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Dinamica Das Máquinas
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VETORES
ESCALAR:
São aquelas que ficam completamente definidas por apenas um número
real. Sempre acompanhadas de uma unidade de medida adequada.
EX: Comprimento, volume, área, massa (3m, 10 dm³, 30ºC)
VETORES
VETORIAL:
São aquelas que não ficam completamente definidas pelo seu módulo, ou
seja, pelo número com sua unidade correspondente. Se caracterizam pela
necessidade de conhecer seu módulo (ou comprimento ou intensidade), sua
direção ou seu sentido.
EX: Força, velocidade, aceleração.
SOMA VETORIAL
A soma de dois vetores não nulos.
Permite achar um vetor perpendicular a outros dois dados
Útil na construção de sistemas de coordenadas
zyx
zyx
xyyx
zxxz
yzzy
vvv
uuu
kji
vuvu
vuvu
vuvu
vu
u
v u×v
.
PRODUTO VETORIAL (3D)
TRANSLAÇÃO:
Ocorre quando todo segmento de reta no corpo mantém-se paralelo à sua
direção inicial, durante o movimento.
TRANSLAÇÃO RETILÍNEA:
Quando as trajetórias de quaisquer dois
pontos do corpo ocorrem ao longo de retas
eqüidistantes.
TRANSLAÇÃO CURVILÍNEA: Quando as trajetórias se dão ao longo de
linhas curvas que são eqüidistantes.
(Mecanismos Planos, Engrenagens, Cames, etc)
MOVIMENTO DE CORPO RÍGIDO
ROTAÇÃO:
Ocorre Quando um corpo rígido gira em torno de
um eixo fixo. Assim, todos os seus pontos, exceto
os situados no eixo de rotação, movem-se ao
longo de trajetórias circulares.
MOVIMENTO PLANO GERAL:
Ocorre quando o corpo executa uma combinação de
uma translação e de uma rotação.
A translação ocorre num dado plano de referência e
a rotação ocorre em torno de um eixo perpendicular
a esse plano de referência.
(Mecanismos Planos, Engrenagens, Cames, etc)
MOVIMENTO DE CORPO RÍGIDO
Translação
Curvilínea Movimento
Plano Geral
Translação
Retilínea Rotação em Torno de
um Eixo
(Mecanismos Planos, Engrenagens, Cames, etc)
MOVIMENTO DE CORPO RÍGIDO
ABAB /rrr
ABAB /rrr
AB vv
a) Deslocamento
b) Velocidade
AB aa
c) Aceleração
OBSERVAÇÃO: todos os pontos
de um corpo rígido em movimento
de translação têm a mesma
velocidade e a mesma aceleração.
TRANSLAÇÃO
Os ocupantes deste brinquedo estão submetidos a uma
translação curvilínea, pois o veículo se move numa trajetória
circular, mantendo sempre sua posição na horizontal.
Todos os ocupantes estão com a mesma velocidade e sentem a
mesma aceleração.
Posição Angular de r
É definida pelo ângulo , medido de uma linha de referência
fixa até r.
Deslocamento Angular
É a mudança de posição angular, que pode ser medida como um
vetor de infinitesimal d.
Velocidade Angular ()
É a taxa de variação da posição angular.
(rad/s)
dt
d
ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO
Aceleração Angular ()
Mede a taxa temporal de variação da velocidade angular.
dt
d
dt
d
dt
d
dd
tdtddtddt
dc
t
occc
00
Velocidade angular em função do tempo:
Posição angular em função do tempo:
22
)(
2
00
2
00
0000
tt
tt
tdtdtddttdtdt
d
cc
t
oc
t
occ
Velocidade angular em função da posição angular:
)(2
)()(2
1
020
2
020
2
00
c
ccc dddd
ACELERAÇÃO ANGULAR
CONSTANTE
A velocidade de P tem módulo que pode ser
obtido a partir de suas coordenadas polares
rvrvr
Como r é constante, a componente radial vr
=0 e, portanto
rvv
Pelo fato de que , então
rv
Como mostram as figuras, a direção de v é
tangente à trajetória circular.
VELOCIDADE DO PONTO P
Da definição de produto vetorial, vemos que o vetor v também
pode ser obtido pelo produto vetorial de por r
rωr v
O sentido de v é estabelecido pela
regra da mão direita
A ordem dos vetores no produto deve
ser mantida. A ordem trocada fornece
r=-v
A aceleração de P pode ser expressa em termos
de suas componentes normal e tangencial
radt
rd
dt
dva tt
)(
O vetor at representa a taxa de variação temporal da
velocidade escalar. Se a velocidade escalar de P está
aumentando então at tem sentido de v. Se a velocidade está
diminuindo at tem sentido oposto de v. Se a velocidade é
constante at é zero.
O vetor an representa a taxa de variação temporal da
direção da velocidade. Este vetor é sempre voltado para o
centro O.
rar
rva nn
222 )(
ACELERAÇÃO DO Ponto P
Usando formulação vetorial, a aceleração de P também pode ser
definida diferenciando o vetor velocidade:
Pode ser mostrado que a equação acima reduz-se a:
r-rαaaa2ωnt
O módulo de a é dado por: 22nt aaa
rrωωa
rαa
2)(
n
t
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d rωr
ωrω
va
vωrαa
rωωrαa
Movimento Angular:
- Estabeleça um sentido positivo ao longo do eixo de rotação
- Conhecendo uma relação entre duas das quatro variáveis , , e t, uma
terceira variável pode ser determinada usando-se uma das seguintes
equações cinemáticas que relacionam todas as variáveis:
dt
d
dt
d dd
- Se a aceleração do corpo for constante, então as seguintes equações podem
ser usadas:
tc 0 2
2
00
tt c )(2 0
20
2 c
PROCEDIMENTO PARA ANÁLISE
Movimento de P:
- Em muitos casos, a velocidade de P e os dois componentes da sua
aceleração podem ser determinados pelas equações escalares:
rv rat ran2
- Se a geometria do problema for de difícil visualização, as seguintes
equações vetoriais poderão ser usadas:
rω v rαa t rrωωa2)( n
O vetor r está contido no plano de movimento de P. Qualquer um desses
vetores, bem como e , devem ser expressos em termos de seus
componentes i, j, k.
Características do Movimento em alguns Elementos de Máquinas
2211 rrvP
A velocidade escalar é dada por:
A aceleração tangencial do ponto P no
contato entre as engrenagens também é
a mesma para as duas engrenagens:
2211 rrat
Características do movimento de um ponto P localizado no contato entre as
engrenagens
Um comprimento s da correia deve se desenrolar tanto para a polia
maior quanto para a polia menor num mesmo intervalo de tempo
(desde que a correia não escorregue). Logo:
2211
2211
rrv
rrs
2211 rrat
A velocidade do ponto P na correia é a
mesma para cada ponto na correia.
A aceleração tangencial do ponto P na correia é a mesma para cada
ponto na correia.
POLIAS E CORREIAS
Enrola-se um cabo em torno de um disco inicialmente
em repouso, como indica a figura. Aplica-se uma
força ao cabo, que então adquire uma aceleração
a=(4t)m/s2, onde t é dado em segundos. Determine
como funções do tempo:
(a) a velocidade angular do disco e
(b) a posição angular do segmento OP, em radianos.
EXERCÍCIO
Dados do Problema:
2) Pede-se:
mrtae PPt2,0;4;00 00
?? PP e
2/202,0
*4* srd
t
r
ara P
P
P
PPPPt
t
t t
P
t
PPPP
P srdtttdtdtddt
d
0 0
2
0
2
0
/102
2020
t t
P
t
PPPP
P rdtttdtdtddt
d
0 0
3
0
3
0
33,33
1010
SOLUÇÃO
Usa-se o motor para girar uma roda com
suas pás no interior do equipamento
mostrado na foto.
Os detalhes estão na figura abaixo à direita.
Se a polia A conectada ao motor inicia seu
movimento a partir do repouso, com uma
aceleração angular A=2 rad/s2, determine
os módulos da velocidade e da aceleração
do ponto P da roda B, após esta ter
completado uma revolução.
Suponha que a correia de transmissão não
escorregue na polia e nem na roda.
EXERCÍCIO
Dados do Problema:
Pede-se:
00;4,015,0
1;/2;00
00
00
2
BBBA
AAAA
emrmr
revsrdeC
?? PP aev
rdA 28,62*1
rdr
rrr B
B
AABBBAA 36,2
4,0
15,0.28,6.
Como não há deslizamento da correia:
2/885,04,0
15,0.36,2. srd
r
rrr
CCCCC B
B
AABBBAA
SOLUÇÃO
00
222
BBBBB C
smvvrv PPBBP /82,04,0*044,2
A velocidade do ponto P é:
222 /67,14,0*044,2 smarann PBBP
Sendo a aceleração angular constante, tem-se:
srdBBBB C/044,236,2*885,0*22
A aceleração do ponto P é obtida das duas componentes de aceleração:
2/354,04,0*885,0 smaratCt PBBP
22222 /71,167,1354,0 smaaaa PPPP nt
O mecanismo para movimentação
do vidro da janela de um carro é
mostrado na figura ao lado.
Quando a manivela é acionada
gera-se o movimento da
engrenagem C, que gira a
engrenagem S, fazendo com que
a barra AB nela conectada eleve o
vidro D. Se a manivela gira a 0,5
rd/s, determine a velocidade dos
pontos A e E, nas suas trajetórias
circulares e a velocidade Vw da
janela quando ϴ igual a 30 graus.
EXERCÍCIO
Dados do Problema:
Pede-se:
mmBA
mmrmmrsrd SCC
200
;50;20;/5,0 2
?? wEA vevvtt
srdr
rrr S
S
CCSSSCC /2,0
50
20.5,0.
Como a velocidade tangencial nas engrenagens é a mesma:
smvvvv AASEA /04,02,0*2,0 BA*
Como os pontos A e E têm movimento de translação
circular, suas velocidades são:
smvvv WAW /035,0)04,0)cos(* ocos(30*
SOLUÇÃO