Atividades adicionais – 7ª série – Capítulo 7 – Produtos notáveis / Frações algébricas 2

Atividades adicionais – 7ª série – Capítulo 7 – Produtos notáveis / Frações algébricas 3

ATIVIDADES ADICIONAIS — 7ª SÉRIE

Capítulo 7 – Produtos notáveis / Frações algébricas

1. Desenvolva:

a) (x – 2)2 (x + 4)

2

b) (x – 3) (x + 3) (x

2 + 9)

c) (a – 1) (a + 1) (a2 + 1) (a

4 + 1)

d)

21

3xx

e) 3 3

3 3

1 1x x

x x

2. A área do retângulo é de 75 m2. Calcule n e o perímetro do retângulo.

3. Desenvolva:

a)

31

22

x

b) (a – 2)3 – (a – 2) (a + 2) + (a + 2)

2

c) (3a2 + 2a + 3)

2

d) (a – b + c) (a – b – c)

4. Fatore as expressões:

a) 3a3 + a

2b

2 + 3ab

4 + b

6

b) a3 – 64

c) 4a4 – 4a

2b + b

2

5. Calcule o valor de 2 2

3 3

x y

x y

para x = 2,7 e y = 0,3

6. Simplifique as expressões:

a)

2

2

4 2

9 3

p

p

c)

22 2

3 2

2 1

2

x x x

x x x

b) 3 2

2

1

2 1

x x x

x x

d)

2 2

3 2 2 3

4 4

8 4 2

a ab b

a a b ab b

7. a) Se x3 – 1 = 14, calcule o valor de

6

3

1

2 2

x

x

.

Atividades adicionais – 7ª série – Capítulo 7 – Produtos notáveis / Frações algébricas 4

b) Calcule o valor de 3 3

2 2

a b

a ab b

para a = 93 e b = 92.

8. Determine o MDC e o MMC dos polinômios A e B, nos casos:

a) A = 3x3 – 3 e B = x

4 – 1

b) A = 3x3 – 3x

2 – 18x e B = x

4 – 4x

3 + 3x

2

9. Dado que 1

2xx

, obtenha o valor de:

a) 2

2

1x

x b) 4

4

1x

x

10. Fatore:

a) a3 + 3a

2b + 3ab

2 + 2b

3 b) a

9 – 1

11. a) Para 1

2m , determine o valor da expressão

2

2

2 1 3

1 1 1

m

m m m

.

b) Para 5

2x e

3

4y , calcule o valor de

2 2

2 2

3x y x y

x y x y

.

12. a) Se xy = 2 e x2 + y

2 = 5, calcule o valor de

2 2

2 22

x y

y x .

b) Se a + b = 5 e a b = 10, determine o valor de a b

b a .

13. Se 1

54x y e x y = 90, determine o valor da expressão (x + y)

3 – (x

3 + y

3).

14. Se

2 2

1

x yE

x y

:

a) simplifique a expressão E;

b) calcule o valor de E para x + y = 1,5 e x y = 1,75.

15. Se x = 59 e y = 57, então o valor de

4 4

28 2 2

x y

xy x y

é igual a:

a) 0 c) 58

b) 57 d) 59

Atividades adicionais – 7ª série – Capítulo 7 – Produtos notáveis / Frações algébricas 5

Resoluções

1. a) (x – 2)2 (x + 4)

2 = (x

2 – 4x + 4) (x

2 + 8x + 16) =

= x4 + 8x

3 + 16x

2 – 4x

3 – 32 x

2 – 64x + 4x

2 + 32x + 64 =

= x4 + 4 x

3 – 12 x

2 – 32x + 64

b) (x – 3) (x + 3) (x2 + 9) = (x

2 – 9) (x

2 + 9) = x

4 – 81

c) (a – 1) (a + 1) (a2 + 1) (a

4 + 1) = (a

2 – 1) (a

2 + 1) (a

4 + 1) =

= (a4 – 1) (a

4 + 1) = a

8 – 1

d)

2

2

2

1 13 9 6x x

x x

e) 3 3 6

3 3 6

1 1 1x x x

x x x

2. (n + 5) (n – 5) = 75 n2 + 25 = 75 n

2 = 100 n = 10

2p = (15 + 5) 2 2p = 40 m

3. a)

2

21 12 4 2

2 4x x x

b) (a – 2)3 – (a + 2) (a – 2) + (a + 2)

2 =

= a

3 – 6a

2 + 12a – 8 – a

2 + 4 + a

2 + 4a + 4 = a

3 – 6a

2 + 16a

c) (3a2 + 2a + 3)

2 = 9a

4 + 4a

2 + 9 + 2 3a

2 2a + 2 3a

2 3 + 2 2a 3 =

= 9a4 + 4a

2 + 9 + 12a

3 + 18a

3 + 12a = 9a

4 + 12a

3 + 22a

2 + 12a + 9

d) (a – b + c) (a – b – c) = [(a – b) + c] [(a – b) – c] = a2 + b

2 – c

2 – 2ab

4. a) 3a3 + a

2b

2 + 3ab

4 + b

6 = a

2 (3a + b

2) + b

4 (3a + b

2) =

= (3a + b2) (a

2 + b

4)

b) a3 – 64 = (a – 4) (a

2 + 4a + 16)

c) 4a4 – 4a

2b + b

2 = (2a

2 – b)

2

5. 2 2

3 3

x yx y

x y

3 ( )

x y

x y

2,7 0,31

3 3

x y

6. a)

2

2

4 2 2 2 (2 2) 4

(3 3) (3 3) 69 3

p p p p

p p pp

b) 3 2 2

2

1 ( 1) ( 1)

2 1 ( 1)

x x x x x x

x x x

=

= 2

2 2

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)1

( 1) ( 1)

x x x x xx

x x

c)

2 22 2 2

23 2

2 1 2 1 1

2 12

x x x x x x x

x x xx x x

=

= (x – 2) (x – 1)

Atividades adicionais – 7ª série – Capítulo 7 – Produtos notáveis / Frações algébricas 6

d)

22 2

3 2 2 3 2 2

24 4

8 4 2 4 2 2

a ba ab b

a a b ab b a a b b a b

=

=

2 2

2 2

2 2

2 2 22 4

a b a b

a b a b a ba b a b

= 1

2a b

7. a) 36

3

11

2 2

xx

x

3

3

1

2 1

x

x

3 1 147

2 2

x

b) 2 2

3 3

2 2

a b a ab ba b

a ab b

2 2a ab b a b

a – b = 93 – 92 = 1

8. a) A = 3x3 – 3 = 3(x

3 – 1) = 3 · (x – 1) (x

2 + x + 1)

B = (x4 – 1) = (x

2 – 1) (x

2 + 1) = (x – 1) (x + 1) (x

2 + 1)

MDC(A, B) = x – 1

MMC(A, B) = 3 (x – 1) (x + 1) (x2 + 1) (x

2 + x + 1)

9. a)

2

212x

x

2 2

2 2

1 12 4 2x x

x x

b)

2

2 2

2

12x

x

4 4

4 4

1 12 4 2x x

x x

10. a) a3 + 3a

2b

+ 3ab

2 + 2b

3 = (a +b)

3 + b

3 =

= (a + b + b) [(a + b)

2 – (a +b) b + b

2] =

= (a + 2b) (a2 + 2ab + b

2 – ab – b

2 + b

2) =

= (a + 2b) (a2 + ab + b

2)

b) a9 – 1 = (a

3 – 1) (a

6 + a

3 + 1) =

= (a – 1) (a2 + a + 1) (a

6 + a

3 + 1)

11. a) 2

2

2 1 3

1 1 1

m

m m m

=

2

2

2 1 1 3

1

m m m

m

=

= 2

2

2 2 1 3

1

m m m

m

=

2

2 1

m m

m

=

1m m

( 1) ( 1)m m =

= ( 1)

m

m =

1

2m

Assim:

1

2 11

1 2

Atividades adicionais – 7ª série – Capítulo 7 – Produtos notáveis / Frações algébricas 7

b)

2 2 22 2

2 2

33

( )

x y x yx y x y

x y x y x y x y

=

2 2 2 22 3x xy y x y

x y x y

=

22 2xy y

x y x y

=

2 ( )y x y

x y x y=

= 2y

x y

Mas 5 3

e 2 4

x y , então:

3 2

4

5 3

2 4

= 3 4 6

2 7 7

12. a) 2 2 4 4 2 2

2 2 2 2

22

x y x y x y

y x x y

=

=

22 2 2

2 2 2

5 25

2 4

x y

x y

b)

22 2 2a b aba b a b

b a ab ab

=

= 25 2 10 5 1

10 10 2

13. (x + y)3 – (x

3 + y

3) = x

3 + 3x

2y + 3xy

2 + y

3 – (x

3 + y

3) = 3 xy (x + y)

Portanto: 1

3 9054

= 5

14. a) 2 2

1( )

x yE

x y

2 2

2 22 2 2 2

1 1

1 1

y x

x yx y x yE

xy

xy xy

=

22x y xy

xy

b) 21,5 2 1,75 2,25 3,5 1,25 5

1,75 1,75 1,75 7

Atividades adicionais – 7ª série – Capítulo 7 – Produtos notáveis / Frações algébricas 8

15. c

4 4

28 2 2

x y

xy x y

=

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 8 4 2 8 2

x y x y x y x y

xy x xy yxy x y

=

= 2 2 2 2

8

x y x y

xy

24 8x xy

24 y

= 2 2 2 2

2 2 4 4

x y x y

x y

=

2 2x y

2 2

2 2 4

x y

x y

=

= 2 2

4

x y=

4

x y x y

Portanto:

4 4

28 2 2

x y

xy x y

=

4

x y x y

Para x = 59 e y = 57, temos:

4

x y x y = 59 57 59 57 116 2

4 4

= 58

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