f

ε −EεA−10 f0∥Xε = ∥uε −Eεu0∥Xε = ∥(Pεuε − u0)∣Ωε∥Xε ≤ ∥Pεuε − u0∥X → 0.

Agora analisaremos o comportamento dos operadoresA−1ε Fε no mesmo contexto. Como vimos

na Seção 1.4, tais operadores são importantes para terminar a prova da continuidade das soluçõesem ε = 0.

Proposição 4.3.7. Com a notação anterior, A−1ε Fε

CCÐ→ A−10 F0.

Demonstração. De forma análoga à demonstração anterior, mostraremos as três etapas.

(a) A−1ε Fε é compacto para cada ε > 0, onde A−1

ε Fε ∶Xε →Xε.

Como H1(Ωε) Xε com imersão compacta pela Proposição 2.1.4 para cada ε > 0 fixado,então X ′

ε H−1(Ωε) compactamente. Com isso, temos

XεFεÐ→X ′

ε

iÐ→H−1(Ωε)A−1εÐÐ→H1(Ωε)

iÐ→Xε,


onde Fε é Lipschitz pela Proposição 2.3.2(b), provando a compacidade de A−1ε Fε.

(b) A−1ε Fε(uε) é uma família E- relativamente compacta quando ∥uε∥Xε é limitada.

Defina zε ∶= A−1ε Fε(uε), isto é, Aεzε = Fε(uε). Temos que, como uε ∈ Xε, zε ∈ H1(Ωε).

Dessa forma, se chamarmos f ε = f(uε) para cada ε > 0, obtemos f ε ∈ L2(Ωε) e, por causa dalimitação de f ,

1

εγ ∫θε∣f ε∣2 ≤ (sup

x∈R∣f(x)∣)

2

h1 =K,

onde K independe de ε. Com isso, segue que ∥zε∥H1ε (Ωε)

≤ K e, assim, pela Proposição 4.1.3temos que ∥Pεzε∥H1(Ω) é uniformemente limitado, onde Pε é o operador extensão construídono Lema 4.1.1.

Além disso, também pela Proposição 4.1.3, existem z0 ∈ H1(Ω) e subsequência, tambémdenominada de Pεzε, tais que Pεzε → z0 em X e z0 independe da segunda variável. Assim,podemos tomar z0 como elemento de H1(0,1) ⊂X0.

Logo,

∥A−1ε Fε(uε) −Eεz0∥Xε = ∥zε −Eεz0∥Xε = ∥(Pεzε − z0)∣Ωε∥Xε ≤ ∥Pεzε − z0∥X → 0.

(c) A−1ε Fε(uε)

EÐ→ A−10 F0(u0) se uε

EÐ→ u0.

De forma análoga ao item anterior, defina zε ∶= A−1ε Fε(uε), isto é, Aεzε = Fε(uε). Temos que,

como uε ∈Xε, que zε ∈H1(Ωε). Dessa forma, se novamente chamarmos f ε = f(uε) para cadaε > 0, já temos

1

εγ ∫θε∣f ε∣2 ≤K,

onde K independe de ε.

Além disso, como uεEÐ→ u0, se definirmos (como no Corolário 4.2.4 de convergência do caso

linear)

f ε(x1) =1

εγ ∫g(x1/ε)

g(x1/ε)−εγh(x1/ε)f ε(x1, x2)dx2,

temos que f ε f , com f(x1) = µhf(u0(x1)), em L2(0,1) pela Proposição 4.3.3, pois, paratoda ϕ ∈ L2(0,1),

∫1

0( 1

εγ ∫g(x1/ε)

g(x1/ε)−εγh(x1/ε)f εdx2 − µhf(u0))ϕdx1 =

1

εγ ∫θεf(uε)ϕ − ∫

1

0µhf(u0)ϕ→ 0.

Sendo assim, aplicando o Corolário 4.2.4 (item (a)), existe z0 ∈ H1(0,1) tal que Pεzε → z0

em X , onde z0 satisfaz, para todo ϕ ∈H1(0,1),

∫1

0(q0z

′0ϕ

′ + z0ϕ) = ∫1

0

Lg∣Y ∗∣

µhf(u0)ϕ.

Com isso, pela definição de A0 e F0, segue que z0 = A−10 F0(u0) e, finalmente,

∥A−1ε Fε(uε)−EεA−1

0 F0(u0)∥Xε = ∥zε −Eεz0∥Hs(Ωε)

= ∥(Pεzε − z0)∣Ωε∥Xε ≤ ∥Pεzε − z0∥X → 0,

concluindo a demonstração.


Desta forma, com isto provado, os seguintes resultados seguem novamente como consequênciade um teorema de E-convergência enunciado no primeiro capítulo.

Teorema 4.3.8. Para qualquer família de soluções uε em Eε,R existe u solução em E0,R e uma

subsequência de uε, também chamada de uε, tal que uεEÐ→ u.

Demonstração. Basta aplicar o Teorema 1.4.10.

Além disso podemos provar a semicontinuidade inferior do conjunto Eε,R, quando a soluçãodo problema limite é hiperbólica.

Teorema 4.3.9. Se u solução em E0,R é hiperbólica, então existe sequência uε de soluções em

Eε,R tal que uεEÐ→ u.


Observação 4.3.10. No caso em que todos os pontos de equilíbrio da equação limite são hiperbó-licos, temos que os mesmos são isolados e existe um número finito deles (ver [Arrieta et al., 2006,Corolário 5.4 e Proposição 5.5]).

Portanto, unificando os resultados, obtemos:

Demonstração do Teorema 4.3.5. Para o item (i) temos o Teorema 4.3.8 e para o item (ii) aplica-se o Teorema 4.3.9.

Observação 4.3.11. Note que, neste caso, como não existe operador de extensão de modo queΩε, θε se torne um par admissível, não provamos a unicidade na semicontinuidade inferior dassoluções, como feito no capítulo anterior.

Referências Bibliográficas

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Ariadne Nogueira T C Programa: Matemática Orientador: Prof. Dr. … · 2017-12-06 · Integrais concentradas na fronteira e aplicações para problemas elípticos semilineares Ariadne