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Aula 04
Sistemas Lineares Homogêneos
Sistemas Lineares Homogêneos
Notação Matricial
Podemos escrever o sistema anterior como
Todo sistema homogêneo admite pelo menos a solução
Observação
Assim, todo sistema homogêneo tem solução. Além disso ou tem somente solução trivial ou tem infinitas soluções.
Forma de Resolver
Para resolvermos um sistema linear homogêneo basta escalonarmos a matriz do sistema, já que sob a ação de uma operação elementar a coluna de zeros não é alterada.
Resultado
Exemplo 1
Resolva o sistema
A matriz do sistema é
0
4 2 0
3 6 4 0
x y z
x y z
x y z
1 1 1
1 4 2
3 6 4
A
Solução
1 . linha 2 . linha 2 . linhaa a a
( 3) 1 . linha 3 . linha 3 . linhaa a a
1 1 1
0 3 1
0 3 1
Solução
1( ) 2 . linha 2 . linha
3a a
13 . linha 3 . linha
3a a 1 1 1
10 1
31
0 13
Solução
1 2 . linha 3 . linha 3 . linhaa a a
1 1 1
10 1
30 0 0
Sistema Equivalente
Assim, o sistema dado é equivalente ao sistema
Resolvendo-o com , temos .
Daí
0
10
3
x y z
y z
z
1
3y
2
3x
2 1, , ,
3 3S
2
31
ou ,3
X
Exemplo 2
Resolva o sistema
A matriz do sistema é
2 0
6 5 5 0
4 3 0
x y z
x y z
x y z
1 1 2
6 5 5
4 3 1
A
Solução
6 1 . linha -2 . linha 2 . linhaa a a
4 1 . linha 3 . linha 3 . linhaa a a
1 1 2
0 1 7
0 7 9
Solução
7 2 . linha + 3 . linha 3 . linhaa a a
1 1 2
0 1 7
0 0 40
Solução
Daí, segue que
2 0
7 0
40 0
x y z
y z
z
0,x y z
0,0,0S 0
ou 0 (solução trivial).
0
X
Exemplo 3
Resolva o sistema
A matriz do sistema é
2 4 3 0
0
x y z
x y z
2 4 3
1 1 1A
Solução
11 . linha 2 . linha
2a a
1 . linha 2 . linha 2 . linhaa a a
31 2
20 2 5
Solução
Resolvendo-o com , temosDaí,
32 0
22 5 0
x y z
y z
z 5
2y
7
2x
7 5, , ,
2 2S
7
25
ou ,2
X
Exercício 1
Exercício 2
