áticas Matem óngora - WordPress.com€¦ · G Matem óngora áticas C ´ ordoba Junta de Andaluc´ıa. Cordoba.´ Matematicas en la´ Educacion´ Secundaria de Adultos Sebastian

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Junta de Andalucıa. Cordoba.

Matematicas en laEducacion

Secundaria deAdultos

Sebastian Nevado CalvoLicenciado en Matematicas

Curso 20015/16

Indice general

1. El numero natural 51.1. Los numeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. La divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Criterios de divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. Factorizacion de un numero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5. Mınimo comun multiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6. Maximo comun divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.7. Ejercicios del Tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. El numero entero 92.1. Necesidad del numero entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2. Orientacion y representacion grafica de los numeros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3. Operaciones con enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3.1. Sumas de numeros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.2. Restas de numeros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.4. Multiplicacion de numeros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.5. Propiedad distributiva de los numeros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.6. Division exacta de numeros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.7. Division entera de numeros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.9. Potencias de numeros enteros y exponente natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.11. Operaciones con potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.12. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.13. Operaciones combinadas. Prioridad en las operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.14. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4. Ejercicios del Tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. El numero racional 16

1

INDICE GENERAL Matematicas. E.S.P.A. II Sebastian Nevado Calvo

3.1. El numero racional. Las fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3. Fracciones equivalentes. Simplificacion de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4. Operaciones con fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.4.1. Suma y resta de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4.3. Multiplicacion y division de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.4.5. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.4.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.5. Comparacion de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.5.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.6. Las fracciones y los numeros decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.6.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.6.2. Calculo de la fraccion generatriz a partir de decimales exactos . . . . . . . . . . . . . 193.6.3. Calculo de la fraccion generatriz de numeros decimales periodicos . . . . . . . . . . . 193.6.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.7. Potencias de fracciones con exponente entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.7.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.8. Notacion cientıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.8.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21


4. Los Numeros Reales 254.1. Aproximacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2. La recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2.1. Intervalos en al recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3. Radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.3.1. Expresion de radicales como potencias fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.3.2. Radicales equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.3.3. Operaciones con radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3.4. Racionalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27


5. El Algebra 305.1. Las letras representan numeros desconocidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.2. Un nuevo idioma: el lenguaje algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.3. Expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.5. Operaciones con expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Dpto. de Matematicas. I.E.S. Luis de Gongora 2


5.5.1. Suma y resta de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.5.2. Multiplicacion de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.5.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.6. Igualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.6.1. Identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.6.2. Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.7. Ecuaciones de primer grado con una incognita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.7.1. Resolucion de una ecuacion de primer grado con una incognita . . . . . . . . . . . . . 335.7.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33


6. Resolucion de problemas 376.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incognitas 417.1. Ecuacion lineal (de primer grado) con dos incognitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7.1.1. Ecuaciones equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.1.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7.2. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incognitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427.2.1. Clasificacion de sistemas segun sus soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427.2.2. Sistemas equivalentes. Criterios de equivalencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427.2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

7.3. Resolucion de sistemas por metodos algebraicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427.3.1. Metodo de reduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427.3.2. Metodo de sustitucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.3.3. Metodo de igualacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.3.4. Sistemas incompatibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.3.5. Sistemas compatibles indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7.4. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.5. Ejercicios del Tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

8. La ecuacion de segundo grado 478.1. La ecuacion de segundo grado con una incognita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.3. Numero de soluciones de una ecuacion de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.4. Criterio de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.5. Resolucion de una ecuacion de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8.5.1. Resolucion de ecuaciones de la forma ax2 + c = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488.5.2. Resolucion de ecuaciones de la forma ax2 + bx = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488.5.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

8.6. Algoritmo de resolucion de la ecuacion de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488.7. Numero de soluciones y factorizacion de la ecuacion de segundo grado . . . . . . . . . . . . . 48



8.8. Propiedades de las soluciones de la ecuacion de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . 498.8.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

8.9. Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49


Tema 1

El numero natural

1.1. Los numeros naturales

Los numeros naturales son aquellos que nos sirven para contar. Se caracterizan por dos propiedades:

El primer numero natural es el uno.

Cada numero se obtiene sumandole una unidad al anterior.

Para escribir cualquier numero natural usamos las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 y un sistema denumeracion posicional de base 10. Cada uno de los lugares corresponde a 10 veces el valor de la unidad queesta situada a su derecha.

Ası el numero 2345=2000+400+30+5.Como ejercicio descomponer los siguientes numeros: 1432, 2084, 213, 805.

1.2. La divisibilidad

Se dice que un numero a es multiplo de otro b, si existe otro tercer numero c que cumple que a = b · c. Eneste caso podemos decir que:

Si a es multiplo de b, entonces b es un divisor de a. Tambien se dice que a es divisible por b y que b es unfactor de a. La division de a entre b es exacta.

Si la division es exacta se cumple que: Dividendo = divisor · cocienteEn consecuencia, el 0 es un multiplo de cualquier numero natural (0 = 0 · a); y la unidad (1), es un divisor

de cualquier numero (a = 1 · a). Ademas, cualquier numero es multiplo y divisor de sı mismo.Cuando un numero solo tiene como divisores el mismo y la unidad se dice que es un numero primo. Todos

los demas numeros se llaman numeros compuestos.Para encontrar todos los multiplos de un numero basta multiplicarlo sucesivamente por todos los numeros

naturales.Para encontrar todos los divisores de un numero basta con expresarlo como producto de dos numeros de

todas las formas posibles. Por ejemplo para encontrar los divisores de 24 hacemos:24 = 23 ·3, entonces ponemos: (1, 2, 22, 23, 3)(1, 2, 22, 23, 3) y multiplicamos: 1 ·1, 1 ·2, 1 ·22, 1 ·23, 1 ·3, 2 · 3, 22 · 3, 23 · 3, 23 · 3, con lo que sale: 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 24

5

1.3. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Matematicas. E.S.P.A. II Sebastian Nevado Calvo

Ejercicios

1. En un supermercado solo venden los yogures en bloques de 4 unidades. Escribe la sucesion formada porel numero posible de yogures que se pueden comprar.

2. ¿De cuantas formas podemos colocar en filas y columnas los 30 alumnos de una clase?¿Cuantas filaspuedo formar?

3. Los numeros perfectos son aquellos que son iguales a la suma de todos sus divisores propios (todosmenos el mismo). Comprueba que 6 y 28 son numeros perfectos.

4. Dos numeros se llaman amigos si cada uno de ellos es igual a la suma de los divisores propios de otro.Comprueba que los numeros 220 y 284 son amigos.

1.3. Criterios de divisibilidad

Para saber si un numero es divisible por otro no es necesario efectuar la division. Solo es necesario conocerlos criterios de divisibilidad de los numeros primos, pues, para que un numero a sea divisible entre un numerocompuesto b, basta con que sea a divisible entre los numeros primos que componen b.

Los criterios de divisibilidad mas utilizados son:

Por 2: un numero es divisible por dos si termina en cero o en cifra par.

Por 3: un numero es divisible por tres si la suma de sus cifras es multiplo de tres.

Por 5: un numero es divisible por cinco si termina en cero o en cinco.

Por 11: un numero es divisible por once si sumando las cifras que ocupan lugar par, sumando las cifrasque ocupan lugar impar, restamos los dos resultados y obtenemos un multiplo de 11.

Para los demas numeros primos es mas facil hacer la division y comprobar que es exacta.

1.4. Factorizacion de un numero

Para encontrar los divisores de un numero lo expresamos como producto de dos. Si esos dos son numeroscompuestos, podemos descomponerlo a su vez en producto de dos y ası sucesivamente hasta que todos losfactores sean primos.

Descomponer un numero en factores primos es expresarlo como una multiplicacion en la que todos losfactores son numeros primos. Luego se expresan los factores en forma de potencia.

1.4.1. Ejercicios

1. Escribe las sucesiones de los multiplos de 3, 5, 11 y comprueba que cumplen los criterios de divisibili-dad.

2. Responde a las siguientes preguntas:

a) ¿Es multiplo de 6 el numero 84?

b) ¿Es divisible por 15 el numero 270?

3. Escribe la sucesion de los multiplos de 10 y encuentra un criterio de divisibilidad por 10.

4. Factoriza los siguientes numeros: 30, 72, 168, 1980.


1.5. MINIMO COMUN MULTIPLO Matematicas. E.S.P.A. II Sebastian Nevado Calvo

1.5. Mınimo comun multiplo

Mınimo comun multiplo de varios numeros es el menor de todos sus multiplos comunes. Se representa pormcm(a, b).

El mınimo comun multiplo de varios numeros es el producto de los factores primos comunes y no comuneselevados al mayor exponente que aparecen en la descomposicion factorial de dichos numeros.

1.5.1. Ejercicios

1. Calcula el mınimo comun multiplo de:a) 12, 18 b) 15, 18, 12 c) 30, 36 d) 72, 540

2. Una pareja que trabaja como ATS tiene guardias nocturnas. El cada 8 dıas y ella cada 10. Si coincidenel 1 de enero haciendo guardia, ¿cuanto tardan en coincidir de nuevo?. ¿Cuantas veces al ano tienen quecontratar a una persona para que cuide a sus hijas pues les toca guardia a la vez?

1.6. Maximo comun divisor

Se llama maximo comun divisor de varios numeros al mayor de los divisores comunes a dichos numeros.Si el maximo comun divisor de dos numeros es uno se dice que ambos son primos entre sı.El maximo comun divisor de varios numeros es el producto de los factores primos comunes a todos,

elevados cada uno al menor de los exponentes con que aparecen en su descomposicion factorial.

1.6.1. Ejercicios

1. Tengo un local rectangular que mide 45 m de largo por 36 m de ancho y quiero embaldosarlo conbaldosas cuadradas de cierto material. Por estetica, deseo que tengan el mayor tamano posible y que nohaya que partirlas. ¿De que dimensiones deben ser las planchas?

2. Calcula el maximo comun divisor de:a) 8, 48 b) 30, 45 c) 108, 504 d) 120, 330, 450

3. Las dimensiones de un campo de futbol son 60 m por 42 m. Para su iluminacion queremos poner focosa su alrededor a la misma distancia unos de otros y con un foco en la esquina. ¿Cual debe de ser dichadistancia para que necesitemos el menor numero de focos posible?¿Cuantos focos hacen falta?

1.7. Ejercicios del Tema

1. Escribe los siguientes numeros en funcion de las potencias de diez:a) 12345 b) 2608 c) 30012 d) 27209

2. ¿Podremos poner los 38 alumnos de una clase en grupos de 4 sin que sobre nadie?

3. ¿De cuantas formas se pueden sembrar en filas y columnas 36 arboles?¿y 25?¿y 19?

4. Aplica los criterios de divisibilidad para averiguar si los siguientes numeros:403, 189, 2304, 172, 3454, 24519 son divisibles:

a) por 3 b) por 4 c) por 2 d) por 11 e) por 6 f ) por 9


1.7. EJERCICIOS DEL TEMA Matematicas. E.S.P.A. II Sebastian Nevado Calvo

5. ¿Que cifra hay que anadir a la derecha del numero 181 para que el numero 181 . . . sea multiplo de:a) de 2 b) de 3 c) de 5 d) de 11?

6. Sustituye a por un dıgito de forma que el numero 66a sea divisible por:a) por 2 y por 5 b) por 3 pero no por 5 c) por 5 pero no por 3 d) por 2, por 11 y por 5

7. Calcula el maximo comun divisor y el mınimo comun multiplo de los siguientes numeros:a) 45, 38 b) 121, 39 c) 180, 200 d) 24, 96 e) 39, 25f ) 120, 504 g) 18, 24, 36 h) 45, 55, 150 i) 1800, 30, 450 j) 54, 45, 90

8. Un nino va a nadar a una piscina cada 5 dıas y un amigo suyo cada 3 dıas. ¿Cada cuanto tiempo coincidenen la piscina?

9. Queremos poner baldosas cuadradas enteras del mayor tamano posible en un pasillo de 420 cm de largoy 120 cm de ancho. ¿Cuanto debe medir el lado de la baldosa? ¿Cuantas podemos poner?

10. Tres autobuses salen de una estacion con destino diferente. uno cada 2 horas, el segundo cada 3 y eltercero cada 4 horas. Si salen juntos a las 8 de la manana, ¿a que hora vuelven a salir a la vez?

11. Un profesor de Quımica quiere hacer grupos del mismo tamano con los alumnos de dos clases. Si hay24 alumnos en una clase y 36 en otra, ¿cuantos alumnos como maximo formaran cada grupo? ¿Cuantosgrupos salen en cada clase?

12. Dos amigos cronometran sus relojes a las cuatro de la tarde y conectan las alarmas de forma que unasuene cada 15 minutos y otra cada 18 minutos. ¿Cuando volveran a sonar a la vez?

13. Dos amigos que se estan haciendo una ortodoncia coinciden en el dentista el 1 de octubre. Si uno acudea la consulta cada tres semanas y el otro cada 28 dıas, ¿cuando volveran a coincidir?

14. Queremos rodear con pinos un jardın rectangular de 18m por 20m de forma que esten todos a la mismadistancia y haya un pino en cada esquina. ¿Cual es la maxima distancia a la que hay que plantarlos?¿Cuantos se necesitan?

15. En una tienda agrupan las monedas de euro en paquetes de 50, en otra de 40 y en otra de 100. Cierto dıacerraron las tiendas dejando en caja la misma cantidad de monedas empaquetadas. ¿Cual es la mınimacantidad posible de monedas que dejaron?

16. El profesor de Educacion Fısica desea realizar unas pruebas de atletismo con los alumnos de una clase.Se da cuenta que si los coloca en parejas le sobra uno; si lo hace de tres en tres le sigue sobrando uno yde cuatro en cuatro lo mismo. Ası que decide hacer otra cosa. ¿Podrıas averiguar cuantos alumnos hayen la clase?


Tema 2

El numero entero

2.1. Necesidad del numero entero

En conjunto de los numeros naturales se ha tenido que ampliar. Por cada numero positivo, existe uno nega-tivo, al que se denomina opuesto.

El conjunto de numeros positivos y negativos forma, junto con el cero, el conjunto de numeros enterosque se representan por Z = {. . . ,−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}.

Observamos que un numero y su opuesto distan lo mismo del cero, o punto de referencia. Al valor deesta distancia se denomina valor absoluto de un numero y es el mismo para los dos numeros opuestos. Laexpresion del valor absoluto de un numero a es |a|.

2.2. Orientacion y representacion grafica de los numeros enteros

Los numeros enteros los representamos graficamente en una lınea recta situando el cero en algun punto deella que denominamos origen y que se tomara como punto de referencia.

Una vez elegida la unidad de medida, (el 1), situamos los enteros positivos hacia la derecha y los enterosnegativos hacia la izquierda; de esta forma dos numeros opuestos estan a la misma distancia del origen.

Un numero a se dice que es menor que otro b si existe otro numero positivo c tal que a+ c = b; se simbolizacomo a < b. De forma analoga se define cuando un numero es mayor que otro. Con estas definiciones losnumeros enteros estan ordenados.

Observa que los numeros positivos aumentan si aumenta su valor absoluto, mientras que los numeros nega-tivos disminuyen si aumentan su valor absoluto.

Se llama valor absoluto de un numero entero al mismo numero si es positivo y si es negativo al cambiadode signo, por ejemplo: |+ 3| = 3, | − 5| = 5

2.3. Operaciones con enteros

2.3.1. Sumas de numeros enteros

Para sumar dos numeros enteros del mismo signo basta con sumar sus valores absolutos y mantener elsigno.

Para sumar dos numeros enteros con distinto signo basta restar sus valores absolutos y ponerle al resultadoel signo del sumando de mayor valor absoluto.

9

2.3. OPERACIONES CON ENTEROS Matematicas. E.S.P.A. II Sebastian Nevado Calvo

2.3.2. Restas de numeros enteros

Para restar dos numeros enteros basta sumar al primero (minuendo) el opuesto del segundo (sustraendo).

2.3.3. Ejercicios

1. Calcula:a) (−5) + (+4) b) (+8) + (−6) c) (−3) + (−12) d) (+234) + (+123)

2. Calcula:a) (+23)− (−15) b) (−12)− (−35) c) (+8)− (+12) d) (−24)− (+15)

3. Aristoteles y Descartes fueron dos grandes matematicos. Aristoteles nacio en el ano 384 antes de Cristoy Descartes en el 1596 despues de Cristo. ¿Cuanto tiempo ha transcurrido entre ambos nacimientos?

2.3.4. Multiplicacion de numeros enteros

El producto de dos numeros enteros es otro numero entero que se calcula multiplicando los valores abso-lutos de dichos numeros, cuyo signo depende de la regla de los signos:

Si los dos signos son iguales el resultado es positivo.

Si los dos signos son distintos el resultado es negativo.

La regla de los signos es pues:

(+) · (+) = +(+) · (−) = −(−) · (+) = −(−) · (−) = +

2.3.5. Propiedad distributiva de los numeros enteros

La propiedad distributiva de la multiplicacion respecto de la suma´es: si a, b y c son tres numeros enteros,se cumple que (a+ b) · c = a · c + b · c , o tambien c · (a+ b) = c · a + c · b .

Si se escribe la propiedad al reves de le llama sacar factor comun: a · c + b · c = (a+ b) · c , o tambien

c · a + c · b = c · (a+ b) .

1. Sacar factor comun de:a) 12 + 4 · 7 b) 32a+ 16 c) −15a+ 20 d) 10ab− 5ac e) −2a− 4b f ) 6a+ 3

2. Efectua utilizando la propiedad distributiva:a) 8(4a+ b) b) 5(−3a+ 4) c) 5a(2b− c) d) −2(a+ 2b)

2.3.6. Division exacta de numeros enteros

La division exacta entre dos numeros enteros se hace dividiendo sus valores absolutos y aplicando la reglade los signos del producto, es decir:

(+)÷ (+) = +(+)÷ (−) = −(−)÷ (+) = −(−)÷ (−) = +



2.3.7. Division entera de numeros enteros

A veces no podemos efectuar la division exacta entre dos numeros enteros. Se llama division entera dedos numeros, llamados dividendo (D) y divisor (d), al proceso que consiste en encontrar otros dos numeros,llamados cociente (C) y resto (r), de forma que el dividendo sea igual al divisor por el cociente mas el resto:D = d · C + r . Cuando el resto vale cero, la division se llama exacta.

2.3.8. Ejercicios

1. Realiza las siguientes divisiones:a) (+15)÷ (−3) b) (−18)÷ (−6) c) (+36)÷ (−9)

2. Dı cual es el cociente y el resto de las siguientes divisiones y compruebalo:a) 382÷ 12 b) 43÷ 15 c) 5673÷ 51

2.3.9. Potencias de numeros enteros y exponente natural

Una potencia de base a y exponente n es el producto de la base por sı misma efectuado n veces. Se representapor an.

n︷︸︸︷a · a · . . . · a = an

Observa que si la base de una potencia es un numero negativo, el resultado de la potencia es positivo cuando elexponente es par y negativo cuando el exponente es impar.

Si a es un numero positivo:(−a)par = apar = positivo

(−a)impar = −aimpar = negativo

2.3.10. Ejercicios

1. Calcula:a) (−73) b) (−2)6 c) (−3)5 d) −(−3)4e) −73 f ) −(−2)4 g) −(−3)3 h) −32

2.3.11. Operaciones con potencias

Multiplicacion y division de potencias de la misma base En general: an · ap = an+p . La multiplica-cion de potencias de la misma base es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de losexponentes.

n︷︸︸︷a · a · . . . · a ·

p︷︸︸︷a · a · . . . · a =

n+p︷︸︸︷a · a · . . . · a

En general: an ÷ ap = an−p . La division de dos potencias de la misma base es otra potencia con lamisma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

n︷︸︸︷a · a · . . . · a

p︷︸︸︷a · a · . . . · a

=

n−p︷︸︸︷a · a · . . . · a



Multiplicacion y division de potencias de distinta base e igual exponente En general: (a · b)n = an · bn .Para multiplicar potencias de distinta base e igual exponente se multiplican las bases y el resultado se eleva almismo exponente.

(a · b)n =

n︷︸︸︷a · b · a · b · . . . · a · b =

n︷︸︸︷a · a · . . . · a ·

n︷︸︸︷b · b · . . . · b = an · bn

En general:(ab

)n=

an

bn. Para dividir potencias de distinta base e igual exponente se dividen las bases y

el resultado se eleva al mismo exponente.

(ab

)n=

n︷︸︸︷a

b· ab· . . . · a

b=

n︷︸︸︷a · a · . . . · a

n︷︸︸︷b · b · . . . · b

=an

bn

Es importante observar que si n = p entonces an−p =an

ap=

an

an= a0 = 1

Potencia de una potencia En general [(a)p]n = ap·n . Para elevar una potencia a otra potencia se deja lamisma base y se multiplican los exponentes.

n︷︸︸︷ap · ap · . . . · ap = a

n︷︸︸︷p+ p+ . . .+ p = ap·n

Resumen de las operaciones con potencias

an · ap = an+p; an ÷ ap = an−p; (a · b)n = an · bn;(ab

)n=

an

bn; [(a)p]n = ap·n

2.3.12. Ejercicios

1. 23 · 33 2. 53 · 57 3. 35 ÷ (−3)44. (−7)5 ÷ (−7)3 5. [(−2)3]5 · 24 6. [(a)3]5

2.3.13. Operaciones combinadas. Prioridad en las operaciones

La jerarquıa en las operaciones con numeros enteros es la siguiente:

Las de mayor rango son las potencias y las raıces.

Despues la multiplicacion y la division.

Por ultimo, la suma y la resta.

Entre dos operaciones de igual rango, se opera de izquierda a derecha.

Para alterar esa prioridad en las operaciones es necesario utilizar los parentesis.. Si hay varios parente-sis, se van resolviendo desde el mas interno hasta el mas externo.



2.3.14. Ejercicios

1. Efectua las operaciones indicadas:a) 1− 2 · 3 + 4 b) (1− 2)3 + 4 c) 1− 2(3 + 4)d) (1− 2)(3 + 4) e) −4− (−7)[(−2)− (+25)÷ (+5)]

f ) (+4)(+3)2 − (+20)÷ (+5) + 1 + (−60)÷ (+10)− 15

2. En un test de 20 preguntas, Ana responde a 15, de las que 12 son correctas. cada respuesta correctaes valorada con 5 puntos, cada erronea es penalizada con 3 puntos y las preguntas no respondidas nopuntuan ni positivamente ni negativamente. ¿Que calificacion obtuvo Ana?


1. Indica si son verdaderas o falsas las siguientes igualdades:a) −7 < −8 b) 0 < 5 c) −2 < 0 d) −6 > −12 e) −51 < −3 f ) −3 > 1

2. Realiza las siguientes sumas:a) −15 + 7− (−8) + (−9) b) 12 + (−10)− 5− (−21) c) −(−8) + 12 + (−5)− 3d) −(−6)− (6 + 3) e) 1− (−7 + 4) + (−2) f ) −12− (−8 + 4− 5) + (−1)

3. Calcula los siguientes productos y sumas:a) −12 · (−4) b) 2 · (−3 + 1) c) −2 · 3 · (−5)d) −3 · (−5 + 2) e) −4 · (−3) · (−5) f ) −1 · (−2) · 3 · (−5)

4. Calcula los siguientes cocientes:a) 15÷ (−3) b) −3÷ 3 c) (−10 + 2)÷ (−2)d) −12÷ 4 e) −(−15)÷ (−5) f ) −30÷ (−7 + 10)

5. Realiza las siguientes operaciones:a) [−8 · 5(−9)]÷ 12 b) [−4 · (−2) · 7]÷ (−14) c) −(−2) · 5 · (−12)÷ (−4)d) (−18)÷ 3 · (−2) e) (−18)÷ [3 · (−2)]

6. Calcula:a) −15 · (−2) + 24÷ (−8) b) −15 · [(−2) + 24÷ (−8)] c) −15 · [(−2) + 24]÷ (−11)d) [−15 · (−2) + 24]÷ (−6) e) 2 + 3 · 4− 5 · (−2) f ) [2 + 3] · [4− 5 · (−2)]g) 2 + 3 · [4− 5] · (−2) h) [2 + 3] · [4− 5](−2)

7. Efectua:a) 36÷ (−24 + 6)− 2 · (−8 + 5) b) [−18÷ (−9) + 2 · (−7)]÷ (−3) + (−9)÷ (−1)c) −2 + 3 · 5− 4 · 6÷ 12 · (7− 1) d) −7 · [8 + 5(−1)] + 24÷ (−13 + 7)e) −(−1)− [−2 · (−3)− 4 · (−2)]÷ (−2)

8. Saca factor comun:a) 2 · 5 + 2 · 3 · 5 b) 5 + 5 · 3 c) 4 + 8 · 5 d) 16 + 24e) 3a− 6b f ) −9a+ 6 g) 4a− 12ab h) −6a− 8aci) 8 + 8a j) 4 + 4a+ 4b k) 9 + 12a l) 2ab+ abc

9. Calcula las siguientes potencias:a) (−2)6 b) (−3)5 c) (−2)9 d) [(−2)5]2 e) [(−3)2]4 f ) [(−2)3]3



10. Escribe le resultado en forma de una sola potencia:a) 34 · 32 · 33 b) (−2)3 · (−2)4 · (25) c) (−5)3 · 125 d) (−5)3 ÷ 52

e) (−3)7 ÷ (−9) f ) (−2)3 · 322 g) −32 · (−3)2 h) 256 ÷ (−5)7i) 44 ÷ 64 j) [34 · 22]÷ (−9) k) [(−10)5 · 104]÷ (−5)2 · 57l) [(−36)3 · 62]÷ 162 m) −(−32)3 ÷ (−4)2 n) 104 · (−10)3 ÷ 105

n) (−3)3 · (−32 ÷ 33)

11. Opera y simplifica:a) (−2)3 · (−2)5 ÷ (−2)6 b) 34 · (−3)3c) (12− 23 · 3)÷ (−2)2 + 3 d) −(−2)2 − 22

e) [(−1)2 − 22 − (−3)2]÷ [1 + 6÷ 2] f ) −24 + [3− 5 · (2− 7)]÷ (−2)2g) (−3)4 ÷ 32 + (−2)3 · (5− 2 · 32) h) −(−3)3 · (−1)3 − (−2)3 + 23

12. El 5 de Enero la temperatura en Leon era de 5 grados bajo cero y en Sevilla de 14o. ¿Que diferencia detemperatura habıa entre las dos ciudades?

13. Un concurso otorga 60 e por cada respuesta acertada y descuenta 35 e por cada respuesta incorrecta.Un participante acerto 15 de 20 preguntas. ¿Que cantidad gano?

14. Al activar un motor de un congelador, la temperatura desciende 2 grados cada 10 minutos. En el momentode enchufarlo, el congelador esta a 14oC.

a) ¿Cuanto tiempo tardara en estar a −18oC?

b) ¿A que temperatura estara si esta 3 horas activado?

15. Si estoy en una novena planta de un edificio y mi coche esta aparcado en el sotano cuarto, ¿cuantasplantas debo bajar para cogerlo?

16. En mi cuenta bancaria habıa 1532 e el 32 de diciembre. Cada mes me ingresan 2100 e mensuales denomina y llegaron facturas de 130 e de luz, 96 e de telefono y la cuota mensual de Caritas de 24 e .¿Que saldo tendre el 30 de junio de ese mismo ano? (La luz y el telefono son bimensuales)

17. Una companıa petrolıfera compra una nueva perforadora con capacidad de perforar 18 metros diarios.¿A que profundidad estaba el petroleo si ha tardado 9 dıas en encontrarlo y esta situada en una planicie a40 m sobre el nivel del mar?

18. Para que un ordenador disponga de un equipo multimedia, se aconseja que tenga, al menos, 16 ((megas))de memoria RAM. Un ordenador tiene 4096 kb. ¿Cuantos bytes necesito anadirle?

19. Arquımedes fue un sabio griego que nacio el ano 287 a.C. y vivio 75 anos y Gauss un matematico alemanque nacio en 1777 vivio 78 anos.

a) ¿Cuantos anos transcurrieron desde el nacimiento de Arquımedes a la muerte de Gauss?

b) ¿Y de la muerte de Arquımedes al nacimiento de Gauss?

20. Se calcula que el universo tiene 8 millones de anos y que las estrellas se apagaran cuando el universo sea10000 veces mas viejo que ahora. ¿Cuando ocurrira?

21. Los astrofısicos calculan que el sol tardara 1010 anos en quemar todo su combustible convirtiendose enuna enana blanca. ¿Cuantos millones de anos tardara en ocurrir esto?

22. Se calcula que en el universo hay unos 10 millones de galaxias que contienen, por termino medio, diezmillones de estrellas cada una. ¿Cuantas estrellas se calcula que tiene el universo?

23. Las siguientes sucesiones estan formadas siguiendo una cierta regla. Buscala.a) {−1, 1, 3, 5, 7, . . .} b) {−4, 12, −36, 108, . . .}



¿Sabras continuar las series?

¿Como se pasa de un termino al siguiente?. Escrıbelo de forma general.

24. Un agricultor siembra cada ano sus tierras de trigo. Por cada kilo que siembra, recoge 20 kg. Si el primerano siembra un kilo y cada ano siembra todo lo que recoge el ano anterior, ¿cuanto recoge el primer ano?.¿Y el segundo?. ¿Y el tercero?. ¿Y al cabo de diez anos?. ¿Y al cabo de 20 anos?


Tema 3

El numero racional

3.1. El numero racional. Las fracciones

Una fraccion es un numero en la formaa

b, donde a y b son numeros enteros y b 6= 0.

Al numero a se le llama numerador y al b denominador.Mediante una fraccion podemos indicar que relacion existe entre un todo y cierta parte del mismo.Una fraccion nos puede indicar que relacion existe entre dos cantidades. Indica una comparacion entre el

numerador y el denominador.Tambien pude actuar como un operador.

3.2. Ejercicios

1. En una urna hay 6 bolas blancas y 9 negras.

a) ¿En que proporcion se encuentran las bolas blancas respecto de las negras?

b) ¿Y las negras respecto de las blancas?

c) ¿Que tanto por ciento de bolas blancas hay en la urna? ¿Y de bolas negras?

2. Calcula:a) El 25 por ciento de 4 b) El 15 por ciento de 2 c) El 30 por ciento de 100

3.3. Fracciones equivalentes. Simplificacion de fracciones

Dos fraccionesa

byc

dson equivalentes, y escribiremos

a

b=

c

d, si a · d = b · c, es decir, los productos

cruzados son iguales. Tambien se dice que el producto de sus extremos (a ·d) es igual al producto de sus medios(b · c).

Siempre se podran obtener fracciones equivalentes a una dada multiplicando o dividiendo el numerador y eldenominador de una fraccion pon un numero distinto de cero.

a

b=

k · ak · b

El proceso de simplificacion consiste, dada una fraccion, en ir obteniendo fracciones equivalentes a ellahasta que sea irreducible. Es el proceso inverso a la obtencion de fracciones equivalentes. Para hallar unafraccion equivalente a otra dividimos el numerador y el denominador entre un divisor comun a ambos. Para

16

3.4. OPERACIONES CON FRACCIONES Matematicas. E.S.P.A. II Sebastian Nevado Calvo

obtener una fraccion irreducible dividiremos el numerador y el denominador por el maximo comun divisor deambos.

3.3.1. Ejercicios

1. ¿Puedes obtener una fraccion equivalente a una dada sumando al numerador y denominador una mismacantidad? Pon un ejemplo.

2. Calcula tres fracciones equivalentes a:

a)4

6b)

1

5c)

1

10

3. Simplifica las siguientes fracciones:

a)40

105b)

143

35c)

440

605d)

154

231

e)90

210f )

70

252g)

150

90h)

36

48

3.4. Operaciones con fracciones

3.4.1. Suma y resta de fracciones

Cuando tienen igual denominador La suma o resta de fracciones con el mismo denominador es otrafraccion cuyo numerador es la suma o resta de los numeradores y cuyo denominador es el dado.

a

b± c

b=

a± c

b

Cuando tienen distinto denominador Si las fracciones que queremos sumar o restar tienen distinto deno-minador, hallamos fracciones equivalentes a las dadas con el mismo denominador. Para ello el denominadorque elegimos debe de ser el mınimo comun multiplo de los denominadores.

3.4.2. Ejercicios

1. Calcula las fracciones equivalentes a las dadas que tengan el mismo denominador:

a)1

3,2

5,4

7b)

3

8,2

5,1

4c)

1

2,3

4,100

7d)

1

2,2

3,5

6

2. Efectua en cada caso las operaciones indicadas:

a)1

5+

3

5b)

2

3− 1

4+

3

16c)

4

7+

1

7− 3

7d)

1

2− 7

15− 3

16

e)2

3+

3

5+

1

7f )

2

3− 1

6g)

2

3− 1

5+

3

4h) −1

5− 4

5+

5

6

3.4.3. Multiplicacion y division de fracciones

La multiplicacion de dos fracciones es una nueva fraccion cuyo numerador es el producto de los numera-dores y el denominador el producto de los denominadores.

a

b· cd

=a · cb · d


3.4. OPERACIONES CON FRACCIONES Matematicas. E.S.P.A. II Sebastian Nevado Calvo

Llamamos inversa de una fraccion a otra que multiplicada por ella me da la unidad o fraccion equivalente.

Dada cualquier fracciona

b, siendo a, b 6= 0, su inversa es la fraccion

b

a, ya que

a

b· ba

=a · bb · a

=1

1= 1.

La division de dos fracciones es otra fraccion que se obtiene multiplicando la primera por la inversa de lasegunda.

a

b÷ c

d=

a

b· dc

=a · db · c

Recuerda que para hacer operaciones combinadas debes de tener en cuenta la jerarquıa de las operacionesy, antes que nada, efectuar los parentesis.

3.4.4. Ejercicios

1. Si una barra de un metro de longitud pesa2

5kg, ¿cuanto pesara una barra de

3

4m?

2. Efectua las multiplicaciones indicadas:

a)1

2· 45

b)11

12· 915

c)1

3· 35· 43

3. Efectua las operaciones indicadas:

a)1

4÷ 3

5· 23

b)2

3÷(4

5÷ 7

3

)c)(2

3÷ 8

5

)÷ 7

3d)(1

2÷ 3

4

)÷(1

4÷ 2

3

)

3.4.5. Ejemplos

1. Calcula1

3+

5

2

(1

3+

3

4

)− 7 =

1

3+

5

2

(4

12+

9

12

)− 7 =

1

3+

5

2· 1312− 7 =

1

3+

65

24− 7 =

=8

24+

65

24− 168

24=−9524

2. Calcula

(1− 2

3

)÷ 3

5(2

3+

4

5

)· 12

=

(3

3− 2

3

)÷ 3

5(10

15+

12

15

)· 12

=

1

3÷ 3

522

15· 12

=

5

922

30

=5

9÷ 11

15=

75

99=

25

33

3.4.6. Ejercicios

1. Efectua las siguientes operaciones:

a)(2

3+

5

6− 7

12

)÷(3

4+

2

3

)b)(3 +

1

3

)·(8− 1

2

)+ 6− 1

3

c)

1

3− 1

51

2− 1

5

÷ 2

3d) 2−

[1−

(3

4+

2

3

)÷ 1

6

]

2. ¿Cual es la fraccion que al multiplicarla por1

3da como resultado

4

5?

3. Se reparte un terreno de 350 Ha entre tres personas. A la primera le corresponden2

7del total, a la

segunda la cuarta parte de lo que queda y a la tercera el resto. ¿Que cantidad de terreno recibe cada una?


3.5. COMPARACION DE FRACCIONES Matematicas. E.S.P.A. II Sebastian Nevado Calvo

3.5. Comparacion de fracciones

Diremos que la fracciona

bes menor que la

c

dsi

a

b− c

d< 0; es decir:

a

b<

c

d⇐⇒ a · d < b · c

Otra opcion es poner las dos fracciones con denominador comun y comparar los numeradores.

3.5.1. Ejercicios

1. Compara los siguientes pares de fracciones e indica cual es la mayor:

a)1

6,5

8b)

2

3,1

5c)

3

4,7

2

3.6. Las fracciones y los numeros decimales

Al efectuar la division de un numero fraccionario se obtiene un numero decimal o un numero entero.

Si el numero decimal resultante tiene un numero de decimales finito(4

5= 0, 8

)se le llama decimal

exacto.

Si el numero de decimales es infinito y se repiten periodicamente, se le llama decimal periodico(2

3= 0, 33333 . . .

)y a la fraccion de la que procede fraccion generatriz. Al grupo de cifras que se repite se le denomina perıodo

y se le representa cubriendolo con un arco(2

3= 0, 33333 . . . = 0, 3

).

Si toda la parte decimal es periodica al numero se le llama periodico puro y si tiene una parte decimal yotra periodica se le llama periodico mixto.

3.6.1. Ejercicios

1. Clasifica las siguientes fracciones en decimales exactos, periodicos puros, periodicos mixtos o ningunode los anteriores:

a)1

3b)

6

3c)

1

12d)

2

5e)

4

3

f )7

35g)

2

21h)

4

13i)

13

11j)

8

20

3.6.2. Calculo de la fraccion generatriz a partir de decimales exactos

Se multiplica y divide el numero por 10n, siendo n el numero de decimales. Ejemplo:(0, 342 =

0, 342 · 103

103=

342

1000

)

3.6.3. Calculo de la fraccion generatriz de numeros decimales periodicos

Veamos primero un ejemplo con un numero decimal periodico puro:con fraccion generatriz F = 23, 77777 . . ., como se repite solo una cifra, multiplicamos por 10 los dosmiembros, obteniendo 10F = 237, 77777 . . ., pasamos a continuacion a restar miembro a miembro:


3.7. POTENCIAS DE FRACCIONES CON EXPONENTE ENTEROMatematicas. E.S.P.A. II Sebastian Nevado Calvo

10F = 237,77777. . .F = 23,77777. . .

9F = 214, de donde F =

214

9. Si en vez de tener una sola cifra que se repite tiene dos

multiplicamos por 100 y ası sucesivamente.Si el numero es decimal periodico mixto procedemos de forma analoga, pero con otro paso:

Sea F = 4, 3565656 . . . con dos cifras de perıodo, por lo que multiplicamos por 100 obteniendo 100F =435, 65656 . . ., que restando miembro a miembro:

100F = 435,6565656. . .F = 4,3565656. . .

99F = 431,3, de donde 99F = 431, 3, que multiplicando por 10 para quitar el decimal y

despejando obtenemos: F =4313

990.

3.6.4. Ejercicios

1. Determina la fraccion generatriz de los siguientes numeros decimales exactos:a) 0, 22 b) 4, 38 c) 3, 25 d) 6, 1 e) 3, 125f ) 4, 333 g) 0, 255 h) 0, 1344 i) 0, 2546 j) 2, 3445

2. Calcula las fracciones generatrices de los siguientes numeros decimales periodicos puros:

a) 1, 01 b) 1, 2 c) 4, 6 d) 2, 21 e) 1, 124

f ) 3, 025 g) 0, 024 h) 0, 25 i) 3, 45 j) 0, 001

3. Calcula las fracciones generatrices de los siguientes numeros decimales periodicos mixtos:a) 1, 2333 . . . b) 3, 41222 . . . c) 0, 2010101 . . .d) 5, 1214214 . . . e) 0, 12343434 . . . f ) 2, 137272 . . .


a) 2, 3 + 1, 221 b) 2, 3 · 1, 2 c) 1, 010101 . . .÷ 2

3d) 3, 14 · 1, 25 e) 2, 031÷ 0, 4 f ) 1, 7− 0, 25

3.7. Potencias de fracciones con exponente entero

No es complicado deducir las formulas:

(ab

)p=

ap

bp;[(a

b

)p]q=(ab

)p·q,(ab

)p·(ab

)q=(ab

)p+q;(ab

)p÷(ab

)q=(ab

)p−q

Como(ab

)−1=

b

apodemos generalizar que

(ab

)−p=

(b

a

)p

3.7.1. Ejercicios

1. Se suelta una pelota desde una altura de 125 m y en cada rebote sube hasta los3

4de la altura desde la

que cayo. ¿A que altura del suelo se encuentra la pelota en el cuarto bote? ¿Y en el sexto?

2. Efectua en cada caso las operaciones indicadas:


3.8. NOTACION CIENTIFICA Matematicas. E.S.P.A. II Sebastian Nevado Calvo

a)(2

3

)2

·(1

2

)3

b)(1

4

)3

·(2

3

)4

c)(−1

4

)2

·(−2

3

)3

d)

[(−2

3

)3]4

e)

[(2

3

)2

÷(1

4

)3]4

f )

[(5

3

)2

·(

3

10

)2]3

g)(2

5

)3

·(15

7

)2

÷(

2

25

)2

3. Escribe de distintas formas las siguientes expresiones:a) 2−3 b) 100−2 c) 0, 01−3 d) 0, 013

e)(1

4

)−2

f )(−1

4

)−2

g)[(0, 01)−2

]5h)

[(1

3

)−2]−2

4. Calcula las siguientes potencias:

a)(3

7

)6

÷(3

7

)3

b)(1

3

)2

·(1

3

)3

÷(1

3

)4

c)(−2

3

)−1

÷(−2

3

)2

d) (−3)−1 ·(−1

3

)2

e)

[(0, 2)−2 ·

(1

3

)2]2

f )

[(2

3

)5

÷(−3

2

)3]−1

g)(−1

7

)4

·(−1

7

)−3

h)(0, 2

0, 3

)3

÷(−3

2

)−2

·(2

3

)5

5. Por la compra de 3m de tela hamos pagado 45 e ¿Cuanto nos costaran 5 m?

6. Tres albaniles han realizado una obra por la que cobraran 1275e y deciden repartirse el importe en partesproporcionales al tiempo que cada uno dedico a la misma. Una dedico 2 h, el segundo 3 h y el tercero5 h. Determina la cantidad recibida por cada uno.

7. En una clase de 20 alumnos hay 12 aprobados y 8 suspensos. ¿Que tanto por ciento de alumnos hanaprobado?¿Que tanto por ciento de alumnos han suspendido?

8. En unas compras nos hacen el 20% de descuento y nos cargan un 6% de IVA. Comprueba que es indife-rente aplicar primero el descuento y despues el IVA que aplicar primero el IVA y despues el descuento.

9. Ya que el descuento es del 20% y el IVA del 6%, ¿preferirıas que te hubieran descontado directamenteel 14%?

10. Al pagar una factura nos han hecho un descuento del 15% de su importe total y la misma ha quedadoreducida a 127, 5 e . ¿Cuanto era el importe inicial de la factura?

3.8. Notacion cientıfica

Un numero N se dice que esta escrito en notacion cientıfica cuando esta expresado de la forma N = k ·10pdonde k es un numero cuya parte entera consta de una sola cifra no nula, y p un numero entero.

Con esta notacion podemos escribir numeros muy grandes utilizando exponentes positivos y numeros muypequenos con los exponentes negativos.

Por ejemplo el numero 2343223 escrito en notacion cientıfica es 2, 343223 · 106. Otro ejemplo 0, 000324 =3, 24 · 10−4

3.8.1. Ejercicios

1. Escribe en notacion cientıfica las siguientes expresiones:a) Treinta y cuatro diezmilesimas. b) Cuatrocientos treinta mil millones.c) Doce millonesimas. d) Doce billones.e) Medio millon. f ) Dos cienmillonesimas.



2. El diametro de una Galaxia es de 106 anos-luz y su espesor en la parte central de 6, 5 · 103 anos-luz.Escribe los kilometros que son cada una de estas distancias con notacion cientıfica.


1. a) En una semana, ¿que fraccion representa de un dıa? ¿y seis dıas?

b) ¿Que unidad fraccionaria es 5 segundos respecto a 1 minuto?¿Y respecto de una hora?

c) ¿Cuantos meses es1

4de ano?¿Y las dos terceras partes de un ano?

d) En una bolsa hay 45 bolas. ¿Cuantas bolas son las3

5partes de las mismas?¿Y las

2

9partes?

e) ¿Que porcentaje de bolas son respectivamente cada una de dichas fracciones.?

2. Una etapa de la vuelta ciclista a Espana es de 180 km. Despues de un cierto tiempo se han recorrido las2

3partes de la misma. ¿Cuantos kilometros quedan?

3. En una caja hay cierta cantidad de lapices. Las4

5partes de los mismos son 12 lapices. ¿Cuantos hay en

la caja?

4. Se ha recorrido el 75% de un trayecto de 225 km. ¿Que fraccion del camino es la parte recorrida y laque queda por recorrer?¿Cual es la longitud de cada una?

5. Reduce en cada caso a comun denominador:

a)2

3,4

5,1

3b)

1

4,2

7c)

3

2,1

5,2

9

d) 7,4

7,2

5e)

1

4,

3

18,5

3f ) −2

5,

5

21,13

8,

2

25

6. Completa las siguientes igualdades:

a)2

3=

12=

10b)

16

12=

4=

36=

24


a)3

2+

1

4+

2

3b) 1 +

2

3+

1

5c)

4

3− 5 +

1

2

d)2

3− 1

2+

11

12e)

4

5+

1

2− 2 f )

2

5− 1

3+

1

4− 1

2

8. Calcula:

a)2

3· 45÷ 1

2b) 2÷ 1

2·(2

3+

1

4

)c)

1

5÷(1− 1

2

)+ 3 d)

7

4− 1

3÷(2

3+

1

5

)9. Efectua las siguientes operaciones:

a) 1 +1

1 +1

2

b)1 +

1

5

3 +2

3

÷ 2

1 +1

4

c)

(1 +

1

3

)÷(1

2+

1

5

)2

d) 2−[1−

(1

3+

2

5

)]÷ 3

10. Calcula la fraccion generatriz de cada uno de los siguientes numeros decimales:

a) 1, 23 b) 0, 1 c) 3, 10 d) 4, 3 e) 2, 21

f ) 0, 25 g) 2, 125 h) 0, 071 i) 2, 325 j) 2, 346



11. Efectua las siguientes operaciones con numeros decimales:

a) 2, 3 · 1, 2 b)1

4· 2, 1 c)

1, 3 + 2, 01

3, 2d) 0, 2 · 1, 31 e) 0, 15÷ 3, 2 · 3, 2 f ) 2, 5− 1, 25


a) (0, 7)3 ÷ (0, 42)2 b)

[(1

2

)2

÷(2

3

)]3c) 1÷ (2−3)2

d)

[(1

3

)3

− 1

3

]2÷ 16

9e)(−1

3

)−2

÷ 2

3·(3

5

)−1

f )

[(−1

2

)2

÷(−2

3

)−1]2

13. Nos han pagado el 80% de una cantidad que nos debıan y nos han pagado 22, 5 e . ¿Cual era dichacantidad?

14. Por dos billetes de adulto y un de nino (cuyo importe es la tercera parte que el de uno de adulto) pagamos7 e . ¿Cuanto cuesta cada billete?

15. Al pagar una factura nos detallan:

Importe: 750 e

IVA: 12% del importe.

Recargo:2

5del importe.

¿A cuanto asciende el importe?

16. Un grifo llena un estanque en 20 h y otro en 12%. Se abre el primer grifo y echa agua durante una hora.A continuacion se abren los dos a la vez durante tres horas y se cierran. ¿Que fraccion de estanque quedapor llenar?

17. Un trayecto de 215 km los recorre u coche en 2 h y otro e3

2h. En una hora, ¿que ventaja saca el segundo

al primer coche?

18. Una persona gasta las5

12partes de su sueldo en comida; la tercera parte en vivienda y la quinta parte en

varios. ¿Que proporcion de sueldo le queda por ahorrar?

19. Un operario hace un trabajo en 5 ı.as y otro en 7 dıas. ¿Que parte de trabajo hacen juntos en dos dıas?¿Cuanto quedarıa por hacer?

20. Un operario realiza las2

5parte de un trabajo: uh segundo las

3

4partes del resto y el tercero termina el

trabajo. Calcula la proporcion de trabajo que ha realizado cada uno.

21. En un deposito hay 90 l de vino. Llenamos 50 botellas de3

4de litro y 45 botellas de medio litro. ¿Cuantas

botellas de medio litro necesitaremos para llenar el recto de vino que queda en en deposito?

22. Con 50 kg de harina hacemos 60 kg de pan.

a) ¿Cuanta harina es necesaria para hacer un pan de 2 kg?

b) ¿Y un pan de 6 kg?

c) ¿Y una barra de pan de 250 gr?

d) ¿Cuantos kilogramos de pan se pueden hacer con 30 kg de harina?



23. El cafe pierde1

5de su peso al tostarlo. Se compra en origen a 7 e el kilogramo. ¿A como debemos

venderlo para ganar el 20% del precio de compra?

24. Una herencia de 600000 e se reparte entre tres hermanos proporcionalmente a sus edades. La edad delos dos menores es de 2 y 5 anos y se sabe que el mas pequeno hereda 80000 e . ¿Cual es la edad delhermano mayor y cuanto recibe cada uno?

25. Una botella esta llena de vino. Se saca la cuarta parte y se llena de agua. A continuacion se saca la terceraparte y se vuelve a llenar de agua. ¿Que tanto por ciento de vino queda en la botella?

26. Una pelota se deja caer desde una determinada altura y rebota a las3

4partes de la altura desde la que cae.

Al cuarto rebote queda a la altura de 1 m del suelo. ¿Desde que altura cayo la pelota?

27. Escribe en notacion cientıfica los numeros:a) 2341, 16 b) 0, 0000013 c) 324 · 105 · 10−6

d) 0, 0000000017 · 15 e)3 · 10−5 · 10−7

2 · 106f ) 42000000000

28. En 1910 el cometa Halley tuvo su maxima aproximacion a la Tierra que fue de 0, 15 UA. ¿A cuantoskilometros estuvo de la Tierra? ¿A cuantos metro?. (UA = Unidad astronomica = Distancia media entrela Tierra y el Sol, equivale a 8, 32 minutos-luz)

29. La estrella mas cercana al Sol es la Alfa-Centauro, que esta a 4, 3 anos-luz. Calcula dicha distancia enkilometros.


Tema 4

Los Numeros Reales

Los numeros que se caracterizan por tener una expresion decimal no periodica con infinitas cifras se deno-minan numeros irracionales y al conjunto de todos ellos lo representaremos por I .

Al conjunto numerico formado por los racionales Q y los irracionales I se le denomina conjunto de losnumeros reales y se representa por <.Ya los griegos se dieron cuenta que no todos los numeros se podıan expresar en forma de quebrado, por ejemplo,demostraron que el numero que multiplicado por sı mismo da 2, no podıa expresarse en forma de quebrado.

4.1. Aproximacion

Los numeros con infinitas cifras decimales, para trabajar con ellos, tenemos que limitar la parte decimal parasimplificar los calculos. Lo que hacemos es una aproximacion o redondeo, que se puede hacer por defectoo por exceso; sera por exceso cuando el valor aproximado es mayor que el real, por defecto sera si ocurre locontrario.

4.1.1. Ejercicios

1. Indica a que conjuntos numericos pertenecen las siguientes cantidades:

a) −√5 b)

2

5c) 7 d) −82

e)√11 f ) 12311489 . . . , 27 g) −0, 25 h) 2, 145

2. Toma la aproximacion mas adecuada del numero 23, 184675755287 . . . por un decimal exacto de:a) Dos cifras b) Tres cifras c) Cuatro cifras

3. Escribe en forma decimal el numero53

12y toma valores aproximados con una, dos y cuatro cifras deci-

males.

4.2. La recta real

Los numeros reales llenan la recta graduada, es decir, a cada punto le corresponde un numero real, y a cadanumero real le corresponde un punto, por eso recibe el nombre de recta real.

4.2.1. Intervalos en al recta real

Se llama intervalo abierto de extremos a y b al conjunto de numeros comprendidos entre a y b, sin incluir-los. Se llama intervalo cerrado de extremos a y b al conjunto de numeros comprendidos entre a y b, ambos

25

4.3. RADICALES Matematicas. E.S.P.A. II Sebastian Nevado Calvo

incluidos. Tambien hay intervalos semiabiertos o semicerrados, si incluyen uno de sus extremos y el otro no.La forma de escribirlos es:

Abierto: (a, b); Cerrado: [a, b]; Semiabiertos o semicerrados: (a, b] , [a, b)

4.2.2. Ejercicios

1. Dibuja un triangulo rectangulo con hipotenusa√2.



4. Escribe cinco numero que pertenezcan a cada uno de los intervalos:a) [3; 3, 5] b) (−2, 5;−1, 5) c) [1; 1, 25)

4.3. Radicales

Se llama raız enesima de un numero real a a otro numero b, tal que bn = a. Es decir, n√a = b si bn = a.

Donde n es el ındice de la raız y es un numero natural distinto de 1, a es el radicando y b es la solucion o raız.Hay que tener en cuenta que:

Si n es un numero par:

• Si a > 0 entonces n√a = ±b, pues (±b)n = a

• Si a < 0 entonces n√a no es ningun numero real.

S n es un numero impar:

• Si a > 0 entonces n√a = b > 0

• Si a < 0 entonces n√−a = −b < 0

4.3.1. Expresion de radicales como potencias fraccionarias

En general la forma potencial de los radicales se expresa como: q√ap = a

pq

4.3.2. Radicales equivalentes

Dos radicales son equivalentes cuando representan al mismo numero real, o cuando puestos en forma depotencia fraccionaria, el radicando es el mismo y los radicales son dos fracciones equivalentes. En general,p√aq =

p·k√aq·k se dice que son equivalentes.

Ejercicios

1. Reduce a comun ındice y compara los siguientes radicales:

a)√5 b) 3

√9 c) 4

√18

2. Escribe un radical comprendido entre: 4√9 y 3√6

3. Escribe de tres formas diferentes los siguientes radicales:

a)√6 b) 6

√32 c) 3

√−5


4.3. RADICALES Matematicas. E.S.P.A. II Sebastian Nevado Calvo

4.3.3. Operaciones con radicales

Multiplicacion y division Para multiplicar o dividir dos mas radicales del mismo ındice, escribiremos otroradical de igual ındice en el que el radicando sera el producto o cociente de los radicales anteriores:

n√a · n√b = n

√a · b

n√a

n√b

= n

√a

b

Para multiplicar o dividir dos o mas radicales de distinto ındice, los transformaremos primero en radicalesequivalentes de ındice comun y luego efectuaremos la operacion.

Potencias de radicales Bastara expresar los radicales como potencias fraccionarias y aplicar las propiedadesde las potencias.

Ejercicios

1. Efectua las siguientes operaciones sin calculadora:

a)√3 ·√27 b) 3

√4 · 3√2 c)

√125√5

d)4√32

4√2

e) 3√5 ·√3 f )

3√81√3

2. a) Calcula: ( 3√2)6 y ( 3

√−2)2

b) Escribe con un solo signo radical las expresiones: 3√

3√4 y 4√

3√16

Suma y resta de radicales semejantes Dos radicales son semejantes si son iguales o semejantes salvo unfactor de proporcionalidad. Los radicales semejantes, aplicando la propiedad distributiva del producto respectode la suma o resta de los numeros, se pueden agrupar.

Ejercicios

1. Suma agrupando terminos semejantes:

a) 2√5−√5 + 3

√5 b)

√6− 2

√6 + 7

√6 c) 3

√3− 2

√5 + 3 3

√3 d) 3

√2−√7 +√2 + 3

√7

2. Extrae factores de los siguientes radicales:

a)√20 b) 3

√250 c)

√63 d)

√a3 e) 3

√a5

3. Utiliza el procedimiento del ejercicio 2 para calcular√144 y 3

√216.

4. Expresa de la forma mas sencilla posible las siguientes expresiones:

a)√45 +

√125−

√5 b)

√4

3−√

25

3+

√1

3c) 3√48 + 3

√6 d) 3

√81− 3

√24

4.3.4. Racionalizacion

El proceso que consiste en eliminar radicales de los denominadores se denomina racionalizacion.Para racionalizar expresiones del tipo

a√b

, deberemos multiplicar tanto el numerador como el deno-minador

por la misma raız de manera que se elimine el radical:a√b

=a√b·√b√b

=a ·√b

b.

Para racionalizar la expresiona

n√bp

, debemos multiplicar y dividir el denominador por n√bn−p, de forma que



en el denominador se quede de potencia la unidad:a

n√bp

=a

n√bp·

n√bn−p

n√bn−p

=a · n√bn−p

b.

Para racionalizar expresiones cuyo denominador sea una suma o resta de dos radicales o de un numero yun radical:

a√b+ c

, multiplicamos y dividimos por√b − c, llamada expresion conjugada del denominador:

a√b+ c

=a√b+ c

·√b− c√b− c

=a · (√b− c)

b− c2.


1. Halla√6 en la calculadora y escribe la aproximacion que consideres oportuna al tomar 3 cifras decimales.

Haz lo mismo pero con 4 cifras decimales.

2. Escribe 5 numeros que pertenezcan a cada uno de los siguientes intervalos:a) [3, 25; 3, 5] b) (−2, 0] c) [−1, 1]

3. Halla sin calculadora:

a) 3√−125 b) 4

√256 c)

√1

81d) 3

√1

27

4. Expresa en forma de potencia:

a) 4√2 b) 3

√52 c) 5

√−33

5. Expresa en forma radical: 314 ; 4

23 ; (−6)

35

6. Reduce a comun ındice y opera simplificando los resultados:

a)√2 3

√1

2b)

4√2√2

c) (√3)2 3

√1

3d)√5

3√52

e) 3√3 6

√1

9

7. Escribe bajo un unico radical y de la manera mas sencilla posible las siguientes expresiones:a) ( 5√8)3 b) (

√7)4 c)

√√11 d) 4

√3√25

8. Efectua las siguientes operaciones:

a) 3√2− 2

√2−√2 b) 2

√3 +

1

2

√3 +√3

9. ¿Son semejantes las siguientes expresiones?

a)√5 y√20 b)

√3 y√81 c)

√1

2y

√25

2d) 15 y

√225

10. Extrae factores fuera del radical y suma:

a) 3√2−√8 +√2 b)

√12 +

√75−

√3 c)

√72 +

√3−√2 +√27

d)

√1

3−√

4

3+

√1

27e)√32−

√2

11. Racionaliza la expresion2

35√53

12. Racionaliza las expresiones:

a)3

3√2,

13√5,

35√9

b)2√

3−√2,

1√5− 1

,2√

5− 2√3

13. Racionaliza, efectuando operaciones:

a)√2

1− 2√2

b)1 +√5

3−√5

c)√2 +√3

1 + 2√3



14. Calcula el capital acumulado en una cuenta bancaria despues de 10 anos, si el capital que ingresamos alabrir la cuenta fue de 4500 e y el interes anual del 2%.

15. Queremos comprar un dormitorio juvenil que cuesta 1000e y aplazar el pago en 12 meses. Si nos carganun interes mensual, ¿que capital tendremos que pagar cada mes?

16. Nos han concedido un prestamo a pagar en 5 anos con un interes del 5%. Al final de cada ano pagamosuna anualidad de 1385, 85 e . ¿Cual fue el prestamo concedido?


Tema 5

El Algebra

5.1. Las letras representan numeros desconocidos

Los numeros pueden representar cantidades conocidas para nosotros, pero a veces necesitamos manejar unacantidad sin saber su valor. Para representarla usamos letras.

5.2. Un nuevo idioma: el lenguaje algebraico

Para la informacion que se puede transmitir mediante operaciones entre numeros, se usa el lenguaje aritmeti-co. Pero si no conocemos alguna cantidad, necesitamos introducir una letra para concretar la informacion quequeremos transmitir. A esa forma de expresion se le llama lenguaje algebraico. Este lenguaje algebraico estaformado por numeros, letras que representan numeros, los sımbolos de las operaciones y relaciones entre ellos.

5.3. Expresiones algebraicas

Las expresiones formadas por numeros, letras que representan numeros y los signos de las operacionesaritmeticas que se realizan entre ellos se llaman expresiones algebraicas.Cada una de las letras que intervienen en una expresion algebraica se denomina variable.Cuando las expresiones algebraicas representan una ley matematica o fısica, se suelen llamar formulas.

5.4. Ejercicios

1. Traduce al lenguaje algebraico las siguientes frases:

a) La mitad de un numero mas ocho.

b) El doble de un numero menos su mitad.

c) Aumenta en cuatro el doble de un numero.

d) La mitad del cubo de un numero.

e) La suma de los cuadrados de dos numeros.

f ) El cuadrado de la suma de dos numeros.

g) Disminuye en cinco el triple del cuadrado de un numero.

2. Escribe en lenguaje algebraico las siguientes informaciones relativas a la base x y la altura y de unrectangulo:

30

5.5. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS Matematicas. E.S.P.A. II Sebastian Nevado Calvo

a) La base es el doble de la altura. b) La base excede en cinco unidades a la altura.c) La altura es dos quintos de la base. d) La base es a la altura como 7 es a 3.e) El area del rectangulo es de 50 cm2. f ) La base y la altura difieren en diez unidades.

3. Calcula el valor numerico de las siguientes expresiones para el valor de la variable que se indica.

a) 3x+ 2y para x = 1 e y = 0.

b) 3(x+ 2)2 para x = 1; x = −2 y x =3

2

c) 2(x− y)2 para x = 2 e y = −3

4. En las siguientes expresiones la letra b indica el precio de un bolıgrafo. Situa cada expresion algebraicacon la frase que corresponda.

Una pluma es cuatro centimos de euro mas cara que un bolıgrafo¿Cual es el precio de la pluma?

b− 4

Dos bolıgrafos cuestan cuatro centimos de euro menos que unestuche. ¿Cual es el precio del estuche?

2(b+ 4)

El precio de una carpeta es cuatro centimos de euro menos que elde un bolıgrafo. ¿Cuanto cuesta la carpeta?

b− 4

Un bolıgrafo cuesta cuatro centimos de euro mas que una goma.¿Cuanto vale la goma?

2b+ 4

Un estuche cuesta cuatro centimos de euro mas que un bolıgrafoy un cuento vale lo mismo que dos estuches. ¿Cuanto vale uncuento?

b+ 4

5. La superficie de una alfombra rectangular de a metros de largo y b metros de ancho, se calcula mediantela formula S = a · b. Halla la superficie de las alfombras de una casa sabiendo que miden:

a) La del salon de 5 m de largo por 4 m de ancho.

b) La del comedor de 3 m de largo por 2 m de ancho.

c) La del dormitorio de 1 m de largo por 0, 5 m de ancho.

d) Si cada vez que las limpio necesito un bote de producto para 20 m2, ¿cuantos botes debo de com-prar?

5.5. Operaciones con expresiones algebraicas

Se denomina termino a cada uno de los sumandos que aparecen en una expresion algebraica. Se llamagrado de un termino a la suma de los exponentes de su parte literal.Cada termino consta de una parte literal formada por letras, y una parte numerica que se denomina coeficiente.Al termino de la expresion algebraica que no tiene parte literal se llama termino independiente. Si dos terminostienen la misma parte literal, se dice que son semejantes.

5.5.1. Suma y resta de expresiones algebraicas

Solo se pueden sumar y restar terminos semejantes. Para poderlo realizar sacamos factor comun a la parteliteral. Luego la suma o resta de terminos semejantes es otro termino semejante cuyo coeficiente es la suma oresta de los coeficientes.


5.6. IGUALDADES Matematicas. E.S.P.A. II Sebastian Nevado Calvo

5.5.2. Multiplicacion de expresiones algebraicas

Puesto que las letras representan numeros desconocidos, podemos operar con las expresiones algebraicas deigual modo que con los numeros.

La multiplicacion de dos terminos de una expresion algebraica es otro termino cuya parte literal se obtienemultiplicando sus partes literales y cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes.

5.5.3. Ejercicios

1. Reduce los terminos semejantes de las siguientes expresiones:a) 6xy + (−2x2) + (−4xy) + 3x2 b) 3x2y + (4x− 2xy2) + (−2x2y + 6xy2)

2. Efectua las siguientes multiplicaciones:a) (−2x2y) · (−4xy2) b) (−3x3a2b)2

3. Efectua las siguientes operaciones:a) (−5xy2)(2x2 − 3xy + 4y2) b) (x− y)(x2 − xy + y2) c) (2a+ b)(3a− 4b)

5.6. Igualdades

Se denomina miembro de la igualdad a cada una de las expresiones que hay a ambos lados del sımboloigual (=).La relacion de igualdad tiene por propiedades:

1. Es reversible, es decir, se pueden cambiar entre sı ambos miembros.

2. Es transitiva, es decir, si dos cosas son iguales a una tercera entonces las tres son iguales entre sı.

5.6.1. Identidades

Una identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las variables. Algunas igualdadesnotables o identidades notables son:

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

(a− b)2 = a2 − 2ab+ b2

(a+ b)(a− b) = a2 − b2

Ejercicios

1. Desarrolla las siguientes expresiones:a) (a+ b)2 b) (a− b)2 c) (1 + a)(1− a)

d) (3 + b)2 e) (a+ 2)(a− 2) f ) (3 + 2a)(3− 2a)

2. Expresa como potencias o productos las siguientes sumas (factoriza):a) x2 − 4 b) 9x2 − 16 c) 49− 4x2

d) x2 + 4x+ 4 e) 9x2 − 6x+ 1 f ) x2 − 12x+ 36


5.7. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITAMatematicas. E.S.P.A. II Sebastian Nevado Calvo

5.6.2. Ecuaciones

Se denomina ecuacion a toda igualdad que solo es cierta para algunos valores de las variables. En estecaso, las variables se llaman incognitas y cada sumando termino de la ecuacion. Los terminos numericos sedenominan terminos independientes. Al valor de la variable (o los valores de las variables) para el cual escierta la igualdad se le llama solucion de una ecuacion.

La solucion puede ser unica, pueden ser varias o incluso puede que la ecuacion no tenga solucion. En estecaso la ecuacion se denomina ecuacion imposible.Se dice que dos o mas ecuaciones son equivalentes si admiten la misma solucion.

Criterio de la suma: Si a los dos miembros de una ecuacion se le suma o se le resta la misma cantidad, seobtiene una ecuacion equivalente.

Criterio del producto: Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuacion por un numero distintode cero, se obtiene otra ecuacion equivalente.

Ejercicios

1. En los brazos de una balanza tenemos en el brazo izquierdo dos botes de igual peso y dos pesos de 3 kg yde 5 kg, en el lado derecho tenemos un bote, como los anteriores y tres pesas de 3, 3 y 5 kg. La balanzaesta en equilibrio. ¿Cual de las siguientes acciones la mantendrıa en equilibrio?

a) Anadir 3 kg al platillo izquierdo.

b) Anadir 3 kg al platillo derecho y 5 al izquier-do.

c) Anadir 5 kg a cada platillo.

d) Quitar un bote de cada platillo.

e) ¿Cuanto pesa cada bote?

2. Usando los criterios anteriores, resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba el resultado:

a) z + 2 = 7 b) 2a− 5 = 3 c)b− 2

4= 4

d) 2a+ 1 = 3a− 2 e) 2− a = a− 3 f ) 3 = 2a+ 1

3. a) Piensa un numero, multiplıcalo por 2, anade 6 al resultado, divide por 2, restale el numero quepensaste. ¿Tu resultado es 3?

b) Piensa un numero menor que 100, suma el numero que se obtiene al invertir las cifras del numeroque has pensado, divıdelo por 11. ¿Que obtienes?. ¿Se verifica para numeros mayores que 100?.¿Por que?

5.7. Ecuaciones de primer grado con una incognita

En las ecuaciones con una incognita, se denomina grado de una ecuacion al maximo exponente de a incogni-ta. Una ecuacion de primer grado es aquella en la que el maximo exponente de la incognita es 1.

5.7.1. Resolucion de una ecuacion de primer grado con una incognita

Resolver una ecuacion es encontrar su solucion o soluciones. Recuerda que cuando multiplicamos un nume-ro negativo por una suma o resta de numeros, estos cambian su signo. (− · − = +; − ·+ = −)

5.7.2. Ejercicios

1. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:



a) 2(x− 3) + 1 =x

2− (1− x) b) 5(x− 2) = 3(1− x)

c)x

2− x

3+ 1 = 2

(1

3− x

)d)

2(x− 1)

4− 1− x

6+ 1 = 2

(1

3− x

)


1. Traduce al lenguaje algebraico las siguientes expresiones:

a) La edad de mi padre es tres veces la mıa.b) La edad de mi abuela es el doble del triple de

la mıa.c) El cociente entre las edades de mi madre y la

mıa es tres.

d) Mi padre gana la mitad de la mitad de lo quegana mi tıa.

e) La edad de mi hermano es un numero par.

f ) Mi edad es un numero impar.

2. Llama x e y a dos numeros y expresa algebraicamente:

a) La suma de x y la mitad de y.

b) Un quinto de x menos el triple de y.

c) El cuadrado de su suma.

d) La suma de sus cuadrados.

e) El doble de su diferencia.

f ) La diferencia de sus cuadrados.

3. Traduce al lenguaje algebraico las siguientes frases sabiendo que un kilo de arroz vale x e y que un kilode patatas vale 23 centimos de euro mas barato.

a) El coste de cinco kilos de arroz y de siete kilos de patatas.

b) El coste de medio kilo de arroz y de tres cuartos de kilo de patatas.

c) El coste de 100 kilos de arroz y la misma cantidad de patatas si nos la venden a mitad de precio.

4. Establece las variables que consideres oportunas y traduce al lenguaje algebraico las expresiones:

a) Tenemos lo mismo.b) Lo tuyo es el doble de lo mıo.c) Lo mıo es el doble de lo tuyo.d) Lo mıo es la tercera parte de lo tuyo.e) La diferencia entre lo tuyo y lo mıo es 5, pe-

ro tu tienes mas.f ) La diferencia entre lo tuyo y lo mıo es 5, pe-

ro yo tengo mas.

g) Si tengo 6 mas, tendre el doble que tu.

h) Lo que tengo es 50 veces lo tuyo.

i) Si tuviera tres mas, entonces tendrıa el dobleque tu.

j) Si te doy 8, entonces tendremos igual.

k) Si te doy 8, entonces tu tendras el doble queyo.

5. Una mesa rectangular dispone de dos alas rectangulares supletorias de 25 cm de ancho, que la conviertenen una mesa cuadrada. Indica la expresion de la superficie de la mesa en los siguientes casos:

a) Antes de desplegar las alas.

b) Cuando se pliega un ala.

c) Cuando se pliegan las dos alas.

d) ¿En cuanto aumenta la superficie de la mesa al incorporar las alas si estas tienen un metro de largo?

6. Halla los valores numericos de las expresiones siguientes para a = 3; a = −1; a =1

2:

a) 4− 5a+ a2 b) (2− a) · (3 + 2a)



7. Realiza las operaciones indicadas:a) 2x · (−5xy2z3)3 b) (3a3 − 2a2 − 3ab)− (a2 + 2a3 − 3ab)c) 5xy · (−3x2y) d) 3(3a2 − 2a2 + 1)− 2(a3 − 5a)− 5a2

e) (−4a3b2) · (−2ab2) f ) (a2 − 2ab+ b2) + (a2 + 2ab+ b2)− (a2 + b2)g) 6ab · (2a− 3b+ 5ab) h) (x+ y) · (x2 − xy + y2)i) (3b2 − ab+ 1)(5a− b) j) (a3 − a2b)(−ab) · (2a− b)

8. Expresa en forma de sumandos las expresiones:a) (x+ 1)2 b) (5− x)2 c) (x+ 3)(x− 3) d) (2x− 1)2

e)(x+

1

2

)(x− 1

2

)f ) (3 + x)(3− x) g)

(x2− 1)2

h)(1− 2x

3

)2

9. De las siguientes igualdades indica cuales son identidades y cuales ecuaciones:a) (x+ 1)2 = x2 + 2x+ 1 b) 36− x2 = (6 + x)(6− x) c) x2 = 2x− 1d) 2(x− 5) = 2x− 10 e) 4x− 3 = 3− 4x f ) 2− (x− 1) = x+ 3g) x+ 5 = 3x− 8 h) (x− 1)2 = x2 − 1 i) 2x = x2 − 2x

10. Transforma en producto las siguientes expresiones:a) x2 + 2x+ 1 b) x2 + 4x+ 4 c) x2 − 6x+ 9 d) 4x2 + 4x+ 1e) 4x2 + 12x+ 9 f ) 9x2 + 12x+ 4 g) x2 − 4 h) 9− x2

i) 16x2 − 9 j) 25− 4x2 k) x2 − 49 l) 4x2 − 36

11. Agrupa las ecuaciones equivalentes:

2 + 4x = 5 4x = 3

12x = 6x+ 2 2x+ 105

26x = 3x+ 1 4 = 4x+ 1

3x+ 4 = 6x+ 3 6x− 1 = 3x

2x = x+1

35− 4x = 2

12. Determina el valor de m para que la ecuacion:

a) 3x+m = 2 tenga una solucion igual a 5.

b) mx− 1 = 1 tenga una solucion igual a 1.

c) 3(x−m) + 50m

2− 5x tenga como solucion x = −1.

d) ¿Tiene siempre solucion la ecuacion mx− 1 = 1?

13. a) Pon un ejemplo de una ecuacion que tenga una solucion unica.

b) Pon un ejemplo de una ecuacion que no tenga solucion.

c) pon un ejemplo de una ecuacion que tenga de solucion x = 3.

14. Inventate una historia para cada una de las expresiones siguientes:

a) x+ 3 = 15; x es la edad de Carlos.b) 3p = 24; p es el precio de un chicle.c) 16− y = 9; y es un numero cualquiera.d) p + m = 210; p son kilos de peras y m de

manzanas.

e) 7(x + 5) = 735; x es el precio del kilo denaranjas.

f ) 3d = c; d es el numero de dıas y c el decoches fabricados.



15. Resuelve las siguientes ecuaciones:a) 2(x− 3) = 1− (x+ 4) b) 3(x− 2)− 2(x− 3) = 1− 2x

c) 5x− (x− 3) = 5− (1− 4x) d)x− 1

2− x+ 1

3= 1

e) x− x+ 1

5+ 1 = 2(x+ 1) f )

3− x

2− x− 1

3· 5 = 1− x

2

g) 5x− (1− 2x) = 6 h)1

8(x− 2) +

2

3(x+ 2) + x = −4

i)2(x− 1)

3+

1− 3x

2= 1− x

4


Tema 6

Resolucion de problemas

La primera vez que leemos el enunciado de un problema nos puede parecer una mezcla engorrosa de nume-ros, relaciones, preguntas, etc. Si hacemos una lectura atenta y comprensiva del problema y lo traducimosadecuadamente de una forma ordenada nos resultara muy facil encontrar la solucion.

Es fundamental elegir una notacion algebraica correcta que relacione adecuadamente las distintas condicio-nes del problema y aplicar correctamente las tecnicas algebraicas que conocemos para hallar la solucion.

Pueden existir muchas formas de resolver un mismo problema; pero la mejor sera la que implique hacermenos operaciones.

Una vez que hayamos obtenido una solucion, o soluciones, es fundamental comprobar que es correcta. Noexiste una receta unica para hallar la solucion; solo el trabajo personal nos permitira ir adquiriendo tecnicas,metodos y procedimientos que nos lleven a un final feliz.

El procedimiento que debemos seguir para resolver un problema es pues:

1. Lee atentamente el enunciado del problema hasta comprenderlo.

2. Elige adecuadamente la incognita.

3. Traduce el enunciado del problema al lenguaje algebraico.

4. Resuelve la ecuacion obtenida.

5. Comprueba la solucion en la ecuacion.

6. Da una respuesta adecuada.

7. Comprueba dicha respuesta con el enunciado del problema.

Diversos tipos de problemas resueltos:Aritmetico La suma de tres numeros impares consecutivos es 1845. Determina de que numeros se trata.

Planteamiento:un numero impar se puede poner de la forma 2x+1, siendo x cualquier numero entero. La forma de poner tresnumeros consecutivos es:2x+ 1, 2x+ 3, 2x+ 5. La ecuacion a resolver sera 2x+ 1 + 2x+ 3 + 2x+ 5 = 1845.

Resolucion: 2x + 1 + 2x + 3 + 2x + 5 = 1845 =⇒ 6x + 9 = 1845 =⇒ 6x = 1836 =⇒ x =1836

6= 306.

Los numeros en cuestion seran: 613, 615, 617.Edades Un hombre de 40 anos tiene un hijo de 10 anos. ¿Cuantos anos han de transcurrir para que la edad

del padre sea el doble que la del hijo?Planteamiento:suponemos que ocurrira dentro de x anos por lo que el padre tendra 40 + x anos y el hijo 10 + x, de donde la

37

Matematicas. E.S.P.A. II Sebastian Nevado Calvo

condicion sera: 40 + x = 2(10 + x).Resolucion: 40 + x = 2(10 + x) =⇒ 40 + x = 20 + 2x =⇒ 20 = x. Sera dentro de 20 anos, uno tendra 60 yel otro 30 anos.

Mezclas ¿Cuantos litros de vino de 3 euros el litro hay que mezclar con 40 litros de vino de 2 euros el litro,para obtener vino a 2, 75 euros el litro?Planteamiento: Sea x los litros de vino de 3 e /l, el coste total por separado sera: 3x + 2 · 40, el coste total dela mezcla sera: 2, 75(x+ 40); como deben de ser iguales: 3x+ 2 · 40 = 2, 75(x+ 40)

Resolucion: 3x+2 ·40 = 2, 75(x+40) =⇒ 3x+80 = 2, 75x+110 =⇒ 0, 25x = 30 =⇒ x =30

0, 25= 120 l

Geometricos El perımetro de un triangulo isosceles mide 15 cm. Calcula la longitud de sus lados sabiendoque el lado desigual mide la mitad de cada uno de los otros lados.Planteamiento: Sea x la longitud del lado desigual y la de los otros dos lados iguales sera 2x; con lo que elperımetro sera 2x+ 2x+ x = 15

Resolucion: 2x+ 2x+ x = 15 =⇒ 5x = 15 =⇒ x =15

5= 3cm. Los lados miden 3, 6, 6, cm.

Hacia atras En un juego entre tres personas cuando una pierde debe dar a las otras dos tanto dinero comotengan. Juegan tres veces y cada vez pierde una; los tres jugadores terminan el juego con 24 e . ¿Con cuantodinero empezaron a jugar?Planteamiento y resolucion: partimos de la situacion final, con la que cada uno tiene 24, 24, 24, si suponemosque la tercera jugada la ha perdido el tercero, antes de pagar tendrıan 12, 12, 48; si suponemos que la segundajugada la ha perdido el segundo, antes de pagar tendrıan: 6, 42, 24, y por ultimo, perdiendo el primero, antesde pagar tendrıan: 39, 21, 12.

Moviles con igual sentido Un tren de mercancıas parte desde Madrid hacia Sevilla a las siete de la mananaa una velocidad constante de 50 km/h. A las once de la manana parte desde la misma estacion el AVE haciaSevilla a una velocidad constante de 220 km/h. ¿Cuanto tiempo tardara el AVE en alcanzar al mercancıas y aque distancia de madrid le alcanzara? La distancia entre Madrid y Sevilla es de 471 km.Planteamiento: La relacion entre el espacio recorrido (e), la velocidad (v) y el tiempo (t) es e = v · t, por loque siendo t el tiempo, en horas, que tarda el AVE en alcanzar al mercancıas y siendo los espacios recorridosiguales tendremos: 50(t + 4) = 220t. Resolucion: 50(t + 4) = 220t =⇒ 50t + 200 = 220t =⇒ 200 =

170t =⇒ t =20

17h, la distancia sera 220 · 20

17= 258, 82 km de Madrid.

Moviles con sentido contrario A las 9 de la manana parte un AVE desde Madrid en sentido Sevilla a unavelocidad constante de 200 km/h. Una hora mas tarde parte un mercancıas desde Sevilla en direccion a Madrida una velocidad constante de 60 km/h. ¿A que hora se encuentran y a que distancia de los puntos de salida?.La distancia entre Madrid y Sevilla es 271 km.Planteamiento: entre los dos trenes deben de recorrer 471 km, por lo que uno (AVE) recorrera x y el otro471 − x, y siendo t el tiempo que esta el AVE en marcha hasta que se encuentra con el mercancıas tenemos

que: 471− 200t = 60(t− 1) =⇒ 471− 200t = 60t− 60 =⇒ 531 = 260t =⇒ t =531

260h, habiendo recorrido

el AVE 200 · 531260

km.

Grifos, fuentes, trabajadores, etc. Un grifo llena un deposito en 3 h y otro grifo lo llena en 4 h. ¿Cuantotiempo tardaran en llenarlo los dos a la vez?

Planteamiento: en una hora el primero llenara1

3de deposito y el segundo

1

4de deposito, los dos a la vez,

tardaran x h en llenarlo, por lo tanto1

3+

1

4=

1

x.

Resolucion:1

3+

1

4=

1

x=⇒ 4

12+

3

12=

1

x=⇒ 7

12=

1

x=⇒ x =

12

7h, es decir, 1 h, 42m, 51, 43 s.


6.1. EJERCICIOS Matematicas. E.S.P.A. II Sebastian Nevado Calvo

6.1. Ejercicios

1. Halla tres numeros consecutivos que sumen 663. ¿Existiran tres numeros pares que sumen 663?

2. A un vinatero le encargaron 60 l de vino al precio de 1, 1 e /l. El comerciante solo dispone de vino de1, 2 e /l, ası que decide echarle agua hasta obtener una mezcla del precio pedido. ¿Como debe hacer lamezcla si suponemos que el agua es gratis?

3. Un chico le pregunta a su amiga la edad que tiene y ella le contesta: ((Si multiplicas por tres los anos quetendre dentro de tres anos y le restas el triple de los que tenıa hace tres anos, obtendras precisamente losanos que tengo ahora )).

4. Una caja contiene 12 docenas de gomas de borrar y cuesta 11, 7 e . Se revenden a razon de 10 gomas eleuro. ¿Cuantas gomas hay que vender para obtener una ganancia de 7, 5 e ?

5. En una ocasion le preguntaron a Pitagoras cuantos alumnos tenıa y respondio: (( La mitad estudia aritmeti-ca, la cuarta parte oratoria, la septima parte medita en silencio y quedan tres alumnos mas)). ¿Cuantosalumnos tenıa Pitagoras?

6. Halla dos numeros impares consecutivos sabiendo que la diferencia de sus cuadrados es 24.

7. Las longitudes de los lados de un rectangulo estan en proporcion de 5 a 7. El perımetro del rectangulo es48 cm. Calcula las medidas de los lados.

8. Una persona tiene un sueldo neto mensual de 1652 e . Si las retenciones que le corresponden suman un18%, ¿cual es su sueldo bruto?

9. Dos personas colocan el mismo capital en distintos bancos. La primera a un 5% de interes anual y lasegunda a un 6%. ¿Que capital tiene cada una si al final del primer ano a la segunda le dan 30 e mas quea la primera de intereses?

10. En un primer viaje, un automovil consumio1

6del total de gasolina, que habıa en el deposito. En un

segundo viaje, consumio1

5de la gasolina que le quedaba y acabo con 24 l en el deposito. ¿Cuantos litros

tenıa el deposito al inicio del primer viaje?

11. El perımetro de un triangulo isosceles es 32 cm. Calcula sus medidas si el lado desigual mide los dostercios del otro.

12. Dos naufragos llegan a una isla desierta. Durante la tarde cogen cocos y deciden que a la manana siguientese los repartiran. Durante la noche un naufrago se despierta y decide coger su parte. Divide el monton decocos en dos partes iguales y como le sobra un coco lo tira al mar, esconde su parte y se vuelve a dormir.Poco despues se despierta el segundo naufrago y realiza la misma operacion con los pocos que le dejo sucompanero. A la manana siguiente, cada uno guarda silencio de su reparto nocturno y deciden repartirserepartirse los cocos. Al hacer el reparto les corresponden 7 cocos a cada uno y sobra uno que tiran al mar.¿Cuantos cocos habıan recogido y cuantos les corresponde a cada uno?

13. Los dos miembros de un joven matrimonio trabajan fuera de casa. El trabajo en el hogar lo reparten deforma desigual, pues la mujer dedica 20 h mas que su marido a los trabajos domesticos a lo largo de lasemana. Si el marido dedicase 8 h mas a las tareas del hogar, para igualar a su mujer al cabo de la semanatendrıa que multiplicar por 2 el total de horas empleadas, y ası su mujer deberıa trabajar una hora maspara que el tiempo dedicado al trabajo domestico fuese equitativo. ¿Cuantas horas trabaja cada uno?

14. Un comerciante con el fin de atraerse la clientela, anuncio conceder en sus ventas un 20% de descuento;pero, poco escrupuloso, modifica previamente los precios marcados en las etiquetas, subiendolos un20%. ¿Que descuento hace, en realidad, sobre los precios primitivos?


6.1. EJERCICIOS Matematicas. E.S.P.A. II Sebastian Nevado Calvo

15. Problema del siglo XII , Bagdad. La quinta parte de un enjambre de abejas se posa sobre ua flor dekabamda, la tercera parte sobre una flor de silinda. El triple de la diferencia de estos numeros vuela sobreuna flor de krutja, y una vuela indecisa de un jazmın a una flor de pandanus.Dime nina, cuantas abejashabıa en el jardın.

16. Un profesor tiene 42 anos y su hijo 12. ¿Cuantos anos faltan para que la edad del profesor sea el tripleque la del alumno?

17. Un padre tiene 48 anos y su hijo 25. Averigua cuantos anos han de transcurrir para que la edad del padresea doble que la del hijo.

18. Juan le pregunto a Marıa cuantos anos tenıa y esta le respondio: ((El doble de los anos que tenıa hacequince anos mas los que tengo ahora son el triple de los que tenıa hace diez anos)). ¿Cuantos anos tenıaMarıa?

19. Un deposito se llena con un grifo en dos horas y otro en tres horas. Averigua el tiempo que tarda en llenarel deposito si se abren los dos grifos al mismo tiempo.

20. Una persona va de una poblacion a otra en un tranvıa que lleva una velocidad de 14 km/h y regresaandando a una velocidad de 4 km/h. ¿Que distancia hay entre las dos poblaciones si tarda seis horas enir y volver?

21. El agua del mar tiene un 3% de sal. ¿Cuantos kilos de agua pura tendremos que agregar a 25 kg de aguade mar para que la mezcla tenga solamente el 2%?

22. Un deposito se llena con un grifo en 4 h, con otro tarda en llenarse 6 h, y se vacıa con un desague en 3 h.Halla el tiempo que tarda en llenarse estando abiertos los tres.

23. Tengo una habitacion cuadrada. Para ampliarla corro el tabique un metro, con lo que obtengo una habita-cion rectangular cuya superficie ha aumentado de tamano 4m2. Calcula los lados de la nueva habitacion.

24. Tres socios se reparten unas ganancias. El primero se queda con la cuarta parte, el segundo con las dosterceras partes de las ganancias y el tercero con mil euros. Determina las ganancias totales y lo que lecorresponde a cada uno.

25. La edades de tres hermanas suman 10 anos. Halla la edad de cada una sabiendo que la mediana tiene unanos mas que la pequena y que la mayor tiene tantos anos como las otras dos juntas.

26. A las 10 h 45 min sale un avion Boeing 747 de Madrid hacia Nueva York, siendo su velocidad decrucero de 1000 km/h. A la misma hora sale de Nueva York un reactor hacia Madrid con una velocidadde 800 km/h. ¿A que distancia de Madrid y a que hora se encontraran ambos aviones? (Distancia entreMadrid y Nueva York es aproximadamente de 7800 km)

27. Con una sabana de hilo antigua he conseguido hacer dos manteles cuadrados, cuyos lados estan en pro-porcion de 5 a 3, y un cubrebandejas rectangular que tiene 30 cm menos de ancho que de largo. Si no hasobrado tela, ¿que dimensiones tenıa la sabana?

28. Si fueran dos horas mas tarde, faltarıa para la media noche la mitad de lo que faltarıa si fuera una horamas tarde. ¿Que hora es?


Tema 7

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dosincognitas

7.1. Ecuacion lineal (de primer grado) con dos incognitas

Una ecuacion lineal (de primer grado) con dos incognitas es una ecuacion que tiene dos numeros desco-nocidos (incognitas) de la forma ax+ by = c, donde a 6= 0 y b 6= 0 se llaman coeficientes de las incognitas xe y; y al termino c termino independiente.

Solucion de la ecuacion es cualquier par de numeros que sustituidos en lugar de x e y verifican la igualdad.

7.1.1. Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen identicas soluciones. Los criterios de equivalencia son los mismosque para las ecuaciones lineales con una incognita:

Si multiplicamos una ecuacion por un numero distinto de cero se obtiene otra equivalente.

Si en los dos miembros de una ecuacion sumamos la misma cantidad o la misma expresion algebraica,resulta una ecuacion equivalente a la primera.

7.1.2. Ejercicios

1. Encuentra varias soluciones de la ecuacion 2x− y = 10. basta con dar valores a una incognita y despejarla otra.

2. Si quieres construir un rectangulo con una cuerda que mide metro y medio anudando sus extremos tienesmuchas posibilidades.

a) Escribe una ecuacion que refleje estas posibilidades. Llama x e y a las medidas de sus lados.

b) Halla algunas soluciones.

c) ¿Podran ser negativas?

d) ¿Entre que valores estan comprendidas dichas soluciones? Escrıbelas en forma de intervalo.

3. Escribe tres ecuaciones equivalentes a 3x− 2y = 5 y comprueba que cualquier solucion de una de ellases tambien solucion de las demas.

41

7.2. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITASMatematicas. E.S.P.A. II Sebastian Nevado Calvo

7.2. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incognitas

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incognitas es la expresion algebraica de dos relacioneslineales entre dos numeros desconocidos que se han de cumplir simultaneamente.

Solucion de un sistema es cualquier par de valores de las incognitas que son solucion de ambas ecuacionesa la vez.

7.2.1. Clasificacion de sistemas segun sus soluciones

Si un sistema tiene solucion se llama compatible. Si tiene solo una solucion se llama compatible determi-nado y si tiene mas de una solucion se denomina compatible indeterminado.

Cuando un sistema no tiene solucion se dice que es incompatible.

7.2.2. Sistemas equivalentes. Criterios de equivalencia.

Se llaman sistemas equivalentes a aquellos que tienen las mismas soluciones. Los criterios para encontrarsistemas equivalentes entre sı son los siguientes:

Si en un sistema S reemplazamos una de las ecuaciones por otra equivalente a ella, obtenemos un sistemaS1 equivalente al primero.

Si en un sistema S sustituimos una de las ecuaciones por la que resulta de sumarle o restarle la otraecuacion o una equivalente, resulta un sistema S1 equivalente a S.

7.2.3. Ejercicios

1. Dado el sistema S ≡{

x+ 3y = 182x− y = 1

escribe sistemas equivalentes a S tales que:

a) En las dos ecuaciones el coeficiente de la x sea 2.

b) Una de las ecuaciones no tenga termino en x.

c) En las dos ecuaciones los coeficientes de y sean numeros opuestos.

d) Una de las ecuaciones no tenga termino en y.

e) Las dos ecuaciones den directamente la solucion.

f ) Comprueba que la solucion lo es de todos los sistemas anteriores.

7.3. Resolucion de sistemas por metodos algebraicos.

Resolver un sistema es encontrar sus soluciones. El procedimiento general para hacerlo es sustituirlo porsucesivos sistemas equivalentes que sean cada vez mas sencillos de resolver.

7.3.1. Metodo de reduccion

Consiste en obtener un sistema equivalente en el que una de las ecuaciones tenga una incognita menos.Sea un sistema S, en primer lugar hay que transformarlo en otro equivalente S1 de manera que una de

las incognitas tenga sus coeficientes opuestos en las dos ecuaciones. para ello tenemos que multiplicar cadaecuacion por el numero adecuado. Conviene observar el sistema para encontrar el camino mas facil. En segundolugar, sustituimos una de las ecuaciones por la suma de las otras dos. De esta manera conseguimos otro sistema


7.4. PROBLEMAS RESUELTOS Matematicas. E.S.P.A. II Sebastian Nevado Calvo

equivalente. Luego resolvemos la ecuacion en la que aparece una sola incognita y sustituimos su valor en laotra ecuacion para determinar la segunda incognita. Por ejemplo:{

x− 3y = −33x+ 2y = 13

=⇒{

2x− 6y = −69x+ 6y = 39

=⇒{

2x− 6y = −611x = 33

o tambien{−3x+ 9y = 93x+ 2y = 13

=⇒{

11y = 223x+ 2y = 13

7.3.2. Metodo de sustitucion

Consiste en despejar una incognita de una de las ecuaciones y sustituir la expresion obtenida en la otraecuacion. Ejemplo:{

2x+ y = 73x+ 2y = 11

=⇒{

y = 7− 2x3x+ 2y = 11

=⇒ 3x+ 2(7− 2x) = 11 =⇒ 3x+ 14− 4x = 11

=⇒ −x = −3 =⇒ x = 3 =⇒ y = 7− 2 · 3 = 1

7.3.3. Metodo de igualacion

Este metodo consiste en despejar la misma incognita en las dos ecuaciones del sistema e igualar las expre-siones que resultan entre sı. Ejemplo:{

5x+ y = 63x+ 4y = 7

=⇒

{y = 6− 5x

y =7− 3x

4

=⇒ 6−5x =7− 3x

4=⇒ 4(6−5x) = 7−3x =⇒ 24−20x =

7− 3x =⇒ −17x = −17 =⇒ x = 1 =⇒ y = 6− 5 · 1 = 1

7.3.4. Sistemas incompatibles

Un sistema es incompatible cuando al aplicarle cualquier metodo anterior sale un absurdo. Ejemplo:{x+ y = 7x+ y = 3

=⇒{

x+ y = 7−x− y = −3 =⇒

{x+ y = 7

0 = 4absurdo.

7.3.5. Sistemas compatibles indeterminados

Un sistema es compatible indeterminado cuando tiene infinitas soluciones. Ejemplo:{2x− 4y = 2x− 2y = 1

=⇒{

2x− 4y = 2x = 1 + 2y

=⇒ 2(1+ 2y)− 4y = 2 =⇒ 2+ 4y− 4y = 2 =⇒ 2 = 2

que es una identidad, luego las soluciones son las de la ecuacion x = 1 + 2y

7.3.6. Ejercicios

1. Clasifica los siguientes sistemas segun tengan o no solucion y encuentrala en caso de que la haya.

a){

2x+ 4y = 6x− 3y = −2 b)

{x+ 2y = 3

3x+ 6y = 4c){

5x+ 2y = 715x+ 6y = 21

d){

2x = 4− y3x+ 2y = 7

e){

x+ y = 2x− 2y = 1

f ){

2x− y = 1−4x+ 2y = 5

7.4. Problemas resueltos

1. Miguel visito una granja. Vio conejos y gallinas pero como no pudo contarlos el encargado le dijo queen total habıa 100 patas.



a) ¿Cuantos conejos y gallinas habıa?

b) ¿Es posible que halla el mismo numero de patas de conejos que de gallinas?

c) ¿Es posible que haya el mismo numero de conejos que de gallinas?

d) ¿Puede haber un numero impar de conejos?¿Y de gallinas?

e) Miguel ha visto animales de los dos tipos. ¿Cual es el mınimo numero de gallinas que puede habervisto? ¿Y cual es el maximo?

Planteamiento y solucion: con los datos que nos dan si c es la cantidad de conejos y g la de gallinas, laprimera ecuacion sera 4c+ 2g = 100.La primera pregunta de primeras tiene infinitas respuestas pero solo se cojeran las que sean logicas, es

decir: c =100− 2g

4= 25− g

2≥ 0, por lo que la cantidad de gallinas debe de ser par, positiva y menor

o igual que 50.

La segunda pregunta impone que 4c = 2g, con lo que 4g = 100 =⇒ g = 25 =⇒ c =50

4= 12, 5

imposible.

La tercera pregunta impone que c = g, de donde 6g = 100 =⇒ g =100

6= 16, 6.

En la cuarta, la de gallinas hemos visto que debe de ser par, de conejos no hay ningun impedimento.La quinta como c = 25 − g

2y c > 0, g > 0, entonces la cantidad de gallinas como mınimo es 2 con lo

que los conejos son 24, y la maxima de gallinas es 48 con lo que los conejos son 2.

2. Luis y Paloma estan acabando una partida de ajedrez. Si Luis se come una pieza mas que Paloma, a losdos les quedara el mismo numero de piezas; pero si es Paloma la que se come una de Luis, esta se quedaracon el doble que el. ¿Cuantas piezas tienen en ese momento cada uno?Planteamiento y solucion: sean x las piezas que le quedan a Luis e y las que le quedan a Paloma, con laprimera condicion x = y − 1, y con la segunda 2(x− 1) = y, que resolviendo sale x = 3, y = 4.

3. Calcula las dimensiones de un rectangulo que tiene 112 cm de perımetro sabiendo que sus lados sonproporcionales a otro rectangulo cuyos lados miden 12 cm y 16 cm respectivamente.Planteamiento y solucion: la primera condicion es 2x+ 2y = 112 y la segunda es

x

12=

y

16, saliendo de

solucion x = 32, y = 24 cm

4. Para ahorrar un poco en casa, he decidido mezclar aceite de oliva virgen a 5 e /l con otro de inferior ca-lidad a 2 e /l. ¿Que cantidad debo comprar de cada clase si consumimos 8 litros al mes y mi presupuestopara aceite es de 25 e al mes?Planteamiento y solucion: sean x los litros del primero e y los litros del segundo, la primera condicionsera x+ y = 8 y la segunda 5x+ 2y = 25, saliendo de solucion x = 3, y = 5.

5. Un motorista sale de una ciudad M a 60 km/h a las nueve de la manana. Dos horas despues sale a suencuentro un coche a 150 km/h desde un punto situado a 60 km antes de M. ¿A que hora lo alcanzara yque distancia habra recorrido cada uno?Planteamiento y solucion: sea x el espacio recorrido por el motorista y t el tiempo que tarda en alcanzarloel coche; calculando los espacios recorridos 60 + x = 150(t− 2); x = 60t


1. Escribe varias soluciones de la ecuacion 7x+ 3y = 10.

2. Ordena la ecuacion 2(3x+ 4)− 3

4(2y + 4) = 5 y encuentra alguna solucion.



3. Completa el sistema siguiente para que su solucion sea x = 2, y = −3:{

5x− 3y =4x+ y =

4. Escribe un sistema cuya unica solucion sea x = 2 e y = −5.

5. Halla a para que x = 1 e y = 2 sea solucion del sistema:

a){

ax− 3y = 54x+ y = 6

b){

ax− 3y = 53x+ y = 10

6. Determina los valores de a y b para que el sistema tenga como solucion x = −1, y = 2:

a){

ax+ y = 12x− y = b

b){

x− ay = 2bx+ y = 4

c){

ax+ by = 52ax+ y = 0

7. Resuelve los siguientes sistemas:

a){

x+ y = 2x− y = 6

b){

2x+ 3y = 42x− 3y = 4

c){

5x− y = 1215x− 3y = 18

d){

7x+ 4y = 805x− 6y = 4

e){

2x+ 4y = 2x+ 2y = 6

f )

{ x

4+

y

5= 2

3x− y = 7

g)

{ 5

7x =

2

3y

2x = y + 26h){

x− y = 2x− y = 6

i){

3x+ 4y = 26x+ 8y = 4

j){

x+ 3y = 42x− y = 1

k){

7x+ y = 1214x+ 2y = 6

l)

2x

3− 3(y − 1)

2= −1

3x− y + 3

3= 7

m){

3x+ 9y = 215x− 2y = 1

n){−x+ y − 3 = 0

x+ y = 1n)

x− y + 1

2= −1

3(x− 2)

2− 1− y

4= −1

o)

{ x

2+

y

4= 3

x+ 2y = 12p)

{ x− 1

2+

y

3= 1

3x− y = 0q){

x+ 3y − 2 = 02x+ 6y = 4

8. Escribe un enunciado para la ecuacion 3x− y = 9.

a) Encuentra algunas soluciones e interpretalas segun tu enunciado.

b) Hazte preguntas sobre las caracterısticas de las soluciones. ¿Podra ser y un numero par?¿Sera multi-plo de tres?¿Podra ser negativo?¿Cual es su maximo valor?, etc

9. Redacta un enunciado que se pueda representar con el sistema{

2x+ 3y = 6, 4x− y = 0, 2

siendo x el precio

del kilo de arroz e y el precio del kilo de azucar y calculalos.

10. El perımetro de un triangulo isosceles es de 150 cm.

a) ¿Cuales son sus medidas si el lado desigual mide la mitad que el otro lado?

b) ¿Podrıa ser el lado desigual doble del otro? ¿Por que?

11. Un hotel tiene habitaciones dobles y simples. En total dispone de 55 habitaciones y 90 camas. ¿Cuantashabitaciones hay de cada tipo?

12. Un video club alquila pelıculas a precio fijo por dos dıas. Si el cliente hace su entrega pasado ese tiempo,se le sanciona con una cantidad fija por dıa transcurrido. Juan pago 9, 5 e por tener 7 dıas una pelıcula yMarıa 5 e por otra que tuvo 4 dıas. ¿Cual es el precio fijo por los dos primeros dıas? ¿Cual es la sancionpor cada dıa de retraso?



13. Un examen tipo test consta de 20 preguntas, cada pregunta correcta vale 0, 5 puntos y cada preguntacontestada incorrecta descuenta 0, 25 puntos. Si he contestado a 18 preguntas y obtengo un 6, ¿cuantashe contestado correctamente?

14. Dos ninos estan jugando a las canicas y un tercero les pregunta cuantas tienen. Uno de ellos contesta:((Las canicas que tengo en el bolsillo mas el doble de las que tiene el suman uno; pero si a las que tengole restas las suyas, quedan 4)). ¿Es esto posible?

15. un avion Boeing 747, que alcanza una velocidad de crucero de 1000 km/h, sale a las 10 h, 45 min deMadrid con destino a Nueva York, y a la misma hora sale de Nueva York un reactor con destino a Madridcon una velocidad de 800 km/h. ¿A que distancia de Madrid y a que hora se cruzaran ambos aviones?.La distancia entre Madrid y Nueva York es aproximadamente de 7800 km.

16. Un club de tenis propone dos formulas de pago a sus socios:Formula A: cada hora de pista cuesta 6 e . Formula B: se paga una cuota de abono de 36 e al anoreduciendo el coste de la hora de pista a 3, 6 e .

a) Calcula el numero de horas de juego para que los costes anuales en ambas formulas sean iguales.¿Cuanto se paga en ese caso?

b) Responde razonadamente a que formula me conviene acogerme si juego mucho al tenis.

17. Un comerciante ha vendido una pieza de tela de 12m en dos trozos. En el primer trozo tuvo un beneficiodel 15% y en el segundo del 5%. la pieza le habıa costado 54 e y la vendio en total por 55 e . ¿Cuantosmetros vendio cada vez?

18. Dentro de nueve anos la edad de un padre sera el doble que la de su hijo y hace tres anos era el triple.Calcula la edad actual.

19. El abuelo de marıa le cuadruplica la edad pero, dentro de doce anos, la edad de Marıa excedera en dosanos la tercera parte de la edad de su abuelo. ¿Que edad tiene cada uno?

20. Enrique tiene botes de 5 kg de pintura azul a 6 e /kg y amarilla a 7 e /kg. ¿Cuantos botes de cada clasedebe mezclar para obtener 15 kg de pintura verde y que le cuesta 95 e ? ¿Que precio tiene el kilo depintura verde?

21. Un rectangulo tiene 360 cm de perımetro. Si tuviera 60 cm menos de largo y la mitad de ancho serıacuadrado. calcula sus dimensiones.

22. A las 8 horas sale el AVE Sevilla-Cordoba-Madrid a una velocidad de 330 km/h. A las 8 h, 20 minsale un tren de Cordoba hacia Madrid a 90 km/h. ¿Cuanto tarda el AVE en alcanzarlo y a que distanciade Cordoba?. L distancia entre Sevilla y Cordoba es de 160 km.


Tema 8

La ecuacion de segundo grado

8.1. La ecuacion de segundo grado con una incognita

Una ecuacion de segundo grado con una incognita es una ecuacion equivalente a otra de la forma ax2 +bx+ c = 0, siendo a 6= 0.

Si b 6= 0 y c 6= 0 la ecuacion se llama completa y en caso contrario se denomina incompleta.

8.2. Ejercicios

1. Averigua si las siguientes ecuaciones son o no de segundo grado y especifica el valor de a, b, c.a) x(5x− 2) = 5(x2 − 1) b) (x+ 1)(x− 2) + 3 = 0c) (2x− 1)(3− x) + 3 = 0 d) (x− 2)(x+ 2) = 0

2. Plantea las ecuaciones que se corresponden con los siguientes enunciados:

a) La suma de un numero y su cuadrado es el quıntuplo de dicho numero.

b) El producto de un numero por su tercera parte excede en dos unidades a dicha tercera parte.

c) El producto de dos numeros pares consecutivos es la diferencia entre el cuadrado del mayor y eltriple del menor.

¿Son ecuaciones de segundo grado?. Especifica el valor de a, b, c en cada caso.

8.3. Numero de soluciones de una ecuacion de segundo grado

Una ecuacion de segundo grado puede tener dos, una o ninguna solucion. Estas soluciones recibentambien el nombre de raıces.

8.4. Criterio de equivalencia

La ecuacion x2 = A(A ≥ 0) es equivalente al conjunto de ecuaciones x =√A, x = −

√A.

8.5. Resolucion de una ecuacion de segundo grado

Resolver una ecuacion consiste en utilizar un procedimiento para encontrar sus soluciones. Dicho metodo,utilizado en la forma mas general posible, recibe el nombre de algoritmo.

47

8.6. ALGORITMO DE RESOLUCION DE LA ECUACION DE SEGUNDO GRADOMatematicas. E.S.P.A. II Sebastian Nevado Calvo

El algoritmo para la resolucion de la ecuacion de segundo grado tiene una cierta dificultad. Empezaremospor resolver ecuaciones incompletas, que nos hara mas sencillo el paso a la resolucion en el caso general.

8.5.1. Resolucion de ecuaciones de la forma ax2 + c = 0.

Partiendo de ax2 + c = 0 =⇒ x2 = − c

a=⇒ x =

√− c

a; x =

√− c

a.

Luego si c = 0 =⇒ x = 0, si − c

a> 0 tenemos dos soluciones, y si − c

a< 0, la ecuacion de segundo grado no

tiene solucion.

8.5.2. Resolucion de ecuaciones de la forma ax2 + bx = 0.

Partiendo de la ecuacion ax2 + bx = 0 =⇒ x(ax+ b) = 0 =⇒ x = 0, ax+ b = 0 =⇒ las soluciones son

x = 0 y x = − b

a.

8.5.3. Ejercicios

1. Resuelve las siguientes ecuaciones:a) 2x2 + 5 = 0 b) 3x2 − 15 = 0 c) 3x2 − x

d)x2

2= 2x e) (2x− 1)(x+ 3) = 0 f ) (x− 5)(3x+ 6) = 0

8.6. Algoritmo de resolucion de la ecuacion de segundo grado

Sea la ecuacion ax2 + bx + c = 0 =⇒ ax2 + bx = −c, multiplico por 4a =⇒ 4a2x2 + 4abx = −4ac,sumo b2 en los dos miembros =⇒ 4a2x2 + 4abx+ b2 = b2 − 4ac =⇒ (2ax+ b)2 = b2 − 4ac =⇒ 2ax+ b =

±√b2 − 4ac =⇒ x =

−b±√b2 − 4ac

2a

8.7. Numero de soluciones y factorizacion de la ecuacion de segundo grado

Si llamamos x1 =−b+

√b2 − 4ac

2ay x2 =

−b−√b2 − 4ac

2ase verifican las siguientes posibilidades:

1. Si b2 − 4ac < 0, entonces no existe su raız cuadrada y la ecuacion no tiene soluciones y se dice que esirreducible.

2. Si b2 − 4ac = 0, entonces x1 = x2 = − b

2ay se dice que x1 = − b

2aes una raız doble y la ecuacion se

puede factorizar en la forma: a(x− x1)2 = a

(x+

b

2a

)2

= 0.

3. Si b2 − 4ac > 0, entonces la ecuacion tiene dos soluciones reales y distintas y se puede factorizar como:a(x− x1)(x− x2) = 0.

A la expresion4 = b2− 4ac se le llama discriminante de la ecuacion pues permite distinguir o discriminar elnumero de soluciones que tiene.


8.8. PROPIEDADES DE LAS SOLUCIONES DE LA ECUACION DE SEGUNDO GRADOMatematicas. E.S.P.A. II Sebastian Nevado Calvo

8.8. Propiedades de las soluciones de la ecuacion de segundo grado

Calculando su suma: s = x1 + x2 =−b+

√b2 − 4ac

2a+−b−

√b2 − 4ac

2a=−2b2a

=−ba

.

Calculando su producto: p = x1 · x2 =−b+

√b2 − 4ac

2a· −b−

√b2 − 4ac

2a=

(−b)2 + (√b2 − 4ac)2

(2a)2=

b2 − (b2 − 4ac)2

4a2=

4ac

4a2=

c

a.

Por lo tanto si dividimos ax2 + bx+ c = 0 por a obtenemos: x2 +b

ax+

c

a= 0, es decir:

x2 − sx+ p = 0

.

8.8.1. Ejercicios

1. Resuelve y factoriza las siguientes ecuaciones:a) 4x2 + 4x− 3 = 0 b) 3x2 − 1 = 0 c) x2 + x+ 1 = 0

2. a) Escribe una ecuacion de segundo grado que tenga por soluciones 3 y −2.

b) Escribe una ecuacion de segundo grado cuyas soluciones sean 5 y 4 y el coeficiente de x2 sea 3.

8.9. Ejercicios del tema

1. Resuelve las siguientes ecuaciones incompletas sin utilizar la formula general:a) x2 − 6x = 0 b) 3x2 − 48x = 0 c) 9x2 − 12 = 37 d) 4− 25x2 = 0e) −3x2 + 7x = 0 f ) −2x2 − 3 = 0 g) x2 − x = 0 h) 3x2 − 5 = 27 + x2

2. Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando la propiedad de que si el producto de dos o mas factores escero, tiene que ser cero al menos uno de ellos.

a) (x− 1)(x− 2) = 0 b) (x− 5)(x+ 11) = 0 c) (2x+ 6)(x = 0)

d) (2x− 5)(7x− 3) = 0 e)(x− 3

4

)(8x− 42) = 0 f ) (2x+ 5)(3x+ 7) = 0

3. Escribe las ecuaciones de segundo grado cuyas raıces sean:

a) 5, 3 b) 3, −3 c)2

3, −1

4d)

3

2,1

3

4. ¿Cuales de estas ecuaciones de segundo grado tienen como soluciones x = 1 y x = 3?a) (x− 1)(x+ 3) = 0 b) (x+ 1)(x+ 3) = 0 c) 5(x+ 1)(x− 3) = 0d) (x− 1)(x− 3) = 0 e) 7(x− 1)(x− 3) f ) −2(x+ 1)(x+ 3) = 0

5. Escribe las dos ecuaciones lineales que son equivalentes a las siguientes ecuaciones de segundo grado yresuelvelas:

a) (3x− 2)2 = 0 b) (3x− 2)2 = 16 c) (1− x)2 = 9d) (1− 3x)2 = 5 e) (7x+ 12)2 = 81 f ) (x− 1)2 = 4

6. Resuelve las siguientes ecuaciones por el metodo de completar cuadrados:a) x2 − 2x− 3 = 0 b) x2 + 2x− 3 = 0 c) 2x2 − 2x− 4 = 0 d) 2x2 + 7x− 4 = 0e) x2 + 6x− 10 = 0 f ) 3x2 − 15x− 6 = 0 g) x2 + 8x− 20 = 0 h) x2 − 6x− 16 = 0



7. Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando la formula general:a) 2x2 − 5x+ 12 = 0 b) 6x2 − x− 1 = 0 c) −2x2 + x− 4 = 0 d) −5x2 + 10x+ 15 = 0

8. Ordena y resuelve las siguientes ecuaciones:a) x(3x− 5) + 6 = 8 b) (2x+ 5)(1− x) = x2 − 1 c) (x−2)(2x+1) = −(x+3)(x+7)

d) (x− 3)2 − (x+ 32 = x2 e) x(x− 2) = x+ 1 f ) 3(3x+ 4) = x(3− x) + 3

9. Escribe una ecuacion de segundo grado con:a) Ninguna solucion. b) Una solucion: x = −2.c) Dos soluciones: x = 0 y x = 4. d) Dos soluciones x = −2 y x = −5e) Dos soluciones x = −1 y x = 3 f ) Dos soluciones x = 2 y x = −4


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