Aula 01

Raciocnio Lgico e Matemtica p/ Perito Criminal - Polcia Cientfica-GO (comvideoaulas)Professor: Arthur Lima

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AULA 01: PRINCPIOS DE CONTAGEM

SUMRIO PGINA 1. Princpios de contagem (anlise combinatria) 01 2. Resoluo de exerccios 16 3. Questes apresentadas na aula 74 4. Gabarito 99

Prezado aluno, nesta primeira aula de nosso curso trabalharemos a teoria de Princpios de Contagem, que um tpico previsto no seu edital.

Tenha uma boa aula!

1. PRINCPIOS DE CONTAGEM (ANLISE COMBINATRIA)1.1 Contagem e anlise combinatria

Imagine que voc possui em seu armrio 3 calas , 4 camisetas e 2 pares de tnis. De quantas maneiras diferentes voc pode se vestir? Ora, basta imaginar que para cada cala voc pode utilizar qualquer uma das 4 camisetas, e para cada conjunto cala-camiseta voc pode usar qualquer dos 2 pares de tnis.

O princpio fundamental da contagem, ou regra do produto, nos diz que para obter a quantidade total de maneiras de se vestir basta multiplicar o nmero de calas pelo nmero de camisas e pelo nmero de tnis, isto :

Maneiras de se vestir = 3 x 4 x 2 = 24

Em outras palavras, quando temos acontecimentos sucessivos e independentes (escolha da cala, da camiseta e do tnis), basta multiplicarmos as quantidades de possibilidades de cada acontecimento (isto , 3 possibilidades para o acontecimento escolha da cala; 4 para a escolha da camiseta e 2 para aescolha do tnis).

Vejamos um outro exemplo: quantos nmeros de 3 algarismos podemos formar utilizando apenas os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?

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Note que precisamos formar nmeros com o formato ABC, onde cada letra simboliza um algarismo. Para a posio A temos 6 opes de algarismos. Para a posio B temos novamente 6 opes. E o mesmo ocorre na posio C. Portanto, a quantidade de nmeros de 3 algarismos dada pela multiplicao:

6 x 6 x 6 = 216 possibilidades

E se o exerccio dissesse que os nmeros de 3 algarismos formados devem ter os 3 algarismos distintos? Neste caso, teramos tambm 6 opes para preencher a posio A. Para preencher a posio B, no mais podemos usar o nmero que j foi utilizado para A. Portanto, temos 5 opes. E para a posio C, restam apenas 4 opes. Assim, teramos:

6 x 5 x 4 = 120 possibilidades

E se o exerccio houvesse dito que, alm de formar nmeros com algarismos distintos, o algarismo 2 sempre deve estar presente? Ora, precisamos calcular quantos nmeros podemos formar tendo o 2 na posio A, depois na posio B, e depois na posio C.

Se o 2 estiver na posio A, teremos nmeros do tipo 2BC. Para a posio B temos 5 opes de algarismos, pois o 2 j foi utilizado. E para a posio C temos 4 opes. Portanto, teremos 1 x 5 x 4 = 20 possibilidades de nmeros do tipo 2BC. Analogamente, para nmeros do tipo A2C, temos 5 x 1 x 4 = 20 possibilidades. Temos outras 20 possibilidades para nmeros do tipo AB2. Ou seja, ao todo temos 60 possibilidades.

Voc reparou que nos exemplos anteriores ns haviamos efetuado apenas multiplicaes para chegar no resultado, e neste ltimo exemplo foi preciso efetuar a soma 20 + 20 + 20? Uma dica para voc saber quando somar e quando multiplicar perceber a presena das expresses E e OU. Veja como fazer isso: - no exemplo das camisetas, calas e tnis, tnhamos 4 possibilidades para as camisetas E 3 possibilidades para as calas E 2 possibilidades para os tnis. Por isso, multiplicamos 4 x 3 x 2. - para formar nmeros de 3 algarismos distintos com os elementos {1, 2, 3, 4, 5, 6}, tnhamos 6 possibilidades para o primeiro algarismo E 5 possibilidades para o

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segundo E 4 possibilidades para o terceiro, de modo que novamente efetuamos a multiplicao 6 x 5 x 4. - j para obter nmeros de 3 algarismos distintos onde o 2 estivesse presente, vimos que o 2 podia estar na primeira posio OU na segunda posio OU na terceira posio. Foi por isso que tivemos que somar as 20 possibilidades de ter o 2 na primeira posio com as 20 possibilidades de ele estar na segunda posio e com as 20 possibilidades de ele estar na terceira posio.

Lembrando-se que o E remete multiplicao e o OU remete soma, voc dificilmente errar uma questo. Em uma abordagem mais acadmica, dizemos que: - o princpio multiplicativo utilizado no caso de eventos independentes (a escolha da camiseta independe da escolha da cala, que independe da escolha do tnis); - o princpio aditivo utilizado no caso de eventos mutuamente excludentes (a presena do 2 em uma posio exclui a possibilidade de ele estar nas demais posies);

Sobre este assunto, tente resolver a questo a seguir: 1. ESAF STN 2008) Ana possui em seu closed 90 pares de sapatos, todosdevidamente acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pede emprestado Ana quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Ana retira do closed quatro caixas de sapatos. O nmero de retiradas possveis que Ana pode realizar de modo que a terceira caixa retirada seja a de nmero 20 igual a: a) 681384b) 382426c) 43262d) 7488e) 2120RESOLUO:

Queremos que a 3 caixa seja a de nmero 20. Assim, ao retirar a primeira caixa, podemos pegar qualquer uma das 90 caixas, exceto a de nmero 20. Logo, existem 89 caixas que podem ser pegas na 1 tentativa, obedecendo a regra do enunciado.

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No momento de retirar a 2 caixa, veja que no podemos obter nem a caixa 20 e nem a caixa que j foi eliminada na 1 tentativa. Temos, portanto, 88 possibilidades restantes.

Para a 3 retirada s temos uma possibilidade que atende o enunciado: a caixa 20. J para a 4 retirada, podemos pegar qualquer uma das 87 caixas restantes. Veja isso resumido na tabela abaixo:

Retirada 1 Retirada 2 Retirada 3 Retirada 4

89 possibilidades (pois a caixa 20 no pode estar aqui, s na retirada 3)

88 possibilidades (pois nem a

caixa 20 nem a da retirada 1 podem estar

aqui)

1 possibilidade (caixa 20)

87 possibilidades (90 menos a

caixa 20 e as das retiradas 1 e 2)

Pelo princpio fundamental da contagem, temos:

89 88 1 87 681384Possibilidades = =

Resposta: A

1.2 Permutao simples Analisemos agora o seguinte exemplo: temos 5 pessoas que devem se

sentar em uma fileira do cinema, uma ao lado da outra. De quantas maneiras diferentes podemos sentar essas pessoas?

Na primeira cadeira, podemos colocar qualquer uma das 5 pessoas. Isto , temos 5 possibilidades. J na segunda cadeira, temos apenas 4 possibilidades, pois necessariamente uma pessoa j estar ocupando a primeira cadeira. Para terceira cadeira sobram 3 possibilidades, assim como sobram 2 possibilidades para a quarta cadeira, e uma para a ltima. Veja isso na tabela abaixo:

Cadeira 1 2 3 4 5 Possibilidades de ocupao

5 4 3 2 1

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Feito isso, podemos utilizar novamente a regra do produto para obter o nmero total de formas de sentar as pessoas:

Total de formas de sentar = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Observe um detalhe importante neste problema: em cada uma dessas 120 possibilidades de arrumao das pessoas, as mesmas 5 pessoas esto presentes. O que torna diferente uma possibilidade da outra somente a ordem de posicionamento das pessoas.

Esse tipo de problema, onde o objetivo arrumar n elementos em n posies distintas (no caso, 5 pessoas em 5 cadeiras), e onde a ordem de arrumao dos elementos diferencia uma possibilidade da outra, chamado de PERMUTAO SIMPLES. O clculo da permutao simples de n elementos dada pela frmula abaixo:

P(n) = n!

Nesta frmula, n! significa n fatorial. Na matemtica, chamamos de fatorial de um nmero n o produto de todos os nmeros inteiros e positivos iguais ou inferiores a n, isto :

n! = n x (n 1) x (n 2) x ... x 1

Exemplificando, 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. Portanto, se fossemos aplicar esta frmula na questo das cadeiras do cinema, teramos:

P(5) = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 formas de posicionar as pessoas

Ateno para um detalhe: s podemos usar a frmula de permutao simples nos problemas onde a ordem de arrumao dos n objetos torne uma possibilidade diferente da outra! Vamos nos deparar com vrios problemas onde a ordem no torna uma possibilidade diferente da outra e no poderemos resolv-los de maneira to simples como a vista aqui.

Vejamos um outro exemplo de permutao simples: quantos anagramas podemos formar utilizando todas as letras da palavra BRASIL?

Um anagrama um rearranjo das letras. SILBRA, por exemplo, um anagrama da palavra BRASIL. Veja que em BRASIL temos 6 letras distintas entre

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si, isto , sem repetio. Assim, cada anagrama ser formado por 6 letras, distribudas entre 6 posies:

Posio 1 2 3 4 5 6 Letras

disponveis 6 5 4 3 2 1

Veja que o total de anagramas ser dado por 6!, isto , 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720. Utilizando a frmula:

P(6) = 6! = 720

1.3 Permutao com repetio Imagine que voc queira calcular o nmero de anagramas da palavra

ARARA. A princpio voc usaria a frmula de permutao simples, como fizemos no caso de BRASIL. Porm ARARA possui 3 repeties da letra A e 2 repeties da letra R. Isso faz com que alguns anagramas seja, na verdade, repeties uns dos outros.

Exemplificando, podemos construir o anagrama ARRAA, onde simplesmente trocamos de posio o 2 R com o 2 A. Este mesmo anagrama poderia ter sido construdo trocando de posio o 1 R com o 2 A, e, a seguir, colocando o 1 A na ltima posio. No podemos contar 2 vezes esses anagramas, pois eles so idnticos.

Por isso, quando h repetio devemos usar a frmula da permutao simples, porm dividir o resultado pelo nmero de permutaes de cada letra repetida. Como ARARA tem 5 letras, sendo que o A repete-se 3 vezes e o R repete-se 2 vezes, temos:

5!(5 ; 3 2) 103! 2!

PR e = =

anagramas

Generalizando, podemos dizer que a permutao de n elementos com repetio de m e p dada por:

!( ; )! !nPR n m e p

m p=

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1.4 Arranjo simples Imagine agora que quisssemos posicionar aquelas 5 pessoas nas cadeiras

do cinema, mas tivssemos apenas 3 cadeiras disposio. De quantas formas poderamos fazer isso?

Para a primeira cadeira temos, novamente, 5 pessoas disponveis, isto , 5 possibilidades. J para a segunda cadeira, restam-nos 4 possibilidades, dado que uma j foi utilizada na primeira cadeira. Por fim, na terceira cadeira poderemos colocar qualquer das 3 pessoas restantes. Veja que sempre sobraro duas pessoas em p, afinal temos apenas 3 cadeiras. A quantidade de formas de posicionar essas pessoas sentadas dada pela multiplicao abaixo:

Formas de organizar 5 pessoas em 3 cadeiras = 5 x 4 x 3 = 60

Um caso como esse, onde pretendemos posicionar n elementos em m posies (m menor que n), e onde a ordem dos elementos diferencia uma possibilidade da outra, chamada de ARRANJO SIMPLES. Sua frmula dada abaixo:

!( , ) ( )!nA n m

n m=

Exemplificando, em nosso exemplo temos n = 5 e m = 3. Portanto, teramos: !( , ) ( )!

5! 5! 5 4 3 2 1(5,3) (5 3)! 2! 2 1(5,3) 5 4 3 60

nA n mn m

A

A

=

= = =

= =

Lembre-se: estamos falando novamente de casos onde a ordem dos elementos importa, isto , a ordem dos elementos diferencia uma possibilidade de outra. Imagine que as 5 pessoas sejam: Ana, Beto, Carlos, Daniela e Eduardo. Uma forma de posicionar essas pessoas em 3 cadeiras seria:

Cadeira 1 2 3 Ocupante Beto Daniela Eduardo

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Neste caso, Ana e Carlos esto de fora. Outra forma de posicionamento seria:

Cadeira 1 2 3 Ocupante Daniela Beto Eduardo

Veja que, novamente, Ana e Carlos esto de fora. E Eduardo est no mesmo lugar. A nica mudana foi a inverso de posies entre Beto e Daniela. Ou seja, uma simples alterao na ordem dos elementos gera uma nova possibilidade de posicionamento. isso que quero dizer quando afirmo que a ordem importa para os casos de Permutao e Arranjo.

Note ainda que podemos usar a frmula de Arranjo para resolver um problema de Permutao simples. Isto porque a permutao tambm uma ordenao de n elementos em m posies, porm nos casos de permutao n = m. Sabendo que 0! , por definio, igual a 1, podemos calcular o nmero depermutaes de 5 pessoas em 5 cadeiras de cinema com a frmula de arranjo:

!( , ) ( )!5! 5! 5 4 3 2 1(5,5) (5 5)! 0! 1

(5,5) 120

nA n mn m

A

A

=

= = =

=

Antes de avanarmos, trabalhe esta questo:

2. ESAF CGU 2008) gata decoradora e precisa atender o pedido de umexcntrico cliente. Ele - o cliente - exige que uma das paredes do quarto de sua filha seja dividida em uma sequncia de 5 listras horizontais pintadas de cores diferentes, ou seja, uma de cada cor. Sabendo-se que gata possui apenas 8 cores disponveis, ento o nmero de diferentes maneiras que a parede pode ser pintada igual a: a) 56b) 5760c) 6720d) 3600

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e) 4320RESOLUO:

Se temos 8 cores disponveis, a primeira listra poder ser pintada de 8 maneiras distintas. A segunda listra poder ser pintada com uma das 7 cores restantes, j que uma cor j foi utilizada na primeira listra. A terceira listra poder ser pintada de 6 maneiras diferentes, a quarta de 5 maneiras, e a quinta de 4 maneiras distintas. O que disse aqui est refletido no esquema abaixo:

Listra 1 Listra 2 Listra 3 Listra 4 Listra 5

8 opes 7 opes 6 opes 5 opes 4 opes

Pelo princpio fundamental da contagem, o nmero de maneiras distintas de pintar a parede de:

8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6720

J chegamos ao gabarito. Mas repare que se trata de um arranjo simples, afinal queremos dispor 8 elementos (cores) em 5 posies (listras), e a ordem das cores torna uma disposio diferente da outra. Isto , pintar uma listra de Azul e a seguinte de Verde diferente de pintar a primeira de Verde e a segunda de Azul. Utilizando a frmula de arranjo, teramos:

!( , ) ( )!nA n m

n m=

8! 8! 8 7 6 5 4 3 2 1(8,5) (8 5)! 3! 3 2 1(8,5) 8 7 6 5 4 6720

A

A

= = =

= =

Resposta: C

1.5 Arranjo com repetio Imagine que temos disposio as letras A, B, C e D. Queremos utiliz-las

para formar placas de carros. Assim, precisamos de formar grupos de 3 letras,

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sendo que essas letras podem ser repetidas. Isto , podemos ter placas como: AAA, AAB, ABA, BAA, ABC etc.

Para calcular o nmero de arranjos possveis de n elementos em grupos de m, e podendo repetir os elementos, usamos a frmula do Arranjo com repetio:

A (n, m) = nm (leia: arranjo de n elementos, m a m, dado por n elevado a m)

Portanto, se temos 4 letras (n = 4) e queremos formar grupos de 3 (m = 3) podendo repetir as letras, ser possvel formar o total de arranjos abaixo:

3

( , )(4,3) 4(4,3) 64 arranjos

mA n m nAA

=

=

=

Voc pode resolver esse tipo de exerccio sem o auxlio de frmulas, apenas utilizando o princpio multiplicativo. Basta lembrar que voc quer montar placas assim: __ __ __. E tem 4 possibilidades de letras para cada uma das lacunas. Portanto, basta multiplicar 4 x 4 x 4 = 43 = 64 possibilidades.

1.6 Combinao Imagine agora que voc tem sua disposio aquelas mesmas 5 pessoas,

porm agora precisa formar uma dupla para participar de um determinado evento. Quantas duplas distintas possvel formar?

Veja que agora a ordem no importa mais. A dupla formada por Ana e Beto igual dupla formada por Beto e Ana. Nesses casos, estamos diante de um problema de Combinao.

Ser preciso calcular quantas combinaes de 5 pessoas, duas a duas, possvel formar. Isto feito atravs da frmula abaixo:

( )!( , )

! !n nC n mm m n m

= =

Veja que nm

uma outra forma de simbolizar combinao de n elementos,

m a m. Efetuando o clculo para o exemplo acima, temos:

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( )

( )

!( , )! !

5 5! 5!(5,2)2 2! 5 2 ! 2! 3!5 5 4 3 2 1(5,2) 102 2 1 3 2 1

n nC n mm m n m

C

C

= =

= = =

= = =

Portanto, h 10 combinaes de 5 elementos, dois a dois. Isto , h 10 formas de criar duplas tendo para isso 5 pessoas disponveis. Vejamos quais seriam as 10 duplas: - Ana e Beto; Ana e Carlos; Ana e Daniela; Ana e Eduardo - Beto e Carlos; Beto e Daniela; Beto e Eduardo; - Carlos e Daniela; Carlos e Eduardo; - Daniela e Eduardo.

A respeito de combinaes, fica aqui uma dica para facilitar as contas. Ao invs de utilizar a frmula acima, voc pode chegar ao mesmo caso fazendo o seguinte: 1. multiplicando os m primeiros termos de n!2. dividindo esse resultado por m!

No caso do nosso exemplo, bastava multiplicar os 2 primeiros termos de 5! (que so 5 e 4) e dividir por 2! (2x1):

5 4 20(5,2) 102! 2

C = = =

Outra dica para facilitar as contas: a combinao de 5 elementos, 2 a 2, igual combinao de 5 elementos, 3 a 3. Isto porque 3 = 5 2. Da mesma forma, a combinao de 15 elementos, 14 a 14, igual combinao de 15 elementos, 1 a 1 (pois 1 = 15 14). Generalizando: a combinao de n elementos, m a m, igual combinao de n elementos, (n-m) a (n-m):

n n

m n m

=

Veja abaixo uma questo sobre este assunto:

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3. ESAF SMF/RJ 2010) O departamento tcnico de uma construtora imobiliriatem 10 tcnicos de nvel superior sendo 7 engenheiros e 3 arquitetos. Quantas equipes tcnicas distintas podem ser formadas por 2 desses tcnicos com a participao de pelo menos um engenheiro em cada equipe? a) 14b) 35c) 21d) 28e) 42RESOLUO:

Sempre que o objetivo for formar equipes, grupos, comisses etc. fique atento: provavelmente estamos diante de um caso de Combinao. Afinal nestes agrupamentos no interessa saber a ordem de escolha dos integrantes, interessa saber apenas quem so os integrantes.

Neste exerccio, note que na escolha de 2 profissionais, a ordem no importa: a dupla formada pelos tcnicos A e B igual dupla formada pelos tcnicos B e A. Isto confirma que temos um caso de Combinao.

As equipes so formadas por 2 profissionais, e precisam ter pelo menos 1 engenheiro. Portanto, teremos as equipes com 1 e com 2 engenheiros. Vejamos cada caso:

Equipes com 1 engenheiro: neste caso, teremos tambm 1 arquiteto.Portanto, temos 7 possibilidades para o engenheiro a ser escolhido e 3possibilidades para o arquiteto, totalizando 7 x 3 = 21 possibilidades.

Equipes com 2 engenheiros: neste caso, o nmero de formas de escolher 2engenheiros em um grupo de 7 dado pela combinao de 7, 2 a 2. Isto :

7 7 6(7,2) 212 2 1

C = = =

Portanto, ao todo temos 21 + 21 = 42 equipes distintas.

Resposta: E

1.7 Permutao circular

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Vimos que a permutao de n elementos dada por P(n) = n!. Entretanto, temos um caso particular de permutao, muito presente em provas de concurso, que a Permutao Circular.

Ao estudar a permutao simples, calculamos de quantas maneiras distintas podemos permutar 5 pessoas em uma fileira de cinema com 5 lugares. E se, ao invs da fileira do cinema, tivssemos uma mesa redonda com 5 lugares? Observe as duas disposies abaixo das pessoas A, B, C, D, e E ao redor da mesa:

Do ponto de vista de permutao, essas duas disposies so iguais (afinal, a pessoa A tem sua esquerda E, e sua direita B, e assim sucessivamente). No podemos contar duas vezes a mesma disposio.

Repare ainda que, antes da primeira pessoa se sentar mesa, todas as 5 posies disponveis so equivalentes. Isto porque no existe uma referncia espacial. Nestes casos, devemos utilizar a frmula da permutao circular de n pessoas, que :

Pc (n) = (n-1)!

Em nosso exemplo, o nmero de possibilidades de posicionar 5 pessoas ao redor de uma mesa ser:

Pc(5) = (5-1)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

Note que se houvesse uma posio da mesa com uma cadeira de ouro, por exemplo, passaramos a ter uma orientao espacial em relao a esta cadeira, e deixaramos de ter uma permutao circular.

1.8 Comentrios finais para resoluo de exerccios

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Agora que j conhecemos os arranjos, permutaes e combinaes, gostaria de gastar mais um tempinho reforando as diferenas entre estas ferramentas. Como voc ver ao longo dos exerccios, essencial saber diferenciar se estamos diante de um caso de arranjo, permutao ou combinao, para s ento resolv-lo.

Ao se deparar com uma questo, voc deve responder sempre a seguinte pergunta: - a ordem de escolha ou de disposio dos elementos torna uma escolha/disposio diferente da outra?

Exemplificando, imagine que voc tenha 5 soldados (A, B, C, D, e E) disposio, e o seu objetivo formar equipes de 3 soldados. Veja que a equipe formada pelos soldados A, B, C igual a equipe formada pelos soldados B, A, C, que tambm igual equipe formada pelos soldados C, B, A, e assim por diante. Isto , a ordem de escolha dos soldados no relevante, no torna uma escolha diferente da outra.

J se voc quisesse formar filas com 3 soldados, a fila A-B-C diferente da fila B-A-C que diferente da fila C-B-A, e assim por diante. Em uma fila, a ordem importa. Se trocamos a posio do primeiro colocado com a do ltimo, temos uma fila diferente. Portanto, neste caso a ordem de escolha dos soldados relevante, ou seja, torna uma escolha diferente da outra.

Feita a pergunta, voc tem duas possibilidades: - se a ordem NO RELEVANTE: utilizar a frmula de combinao. Isto muito comum em questes onde o objetivo formar equipes, grupos, comisses etc. Em nosso exemplo acima, o resultado seria C(5,3), concorda? - se a ordem RELEVANTE: utilizar o princpio fundamental da contagem (aquela multiplicao simples), que se resume nas frmulas de arranjos e permutaes. No exemplo da fila acima, o resultado seria 5x4x3, concorda? Dependendo do caso, voc precisa fazer alguns ajustes, como no caso de haver repetio. Isto :

- se houver repetio, basta dividir o resultado encontrado por n!, onde n o nmero de repeties (ou usar direto a frmula da permutao com repetio);

- se houver mais de um item se repetindo, preciso dividir por n!, s!, t! etc. (conforme o nmero de itens se repetindo).

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Caso 2 soldados fossem idnticos, de tal modo que no fosse possvel diferenci-los (digamos que D = E), quantas filas diferentes conseguiramos formar? Ora, temos uma repetio de 2 elementos, certo? Portanto, o nmero de filas seria 5x4x3/2! .

E se quisssemos distribuir os 5 soldados em torno de uma mesa redonda? A teramos a permutao circular, que dada por (n-1)!, ou seja, 4! = 24.

Por fim, qual a diferena entre Arranjo e Permutao? Imagine que voc dispe daqueles 5 soldados e pretende montar uma fila. - Quantas filas de 3 soldados voc consegue? 5x4x3 = 60 - E quantas filas com os 5 soldados voc consegue? 5x4x3x2x1 = 120

O primeiro caso um arranjo, o segundo uma permutao. A diferena que a permutao SEMPRE envolve TODOS os elementos disponveis (voc calcula quantas formas possveis de dispor os 5 elementos possveis), j o arranjo no envolve todos os elementos (para cada arranjo foi preciso usar apenas 3 dos 5 soldados, concorda?)

Se voc entendeu a explicao acima, conseguir resolver a grande maioria das questes. Ah, e preste ateno nas resolues onde misturo a frmula de combinao com o princpio fundamental da contagem, pois estas so as questes mais difceis, ok?

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2. RESOLUO DE EXERCCIOS4. ESAF AFT 2010) O departamento de vendas de uma empresa possui 10funcionrios, sendo 4 homens e 6 mulheres. Quantas opes possveis existem para se formar uma equipe de vendas de 3 funcionrios, havendo na equipe pelo menos um homem e pelo menos uma mulher? a) 192.b) 36. c) 96. d) 48. e) 60. RESOLUO:

Se a equipe tem 3 pessoas, precisa ter pelo menos 1 homem e 1 mulher, temos 2 possveis grupos: 2 homens e 1 mulher, ou 2 mulheres e 1 homem. Vejamos quantas possibilidades temos para cada tipo de grupo.

2 homens e 1 mulher:

Para escolher 2 homens em um total de 4 disponveis, basta calcular acombinao de 4, 2 a 2:

4 4 3(4,2) 62 2 1

C = = =

E para escolher 1 mulher em um total de 6, temos 6 possibilidades, como voc pode comprovar abaixo:

6 6(6,1) 61 1!

C = = =

Pelo princpio fundamental da contagem, temos 6 x 6 = 36 formas de agrupar 2 homens e 1 mulher.

2 mulheres e 1 homem:

Para escolher 2 mulheres em um total de 6 disponveis, basta calcular acombinao de 6, 2 a 2:

6 6 5(6,2) 152 2 1

C = = =

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E para escolher 1 homem em um total de 4, temos 4 possibilidades, como voc pode comprovar abaixo:

4 4(4,1) 41 1!

C = = =

Pelo princpio fundamental da contagem, temos 15 x 4 = 60 formas de agrupar 2 mulheres e 1 homem.

Assim, ao todo temos 36 + 60 = 96 equipes distintas com 3 funcionrios, respeitando as condies do enunciado.

Resposta: C

5. ESAF SMF/RJ 2010) O departamento de vendas de imveis de umaimobiliria tem 8 corretores, sendo 5 homens e 3 mulheres. Quantas equipes de vendas distintas podem ser formadas com 2 corretores, havendo em cada equipe pelo menos uma mulher? a) 15b) 45c) 31d) 18e) 25RESOLUO:

Veja que podemos ter equipes com 1 mulher e 1 homem, ou equipes com 2 mulheres.

No primeiro caso, precisamos combinar 3 mulheres, 1 a 1, e combinar 5 homens, 1 a 1:

(3,1) 3(5,1) 5

CC

=

=

Portanto, possvel formar 3 x 5 = 15 equipes distintas.

No segundo caso, precisamos apenas combinar as 3 mulheres, 2 a 2:

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RomuloRealce

!

3 2(3,2) 32 1

C = =

Assim, podemos formar 3 equipes distintas. Ao todo, temos 15 + 3 = 18 equipes distintas.

Resposta: D

6. ESAF Analista MPOG 2010) Beatriz fisioterapeuta e iniciou em sua clnicaum programa de reabilitao para 10 pacientes. Para obter melhores resultados neste programa, Beatriz precisa distribuir esses 10 pacientes em trs salas diferentes, de modo que na sala 1 fiquem 4 pacientes, na sala 2 fiquem 3 pacientes e na sala 3 fiquem, tambm, 3 pacientes. Assim, o nmero de diferentes maneiras que Beatriz pode distribuir seus pacientes, nas trs diferentes salas, igual a: a) 2.440b) 5.600c) 4.200d) 24.000e) 42.000RESOLUO:

Beatriz tem 10 pacientes e precisa separ-los conforme o seguinte esquema:

Sala 1 Sala 2 Sala 3

4 pacientes 3 pacientes 3 pacientes

Veja que, ao escolher 4 pacientes para a sala 1, a ordem deles no importa. Isto , escolher A, B, C e D igual a escolher B, D, A e C. Assim, a quantidade de maneiras de escolher 4 pacientes, em um grupo de 10, para ficarem na sala 1, dada pela combinao abaixo:

10 10 9 8 7(10,4) 2104 4 3 2 1

C = = =

Escolhidos 4 pacientes para a sala 1, restam 6 pacientes para as demais salas. Destes, 3 ficaro na sala 2. O nmero de combinaes desses 6 pacientes, 3 a 3, :

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RomuloRealce

!

6 6 5 4(6,3) 203 3 2 1

C = = =

Escolhidos os 3 pacientes da sala 2, restam apenas 3 pacientes, que ocuparo a sala 3. Isto , h apenas 1 forma de ocupar esta ltima sala:

3 3(3,3) 13 0

C = = =

Assim, temos:

Sala 1 Sala 2 Sala 3

210 possibilidades

20 possibilidades

1 possibilidade

Pelo princpio fundamental da contagem, temos 210 x 20 x 1 = 4200 possibilidades de ocupar as 3 salas.

Resposta: C

7. ESAF MPOG 2008) Marcos est se arrumando para ir ao teatro com suanova namorada, quando todas as luzes de seu apartamento apagam. Apressado, ele corre at uma de suas gavetas onde guarda 24 meias de cores diferentes, a saber: 5 pretas, 9 brancas, 7 azuis e 3 amarelas. Para que Marcos no saia com sua namorada vestindo meias de cores diferentes, o nmero mnimo de meias que Marcos dever tirar da gaveta para ter a certeza de obter um par de mesma cor igual a: a) 30b) 40c) 246d) 124e) 5RESOLUO:

Veja que temos 4 possibilidades de cores de meias: pretas, brancas, azuis e amarelas. Portanto, se Marcos tirar da gaveta apenas 4 meias, ele pode dar o azar

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RomuloRealce

!

de tirar exatamente 1 meia de cada cor. Entretanto, ao tirar a 5 meia da gaveta, ela necessariamente ser de uma das 4 cores que ele j tirou. Assim, ele certamente conseguir formar um par de meias da mesma cor.

Isso mostra que preciso tirar pelo menos 5 meias da gaveta para ter certeza de obter um par da mesma cor.

Resposta: E

8. ESAF CGU 2008) Ana precisa fazer uma prova de matemtica composta de15 questes. Contudo, para ser aprovada, Ana s precisa resolver 10 questes das 15 propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as questes? a) 3003b) 2980c) 2800d) 3006e) 3005RESOLUO:

Se temos 15 questes e, delas, queremos separar um grupo de 10 questes para resolver, basta calcular a combinao de 15, 10 a 10. Isso porque a ordem das questes no importa: escolher as questes 1, 3 e 5 igual a escolher as questes 3, 5 e 1.

Para calcular de uma forma mais fcil a combinao de 15, 10 a 10, voc precisa lembrar a seguinte propriedade (que vimos na teoria de hoje):

(15,10) (15,5)C C=

Assim,

15 14 13 12 11(15,10) (15,5) 30035 4 3 2 1

C C = = =

Ana pode escolher 10 das 15 questes de 3003 formas distintas.

Resposta: A

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!

9. ESAF AFRE/MG 2005) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla eDenise, vo participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que as modelos no desfilaro sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Alm disso, a ltima de cada fila s poder ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise no poder ser a primeira da fila. Assim, o nmero de diferentes filas que podem ser formadas igual a: a) 420b) 480c) 360d) 240e) 60RESOLUO:

Veja que temos 4 tipos de filas: aquelas com Ana no final, aquelas com Beatriz no final, aquelas com Carla no final e aquelas com Denise no final.

Vamos calcular quantas filas podemos formar com Denise no final. Para isso, considere o desenho abaixo:

Posio 1 Posio 2 Posio 3 Posio 4

6 possibilidades (pois Denise j a

ltima) 5 possibilidades 4 possibilidades

1 possibilidade

(Denise)

Pelo princpio fundamental da contagem, temos 6 x 5 x 4 x 1 = 120 possibilidades de formar fila com Denise no final.

Vamos calcular a quantidade de filas com Ana no final. Para isso, importante lembrar que Denise no pode ser a primeira. Portanto, temos apenas 5 possibilidades para a posio 1 (pois Ana j est no final, e Denise no pode ser a primeira). Para a posio 2, temos outras 5 possibilidades (pois agora podemos incluir Denise). E para a posio 3, temos 4 possibilidades (pois j colocamos uma pessoa nas posies 1, 2 e 4):

Posio 1 Posio 2 Posio 3 Posio 4

5 possibilidades 5 possibilidades 4 possibilidades 1 possibilidade

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RomuloRealce

!

(pois Denise no pode ser a primeira)

(Ana)

Portanto, temos 5 x 5 x 4 x 1 = 100 possibilidades com Ana no final. O raciocnio anlogo para as filas com Beatriz ou Carla no final, isto , teremos mais 100 possibilidades em cada caso.

Assim, ao todo temos 120 + 100 + 100 + 100 = 420 possibilidades.

Resposta: A

10. CEPERJ PREF. SO GONALO 2011) Quatro crianas devem ficar umaao lado da outra para uma fotografia.

Se a criana mais alta deve ficar em uma das extremidades, o nmero de arrumaes possveis dessas crianas :

a) 4b) 6c) 8d) 10e) 12RESOLUO:

Como a criana mais velha deve ficar em uma das extremidades, temos que analisar 2 casos: quando esta criana est na extremidade esquerda; e quando esta criana est na extremidade direita. Veja:

1. Criana mais alta na extremidade esquerda. Temos a seguinte disposio:

Criana mais alta

(1 possibilidade) 3 possibilidades 2 possibilidades 1 possibilidade

Portanto, o nmero de possibilidades que temos aqui :

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!

Possibilidades = 1 x 3 x 2 x 1 = 6

2. Criana mais alta na extremidade direita. Neste caso, teramos:

3 possibilidades 2 possibilidades 1 possibilidade Criana mais alta (1 possibilidade)

Calculando o nmero de possibilidades:

Possibilidades = 3 x 2 x 1 x 1 = 6

Portanto, ao todo temos 12 possibilidades.

Resposta: E.

11. CEPERJ PREF. SO GONALO 2011) Permutando de todos os modospossveis todos os algarismos mpares 1, 3, 5, 7 e 9, e escrevendo os nmeros assim formados em ordem crescente, o nmero que ocupa a 83 posio : a) 71935b) 71953c) 73195d) 73519e) 73915RESOLUO:

Ao escrever todos os nmeros formados por estes algarismos em ordem crescente, sabemos que os primeiros sero aqueles comeados pelo algarismo 1. Quantos nmeros comeam com o algarismo 1? Basta ver o esquema abaixo, onde cada clula representa uma casa do nmero de 5 algarismos:

Algarismo 1

(1 possibilidade)

4 possibilidades (3, 5, 7 ou 9)

3 possibilidades

2 possibilidades

1 possibilidade

Portanto, ao todo temos 1 x 4 x 3 x 2 x 1 = 24 possibilidades comeando com o algarismo 1.

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RomuloRealce

!

Aps os nmeros comeando com o algarismo 1, teremos os nmeros comeados com o algarismo 3, e a seguir aqueles comeando com o 5.

Da mesma forma que calculamos acima, teremos 24 nmeros comeados com o algarismo 3 e outros 24 comeados pelo algarismo 5. At aqui, temos 72 nmeros.

Resta agora analisar aqueles comeados com o algarismo 7. Se somarmos outros 24 nmeros, passaremos da posio 83. Portanto, vejamos um a um, lembrando que o primeiro deles est na posio 73, e assim por diante:

Posio Nmero

73 71359

74 71395

75 71539

76 71593

77 71935

78 71953

79 73159

80 73195

81 73519

82 73591

83 73915

Observe que bastou escrever os nmeros em ordem crescente. O que ocupa a posio 83 o 73915.

Resposta: E.

12. CEPERJ SEE-RJ 2011) Uma permutao de um nmero natural um outronmero natural que possui exatamente os mesmos algarismos em outra ordem. Se

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!

todas as permutaes do nmero 31452 foram escritas em ordem crescente, o nmero que ocupar a 80 posio nessa lista ser: a) 32154b) 34251c) 35142d) 41352e) 42153RESOLUO:

Perceba a similaridade entre este exerccio e o anterior. Novamente vamos comear calculando quantos nmeros comearo com o algarismo 1, pois estes so os primeiros (se colocarmos os nmeros em ordem crescente). Veja o esquema abaixo, onde cada clula representa uma casa do nmero de 5 algarismos formado por 1, 2, 3, 4 e 5:

Algarismo 1

(1 possibilidade)

4 possibilidades (2, 3, 4 ou 5)

3 possibilidades

2 possibilidades

1 possibilidade

Portanto, ao todo temos 1 x 4 x 3 x 2 x 1 = 24 possibilidades comeando com o algarismo 1.

Aps os nmeros comeando com o algarismo 1, teremos os nmeros comeados com o algarismo 2, e a seguir aqueles comeando com o 3.

Da mesma forma que calculamos acima, teremos 24 nmeros comeados com o algarismo 2 e outros 24 comeados pelo algarismo 3. At aqui, temos 72 nmeros.

Resta agora analisar aqueles comeados com o algarismo 4. Se somarmos outros 24 nmeros, passaremos da posio 80. Portanto, vejamos um a um, lembrando que o primeiro deles est na posio 73, e assim por diante:

Posio Nmero

73 41235

74 41253

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!

75 41325

76 41352

77 41523

78 41532

79 42135

80 42153

Portanto, o nmero que ocupa a 80 posio o 42153.

Resposta: E.

13. CEPERJ PREF. SO GONALO 2011) Para elaborar uma prova deconcurso, uma banca dispe de 12 questes distintas, dentre as quais as questes X, Y e Z. A banca deseja elaborar a prova utilizando 8 das 12 questes disponveis, de modo que sejam satisfeitas as trs regras abaixo.

I - A questo X compe a prova se, e somente se, a questo Y tambm a compuser II - A questo Z compe a prova se, e somente se, a questo X no a compuser III - Pelo menos uma, dentre as questes X, Y e Z, deve fazer parte da prova

Dessa forma, o nmero mximo de modelos distintos de provas que a banca pode confeccionar, sem se importar com a ordem das questes na prova, : a) 120b) 129c) 369d) 80e) 55RESOLUO:

O prprio exerccio disse que a ordem das questes no importa. Portanto, estamos diante de uma questo de combinao. Para obedecer as 3 regras dadas pelo enunciado, teremos os seguintes modelos de provas:

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!

1. aqueles que possuem Z, mas no possuem X (e nem Y, pois Y s est presentequando X tambm est); 2. aqueles que possuem X e Y e no possuem Z;

Para o primeiro caso, temos 10 questes disponveis, j que no podemos usar X e Y. Precisamos escolher 8 para compor a prova. Porm 1 obrigatoriamente ser Z. Assim, precisamos escolher apenas 7 das 9 questes restantes. A combinao de 9 questes, 7 a 7, vista abaixo:

9 9 9 8 367 2 2 1

= = =

Para o segundo caso, j temos 2 questes na prova (X e Y). Alm disso, no podemos usar a questo Z, ento temos apenas 9 questes disponveis, sendo que precisamos pegar apenas 6 delas para completar as 8 da prova (junto da X e Y). Assim, precisamos combinar 9 questes disponveis, 6 a 6:

9 9 9 8 7 846 3 3 2 1

= = =

Portanto, somando os dois casos, temos 36 + 84 = 120 formas de montar a prova.

Resposta: A.

14. CEPERJ SEE-RJ 2011) As letras B, R, A, S, I, L devem ser escritas nasfaces de um cubo, com uma letra em cada face. O nmero de maneiras diferentes em que essas letras podem ser colocadas nas faces do cubo : a) 18b) 24c) 30d) 60e) 72RESOLUO:

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!

Vamos fixar uma letra qualquer em uma das faces do dado. Ela servir de referncia. A prxima etapa escolher uma letra para a face oposta a essa. Temos, para isso, 5 letras restantes, isto , 5 possibilidades.

Para as outras 4 faces, temos uma permutao circular. Calculando o nmero de possibilidades para essa permutao:

Pc (4) = (4 1)! = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 Assim, temos 2 eventos independentes (escolha da letra da face oposta e

escolha das letras da permutao circular), um com 5 possibilidades e o outro com 6. Pelo princpio fundamental da contagem, o nmero total de possibilidades ser:

Possibilidades = 5 x 6 = 30

Resposta: C.

15. CEPERJ SEE-RJ 2009) O nmero de subconjuntos de A = { 1, 2, 3, 4} quecontm o elemento 2 ou o elemento 3 :

a) 14b) 13c) 12d) 11e) 10RESOLUO:

O exerccio no disse quantos elementos devem estar presentes nos subconjuntos. Vamos comear analisando subconjuntos com apenas 1 elemento, depois com 2, e assim por diante.

Subconjuntos com 1 elemento:Neste caso, apenas os subconjuntos {2} e {3} atendem a condio doenunciado (contm ou o elemento 2, ou o elemento 3).

Subconjuntos com 2 elementos:

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!

Aqui os subconjuntos {1, 2}, {2, 4}, {1, 3}, {2, 3} e {3, 4} atendem a condio do enunciado.

Subconjuntos com 3 elementos:Neste caso, os subconjuntos {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4} e {2, 3, 4} atendem acondio dada.

Subconjuntos com 4 elementos:Apenas o {1, 2, 3, 4}.Assim, foi possvel obter 12 subconjuntos.

Resposta: C

Outra forma de resolver seria: 4 4 4 41 2 3 4

+ + +

. Desse total seria preciso

subtrair os casos que no atendem a condio do enunciado: {1}, {4} e {1, 4}.

16. CEPERJ SEE-RJ 2009) No departamento de vendas de uma empresatrabalham 4 homens e duas mulheres. Destas 6 pessoas, um grupo de 3 pessoas deve ser escolhido de forma que possua pelo menos uma mulher. O nmero de grupos diferentes que podem ser formados :

a) 16b) 12c) 8d) 20e) 24RESOLUO:

Precisamos formar grupos com 1 mulher e 2 homens, ou com 2 mulheres e 1 homem.

1 mulher e 2 homens:

Precisamos combinar as 2 mulheres, 1 a 1, e multiplicar isso pela combinao de 4 homens, 2 a 2:

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!

2 4 4 32 121 2 2

= =

2 mulheres e 1 homem:

Aqui temos que combinar 2 mulheres, 2 a 2, e multiplicar pela combinao de4 homens, 1 a 1:

2 41 4 4

2 1

= =

Ao todo, teremos 12 + 4 = 16 grupos.

Resposta: A.

17. FDC MAPA 2010) Em uma gaveta esto guardadas vrias meiasmasculinas, todas misturadas, nas seguintes quantidades e cores: 8 meias brancas, 12 meias pretas, 6 meias beges, 4 meias vermelhas e 2 meias azuis. Ocorreu uma pane de energia eltrica e uma pessoa precisa retirar a quantidade mnima de meias dessa gaveta, na escurido, para que possa garantir que duas delas, pelo menos, sejam da mesma cor. O nmero de meias que a pessoa deve retirar : a) 2b) 4c) 6d) 8e) 10RESOLUO:

Em exerccios como este, onde o objetivo tirar 2 meias da mesma cor, voc precisa imaginar o pior caso.

Imagine que, por azar, a pessoa tirou 5 meias, sendo uma de cada cor. Ora, este o pior caso possvel. Entretanto, note que, ao retirar a 6 meia, ela necessariamente repetir uma das 5 cores. Portanto, preciso tirar 6 meias para ter certeza que pelo menos 2 so da mesma cor.

Resposta: C.

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!

18. FDC MAPA 2010) Uma prova de questes de mltipla-escolha constitudade 20 questes com 5 opes cada uma, sendo apenas uma opo correta. O nmero de maneiras distintas de uma pessoa responder a essa prova e tirar a nota zero : a) 100 (cem)b) 205c) 520d) 420e) 1 (uma)RESOLUO:

Para errar a primeira questo, o aluno tem 4 opes para marcar. E tem outras 4 formas de errar a segunda. E mais 4 formas de errar a terceira. E assim por diante.

Note que errar a primeira questo um evento independente de errar a segunda, que por sua vez independente de errar a terceira etc. Portanto, podemos usar o princpio fundamental da contagem para calcular quantas formas existem para errar as 20 questes:

4 x 4 x 4 x 4 ... x 4 = 420

Resposta: D.

19. FDC MAPA 2010) O nmero mximo possvel de placas de automvel emnosso pas, com trs letras e quatro algarismos, comeadas pela letra B e terminadas pelo algarismo 9, : a) 650.000b) 676.000c) 175.760d) 10.000e) 26.000RESOLUO:

Considerando que temos 26 letras no alfabeto, e 10 algarismos, precisamos completar a placa abaixo:

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!

B __ __ - __ __ __ 9

Temos 26 possibilidades para a primeira letra, E 26 possibilidades para a segunda. Alm disso, temos 10 possibilidades para cada algarismo. Note que o exerccio no disse que precisvamos de letras ou algarismos distintos, isto , pode haver repetio.

Portanto, o nmero de possibilidades dado pelo princpio fundamental da contagem:

Possibilidades = 26 x 26 x 10 x 10 x 10 = 676.000

Resposta: B.

20. CEPERJ FAETEC 2010) Ricardo vai fazer uma longa viagem e pretendelevar 3 livros para ler. Se, na sua estante, h 9 livros que ele no leu, o nmero de maneiras que Ricardo poder escolher, dentre esses 9 livros, aquele que vai levar :

a) 48b) 64c) 72d) 84e) 90RESOLUO:

Veja que precisamos criar um grupo de 3 livros a partir de 9. Para isso, a ordem de escolha dos livros no importa. Isto , escolher os livros A, B e C igual a escolher os livros B, A e C. Estamos diante de um exerccio de combinao.

9 9 8 7(9,3) 843 3 2 1

C = = =

Resposta: D.

21. CESPE EMBASA 2009) A leitura mensal do consumo de gua residencialem cada um dos quinze bairros de determinado municpio feita por apenas um dos trs funcionrios responsveis por essa atividade; a cada ms, h uma distribuio

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!

aleatria em que cinco desses bairros so designados para cada um desses funcionrios. Com relao a essa situao hipottica, julgue os itens a seguir:

( ) Essa distribuio pode ser realizada de 126.126 maneiras diferentes.

( ) Considerando-se que os bairros sob a responsabilidade de determinado funcionrio sejam agrupados, por proximidade geogrfica, em duas regies, A e B, com dois bairros em A e trs bairros em B, ento esse funcionrio poder visitar esses bairros de 24 maneiras distintas se ele visitar todos os bairros de uma mesma regio antes dos demais bairros. RESOLUO:

PRIMEIRO ITEM:

Para o primeiro item, precisamos saber de quantas formas podemos distribuir 15 bairros entre 3 funcionrios, deixando cada um deles com 5 bairros.

A combinao de 15 em grupos de 5 (isto , 15, 5 a 5) nos diz de quantas maneiras podemos distribuir os bairros do primeiro funcionrio:

15 15 14 13 12 11 30035 5 4 3 2 1

= =

Aps separarmos os 5 bairros do primeiro funcionrio, sobram 10 bairros, dos quais 5 devero ser distribudos para o prximo funcionrio. A combinao de 10 bairros, 5 a 5, nos d o nmero de formas de efetuar essa distribuio:

10 10 9 8 7 6 2525 5 4 3 2 1

= =

Por fim, sobram 5 bairros, que sero distribudos para o ltimo funcionrio. S h uma forma de fazer isso, como vemos abaixo:

51

5

=

Multiplicando o nmero de formas de distribuir os bairros do primeiro funcionrio pelo nmero de formas para distribuir os bairros do segundo funcionrio e pelo nmero de formas de distribuir os bairros do ltimo funcionrio, temos:

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!

3003 252 1 756756 =

Portanto, esse item est ERRADO. No gabarito preliminar, este item foi considerado correto, mas foi corrigido no gabarito definitivo.

SEGUNDO ITEM: o funcionrio pode visitar os 2 bairros da regio A e, a seguir, os 3 bairros da regio B, ou vice-versa. Vamos calcular de quantas formas ele fazer isso. Note que agora a ordem importa. Portanto, trata-se de um caso de permutao.

- De quantas formas diferentes o funcionrio pode visitar os 2 bairros da regio A? Basta permutar os 2 bairros: P(2) = 2! = 2. - De quantas formas diferentes o funcionrio pode visitar os 3 bairros da regio B? P(3) = 3! = 6 - De quantas formas diferentes o funcionrio pode visitar as 2 regies? Ora, ele pode ir primeiro na regio A e depois na B, ou vice-versa. Temos 2 formas de fazer isso, que justamente P(2). Como temos 2 formas de visitar as regies, e, dentro das regies, 2 formas

de visitar os bairros de A e 6 formas de visitar os bairros de B, o total de formas de visitar todos os bairros : 2 x 2 x 6 = 24. Item CORRETO.

Resposta: E C

22. CESPE MPE/AM 2008) Com respeito aos princpios bsicos da contagemde elementos de um conjunto finito, julgue os itens a seguir.

( ) Considere que, em um edifcio residencial, haja uma caixa de correspondncia para cada um de seus 79 apartamentos e em cada uma delas tenha sido instalada uma fechadura eletrnica com cdigo de 2 dgitos distintos, formados com os algarismos de 0 a 9. Ento, de todos os cdigos assim formados, 11 deles no precisaram ser utilizados.

( ) Considere que um cdigo seja constitudo de 4 letras retiradas do conjunto {q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}, duas barras e 2 algarismos, escolhidos entre os algarismos de 0

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!

a 9. Nessa situao, se forem permitidas repeties das letras e dos algarismos, ento o nmero de possveis cdigos distintos desse tipo ser igual a 102(102 + 1).

RESOLUO:

PRIMEIRO ITEM: note que quando vamos formar cdigos de 2 algarismos distintos, no tem problema algum o zero ser o primeiro algarismo. Por exemplo, a sua senha do banco pode ser 0153, que diferente da senha 153 apenas. Assim, temos 10 possibilidades (de 0 a 9) para o primeiro dgito, e 9 possibilidades para o segundo dgito (pois devemos ter dgitos distintos). Ao todo temos 10 x 9 = 90 possibilidades de cdigo. Como eram apenas 79 caixas de correspondncia, 11 cdigos no precisaram ser utilizados. CORRETO.

SEGUNDO ITEM: Se fossemos simplesmente montar um cdigo com 4 letras retiradas do conjunto de 10 letras do enunciado, seria possvel formar 10x10x10x10 =104 cdigos. Alm disso, podemos escolher 2 algarismos de 0 a 9 (10 possibilidades), ou seja, podemos escolher 10 x 10 = 102 pares de 2 algarismos. Multiplicando apenas a quantidade de grupos de 4 letras (104) pela quantidade de grupos de algarismos (102) j temos 106 possibilidades, que um resultado maior que aquele dado pelo enunciado, portanto o item est ERRADO. Por fins didticos, vamos prosseguir com a resoluo. Teremos um cdigo da seguinte forma:

L L L L / / N N

Neste cdigo acima, os L representam as 4 letras, as / representam as barras e os N representam os 2 algarismos. Veja que no basta apenas multiplicar as quantidades de grupos de letras (104) pela de nmeros (102). Precisamos ainda considerar que as letras, barras e nmeros podem estar em qualquer posio. Veja os 3 exemplos abaixo. Cada um representa um cdigo distinto, apesar de usar as mesmas letras e nmeros:

Q R S T / / 1 2

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!

Q R S T 1 2 / /

Q / R S / T 1 2

Assim, para cada grupo de 4 letras e 2 nmeros que escolhermos, precisamos calcular o nmero de permutaes possveis. Para piorar, trata-se de uma permutao com repetio, pois a barra se repete. Temos, assim,

8!(8, 2) 201602!

PR = =

Portanto, ao todo teramos 20160 x 104 x 102 cdigos.

Resposta: C E

23. CESPE TSE 2007) Para aumentar a segurana no interior do prdio do TSE,foram distribudas senhas secretas para todos os funcionrios, que devero ser digitadas na portaria para se obter acesso ao prdio. As senhas so compostas por uma sequncia de trs letras (retiradas do alfabeto com 26 letras), seguida de uma sequncia de trs algarismos (escolhidos entre 0 e 9). O nmero de senhas distintas que podem ser formadas sem que seja admitida a repetio de letras, mas admitindo-se a repetio de algarismos, igual a:

a) 263 x 10 x 9 x 8b) 263 x 103

c) 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8d) 26 x 25 x 24 x 103

RESOLUO: Veja que teremos senhas do tipo __ __ __ - __ __ __, onde as trs primeiras

lacunas devem ser preenchidas por letras, e as trs seguintes por nmeros.

Veja que no h repetio de letras. Pelo princpio fundamental da contagem, temos 26 possibilidades para a primeira letra, 25 para a segunda e 24 para a terceira, isto : 26 x 25 x 24 possibilidades.

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!

Por outro lado, permitido repetir algarismos. Temos 10 possibilidades para o primeiro, outras 10 para o segundo e outras 10 para o terceiro, perfazendo 10 x 10x 10 = 103 possibilidades.

Ao todo, teremos 26 x 25 x 24 x 103 possibilidades de senhas.

Resposta: D

Obs.: a ttulo de exerccio, repare que a letra A representa o caso onde podemos repetir letras, mas no algarismos. A letra B representa o caso onde podemos repetir tanto as letras quanto os algarismos. A letra C representa o caso onde no podemos repetir nem letras e nem algarismos.

24. CESPE Polcia Federal 2009) Considerando que, em um torneio debasquete, as 11 equipes inscritas sero divididas nos grupos A e B, e que, para formar o grupo A, sero sorteadas 5 equipes, julgue o item que se segue. ( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 5 equipes que formaro o grupo A ser inferior a 400.

RESOLUO: Observe que colocar as equipes 1, 2, 3, 4 e 5 no grupo A equivalente a

colocar as equipes 3, 2, 1, 5 e 4 neste grupo. Isto , a ordem das equipes no importa. Estamos diante de um problema de combinao. O nmero de maneiras de se combinar 11 equipes em grupos de 5 dado por:

11 11 10 9 8 7(11,5) 4625 5 4 3 2 1

C = = =

Portanto, a quantidade de maneiras distintas de se escolher 5 equipes que formaro o grupo A ser SUPERIOR a 400.

Resposta: E

25. CESPE Polcia Federal 2009) A Polcia Federal brasileira identificou pelomenos 17 cidades de fronteira como locais de entrada ilegal de armas; 6 dessas cidades esto na fronteira do Mato Grosso do Sul (MS) com o Paraguai.

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Internet: (com adaptaes). Considerando as informaes do texto acima, julgue o prximo item. ( ) Se uma organizao criminosa escolher 6 das 17 cidades citadas no texto, com exceo daquelas da fronteira do MS com o Paraguai, para a entrada ilegal de armas no Brasil, ento essa organizao ter mais de 500 maneiras diferentes de fazer essa escolha.

RESOLUO: Veja que, das 17 cidades de fronteira, apenas 11 (17 6) no esto na

fronteira do MS com o Paraguai, portanto apenas estas sero escolhidas pela organizao criminosa.

O nmero de maneiras de se combinar 11 em grupos de 6 dado por:

11 10 9 8 7(11,6) (11,5) 4625 4 3 2 1

C C = = =

Este nmero MENOR do que 500, portanto o item est ERRADO.

Resposta: E

26. CESPE ABIN 2010) Com relao aos princpios e tcnicas de contagem,julgue os itens subsequentes.

( ) Caso o servidor responsvel pela guarda de processos de determinado rgo tenha de organizar, em uma estante com 5 prateleiras, 3 processos referentes a cidades da regio Nordeste, 3 da regio Norte, 2 da regio Sul, 2 da regio Centro-Oeste e 1 da regio Sudeste, de modo que processos de regies distintas fiquem em prateleiras distintas, ento esse servidor ter 17.280 maneiras distintas para organizar esses processos.

( ) Considere que seja possvel chegar a uma pequena cidade por meio de carro, por um dos 5 nibus ou por um dos 2 barcos disponveis e que, dado o carter sigiloso de uma operao a ser realizada nessa cidade, os agentes que participaro dessa operao devam chegar referida cidade de maneira independente, em veculos distintos. Em face dessa situao, sabendo-se que o rgo de inteligncia

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dispe de apenas um carro e que os deslocamentos devem ocorrer no mesmo dia, correto afirmar que o nmero de maneiras de o servidor responsvel pela organizao das viagens escolher os veculos para transporte de 3 agentes para essa misso inferior a 50.

( ) Caso o chefe de um rgo de inteligncia tenha de escolher 3 agentes entre os 7 disponveis para viagens um deles para coordenar a equipe, um para redigir o relatrio de misso e um para fazer os levantamentos de informaes , o nmero de maneiras de que esse chefe dispe para fazer suas escolhas inferior a 200.

RESOLUO:

PRIMEIRO ITEM: temos 5 prateleiras, e processos de 5 regies para colocarem cada uma. Todos os processos de uma mesma regio devem ficar namesma prateleira. Isto pode ser representado pelo esquema abaixo:

Prateleira 1 Prateleira 2 Prateleira 3 Prateleira 4 Prateleira 5 5 possibilidades

4 possibilidades

3 possibilidades

2 possibilidades

1 possibilidade

Pelo princpio fundamental da contagem, temos 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 formas distintas de dispor os processos de cada regio numa mesma prateleira.

Imagine a seguinte distribuio: Prateleira 1 Prateleira 2 Prateleira 3 Prateleira 4 Prateleira 5 Regio Norte (3 processos)

Regio Nordeste (3 processos)

Regio Sul (2 processos)

Regio Sudeste (1 processo)

Regio Centro-Oeste (2 processos)

Note que possvel permutar os 3 processos da regio Norte, dispondo-os de 3! = 6 maneiras diferentes. Da mesma forma, podemos permutar os da regio Nordeste, dispondo-os de 3! = 6 maneiras diferentes. Para a regio Sul temos 2! = 2 maneiras distintas, o mesmo se aplicando regio Centro-Oeste, e apenas 1 maneira para a regio Sudeste.

Assim, considerando as regies distribudas conforme esta ltima tabela, teramos 6 x 6 x 2 x 1 x 2 = 144 formas distintas de distribuir os processos, devido s permutaes dos mesmos dentro de cada prateleira.

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Isto , para cada uma das 120 formas de dispor os processos de cada regio nas prateleiras, existem 144 formas de organizar os processos de cada prateleira. Ao todo, temos 120 x 144 = 17280 formas de distribuir os processos. Item CERTO.

SEGUNDO ITEM: Ser preciso escolher 3 veculos, um para transportar cadaum dos agentes. A ordem no importa, o que interessa escolher 3 dos 8veculos disponveis para transportar os agentes. Isto , precisamos calculara combinao de 8 veculos em grupos de 3:

8 7 6(8,3) 563 2 1

C = =

Item ERRADO.

TERCEIRO ITEM: O nmero de formas de escolher 3 agentes em um grupode 7 dado pela combinao de 7, 3 a 3 (pois a ordem no importa):

7 6 5(7,3) 353 2 1

C = =

Uma vez escolhidos esses 3 agentes, temos que alocar cada um em uma funo: coordenar, redigir e fazer levantamentos. Aqui, a ordem importa, pois colocar o agente A para coordenar e o agente B para redigir diferente de colocar o agente A para redigir e o agente B para coordenar. Assim, para a primeira funo, temos 3 possibilidades (qualquer um dos 3 agentes), para a segunda temos 2 possibilidades e para a terceira temos 1 possibilidade, totalizando 3 x 2 x 1 = 6 possibilidades.

Assim, ao todo temos 35 grupos de 3 agentes, e cada grupo pode ser alocado de 6 maneiras distintas, totalizando 35 x 6 = 210 formas de escolher os agentes. Item ERRADO. Resposta: C E E

27. CESPE ANAC 2009) Com relao a anlise combinatria, julgue os itensque se seguem.

( ) O nmero de rotas areas possveis partindo de Porto Alegre, Florianpolis ou Curitiba com destino a Fortaleza, Salvador, Natal, Joo Pessoa, Macei, Recife ou

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Aracaju, fazendo uma escala em Belo Horizonte, Braslia, Rio de Janeiro ou So Paulo mltiplo de 12.

( ) Considerando que: um anagrama de uma palavra uma permutao das letras dessa palavra, tendo ou no significado na linguagem comum, A seja a quantidade de anagramas possveis de se formar com a palavra AEROPORTO, B seja a quantidade de anagramas comeando por consoante e terminando por vogal possveis de se formar com a palavra TURBINA; e sabendo que 9! = 362.880 e 5! = 120, ento A = 21B.

( ) Considere a seguinte situao hipottica. H 6 estradas distintas ligando as cidades A e B, 3 ligando B e C; e 2 ligando A e C diretamente. Cada estrada pode ser utilizada nos dois sentidos. Nessa situao, o nmero de rotas possveis com origem e destino em A e escala em C igual a 400.

( ) O nmero de comisses constitudas por 4 pessoas que possvel obter de um grupo de 5 pilotos e 6 co-pilotos, incluindo, pelo menos, 2 pilotos, superior a 210.

RESOLUO:

PRIMEIRO ITEM: temos 3 cidades de partida, 4 para fazer escala e 7 dedestino. Sando de uma das 3 cidades de partida, temos 4 vos possveispara a cidade de escala. Aps esse primeiro vo, temos outros 7 vospossveis para a cidade de destino. Portanto, ao todo temos 3 x 4 x 7 = 84vos (que mltiplo de 12). Item CERTO.

SEGUNDO ITEM: Veja que AEROPORTO possui a repetio de 2 R e 3 O.Portanto, o nmero de anagramas dado pela permutao de 9 letras, com arepetio de 2 e de 3:

9! 362880(9;3,2) 302403!2! 12

P = = =

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J TURBINA no possui letras repetidas. Entretanto, o exerccio s quer os anagramas que comecem com uma das 4 consoantes e termine com uma das 3 vogais. Portanto, temos o seguinte esquema: 1 letra 2 letra 3 letra 4 letra 5 letra 6 letra 7 letra 4 opes (consoantes)

3 opes (vogais)

Da 2 6 letra, podemos utilizar qualquer uma das 5 letras restantes. Portanto, temos: 1 letra 2 letra 3 letra 4 letra 5 letra 6 letra 7 letra 4 opes (consoantes)

5 opes

4 opes

3 opes

2 opes

1 opo 3 opes (vogais)

Assim, existem 4 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 3 = 1440 anagramas de TURBINA que atendem as condies do enunciado.

Portanto, A = 30240 e B = 1440. Veja que 21 x 1440 = 30240. Isto , A = 21B. Item CERTO.

TERCEIRO ITEM: Temos o esquema abaixo:

Para sair de A e voltar a A, passando por C, existem as seguintes formas: 1) A B C A2) ACA3) ACBA4) A BCBA

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Calculando as probabilidades de cada caso, temos: 1) 6 x 3 x 2 = 362) 2 x 2 = 43) 2 x 3 x 6 = 364) 6 x 3 x 3 x 6 = 324

Ao todo, temos 36 + 4 + 36 + 324 = 400 possibilidades. Item CERTO.

QUARTO ITEM: Neste caso, podemos somar o total de comisses contendo2, 3 e 4 pilotos. Podemos tambm calcular o total de comisses possveiscom os 11 funcionrios e subtrair deste total aquelas que no possuem pilotoou possuem apenas 1 piloto. Para exercitar, vamos utilizar o segundomtodo.

O total de combinaes de 11 pessoas, 4 a 4, dado por: (11,4) 330C =

J o total de grupos formados apenas por co-pilotos, isto , sem nenhum piloto, dado pela combinao dos 6 co-pilotos, 4 a 4:

(6,4) 15C =

Por fim, o total de grupos formados por apenas 1 piloto e 3 co-pilotos dado pela multiplicao entre a combinao de 5 pilotos, 1 a 1, pela combinao de 6 co-pilotos, 3 a 3:

(5,1) (6,3) 100C C =

Portanto, o total de combinaes que possuem 2 ou mais pilotos : 330 15 100 = 215

Como este valor superior a 210, o item est CERTO.

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Resposta: C C C C

28. CESPE BANCO DO BRASIL 2007) Julgue os itens que se seguem quanto adiferentes formas de contagem.

( ) Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas para serem usados em uma propaganda na televiso, em expresses do tipo Banco do Bruno, Banco da Rosa etc. Suponha, tambm, que a quantidade total de nomes escolhidos para aparecer na propaganda seja 12 e que, em cada insero da propaganda na TV, sempre apaream somente dois nomes distintos. Nesse caso, a quantidade de inseres com pares diferentes de nomes distintos que pode ocorrer inferior a 70.

( ) H exatamente 495 maneiras diferentes de se distriburem 12 funcionrios de um banco em 3 agncias, de modo que cada agncia receba 4 funcionrios.

( ) Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimenses iguais, pendurando-as verticalmente na vitrine de uma loja para produzir diversas formas. Nessa situao, se 3 faixas so verdes e indistinguveis, 3 faixas so amarelas e indistinguveis e 1 faixa branca, esse decorador conseguir produzir, no mximo, 140 formas diferentes com essas faixas.

RESOLUO:

PRIMEIRO ITEM: Aquitemos a combinao de 12nomes em pares de 2:

Item CERTO.

SEGUNDO ITEM: para a primeira agncia, podemos combinar os 12funcionrios, 4 a 4. J para a segunda agncia, sobram 8 funcionrios paraserem combinados 4 a 4. Por fim, para a terceira agncia sobram 4funcionrios. At aqui, temos:

(12,2) 66C =02411066139

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(12,4) 495(8,4) 70(4,4) 1

CCC

=

=

=

Portanto, at aqui temos 495 x 70 x 1 possibilidades. S isso j superior a 495, portanto o item est ERRADO.

TERCEIRO ITEM: Veja que temos a permutao de 7 faixas, com a repetiode 3 (verdes) e 3 (amarelas). Utilizando a frmula da permutao comrepetio, temos:

7!(7;3,3) 1403!3!

P = =

Isto , existem 140 formas diferentes de dispor as 7 faixas. Item CERTO.

Resposta: C E C

29. CESPE MPE/RR 2008) Em cada um dos prximos itens, apresentada umasituao hipottica a respeito de probabilidade e contagem, seguida de uma assertiva a ser julgada.

( ) O arquivo de um tribunal contm 100 processos, distribudos entre as seguintes reas: direito penal, 30; direito civil, 30; direito trabalhista, 30; direito tributrio e direito agrrio, 10. Nessa situao, ao se retirar, um a um, os processos desse arquivo, sem se verificar a que rea se referem, para se ter a certeza de que, entre os processos retirados do arquivo, 10 se refiram a uma mesma rea, ser necessrio que se retirem pelo menos 45 processos.

RESOLUO: Vamos imaginar o pior caso possvel. Imagine que, ao retirar 4 processos,

foram retirados exatamente 1 processo de cada tipo. Prosseguindo, aps retirar mais 4 processos, demos o azar de tirar mais 1 processo de cada tipo, totalizando 2 processos de cada tipo. Prosseguindo neste raciocnio, pode ser que, aps retirar 36 processos, tenhamos 9 de cada tipo. Isto significa que, ao retirar o prximo processo (o 37), completaremos 10 processos de algum dos tipos. Isto , preciso

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tirar 37 processos do arquivo para ter certeza de que pelo menos 10 so do mesmo tipo. Item ERRADO. Resposta: E

30. CESPE Polcia Militar/CE 2008) Cada um dos itens a seguir apresenta umainformao seguida de uma assertiva a ser julgada a respeito de contagem.

( ) No Brasil, as placas dos automveis possuem trs letras do alfabeto, seguidas de quatro algarismos. Ento, com as letras A, B e C e com os algarismos 1, 2, 3 e 4 possvel formar mais de 140 placas distintas de automveis.

( ) Determinada cidade possui quatro praas, cinco escolas e seis centros de sade que devero ser vigiados pela polcia militar. Diariamente, um soldado dever escolher uma praa, uma escola e um centro de sade para fazer a sua ronda. Nesse caso, o soldado dispor de mais de 150 formas diferentes de escolha dos locais para sua ronda.

( ) Em determinada delegacia, h 10 celas iguais e 8 presidirios. Nesse caso, h mais de 1.800.000 maneiras diferentes de se colocar um presidirio em cada cela.

( ) Um anagrama da palavra FORTALEZA uma permutao das letras dessa palavra, tendo ou no significado na linguagem comum. A quantidade de anagramas que possvel formar com essa palavra inferior a 180.000.

RESOLUO:

PRIMEIRO ITEM: Temos que formar placas com 3 letras e 4 algarismos comas 3 letras disponveis e os 4 algarismos disponveis. Veja que o exercciono disse que as letras ou os algarismos deviam ser distintos, isto , podehaver repetio. Pensando numa senha do tipo L L L N N N N, onde a letraL simboliza uma letra e a letra N simboliza um algarismo, sabemos quetemos 3 possibilidades para preencher cada L, e 4 possibilidades parapreencher cada N. Ao todo, temos: 3 x 3 x 3 x 4 x 4 x 4 x 4 = 6912possibilidades. Isto , BEM MAIS que 140 placas distintas. Item CERTO.

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SEGUNDO ITEM: o policial tem 4 formas de escolher uma praa para fazer asua ronda. E 5 formas de escolher uma escola. E 6 formas de escolher umcentro de sade. Portanto, ao todo o policial pode escolher um conjuntopraa-escola-centro de 4 x 5 x 6 = 120 formas distintas. Item ERRADO.

TERCEIRO ITEM: Veja que sempre sobraro exatamente 2 celas vazias,afinal devemos colocar um presidirio apenas por cela. Portanto, precisamosresolver este item em 2 etapas:

- escolher 8 das 10 celas para preencher com presidirios. Para isso, devemos combinar 10 celas, 8 a 8:

(10,8) (10,2) 45C C= = - escolhidas as 8 celas, devemos permutar os 8 presidirios entre as celas, calculando a quantidade de forma de disp-los:

(8) 8! 40320P = = Portanto, temos 45 formas de escolher 8 celas, e, para cada uma dessas formas, temos 40320 formas de dispor os presidirios. Assim, ao todo temos:

45 x 40320 = 1.814.400 Item CERTO.

QUARTO ITEM: observe que FORTALEZA possui 9 letras, com a repetiode 2 letras A. Portanto, a quantidade de anagramas dada pela permutaode 9, com repetio de 2:

9!(9;2) 1814402!

P = =

Isto , temos mais de 180.000 anagramas. Item ERRADO. Resposta: C E C E

31. ESAF ANEEL 2004) Quer-se formar um grupo de danas com 6 bailarinas,de modo que trs delas tenham menos de 18 anos, que uma delas tenha exatamente 18 anos, e que as demais tenham idade superior a 18 anos. Apresentaram-se, para a seleo, doze candidatas, com idades de 11 a 22 anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferente das demais. O nmero de

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diferentes grupos de dana que podem ser selecionados a partir deste conjunto de candidatas igual a

a) 85. b) 220.c) 210.d) 120.e) 150.

RESOLUO: Temos uma candidata com cada idade possvel entre 11 e 22 anos. Portanto,

temos ao todo 7 candidatas com menos de 18 anos (11, 12, 13, 14, 15, 16 e 17 anos); 1 candidata com 18 anos, e 4 candidatas com mais de 18 anos (19, 20, 21 e 22 anos).

Precisamos escolher 3 dentre as 7 bailarinas com menos de 18 anos. Veja que a ordem de escolha no importa, afinal o grupo constitudo pelas bailarinas 11-12-13 igual ao grupo constitudo pelas bailarinas 13-11-12, e assim por diante. Logo, estamos diante de uma combinao de 7 pessoas, 3 a 3:

C(7,3) = 7 x 6 x 5 / (3 x 2 x 1) = 35 possibilidades

S h 1 possibilidade para a escolha de uma garota com exatamente 18 anos. Devemos ainda escolher as 2 bailarinas que restam para completar o grupo de 6. Elas devem ser escolhidas dentre as 4 com mais de 18 anos. O nmero de possibilidades para esta escolha dada pelas combinaes de 4 pessoas em grupos de 2:

C(4,2) = 4 x 3 / (2 x 1) = 6 possibilidades

Ao todo temos 35 possibilidades para as menores de 18 anos E 1 possibilidade para a bailarina de 18 anos E 6 possibilidades para as maiores de 18. Portanto, o nmero de formas de escolha dado pela multiplicao (veja que destaquei o E na frase anterior para detonar o princpio multiplicativo):

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Total = 35 x 1 x 6 = 210 possibilidades

Resposta: C

32. ESAF AFT 2006) Quer-se formar um grupo de dana com 9 bailarinas, demodo que 5 delas tenham menos de 23 anos, que uma delas tenha exatamente 23 anos, e que as demais tenham idade superior a 23 anos. Apresentaram-se, para a seleo, quinze candidatas, com idades de 15 a 29 anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferente das demais. O nmero de diferentes grupos de dana que podem ser selecionados a partir deste conjunto de candidatas igual a: a) 120b) 1220c) 870d) 760e) 1120

RESOLUO: Temos 8 garotas com menos de 23 anos, das quais devemos escolher 5. O

nmero de combinaes :

C(8,5) = C (8,3) = 8 x 7 x 6 / (3 x 2 x 1) = 56 possibilidades

Temos uma nica possibilidade para a garota de 23 anos exatos. E restam 6 garotas com mais de 23 anos, das quais devemos escolher 3. Isto :

C(6,3) = 6 x 5 x 4 / (3 x 2 x 1) = 20 possibilidades

Ao todo, temos 56 x 1 x 20 = 1120 possibilidades.

Resposta: E

33. ESAF MPU 2004) Paulo possui trs quadros de Gotuzo e trs de Portinari equer exp-los em uma mesma parede, lado a lado. Todos os seis quadros so

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assinados e datados. Para Paulo, os quadros podem ser dispostos em qualquer ordem, desde que os de Gotuzo apaream ordenados entre si em ordem cronolgica, da esquerda para a direita. O nmero de diferentes maneiras que os seis quadros podem ser expostos igual a

a) 20. b) 30. c) 24. d) 120.e) 360.

RESOLUO: Inicialmente, vamos desconsiderar o fato de que os quadros de Gotuzo

precisam ficar em uma ordem fixa (cronolgica). Sendo G1, G2 e G3 os quadros de Gotuzo e P1, P2 e P3 os quadros de Portinari, alguns exemplos de disposio seriam:

1. P1 P2 P3 G1 G2 G3

2. P1 G1 P2 G2 P3 G3

3. P1 G3 P2 G1 P3 G2

4. G1 G2 P3 P1 G3 P2

5. G2 G1 P3 P1 G3 P2

6. G3 G1 P3 P1 G2 P2

...

Veja que temos 6 quadros distintos, e est claro que a ordem dos quadros torna uma disposio diferente da outra. Logo, podemos calcular o nmero total de formas diferentes de disp-los atravs da frmula da permutao simples:

Total = P(6) = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 formas

Deste total acima, devemos eliminar os casos em que os quadros de Gotuzo trocam de ordem entre si (afinal eles devem estar sempre na mesma ordem, do

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mais recente para o mais antigo). Em nossa lista acima, veja que deveramos eliminar o caso 3, pois a diferena do caso 2 para ele apenas a troca na ordem dos quadros de Gotuzo. Da mesma forma, deveramos eliminar os casos 5 e 6, pois a diferena deles para o caso 4 a troca de ordem dos quadros de Gotuzo.

Vamos trabalhar mais detidamente sobre o caso 4 para voc visualizar o problema. Substituindo os quadros de Gotuzo por posies em branco, temos:

4. _ _ P3 P1 _ P2

De quantas maneiras podemos distribuir os quadros de Gotuzo nos espaos em branco? Ora, temos 3 possibilidades para o primeiro espao (G1, G2 ou G3), 2 para o segundo e 1 para o terceiro, totalizando 3 x 2 x 1 = 6 formas. Isto nos mostra que, pela simples alterao na posio dos quadros de Gotuzo (sem mexer na posio dos Portinari) criamos 6 distribuies diferentes, sendo que destas apenas 1 nos interessa aquela que esses quadros esto em ordem cronolgica:

4. G1 G2 P3 P1 G3 P2

Generalizando este raciocnio, para cada posicionamento dos 3 quadros de Portinari, o nmero de permutaes possveis para os 3 quadros de Gotuzo :

P(3) = 3! = 3 x 2 x 1 = 6

Destas 6 permutaes possveis, s 1 nos interessa (ordem cronolgica). Isto , para aquelas 720 distribuies que encontramos inicialmente, sabemos que de cada 6 delas apenas 1 nos interessa. Assim, devemos dividir 720 por 6, para eliminar as distribuies geradas pela simples permutao entre os quadros de Gotuzo. Logo,

Disposies = 720 / 6 = 120

Temos 120 formas de organizar os 6 quadros, de maneira a no trocar a ordem dos quadros de Gotuzo.

Resposta: D

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34. ESAF MPU 2004) Quatro casais compram ingressos para oito lugarescontguos em uma mesma fila no teatro. O nmero de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo a que a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados; e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas, so, respectivamente, a) 1112 e 1152.b) 1152 e 1100.c) 1152 e 1152.d) 384 e 1112.e) 112 e 384.

RESOLUO: Vamos usar a tabela abaixo para anotar todas as possibilidades de

preenchimento de cada cadeira. Cadeira 1 Cadeira

2 Cadeira

3 Cadeira

4 Cadeira

5 Cadeira

6 Cadeira

7 Cadeira

8

No caso da letra a, devemos alternar homens e mulheres nas cadeiras consecutivas. Para a primeira cadeira temos 8 possibilidades de preenchimento, afinal qualquer um pode se sentar ali. Na segunda cadeira, entretanto, h apenas 4 possibilidades: um dos 4 homens (se a cadeira 1 foi ocupada por mulher), ou uma das 4 mulheres (se a cadeira 1 foi ocupada por homem): Cadeira 1 Cadeira

2 Cadeira

3 Cadeira

4 Cadeira

5 Cadeira

6 Cadeira

7 Cadeira

8

8 (qualquer homem ou

mulher)

4 (sexo diferente

da cadeira

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1)

Na 3 cadeira, devemos colocar algum do mesmo sexo da pessoa na cadeira 1. Assim, temos 3 possibilidades de preenchimento desta cadeira. E na 4 cadeira devemos colocar algum do mesmo sexo da pessoa na cadeira 2, havendo outras 3 possibilidades. Para a cadeira 5 restam apenas 2 possibilidades, afinal duas pessoas j foram deixadas nas cadeiras 1 e 3 (deste mesmo sexo). O mesmo raciocnio vale para a cadeira 6. Por fim, na cadeira 7 resta a ltima pessoa de um dos sexos, e na cadeira 8 resta a ltima pessoa do outro sexo. Assim, temos:

Cadeira 1 Cadeira 2

Cadeira 3

Cadeira 4

Cadeira 5

Cadeira 6

Cadeira 7

Cadeira 8

8 4 3 3 2 2 1 1

Portanto, ao todo temos 8 x 4 x 3 x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 = 1152 possibilidades.

Na letra b queremos que todos os homens se sentem juntos e todas as mulheres tambm. Assim, novamente temos 8 possibilidades para a primeira cadeira (qualquer homem ou mulher). Para a segunda cadeira temos apenas 3 possibilidades, afinal devemos colocar algum do mesmo sexo de quem se sentou na cadeira 1. Da mesma forma, restam 2 possibilidades para a cadeira 3 e apenas 1 pessoa restante para a cadeira 4:

Cadeira 1 Cadeira 2

Cadeira 3

Cadeira 4

Cadeira 5

Cadeira 6

Cadeira 7

Cadeira 8

8 3 2 1

Na cadeira 5 devemos colocar a primeira pessoa do sexo oposto. Temos, portanto, 4 possibilidades, restando 3 para a cadeira 6, 2 para a cadeira 7 e a ltima para a cadeira 8:

Cadeira 1 Cadeira Cadeira Cadeira Cadeira Cadeira Cadeira Cadeira

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2 3 4 5 6 7 8

8 3 2 1 4 3 2 1

Ao todo, temos 8 x 3 x 2 x 1 x 4 x 3 x 2 x 1 = 1152 possibilidades.

Resposta: C

35. ESAF AFRFB 2009 Adaptada) De quantas maneiras podem sentar-setrs homens e trs mulheres em uma mesa redonda, isto , sem cabeceira, de modo a se ter sempre um homem entre duas mulheres e uma mulher entre dois homens?

a) 12b) 36c) 216d) 720e) 360

RESOLUO: Observe abaixo uma imagem desta mesa. Marquei com as letras A, B, C, D,

E e F as 6 posies onde algum poderia se sentar:

Vamos supor que o primeiro dos 3 homens sentou-se na posio A. Neste caso, sobram 2 possibilidades de homens para a posio C e 1 possibilidade para a posio E. Quanto s mulheres, temos 3 possibilidades para a posio B, 2 para a posio D e 1 para a posio F. Multiplicando, temos:

Total de possibilidades = 2 x 1 x 3 x 2 x 1 = 12

Resposta: A

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!

Obs.: Veja que no precisamos trabalhar o caso onde o primeiro homem sentou-se em outra posio. Isto porque, como temos uma mesa redonda sem cabeceira, devemos entender que, at a primeira pessoa se sentar, no h qualquer referncia, ou seja, qualquer posio que o primeiro homem se sentar equivale s demais. S aps ele se sentar que as outras posies passam a ser diferentes umas das outras, afinal encontram-se em localizaes distintas em relao a esta pessoa.

36. ESAF ANEEL 2004) Dez amigos, entre eles Mrio e Jos, devem formaruma fila para comprar as entradas para um jogo de futebol. O nmero de diferentes formas que esta fila de amigos pode ser formada, de modo que Mrio e Jos fiquem sempre juntos igual a a) 2! 8!b) 0! 18!c) 2! 9!d) 1! 9!e) 1! 8!

RESOLUO: Como Mrio e Jos devem sempre ficar juntos, podemos inicialmente trata-

los como se fossem 1 pessoa s. Assim, temos ao todo 9 pessoas, e no 10. O nmero de filas que podemos formar com essas 9 pessoas a simples permutao de 9, afinal est claro que a ordem dos elementos torna uma fila distinta da outra:

P(9) = 9!

Veja um exemplo dessas filas abaixo. As posies em branco representam os outros 8 amigos, que no Mrio e Jos:

_ _ Mrio Jos _ _ _ _ _ _

Observe que trocando a ordem entre Mrio e Jos, mantendo todos os demais em suas posies originais, temos uma fila distinta:

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!

_ _ Jos Mrio _ _ _ _ _ _

Isto , cada uma daquelas 9! possibilidades que vimos acima deve ainda ser multiplicada pela permutao dos 2 rapazes entre si. Como P(2) = 2!, temos ao todo:

Possibilidades de fila = 2! x 9!

Resposta: C

37. ESAF AFRFB 2009 Adaptada) Sabe-se que os pontos A, B, C, D, E, F eG so coplanares, ou seja, esto localizados no mesmo plano. Sabe-se, tambm, que destes sete pontos, quatro so colineares, ou seja, esto numa mesma reta. No possvel traar outra reta com 3 ou mais pontos. Assim, o nmero de retas que ficam determinadas por estes sete pontos igual a:

a) 16b) 28c) 15d) 24e) 32RESOLUO:

Veja abaixo uma ilustrao contendo 4 pontos colineares, e outros 3 pontos

dispersos:

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!

Podemos ligar, com retas, cada um dos 3 pontos no-colineares com cada um dos 4 pontos colineares, totalizando 3 x 4 = 12 segmentos de reta distintos.

Alm disso, podemos ligar os 3 pontos no-colineares entre si, formando

outros 3 segmentos de reta:

At aqui temos 12 + 3 = 15 retas. Alm destas, temos o prprio segmento que liga os 4 pontos colineares entre si. Ao todo, so 16 segmentos de reta.

Resposta: A

38. ESAF GEFAZ/MG 2005 Adaptada) Marcela e Mrio fazem parte de umaturma de quinze formandos, onde dez so rapazes e cinco so moas. A turma rene-se para formar uma comisso de formatura composta por seis formandos, sendo metade de cada sexo. O nmero de diferentes comisses que podem ser formadas de modo que Marcela participe e que Mrio no participe igual a:

a) 504b) 252c) 284d) 90e) 84RESOLUO:

Devemos formar comisses de 6 formandos, sendo 3 homens e 3 mulheres. Como um deles obrigatoriamente Marcela, ento falta escolher 2 mulheres dentre

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!

as 4 restantes. Devemos ainda escolher 3 homens dentre os 9 disponveis (e no 10, pois Mrio no deve participar).

A ordem de escolha das pessoas no torna uma comisso diferente da outra, logo estamos diante de um caso de Combinao. Combinando 4 moas, 2 a 2, temos:

C(4,2) = 4 x 3 / (2 x 1) = 6 possibilidades para as moas

E combinando os 9 rapazes restantes, 3 a 3, temos:

C(9,3) = 9 x 8 x 7 / (3 x 2 x 1) = 3 x 4 x 7 = 84 possibilidades para os rapazes

Assim, como temos 6 possibilidades para as moas E 84 para os rapazes, ao todo temos:

6 x 84 = 504 possibilidades para formar as comisses

Resposta: A

39. FCC TRF/2 2012) Sidnei marcou o telefone de uma garota em um pedaode papel a fim de marcar um posterior encontro. No dia seguinte, sem perceber o pedao de papel no bolso da camisa que Sidnei usara, sua me colocou-a na mquina de lavar roupas, destruindo assim parte do pedao de papel e, consequentemente, parte do nmero marcado. Ento, para sua sorte, Sidnei se lembrou de alguns detalhes de tal nmero:

- o prefixo era 2204, j que moravam no mesmo bairro; - os quatro ltimos dgitos eram dois a dois distintos entre si e formavam um nmero par que comeava por 67.

Nessas condies, a maior quantidade possvel de nmeros de telefone que satisfazem as condies que Sidnei lembrava

a) 24. b) 28. c) 32.

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!

d) 35. e) 36. RESOLUO:

Os ltimos quatro dgitos devem formar um nmero par que comea por 67. Ou seja, um nmero do tipo 67XY. Para este nmero ser par, Y deve ser um algarismo par. As possibilidades para Y so 0, 2, 4, 6 e 8. Como 6 j est presente em 67, sobram 4 opes possveis para Y.

Por sua vez, X deve ser um nmero distinto de 6, 7 e Y, sobrando 7 algarismos possveis. Desta forma, temos 7 x 4 = 28 possibilidades para completar o nmero restante.

Resposta: B

40. FGV ICMS/RJ 2011) Quantas combinaes existem para determinar oprimeiro e o segundo lugares de um concurso com 10 pessoas? (O primeiro e o segundo lugares no podem ser a mesma pessoa). (A) 18.000. (B) 90. (C) 19. (D) 680. (E) 18.000. RESOLUO:

Temos 10 opes para o primeiro lugar e 9 restantes para o segundo lugar, totalizando 10 x 9 = 90 possibilidades.

Resposta: B

41. FGV SENADO 2008) Em uma reunio todas as pessoas secumprimentaram, havendo ao todo 120 apertos de mo. O nmero de pessoas presentes nessa reunio foi:

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!

a) 14. b) 15. c) 16. d) 18. e) 20. RESOLUO:

Se temos n pessoas, o nmero de cumprimentos dado pela combinaod as n pessoas, 2 a 2, ou seja:

( 1)( , 2)2!

n nC n =

( 1)1202

n n =

( 1) 240n n =

Aqui voc tem dois caminhos: ou voc encontra um nmero n que, multiplicado por seu antecessor (n 1), igual a 240, ou resolve a equao de segundo grau n2 n 240 = 0.

Optando pelo primeiro caminho, veja que, se n = 16, temos que 16 x 15 = 240. Portanto, o gabarito letra C.

Se decidssemos resolver a equao de segundo grau, teramos:

+ = =

( 1) 1 4 240 1 312 2

n

Assim, teramos n1 = 16 e n2 = -15. Como o nmero de pessoas no pode ser negativo, devemos optar por n = 16. Resposta: C

42. FGV MEC 2009) Considere o conjunto A = {2,3,5,7}. A quantidade dediferentes resultados que podem ser obtidos pela soma de 2 ou mais dos elementos do conjunto A : a) 9

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!

b) 10c) 11d) 15e) 17

RESOLUO: Somando os elementos do conjunto {2,3,5,7} em grupos de 2 temos:

2 + 3 = 5

2 + 5 = 7

2 + 7 = 9

3 + 5 = 8

3 + 7 = 10

5 + 7 = 12

Somando em grupos de 3 elementos, temos: {2,3,5,7} 2 + 3 + 5 = 10

2 + 3 + 7 = 12

2 + 5 + 7 = 14

3 + 5 + 7 = 15

Somando em grupos de 4 elementos, temos:

2 + 3 + 5 + 7 = 17

Repare que temos 9 resultados de soma distintos. No devemos somar duas vezes os resultados 10 ou 12.

Resposta: A

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43. FGV MEC 2009) Uma urna contm dez bolas: uma branca, duas amarelas,trs verdes e quatro pretas. Considere as afirmativas a seguir: I. Se uma bola for retirada da urna, restar, necessariamente, dentro dela, uma bola de cada uma das quatro cores. II. Se cinco bolas forem retiradas da urna, restaro em seu interior,necessariamente, bolas apenas com trs das quatro cores. III. Se cinco bolas forem retiradas da urna, entre as bolas retiradas haver,necessariamente, duas de uma mesma cor. Assinale: (A) se somente a afirmativa I estiver correta. (B) se somente a afirmativa II estiver correta. (C) se somente a afirmativa III estiver correta. (D) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. (E) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. RESOLUO:

Vamos analisar as afirmativas dadas: I. Se uma bola for retirada da urna, restar, necessariamente, dentro dela, uma bola de cada uma das quatro cores.

Falso. Temos apenas 1 bola branca. Se ela for retirada, teremos bolas de apenas 3 cores na urna.

II. Se cinco bolas forem retiradas da urna, restaro em seu interior,necessariamente, bolas apenas com trs das quatro cores.

Falso. Observe que, se as 5 bolas retiradas forem 3 pretas e 2 verdes, sobraro 1 bola branca, 2 amarelas, 1 verde e 1 preta na urna. Ou seja, seria possvel ter bolas das 4 cores na urna, mesmo aps retirar 5 bolas.

III. Se cinco bolas forem retiradas da urna, entre as bolas retiradas haver,necessariamente, duas de uma mesma cor.

Verdadeiro. Ainda que as 4 primeiras bolas retiradas sejam cada uma de cor diferente, a 5 bola retirada ser necessariamente de cor igual a uma das que j

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!

tiver sido retirada (afinal, no existem mais cores). Portanto, dentre as 5 bolas retiradas teremos, necessariamente, 2 de mesma cor.

Portanto, apenas a afirmativa III est correta. Resposta: C

44. FGV MEC 2009) Em uma urna, h 3 bolas brancas, 4 bolas azuis e 5 bolasvermelhas. As bolas sero extradas uma a uma, sucessivamente e de maneira aleatria. O nmero mnimo de bolas que devem ser retiradas para que se possa garantir que, entre as bolas extradas da urna, haja pelo menos uma de cada cor : a) 7b) 8c) 9d) 10e) 11

RESOLUO: Se o nosso objetivo garantir que teremos pelo menos uma bola de cada

cor, preciso pensarmos no pior caso possvel. Qual seria ele? Seria dar o azar de sair tirando bolas sempre da mesma cor. Podemos dar o azar de tirar 5 bolas e as 5 serem vermelhas. Depois disso, podemos ainda dar o azar de tirar 4 bolas e as 4 serem azuis. Veja que at aqui j teramos tirado 9 bolas e mesmo assim no teramos uma de cada cor, pois estaria faltando uma branca. De qualquer forma, aps tirar essas 9 bolas restam apenas as 3 brancas na urna. Assim, a 10 bola que retirarmos seria obrigatoriamente branca, e assim teramos pelo menos 1 de cada cor.

Portanto, mesmo nesse pior caso que imaginamos, aps tirar 10 bolas temos certeza de ter em nossas mos 1 bola de cada cor.

Resposta: D

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45. FGV CODESP/SP 2010) H seis contineres diferentes que devero serempilhados, trs mais pesados embaixo e trs mais leves em cima, conforme sugere a figura:

O nmero de maneiras de se fazer essa arrumao, mantendo os trs mais pesados embaixo e os trs mais leves em cima

a) 18. b) 6. c) 9. d) 36. e) 72. RESOLUO:

Como os mais pesados devem ficar embaixo, devemos permutar os 3 pesados entre 3 posies possveis, num total de P(3) = 3! = 6 permutaes possveis. Para os 3 mais leves, que devem ser permutados entre as 3 posies de cima, tambm temos P(3) = 6 permutaes possveis.

Como a permutao dos pesados independente da permutao dos leves, temos 6 x 6 = 36 formas de permutar todos os continers.

Resposta: D

46. FGV CAERN 2010) Num curso de ps-graduao, Marcos, Nlson, Osmar ePedro so candidatos a representantes da turma da qual fazem parte. Sero escolhidas duas dessas quatro pessoas: uma para representante e a outra para ser o auxiliar desse representante. Quantas duplas diferentes de representante eauxiliar podem ser formadas?

a) 24.

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b) 18. c) 16. d) 12. e) 6. RESOLUO:

Observe que temos 4 pessoas e devemos escolher 2 para a dupla. A uma primeira vista voc poderia pensar na combinao C(4,2). Ocorre que a ordem de escolha RELEVANTE, pois uma pessoa ser o representante e a outra ser o auxiliar. Assim, devemos usar o arranjo, ou princpio fundamental da contagem, que leva em conta a ordem de escolha! Temos, portanto, 4 opes para o representante e, aps essa escolha, temos 3 opes restantes para o auxiliar, totalizando 4 x 3