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1) Sejam 𝒛𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊; 𝒛𝟐 = 𝟒 − 𝒊; 𝒛𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊 e 𝒛𝟒 = 𝟐𝒊 calcule: a) 𝒛𝟏 + 𝒛𝟑
Temos que: 𝒛𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊 e 𝒛𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊, então:
𝒛𝟏 + 𝒛𝟑= 𝟒 + 𝟓𝒊 + −𝟑 − 𝟒𝒊
Lembrando as propriedades da adição: 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐 + 𝑑𝑖
= 𝑎 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑑 𝑖
Resposta:
4 + 5𝑖 + −3 − 4𝑖 = 4 + 5𝑖 − 3 − 4𝑖= 4 − 3 + 5 − 4 𝑖 = 𝟏 + 𝒊
by Renata Pinto
1) Sejam 𝒛𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊; 𝒛𝟐 = 𝟒 − 𝒊; 𝒛𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊 e 𝒛𝟒 = 𝟐𝒊 calcule: b) 𝒛𝟏 − 𝒛𝟒
Temos que: 𝒛𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊 e 𝒛𝟒 = 𝟐𝒊, então:
𝒛𝟏 − 𝒛𝟒= 𝟒 + 𝟓𝒊 − 𝟐𝒊
Lembrando as propriedades da subtração: 𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 − 𝑐 + 𝑏 − 𝑑 𝑖
Resposta:
4 + 5𝑖 − 2𝑖 = 4 − 5 − 2 𝑖 = 𝟒 − 𝟑𝒊
by Renata Pinto
1) Sejam 𝒛𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊; 𝒛𝟐 = 𝟒 − 𝒊; 𝒛𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊 e 𝒛𝟒 = 𝟐𝒊 calcule: c) 𝒛𝟐𝒛𝟑
Temos que: 𝒛𝟐 = 𝟒 − 𝒊 e 𝒛𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊, então:
𝒛𝟐𝒛𝟑 = 𝟒 − 𝒊 −𝟑 − 𝟒𝒊
Lembrando as propriedades da multiplicação: 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑𝑖²
= 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖
Resposta:
4 − 𝑖 −3 − 4𝑖 = −12 − 16𝑖 + 3𝑖 + 4𝑖2
= 12 − 4 + −16 + 3 𝑖 = −𝟏𝟔 − 𝟏𝟑𝒊
by Renata Pinto
1) Sejam 𝒛𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊; 𝒛𝟐 = 𝟒 − 𝒊; 𝒛𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊 e 𝒛𝟒 = 𝟐𝒊 calcule:
d) 𝒛𝟑
𝒛𝟏
Temos que: 𝒛𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊 e 𝒛𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊, então: 𝒛𝟑
𝒛𝟏 =
−𝟑−𝟒𝒊
𝟒+𝟓𝒊
Lembrando as propriedades da divisão: 𝑎 + 𝑏𝑖
𝑐 + 𝑑𝑖=
𝑎 + 𝑏𝑖
𝑐 + 𝑑𝑖×
𝑐 − 𝑑𝑖
𝑐 − 𝑑𝑖=
𝑎𝑐 − 𝑎𝑑𝑖 − 𝑏𝑐𝑖 − 𝑏𝑑𝑖²
𝑐² + 𝑑²𝑖²=
𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 + (𝑏𝑐 − 𝑎𝑑)𝑖
𝑐² + 𝑑²=
𝑎𝑐 + 𝑏𝑑
𝑐² + 𝑑²+
𝑏𝑑 − 𝑎𝑑
𝑐² + 𝑑²𝑖
Resposta: −3 − 4𝑖
4 + 5𝑖=
−3 − 4𝑖
4 + 5𝑖×
4 − 5𝑖
4 − 5𝑖=
−12 − 15𝑖 − 16𝑖 − 20𝑖²
4² + 5²𝑖²
=−12 − 20 + (−16 − 15)𝑖
16 + 25=
−𝟑𝟐 − 𝒊
𝟒𝟏
by Renata Pinto
1) Sejam 𝒛𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊; 𝒛𝟐 = 𝟒 − 𝒊; 𝒛𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊 e 𝒛𝟒 = 𝟐𝒊 calcule: e) 𝒛𝟏 − 𝒛𝟑
Temos que: 𝒛𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊 e 𝒛𝟑 = −𝟑− 𝟒𝒊, então:
𝒛𝟏 − 𝒛𝟑= 𝟒 + 𝟓𝒊 − −𝟑 − 𝟒𝒊
Lembrando as propriedades da subtração: 𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 − 𝑐 + 𝑏 − 𝑑 𝑖
Resposta:
4 + 5𝑖 − −3 − 4𝑖 = 4 + 3 + 5 + 4 𝑖 = 𝟕 + 𝟗𝒊
by Renata Pinto
Atenção à regra dos sinais
2) Demonstre as propriedades:
a) 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 = 𝒛𝟐 + 𝒛𝟏 Propriedade da adição - comutativa
b) 𝒛𝟏. 𝒛𝟐 = 𝒛𝟐. 𝒛𝟏 Propriedade da multiplicação - comutativa
c) 𝒛𝟏. 𝒛𝟐 + 𝒛𝟑 = 𝒛𝟏𝒛𝟐 + 𝒛𝟏𝒛𝟑 ∀ 𝒛𝟏, 𝒛𝟐, 𝒛𝟑 ∈ ∁ » Propriedade da
multiplicação - distributiva
d) 𝒛 + 𝒛 = 𝟐. 𝐚(𝐩𝐚𝐫𝐭𝐞 𝐫𝐞𝐚𝐥 𝐝𝐞 𝒛) 1ª Propriedade dos conjugados
𝒂 + 𝒃𝒊 + 𝒂 − 𝒃𝒊 = 𝒂 + 𝒂 + 𝒃𝒊 − 𝒃𝒊 = 𝟐𝒂
e) 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 = 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 3ª Propriedade dos conjugados
f) |𝒛𝟏 + 𝒛𝟐| ≤ |𝒛𝟐| + |𝒛𝟏| 3ª Propriedade dos módulos
by Renata Pinto
Resposta:
𝒛 = 𝒙² − 𝟑𝒚 ↔ 𝑧 = 2 + 3𝑖 2 − 3 1 − 𝑖
Usando as propriedades da multiplicação, vamos calcular 0 x² = 2 + 3𝑖 2
x² = 2 + 3𝑖 2 + 3𝑖 = 4 + 6𝑖 + 6𝑖 + 9𝑖² = 4 + 9 +6 + 6 𝑖 = −5 + 12𝑖, sendo, então: 𝑥² = −5 + 12𝑖,
substituindo na equação, teremos: 𝑧 = −5 + 12𝑖 − 3 1 − 𝑖 = −5 + 12𝑖 − 3 + 3𝑖 = −𝟖 + 𝟏𝟓𝒊
by Renata Pinto
3) Se 𝒙 = 𝟐 + 𝟑𝒊 e 𝒚 = 𝟏 − 𝒊, calcule 𝒛 = 𝒙² − 𝟑𝒚.
4) Se o complexo 𝒂 + 𝒃𝒊 é produto dos dois complexos 𝒛 = 𝟐 + 𝒊 e 𝒘 = 𝟑 − 𝟒𝒊, calcule o valor de 𝒂 − 𝒃.
Resposta:
O enunciado nos diz que:
𝒂 + 𝒃𝒊 = 𝒛 × 𝒘 ou 𝒂 + 𝒃𝒊 = 𝟐 + 𝒊 𝟑 − 𝟒𝒊 , aplicando a propriedade da multiplicação, teremos:
𝒂 + 𝒃𝒊 = 𝟐 + 𝒊 𝟑 − 𝟒𝒊 = 𝟔 − 𝟖𝒊 + 𝟑𝒊 − 𝟒𝒊2 = 𝟔 + 𝟒 +𝟑 − 𝟖 𝒊 = 𝟏𝟎 − 𝟓𝒊, ou seja, 𝒂 + 𝒃𝒊 = 𝟏𝟎 − 𝟓𝒊, onde:
𝒂 = 𝟏𝟎 e 𝒃 = −𝟓
O enunciado pede o valor de 𝒂 − 𝒃, isto é: 𝒂 − 𝒃 = 𝟏𝟎 − −𝟓 = 𝟏𝟎 + 𝟓 = 𝟏𝟓
by Renata Pinto
5) Calcule o valor de:
a) 𝒊𝟏𝟕𝟗 Resposta:
179: 4 = 44 𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝟑. Então:
𝑖179 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑖3 𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜𝑠 𝑙𝑒𝑣𝑎 a −𝑖.
𝑖179= 𝑖3 = −𝒊
by Renata Pinto
Basta dividirmos o expoente por 4 e usarmos o resto como referencia.
Colinha:
𝑖 = −1 𝑖² = −1 𝑖³ = −𝑖 𝑖4 = 1
5) Calcule o valor de:
b) 𝒊𝟗𝟕+𝒊𝟗𝟖
𝒊
Resposta:
97: 4 = 24, 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝟏 𝑒 98: 4 = 24, 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝟐. Então, aplicando a propriedade da divisão, teremos:
𝒊 + 𝒊𝟐
𝒊=
𝒊 + 𝒊𝟐
𝒊×
𝒊
𝒊=
𝒊𝟐 + 𝒊𝟑
𝒊𝟐=
−𝟏 − 𝒊
−𝟏= 𝟏 + 𝒊
by Renata Pinto
Colinha:
𝑖 = −1 𝑖² = −1 𝑖³ = −𝑖 𝑖4 = 1
Teremos, assim: 𝒂 + 𝒃𝒊 = 𝟑 + 𝟐𝒊 = 𝒛
Com isso:
𝒛 = 𝟑𝟐 + 𝟐𝟐
𝒛 = 𝟗 + 𝟒
𝒛 = 𝟏𝟑
Resposta:
Assim:
𝒛 𝒛 + 𝒛 = 𝟏𝟖 + 𝟏𝟐𝒊, corresponde a:
𝑎 + 𝑏𝑖(2𝑎) = 18 + 12𝑖 2𝑎² + 2𝑎𝑏𝑖 = 18 + 12𝑖 Parte real Parte real
P. Imaginária P. Imaginária
by Renata Pinto
6) Calcule |z| sabendo que 𝒛 𝒛 + 𝒛 = 𝟏𝟖 + 𝟏𝟐𝒊.
Sabemos que 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 e que 𝒛 = 𝒂 − 𝒃𝒊 Pelas propriedades dos conjugados, temos: 1)𝑧 + 𝑧 = 2𝑎(𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑧)
Igualando as partes: Parte Real: 2𝑎² = 18 ≫ 𝒂 = 𝟑 Parte Imaginária: 2𝑎𝑏𝑖 = 12𝑖, substituindo a:
2.3𝑏𝑖 = 12𝑖 ≫ 6𝑏𝑖 = 12𝑖 ≫ 𝒃 = 𝟐
7) Determinar 𝒙 ∈ 𝑹 de modo que (𝟒 + 𝟑𝒊)(𝒙 − 𝟔𝒊)seja imaginário puro.
Aplicamos as propriedades da multiplicação: 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑𝑖²
= 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖
Resposta: 4 + 3𝑖 𝑥 − 6𝑖 = 4𝑥 − 20𝑖 + 3𝑥𝑖 − 18𝑖2
= 4𝑥 + 18 + −20 + 3𝑥 𝑖
Parte Real Parte Imaginária
Devemos encontrar um x para que a parte real seja zero. Então:
𝟒𝒙 + 𝟏𝟖 = 𝟎 → 𝒙 = −𝟏𝟖
𝟒→ 𝒙 = −
𝟗
𝟐
by Renata Pinto
O enunciado pede que o resultado seja um “imaginário puro”, para isso devemos fazer
com que a parte real seja igual a zero.
Lembrando que no exercício 1:
𝒛𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊; 𝒛𝟐 = 𝟒 − 𝒊; 𝒛𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊 e 𝒛𝟒 = 𝟐𝒊
by Renata Pinto
8) Represente graficamente: 𝒛𝟓 =𝟏−𝒊
𝟐; 𝒛𝟔 = 𝟐 − 𝟑𝒊;
𝒛− = 𝒛𝟔−𝟏 e 𝒛𝟏, 𝒛𝟐, 𝒛𝟑, 𝒛𝟒 do exercício 1.
Continuando... Para representarmos: 𝒛− = 𝒛𝟔
−𝟏, devemos observar que:
𝒛− = (𝟐 − 𝟑𝒊)−𝟏 temos que, o inverso de um Número Complexo é:
𝒛− =𝟏
𝟐 − 𝟑𝒊=
𝟏
𝟐 − 𝟑𝒊×
𝟐 + 𝟑𝒊
𝟐 + 𝟑𝒊=
𝟐 + 𝟑𝒊
𝟒 − 𝟗𝒊²=
𝟐 + 𝟑𝒊
𝟒 − 𝟗(−𝟏)=
𝟐 + 𝟑𝒊
𝟏𝟑
Graficamente, teremos:
by Renata Pinto
𝑧−1 =1
𝑧=
1
𝑎 + 𝑏𝑖=
1
𝑎 + 𝑏𝑖×
𝑎 − 𝑏𝑖
𝑎 − 𝑏𝑖=
𝑎 − 𝑏𝑖
𝑎² − 𝑏2𝑖²=
𝑎 − 𝑏𝑖
𝑎² − 𝑏2(−1)=
𝑎 − 𝑏𝑖
𝑎² + 𝑏²
𝑎)|𝒁| = 2 𝑏)|𝒁| ≤ 5 𝑐)|𝒁| > 3 𝑑) 𝟑 < |𝒁| < 5
by Renata Pinto
9) Represente o conjunto de números complexos que são soluções da equação (graficamente):
Sabendo que a correspondência entre Complexo na forma de Par Ordenado (um ponto de um gráfico) e a Forma Algébrica é:
𝒛 𝒂, 𝒃 = 𝒂 + 𝒃𝒊 𝒛 −𝟐,−𝟏 = −𝟐 − 𝒊
Temos: 𝑧 − 𝑧0 = 4 𝑧 − −2 − 𝑖 = 4 𝒛 + 𝟐 + 𝒊 = 𝟒
by Renata Pinto
10) Encontre a equação ou uma equação para um círculo de raio 4 com centro (-2,-1) em função dos complexos.