Assim, de acordo com o tipo de níveis atribuídos para o ... · Um experimento inteiramente casualizado com 4 repetições para estudar os feitos de 7 doses de gesso (0, 50, 100,

Assim, de acordo com o tipo de níveis atribuídos para o fator, a técnica apropriada será escolhida. Logo temos o seguinte esquema:

Rejeita H0

Teste de comparações múltiplas

Fator Qualitativo

H0

H1

Aceita H0

FatorQuantitativo

ANOVA Regressão

As pressuposições devem ser satisfeitas!

1

Como estudar os fatores?Como estudar os fatores?

Fatores Qualitativos Fatores Quantitativos

Cultivares de milho (A, B, C e D)

Idades de Corte de Gramíneas (30, 60 e 90 dias)

Rações(Comum e Premium)

Níveis de Estradiol na Ração (0, 20, 40, 60 e 80 mg)

Raças Temperaturas(R1, R2,....) (170C, 220C e 250C )

Sexo (Macho e Fêmea)

Níveis de Energia (2800, 3000, 3200 e 3400 Kcal/kg)

Irrigação(Presença e Ausência)

Doses de Adubo(10, 20, 30, 40 e 50 kg/ha)

Adubação (Orgânica, Química, Testemunha)

Porcentagem de proteína(16, 18, 20 e 22%)

Teste de Comparações

Múltiplas

Regressão

2

Regressão na ANOVA Regressão na ANOVA Regressão na ANOVA Regressão na ANOVA (Polinômios ortogonais)(Polinômios ortogonais)

Prof.a Dr.a Simone Daniela Sartorio de Medeiros

DTAiSeR-Ar

3

Nos experimentos em que os tratamentos são

quantitativos, como por exemplo: níveis crescentes de

y = –0,007x2 + 0,983x – 13

17

19

21

23

Var

iáv

el r

espo

sta

A análise de variância, como é feita usualmente, pressupõe a independência dosefeitos dos diversos tratamentos utilizados. Quando essa hipótese não se verifica, aanálise de variância deve refletir a dependência entre os efeitos dos tratamentos, sobpena de não ser válida.

PolinômiosPolinômios ortogonaisortogonais parapara fatoresfatores quantitativosquantitativos

exemplo: níveis crescentes de adubo, inseticida, fungicida

etc., muitas vezes se justifica a existência de uma

correspondência funcional, denominada equação de

regressão, que liga os valores dos tratamentos (X) aos dados analisados (Y).

4

5

7

9

11

13

15

17

20 40 60 80 100

Valor observado

Valor estimado

Idade de Corte (dias)

Var

iáv

el r

espo

sta

Como fazer a análise de variância para o estudo da regressão?

O método a ser utilizado é o dos polinômios ortogonais, que é de fácilaplicação quando os níveis que compõem os tratamentos são igualmenteespaçados, pois nos permitem a utilização de coeficientes dados em tabelas.

Para a construção de polinômios ortogonais para níveis que não sãoigualmente espaçados ver:igualmente espaçados ver:

CAMPOS, H. Estatística aplicada à...1984 – Capítulo 11.

5

y =a + bx Linear (1º grau): reta

y = a + bx + cx2 Quadrático (2º grau): parábola

y = a + bx + cx2 + dx3 Cúbico (3º grau)

PolinômiosPolinômios

ModeloModeloEquaçãoEquação

y = a + bx + cx2 + dx3 + fx4 4º grau

y = a + bx + cx2 + dx3 + fx4 + gx5 5º grau

y = a + bx + cx2 + dx3 + fx4+ gx5 + hx6 6º grau

6

y = a + bx + cx2 + dx3 + fx4+ gx5 + hx6 + ix7 7º grau

......

Fator A com 2 níveis (gl = 1)

Modelo linear (1º grau) Fator A com 3 níveis (gl = 2)

Modelo linear (1º grau)

Modelo quadrático (2º grau)

ExemplosExemplos::

O número de modelos possíveis de serem ajustados depende do número de níveis do fator em estudo.


Modelo linear (1ºgrau)


Modelo cúbico (3º grau)


Modelo linear (1ºgrau)


Modelo cúbico (3º grau)

Regressão de 4º grau

... 7

Um experimento inteiramente casualizado com 4 repetições para estudar osfeitos de 7 doses de gesso (0, 50, 100, 150, 200, 250 e 300 kg/ha) sobre diversascaracterísticas do feijoeiro. Para a característica “peso de 1000 sementes” osresultados obtidos, em gramas, são apresentados na Tabela.

Existe diferença entre as doses para a variável em estudo? Teste essa hipótese aonível de 5% de significância. Qual é a melhor dose para se recomendar?

Exemplo 1Exemplo 1

Repetições

Tratamentos(kg/ha)

1 2 3 4 Totais(kg/ha)

1 2 3 4 Totais

T1) 0 134,8 139,7 147,6 132,3 554,4

T2) 50 161,7 157,7 150,3 144,7 614,4

T3) 100 160,7 172,7 163,4 161,3 658,1

T4) 150 169,8 168,2 160,7 161,0 659,7

T5) 200 165,7 160,0 158,2 151,0 634,9

T6) 250 171,8 157,3 150,4 160,4 639,9

T7) 300 154,5 160,4 148,8 154,0 617,7

Total 4379,1

Fator quantitativo: Note que há uma

tendência de aumento na produção do

feijoeiro (Y) à medida que aumentamos a dose de gesso (X).

8

dose y repet0 134,8 10 139,7 20 147,6 30 132,3 4

50 161,7 150 157,7 250 150,3 350 144,7 4100 160,7 1100 172,7 2100 163,4 3100 161,3 4

Tabulação:DIC_feijao_reg.csv

No R:

Repetições

Trat 1 2 3 4 Média

T1) 0 134,8 139,7 147,6 132,3 138,60

T2) 50 161,7 157,7 150,3 144,7 153,60

T3) 100 160,7 172,7 163,4 161,3 164,53

T4) 150 169,8 168,2 160,7 161,0 164,93

T5) 200 165,7 160,0 158,2 151,0 158,73

T6) 250 171,8 157,3 150,4 160,4 159,98

T7) 300 154,5 160,4 148,8 154,0 154,43

Exemplo 1Exemplo 1

9

100 161,3 4150 169,8 1150 168,2 2150 160,7 3150 161,0 4200 165,7 1

200 160,0 2200 158,2 3200 151,0 4250 171,8 1250 157,3 2250 150,4 3250 160,4 4300 154,5 1

300 160,4 2300 148,8 3300 154,0 4

y = c(134.8, 139.7, 147.6, 132.3, 161.7, 157.7, 150.3, 144.7,160.7, 172.7, 163.4, 161.3,169.8, 168.2, 160.7, 161.0,165.7, 160.0, 158.2, 151.0,171.8, 157.3, 150.4, 160.4,154.5, 160.4, 148.8, 154.0) # peso 1000sementes

dose<- rep(c(0, 50, 100, 150, 200, 250, 300),each=4)DIC<- data.frame(y, dose)

#OU

DIC<- read.csv2("DIC_feijao_reg.csv",head=T,dec=", ")

Causas de Variação gl SQ QM F

Tratamento 6 SQTrat QMTrat Fcalc

Resíduo 21 SQRes QMRes -

Total 27 SQTotal - -

Exemplo 1Exemplo 1

No R:

Tarefa 1: a) Faça esses cálculos daANOVA à mão, com oauxílio da calculadora.

b) Conclua o teste dehipóteses.

ANOVA

10

No R:mod<- lm(y ~ factor(dose), data=DIC)anova(mod)Analysis of Variance TableResponse: y

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(dose) 6 1941.83 323.64 7.668 0.0001876 ***Residuals 21 886.34 42.21

# F_tab = F(6,21; 5%)qf(0.95,6,21)[1] 2.572712

No R:# Normalidade dos errosshapiro.test(rstudent(mod))

Shapiro-Wilk normality testdata: rstudent(mod)W = 0.9733, p-value = 0.6711

# Homocedasticidadebartlett.test(y ~ dose, data=DIC)

Bartlett test of homogeneity of variancesdata: y by dose

Verificando as pressuposições da ANOVA

11

data: y by doseBartlett's K-squared = 1.8154, df = 6, p-value = 0.9359

No R:# Gráfico Quantil-quantil com envelope simuladolibrary(car); par(mfrow=c(1,2))qqPlot(rstudent(mod), pch=19)

# Gráfico de resíduos x preditosplot(fitted(mod), rstudent(mod) , pch=16, xlab='Valores ajustados', ylab='Resíduos studentizado'); abline( h=c(-3,0,3), lty=2)

Verificando as pressuposições da ANOVA

2 2

12

-2 -1 0 1 2

-10

1

norm quantiles

rstu

de

nt(

mod

)

140 145 150 155 160 165

-10

1

Valores ajustados

Resíd

uo

s s

tuden

tizad

o

Como os tratamentos são quantitativos, uma análise completa deve levar em conta a regressão, subdividindo-se os 6 graus de liberdade de tratamento da seguinte maneira:

Causas de Variação gl SQ

Reg. Linear (1.o grau) 1 SQRL

Reg. Quadrática (2.o grau) 1 SQRQ

Reg. Cúbica (3.o grau) 1 SQRC

Reg. de 4.o grau 1 SQR4

Exemplo 1Exemplo 1

Causas de Variação gl SQ

Reg. Linear 1 SQRL

Reg. Quadrática 1 SQRQ

Reg. Cúbica 1 SQRC

Desvios de regressão 3 SQDV

ANOVAANOVA

Desdobramento das doses em regressões por polinômios ortogonais.




(Tratamento) (6) SQTrat

Resíduo 21 SQRes

Total 27 SQTotal

13

Desvios de regressão 3 SQDV

(Tratamento) (6) (SQTrat)

Resíduo 21 SQResíduo

Total 27 SQTotal

Na ANOVA, podemos considerar as regressões maiores que 3.o grau como uma única causa de variação, denominada desvios de regressão, pois

regressão maior que 3.o grau não tem interesse prático

Qual é o modelo de regressão que se deve usar para esse experimento?

(significativa)

Análise de Análise de varivariânciaância

ANOVA


Reg. Linear 1 SQRL QMRL F_RL

Reg. Quadrática 1 SQRQ QMRQ F_RQ

Reg. Cúbica 1 SQRC QMRC F_RC

Desvios de regressão 3 SQDV QMDR F_DR (significativa)

14

Resposta:

Quando o teste F para Desvios de regressão for significativo, isto indica que existe alguma regressão significativa, de grau maior que 3.o e, se tivermos

interesse em estudá-la devemos desdobrar os desvios de regressão.

Desvios de regressão 3 SQDV QMDR F_DR

(Tratamento) (6) (SQTrat) QMTrat F_calc

Resíduo 21 SQResíduo QMRes -



(significativa)


ANOVA






Modelo Linear: y = a + bx

15

Resposta:


(Trat) (6) (SQTrat) QMTrat F_calc





ANOVA

(significativa)






Modelo Quadrático: y = a + bx + cx2

16

Resposta:












ANOVA

(significativa)

Modelo Cúbico: y = a + bx + cx2 + dx3

17





Resposta:








ANOVA

(significativa)

(significativa)

Modelo Cúbico: y = a + bx + cx2 + dx3

18





Resposta:

Escolha a fonte de variação (regressão) de maior grau que seja significativa:

N.º

Trat

Grau do

polinômio

Totais de Tratamentos

K MT1 T2 T3 T4 T5 T6

2 1 –1 1 – – – – 2 1

31

2

–1

1

0

–2

1

1

–

–

–

–

–

–

2

6

1

3

4

1

2

–3

1

–1

–1

1

–1

3

1

–

–

–

–

20

4

2

1

Tabela de coeficientesTabela de coeficientes

A tabela fornece também a soma dos quadrados dos coeficientes (K) e uma constante (M) que será utilizada na determinação da equação de regressão.

4 2

3

1

–1

–1

3

–1

–3

1

1

–

–

–

–

4

20

1

10/3

5

1

2

3

4

–2

2

–1

1

–1

–1

2

–4

0

–2

0

6

1

–1

–2

–4

2

2

1

1

–

–

–

–

10

14

10

70

1

1

5/6

35/12

6

1

2

3

4

5

–5

5

–5

1

–1

–3

–1

7

–3

5

–1

–4

4

2

–10

1

–4

–4

2

10

3

–1

–7

–3

–5

5

5

5

1

1

70

84

180

28

252

2

3/2

5/3

7/12

21/10

Os coeficientes para um número maior de tratamentos podem ser encontrados em GOMES, P. Curso de Estatística Experimental, 1985 – Capítulo 12.19

Exemplo 1Exemplo 1

Totais de Tratamentos

(Ti)

Coeficientes para n=7 níveis

1º grau 2º grau 3º grau

c1i c2i c3i

T1 = 554,4(4) -3 5 -1

T2 = 614,4(4) -2 0 1

a) Obtenha a estimativa do contraste de cada regressão.

I

iiiRL TcY

11

ˆ

Reg. linear (RL):

I

TcY

Reg. Quad. (RQ):

Como calcular as somas de quadrados das regressões?Como calcular as somas de quadrados das regressões?

T3 = 658,1(4) -1 -3 1

T4 = 659,7(4) 0 -4 0

T5 = 634,9(4) 1 -3 -1

T6 = 639,9(4) 2 0 -1

T7 = 617,7(4) 3 5 1

K 28 84 6

M 1 1 1/6

20

i

iiRQ TcY1

2ˆ

I

iiiRC TcY

13

ˆ

Reg. Cúbica (RC):

70,217)7,617(*)3(...)4,614)(2()4,554(*)3(ˆ RLY 00,61ˆ

30,657ˆ

RC

RQ

Y

Y

b) Cálculo das Somas de Quadrados das regressões (SQReg)

rK

Y

cr

YSQY

I

ii

2

1

2

2 )ˆ()ˆ(

r: número de parcelas somadas para obter cada total (Ti) de tratamento.

I

iicK

1

2

ˆ

Como calcular as somas de quadrados das regressões?Como calcular as somas de quadrados das regressões?

Exemplo 1Exemplo 1

21

15,423284

)7,217()ˆ( 2

1

2

rK

YSQY RL

RL

84,1285)ˆ(

2

2

rK

YSQY

RQ

RQ04,155

)ˆ(

3

2

rK

YSQY RC

RC

80,77

SQDR

SQYSQYSQYSQTratSQDR RCRQRL

Tabela da análise de variância da regressão polinomial ortogonal

Causas de Variação G.L. S.Q. Q.M. F

Regressão linear 1 423,15 423,15 10,02 *

Regressão quadrática 1 1285,84 1285,84 30,46 *

Regressão cúbica 1 155,04 155,04 3,67 ns

Desvios de regressão 3 77,80 25,93 0,61 ns

(Trat) (6) (1941,83) - -

Exemplo 1Exemplo 1

F(1,21; 5%) = 4,32

F(3,21; 5%) = 3,07

(Trat) (6) (1941,83) - -

Resíduo 21 886,34 42,21 -

Total 27 2828,17 - -

Conclusão:Verificamos que a regressão linear e a regressão quadrática foram significativas, indicando que é possível estabelecer uma relação funcional entre a dose de gesso

colocada (X) e o peso de 1000 sementes (Y) do feijoeiro. Logo, a regressão de mais alto grau no nosso exemplo, será escolhida para

determinar a equação de regressão, no caso equação de 2.o grau.

22

Modelo Quadrático:

Modelo Cúbico:

Modelo Linear: bxaY ˆ

2ˆ cxbxaY

32ˆ dxcxbxaY

222111ˆˆ PMBPMBmY

111ˆˆ PMBmY

Exemplo 1Exemplo 1

Obtendo a equação de regressão estimadaObtendo a equação de regressão estimada

555444333222111ˆˆ PMBPMBPMBPMBPMBmY

444333222111ˆˆ PMBPMBPMBPMBmY

Modelo Cúbico:32ˆ dxcxbxaY

333222111ˆˆ PMBPMBPMBmY

Modelo de 4.o grau:432ˆ exdxcxbxaY

Modelo de 5.o grau:5432ˆ fxexdxcxbxaY

23

Cuidado! É muito parecido com a SQRegressãoY

B RL

Modelo LinearModelo Linear: bxaY ˆ

111ˆˆ PMBmY

sendo

rK

Y

cr

YSQY

I

ii

2

1

2

2 )ˆ()ˆ(


Cuidado! É muito parecido com a SQRegressão

M1 é o valor da tabela de coeficientes

é a média dos níveis dos tratamentos: (0+10+20+30)/4 = 15

q é o espaçamento entre os níveis de tratamentos (q=10)

1

1rK

B RL

q

mxP x

ˆ1

xm

é a média geral referente a todas as observações.

m

24

sendo

Modelo QuadráticoModelo Quadrático: 2ˆ cxbxaY

222111ˆˆ PMBPMBmY

YB

RQ


12

1ˆ 22

2

n

q

mxP x

B1, M1 e P1 são obtidos como na RL.

n é o número de níveis do fator

é a média dos níveis dos tratamentos

q é o espaçamento entre os níveis de trat’s

xm

2

2rK

BRQ

M2 é o valor da tabela de coeficientes

25

Modelo CúbicoModelo Cúbico: 32ˆ dxcxbxaY

333222111ˆˆ PMBPMBPMBmY

sendo

YB RC


q

mxn

q

mxP xx

ˆ

20

73ˆ 23

3

B1, B2, M1, M2, P1 e P2 são obtidos como na RQ.

3

3

ˆ

rK

YB RC

M3 é o valor da tabela de coeficientes.

26

sendo

Modelo de 4.Modelo de 4.oo graugrau: 432ˆ exdxcxbxaY

444333222111ˆˆ PMBPMBPMBPMBmY

44

ˆ

rK

YB R


B1, B2, B3, M1, M2, M3, P1, P2 e P3 são obtidos como na RC.

560

)9)(1(3ˆ

14

133ˆ 22224

4

nn

q

mxn

q

mxP xx

4

4rK

B


27

sendo

Modelo de 5.Modelo de 5.oo graugrau: 5432ˆ fxexdxcxbxaY

555444333222111ˆˆ PMBPMBPMBPMBPMBmY

55

YB R


B1, B2, B3, B4, M1, M2, M3, M4, P1, P2, P3 e P4 são obtidos como na R4.

q

mxnn

q

mxn

q

mxP xxx

ˆ

1008

40723015ˆ

18

)7(5ˆ 24325

5

5

5rK

B


28

Modelo QuadráticoModelo Quadrático: 2ˆ cxbxaY

222111ˆˆ PMBPMBmY

9563,1

9438,1284

7,217ˆ

2

1

1

B

rK

YB RL

Obtendo a equação de regressão estimadaObtendo a equação de regressão estimada Exemplo 1Exemplo 1

150

ˆ1

xP

q

mxP x

4

12

17

50

150

12

1ˆ

2

12

22

2

22

2

PP

xP

n

q

mxP x

7

50

1507

)300...150100500(ˆ

3964,156ˆ

n

q

m

m

x

2

29

1

1

2

1

M

M50

1 P

222111ˆˆ PMBPMBmY

3000,00078252,02736,07835,140ˆ 2 xsendoxxY

Obtendo a equação de regressão estimadaObtendo a equação de regressão estimada Exemplo 1Exemplo 1

Substituindo os valores na equação, temos:

em que:

é o peso de 1000 sementes (em gramas);X é a dose de gesso (em kg/ha).

A equação só vale no intervalo determinado em que o

experimento foi realizado.Y

30

Quando determinamos uma equação de regressão é conveniente apresentar o correspondente coeficiente de determinação (R2) que representa, em porcentagem,

quanto da variação na resposta é explicada pela regressão em questão.

Para obter o coeficiente de determinação, devemos somar as somas de quadrados das regressões de grau mais baixo até aquela que determinou o grau

da equação. O resultado deve ser dividido pela SQTrat, isto é:

O modelo se ajusta bem aos dados?O modelo se ajusta bem aos dados?

%01,888801,083,1941

84,128515,4232

SQTrat

SQRQSQRLR

Isso significa que da variação existente nos resultados 88,01% da variação é explicada pela equação de 2.o grau.

31

Exemplo 1Exemplo 1

No R:require(ExpDes.pt)dic(dose, y, quali=F, sigT = 0.05, sigF = 0.05 )------------------------------------------------------------------------Quadro da analise de variancia------------------------------------------------------------------------

GL SQ QM Fc Pr>FcTratamento 6 1941.83 323.64 7.668 0.00018763Residuo 21 886.34 42.21 Total 27 2828.17 ------------------------------------------------------------------------CV = 4.15 %------------------------------------------------------------------------Teste de normalidade dos residuos (Shapiro-Wilk)p-valor: 0.5471519 De acordo com o teste de Shapiro-Wilk a 5% de significancia, os residuos podem ser considerados normais.

32

considerados normais.------------------------------------------------------------------------

Ajuste de modelos polinomiais de regressao------------------------------------------------------------------------$`Modelo linear------------------------------------------------------------------------`

Estimativa Erro.padrao tc p.valorb0 150.565179 2.21336 68.02553 0.00000b1 0.038875 0.01228 3.16635 0.00465

$`R2 do modelo linear: 0.217915

$Ànalise de variancia do modelo linear`GL SQ QM Fc p.valor

Efeito linear 1 423.1544 423.15438 10.03 0.00465Desvios de Regressao 5 1518.6778 303.73555 7.2 0.00046Residuos 21 886.3375 42.20655

------------------------------------------------------------------------$`Modelo quadratico------------------------------------------------------------------------`

Estimativa Erro.padrao tc p.valorb0 140.7839286 2.83537 49.65269 0e+00b1 0.2736250 0.04427 6.18121 0e+00b2 -0.0007825 0.00014 -5.51956 2e-05

$`R2 do modelo quadratico`: 0.8800954

$Ànalise de variancia do modelo quadratico`GL SQ QM Fc p.valor

Efeito linear 1 423.1544 423.15438 10.03 0.00465Efeito quadratico 1 1285.8431 1285.84312 30.47 2e-05Desvios de Regressao 4 232.8346 58.20866 1.38 0.27505Residuos 21 886.3375 42.20655

------------------------------------------------------------------------$`Modelo cubico

33

$`Modelo cubico------------------------------------------------------------------------`

Estimativa Erro.padrao tc p.valorb0 138.24226566 3.13017 44.16449 0.00000b1 0.44306936 0.09887 4.48125 0.00021b2 -0.00230750 0.00081 -2.85509 0.00948b3 0.00000339 0.00000 1.91661 0.06900

$`R2 do modelo cubico: 0.9599384

$Ànalise de variancia do modelo cubico`GL SQ QM Fc p.valor

Efeito linear 1 423.15438 423.15438 10.03 0.00465Efeito quadratico 1 1285.84312 1285.84312 30.47 2e-05Efeito cubico 1 155.04167 155.04167 3.67 0.069Desvios de Regressao 3 77.79298 25.93099 0.61 0.61327Residuos 21 886.33750 42.20655 -----------------------------------------------------------------------

No R:# gráfico de pontosplot(dose, y, pch=19, ylab="peso de 1000 sementes(gramas)",

xlab="dose de gesso (kg/ha)")

Exemplo 1Exemplo 1

16

0170

peso d

e 1

00

0 s

em

ente

s(g

ram

as)

O modelo se ajusta bem aos dados?O modelo se ajusta bem aos dados?

34

0 50 100 150 200 250 300

14

0150

16

0

dose de gesso (kg/ha)

peso d

e 1

00

0 s

em

ente

s(g

ram

as)

No R:# Gráfico da regressão quadrática no R:curve(140.7835 + 0.2736*x - 0.00078252*x^2, lwd=3, add=T)

16

01

70

pe

so

de

10

00

se

me

nte

s(g

ram

as)

Exemplo 1Exemplo 1O modelo se ajusta bem aos dados?O modelo se ajusta bem aos dados?

35

0 50 100 150 200 250 300

14

01

50


pe

so

de

10

00

se

me

nte

s(g

ram

as)

Podemos fazer também uma verificação do ajuste da equação de regressão, calculando os valores esperados ( ) através da equação, e os valores

observados (Yobs) pelas médias dos tratamentos:Y

Dose (X) Yobs

0 138,60 140,78

50 153,60 152,51

100 164,53 160,32

150 164,93 164,22

Y

Exemplo 1Exemplo 1O modelo se ajusta bem aos dados?O modelo se ajusta bem aos dados?

150 164,93 164,22

200 158,73 164,20

250 159,98 160,27

300 154,43 152,42

1094,80 1094,72

Espera-se queYobs Y

36

No R:y_chapeu = 140.7835 + 0.2736*doses - 0.00078252*dose^2DIC2<- data.frame(DIC,y_chapeu)

sum(tapply(DIC2$y_chapeu, DIC2$dose, mean))sum(xbarra)

No R:

16

01

70

pe

so

de

10

00

se

me

nte

s(g

ram

as)

Exemplo 1Exemplo 1Qual é oQual é o melhor tratamento?melhor tratamento?

No caso do exemplo 1, o melhor tratamento é a dose em que aumenta o peso de 1000 sementes (g). Logo, deve-se derivar a função obtida anteriormente para encontrar o ponto de máximo da função.

Alternativamente o ponto de máximo da função pode ser

obtido empiricamente:

37

# ponto máximo empíricoabline(h=164.7,col="red“,lty=2)abline(v=171,col="blue",lty=2)

0 50 100 150 200 250 300

14

01

50

16

0


pe

so

de

10

00

se

me

nte

s(g

ram

as)

Documents

Assim, de acordo com o tipo de níveis atribuídos para o ... · Um experimento inteiramente casualizado com 4 repetições para estudar os feitos de 7 doses de gesso (0, 50, 100,