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"Quando o mundo estiver unido na busca do conhecimento, e no mais lutando pordinheiro e poder, ento nossa sociedade poder enfim evoluir a um novo nvel."

ARQUIMEDES E A ALAVANCA EM 90 MINUTOSPaul Strathern

Traduo: Maria Helena GeordaneConsultoria: Carla Fonseca-Barbatti - Mestranda em fsica, CBPF/CNPq

SOBRE O AUTOR

PAUL STRATHERN foi professor universitrio de filosofia e matemtica na KingstonUniversity e autor das sries Cientistas em 90 minutos e Filsofos em 90 minutos,esta traduzida em mais de oito pases. Escreveu cinco romances (entre eles A Season inAbyssinia, ganhador do Prmio Somerset Maugham), alm de biografias e livros dehistria e de viagens. Foi tambm jornalista free-lance, colaborando para o Observer, oDaily Telegraph e o Irish Times. Tem uma filha e mora em Londres.

INTRODUO

Arquimedes foi um dos trs maiores matemticos de todos os tempos Newton eGauss sendo em geral aceitos como seus nicos pares. Todos conhecemos o episdio dopulo que deu da banheira gritando Eureca! Quase to conhecida sua bravata: Deem-me um ponto de apoio e uma alavanca e moverei a Terra. Isso se refere ao ponto deapoio e ao conhecimento que ele tinha de alavancas, mas, de certo modo, refere-se amuito, muito mais. Arquimedes de fato colocou o mundo em movimento e modificoutoda a viso que tnhamos dele. Os gregos antigos transformaram a matemticaprimitiva e Arquimedes teve papel fundamental nisso levando o assunto ao limiar dopensamento matemtico moderno; onde, para todos os efeitos, ele se deixou adormecerpor quase dois milnios. Infelizmente, o basto passado por Arquimedes no teve quemo recebesse.

O pensamento cientfico de Arquimedes era parte essencial de sua matemtica. Elerevolucionou a mecnica, criou a hidrosttica e estabeleceu o estudo rigoroso dosslidos mais complexos. A matemtica implcita em tudo isso levou-o a inventar umaforma inicial de clculo e conduziu-o a um conhecimento avanado da numerologia. Ele

tambm alcanou a excelncia prtica. Figuraram entre suas invenes roldanas ealavancas, uma bomba dgua e uma forma elementar de laser. E pode muito bem terhavido mais as quais ou ele no cuidou de anotar ou que desapareceram para sempreentre suas obras perdidas. Arquimedes no avaliava a importncia de seu trabalhoprtico, raramente se preocupando em registr-lo. No obstante, os tratados que seconservaram, e que de fato so a memria de sua obra, permanecem to extraordinriose lcidos quanto poca em que foram escritos. Felizmente, a maioria deles tambmfcil de compreender, mesmo por no-matemticos. Essas obras propiciam umapercepo invulgar do trabalho de um esprito invulgar.

Nem mesmo um crebro como o de Arquimedes, porm, surge do nada. Paracompreender o que ele compreendeu e para apreciar o que ele fez com seuconhecimento, necessrio primeiramente ter uma noo de como era o mundo antesde sua entrada em cena.

O MUNDO COMO ARQUIMEDES O ENCONTROU

As razes da cincia residem na aprendizagem prtica. Na realidade, essa aprendizagem observada at em criaturas que no so prticas. A espera paciente do gato no buracoda toca do rato uma prtica cientfica. Os acontecimentos tm um padro, que seespera seja repetido. (Enquanto isso, o rato, escapando por outro buraco, segue seuprprio caminho cientfico.)

A causalidade (conectando causa e efeito), a induo (inferindo uma lei geral a partir de instncias particulares) e a ordenao (discernindo padres fsicos e temporais) eis os impulsos cientficos bsicos. A cincia a busca do sentido prtico, ou seja, de uma explicao que possa ser utilizada. Essa foi a base da cincia humana dos tempos pr-histricos at a primeira parte do sculo XX. (Certos aspectos da teoria quntica e da cosmologia no se adquam mais a essas normas cientficas.)

A cincia do sculo XX mudou tudo, mas progressos significativos semelhantes tinhamacontecido em pocas anteriores, como a edificao de Stonehenge, na Inglaterra, e aconstruo da Grande Pirmide, no Egito, em torno de 2500 a.C. Ambos os monumentosincorporaram ideias religiosas e astronmicas cuja sofisticao no foi de todoapreciada, a no ser neste sculo. Uma minuciosa pesquisa em Stonehenge e naspirmides revelou um conhecimento matemtico surpreendente. Os povos que osconstruram entenderam em seus termos mais simples a relao entre os dois lados e ahipotenusa de certos tringulos retngulos (por exemplo, a2 + b2 = c2). Em outraspalavras, captaram os fundamentos daquilo que conhecemos como o Teorema dePitgoras aproximadamente 2.000 anos antes do nascimento do prprio Pitgoras.

A principal fonte de inspirao cientfica e matemtica, tanto para os antigos egpcios quantopara os megalticos bretes, estava nos cus. O que acontecia nesses domnios superiores eravisto com espanto. Os eventos pressagiavam as boas colheitas e as calamidades do vero. A

reinavam a ordem, a regularidade e a certeza inflexvel.

A ndia e a China, a Mesopotmia e o Egito, assim como as Amricas, compreenderam isso namesma poca. Essas civilizaes tinham poucas semelhanas e, em certos casos, nenhumaespcie de contato sugerindo que a astronomia pode ter proporcionado um tipo de gatilhoevolutivo. Esse processo tem sido sugerido para justificar muitos dos saltos inexplicadosque ocorreram, e continuam a ocorrer, na evoluo, variando desde as clulas primitivas aognio humano.

A astronomia alcanou a maioridade em torno de 2500 a.C. e permaneceria como a rainhadas cincias pelos quatro milnios seguintes. (Ecos desse longo reinado subsistem nasatitudes modernas tanto em relao s excentricidades astrolgicas quanto no que diz respeitos maravilhas da cosmologia moderna.) Outro salto evolutivo da humanidade ocorreuentre os sculos VI e IV a.C., perodo que viu o sbito surgimento da Grcia antiga, doconfucionismo e do taosmo, ambos fundados na China, e do budismo institudo na ndia.

De longe, o mais significativo desses trs acontecimentos, do ponto de vista intelectual, foi odespontar da Grcia antiga. Seu legado cultural foi a civilizao ocidental, a qual deu origem cincia, como hoje a compreendemos. O que aconteceu, ento? A cincia se separou dareligio. A astronomia marginalizou a astrologia. O domnio era antes da razo que daintuio. As explicaes acerca do funcionamento do mundo eram ento apoiadas emevidncias, no mais na religio, na superstio ou em contos de fadas. Introduziu-se a provana matemtica. Os teoremas substituram o procedimento habitual. As regras e as leis eramderivadas do estudo dos fenmenos naturais.

O motivo pelo qual o Teorema de Pitgoras tem seu nome vem do fato de Pitgoras ter sido oprimeiro a prov-lo. Os gregos continuavam a acreditar nos deuses, mas desse ponto emdiante o comportamento divino passou a estar sujeito aos limites da razo. ( exceo,naturalmente, dos milagres que s podiam acontecer na ausncia de observadorescientficos.)

Pitgoras foi ainda mais alm e declarou que o mundo fatalmente se comportaria segundo ummodelo matemtico. Ele foi o primeiro a dizer isso, no sculo VI a.C., e ns ainda cremos em sua afirmao. Embora no pelas mesmas razes, uma vez que ele acreditava que, em ltima instncia, o mundo consistia em nmeros. Essa crena pode nos parecer estranha ou mesmo completamente louca. No entanto, o motivo de a cincia moderna acreditar que tudo pode serdefinitivamente explicado em termos de nmeros de fato muito menos convincente. simplesmente um artigo de f que cultivamos. No tem qualquer justificao, prova ou apoioconcreto a no ser o fato de que escolhemos ver o mundo dessa maneira.

Pitgoras pode ter institudo a viso matemtica do mundo, mas a viso cientfica grega foi estabelecida pelo filsofo Aristteles. Essas duas grandes personalidades foram de fato consideradas filsofos em sua poca. A cincia era parte da filosofia (que em grego antigo significa amor sabedoria). Mais tarde, a cincia veio a ser conhecida como filosofia da natureza. Do mesmo modo, a palavra matemtica, usada pela primeira vez por Pitgoras, veio do vocbulo grego mathema, que queria dizer aquilo que se aprende, ou cincia. Somentedurante o milnio que se seguiu, as palavras filosofia, matemtica e cincia gradualmente

desenvolveram os significados independentes que possuem hoje.

A reunio de todo o conhecimento sob o termo filosofia favorecia a desordem. Para que osdiferentes tipos de conhecimento progredissem, eles tinham de ser separados e categorizados.Essa foi a grande conquista cientfica de Aristteles. Ele estabeleceu as leis para as diversascincias. Infelizmente, sua maior paixo era a biologia e isso iria ter um efeito catastrfico.Da forma como a via, a biologia era fundamentalmente finalista. A fim de entender os rgosque constituam plantas e animais tnhamos de procurar descobrir para que serviam ou seja,sua finalidade. Esse enfoque da biologia pode ter sido til, mas seus efeitos sobre as demaiscincias seriam desastrosos. Aristteles insistia em ver o mundo antes como orgnico quecomo mecnico. Isso significava que, ao invs de seguirem causa e efeito, todos os objetoscumpriam uma finalidade. Seu comportamento fazia-os tender para o fim que estavamdestinados a servir.

Como no havia nenhuma finalidade imediata aparente na astronomia, Aristteles imps uma.Os corpos celestes eram por natureza divinos, de forma que sua finalidade era se comportarde forma divina, o que significava que deviam se mover de maneira perfeita, eterna e imutvel em outras palavras, continuar a orbitar os cus em crculos perfeitos por toda a eternidade.A Terra, por outro lado, no era divina e no tinha, portanto, de se comportar desse modo. Aocontrrio, ela permanecia esttica, no centro do universo, com os corpos celestes girando aoseu redor.

Essa viso do universo iria prevalecer por mais de dois mil anos. A influncia de Aristteles na cincia foi imensamente benfica em muitos campos, mas acabou por tornar-se negativa, impedindo novos progressos; em alguns campos, como a astronomia, foi um obstculo ao progresso. Seu contemporneo Herclides j conclura que Vnus e Mercrio giravam emtorno do Sol e que a Terra se movia atravs do espao. E alguns anos aps a morte deAristteles, Aristarco de Samos percebeu que a Terra orbitava o Sol e girava em torno de seuprprio eixo. Infelizmente, essas descobertas foram ignoradas porque no se ajustavam viso teleolgica (finalista) que Aristteles tinha do mundo. At mesmo Arquimedes,contemporneo de Aristarco, e de modo algum astrnomo medocre, adotou a viso queAristteles tinha do sistema solar. No foi por acaso que as principais conquistas deArquimedes ocorreram em esferas menos afetadas pela teleologia orgnica aristotlica ouseja, a fsica e a matemtica.

VIDA E OBRA

Arquimedes nasceu em 287 a.C. em Siracusa, a mais poderosa cidade-estado grega naSiclia. Siracusa tinha por longo tempo aspirado a uma tradio de saber e sofisticao, embora com pouco sucesso. No sculo anterior, Plato passara ali dois perodos, tentando em vo instilar alguma cultura no grosseiro tirano local e seu filho inculto.Siracusa estava estrategicamente situada entre o Imprio Cartagins em expanso no norte da frica e o Imprio Romano embrionrio exigia-se algo um pouco mais resistente que filosofia ou arte para sobreviver.

Apesar disso, havia homens de cultura na cidade e o pai de Arquimedes, Fdias, eraum deles. Fdias era um aristocrata, um astrnomo de certo renome e, quase comcerteza, um bom matemtico tambm. Segundo seu filho, formulou clculos estimando aproporo entre os dimetros do Sol e da Lua.

Salvo alguns esparsos fragmentos de informao em seus tratados matemticos ecientficos, sabemos mais acerca de Arquimedes atravs do escritor romano Plutarco,que viveu trs sculos mais tarde. Plutarco respeitava muitos aspectos da cultura gregaantiga, e sua obra mais conhecida, Vidas paralelas, compara gregos eminentes com seuspares romanos. Contudo, os romanos simplesmente no estavam em harmonia comobjetivos amplamente tericos, como a matemtica e a fsica, e Plutarco evidentementeno pensou muito em Arquimedes. O maior cientista da era clssica aparece comoinsero passageira na biografia do general romano que inadvertidamente o mandoumatar.

Arquimedes talvez tivesse algum parentesco com o rei Hiero II, soberano de Siracusa, esabe-se que permaneceu ligado a ele vida afora. Presume-se at que tenha sido tutor dofilho de Hiero.

Ainda jovem, foi para Alexandria, a fim de concluir sua educao. No incio do sculo IIa.C., Alexandria tornara-se o maior centro de conhecimento do mundo mediterrneo,suplantando at Atenas. A cidade havia sido fundada apenas em 313 a.C. por Alexandre,o Grande, ao longo de sua campanha para conquistar o mundo. E l foi sepultado omaior megalomanaco da histria, em um resplandecente esquife de ouro, em 323 a.C.(O local exato do tmulo de Alexandre perdeu-se para a histria embora fosseconhecido de Ptolomeu X, que furtivamente substituiu o esquife de ouro por uma rplicaem alabastro quando precisou de dinheiro.)

A famosa Biblioteca de Alexandria foi fundada aproximadamente na poca donascimento de Arquimedes. Quando ele chegou cidade, ela possua quase com certezacem mil rolos de pergaminho, inclusive o amplo acervo de Aristteles (a maior bibliotecaprivada da era grega). A Biblioteca atraa eruditos de todo o mundo helenstico,firmando-se rapidamente como proeminente centro de conhecimento. Foi dirigida poralguns dos maiores eruditos da poca. O grande gemetra Euclides talvez tenha morridoantes de Arquimedes chegar a Alexandria, mas certamente leu suas obras e estudou comalguns de seus discpulos.

O livro definitivo de Euclides, Os elementos, lanou as bases da geometria. Ele comeacom um conjunto de definies simples e que dispensam explicaes um ponto temuma posio, mas nenhuma magnitude, uma linha um comprimento sem largura, uma linha reta passa uniformemente entre seus pontos extremos, e assim por diante. Usando essas definies, Euclides iniciou ento a formulao de uma srie de teoremas. Cada teorema que se seguia baseava-se num anterior, estabelecendo assim um procedimento extremamente rigoroso. (Inevitavelmente, mais tarde gemetras descobriram raras lacunas nessa obra-prima da sistematizao. Mas no foi seno

quando o russo Lobachevski desenvolveu uma geometria de superfcies curvas no sculoXIX que a universalidade da geometria euclidiana foi pela primeira vez seriamentequestionada.) Outras partes de Os elementos diziam respeito geometria slida e teoria dos nmeros, dois campos nos quais Arquimedes se superaria.

Durante o tempo em que estudava em Alexandria, Arquimedes conheceu dois matemticos com os quais iria se corresponder por toda a vida. Como passava a maior parte dos dias trabalhando sozinho em Siracusa, vale a pena conhecer a poucainformao disponvel sobre esses dois espritos afins que ele considerava colegas. Eramambos timos matemticos por seus prprios mritos, embora dificilmente pudessem secomparar a Arquimedes.

Cono de Samos era um amigo que quase certamente tinha ligaes com Aristarco, um contemporneo oriundo da mesma ilha. provvel que ele conhecesse sua teoria heliocntrica antes de se dirigir a Alexandria; nesse caso, seguramente a teria discutido com Arquimedes. Cono tambm era destacado astrnomo e mantinha vnculos com a corte real de Alexandria. D- se a ele o crdito de ter descoberto uma nova constelao de sete estrelas de baixa luminosidade, que maliciosamente denominou A cabeleira de Berenice por conta de uma mecha perdida do cabelo da rainha.

Eratstenes, outro grande colega de Arquimedes, era um temperamento bem mais interessante, verstil, que estudava de tudo, da geografia comdia. dele tambm o primeiro quadro cronolgico da histria grega a no incluir quaisquer mitos. Eratstenesdeterminou que a histria grega comeara com a queda de Tria, que ousadamentesituou com preciso em 1184 a.C. (segundo nosso sistema cronolgico). O clculo foiextraordinariamente exato: eruditos modernos covardes afirmam que esse eventoprovavelmente se deu em torno de 1250 a.C.

Eratstenes foi o criador da palavra fillogo (amante do conhecimento ou erudito),que usava para se autodescrever. Desenhou o primeiro mapa-mndi (Mediterrneo) aincluir latitude e longitude. Tambm traou o primeiro meridiano atravs de Alexandria,ao sul de Siene (hoje Assu). Infelizmente, esse meridiano tinha um erro de mais de 25 fato que qualquer marinheiro poderia ter-lhe apontado. (Mas os primeiros sbios nopensavam em se assessorar com peritos da rea, tradio que se revelou uma das maisduradouras na educao dos gregos antigos.)

A inexatido do meridiano de Eratstenes iria afetar sua maior descoberta mas no diminui seu brilho. Ele foi o primeiro a fazer um clculo exato da circunferncia da Terra. O modo como o fez continua a ser um testemunho eterno de seu gnio.

Eratstenes sabia que num dia determinado, ao meio-dia, o Sol brilhava no fundo de um poo profundo em Cirene, indicando que estava exatamente a pino. Nesse mesmo dia,no mesmo horrio em Alexandria, verificou que um basto perpendicular lanava umasombra correspondente a 1/50 de um crculo. Fez ento clculos com base na hiptesede que o Sol estava to distante que seus raios eram virtualmente paralelos em ambos

os lugares (hiptese surpreendentemente ousada para a poca). Usando a distncia conhecida entre Siene e Alexandria, foi capaz de deduzir que a circunferncia da Terraera 50 vezes essa distncia.

Considerando a natureza de seu equipamento (um basto e um poo) e a informaotcnica de que dispunha (o meridiano impreciso e vagas noes contemporneas dedistncia), o resultado foi extraordinariamente exato s se desviando 4% dos clculosatuais.

Eratstenes tornou-se diretor da Biblioteca de Alexandria e pode perfeitamente tervivido at a avanada idade de 80 anos (outro dado assombroso para a poca). No finalficou cego e incapaz de ler, fato que provocou nele a reao extrema do biblifilo cometeu suicdio.

Quando Arquimedes deixou Alexandria, firmou-se a lenda de que viajara para aEspanha. Se assim foi, j devia ter-se tornado um talentoso engenheiro e inventor.Segundo um episdio mencionado por Leonardo da Vinci em seus cadernos deanotaes, Arquimedes trabalhou como engenheiro militar para o rei Ecliderides deCilodastri em uma guerra martima contra os bretes. Consta que Arquimedes inventouuma mquina que disparava resina incandescente contra as naus inimigas. Outro relatomais verossmil, o do historiador siciliano Diodoro, que viveu no sculo I a.C., fala doParafuso de Arquimedes, usado para bombear gua das minas de prata do rio Tinto, nosul da Espanha. Diodoro afirma que Arquimedes inventou esse parafuso apenas comesse propsito.

Outras fontes falam do retorno de Arquimedes ao Egito para uma segunda visita,

quando trabalhou nas obras de irrigao em larga escala destinadas a controlar asenchentes do Delta do Nilo. Sabe-se que essas obras foram feitas durante esse perodo.

Independentemente de esses relatos serem ou no verdadeiros, Arquimedes certamenteinventou um engenhoso parafuso que foi usado como bomba dgua. (O Parafuso deArquimedes permanece em uso no Delta do Nilo at hoje, e o mesmo princpio usadopara carregar gros e areia a granel nos veculos de transporte.)

Em sua forma mais simples, o parafuso consiste em um plo central com uma rosca emespiral em torno dele.

Quando inserido em um cilindro e girado, a gua levada para cima e expelida,conforme mostra o artefato ligeiramente mais sofisticado apresentado a seguir.

A fama precoce de Arquimedes deveu-se a suas invenes e habilidades prticas emengenharia. No entanto, nenhuma de suas obras escritas das quais dez tratadoschegaram at ns faz meno a esses engenhos prticos. Segundo Plutarco, ele nose dignou a deixar qualquer obra escrita sobre esses assuntos; considerava srdida eignbil a construo de instrumentos e, em geral, qualquer arte que se dirigisse ao uso eao lucro, esforando-se apenas em obter aquilo que, em sua beleza e excelncia,permanecesse fora de qualquer contato com as necessidades comuns da vida.

Esse esnobismo intelectual vinha de Plato, cuja filosofia asseverava que o nico mundoreal era o das abstraes infinitas (ou ideias eternas, como ele as chamava). O mundoparticular em torno de ns era mera iluso: atitude impensvel para um cientista, e Arquimedes de maneira geral ignorou sua irrealidade. Apesar disso, no entanto, elementos dela contagiaram sua obra: era esse o esprito que prevalecia entre os homens eruditos da poca. Arquimedes sem dvida considerou o trabalho terico seu trabalho verdadeiro, relegando o lado prtico a mero acessrio. No entanto, se chegou ao ponto de considerar a cincia prtica srdida e ignbil, outro assunto. Conforme veremos, ele era bem consciente das necessidades comuns da vida no mundo em guerra do sculo III a.C., no Mediterrneo. (A atitude esnobe atribuda a Arquimedespelos pares de Plato e Plutarco outra tradio persistente que continuou a dificultar oprogresso humano desde os gregos antigos.)

De volta a Siracusa, Arquimedes dedicou-se matemtica pura, consumindo longas erduas horas no trabalho terico que o consagraria como o mais apurado talentomatemtico dos dois mil anos que se seguiram. Qualquer indivduo que consuma amaior parte de seu tempo numa atividade mental obsessiva alvo das costumeirasanedotas pouco sutis, e Arquimedes no foi exceo. Segundo Plutarco, ele estava toenfeitiado pelo pensamento que sempre se esquecia de comer e no ligava para suaaparncia. Quando as coisas se tornavam demasiado desagradveis, seus amigosinsistiam energicamente para que tomasse um banho e se asseguravam de que seuntasse com leos perfumados. Mesmo nessas ocasies, no entanto, ele parecia perdidono mundo, desenhando figuras geomtricas.

Esse precisamente o tipo de clich que se poderia esperar. Mas vale a pena lembrarque no sculo II a.C. os cientistas eram to raros quanto os eclipses solares que previam. Essas caractersticas, acompanhadas, por outro lado, de um comportamento racional, eram um fenmeno novo. O esteretipo do cientista anda no tivera tempo para se desenvolver, o que significa que essas objees a respeito da higiene pessoal e da forma de se vestir de Arquimedes podem muito bem conter um elemento de verdade. Ele prprio parece ter desempenhado papel fundamental na criao desse tipo estabelecendo para os cientistas uma tendncia que aparentemente ter longa durao durante o terceiro milnio.

provvel que Arquimedes tivesse continuado a ser feliz nesse estilo metafsico malcheiroso, mas o rei Hiero evidentemente julgou que esse comportamento era um mau exemplo para seus sditos siracusanos. Segundo Plutarco, Hiero enfaticamentesolicitou-lhe e o persuadiu (Arquimedes) a se ocupar de modo tangvel das demandas da realidade. Mais especificamente, despachou-o para os estaleiros, a fim de tentar administrar o caos estabelecido pelos armadores do reino. Eles haviam acabado de concluir a construo de uma grande nau, luxuosamente equipada, denominadaSiracusia, com que Hiero desejava presentear o rei Ptolomeu do Egito. Conforme relatos contemporneos, a nau devia pesar bem acima de 4.000 toneladas (igual a um moderno contratorpedeiro com 300 tripulantes). Era to pesado que os construtores se viram incapazes de lan-la gua.

Entra em ao o super-homem Arquimedes. Com que preciso ele conseguiu moveraquele mamute encalhado permanece obscuro mas presumivelmente utilizou umsistema de roldanas, pois relata-se que Arquimedes deslocou o Siracusia sem qualquerajuda. Foi nessa ocasio que proferiu sua clebre bravata: Dem-me um ponto de apoioe uma alavanca e moverei a Terra.

A famosa observao de Arquimedes revela o conhecimento que tinha do ponto de apoio, literalmente um suporte, ou escora, colocado de forma a habilitar uma quantidade comparativamente pequena de presso a erguer um peso comparativamente grande. O ponto de apoio pode ser usado tanto para escorar uma alavanca ou, como no caso doSiracusia, um sistema de roldanas. Uma das melhores obras de Arquimedes, Sobre oequilbrio dos planos, dedicada s alavancas e mostra como determinar o centro degravidade de vrias figuras planas (ou seja, bidimensionais). Como em todos os seustrabalhos, Arquimedes aderiu ao formato estabelecido por Euclides. Postulados (oudefinies) so seguidos por proposies (ou teoremas) que so ento provados, cadaprova seguindo-se a uma prova anterior.

De incio, Arquimedes estabeleceu o princpio central das alavancas, que determina queduas magnitudes se equilibram a distncias reciprocamente proporcionais s suasmagnitudes.

Para que os dois pesos A e B se equilibrem na figura acima:

A est para B assim como d est para 1

A:B = d:1 ou A/B = d/1

Arquimedes introduziu a noo que agora conhecemos como centro de gravidade emostrou como calcul-la.

Bem pode ser que matemticos anteriores a tivessem conhecido, mas Arquimedes provavelmente formalizou a base terica para seu clculo e certamente ampliou sua aplicao. Mais adiante, nesse trabalho, estabeleceu como descobrir o centro de gravidade para paralelogramos, tringulos e segmentos parablicos. Tudo isso, ou pelo menos a maior parte, trabalho original. Sobre o equilbrio dos planos lanou os alicercesda fsica terica.

Arquimedes, no entanto, achava que suas contribuies mais importantes se deram emgeometria slida. Seu tratado Sobre a esfera e o cilindro demonstrou que a superfcie deuma esfera quatro vezes a de seu maior crculo. Em outras palavras:

Provou tambm que o volume de uma esfera igual a 2/3 do cilindro que a contm.

Em conseqncia disso, conseguiu demonstrar que a frmula para o volume da esfera :

Arquimedes considerava que a descoberta da relao entre uma esfera e o cilindro que acontm era sua conquista mais importante tanto assim que pediu que o diagrama deuma esfera inscrito em um cilindro fosse gravado em seu tmulo.

Fez tambm outra descoberta terica sobre uma esfera inscrita dessa forma num cilindro a saber, que a rea da superfcie da esfera igual superfcie curva do cilindro que aencerra.

Seu trabalho prtico com objetos esfricos era igualmente admirvel. Atribui-se a ele a construo de dois planetrios esfricos to admirados que foram saqueados e levados para Roma aps a queda de Siracusa. O primeiro deles, quase com certeza um hemisfrio cuja superfcie interna continha um mapa dos cus, pode ter sido belo a seu modo, mas o segundo era sem dvida uma obra-prima de engenhosidade mecnica. Consistia em um planetrio aberto com peas que se moviam e que espelhavam com preciso o plano do universo tal como concebido por Eudoxo de Cnido, um amigo de Plato que vivera nacomunidade matemtica de Atenas no sculo anterior.

Segundo Eudoxo, o universo consistia em uma quantidade de esferas concntricastransparentes, cada uma delas servindo de apoio a um planeta. medida que as esferasse movimentavam, giravam os planetas ao longo de sua trajetria. (Adaptando umaantiga idia pitagrica, Eudoxo declarou que o movimento dessas esferas umas emdireo s outras produzia uma divina msica das esferas, to linda que no podia serouvida pelos ouvidos humanos.) A concepo do universo de Eudoxo, com a Terra nocentro e os planetas girando em torno dela, teria profunda influncia sobre Aristteles.E, uma vez que o grande Aristteles estabeleceu como lei que a Terra era o centro douniverso, o prprio Arquimedes sentiu-se inclinado a aceitar essa concepo. Consta queseu intricado planetrio explorou os movimentos do Sol, da Lua e dos planetas em tornoda Terra, em relao esfera das estrelas fixas, durante o curso de um dia. Podiatambm ser regulado para ilustrar as sucessivas fases da Lua e os eclipses lunares. Naopinio dos sbios, era provavelmente acionado por algum tipo de mecanismosemelhante a um relgio dgua.

Em Roma, o planetrio de Arquimedes, com suas peas em movimento, despertouimensa admirao pelos sculos que se seguiram. Tanto Ovdio quanto Ccero se referema ele. No sculo IV d.C., o erudito latino Lactncio, tutor do filho de Constantino, o Grande, chegou a apresentar o feito extraordinrio de Arquimedes como uma das primeiras provas crists da existncia de Deus. Segundo Lactncio, se a inteligncia deum ser humano era capaz de produzir algo to maravilhoso, devia haver uma intelignciaainda maior que fosse capaz de produzir o objeto que a inteligncia humana procuravaimitar. (Nessa poca, a circularidade no se limitava apenas s rbitas dos corposcelestes em torno da Terra.)

quase certo que o planetrio de Arquimedes tenha se perdido durante o saque de Roma pelos visigodos em 410 d.C., mas a idia incorreta na qual se baseou iria perdurarpor outros mil anos. A noo aristotlica de um sistema solar com o centro ocupado pela

Terra foi mantida como artigo de f pela Igreja catlica por toda a Idade Mdia.

No que dizia respeito ao planetrio, o prprio Arquimedes parece ter-se deixado impressionar por sua magia tcnica. Rompendo hbitos de uma vida inteira, escreveu umtratado Sobre a constituio das esferas. H vrias referncias esparsas a ele nas fontesclssicas, mas jamais saberemos ao certo a verdadeira natureza da obra-prima deArquimedes, j que o tratado se perdeu.

Uma das obras-primas que subsistiram foi o pequeno texto Medida do crculo, quecontm uma das melhores peas de argumentao geomtrica. Ela indica a relao da circunferncia de um crculo com o seu dimetro, o que lhe permitiu produzir uma extraordinariamente exata aproximao de [pi]. O mtodo por ele utilizado apontou ocaminho para uma das grandes descobertas da matemtica.

Arquimedes calculou a rea de um crculo descobrindo os limites entre os quais essarea se estende e depois estreitando pouco a pouco esses limites at mais ou menos area real. Para isso, inscreveu dentro do crculo um polgono regular e depoiscircunscreveu o crculo com um polgono similar.

Arquimedes comeou com dois hexgonos e, mediante a duplicao dos lados e arepetio do processo, chegou finalmente a polgonos de 96 lados. Calculou a rea dopolgono interno, que estabelecia o limite inferior da rea do crculo. Em seguida,calculou a rea do polgono externo, que fixava o limite superior. Por esse mtodo foicapaz de calcular que:

Em decimais, teramos a seguinte equao:

A exatido desses clculos pode ser verificada na medida em que, chegando a setedgitos, sabemos agora que:

A maior inovao de Arquimedes nesse ponto foi o uso da aproximao no lugar daigualdade precisa. Euclides havia proposto isso como mtodo, mas no o aplicou ouverificou seriamente suas possibilidades. Arquimedes viu que com freqncia bastavafazer duas aproximaes comparativamente fceis de uma resposta que propusesse umlimite inferior e um outro superior

entre os quais residiria a resposta. Quanto maior a exatido exigida, mais estreitos oslimites. Por exemplo, no diagrama anterior, os lados de um polgono podiam seraumentados at um limite superior de infinitude, reduzindo assim a diferena entre oslimites superior e inferior at um resultado infinitesimalmente pequeno. Assim comeouo clculo, embora outros 2.000 anos ainda fossem necessrios antes que algumdesenvolvesse essa idia. No antes de 1666, quando Newton formulou os elementosessenciais do clculo diferencial e integral.

No entanto, alguns so de opinio que Arquimedes de fato usou o clculo integral em seu tratado Sobre os conides e os esferides. Esse tratado expande a geometria para alm dos rgidos parmetros a ela impostos por Plato e sua atitude mstica em relao s formas as matemticas e as de outra natureza. (Plato acreditava que essas formas ou idias eram a realidade ltima, a partir da qual o mundo era constitudo: umaconstatao que se podia reconhecer na crena de Pitgoras de que tudo nmero.)Plato acreditava em Deus e na geometria. Segundo sua famosa mxima, Deus sempregeometriza. Foi assim que Deus fez o mundo. Por isso, a verdadeira geometria estavalimitada s formas ideais, figuras puras e infinitas como as que podiam ser traadasusando-se apenas um compasso e uma rgua. (Embora a razo pela qual o cenrio dageometria de Deus devesse ser limitado a um compasso e uma rgua permaneaobscura.) Figuras que no podiam ser construdas somente com a utilizao de umcompasso e uma rgua eram desdenhosamente referidas como mecnicas, deixandoimplcito que podiam ser formadas por movimento mecnico, no sendo, portanto, neminfinitas nem perfeitas. Elas pertenciam apenas ao campo da aplicao matemticaprtica. Arquimedes preferiu ignorar essa distino arbitrria, mas estava virtualmentesozinho nessa posio. A geometria permaneceria mutilada pela superstio mstica dePlato por dois milnios, at que o filsofo e matemtico francs Descartes rompesse aforma no sculo XVII. Na realidade, resduos dessa distino subsistem at hoje emnossas noes de matemtica pura e aplicada.

E m Sobre os conides e os esferides, Arquimedes tratou das quatro sees cnicas crculo, elipse, parbola e hiprbole.

Das sees cnicas, apenas o crculo uma figura geomtrica clssica no sentidoplatnico.

Quando esses segmentos giram em torno de seu eixo, formam slidos. Por exemplo, umcrculo bidimensional girando em torno de seu eixo (seu dimetro) ir gerar uma esferatridimensional. Uma elipse delinear uma forma de esfera achatada conhecida comoelipside e assim por diante.

Arquimedes mostrou como calcular o volume dessas formas tridimensionais.

Isso significava, em essncia, calcular a rea abaixo da curva de que se tratava e emseguida faz-la girar em torno de seu eixo para encontrar o volume. (Assim comoencontrar a rea de um semicrculo, de onde procedemos para calcular o volume daesfera formada pela revoluo de

360 do semicrculo.) O mtodo usado por Arquimedes para calcular a rea abaixo dacurva trazia em si muito da idia empregada no clculo da rea de um crculo usando-sepolgonos inscritos e circunscritos. Podemos servir-nos disso para calcular a rea abaixoda curva semicircular do seguinte modo:

Se dividirmos o semicrculo em faixas paralelas de igual largura, e cortarmos asextremidades de modo que cada faixa se torne retangular, podemos facilmente calculara rea ocupada por todas as sees. Quanto mais estreitas as faixas se tornam, menor a rea das extremidades descartadas. medida que o nmero de faixas se aproxima doinfinito, tambm a rea descartada se torna infinitesimalmente pequena e a rea totaldas faixas se aproxima da rea do semicrculo, que seu limite superior. De formasimplificada, isso clculo integral.

Em outro tratado, intitulado Sobre as espirais, Arquimedes usou um mtodo muitosemelhante ao clculo diferencial.

Esse tratado enfocava outra forma geomtrica no platnica, ou seja, a to conhecidaespiral de Arquimedes.

Que continua para se tornar:

Arquimedes definiu essa espiral de forma precisa, mas de difcil compreenso, conformese segue.

Se uma linha reta desenhada em um plano gira uniformemente em torno de umaextremidade que permanece fixa e retorna posio da qual partiu e se, ao mesmotempo, medida que a linha gira, um ponto se move uniformemente ao longo da linhareta, comeando da extremidade que permanece fixa, o ponto descrever uma espiral noplano. Basicamente, esse o caminho percorrido por uma formiga diretamente docentro para a borda de um disco em rotao, visto de cima por um observador queespera pacientemente para colocar um novo disco.

Resolveu tambm o problema de como encontrar a tangente em qualquer ponto naespiral. O clculo diferencial soluciona o problema de como encontrar a tangente emqualquer ponto em qualquer curva. Da se pode deduzir que Arquimedes esteve a umpasso da descoberta do clculo diferencial. No entanto, os clculos que tratavam de suaespiral de fato tiveram xito na soluo de dois dos trs problemas clssicos dageometria, que por tanto tempo haviam preocupado os matemticos em todo o mundoantigo. Eram eles:

1. Como trissecar um ngulo.2. Como desenhar um cubo que tenha o dobro do volume de um cubo determinado.3. Como construir um quadrado igual a um crculo.

Arquimedes mostrou como trissecar um ngulo mediante engenhosa utilizao de suaespiral.

A fim de trissecar o ngulo XOA, trace transversalmente a ele um segmento de uma espiral de Arquimedes XEFA. (Abra um compasso de modo uniforme ao longo de uma rgua giratria.) Desenhe um arco de A a B com centro em O. Trisseque BX em BC, CD e DX. Desenhe arcos com centro em O de C a F e de D a E. OE e OF trissecam o ngulo XOA. (Pode-se ver da que possvel usar a espiral de Arquimedes para dividir um ngulo em qualquer nmero de partes iguais.)

Arquimedes tambm formulou a soluo do terceiro dos clebres problemas da Antigidade a saber, como construir um quadrado igual a um crculo, ou seja, um quadrado cujos ladossomam o mesmo comprimento que a circunferncia do crculo. Esse o famoso problemaconhecido como da quadratura do crculo.

Para fazer isso, tambm usou sua espiral.

Em linguagem simples, ele procedeu do seguinte modo:

P qualquer ponto na espiral. A linha OW forma um ngulo reto com OP. A tangente emP intercepta OW em R. O raio do arco PS OP e intercepta a linha que parte de O.

Arquimedes demonstrou que OR tem o mesmo comprimento que o arco PS.

Segue da que OU tinha o mesmo comprimento de um quarto da circunferncia de umcrculo com raio OT.

Desenhe esse crculo e ele estar quadrado por um quadrado desenhado sobre a baseOU. Embora Arquimedes tenha resolvido esse problema, a questo de como quadrar ocrculo continuou impondo derrotas a todos at bem depois da Idade Mdia. Narealidade, permanece sem soluo at hoje. Mas como possvel se Arquimedesencontrou a resposta?

Segundo as regras de Plato, ou seja, segundo a geometria clssica, Arquimedes estavatrapaceando porque sua espiral uma figura mecnica. Ela no pode ser desenhadausando- se apenas compasso e rgua.

Ningum foi capaz at agora de resolver qualquer dos trs clebres problemas daAntigidade usando a geometria clssica (ou seja, apenas compasso e rgua). E jamaisisso ser possvel. Em 1882 foi finalmente provado que nenhum desses problemas podiaser resolvido apenas com compasso e rgua.

Outra obra de Arquimedes, Quadratura da parbola, reporta-se aos tratados anteriores.Assim como todos os demais tratados, inicia-se com uma carta. Essas cartas eramusualmente dirigidas a seus amigos de Alexandria. Pode-se deduzir do que ele diz queestava ciente da importncia de sua obra e que no tinha qualquer desejo de mant-laem segredo. Ansiava que ela ocupasse o lugar que lhe cabia na crescente massa de

conhecimento cientfico que se acumulava na Biblioteca de Alexandria, para que pudessecircular entre aqueles que l estudavam. Vivendo a 1.600 quilmetros, do outro lado domar, na Siclia, Arquimedes parece ter permanecido algo isolado desse centro deconhecimento. Pelo menos o que sugere a carta que abre a Quadratura da parbola,que comea assim:

Arquimedes para Dositeu,saudaes.

Lamentei quando tomei conhecimento de que Cono, que foi meu amigo enquantoviveu, estava morto. Ele no era apenas um amigo, mas tambm um admirvelmatemtico. Soube que mantinha relaes com ele e que tambm versado emgeometria. Por essa razo envio-lhe a notcia que tencionava mandar a Cono e que se refere a certo teorema geomtrico que no tinha sido pesquisado antes, mas que agora o foi por mim. Descobri esse teorema inicialmente por meio da mecnica e depois o demonstrei por meio da geometria.

Aqui vemos de novo o conflito entre as geometrias clssica e mecnica. Arquimedesinvariavelmente sentia necessidade de demonstrar seus teoremas pelo rigoroso mtodoclssico. Embora sugestivamente tenha sido o mtodo mecnico que, de incio, lhepermitiu descobri-lo.

Prossegue descrevendo o problema: quadrar o segmento limitado por uma linha reta euma seo de um cone em ngulo reto (em outras palavras, uma parbola). Em seguida,anuncia sua descoberta de que todo segmento limitado por uma linha reta e uma seode um cone em ngulo reto (uma parbola) equivale a quatro teros do tringulo quetem a mesma base e altura igual do segmento.

Em outras palavras: tringulo ABC x 4/3 = segmento parablico ABC.

O mtodo mecnico que Arquimedes utilizou para essa descoberta pressupunhaencontrar a rea abaixo da curva de novo um problema que implicava o mtodo doclculo integral.

As exigncias da realidade, no entanto, continuariam a interromper Arquimedes em

seu geomtrico mundo de sonhos. Uma vez mais o rei solicitou seus servios. Esse episdio to famoso quanto improvvel possui vrias fontes, indicando que poderia ter se baseado em alguma verdade similar. O informe mais confivel provavelmente o do arquiteto romano Vitrvio, ainda que estivesse escrevendo dois sculos aps os acontecimentos. Segundo Vitrvio, o rei Hiero decidiu oferecer uma coroa de flores deouro aos deuses para comemorar sua permanente boa sorte. Entregou a tarefa a umartista siracusano local, mas, quando este voltou com a coroa terminada, Hiero desconfiou e em seguida teve certeza de que ele adulterara o ouro com prata mais barata e embolsara o lucro. Mandou pesar a coroa, mas ela tinha o mesmo peso do ouro entregue ao artista. Convocou Arquimedes, mas at ele mesmo mostrou-se atnito de incio e retirou-se prometendo pensar sobre o assunto.

Certa manh, vrios dias depois, Arquimedes ainda matutava sobre o problema quando entrou em uma banheira (acontecimento raro, a julgar pelos relatos de outros contemporneos). medida que imergia mais fundo na banheira, percebeu que mais e mais gua transbordava. Num lampejo entendeu como resolver o problema da coroa deHiero.

Segundo a lenda, Arquimedes ficou to excitado com sua descoberta que pulou dabanheira e correu para casa a fim de registr-la. E podia-se ouvi-lo gritando, correndo nupelas ruas: Eureca! Eureca! (Achei!)

Verdadeira ou no, essa estria permanecer para sempre ligada a Arquimedes. (Comotodos sabemos, a histria no o que de fato aconteceu, mas aquilo que nos agradapensar que aconteceu.) At hoje, cientistas e mortais inferiores referem-se comfrequncia ao Momento Eureca quando de sbito encontram a soluo de umproblema. Mas o que exatamente Arquimedes entendeu?

De acordo com Vitrvio, Arquimedes pediu a Hiero uma poro de ouro que pesasse o mesmo que a coroa. Imergiu-a em seguida em um recipiente cheio de gua at a borda e mediu o excesso. Ento imergiu a coroa em uma banheira, e mediu o excesso de gua resultante, que era maior que o ouro em volume, provando assim que o ouro da coroa tinha sido adulterado. Arquimedes compreendera que os slidos de densidade diferente deslocam diferentes quantidades de gua pois quando tm o mesmo peso devem ocupar pores diferentes de espao.

O episdio de Arquimedes pulando da banheira tradicionalmente associado descoberta do princpio da hidrosttica. Isso aparece no tratado Sobre os corpos flutuantes, reconhecido como a obra fundadora da hidrosttica. Em linguagem simples, o princpio de Arquimedes atesta que um corpo flutuante capaz de deslocar uma quantidade de fluido equivalente a seu peso. Isso pode parecer bvio, mas no o era para os antigos. At que Arquimedes formulasse esse princpio, ningum sabia com preciso o que significava flutuar. No havia como saber se algo flutuaria ou no.Estavam os armadores, no entanto, certos de que as naus flutuariam sem precisar que osmatemticos lhes dissessem? Certamente que sim.

Mas as naus tornavam-se maiores e muito mais sofisticadas. Como j vimos, a Siracusiado rei Hiero era similar em tonelagem a um moderno contratorpedeiro, assim como oera a trirreme dos gregos antigos assim denominada por ter nada menos que trscarreiras de remos (cada uma delas sustentada por uma fileira de suarentos escravos).Na poca de Arquimedes no havia nada parecido com as qinqerremes, com cinco carreiras de remos. Os eruditos consideram muito improvvel que nesse caso os bancos dos remadores fossem empilhados uns sobre os outros. No entanto, pode-se apostar que assim acontecia no primeiro barco lanado que inevitavelmente foi a pique (juntamente com a cabea do arquiteto naval responsvel). Antes de Arquimedes descobrir o princpio da hidrosttica, um armador no tinha como saber se seu barcoflutuaria ou deslocaria gua suficiente de modo a permanecer flutuando.

Isso no foi tudo, porm, que Arquimedes estabeleceu no novo campo da hidrosttica,que ele criava em pleno isolamento em seu tratado Sobre os corpos flutuantes. Talvezmais interessante para o leitor moderno seja sua afirmao: A superfcie de qualquerfluido em repouso igual superfcie de uma esfera cujo centro o mesmo que o daTerra. Em outras palavras, nem a superfcie do mar, nem a superfcie da gua em umabanheira plana. Ela se curva, alinhando-se como um segmento de um crculo em tornodo centro da Terra. E isso ele apoiou em evidncias matemticas.

Os antigos eram bem conscientes de que a Terra era um globo as supersties querezavam que navegar muito longe significava cair da borda do mundo eram vistas comoestrias de velhos marinheiros. A persistncia dessas supersties atravs da IdadeMdia devia-se simplesmente ao pensamento confuso e introduo de conceitosreligiosos e quase-aristotlicos no campo cientfico. Como podemos ver, tantoArquimedes quanto seu amigo Eratstenes j concebiam a Terra como um globo emprovas matemticas do sculo III a.C.

As leis da hidrosttica, conforme estabelecidas por Arquimedes, permaneceriamincontestaveis (ou ignoradas) por 1.800 anos at que foram aprimoradas pelomatemtico e pensador religioso francs Blaise Pascal. Nenhum outro campo cientficofoi iniciado e de sbito interrompido em sua trajetria por quase dois mil anos.

No segundo livro de Sobre os corpos flutuantes, Arquimedes criou uma das mais refinadasobras de raciocnio matemtico puro produzida em qualquer poca, focalizando osparabolides de revoluo (formados quando uma parbola girada em torno de seu eixo). Ele demonstrou as posies nas quais esses parabolides flutuavam em lquidos de densidades diferentes. Um exemplo da sutileza de suas proposies propicia-nos no mais que um prenncio da sutileza de seu procedimento matemtico: Dado determinado segmento de um parabolide de revoluo mais leve que um fluido se osegmento for colocado no fluido de tal forma que sua base seja inteiramente submersa,jamais repousar numa posio tal que a base toque a superfcie do fluido em um pontoapenas. Em outras palavras, ele jamais flutuaria como no diagrama que se segue (e eleconseguiu provar isso).

Sobre os corpos flutuantes foi obra de um dos maiores matemticos de todos os temposno auge de sua fora e dirigido confraria dos matemticos de todos os tempos. Osprodgios se iniciam nessas obras, outros no tm a mesma sorte. Mais ameno para oleigo o tratado mais popular de Arquimedes, O contador de areia, dedicado ao reiGelo de Siracusa, que sucedeu ao rei Hiero II, seu pai, em 216 a.C. bastante provvelque Arquimedes tenha em algum momento sido tutor de Gelo. Ele parece ter tidobastante conscincia da capacidade intelectual de Gelo a qual se afiguravainvulgarmente razovel para o filho de um tirano. O contador de areia pode visar o leigo,mas de nenhum modo deprecia o leitor. Ao contrrio, uma das mais imaginativas einspiradoras obras curtas jamais escritas sobre nmeros (reconhecidamente um campono muito explorado bibliograficamente).

O contador de areia consegue ser potico e, ao mesmo tempo, manter o rigormatemtico desde sua carta de abertura, da qual vale a pena transcrever um trecho algosubstancial:

Existem alguns, rei Gelo, que pensam que o nmero de gros da areia infinitoem multiplicidade; e, quando falo de areia, no me refiro apenas que existe emtorno de Siracusa e no resto da Siclia, mas tambm encontrada em todas as regies, habitadas ou no habitadas. H outros ainda que, sem consider-los infinitos, ainda assim pensam que nenhum nmero foi institudo que seja grande o suficiente para exceder sua multiplicidade. E est claro que aqueles que sustentam esse ponto de vista, se imaginassem uma massa feita de areia em outros aspectos to grande quanto a massa da Terra, incluindo nela todos os mares e todas as crateras da Terra cheias at uma altura igual das mais altas montanhas, estariam muitas vezes ainda mais longe de reconhecer que qualquer nmero poderia ser

expressado excedendo a multiplicidade da areia assim considerada. Mas vou tentar mostrar-lhe, por meio de provas geomtricas que ser capaz de acompanhar, que dos nmeros criados por mim, e mencionados no trabalho que enviei a Zeuxipo,alguns excedem no apenas o nmero da massa de areia igual em magnitude Terra cheia da forma descrita, mas tambm o de uma massa igual em magnitude aouniverso.

Em O contador de areia, Arquimedes props-se vencer as limitaes do sistema numrico grego, que era, tanto quanto podemos afirmar, em essncia, um sistema decimal tomadoemprestado aos egpcios. No possua qualquer conceito de zero e de um limite superior. O nmero mais alto era uma mirade, o equivalente em notao moderna a 10.000. (Os antigos gregos naturalmente no o expressariam desse modo, com zeros.) Arquimedes argumentou com bastante lgica que, se havia nomes tradicionais para os nmeros at uma mirade, pela mesma razo era possvel expressar nmeros at uma mirade de mirades (100.000.000). Esses nmeros foram por ele denominados nmeros da primeira ordem. E prosseguia:

Suponhamos que o nmero 100.000.000 seja a (primeira) unidade da segunda ordem eque a segunda ordem seja constituda pelos nmeros a partir daquela unidade at(100.000.000)2.

Que seja esse nmero uma vez mais a (primeira) unidade da terceira ordem de nmerosterminando em (100.000.000)3; e assim por diante at que alcancemos a centsimamilionsima ordem de nmeros terminando em (100.000.000)100.000.000, quechamaremos P.

E ento continuou usando o mesmo processo at que alcanou o nmero P100.000.000,to grande que no haveria espao suficiente para escrev-lo por extenso no universo.

Arquimedes marcava com isso um ponto revolucionrio. Demonstrava que a matemticaera maior que o universo. Conforme prometera em sua carta introdutria, procedeu demonstrao de que a matemtica poderia numerar at os gros de areia necessriospara encher o universo e ainda dispor de nmeros sobressalentes.

Ele foi provavelmente o primeiro a elaborar em detalhes a matemtica dos grandesnmeros. Formulou clculos que mostravam que o nmero de gros de areia quepoderia conter uma esfera do tamanho de nosso universo (ou seja, aquilo quechamaramos sistema solar) menor que 1.000 unidades da stima ordem de nmeros.Em outras palavras: 1051.

E como chegamos ns a essa ltima cifra? Segundo Arquimedes, a segunda ordem denmeros vai de 100.000.000 a (100.000.000)2.

Dessa forma, a stima ordem de nmeros deve ser de (100.000.000)6 a (100.000.000)7.Mas o incio da stima ordem: (100.000.000)6 = 1048.

Assim, 1.000 (103) unidades de 1048 = 103 x 1048 = 103 + 48 = 1051 (demonstrando que possvel ns trabalharmos com nmeros macromatemticos desde que nosconcentremos neles).

A fim de empreender esses clculos, Arquimedes formulou vrias hipteses, queincluam: O permetro da Terra de aproximadamente 3.000.000 de estdios e nuncamaior. (Um estdio equivalia a perto de 200 metros: clculos atuais situam o equador acerca de 64.000 estdios.) O dimetro da Terra maior que o dimetro da Lua e odimetro do Sol maior que o dimetro da Terra. (A maioria dos astrnomos antigos jhavia ento chegado a essa concluso.) O dimetro do Sol mais ou menos 30 vezes odimetro da Lua e nunca maior. (Projees anteriores o estimavam em no mais que 20vezes maior. de fato perto de 400 vezes maior.) O mais notvel no tanto a exatidorelativa dessas cifras, mas que Arquimedes as estivesse de algum modo utilizando emclculos. Na poca, o mais avanado meio de transporte por terra era a carroa, o nicoinstrumento de observao era o olho humano e os limites do mundo conhecidoesgotavam-se nas fmbrias da Europa setentrional e nas fronteiras da ndia. Isso nos dum indcio do quanto o conhecimento terico dos gregos tinha se estendido alm daaplicao prtica. Essa discrepncia jamais ocorreu de novo em toda a histria doconhecimento humano, exceo do sculo atual.

Em O contador de areia, Arquimedes tambm delineou o sistema heliocntrico douniverso proposto alguns anos antes por Aristarco de Samos. Ele concluiuacertadamente que as idias de Aristarco significavam que o universo muitas vezes maior do que se admitiu at aqui. Infelizmente, ele descartou essas concluses. Talvez seja sugestivo que seu pensamento raramente confuso contivesse nesse ponto as duas falhas que deformariam o pensamento cientfico grego. Ele argumenta de forma abstrata, sem se referir observao, e tambm parece admitir as noes aristotlicas de um universo harmnico e finalista.

difcil imaginar como Arquimedes harmonizou esse ltimo ponto de vista com sua idiarevolucionria de que todo o universo podia estar contido na matemtica e ser descritopor ela.

Sua compreenso dessa idia era muito similar a nossa muito alm da msticapitagrica segundo a qual tudo nmero. No sculo III a.C. a matemtica tinha se transformado, em parte graas sua contribuio, em um instrumento de sutileza e sofisticao muito frente das noes aristotlicas de harmonia e finalidade. Em determinados campos vitais, no entanto, prevalecia a antiga concepo. O prprio Arquimedes no conseguira livrar-se totalmente das antigas viseiras. (Esse curioso resqucio no raro entre as mentes privilegiadas. Newton acreditou na alquimia a vida inteira, e somente no sculo XIX o filsofo alemo Hegel admitiu que s podiam haver sete planetas pela mesma razo mstica de Pitgoras.)

Todas as obras de Arquimedes anteriormente mencionadas (exceto Sobre a constituioda esfera) sobreviveram atravs da Idade Mdia at os dias atuais. Sabe-se que muitas

outras desapareceram, inclusive seu Mtodo acerca dos teoremas mecnicos. Refernciasmedievais e antigas a esse tratado indicam que foi sem dvida uma das obras maisimportantes de Arquimedes, possivelmente a obra principal.

Em 1899, um sbio grego que trabalhava na biblioteca do mosteiro do Santo Sepulcro em Jerusalm fez ligeira referncia a um palimpsesto medieval. (Um rolo de pergaminho onde a escrita original havia sido apagada para dar lugar a um segundo texto.) O palimpsesto consistia em um eucolgio de oraes e rituais ortodoxos gregos do sculo XIII. Por baixo, porm, apenas se podia discernir um texto anterior indistinto contendo smbolos matemticos. Uma referncia a esse manuscrito chamou a ateno do fillogo clssico dinamarqus J.L. Heiberg, grande historiador da matemtica, que finalmente conseguiu rastrear as pistas do palimpsesto at Constantinopla (Istambul) em 1906, aps o que fez uma srie de descobertas sensacionais. A escrita original no palimpsesto continha textos de Arquimedes datados do sculo X. E entre esses encontrava-se sua extensa obra-prima perdida, o Mtodo acerca dos teoremas mecnicos. Outros textosconfirmavam que O stomachion que por tanto fora descartada como obra deArquimedes, mesmo pelo prprio Heiberg era de fato de sua autoria.

O contedo do Mtodo comprovou-se no menos extraordinrio que sua descoberta. Eraadequadamente dirigido ao mais brilhante colega de Arquimedes, Eratstenes deAlexandria, e revelava nada menos que os segredos de seu gnio. a obra na qualArquimedes mostra como fez suas descobertas a maneira como sua mente avanouem direo s verdades matemticas, bem antes de ser capaz de prov-las.

Antes da descoberta desse tratado, os matemticos estavam cientes de que faltava esse aspecto nas obras de Arquimedes. Seus teoremas eram todos sustentados por provas rigorosas, mas era evidente que ele no podia ter usado essas provas para descobrir asverdades que continham. Somente a leitura do Mtodo torna patente que Arquimedesapoiou-se solidamente no mtodo mecnico para chegar a muitos de seus achados. Eleusava esse precursor do clculo, implicando quantidades cada vez menores paraesgotar os espaos que no podiam ser explicados. Por exemplo, estreitanto-se asfaixas oblongas abaixo de uma curva:

Conforme mencionado anteriormente, a grande inovao desse mtodo de exaustoera que ele se baseava na aproximao. Antes disso, os matemticos haviam pensadoapenas em termos de respostas precisas. Um clculo era ou certo ou errado. Esseconceito de aproximar-se cada vez mais da resposta, ou de estreitar os limites entre os quais reside a resposta, era inteiramente novo. Tanto assim que no era aceito comoprova pelos rigorosos padres mantidos pelos gregos. O prprio Arquimedes consideravaesse mtodo mecnico apenas um artifcio heurstico, ou seja, algo til para sechegar a verdades.

No entanto, ele estava bem consciente da importncia de sua descoberta. Conformeexplicou a Eratstenes: Considero necessrio expor esse mtodo por duas razes.Primeiramente, j o mencionei a voc sem explicar o que ele e no quero que penseque estava apenas blefando. E, em segundo lugar, porque estou convencido de que serde grande valor para os matemticos. Meus contemporneos, e meus sucessores, serocapazes de us-lo para descobrir outros teoremas novos, como os que ainda no meocorreram. Arquimedes no estava enganado. De fato, essa profecia seria finalmentecumprida alm de qualquer expectativa possvel. O clculo, desenvolvido a partir dessemtodo, foi descrito como a mais til ferramenta matemtica jamais inventada paradescrever o funcionamento do mundo.

Outras obras perdidas de Arquimedes no foram ainda redescobertas e quase com certeza jamais o sero. Muitos acreditam que os originais dessas obras viraram fumaa quando a Biblioteca de Alexandria incendiou-se em 47 a.C. Essa catstrofe cultural nica deixaria uma imensa sombra, desempenhando papel no pouco relevante na decadncia intelectual da Idade Mdia. agradvel imaginar que, estivessem todas as obras de Arquimedes disponveis no comeo do segundo milnio, poderiam ter inclinado a

balana tornando o pensamento medieval uma pea de rigor em lugar de um objeto ritual.

Referncias a essas obras perdidas aparecem em vrias fontes, de Ovdio a Lucrcio, queno entanto raras vezes oferecem mais que uma sugesto de seu contedo. Uma das maisestimulantes o tratado sobre catptrica, que trata da reflexo e de espelhos e no qual, segundo relatos, ele pesquisou a refrao (algo em torno de um milnio e meio antes que algum pensasse nesse fenmeno cientificamente). Segundo Pappus, gemetra de Alexandria seu contemporneo, Arquimedes tambm escreveu um tratado sobre poliedros semi-regulares, ou seja, figuras convexas tridimensionais cujos lados so constitudos de dois ou mais tipos de polgonos regulares e que so idnticos em seusvrtices. (Usa-se princpio similar na confeco de uma bola de futebol.) Um exemplosimples de um poliedro semi-regular um cubo truncado.

Mais complexo o dodecaedro truncado um slido regular de doze lados com oscantos aparados.

No todo, Arquimedes pesquisou 13 dessas figuras, que hoje so conhecidas comopoliedros arquimedianos, em sua homenagem.

Vrias fontes se referem a um enigma matemtico que Arquimedes teria enviado aEratstenes, desafiando os matemticos de Alexandria a solucion-lo. Trata-se doclebre Problema do Gado. O problema s chegou at ns sob a forma de poema, oqual no podia de modo algum ter sido escrito por Arquimedes totalmente inbilquando se tratava de mtrica. Isso suscitou dvidas sobre ele ser ou no o autor doproblema, embora sua complexidade por si s fale a favor dessa hiptese.

O poema se inicia com ilusria simplicidade arcdica:

Hlio, o rei sol, levou seu rebanho de vacas e touros ilha da Siclia e deixou-os a pastar nas colinas

O gado tinha quatro cores diferentes. Alguns animais eram brancos, outros cinzentos,outros castanhos e o restante malhados.

O nmero de touros malhados era menor que o de touros brancos por 5/6 do nmerode touros cinzentos.

Isso significava menos que o nmero de touros cinzentos por 9/20 do nmero de touroscastanhos.

Isso correspondia a menos que o nmero de touros castanhos por 13/42 do nmero detouros brancos.

O nmero de vacas brancas era, no entanto, 7/12 do nmero de vacas e touros cinzentossomados.

O nmero de vacas cinzentas era 9/20 do nmero de vacas e touros castanhos somados.

O nmero de touros castanhos era 11/30 do nmero de vacas e touros malhadossomados. O nmero de vacas malhadas era 13/42 do nmero de vacas e touros brancos.

Quantas vacas e quantos touros eram de cada cor no rebanho de Hlio, o deus Sol?

S nos resta especular sobre a reao dos sbios de Alexandria ante esse desafio aotalento matemtico masculino ou feminino. (Embora continuassem raras, sabe-se quehouve algumas mulheres matemticas durante esse perodo. A mais clebre talvez tenhasido Agnodice, forada a se ocultar sob roupas de homem para estudar em Alexandria;Axiotia, por outro lado, adotou esse disfarce por vontade prpria quando deu aulas naAcademia de Plato. Relatos do conta de que outra estudiosa de Alexandria, Ifignia deCs, teria demonstrado que uma prova de seu tutor, o grande gemetra Pappus, era defato fraudulenta.)

Voltemos, porm, a outro tipo de disparate. O Problema do Gado de Arquimedes podeser expresso em frmulas contendo oito incgnitas. um problema de anliseindeterminada, o que significa que h mais de um conjunto correto de respostas. Noentanto, h evidncias de que at Arquimedes teve dificuldades nesse ponto. Ele podeter conseguido confundir seus rivais alexandrinos, mas conseguiu tambm confundir a siprprio. Mesmo o menor conjunto de respostas corretas implica milhes. Por exemplo, omenor nmero correto de touros brancos

10.366.482 e o de vacas brancas, 7.206.360. As respostas mais baixas (e a nica) deArquimedes so cerca de 80 vezes essas cifras e ainda assim no esto totalmentecorretas. (E dessa vez ele no tinha a desculpa de estar usando uma forma embrionriade clculo aproximativo!) De qualquer modo, esse problema parece ter gerado umaquantidade similar da substncia que o vasto rebanho de Hlio deve ter depositadosobre as colinas da Siclia.

Arquimedes parece ter vivido a habitual vida excntrica de um matemtico. Quieta, solitria e silenciosamente trivial excetuadas as espordicas e espetaculares incurses na arena pblica (correndo nu pelas ruas gritando Eureca!, lanando sozinho o precursor siracusiano do Titanic etc.) No final da vida, porm, os fatos finalmente ovenceram e ele foi forado mais uma vez a ocupar com relutncia uma posio nocenrio pblico.

Nas ltimas dcadas no sculo III a.C. o Mediterrneo estava envolvido em uma disputade poder entre as duas superpotncias locais Roma, expandindo-se para fora doterritrio italiano, e Cartago, espalhando-se alm dos litorais do norte da frica. Em 218a.C., esse conflito desencadeou a Segunda Guerra Pnica, com Anbal liderando seuselefantes atravs dos Alpes para atacar Roma. A Siclia era de importncia estratgicavital para os dois lados e, em 214 a.C., o general romano Marcelo imps o cerco aSiracusa.

Arquimedes era ento um homem idoso, na casa dos 70 anos idade venervel numapoca em que se sentiam felizes os que viviam mais de 30. Apesar disso, foi encarregado

da defesa de Siracusa. As muralhas da cidade desciam perpendicularmente at o mar,mas ainda assim permaneciam vulnerveis ao ataque da poderosa esquadra romana.Dessas muralhas, Arquimedes supervisionou pessoalmente as operaes militares.

Usando toda a sua engenhosidade cientfica, construiu uma mquina que arremessavaenormes pedras contra a armada inimiga. Aparentemente tratava-se de algum tipo decatapulta. Construiu tambm guindastes que se precipitavam por cima das muralhas edeixavam cair grandes pedaos de rocha que destruam o convs das embarcaesromanas. E usou um artifcio semelhante para deslizar por baixo da proa dos navios ei-los para fora da gua.

O comandante romano Marcelo decidiu destruir as muralhas. Ordenou a suasqinqerremes que se mantivessem unidas, com os mastros amarrados a um dos ladosdas sambucas (escadas largas que podiam ser baixadas junto aos muros). Em seguida remaram freneticamente em direo s muralhas da cidade, com o convs abarrotado de soldados. Arquimedes parece ter previsto isso e usou algum tipo de engenho (mais uma vez provavelmente incluindo guindastes) que fisgava as sambucas e as arrancava dasmuralhas antes que os soldados tivessem tempo de escal-las.

O mais engenhoso de todos era um dispositivo feito de vrios espelhos pequenos queconvergiam os raios do sol para as naus romanas. Esse aparelho podia operar distncia de uma flechada, segundo Plutarco, tornando o ar to denso que ele seinflamava e incendiava os navios. O relato de Plutarco geralmente descartado comofantasioso. No entanto, uma curiosa mquina arquimediana similar parece ter sidousada no cerco de Constantinopla em 514 a.C. Em 1774, o conde francs de Buffon,naturalista e construtor de mquinas excntricas, decidiu conferir esses relatos.Construiu um prato cncavo contendo 168 espelhos, que ele pensava ser capaz deincendiar madeira a 50 metros e que, a uma distncia menor, tinha capacidade suficientepara derreter chumbo.

Relata-se que o comandante romano Marcelo ficou impressionadssimo com os feitos cientficos de seu adversrio. Tanto que, quando a cidade foi finalmente vencida em 212a.C., determinou que sua vida fosse poupada. A estria que se segue quase toconhecida quanto o incidente do Eureca! e, da mesma forma, varia segundo a fonte. Averso mais dramtica fala de um Arquimedes profundamente imerso em clculosmatemticos enquanto as tropas romanas saqueavam a cidade. A despeito dosdistrbios nas ruas, ele continuava a desenhar crculos em sua bandeja de areia plana (oequivalente contemporneo de um computador pessoal). Foi interrompido por umasombra que incidia sobre seus desenhos. Olhou para cima e viu um soldado romano.Por favor, no interrompa meus clculos, disse, admoestando-o. Mas o soldado,cansado da batalha, naturalmente no estava disposto a qualquer demonstraomatemtica. Brandindo sua espada, ordenou que Arquimedes o acompanhasse, maseste se recusou a se mexer antes de concluir os clculos. Aps o que o exasperadoromano golpeou-o, matando o velho obstinado.

Esta cena est retratada em um famoso mosaico desenterrado em Herculano, a cidadedestruda ao lado de Pompia pelo Vesvio no ano 79. Esse mosaico dificilmente podeser considerado uma testemunha ocular. (Os reprteres, mesmo na era romana, noilustravam suas matrias com mosaicos.) Ele sugere, no entanto, que o lendrio episdioda morte de Arquimedes pode ter se apoiado em fatos.

Marcelo irritou-se profundamente quando soube do que acontecera ao matemtico de79 anos de idade reconhecido, j nessa poca, como o maior talento matemtico queo mundo at ento conhecera. Conta-se que foram dispensadas honrarias aosdependentes de Arquimedes, o que sugere que ele talvez tivesse sido casado. Marcelodeu ordens tambm para que o tmulo de Arquimedes fosse entalhado com uma esferainscrita dentro de um cilindro, tal como ele desejara.

Esse ltimo detalhe da lenda verdico e chegou at ns pelos escritos de Ccero, oorador e estadista romano. Em 75 a.C., Ccero foi nomeado questor (tesoureiro geral) daSiclia. Ele descreve como saiu um dia procurando ao redor das muralhas de Siracusa ofamoso local do tmulo de Arquimedes. Em suas prprias palavras: Finalmente localizamos o cemitrio, cercado por moitas de arbustos e touceiras de espinhos. Eu sabia o que procurar, j que ouvira que alguns versos estavam escritos em seu tmulo. Lembrei-me que afirmavam que uma esfera e um cilindro tinham sido inscritos em seu tmulo. H uma enorme quantidade de tmulos no Porto Agrigentino e tive de procurar por algum tempo. Notei ento uma pequena coluna que sobressaa acima dos arbustos. Nela, mal consegui perceber uma inscrio de uma esfera e um cilindro. Foram enviados escravos com foices e, to logo eles abriram uma trilha no matagal, aproximamo-nos da coluna. O poema inscrito era apenas perceptvel, com somente alguns versos ainda legveis e a ltima parte apagada.

Alm do famoso mosaico, cuja representao duvidosa, a nica outra imagemconhecida de Arquimedes encontra-se em uma moeda siciliana que data do final dosculo III a.C. aproximadamente. impossvel avaliar a fidedignidade desse retrato. A imagem do talento de Arquimedes que, no entanto, chegou at ns atravs de seus textos inequvoca. Ningum seno um supremo gnio matemtico poderia ter criado asobras que produziu. Essa imagem de Arquimedes sobreviver tanto quanto a prpria matemtica.

POSFCIO

No momento da morte de Arquimedes, a Magna Grcia caa sob o jugo do ImprioRomano. Em meados do sculo seguinte, Roma derrotaria a prpria Grcia e a grandeera da antiga cultura grega chegava ao fim. O pensamento grego foi relegado a meroornamento pelo Imprio Romano. No servia a qualquer finalidade prtica. O gnioromano voltava-se para a engenharia, a ordem cvica e o militarismo. Sua contribuio matemtica permanece um vazio. O nico romano a desempenhar um papel na histria

da matemtica foi o soldado que matou Arquimedes.

A influncia de Arquimedes sobre as geraes que se seguiram foi mnima. A grandiosidade de suas conquistas foi simplesmente desdenhada, embora suas frmulas, como as que se referem rea da superfcie e ao volume da esfera, tenham se tornado parte do cnone matemtico padro. Da mesma forma, sua aproximao facilmente inteligvel de como sendo 22/7 foi tambm absorvida. Estava correta at trs casas decimais o que era suficiente para os romanos. Embora Arquimedes tivesse esperanas de que seu mtodo mecnico (inclusive exausto, limites etc.) levasse a novas conquistas matemticas, isso no iria acontecer. Somente quando suas obras foram traduzidas para o rabe no sculo VIII, seu desejo comeou a se concretizar. Enquanto a Europa se arrastava na escurido, foram os rabes que finalmente reiniciaram a matemtica que permanecera estagnada por um milnio.

As obras de Arquimedes sobreviveram, assim, de uma forma ou outra, at a Idade Mdiae alm dela. Suas idias prticas pareciam no contradizer a ortodoxia aristotlica, o quesignificava que eram aceitveis para o esprito medieval. O que fez, no entanto, esseesprito medieval das grandes obras tericas de Arquimedes? Quase nada, parece. NaEuropa, a matemtica continuava estagnada. Ser? Alguns estudiosos continuamconvencidos de que, em algum lugar da Europa, algum deve ter dado o justo valor obra de Arquimedes, e ter sido por ela inspirado, para lev-la adiante. A matemticaprescinde de tradio social e pode facilmente ser praticada por um monge solitrionuma remota comunidade insular ou por um estudioso numa universidade ou um sbioa servio de uma corte. Bastariam as obras de Arquimedes e algum com intelignciasuficiente para usar seu mtodo. Um nico gnio solitrio poderia facilmente e por simesmo ter feito evoluir a matemtica (e ter passado adiante suas obras, poupando acivilizao de sculos de estagnao intelectual). No entanto, ainda est por serencontrada a prova da existncia desse gnio perdido.

Em sua maior parte, a matemtica continuou a ser til apenas como instrumentoprtico. A capacidade humana para o pensamento matemtico abstrato permaneceuinaproveitada exceto talvez para calcular a quantidade de anjos que poderia cabernuma cabea de alfinete. O impulso rumo abstrao foi deturpado e visto comoespeculao teolgica estril. Essa situao mudou muito pouco at o Renascimento e,somente em meados do sculo XVI, Arquimedes passou de fato a inspirar grandestalentos como Kepler e Galileu. Ainda assim, outro sculo se passaria antes queNewton aperfeioasse o mtodo de Arquimedes e inventasse o clculo. Quandoindagado sobre como chegara a suas grandes descobertas, Newton dava sua famosaresposta: Se vi urn pouco alem dos outros, foi porque subi nos ombros de gigantes." Essa modstia, no entanto, era apenas aparente. Newton estava bem consciente de que era um gigante, mesmo entre gigantes. E o Uni.co gigante que reconhecia como seu igualera Arquimedes.

ARQUIMEDES EM AO

ARQUIMEDES EM AO

Duas provas de Arquimedes:

Sobre os corpos flutuantes, livro 1, Proposio 2

A superfcie de qualquer fluido em repouso a superfcie de uma esfera cujo centro igualao da Terra.

Suponhamos que a superfcie do fluido seja cortada por um plano atravs de O, o centroda Terra, na curva ABCD.

ABCD ser a circunferncia de um crculo.

Porque, se no, algumas das linhas traadas de O at a curva sero desiguais. Tomemosuma delas, OB, de tal forma que OB seja maior que algumas das linhas de O at a curva emenor que outras. Tracemos um crculo tendo OB por raio. Ou seja, EBF, que por issoficar parcialmente dentro e parcialmente fora da superfcie do fluido.

Tracemos OGH fazendo com OB um ngulo igual ao ngulo EOB, encontrando a superfcieem H e o crculo em G. Tracemos tambm no plano um arco de um crculo PQR comcentro em O e dentro do fluido.

Assim, as partes do fluido ao longo de PQR so uniformes e contnuas e a parte PQ comprimida pela parte entre ela e AB, enquanto a parte QR comprimida pela parteentre QR e BH.

Por conseguinte, as partes ao longo de PQ e QR sero comprimidas de forma desigual e aparte menos comprimida ser posta em movimento pela mais comprimida.

Conseqentemente no haver repouso; o que contrrio hiptese.

Assim, a seo da superfcie ser a circunferncia de um crculo cujo centro O; e o

mesmo suceder a todas as outras sees por planos atravs de O.

Assim, a superfcie igual de uma esfera com centro em O. Medida de um crculo Proposio 1

A rea de qualquer crculo igual a qualquer tringulo retngulo no qual um dos ladossobre o ngulo reto igual ao raio, e o outro circunferncia, do crculo.

Seja ABCD o crculo dado, K o tringulo descrito.

Em seguida, se o crculo no for igual a K, dever ser maior ou menor.

1. Se possvel, faamos o crculo maior que K.

Inscrevamos um quadrado ABCD, seccionemos os arcos AB, BC, CD, DA e, em seguida,seccionemos (caso seja necessrio) as metades e assim por diante, at que os lados dopolgono inscrito, cujos pontos angulares sejam os pontos da diviso, subtendamsegmentos cuja soma menor que o excesso da rea do crculo sobre K.

Assim, a rea do polgono maior que K.

Tomemos AE como um de seus lados e ON como a perpendicular em AE ao centro O.

ON ento menor que o raio do crculo e, por conseguinte, menor que um dos ladossobre o ngulo reto em K. Tambm o permetro do polgono menor que acircunferncia do crculo, ou seja, menor que o outro lado sobre o ngulo reto K.

Portanto, a rea do polgono menor que K; o que incoerente com a hiptese. Assim, area do crculo no maior que K. 2. Se possvel, faamos o crculo menor que K.

Circunscrevamos um quadrado e faamos com que dois lados adjacentes, tocando ocrculo em E e H, se encontrem em T. Seccionemos os arcos entre os pontos adjacentes de contato e desenhemos as tangentes nos pontos de seco. Faamos A o ponto do meio do arco EH, e FAG a tangente em A.

Ento o ngulo TAG um ngulo reto. Por isso TG > GA > GH

Segue-se que o tringulo FTG maior que a metade da rea TEAH.

Analogamente, se o arco AH for seccionado e a tangente no ponto de seco for traada,ela ser separada da rea GAH em mais da metade etc.

Assim, mediante a continuao do processo, chegaremos em ltima instncia a umpolgono circunscrito, de tal forma que os espaos interceptados entre ele e o crculosomados so menores que o excesso da rea do crculo sobre K.

Logo, a rea do polgono ser menor que K.

J que a perpendicular de O em qualquer lado do polgono igual ao raio do crculo,enquanto o permetro do polgono maior que a circunferncia do crculo, segue-se quea rea do polgono maior que o tringulo K; o que impossvel.

Conseqentemente, a rea do crculo no menor que K.

Uma vez que a rea do crculo no maior nem menor que K, igual a ele.

Da Arquimedes parte para provar que a circunferncia de um crculo igual a:

[pi] x dimetro

Que a rea de um crculo igual a:

[pi] x (raio)2E que o valor de [pi] :

< 3 1/7 mas > 3 10/71

CRONOLOGIA DA GRCIA ANTIGA

1184 a.C. - Cerco de Tria

776 a.C. - Primeiros Jogos Olmpicos

700 a.C. - poca de Homero

585 a.C. - Eclipse solar previsto por Tales de Mileto, o primeiro filsofo

545 a.C. - O Imprio Persa ocupa a Jnia (hoje a costa do Egeu do territrio turco)

533 a.C. - Primeiro concurso de tragdia grega vencido por Tspis

490 a.C. - Os persas so derrotados em Maratona

490 a.C. - Nascimento de Herdoto, o pai da histria

462 a.C. - Anaxgoras torna-se o primeiro filsofo a morar em Atenas Incio da PrimeiraGuerra do Peloponeso entre Esparta e Atenas.

460 a.C. - Nascimento de Hipcrates, maior mdico grego, responsvel pelo juramentohipocrtico

447 a.C. - Comeam as obras do Partenon de Atenas

429 a.C. - A morte de Pricles marca o fim da poca de ouro de Atenas

427 a.C. - Nascimento de Plato

404 a.C. - A derrota de Atenas por Esparta marca o fim das Guerras do Peloponeso

399 a.C. - Scrates condenado morte em Atenas

329 a.C. - Alexandre, o Grande, chega ndia

322 a.C. - Morte de Aristteles

300 a.C. - Euclides escreve em Alexandria

290 a.C. - Fundao da Biblioteca de Alexandria

287 a.C. - Nascimento de Arquimedes

264-241 a.C. - Primeira Guerra Pnica entre Roma e Cartago

218 a.C. - Segunda Guerra Pnica, com Anbal invadindo a Itlia

212 a.C. - Morte de Arquimedes

211 a.C. - Fim da Segunda Guerra Pnica, com o controle romano sobre a Siclia

168 a.C. - Derrota romana na Macednia

146 a.C. - Saque de Corinto, a Grcia cai sob o domnio romano

LEITURA SUGERIDA

Paul Strathern: Pitgoras e seu teorema em 90 minutos (Jorge Zahar)

E.J. Dijksterhuis: Arquimedes (Munksgaard) A melhor vida e obra,traduzida do dinamarqus: eventualmente reeditada, mas ainda rara.

E.T. Bell: Men of Mathematics (Longman) A obra clssica sobre o assunto; mais de 30personalidade e suas obras desde a Grcia antiga ao incio do sculo XX.

Euclides, Arquimedes, Nicmaco: Great Books of the Western World vol.10 (Britannica) As obras completas na traduo modelo de Thomas L. Heath.

Cambridge Dictionary of Scientists (Cambridge) Um bompanorama sobre os contemporneos de Arquimedes.

Sobre o AutorIntroduoO Mundo Como Arquimedes o EncontrouVida e ObraPosfcioArquimedes em AoCronologia da Grcia AntigaLeitura Sugerida