Atividades de Complexos

8/18/2019 Atividades de Complexos

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Matemática Prof.: Joaquim Rodrigues 1

NÚMEROS COMPLEXOS

INTRODUÇÃOQuestão 01Resolver as equações:

a) 04x2 =+ { }i2,i2S −=

b) 016x2 =+ { }i4,i4S −=

c) 05x4x2 =+− { }i2,i2S −+=

d) 010x6x2 =+− { }i3,i3S −+=

e) 01x2x2 2 =+−

−+

=2

i1,

2

i1S

f) 020x8x2 =+− { }i24,i24S −+=

POTÊNCIA DE i

Questão 02Calcule:a) 48i R: 1

b) 293i R: i

c) 375i R: −i

d) 426i R: −1

e) 1814i R: −1

f) 1615i R: −i

g) 2716i R: 1

h) 2121i R: i

i)1916

i R: 1 j) 3171i R: −i

Questão 03Calcule:

a) 52810 i4ii ⋅−+ R: −4

b)134

4220

i3

)i(i

⋅

⋅ R:

3

1−

c) 4523 )i10()i5( ⋅+⋅ R: 9975

FORMA ALGÉBRICA DE UM NÚMEROCOMPLEXO

Questão 04Determinar o valor de k de modo que o nú-mero complexo i2)6k2(z +−= seja imagi-

nário puro. R: k = 3

Questão 05Encontrar o valor de m de modo que o com-

plexo i)1m3(2z ⋅−+=

seja um número real.R:

3

1m =

Questão 06Para que valor de x o número complexo

i8)10x5(z +−= é imaginário puro? R: 2

Questão 07Determinar p para que i3)7p2(z ++= seja

imaginário puro. R:2

7−

Questão 08Determinar m, tal que i)4m()2m(z 2 ⋅−++=

seja real e não nulo. R: 2

Questão 09Ache m de modo que i)81m(1z 2 ⋅−+= seja

um número real. R: ± 9

IGUALDADE ENTRE COMPLEXOSQuestão 10Determinar x e y de modo que a igualdadeabaixo seja verificada:

i)y4x(5i6)yx2( ⋅++=++

R: x = 2 e y = 1

Questão 11Para que valores de x e y são iguais os

complexos i3)1x(z1 ++= e i)1y(4z2 ⋅−+=

R: x = 3 e y = 4

Questão 12Determinar x e y, de modo que yi5x2z1 −=

seja igual a i104z2 += . R: x = 2 e y = −2

CONJUGADO DE COMPLEXOS

Questão 13Dê o conjugado de cada complexo:

a) i37z += R: i37z −=

b) i25z −−= R: i25z +−=

c) i32z −= R: i32z +=

d) i5z = R: i5z −=

e) iz = R: iz −=

f) 4iz += R: i4z −=

g) 12z =

R: 12z =

h) i

3

5

3

4z += R: i

3

5

3

4z +=


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ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROSCOMPLEXOSQuestão 14Efetuar:a) )i46()i32( +++ R: i78 +

b) )i2()i56( −++ R: i48 +

c) )i32()i56( +−+ R: i24 +

d) )i3()i2( +−+ R: 32 −

Questão 15Determinar o número complexo z tal que

i1612zz5 +=+ . R: i42z +=

Questão 16Determine o número complexo z tal que

i4z3z2 −=+ R: i54z +=

Questão 17Resolver a equação i215zz2 −=+ .

R: i25z −=

MULTIPLICAÇÃO DE COMPLEXOSQuestão 18Efetuar:

a) )i31)(i42( ++ R: i1010 +− b) )i3)(i21( ++− R: i55 +−

c)

−

+ i2

2

1i

3

1 R: i

6

1

6

13−

d)

−

+ i

2

1i

2

1 R:

4

5

DIVISÃO DE COMPLEXOSQuestão 19

Sendo i23z1 += e i1z2 += , obter2

1

z

z

R: i2

1

2

5−

Questão 20Calcule:

a)i35

i2

−

+ R: i

34

11

34

7+

b)

i

i5 + R: i51−

c)i32

i

+ R: i

13

2

13

3+

Questão 21Escreva o número complexo abaixo na for-ma algébrica.

i1

i32

i1

1z

+

++

−= . R: i3 +

Questão 22

Qual o conjugado do complexoi1

4z

−= ?

R: i22 −

FORMA TRIGONOMÉTRICAQuestão 23Determine o módulo dos seguintes númeroscomplexos:

a) i4z −= R: 17

b) i5z −= R: 5

c) i2z += R: 3

d) i3

1

2

1z += R:

6

13

e) 8z = R: 8f) 0z = R: 0

Questão 24Determine o argumento dos complexos e aseguir faça sua representação geométrica:

a) i1z −= R:4

7π=θ

b) i322z += R:3

π=θ

c) i4z = R:2

π=θ

d) i322z +−= R:3

2π=θ

Questão 25Escrever o número complexo na forma trigo-nométrica:

a) i31z += R:

π⋅+

π=

3seni

3cos2z

b) i8z = R:

π⋅+

π=

2seni

2cos8z

c) i77z −−=

R:

π⋅+

π=

4

5seni

4

5cos27z

d) i31z −=

R:

π⋅+

π=

3

5seni

3

5cos2z


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MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO NA FORMATRIGONOMÉTRICAQuestão 26Considere os complexos:

)10seni10(cos4z1 °+°=

)20seni20(cos2z2 °+°=

)15seni15cosz3 °+°=

Calcule:

a) 21 zz ⋅ R: )30seni30(cos8z1 °+°=

b) 32 zz ⋅ R: )35seni35(cos2z1 °+°=

c) 31 zz ⋅ R: )25seni25(cos4z1 °+°=

d) 321 zzz ⋅⋅ R: )45seni45(cos8z1 °+°=

Questão 27Dados os complexos:

)85seni85(cos6z1 °+°=

)25seni25(cos3z1 °+°=

Calcule:

a)2

1

z

z R: )60seni60(cos2 °+°

b)1

2

z

z R: )300seni300(cos

2

1°+°

Questão 28Considere os números )seni(cos5z1 π+π=

e

π+

π=

3seni

3cos3z2 . Calcule 21 zz ⋅ .

R:

π+

π

3

4seni

3

4cos15

Questão 29Dados os complexos:

π+

π=

4seni

4cos2z1

π+

π=

2seni

2cos4z2

3seni

3cosz3

π+

π= , calcule:

a)3

21

z

zz ⋅ R:

π+

π

12

5seni

12

5cos8

b)1

32

z

zz ⋅ R:

π+

π

12

7seni

12

7cos2

POTENCIAÇÃOQuestão 30

Dado i2

3

2

1z += , calcular 8z

R: i2

3

2

1+−

Questão 31

Dado

π+

π=

3

7seni

3

7cos2z , calcular 9z−

R:512

1−

Questão 32Calcule:

a) 8)i3( +− R: i3128128 +−

b) 7)i2( R: i128−

c) 6)i26( − R: 512−

d)

21

i2

1

2

3

− R: i

Questão 33

Sendo i2

3

2

1z +−= , calcule 100z

R: i2

3

2

1+−

RADICIAÇÃOQuestão 34

Determinar as raízes cúbicas de 8z =

Questão 35Calcular as raízes quadradas do complexo

i232z +=

Questão 36Resolver a equação 08x2 2 =+ , sabendoque x é uma variável complexa.


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TESTES DE VESTIBULARES

Questão 01 (Santa Casa – SP)Seja a igualdade i4xy2i)xy(1 −−=++ , on-

de i é a unidade imaginária. Os números re-ais x e y, que satisfazem essa igualdade,são tais que:a) x3y =

b) y3x =

c) 3xy −=

d) 2yx =−

e) 2yx =+

Questão 02 (UFSM)

Para que o número )xi2)(i2x(z +−=

sejareal, devemos ter x ∈ IR, tal que:a) 0x =

b)2

1x ±=

c) 2x ±= d) 4x ±=

Questão 03 (UFPA)Qual é o valor de m, real, para que o produto

)i3)(mi2( ++ seja um imaginário puro?

a) 5b) 6c) 7d) 8e) 10

Questão 04 (PUC – SP)Se 1zz)z(f 2 +−= , então )i1(f − é igual a:

a) i

b) 1i +− c) i− d) 1i − e) 1i +

Questão 05 (UCMG)O complexo z, tal que i1612zz5 +=+ , é i-gual a :a) i22 +− b) i32 −

c) i21+

d) i42 + e) i3 +

Questão 06

A expressão10

)3i()2i()1i(i −⋅−⋅−⋅, é igual a:

a) 1b) ic) 1− d) i−

Questão 07A potência 16)i1( − equivale a:

a) 8b) i416 − c) i1616 − d) 256

e) i16256 −

Questão 08 (UFPA)

A divisãoi1

i21

−

+ dá como resultado o número

a) i2

3

2

1−−

b) i2

3

2

1+

c) i2

3

2

1

+−

d) i2

3

2

1−

Questão 09 (PUC – SP)

A expressãoi1

i1

−

− é igual a:

a) ib) 2ic) 3id) 4i

e) −2i

Questão 10 (Santa Casa – SP)Dado o número complexo i1z −= , tem –se

que2z

1 é igual a:

a) i2

b) i

c) i2

1

d) i−


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Questão 20 (USP)Se z é um número complexo tal que

24zz =⋅ , então o módulo de z é:

a) 32

b) 62

c) 5d) 12e) 24

Questão 21 (UFAL)Se z é um número complexo tal que

25zz =⋅ , então o módulo de z é:

a) 5

b) 5

c) 55

d) 25e) 50

Questão 22 (méd. Jundiaí – SP)No plano de Gauss, o afixo do número com-

plexo 4)i1(z += é um ponto do:

a) eixo realb) eixo imaginárioc) primeiro quadranted) terceiro quadrante

e) quarto quadrante

Questão 23 (AMAN – RJ)Uma forma trigonométrica do número com-

plexo i33z −= é:

a) )60isen60(cos32 °+°−

b) °+° 45isen45cos

c) )300isen300(cos32 °+°

d) )30isen30(cos32 °+°

Questão 24 (PUC – RS)

O complexo

π+

π⋅=

6

11isen

6

11cos2z es-

crito na forma algébrica bia + é:

a) i32 +

b) i3 +−

c) i3 −−

d) i3 −

e) i32 −

Questão 25 (UFPA)A forma trigonométrica do número complexo

i

i1z

+= é:

a)

π−π

4isen

4cos

22

b)

π+

π

4

5isen

4

5cos2

c)

π+

π

4

7isen

4

7cos2

d)

π+

π

4isen

4cos2

e)

π+

π

4

3isen

4

3cos2

Questão 26 (Med. Jundiaí – SP)

Seja o número complexo i2

1

2

3z −−= . O

argumento principal do conjugado de z é:a) 30ºb) 45ºc) 60ºd) 120º

e) 150º

Questão 27 (USP)

Seja z o produto dos complexos )i31(2

3+

e i3 + . Então o módulo e o argumento de z

são respectivamente:a) 4 e 30ºb) 12 e 80ºc) 3 e 90º

d) 6 e 90º

Questão 28 (Santa casa – SP)Se os complexos 1z e 2z são tais que

)135isen135(cos2z1 °+°= e 2zz 12 −= ,

então o módulo de 2z é igual a:

a) 22

b) 32

c) 232

d) 224 +

e) 222 +


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Questão 29 (FESP)O valor de 8)2i2( ⋅−− é:

a) 64b) 256c) 64i

d) 256ie) 256(1 + i)

Questão 30 (USP)

Dado o complexo16

isen16

cosz π+

π= , o va-

lor de 12z é:

a)2

2i

2

2⋅+−

b) 2

2

i2

2⋅−−

c) i2 +−

d) 2i1 ⋅+−

e) 2i2 ⋅+−

Questão 31 (São Carlos – SP)Dado o complexo 3i1z += , então 6z vale:

a) i331−

b) i64−

c) i366 +

d) i331+

e) 64

Questão 32 (FGV)

O valor de

4

i1

i1

−

+, sendo i a unidade imagi-

nária é:a) 1

b) ic) −1

d) −ie) 2i

Questão 33 (Mack – SP)O valor de 1212 )i1()i1( −−+ , onde 1i2 −= é

igual a:

a) −128i

b) −128

c) 128d) 128ie) 0

Questão 34 (UNIMONTES / 2001)Se iyxz += é um número complexo imagi-

nário puro, tal que 3z9 e z4 têm o mesmomódulo, então z é igual a:

a) i

3

22 + ou i

3

22 +−

b) i9

4 ou i

9

4−

c) i3

2 ou i

3

2−

d)3

2 ou

3

2−

Questão 35 (UNIMONTES / 2005)

A expressão2

45

)i1()i1()i1(

−

−−− é igual a:

a) 2b) i2

c) i2−

d) 2−

Questão 36 (PAES – 3ª etapa / 2006)O número i3z = , na forma de par ordenado,

é igual a:

a) (3, 0)b) (1, 3)c) (3, 1)d) (0, 3)

Questão 37 (PAES – 3 etapa / 2006)

O quociente5

5

)i1(

)i1(

+

− é igual ao número:

a) ib) i1+

c) i− d) i1−

Questão 38 (UNIMONTES / 2007)Os possíveis valores da expressão

n

n

i

1iA += , onde i é a unidade imaginária e

n ∈ IN, são:a) 2e0

b) ie0,i−

c) 2e0,i1± d) 2e0,2−


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GABARITOA →→→→ 9, 15, 16, 22, 30, 32B →→→→ 1, 3, 11, 19, 20, 21, 29C →→→→ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 23, 25, 34, 37D →→→→ 5, 7, 13, 18, 24, 27, 35, 36, 38

E→→→→

17, 26, 28, 31, 33

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