ATUALIZAÇÃO DE FORMULAÇÃO PARA CÁLCULO DA … · ATUALIZAÇÃO DE FORMULAÇÃO PARA CÁLCULO DA FREQUÊNCIA NATURAL DE VIBRAÇÃO DA VIGA NAVIO Guilherme Romar Borzacchiello

ATUALIZAÇÃO DE FORMULAÇÃO PARA CÁLCULO DA FREQUÊNCIA NATURAL DE VIBRAÇÃO

DA VIGA NAVIO

Guilherme Romar Borzacchiello

Projeto de Graduação apresentado ao curso de

Engenharia Naval e Oceânica da Escola Politécnica,

Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte

dos requisitos necessários à obtenção do título de

Engenheira Naval e Oceânico.

Orientador: Carl Horst Albrecht

Rio de Janeiro Fevereiro de 2017

ATUALIZAÇÃO DA FORMULAÇÂO PARA CÁLCULO DA FREQUÊNCIA NATURAL DE VIBRAÇÃO DA

VIGA NAVIO


PROJETO DE CONCLUSÃO DE CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA NAVAL E OCEÂNICA

APRESENTADO AO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA NAVAL E OCEÂNICA DA ESCOLA

POLITÉCNICA, UFRJ, COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS À OBTENÇÃO DO TÍTULO DE

BACHAREL EM ENGENHEIRA NAVAL E OCEÂNICA.

Examinada por:

________________________________________________

Prof. Carl Horst Albrecht, D.Sc.

________________________________________________

Prof. Severino Fonseca da Silva Neto, D. Sc.

________________________________________________

Eng.ª Flavia da Silva, M. Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

FEVEREIRO DE 2017

iii

Romar Borzacchiello, Guilherme

Atualização de formulação para cálculo da frequência

natural de vibração da viga navio / Guilherme Romar

Borzacchiello. – Rio de Janeiro: UFRJ, 2017.

X, 29 p.: il.; 29,7 cm.


Projeto de Graduação – UFRJ/ POLI/ Engenharia Naval e

Oceânica, 2017.

Referências Bibliográficas: p. 29.

1. Vibração de navios. 2. Kumai. 3. Severino.

I. Horst Albrecht, Carl. II. Universidade Federal do Rio de

Janeiro, Escola Politécnica, Engenharia Naval e Oceânica. III.

Atualização de formulação para cálculo da frequência

natural de vibração da viga navio.

iv

v

AGRADECIMENTOS

Aos meus pais, Armando e Elisabeth, que me ensinaram o valor da educação e sempre

lutaram para me dar uma boa formação. Sem vocês nada disso seria possível.

Aos meus padrinhos, José e Emília, por serem os maiores incentivadores dos meus

estudos, sempre me apoiando e aconselhando.

Ao Prof. Carl, por ter-me como orientado e por ser um excelente professor. Obrigado

por toda a confiança passada e pela orientação não só nesse projeto como também na vida

acadêmica.

Ao Prof. Severino, pela ajuda com o projeto, sempre disponível para tirar minhas

dúvidas, e pelas aulas incríveis ao longo do curso.

Aos demais professores do curso de Engenharia Naval e Oceânica, por todo o

conhecimento passado ao longo desses anos. Obrigado até mesmo pela cobrança, essencial para

o crescimento pessoal em alguns momentos.

Aos funcionários do Departamento de Engenharia Naval e Oceânica, por serem sempre

solícitos e dispostos a resolverem os mais diversos problemas.

Aos meus amigos de colégio, de faculdade e de intercâmbio, por estarem sempre por

perto, independente da distância geográfica, e pelos momentos de descontração. Vocês me

proporcionaram anos incríveis, mesmo com toda a tensão da graduação. Não há palavras para

exprimir a importância de vocês na minha vida.

A Newcastle University, por ter me acolhido durante o ano de intercâmbio e contribuído

para a minha formação. Um agradecimento também aos cidadãos de Newcastle upon Tyne pela

hospitalidade durante esse período.

À UFRJ, por ter ampliado a minha visão de mundo e pelas diversas oportunidades

apresentadas. Mesmo com suas dificuldades, a instituição mantém um ensino de excelência.

Sou grato pela oportunidade de estudar nessa universidade.

vi

Resumo do Projeto de Conclusão de Curso apresentado ao Departamento de Engenharia Naval

e Oceânica da Escola Politécnica, UFRJ, como parte dos requisitos necessários para a obtenção

do grau de Bacharel em Engenharia Naval e Oceânica.

ATUALIZAÇÃO DE FORMULAÇÃO PARA CÁLCULO DA FREQUÊNCIA

NATURAL DE VIBRAÇÃO DA VIGA NAVIO


Fevereiro/2017


Programa: Engenharia Naval e Oceânica

O trabalho tem como objetivo atualizar a fórmula de Kumai para cálculo da frequência natural

de vibração do navio, avaliando o desvio da formulação original e dessa nova formulação em

relação a dados obtidos experimentalmente. Inicialmente verifica-se a pertinência da fórmula

de Kumai. Em seguida, é testada uma alteração da fórmula original e, posteriormente, propõe-

se um fator de correção para os momentos de inércia calculados das embarcações de modo a

minimizar o erro quadrático médio. Com o fator de correção calculado, a formulação é testada

para variações do coeficiente de área de aço efetiva no cisalhamento. Ao fim, são comparados

os resultados das diferentes fórmulas com os dados experimentais.

vii

Abstract of the Course Conclusion Project presented to the Department of Naval and Oceanic

Engineering of the Polytechnic School as a partial fulfillment of the requirements for the degree

of Bachelor in Naval and Oceanic Engineering (B.Sc.)

UPDATE OF FORMULATION FOR CALCULATING THE NATURAL

FREQUENCY OF VIBRATION OF THE SHIP

February/2017

Advisors: Carl Horst Albrecht

Department: Naval and Oceanic Engineering

The objective of this work is to update the Kumai’s formula for calculating the natural vibration

frequency of the vessel, evaluating the deviation of the original formulation and the new

formulation in relation to data obtained experimentally. Initially we verify the relevance of the

Kumai’s formula. Then, a modification of the original formula is tested and, later, it is proposed

a correction factor for the vessels calculated moments of inertia in order to minimize the

average quadratic error. With the calculated correction factor, the formulation is tested for

variations of the effective steel area coefficient in the shear. Lastly, there is a comparison

between the results of the different formulas and the experimental data.

viii

Sumário

Introdução ..................................................................................................................................... 1

Objetivo ......................................................................................................................................... 3

Revisão bibliográfica ..................................................................................................................... 4

Conceitos relevantes ..................................................................................................................... 5

Vibração .................................................................................................................................... 5

Vibração de Sistemas Discretos ............................................................................................ 5

Vibração da Viga-Navio ......................................................................................................... 5

Frequência Natural de Vibração e Ressonância .................................................................... 6

Massa adicional ......................................................................................................................... 7

Área efetiva ao cisalhamento .................................................................................................. 11

Fórmula de Kumai ................................................................................................................... 13

Objetos de estudo ....................................................................................................................... 15

Tabela de navios e módulos de vibração ................................................................................ 15

Análises numéricas ...................................................................................................................... 17

Kumai....................................................................................................................................... 17

Fórmula proposta por Severino .............................................................................................. 17

Proposta de nova formulação ..................................................................................................... 19

Variação do coeficiente de aço da seção mestra (k’) .................................................................. 20

Ajuste do fator de inércia (F’) com variação do coeficiente de aço da seção mestra ................ 22

Análise dos Resultados ................................................................................................................ 26

Conclusão e Trabalhos Futuros ................................................................................................... 28

Bibliografia .................................................................................................................................. 29

ix

Sumário de Figuras

Figura 1 - Massa Adicional ............................................................................................................. 7

Figura 2 - Valores de CV para cálculo de massa virtual vertical .................................................. 10

Figura 3 - Valores de CH para cálculo de massa virtual horizontal ............................................. 10

Figura 4 - Navios previamente explorados em outros trabalhos ................................................ 15

Figura 5 - erro conforme variação do coeficiente de aço da seção mestra ................................ 21

Figura 6 - erros percentuais em relação à frequência natural .................................................... 27

Sumário de Tabelas

Tabela 1 - Navios e frequência natural de vibração .................................................................... 15

Tabela 2 - Dados dos navios ........................................................................................................ 16

Tabela 3 - Dados dos navios ........................................................................................................ 16

Tabela 4 - Estimativa do primeiro modo de vibração pela fórmula de Kumai ............................ 17

Tabela 5 - Estimativa do primeiro modo de vibração pela fórmula proposta por Severino ....... 17

Tabela 6 - Estimativa de primeiro modo de vibração pela nova formulação ............................. 19

Tabela 7 - Valores fixos ............................................................................................................... 20

Tabela 8 - Estimativa de primeiro modo de vibração para k'=5% ............................................... 20

Tabela 9 - Estimativa de primeiro modo de vibração para k'=10% ............................................. 20

Tabela 10- Estimativa de primeiro modo de vibração para k'=20% ........................................... 20



Tabela 13 - valores otimizados para o primeiro modo de vibração e F'Ism para k'=5% ............. 22

Tabela 14 - valores otimizados para o primeiro modo de vibração e F'Ism para k'=10% ........... 22




Tabela 18 - valores otimizados para F'Ism conforme k' .............................................................. 24

Tabela 19 - Módulo de seção ideal ............................................................................................. 25

Tabela 20 - Comparação entre as formulações .......................................................................... 26

Tabela 21 - Erro absoluto para cada formulação ........................................................................ 26

Tabela 22 - Erro percentual para cada formulação ..................................................................... 26

x

1

Introdução A análise de vibrações de navios é uma área de grande importância para a Engenharia

Naval, pois a presença de vibrações excessivas pode destruir o mérito do projeto de um navio.

O fenômeno da vibração ocorre em todas as embarcações, independentemente das

características, aplicação e do ambiente de atuação. Por se tratar de uma resposta dinâmica a

diversos modos de perturbação, de maior ou menor intensidade, o navio apresenta maneiras

distintas de vibração.

Há o risco de que vibrações em níveis muito elevados comprometam o conforto dos

passageiros, a operacionalidade e a integridade da embarcação. Além disso, deve-se atentar

também para o fenômeno da ressonância, que ocorre sempre que a frequência da força externa

atuante coincide com a frequência natural de vibração de um equipamento ou sistema. Isso

causa um aumento na amplitude do movimento e pode acarretar em falhas estruturais.

Existe ainda a questão da fadiga provocada por este fenômeno dinâmico, que pode

causar avarias frequentes de vários sistemas e equipamentos do navio ou até mesmo o colapso

estrutural (especialmente nos casos de ressonância).

Essas frequências de ressonância são sensíveis à rigidez do casco, que depende do

material e de sua complexa geometria, e à inércia, que depende da distribuição da massa a

bordo e da influência do meio fluido adjacente ao casco. Durante a prova de mar de navios ou

após reformas ou reparos são geralmente realizadas medições de vibração a bordo para verificar

se os níveis apresentados são admissíveis segundo critérios consagrados e para identificar suas

primeiras frequências naturais de vibração.

De forma a entender melhor esse fenômeno, análises de vibração de navio comumente

são realizadas a partir de modelos uni ou tridimensionais de embarcações. Em trabalhos

acadêmicos é mais prático o desenvolvimento de modelos unidimensionais de elementos finitos

devido às suas simplicidade e confiabilidade. Esta modelação é capaz de descrever o navio a

partir das propriedades mecânicas de seções do navio.

Assim, o ideal é que o estudo de vibrações seja realizado ainda na fase de projeto de

forma que possa evitar que o navio atinja condições de ressonância. No entanto, nesta fase de

projeto pouca informação está definida, e as mudanças no objeto de projeto são comuns de

acontecer. Por este motivo é necessário poder-se fazer uma boa estimativa das frequências

naturais de vibração do navio mesmo sem ter uma definição completa do caso, ou com pouca

informação. A predição das frequências naturais de vibração de cascos de navios permite que

condições de ressonância sejam evitadas durante operação.

Dito isso, sabemos que há formas aproximadas de se predizer a frequência natural para

o primeiro modo de vibração, como é o caso da fórmula de Kumai, a qual leva em consideração

o deslocamento do navio, seu comprimento e o momento de inércia. E também temos dados

obtidos experimentalmente para os modos de vibração de alguns navios, o que nos permite

explorar um pouco mais o problema. Assim, foi proposta uma modificação da fórmula de Kumai.

2

O problema aqui é que essa formulação se baseia, dentre outros dados, em momentos

de inércia e em áreas de seção-mestra apenas. Isso não condiz com a realidade já que a seção

do navio varia ao longo de seu comprimento, o que altera essas propriedades.

Assim, o que se propõe é adicionarmos um fator de correção ao momento de inércia do

navio. Dessa forma esperamos que os resultados obtidos através da fórmula se encontrem mais

próximos dos resultados experimentais.

3

Objetivo No presente trabalho, diferente de outros na área, não trabalharemos com um modelo

tridimensional nem unidimensional de elementos finitos das embarcações. Utilizaremos dados

que podem ser obtidos ainda na fase de projeto para predizer as frequências naturais de

vibração através de uma fórmula modificada. Dessa forma, desejamos minimizar o erro no

cálculo para o primeiro modo de vibração de navios petroleiros.

A proposta avaliada é a introdução de um fator de correção ao momento de inércia

equivalente do navio de forma a minimizar o erro encontrado entre os valores experimentais,

medidos em prova de mar, e os valores preditos pela fórmula proposta.

4

Revisão bibliográfica Marcelo Cadena (2011) [1] calcula a área efetiva no cisalhamento de seções das

principais cavernas de um navio e investiga sua influência na frequência natural de vibração do

casco, com a representação do casco por um modelo unidimensional, representando sua rigidez

e sua massa. Por fim, compara os resultados de vibração desse modelo com valores obtidos para

modelos gerados por estimativas e também com resultados experimentais.

Felipe Felix (2012) [2] verifica a influência da área efetiva no cisalhamento do casco de

um petroleiro em suas frequências naturais de vibração livre, com a representação do casco por

um modelo unidimensional, quantificando sua rigidez e sua massa. Foram analisados três

modelos computacionais de uma determinada embarcação e depois foram comparados os

resultados obtidos com as medições realizadas em provas de mar. A diferença entre os modelos

criados se deu na distribuição das seções ao longo da embarcação. O primeiro modelo era de

seção (seção mestra) constante por todo o comprimento do navio. O segundo modelo possuía

três seções (seção mestra, uma de proa e uma de popa) como base para melhorar a distribuição

do restante das seções fazendo se assemelhar à forma do navio; e o terceiro modelo baseava-

se em 5 seções (seção mestra, duas de proa e duas de popa). Felix mostrou que é possível obter

uma boa aproximação dos módulos de vibração de um navio a partir da modelagem de 3 seções

ao longo de seu comprimento.

Flávia da Silva (2014) [3] verifica a pertinência da modelação de cascos de navios como

vigas unidimensionais. Flavia compara as frequências naturais de um modelo 1D de um

petroleiro em relação a um modelo 3D da mesma embarcação, analisando seus desvios em

função da área efetiva de aço resistente. Em seguida realiza um estudo sobre o cálculo das

frequências naturais do modelo 1D para o casco de um porta-contentor, suscetível à torção

acoplada com flexão horizontal, cuja vibração foi comparada à apresentada na prova de mar.

Amanda Zebulum (2015) [4] buscou um modelo unidimensional de seção constante por

todo o comprimento do navio de modo a poupar tempo e gerar valores tão próximos do real

quanto os modelos definidos por mais seções. Para isso, variou a porcentagem da massa

adicional em relação ao deslocamento total da embarcação. Amanda encontrou valores que

forneciam resultados mais próximos ao modelo mais bem definido já existente para o segundo,

terceiro, quarto e quinto modos de vibração.

5

Conceitos relevantes

Vibração

Vibração de Sistemas Discretos

O sistema discreto de equações diferenciais de equilíbrio dinâmico é expresso como:

[𝑀]{�̈�} + [𝐶]{�̇�} + [𝐾]{𝑢} = {𝑓(𝑡)} (1)

Onde [M] representa matriz de massa, [C] matriz de amortecimento e [K] matriz de

rigidez, {u}, {�̇�} e {�̈�}, respectivamente, os vetores de deslocamentos, velocidades e acelerações

dos graus de liberdade do sistema.

Os maiores danos em sistemas mecânicos são geralmente causados por condições de

ressonância, que ocorrem quando a frequência da força de excitação está próxima à frequência

natural ω (rad/s) da estrutura. No estudo de vibrações livres não amortecidas, considera-se

[C]=[0] e {f(t)}={0} e se propõe a solução:

{𝑢} = {𝛷}𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) (2)

Onde {𝜱} e ω² representam, respectivamente, o autovetor (modos de vibração) e o

autovalor da equação de vibrações livres:

[𝐾]{𝛷} = 𝜔2[𝑀]{𝛷} (3)

Tanto para a solução do problema de autovalor, quanto para o cálculo do problema

completo de vibração forçada, no domínio do tempo ou da frequência, é fundamental a

representação correta de rigidez, massa estrutural, massa do fluido adjacente e, principalmente,

amortecimento e força, geralmente obtidos de através de medições em escala real.

Existem métodos de solução diretos e métodos iterativos, que dependendo do número

de graus de liberdade podem ser utilizados eficientemente. Os procedimentos diretos

demonstram ser eficientes até graus de liberdade que não sejam muito grandes porque o

esforço computacional que implica a solução de sistemas muito grandes faz que o programa

fique muito lento e por tanto inviável quando um sistema complexo é analisado. Os métodos

iterativos são mais práticos para resolver sistemas grandes e com um grau de exatidão

adequado. Esses procedimentos foram desenvolvidos para encontrar os primeiros autovalores

e autovetores de um sistema.

Vibração da Viga-Navio

Um sistema é dito contínuo quando sua rigidez e massa são distribuídas continuamente,

como é o caso da viga-navio. E, como vimos anteriormente, a resposta à vibração de um dado

sistema depende da intensidade das forças de excitação e das características de inércia,

amortecimento e rigidez do mesmo. As vibrações sofridas por este sistema podem ser

classificadas em torcionais, longitudinais e laterais (horizontais e verticais). Elas são geradas pela

ação de forças dinâmicas (variantes no tempo) agindo nos elementos estruturais locais e casco

do navio.

6

Os fenômenos de vibração do navio ocorrem sempre que existem forças dinâmicas, isto

é, forças que variam ao longo do tempo, atuando no casco e seus respectivos apêndices e/ou

em determinado elementos estruturais do navio. Estas forças podem ter origem externa ou

interna. As forças externas são devido ao movimento do navio na água em determinada

condição de mar e as internas são principalmente causadas pelo propulsor e motores (pelas

explosões dos gases nos cilindros e pelos movimentos de peças).

Dessa forma, identifica-se a vibração no navio de duas maneiras: vibração na viga-navio

em que a embarcação é considerada uma viga e a vibração local, em uma parte específica da

estrutura da embarcação (superestrutura, praça de máquinas, etc.), esta ocorre em frequências

superiores às da primeira.

Na vibração viga-navio, considera-se o navio inteiro simplificado em uma viga, onde

identificam-se três tipos importantes de vibração: a vibração lateral da estrutura (vertical e

horizontal), a vibração torcional e a vibração longitudinal da viga-navio.

Frequência Natural de Vibração e Ressonância

A frequência natural de um sistema pode ser definida como a frequência na qual ele

“gosta” de vibrar e é uma característica particular do sistema. Ressonância é o fenômeno que

acontece quando um sistema físico recebe energia por meio de excitações de frequência igual a

uma de suas frequências naturais de vibração. Assim, este passa a vibrar com amplitudes cada

vez maiores.

Das vibrações laterais horizontal e vertical, a última é geralmente a mais crítica. Isso

ocorre porque a rigidez horizontal do casco, assim como suas frequências naturais de vibração,

são maiores do que a vertical, e por isso mais difícil de serem atingidas. Dessa forma, vibrações

verticais exigem maior atenção devido às suas baixas frequências naturais, mais próximas dos

momentos de excitação de primeira e segunda ordens do motor principal.

Assim, a determinação das frequências naturais da viga-navio é de extrema importância,

especialmente para os navios equipados com motores Diesel (aproximadamente 97% da frota

mercante mundial) de grandes dimensões. Estas máquinas produzem forças e momentos

externos de primeira e segunda ordem que, quando coincidentes com as de ressonância, podem

provocar sérios problemas de vibração e níveis de tensões muito elevados, para além do

desconforto para a tripulação.

Quando submetido às frequências naturais, pouco se pode fazer de forma a modificar

tais frequências, uma vez que isso implicaria uma alteração da rigidez da estrutura primária do

navio e de suas condições de carregamento. Deste modo, fica evidente a importância de se

estimar as frequências naturais da viga-navio e do sistema propulsor que se pretende instalar,

ainda na fase de projeto. E é exatamente nesse ponto que o presente projeto visa atuar. [5]

7

Massa adicional

Toda vez que uma aceleração é imposta a um fluido, forças adicionais irão atuar nas

superfícies em contato com o fluido. O fenômeno de massa adicional surge quando há

movimento acelerado de um corpo parcialmente ou totalmente imerso em um meio fluido. Este

fenômeno proporciona um efeito de aumento, soma, de massa ao corpo, o que acarreta

consequentemente em um aumento da inércia do mesmo. Desta forma, deve ser considerada

uma parcela referente à mudança da energia cinética associada ao movimento das partículas do

fluido circundante ao corpo.

Para obter a energia total de um sistema composto por uma embarcação oscilando em

um meio fluido é apresentada a equação abaixo, onde a segunda parcela desta equação é

atribuída à energia cinética do movimento das partículas do fluido (𝑖):

𝐸𝐶 =𝑚𝑣2

2+

1

2∑ 𝑚𝑖𝑣𝑖 (4)

Esquematicamente falando tem-se a seguinte situação:

Figura 1 - Massa Adicional

A parte do fluido próxima a região do casco move-se com a mesma velocidade e

aceleração da embarcação, portanto a equação da energia pode ser reescrita simplificando as

parcelas pertencentes a contribuição do movimento deste fluido:

𝐸𝐶 =𝑚𝑣2

2+

𝑚′𝑣2

2=

1

2(𝑚 + 𝑚′)𝑣2 (5)

Onde:

𝑚′ = ∑ 𝑚𝑖 = 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 𝐴𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 (6)

É bastante consistente supor que para cada seção em movimento vertical, a massa

adicional associada vai depender da sua área e do seu contorno na direção do movimento, este

8

contorno pode ser considerado através de uma simples relação – boca/calado. Esta relação pode

ser verificada abaixo:

𝑚′ =1

2𝜌𝐴

𝐵

𝑇 (7)

Sendo:

A – Área da Seção;

B – Boca;

T – Calado.

A equação acima se ajusta melhor para embarcações com seções circulares e tem como

resultado uma aproximação razoável dependendo do formato de sua seção. Para um cálculo

aplicado a um conjunto de formas mais geral pode-se utilizar a equação abaixo:

𝑚′ = ∫1

2𝜌𝐴(𝑥)

𝐵(𝑥)

𝑇(𝑥)𝑑𝑥

1

0

(8)

Onde os valores referentes à área, boca e calado são referentes a cada seção específica

e por isso podem variar de uma seção para outra, tornando o cálculo mais próximo da verdadeira

forma apresentada.

Alguns autores propuseram diferentes equações para o cálculo da massa adicional e

serão apresentadas a seguir.

Os métodos de Burril, Todd e Kumai são empíricos e fornecem resultados aproximados.

Enquanto Landweber [6], através da transformação conforme, desenvolveu um método que

apresenta resultados mais confiáveis.

Burril

𝑚′ = 𝑚 (1 +𝐵

2𝑇) (9)

Todd

𝑚′ = 𝑚 (1,2 +𝐵

2𝑇) (10)

Kumai

𝑚′ = 𝑚 [1 + 0,4𝐵

𝑇− 0,035 (

𝐵

𝑇)

2

] (11)

Sendo:

𝑚′ - massa adicional;

𝑚 – deslocamento;

9

Landweber

Este método é baseado em Lewis [7], em que considera os resultados de massa adicional

de uma seção circular semi-submersa, e determina os resultados para as seções típicas do navio

através do método da transformação conforme. É determinada a transformação conforme e o

escoamento em torno desta seção circular é transformado para o escoamento em torno da

seção obtida, de forma que possa ser calculada a energia cinética referente ao escoamento em

torno da seção do navio, apresentando os coeficientes para cálculo de massa adicional

horizontal e vertical graficamente, em função da boca, calado e área imersa da seção.

Supõe-se uma transformação do plano z(x,y), para obtenção das coordenadas da seção

em função da seção cilíndricas, de maneira que:

𝑧′(𝑥′, 𝑦′) = 𝑧(𝑥, 𝑦) +𝑎

𝑧(𝑥, 𝑦)+

𝑏

𝑧(𝑥, 𝑦) (12)

Os coeficientes a e b se calibrados corretamente podem fornecer seções semelhantes à

de navios. Landweber conseguiu reproduzir resultados bastante satisfatórios plotando curvas

referentes ao coeficiente de massa virtual vertical (CV) e horizontal (CH) em função de 𝜎 𝑒 𝜆, de

maneira que:

CV é o coeficiente para o cálculo da massa adicional vertical;

CH é o coeficiente para o cálculo da massa adicional horizontal;

λ =𝑇

𝐵/2; σ =

S

BT (13)

A partir dos coeficientes CV e CH, a massa adicional por unidade de comprimento pode

ser calculada da seguinte maneira:

𝑚𝑣′ =

1

2𝜋𝜌 (

𝐵

2)

2

𝐶𝑉 (14)

𝑚ℎ′ =

1

2𝜋𝜌𝑇2𝐶𝐻 (15)

Sendo ρ a massa específica do fluido, e os coeficientes CV e CH retirados dos gráficos

abaixo:

10

Figura 2 - Valores de CV para cálculo de massa virtual vertical

Figura 3 - Valores de CH para cálculo de massa virtual horizontal

Nos métodos simplificadores mencionados acima, o escoamento é considerado

bidimensional. Quando uma seção do navio se movimenta verticalmente, parte do fluido pode

se deslocar na direção axial que tende a diminuir a velocidade vertical do fluido. Desta forma,

essa simplificação de escoamento bidimensional superestima a velocidade.

11

Área efetiva ao cisalhamento

Como as seções do navio podem ser consideradas como seções de paredes finas, suas

propriedades devem ser obtidas através da Teoria do Fluxo de Tensões Cisalhantes em Seções

de Paredes Finas, cujos fundamentos são baseados na teoria apresentada de forma rápida e

conclusiva a seguir.

São consideradas as seguintes hipóteses:

A espessura do material é considerada pequena se comparada com as demais

dimensões da seção;

As tensões cisalhantes distribuem-se uniformemente pela espessura da parede;

O material é linear e isotrópico;

Para uma seção plana qualquer o fluxo cisalhante em um ponto S da seção é

determinado por:

𝑞𝑠 = −𝑆�̅�

𝐼𝑦𝑦(∫ 𝑡𝑧̅𝑑𝑠

𝑆

0

+ ∑ 𝑏𝑧̅) −𝑆𝑦̅̅ ̅

𝐼𝑧𝑧(∫ 𝑡�̅�𝑑𝑠

𝑆

0

+ ∑ 𝑏�̅�) + 𝑞0 (16)

Sendo

𝑆𝑦̅̅ ̅ =

𝑆𝑦 − 𝑆𝑧𝐼𝑦𝑧

𝐼𝑦𝑦

1 −𝐼𝑦𝑧

2

𝐼𝑦𝑦𝐼𝑧𝑧

; 𝑆�̅� =𝑆𝑧 − 𝑆𝑦

𝐼𝑦𝑧

𝐼𝑧𝑧

1 −𝐼𝑦𝑧

2

𝐼𝑦𝑦𝐼𝑧𝑧

(17)

Onde,

𝑆𝑦 - Força cortante aplicada na direção y;

𝑆𝑧 - Força cortante aplicada na direção z;

�̅�, 𝑧̅ - Coordenadas relativas ao centróide da área da seção;

𝐼𝑦𝑦, 𝐼𝑧𝑧 - Momentos de Inércia de área centroidal;

𝐼𝑦𝑧 - Momento de Inércia de área centroidal;

𝑡 - Espessura das paredes;

𝑏 - Área de reforço que absorve tensões normais, mas não tensões cisalhantes;

𝑞0 - Fluxo de tensão cisalhante no ponto inicial 0.

Com 𝑞𝑠 definido torna-se necessário escrever uma equação para a área efetiva ao

cisalhamento, 𝐾’𝐴 , em função do fluxo cisalhante. De acordo com a teoria elementar de flexão

de vigas assume-se que a inclinação da elástica devido a uma forca cortante 𝑉 seja dada por:

𝑑𝑤

𝑑𝑥=

𝑉

𝐾′𝐴𝐺 (18)

12

Onde:

G - Módulo de elasticidade transversal do material

𝐾′𝐴𝐺 - Termo conhecido como “rigidez ao cisalhamento”.

A partir do Princípio do Valor Estacionário da Energia Complementar Total do Sistema

Elástico pode-se escrever que:

𝑑𝑤

𝑑𝑥= ∫ 𝜏∗𝜆𝑡𝑑𝑠

𝑆

(19)

Onde,

𝜏∗- Tensão cisalhante por unidade de força cortante num ponto arbitrário da seção;

Definindo:

𝑞∗ = 𝜏∗𝑡 (20)

𝜆 =𝑞

𝐺𝑡 (21)

Se o sistema elástico é linear, 𝑞 = 𝑉𝑞∗, logo:

𝑑𝑤

𝑑𝑥=

𝑉

𝐺∫

𝑞∗2

𝑡𝑑𝑠

𝑆

(22)

Por fim, igualando as equações, temos:

𝐾′𝐴 =1

∫𝑞∗2

𝑡𝑑𝑠

𝑆

(23)

A determinação de 𝑞∗ deve ser feita para a força cortante unitária na direção relevante

em questão.

No método proposto as paredes da seção são compostas por elementos retilíneos, o

que subestima a área efetiva ao cisalhamento em aproximadamente 1%. Mas, o uso destes

elementos retilíneos justifica-se pela maior facilidade na solução das integrais.

13

Fórmula de Kumai

Existem fórmulas semi-empíricas que envolvem apenas uns poucos parâmetros

principais. Essas fórmulas preveem a menor frequência natural com precisão suficiente para

avaliações preliminares. Uma dessas é a fórmula de Kumai:

𝑁2𝑉 = 1,62 ∗ 106√𝐼𝑉

∆𝑖𝐿3 (𝐻𝑧) (24)

Onde

𝐼𝑉 → Momento de inércia (𝑚4)

𝐿 → Comprimento entre perpendiculares (m)

∆𝑖= (1,2 +1

3∗

𝐵

𝑇𝑀) ∆ → Deslocamento incluindo a massa virtual de água adicionada (kg)

𝐵 → Boca a meia nau (m)

𝑇𝑀 → Calado de projeto (m)

Essa fórmula apresenta uma faixa de precisão de aproximadamente 10% quando

comparada com o método de elementos finitos.

Porém, como temos dados obtidos experimentalmente para os modos de vibração de

alguns navios, o que nos permite explorar um pouco mais o problema. Assim, foi proposta pelo

professor Severino Fonseca da Silva Neto uma modificação da fórmula de Kumai:

𝑁2𝑉 =√

12𝐸𝐼𝑆𝑀

1+24(1+pi)𝐼𝑆𝑀

𝑘′𝐴𝑆𝑀𝐿3

∆𝑚(1 + 𝐶𝑉)𝐿3 (𝐻𝑧) (25)

𝐸 → Módulo de elasticidade (Pa)

𝐼𝑆𝑀 → Momento de inércia da seção-mestra (𝑚4)

𝐴𝑆𝑀 → Área da seção-mestra (m)

𝐿 → Comprimento entre perpendiculares (m)

𝑝𝑖 → Coeficiente de Poisson (--)

∆𝑚→ Deslocamento da embarcação (kg)

𝐶𝑉 → Coeficiente de massa adicional vertical

𝑘′ → Coeficiente de área de aço efetiva no cisalhamento

14

Em nossa formulação conhecemos o módulo de elasticidade (𝐸) e o coeficiente de

Poisson (𝑝𝑖). Dos navios em estudo temos o momento de inércia (𝐼𝑆𝑀) e a área de suas seções-

mestras (𝐴𝑆𝑀). Além disso, experimentalmente foram obtidos valores para o coeficiente de área

de aço (𝑘′)* e os valores para o coeficiente de massa adicional vertical podem ser obtidos por

Landweber** [6].

*sabemos que os valores para o coeficiente de área de aço (𝑘′) ficam por volta de 0,2

** Os valores para o coeficiente de massa adicional vertical podem ser obtidos por

Landweber, em função de sigma:

Sigma menor do que 𝜋/4 resulta em Cv = 0,75

𝜎 <𝜋

4 → 𝐶𝑉 = 0,75 (26)

Sigma igual a 𝜋/4 resulta em Cv = 1

𝜎 =𝜋

4 → 𝐶𝑉 = 1 (27)

Sigma maior do que 𝜋/4 resulta em Cv = 1,27

𝜎 >𝜋

4 → 𝐶𝑉 = 1,27 (28)

Sigma é área da seção dividida por boca vezes pontal:

𝜎 =𝑆

𝐵 ∗ 𝐷 (29)

15

Objetos de estudo Temos um conjunto de navios previamente explorados em outros trabalhos.

Apresentaremos as informações sobre eles a seguir:

Tabela de navios e módulos de vibração

Figura 4 - Navios previamente explorados em outros trabalhos

Dentre esses navios, vamos trabalhar com apenas com os três petroleiros e seus modos

de vibração:

Navio Tipo Loa

(m)

Lpp

(m)

B

(m)

D

(m)

T

(m)

A total

(m2) k'

I sm

(m4)

Fn

(Hz)

∆m

(t)

Itaituba Petroleiro 186.6 176 31 16.2 11.8 3.04 20.80% 138 0.94 48000

Cantagalo Petroleiro 160.9 155 26 11.9 8.1 2.28 21.40% 57.6 0.962 25759

Celso Furtado Petroleiro 183 174 32.2 18.6 12.8 4.06 36.70% 201.1 1.17 48300

Tabela 1 - Navios e frequência natural de vibração

Os momentos de inércia utilizados foram obtidos pelo PROSEC [2] [8] [9]

O calado utilizado é o da prova de mar para o navio Cantagalo

Calado máximo para os navios Itaituba e Celso Furtado

O respectivo valor de k’ para cada embarcação foi utilizado em cada caso

16

Além disso, os dados relevantes para o trabalho serão:

Navio Tipo Lpp (m) B (m) D (m) T (m) ∆m (kg)

Itaituba Petroleiro 176 31 16.2 11.8 48000000

Cantagalo Petroleiro 155 26 11.9 8.1 25759000

Celso Furtado Petroleiro 174 32.2 18.6 12.8 48300000

Tabela 2 - Dados dos navios

Navio A total (m2) k' I sm (m4) σ Cv Fn_mar (Hz)

Itaituba 3.04 20.80% 138 1 1.27 0.94

Cantagalo 2.28 21.40% 57.6 1 1.27 0.962

Celso Furtado 4.06 36.70% 201.1 1 1.27 1.17

Tabela 3 - Dados dos navios

A massa adicional foi calculada por Landweber, através do cálculo de sigma.

No caso de um navio petroleiro, sabemos que a área da seção sobre o produto da boca

pelo calado da embarcação nos dará um resultado próximo de 1, se considerarmos que o raio

de bojo possui dimensão bem menor do que a boca. Isso resultará em CV igual a 1,27.

17

Análises numéricas Nesta fase analisaremos a correspondência entre os resultados obtidos na prova de mar

para os petroleiros e os valores esperados pela fórmula de Kumai e pela fórmula proposta pelo

professor Severino. Com isso buscamos conferir se tais formulações são válidas.

Kumai

Primeiro vamos comprovar a eficácia da formulação de Kumai para petroleiros.

𝐾𝑢𝑚𝑎𝑖 𝑁2𝑉 = 1,62 ∗ 106√𝐼𝑉

∆𝑖𝐿3 (𝐻𝑧) (24)

Navio Fn_mar (Hz) Kumai (Hz) Erro (Hz) Erro (%)

Itaituba 0.94 0.816548517 0.123451483 13.13%

Cantagalo 0.962 0.833211427 0.128788573 13.39%

Celso Furtado 1.17 1.008704169 0.161295831 13.79%

Tabela 4 - Estimativa do primeiro modo de vibração pela fórmula de Kumai

Todos os navios apresentaram um desvio por volta de 13%, um pouco acima dos 10%

esperados pela fórmula de Kumai. Também vale ressaltar que todos os valores encontrados pela

fórmula de Kumai subestimam os resultados reais obtidos em prova de mar.

Fórmula proposta por Severino

E vamos ver se a fórmula proposta pelo professor Severino Fonseca da Silva Neto

apresenta melhores resultados.

𝐹ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑆𝑒𝑣𝑒𝑟𝑖𝑛𝑜 𝑁2𝑉 =√

12𝐸𝐼𝑆𝑀

1+24(1+pi)𝐼𝑆𝑀


∆𝑚(1 + 𝐶𝑉)𝐿3 (𝐻𝑧) (25)

E 2.01E+11

p 0.3

Navio Fn_mar (Hz) Severino (Hz) Erro (Hz) Erro (%)

Itaituba 0.94 0.748091294 0.191908706 20.42%

Cantagalo 0.962 0.7983811 0.1636189 17.01%

Celso Furtado 1.17 0.916032363 0.253967637 21.71%

Tabela 5 - Estimativa do primeiro modo de vibração pela fórmula proposta por Severino

18

A fórmula não teve o resultado esperado e os erros aumentaram consideravelmente.

Importante notar que as frequências estimadas se reduziram ainda mais.

19

Proposta de nova formulação Como a nova fórmula proposta pelo professor Severino Fonseca da Silva Neto não levou

aos resultados esperados, agora tentaremos inserir um fator de correção de forma a minimizar

o erro entre resultados experimentais e os calculados. Utilizando a mesma fórmula proposta

pelo professor Severino, tentamos obter um novo valor para 𝐼𝑆𝑀, multiplicando por um fator

𝐹′𝐼𝑆𝑀. 𝐹′𝐼𝑆𝑀

será calculado de tal forma que o erro quadrático médio (EQM) seja o menor

possível.

𝑁𝑜𝑣𝑎 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑁2𝑉 =√

12𝐸𝐼𝑆𝑀

∗

1+24(1+pi)𝐼𝑆𝑀

∗


∆𝑚(1 + 𝐶𝑉)𝐿3 (𝐻𝑧) (30)

𝐼𝑆𝑀∗ = 𝐼𝑆𝑀 ∗ 𝐹′

𝐼𝑆𝑀 (31)

𝐸𝑄𝑀 =∑ 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑖

2𝑛𝑖

𝑛 (32)

E 2.01E+11

p 0.3

𝐹′𝐼𝑆𝑀 1.56066088

Navio I*sm (m4) Fn_mar

(Hz) NF (Hz) Erro (Hz)

Erro

(%) Erro^2 EQM

Itaituba 215.3712014 0.94 0.934236984 0.005763016 0.61% 3.32123E-05 0.000645465

Cantagalo 89.89406667 0.962 0.997112716 0.035112716 3.65% 0.001232903

Celso Furtado 313.8489029 1.17 1.144110243 0.025889757 2.21% 0.00067028

Tabela 6 - Estimativa de primeiro modo de vibração pela nova formulação

Dessa vez o erro foi consideravelmente reduzido. Nessa nova formulação os erros se

mostraram bem pequenos (menores do que 4%) para um incremento de aproximadamente 56%

do momento de inércia da seção-mestra (156% do valor original). Vale ressaltar também que,

dessa vez, o valor da frequência natural para o navio Cantagalo foi superestimado.

20

Variação do coeficiente de aço da seção mestra (k’) Entretanto, ainda há algumas dúvidas em relação a essa fórmula. Os valores de k’, por

exemplo, foram obtidos experimentalmente em trabalhos anteriores e apresentam um

intervalo considerável entre si. Então, com um valor fixo para 𝐹′𝐼𝑆𝑀, vamos testar como o erro

se comporta ao variarmos k’ para os valores de 5%, 10%, 20%, 30% e 40%. Dessa forma

esperamos cobrir a faixa de valores mais comuns a k’. Observando a fórmula, esperamos que a

frequência estimada seja maior conforme k’aumenta.

E 2.01E+11

p 0.3

𝐹′𝐼𝑆𝑀 1.56066088

Tabela 7 - Valores fixos

Navio k' Fn_mar (Hz) NF (Hz) Erro (Hz) Erro (%)

Itaituba 5.00% 0.94 0.93137848 0.00862152 0.92%

Cantagalo 5.00% 0.962 0.994601886 0.032601886 3.39%

Celso Furtado 5.00% 1.17 1.13961806 0.03038194 2.60%

Tabela 8 - Estimativa de primeiro modo de vibração para k'=5%


Itaituba 10.00% 0.94 0.933257069 0.006742931 0.72%

Cantagalo 10.00% 0.962 0.996237894 0.034237894 3.56%

Celso Furtado 10.00% 1.17 1.142211959 0.027788041 2.38%

Tabela 9 - Estimativa de primeiro modo de vibração para k'=10%


Itaituba 20.00% 0.94 0.934200636 0.005799364 0.62%

Cantagalo 20.00% 0.962 0.997058932 0.035058932 3.64%

Celso Furtado 20.00% 1.17 1.143515568 0.026484432 2.26%

Tabela 10- Estimativa de primeiro modo de vibração para k'=20%

21


Itaituba 30.00% 0.94 0.934515795 0.005484205 0.58%

Cantagalo 30.00% 0.962 0.997333063 0.035333063 3.67%

Celso Furtado 30.00% 1.17 1.143951097 0.026048903 2.23%



Itaituba 40.00% 0.94 0.934673494 0.005326506 0.57%

Cantagalo 40.00% 0.962 0.997470213 0.035470213 3.69%

Celso Furtado 40.00% 1.17 1.144169048 0.025830952 2.21%


O erro varia bem pouco em relação a k’ (a variação mais sensível foi de 0,39% para o

erro do navio Celso Furtado pra k’ com os valores de 5% e 40%). Portanto, k’ deixa de ser uma

grande preocupação na fórmula.

Além disso, o valor estimado para a frequência natural de vibração realmente aumenta,

como era esperado.

Figura 5 - erro conforme variação do coeficiente de aço da seção mestra

22

Ajuste do fator de inércia (F’) com variação do coeficiente de aço

da seção mestra Além disso, podemos analisar como F’ se comporta para cada k’. 𝐹′𝐼𝑆𝑀

sempre terá um

valor com o objetivo de diminuir o erro quadrático médio, portanto assumirá um valor para cada

k’.

Navio k' I*sm

(m4)

Fn_mar


Erro

(%) Erro^2 EQM

Itaituba 5.00% 219.41 0.94 0.94 3.51E-10 0.00% 1.24E-19 0.000662

Cantagalo 5.00% 89.93529 0.962 0.994828395 0.032828 3.41% 0.001078

Celso Furtado 5.00% 313.9928 1.17 1.139876939 0.030123 2.57% 0.000907

𝐹′𝐼𝑆𝑀 (k'= 5%) 1.589927634

Tabela 13 - valores otimizados para o primeiro modo de vibração e F'Ism para k'=5%

Navio k' I*sm

(m4)

Fn_mar


Erro

(%) Erro^2 EQM

Itaituba 10.00% 215.9014 0.94 0.934400399 0.0056 0.60% 3.14E-05 0.000662

Cantagalo 10.00% 90.11536 0.962 0.997459298 0.035459 3.69% 0.001257

Celso Furtado 10.00% 314.6215 1.17 1.143610548 0.026389 2.26% 0.000696

𝐹′𝐼𝑆𝑀 (k'= 10%) 1.564502696


23

Navio k' I*sm

(m4)

Fn_mar


Erro

(%) Erro^2 EQM

Itaituba 20.00% 215.47 0.94 0.934414363 0.005586 0.59% 3.12E-05 0.000655

Cantagalo 20.00% 89.93529 0.962 0.997287125 0.035287 3.67% 0.001245

Celso Furtado 20.00% 313.9928 1.17 1.143777113 0.026223 2.24% 0.000688

𝐹′𝐼𝑆𝑀 (k'= 20%) 1.561376506


Navio k' I*sm

(m4)

Fn_mar


Erro

(%) Erro^2 EQM

Itaituba 30.00% 215.3265 0.94 0.934418983 0.005581 0.59% 3.11E-05 0.000652

Cantagalo 30.00% 89.87542 0.962 0.997229717 0.03523 3.66% 0.001241

Celso Furtado 30.00% 313.7838 1.17 1.143832609 0.026167 2.24% 0.000685

𝐹′𝐼𝑆𝑀 (k'= 30%) 1.560337103


Navio k' I*sm

(m4)

Fn_mar


Erro

(%) Erro^2 EQM

Itaituba 40.00% 215.2549 0.94 0.934421287 0.005579 0.59% 3.11E-05 0.000651

Cantagalo 40.00% 89.84551 0.962 0.99720101 0.035201 3.66% 0.001239

Celso Furtado 40.00% 313.6794 1.17 1.143860352 0.02614 2.23% 0.000683

𝐹′𝐼𝑆𝑀 (k'= 40%) 1.559817899


24

𝐹′𝐼𝑆𝑀 (k'= 5%) 1.58993

𝐹′𝐼𝑆𝑀 (k'= 10%) 1.56450

𝐹′𝐼𝑆𝑀 (k'= 20%) 1.56138

𝐹′𝐼𝑆𝑀 (k'= 30%) 1.56034

𝐹′𝐼𝑆𝑀 (k'= 40%) 1.55982

Tabela 18 - valores otimizados para F'Ism conforme k'

𝐹′𝐼𝑆𝑀 modifica-se pouco conforme k’ varia. A maior mudança ocorre para k’ igual a 5%,

mas ainda assim 𝐹′𝐼𝑆𝑀 permanece com valor próximo a 1,56.

Além disso, podemos validar o valor de 𝐹′𝐼𝑆𝑀 através de uma manipulação da fórmula

proposta de modo que tenhamos o valor de 𝐼𝑆𝑀 isolado.

𝑁2𝑉 =√

12𝐸𝐼𝑆𝑀

∗

1+24(1+pi)𝐼𝑆𝑀

∗


∆𝑚(1 + 𝐶𝑉)𝐿3 (25)

𝑁2𝑉2 =

12𝐸𝐼𝑆𝑀

∗

1+24(1+pi)𝐼𝑆𝑀

∗


∆𝑚(1 + 𝐶𝑉)𝐿3 (33)

∆𝑚(1 + 𝐶𝑉)𝐿3𝑁2𝑉2 = 12𝐸

𝐼𝑆𝑀∗

1 +24(1+pi)𝐼𝑆𝑀

∗


(34)

𝑏 =24(1 + pi)

𝑘′𝐴𝑆𝑀𝐿3 (35)

𝑐 = ∆𝑚(1 + 𝐶𝑉)𝐿3𝑁2𝑉2 (36)

𝑐 =12𝐸𝐼𝑆𝑀

1 + 𝑏𝐼𝑆𝑀 (37)

𝑐 + 𝑏𝑐𝐼𝑆𝑀 = 12𝐸𝐼𝑆𝑀 (38)

𝑐 = 12𝐸𝐼𝑆𝑀 − 𝑏𝑐𝐼𝑆𝑀 (39)

(12𝐸 − 𝑏𝑐)𝐼𝑆𝑀 = 𝑐 (40)

𝐼𝑆𝑀 =𝑐

12𝐸 − 𝑏𝑐 (41)

25

Navio I*sm (m4) I_SM (m4) Dif I_SM (m4) Dif %

Itaituba 215.3712 218.0418 2.67057 1.24%

Cantagalo 89.89407 83.66548 6.228592 6.93%

Celso Furtado 313.8489 328.2324 14.38345 4.58%

Tabela 19 - Módulo de seção ideal

Os valores encontrados para o módulo de seção através do fator de ajuste são próximos

aos valores ideais que os mesmos precisariam ter de modo que tivéssemos uma fórmula

completamente acurada. Dessa forma, vemos que os valores do módulo de seção obtidos após

o ajuste são consistentes.

26

Análise dos Resultados Temos então:

Navio Fn_mar (Hz) Kumai (Hz) Severino (Hz) NF (Hz)

Itaituba 0.94 0.816548517 0.748091294 0.934236984

Cantagalo 0.962 0.833211427 0.7983811 0.997112716

Celso Furtado 1.17 1.008704169 0.916032363 1.144110243

Tabela 20 - Comparação entre as formulações

E os erros para cada método:

Navio Erro_Kumai (Hz) Erro_Severino (Hz) Erro_NF (Hz)

Itaituba 0.123451483 0.191908706 0.005763016

Cantagalo 0.128788573 0.1636189 0.035112716

Celso Furtado 0.161295831 0.253967637 0.025889757

Tabela 21 - Erro absoluto para cada formulação

Navio Erro_Kumai (%) Erro_Severino (%) Erro_NF (%)

Itaituba 13.13% 20.42% 0.61%

Cantagalo 13.39% 17.01% 3.65%

Celso Furtado 13.79% 21.71% 2.21%

Tabela 22 - Erro percentual para cada formulação

A fórmula proposta pelo professor Severino obtém resultados piores do que a

formulação original de Kumai, mas, por sua vez, gera resultados bem melhores após um ajuste

do momento de inércia. Sendo assim, seria interessante testar essa nova formulação em mais

navios de forma a comprovar a sua eficácia.

O erro percentual foi sintetizado no seguinte gráfico para melhor percepção:

27

Figura 6 - erros percentuais em relação à frequência natural

28

Conclusão e Trabalhos Futuros Ao longo do trabalho testamos a fórmula de Kumai e modificações realizadas a partir

dela. A fórmula original apresentou resultados dentro do esperado. Já a fórmula proposta

inicialmente apresentou um desvio muito grande em relação ao resultado esperado. Isso foi

corrigido utilizando um fator de correção para o momento de inércia, o que minimizou o erro.

Entretanto o fator de correção foi estimado utilizando apenas três embarcações. O ideal

agora seria testar a fórmula em mais embarcações ou estimar o fator de correção a partir de

informações de mais navios.

O problema para testar ou aperfeiçoar essa formulação é que precisamos de algumas

informações do navio só obtidas em fases mais avançadas de projeto, como a área de aço da

seção-mestra (obtida pelo PROSEC) e o coeficiente de área de aço efetiva no cisalhamento.

Nesse ponto, por exemplo, já percebemos que o coeficiente de área de aço efetiva no

cisalhamento não influencia tanto assim no resultado final obtido pela fórmula. Portanto, seria

interessante adaptar a fórmula para utilizar apenas parâmetros mais simples, obtidos ainda no

início do projeto, como a área da seção-mestra, comprimento, boca, calado e pontal da

embarcação.

Futuros estudos na área deveriam focar nessa simplificação de modo a permitir uma boa

estimativa de vibrações. Parâmetros mais simples também seriam úteis para a elaboração de

fórmulas para a estimativa de vibração de outros tipos de embarcação, não só petroleiros.

Afinal, os fatores físicos envolvidos no fenômeno são os mesmos para os vários tipos de navio,

mesmo eles apresentando diferentes características.

29

Bibliografia [1] CADENA, M., Cálculo da Área Efetiva no Cisalhamento de Seções de Cascos de Navios e

Análise de sua Influência na Freqüência Natural de Vibração da Estrutura. Projeto de Graduação,

UFRJ, Rio de Janeiro. Janeiro 2011.

[2] FELIX, F.F.S., Influência da Área Efetiva ao Cisalhamento Calculada por Fluxo de Cisalhamento

em Seções de Paredes Finas na Vibração Medida em Petroleiro a ser convertido em Offshore

Supply Vessel. Projeto de Graduação, UFRJ, Rio de Janeiro. Junho 2012.

[3] DA SILVA, F., Investigação do Comportamento Dinâmico de Navios por Meio de Modelos

Unidimensionais. Dissertação de Mestrado, UFRJ, Rio de Janeiro, Junho 2014.

[4] ZEBULUM, A. O., Estudo da Qualidade de Modelos de Elementos Finitos Unidimensionais

para Análise de Vibrações: Comparação com Dados Medidos. Projeto de Graduação, UFRJ, Rio

de Janeiro, Agosto 2015.

[5] Aspectos Práticos das Vibrações em Navios. Secção Autônoma de Engenharia Naval,

Universidade Técnica de Lisboa;

[6]LANDWEBER, L., De Macagno, M. C., Added Mass of Two-Dimensional Forms Oscillating in a

Free Surface. SNAME, 1957.

[7] LEWIS, F.M., The Inertia of the Water Surrounding a Vibrating Ship. SNAME, 1929.

[8] CALÇADA, P. L., Estimativa de Massa Adicional de Navio Petroleiro por Minimização dos

Desvios Numérico-experimentais entre Frequências de Vibração. Projeto de Graduação, UFRJ,

Rio de Janeiro, Março 2015.

[9] TRINDADE, A. C., Massa Adicional de Petroleiro Calculada por Meio de Fórmulas Simplificadas

Baseadas em Medições de Vibração. Projeto de Graduação, UFRJ, Rio de Janeiro, Março de 2015.

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