FUNDAMENTOS DA LGICA, UMA ABORDAGEM INFORMAL

FUNDAMENTOS DA LGICA, UMA ABORDAGEM INFORMAL.

1 - INTRODUO.

A Lgica uma Cincia que tem como finalidade a verificao sobre a existncia, ou no, de uma relao entre as afirmaes que compem um dado grupo pela qual uma delas em particular ser verdadeira sempre que todas as outras o forem.

H uma diferenciao entre as afirmaes envolvidas: uma delas particularmente, a concluso, tem sua veracidade dependente, ou no, da veracidade das demais. Cada uma das demais uma premissa. Ao conjunto formado por premissas e concluso d-se o nome argumento.

Quando ocorre a mencionada relao designa-se o conjunto por argumento correto. Trata-se de uma relao de causa e efeito, segundo esta ltima a veracidade das premissas assegura a veracidade da concluso. Quando a relao de causa e efeito no est presente tem-se um argumento incorreto. Dois outros nomes para argumento incorreto so falcia e sofisma.

Um argumento consiste na exteriorizao de uma explicao por meio da qual um certo sujeito pretende convencer a algum sobre a decorrncia, ou no, de um dado fato expresso pela concluso como conseqncia inevitvel dos demais fatos expressos pelas premissas.

Aquela explicao antes de sua exteriorizao atravs do argumento, enquanto em escopo estritamente pessoal, em mbito interno ao sujeito, designada por inferncia ou raciocnio. Aquele que a detm preocupa-se em convencer a si mesmo.

Para esclarecimento dos significados de argumento, premissa e concluso, consideraremos dois exemplos. Um deles sobre argumento correto, o outro sobre argumento incorreto. Ambos relativos seguinte situao: uma certa escola situa-se no edifcio Donatelli, em sua sobreloja, no bairro Ouro Preto, em Belo Horizonte. Internamente ao prdio, diante da portaria, h a nica escadaria pela qual pode-se chegar sobreloja.

correto o seguinte argumento:

-Jorge, h duas horas atrs, encontrava-se fora do Edifcio Donatelli.

-No momento Jorge se encontra no interior da escola, na sobreloja do edifcio.

-H uma nica escadaria pela qual pode-se chegar sobreloja.

Logo:

hoje, em algum momento ao longo das ltimas duas horas, Jorge passou pela escadaria subindo-a.

A afirmao hoje, em algum momento ao longo das ltimas duas horas, Jorge passou pela escadaria subindo-a ser, sem dvida, verdadeira caso as outras trs afirmaes o sejam.

A veracidade simultnea das trs premissas, e somente delas, assegura a veracidade da concluso. clara a presena da relao de causa e efeito: os fatos expressos pelas premissas compem a causa do efeito expresso pela concluso.

incorreto o seguinte argumento.

-Jorge, h duas horas atrs, encontrava-se fora do Edifcio Donatelli.

-No momento Jorge se encontra no interior da escola, na sobreloja do edifcio.

-H uma nica escadaria pela qual pode-se chegar sobreloja.

Logo:

hoje, em algum momento ao longo das ltimas duas horas, Jorge passou pela escadaria descendo-a.

A afirmao hoje, em algum momento ao longo das ltimas duas horas, Jorge passou pela escadaria descendo-a no exprime um fato que seja o efeito da causa expressa pelas premissas. Aqui a relao de causa e efeito no est presente.

Ainda que a ltima afirmao no argumento anterior seja verdadeira, certamente tal veracidade no ocorreria como um efeito da causa expressa pelas premissas. Desta forma aquela afirmao jamais consistiria em uma concluso sustentvel pelas premissas correspondentes.

Os dois exemplos considerados so simples na medida em que no so necessrios grandes esforos para a percepo tanto da correo de um quanto da no correo do outro. A avaliao de cada um deles no exige mais que uma inspeo rpida das afirmaes envolvidas. Entretanto tais exemplos so constitudos por premissas singelas, em pequena quantidade, e por concluses tambm singelas.

Numa situao genrica, na qual no esteja presente a restrio afirmaes simples e em pequena quantidade, a avaliao sobre a correo ou no do argumento envolvido pode ser bastante mais complexa. Tal complexidade exigiria para seu esclarecimento a abordagem do argumento atravs de algum mtodo desenvolvido exatamente para atender a este fim.

Tendo vista a finalidade da Lgica apresentada no primeiro pargrafo desta seo, podemos concluir que qualquer mtodo empregado ter necessariamente que encerrar caractersticas que o permitam responder seguinte questo.

Em que condies uma afirmao num argumento genrico decorre como conseqncia das demais afirmaes envolvidas?

De outro modo: quando nos deparamos com um argumento genrico, como poderemos nos certificar de que ele correto, ou no?

Esta questo leva a uma outra.

Quais seriam as caractersticas encerradas por um mtodo necessrias para que ele se aplique verificao da correo, ou no, de um argumento?

De outro modo: como poderamos elaborar mtodos, aplicveis a um argumento qualquer, que nos permitiriam verificar se ele , ou no, correto?

As respostas a estas perguntas exigem necessariamente o conhecimento de fundamentos da Lgica que sero parcialmente vistos neste texto. Aqui nos ocuparemos da Lgica Clssica, seguramente a mais utilizada atualmente e a nica exigida em concursos nacionais voltados a no especialistas.

Para atingir finalidade pretendida por ela prpria, a Lgica estabelece regras slidas e rigorosas com base nas quais so construdos os mtodos. Em ltima anlise: qualquer mtodo tem como finalidade a demonstrao da correo, ou no, de algum argumento segundo caminhos consistentes com as imposies provenientes daquelas regras.

Veremos que, no mbito da Lgica Clssica, a considerao de poucas regras, facilmente compreensveis, permite a criao de mtodos aplicveis determinao sobre a correo, ou no, de uma ampla gama de argumentos.

A Lgica Clssica inclui como parte de si mesma a Lgica Quantificacional, esta ltima por sua vez inclui como alicerce a Lgica Proposicional. Veremos que a diferena marcante entre elas reside na presena ou no de quantificaes nas afirmaes consideradas.

O significado de quantificaes ser devidamente esclarecido a seu tempo, mais adiante.No que diz respeito sua aplicao, a Lgica utilizada para orientar tanto a concepo em escopo interno, que visa ao convencimento prprio, quanto a apresentao em escopo externo, que visa ao convencimento de algum outro indivduo, sobre a decorrncia, ou no, de certo fato relevante como conseqncia dos demais fatos envolvidos.

Situaes diversas que solicitam o emprego da Lgica esto invariavelmente presentes nas rotinas dirias de todos ns. Na medida em que estamos continuamente envolvidos em circunstncias que nos impem a necessidade de convencer a algum, ou a ns mesmos, sobre a correo, ou no, de argumentos, inevitvel a utilizao da Lgica.

Um professor precisa convencer a seus alunos, os alunos precisam convencer a si mesmos sobre a correo, ou no, daquilo que o professor expe. Um psiclogo precisa convencer a seus clientes, os clientes precisam convencer a si mesmos sobre a correo, ou no, da orientao oferecida. Um gerente deve convencer ao seu cliente sobre a adequao de um certo investimento, o cliente deve se convencer da adequao, ou no, daquele investimento.

Um leitor deve dispor de instrumentos que o permitam verificar a correo, ou no, dos diversos argumentos presentes em qualquer jornal, revista ou livro pelo qual se interesse. Um estudante deve convencer aos professores que avaliaro sua monografia, dissertao ou tese. Por sua vez os professores aprovaro o trabalho caso se dem por convencidos sobre a correo dos argumentos empregados.

Um inocente acusado injustamente ter que demonstrar a no correo dos argumentos que sustentam a acusao. Um eleitor atento dever diferenciar os diversos argumentos, apresentados por vrios polticos, classificando-os em corretos e incorretos, para ento decidir sobre seu voto.

A exposio desenvolvida ao longo deste texto voltada a um tratamento da Lgica sob o ponto de vista de sua aplicao como instrumento cotidiano.

Ocorre que, via de regra, tais aplicaes cotidianas, tanto em esfera pessoal quanto profissional, no exigem a sofisticao tcnica realizvel somente atravs do emprego de formulaes absolutamente rigorosas sobre conceitos por demais abstratos.

As necessidades cotidianas podem ser supridas meramente pelo emprego de poucas formulaes, aquelas dotadas da mnima formalidade necessria, a respeito de poucos conceitos simples cujos teores abstratos, quando bem esclarecidos, no implicam em dificuldades relevantes para o sua compreenso.

A informalidade, na medida necessria s aplicaes pretendidas, portanto uma das caractersticas marcantes deste texto.

Sob tal perspectiva torna-se natural a designao da frao da Lgica apresentada aqui por Lgica Instrumental. Relao anloga h entre o Portugus Instrumental e o Portugus Culto: o ltimo com todos os rigores e conceitos que o caracterizam enquanto que o primeiro, sendo um extrato do outro, contm apenas o necessrio para o emprego em nosso dia a dia.

Nosso objetivo consiste em nos aprofundarmos na Lgica Clssica Quantificacional o suficiente para dispormos dos conhecimentos, e da associada agilidade em sua aplicao, necessrios resoluo de questes tpicas em concursos. A exigncia usual nestes ltimos sempre concordante com as mencionadas necessidades cotidianas, em nvel pessoal ou profissional.

Iniciaremos nosso estudo pela abordagem da Lgica Proposicional, que a mais simples e a que consiste no alicerce daquela a que pretendemos chegar. Posteriormente, com base no que ter sido exposto at aquela altura, ocorrer a abordagem da Lgica Quantificacional.

2 - LGICA PROPOSICIONAL CLSSICA.

2.1 - Proposies e seus Valores.

Neste texto designaremos por proposio, qualquer sentena declarativa. Ou seja, uma sentena que encerre contedo que possamos afirmar ou negar, que possamos qualificar como verdadeiro ou falso.

Supostamente, quando necessrio, tais sentenas estaro sempre envolvidas em contexto que no deixe dvidas sobre sua veracidade, ou no.

Um exemplo de sentena cuja veracidade depende do contexto o seguinte:

Hoje, aqui e agora chove.

A qualificao desta sentena como verdadeira ou falsa depender do instante e do local em que ela prpria for considerada. Sob certas circunstncias ela ser verdadeira, sob outras ser falsa.

J as sentenas seguintes so independentes do contexto:

Bill Gates no um homem rico.

O torneio Pan-Americano de atletismo, em 2007, ocorreu no Brasil.

As duas so respectivamente falsa e verdadeira sob quaisquer circunstncias, independentemente do instante e do local em que so consideradas.Sentenas imperativas e interrogativas no consistem em proposies na medida em que no so declarativas. Exemplos:

Durma bem.

Que dia hoje?

Cada uma destas jamais poder ser classificada como verdadeira ou falsa., tais qualificaes no se aplicam a elas.

Sob o ponto de vista da Lgica cada proposio pode assumir somente um entre os dois seguintes valores:

- verdadeiro, V

- falso, F.

Estes valores se referem veracidade ou no da proposio e no mensagem que ela traz em si mesma. A qualquer proposio pode ser associada o valor V ou valor F independentemente de qual seja o domnio do conhecimento a que pertence o contedo encerrado por ela.

So trs os princpios da Lgica Clssica:

i ) Princpio da identidade: toda proposio igual a si mesma e a nenhuma outra. Tal fato mostra-se relevante em situaes em que proposies escritas de maneiras desfavorveis podem ser reescritas de maneiras favorveis.

As maneiras desfavorveis dificultam tanto a compreenso das proposies envolvidas quanto o relacionamento entre elas, tornando inconveniente a anlise dos argumentos que as encerram.Via de regra h mais de uma maneira de exprimir cada uma das proposies envolvidas, cada maneira absolutamente equivalente a todas as outras conforme o princpio em questo. Toma-se ento as formas que facilitem tanto a compreenso quanto os relacionamentos de modo a tornar conveniente, e portanto favorvel, a anlise dos argumentos. Cada uma das diferentes expresses de uma dada proposio uma proposio equivalente a ela prpria. Todas as proposies equivalentes a uma outra so tambm equivalentes entre si.

Enfim o Princpio da Identidade legitima a substituio de expresses inconvenientes por outras convenientes de maneira tornar favorvel uma situao antes desfavorvel. Vrios exemplos destas situaes sero inevitavelmente vistos ao longo deste texto, a partir da seo 2.3.

ii) Princpio da no contradio: nenhuma proposio pode assumir ao mesmo tempo os valores V e F. A atribuio de um dos valores inibe completamente a atribuio do outro.

iii) Princpio do terceiro excludo: h somente dois valores V e F, no sendo admitido em hiptese alguma qualquer outro valor.2.2 - Proposies Compostas.

H proposies que podem ser formadas a partir de outras. O processo de formao envolve a existncia de aes sobre algumas proposies, ou relacionamentos especficos entre elas, que resultem em novas proposies.

As proposies resultantes so designadas por proposies compostas. As proposies empregadas na formao das compostas so as proposies componentes. So quatro os relacionamentos e uma nica ao na Lgica Proposicional:

a) Negao: ao do operador no .

b1) Disjuno: relacionamento pelo operador ou .

b2) Conjuno: relacionamento pelo operador e .

c1) Implicao: relacionamento pelo operador se ... ento... .

c2) Bi-implicao: relacionamento pelo operador ... se e somente se ... .

A negao uma operao sobre uma nica proposio, j as operaes disjuno, conjuno, implicao e bi-implicao atuam sobre duas proposies.

Cada operador determina uma maneira prpria pela qual o valor lgico da proposio composta depende dos valores lgicos das proposies componentes.

Todos os operadores so funes de valores justamente devido dependncia que estabelecem entre os valores das proposies resultantes e os correspondentes valores das proposies com-ponentes.a) A ao da negao leva a uma nova proposio cujo valor lgico oposto ao valor lgico da proposio original:

Chove hoje.

No chove hoje.

Portanto, caso uma proposio seja verdadeira, sua negao ser falsa e vice-versa. A Teoria dos Conjuntos prov sustentao terica simples para tais fatos: toma-se um dado conjunto P contido propriamente num outro conjunto U: P subconjunto de U e P distinto de U, sendo o ltimo o conjunto universo.

Considerando como conjunto universo o conjunto dos seres humanos, tanto o conjunto dos homens quanto o conjunto das mulheres so subconjuntos propriamente contidos no primeiro. Cada um dos ltimos est contido no conjunto dos seres humanos e distinto dele.

Associa-se o conjunto P proposio P de modo que a proposio ser verdadeira sempre se esteja dentro de P ou a proposio ser falsa sempre que no se esteja dentro de P. Mais a respeito ser visto na seo 2.3.

b) Tanto a disjuno quanto a conjuno relacionam entre si duas proposies. As relaes impostas por elas s proposies sobre as quais atuam so as seguintes:

- alternatividade, quanto operao disjuno

- simultaneidade, quanto operao conjuno

Cada uma das proposies que sofrem disjuno um disjuntivo. Cada uma das proposies que sofrem conjuno um conjuntivo.

Tais operaes no impem, ou manifestam, qualquer relao de causa e efeito entre as duas proposies envolvidas. Uma vez mais a Teoria dos Conjuntos prov interpretao simples para os fatos envolvidos conforme o exposto nos itens b1 e b2 seguintes. Nos dois casos sero considerados dois conjuntos P e Q, distintos um do outro e ambos contidos propriamente em U, respectivamente associados s proposies P e Q.

b1) A disjuno leva a formao de uma proposio cuja veracidade no exige que os disjuntivos sejam ambos verdadeiros ao mesmo tempo:

A cerveja est quente ou os petiscos tm gosto ruim.

(proposio composta por disjuno)

A cerveja est quente.

(disjuntivo)

Os petiscos tm gosto ruim.

(disjuntivo)

Basta que um dos disjuntivos seja verdadeiro para que a proposio composta por disjuno tambm o seja. Cada um dos disjuntivos uma alternativa para o outro, mesmo que um deles seja falso a proposio composta pode ainda ser verdadeira caso o outro disjuntivo seja verdadeiro.A proposio composta por disjuno ser falsa somente quando ambos os disjuntivos o forem.

A disjuno entre proposies P e Q arbitrrias associvel unio entre os conjuntos P e Q. Estar alternativamente dentro de um, ou outro, dos conjuntos significa estar dentro da unio entre eles, neste caso a disjuno verdadeira. Para no estar dentro da unio necessrio estar simultaneamente fora de ambos os conjuntos, neste caso a disjuno falsa. A unio entre o conjunto dos torcedores do Atltico mineiro e o conjunto dos torcedores do Corinthians paulista resulta no conjunto dos torcedores alvinegros. Estar no conjunto dos atleticanos, ou no conjunto dos corintianos, estar no conjunto dos alvinegros. No estar no conjunto dos alvinegros no estar no conjunto dos atleticanos e no estar no conjunto dos corintianos. Mais a respeito ser visto na seo 2.3.

b2) A conjuno leva a formao de uma proposio cuja veracidade exige que os conjuntivos sejam verdadeiros ao mesmo tempo:

A temperatura est elevada e sinto-me bem hoje.

(proposio composta por conjuno)

A temperatura est elevada.

(conjuntivo)

Sinto-me bem hoje.

(conjuntivo)

Aqui no h alternativa, ambos os conjuntivos tm que ser simultaneamente verdadeiros para que a proposio composta por conjuno o seja.

Para que uma proposio composta por conjuno seja falsa basta que um dos conjuntivos o seja.

A conjuno entre proposies P e Q arbitrrias associvel interseo entre os conjuntos P e Q. Estar simultaneamente dentro de um e outro dos conjuntos significa estar dentro da interseo entre eles, neste caso a conjuno verdadeira. Para no estar dentro da interseo necessrio estar alternativamente fora de um, ou outro, dos conjuntos, neste caso a conjuno falsa. Qualquer elemento que esteja no conjunto dos automveis e no conjunto dos objetos raros, estar no conjunto dos automveis raros. O ltimo resulta da interseo entre os dois primeiros. Um elemento que esteja fora do conjunto dos automveis, ou fora do conjunto dos objetos raros, certamente estar fora do conjunto dos automveis raros. Mais a respeito ser visto na seo 2.3. c) Tanto a implicao quanto a bi-implicao, quando verdadeiras, impem, ou manifestam, relaes de causa e efeito entre as proposies originais:

- em uma implicao verdadeira:

- ora a veracidade de uma das proposies envolvidas

suficiente para causar, como efeito, a veracidade da outra - ora a no veracidade desta outra suficiente para causar, como efeito, a no veracidade da primeira - na bi-implicao verdadeira:

- ora a veracidade de qualquer uma das duas proposies envolvidas suficiente para causar, como efeito, a veracidade da outra - ora a no veracidade de qualquer uma das duas proposies

suficiente para causar, como efeito, a no veracidade da outra

Tais caractersticas destas proposies expem um certo carter encerrado por elas. Ao longo de todo este texto o designaremos por carter analtico.

Salvo improvvel engano, trata-se de uma designao utilizada exclusivamente neste texto. O autor desconhece textos sobre Lgica em que tal nomeao seja utilizada. Tal carter aquele pelo qual, segundo a Teoria de Conjuntos, a parte implica o todo ou o no todo implica a no parte

Em outras palavras: estar dentro de um certo subconjunto P, contido no conjunto Q, indubitavelmente estar tambm em Q: ser integrante da parte implica em ser integrante do todo.

Caso no se esteja dentro de Q, certamente no se estar tambm em P: ser no integrante do todo implica em ser no integrante da parte.

Portanto estar em P causa que trs como efeito estar em Q e no estar em Q causa que trs como efeito no estar em P. As relaes equivalentes, no domnio da lgica, envolvendo as implicaes e bi-implicaes so tais que as proposies sero verdadeiras sempre que o carter analtico esteja presente, ou sero falsas quando o mesmo carter estiver ausente. Conforme esclarecem os itens c1 e c2 seguintes. c1) Em qualquer proposio composta por implicao, a proposio logo aps o se o antecedente j a proposio logo aps o ento o conseqente.

O nome proposio condicional freqentemente utilizado para designar uma proposio composta por implicao.

Numa proposio condicional verdadeira tanto a veracidade do antecedente condio suficiente para a veracidade do conseqente quanto a no veracidade do conseqente condio suficiente para a no veracidade do antecedente.Se Jorge pratica natao ento Cludia joga tnis.

(proposio condicional)

Jorge pratica natao.

(antecedente)

Cludia joga tnis.

(conseqente)

Uma vez que as duas proposies componentes se encontram relacionadas uma a outra atravs de uma proposio condicional verdadeira, necessariamente a veracidade de Jorge pratica futebol garante a veracidade de Cludia joga tnis, ou a no veracidade de Cludia joga tnis garante a no veracidade de Jorge pratica futebol. conveniente salientar que em tal relacionamento a veracidade do conseqente no condio suficiente para a veracidade do antecedente, e a no veracidade do antecedente no condio suficiente para a no veracidade do conseqente.A nica situao em que a implicao falsa aquela em que o antecedente verdadeiro e o conseqente falso.

A proposio condicional envolvendo proposies componentes P e Q arbitrrias associvel situao em que o conjunto P est propriamente contido no conjunto Q: P subconjunto de Q e P distinto de Q. Neste caso h um conjunto complementar de P com relao a Q. O carter analtico se encontra claramente presente: estar alternativamente em P, ou em seu complementar, significa necessariamente estar em Q. No estar em Q significa necessariamente no estar simultaneamente em P e em seu complementar. Nestas situaes a implicao correspondente, envolvendo as proposies P e Q, ser verdadeira. As outras situaes imaginveis so: estar alternativamente em P, ou em seu complementar, e no estar em Q, ou ento estar em Q e no estar em P ou em seu complementar. Nestes casos o carter analtico est ausente e a implicao correspondente ser falsa. O conjunto dos mineiros, formado pelos nascidos em Minas Gerais, est propriamente contido no conjunto dos brasileiros. O complementar do conjunto dos mineiros com relao ao conjunto dos brasileiros o conjunto dos no mineiros. Este ltimo rene os nascidos em todos os demais estados. Um elemento pertinente ao conjunto dos mineiros, ou ao conjunto dos no mineiros, certamente tambm pertencer ao conjunto dos brasileiros. Qualquer elemento que no pertena ao conjunto dos brasileiros certamente no pertencer tanto ao conjunto dos mineiros quanto ao conjunto dos no-mineiros. No possvel que um elemento esteja no conjunto dos mineiros, ou no conjunto dos no mineiros e no esteja no conjunto dos brasileiros. No h como um elemento no estar no conjunto dos brasileiros e estar no conjunto dos mineiros ou no conjunto dos no mineiros. Mais a respeito ser visto na seo 2.3.

c2) A bi-implicao verdadeira envolve ao mesmo tempo a implicao nos dois sentidos possveis: a veracidade de cada uma das proposies condio suficiente para garantir a veracidade da outra.

O nome proposio bi-condicional freqentemente empregado para designar uma proposio composta por bi-implicao.

Isaac filho de Cludia se e somente se Cludia casada com

Henrique.

(proposio bi-condicional)

Uma vez que as duas proposies componentes se encontram relacionadas uma a outra atravs de uma proposio bi-condicional verdadeira, necessariamente a veracidade de Isaac filho de Cludia garante a veracidade de Cludia casada com Henrique, ou a no veracidade de Cludia casada com Henrique garante a no veracidade de Isaac filho de Cludia. Ao mesmo tempo a veracidade de Cludia casada com Henrique garante a veracidade de Isaac filho de Cludia, ou a no veracidade de Isaac filho de Cludia garante a no veracidade de Cludia casada com Henrique.Um bi-implicao falsa em cada uma das outras duas situaes possveis em que uma das proposies componentes falsa e outra verdadeira.A proposio bi-condicional envolvendo proposies componentes P e Q arbitrrias associvel situao em que o conjunto P est no propriamente contido no conjunto Q: P subconjunto de Q e P idntico a Q. Neste caso no h um conjunto complementar de P com relao a Q. O carter analtico se encontra claramente presente: estar em P significa necessariamente estar em Q. No estar em Q significa necessariamente no estar em P. Nestas situaes a bi-implicao correspondente, envolvendo as proposies P e Q, ser verdadeira.

As outras situaes imaginveis so: estar em P e no estar em Q ou estar em Q e no estar em P. Neste caso o carter analtico no est presente e a bi-implicao correspondente ser falsa. Todo conjunto est contido em si mesmo, portanto o conjunto dos brasileiros est contido nele prprio. O conjunto dos brasileiros consiste na unio entre o conjunto dos mineiros e o conjunto dos no mineiros.Ento qualquer elemento do conjunto dos brasileiros tambm elemento do conjunto unio entre mineiros e no mineiros. Todo elemento deste ltimo tambm elemento daquele primeiro.No h como um elemento estar no conjunto dos brasileiros e no estar no conjunto unio entre o conjunto dos mineiros e o conjunto dos no mineiros, assim como no possvel estar neste conjunto unio e no estar naquele. Mais a respeito ser visto na seo 2.3.

A proposio bi-condicional corresponde necessariamente con-juno entre duas proposies compostas por implicao.

Se Isaac filho de Cludia ento Cludia casada com

Henrique.

(conjuntivo)

e

Se Cludia casada com Henrique ento Isaac filho de Cludia.

(conjuntivo)

Neste ponto tem fim a exposio sobre proposies compostas nesta seo. importante salientar que a ao e os relacionamentos vistos aqui so os nicos existentes na Lgica Proposicional Clssica.

H proposies compostas que podem ser formadas a partir de outras proposies compostas de diversas maneiras distintas entre si, mas sempre com o emprego de um, ou mais, dos cinco operadores aqui considerados e nenhum outro.

2.3 -Valores das Proposies Compostas.

De acordo com a seo anterior, a ao de um operador impe uma relao especfica entre os valores da proposio formada e os valores das proposies formadoras. Tais relaes so imprescindveis aos mtodos para determinao da existncia, ou no, da relao de causa e efeito entre as proposies que compem um dado argumento, como veremos mais tarde.

As tabelas verdades so empregadas para exibir de maneira clara e objetiva as mencionadas relaes. Cada tabela esclarece qual ser o valor da proposio composta para cada um dos valores das proposies originais.

As tabelas verdades de proposies equivalentes entre si so idnticas entre si.

A seguir designaremos, em cada caso, as proposies originais por P ou Q. Cada tabela apresentada ser acompanhada de uma sntese. As snteses sero teis posteriormente ao lidarmos com mtodos para a verificao da validade de argumentos.

A - Tabela verdade para o operador negao:

A proposio composta no P ser:

- verdadeira sempre que P for falsa

- falsa sempre que P for verdadeira.As figuras seguintes ilustram a interpretao luz da Teoria de conjuntos. Estar no conjunto P significa proposio P verdadeira, figura da esquerda. Estar fora do conjunto P significa proposio P falsa, figura da direita.

As duas figuras consistem em diagramas de Venn-Euler, empregados com freqncia, neste e em outros textos, para o esclarecimento de fatos relevantes pertinentes Teoria dos Conjuntos. importante salientar que, no escopo da Lgica Clssica, duas negaes sucessivas de uma proposio resultam exatamente na proposio original. De fato a negao de uma proposio, no P, corresponde a estar no complementar de P relativamente a U. Logo a dupla negao considerada, no (no P), corresponde a estar no complementar do complementar de P, que o prprio.Pode-se portanto escrever: no (no P) = P [ A ]

Esta igualdade consiste em nosso primeiro exemplo de emprego do Princpio da Identidade. De acordo com a igualdade A, existem duas maneiras, absolutamente correspondentes entre si, pelas quais pode-se representar uma proposio arbitrria.

B1 - Tabela verdade para o operador disjuno:

Proposio PProposio QProposio P ou Q

VVV

VFV

FVV

FFF

Uma vez que existe a alternativa, a proposio composta P ou Q ser:

- verdadeira sempre que P ou Q forem verdadeiras. Nestes casos

ocorrem as afirmaes da disjuno.

- falsa somente quando P e Q forem falsas. Neste caso ocorre

a negao da disjuno.

A interpretao conforme a Teoria de Conjuntos ilustrada pe-los diagramas seguintes. O diagrama anterior representa o conjunto formado pela unio entre os conjuntos P e Q. Os diagramas seguintes representam as quatro situaes presentes na tabela B1. Estar alternativamente em P ou em Q implica em estar na unio entre P e Q. Figuras na pgina anterior e figura nesta pgina direita.

Estar simultaneamente fora de P e de Q implica em no estar na unio entre P e Q. Figura nesta pgina esquerda.Caso os conjunto P e Q sejam disjuntos, a disjuno correspon-

dente seria associada ao operador ou exclusivo.

De acordo com este ltimo operador, as duas proposies componentes P e Q no podem ser simultaneamente verdadeiras.B2 - Tabela verdade para o operador conjuno:

Proposio PProposio QProposio P e Q

VVV

VFF

FVF

FFF

Uma vez que no existe alternativa, a proposio composta P e Q ser:

- verdadeira somente quando P e Q o forem. Neste caso ocorre a

afirmao da conjuno.

- falsa sempre que P ou Q forem falsas. Nestes casos ocorrem

as negaes da conjuno.

De acordo com a Teoria dos Conjuntos a interpretao a ilus- trada pelos diagramas seguintes. O diagrama anterior representa o conjunto formado pela inter-seo entre os conjuntos P e Q. claro que a interseo entre dois conjuntos ser no vazia somente se os mesmos forem no disjuntos. Os diagramas seguintes representam as quatro situaes presentes na tabela B2.

Estar simultaneamente em P e em Q implica em estar na interse-o entre P e Q. Figura no topo direita.

No estar alternativamente em P ou em Q implica em no estar na interseo entre P e Q. Figuras no topo esquerda e na base.B3 Teorema de Augustos de Morgan.

Neste ponto conveniente a introduo do Teorema de Augustus de Morgan que, com base na Teoria de Conjuntos, estabelece o seguinte: a negao de uma disjuno uma conjuno e a nega-o de uma conjuno uma disjuno.Pode-se escrever: - no (P ou Q) = (no P) e (no Q) [ B3A ]- no (P e Q) = (no P) ou (no Q) [ B3B ]Cada uma das igualdades, B3A e B3B, consiste em mais um exemplo de aplicao do Princpio da Identidade. As proposies em cada lado do sinal de igualdade so absolutamente correspondentes entre si.As igualdades B3A e B3B so expresses das snteses, relativas a negaes, logo aps as tabelas B1 e B2 respectivamente. Tais snteses e expresses podem ser compreendidas com base na Teoria de Conjuntos.

negao da disjuno corresponde a situao: no estar na unio entre os conjuntos P e Q. Para tanto necessrio no

estar simultaneamente em P e Q.

negao da conjuno corresponde a situao: no estar na interseo entre os conjuntos P e Q. Para tanto basta no estar alternativamente em P ou em Q.C1 - Tabela verdade para o operador implicao:

Proposio PProposio QProposio

Se P ento Q

VVV

VFF

FVV

FFV

Vale a seguinte sntese, a proposio composta se P ento Q ser:

- falsa somente quando P for verdadeira e Q for falsa. Neste

caso ocorre a negao da implicao.

- verdadeira sempre que P for falsa ou Q verdadeira. Nestes

casos ocorrem as afirmaes da implicao.

A atribuio de significado a esta tabela verdade feita, uma vez mais, com o emprego de alguns elementos fundamentais da Teoria dos Conjuntos, conforme os diagramas seguintes.

Uma vez que P est propriamente contido em Q: - estar alternativamente em P ou em seu complementar implica em estar em Q, a parte implica o todo. Figuras nesta pgina esquerda e direita respectivamente no estar em Q implica em no estar simultaneamente em P e em Q, o no todo implica a no parte. Figura na pgina anteriorgura em baixxoa.mente see e.r rem simultaneamente verdadeiras

. Nestas situaes o carter analtico est presente. A situao em que o carter analtico no est presente, estar em P e no estar em Q, no pode ser representada.Em acordo com as snteses logo aps a tabela C1, pode-se escrever:

- implicao verdadeira: Se P ento Q = (no P) ou Q [C1A] - implicao falsa: No (se P ento Q) = P e (no Q) [C1B]As igualdades C1A e C1B consistem em dois novos exemplos de aplicao do Princpio da Identidade.Observe-se que:

- o antecedente P sempre representa uma dada parte de um certo todo, pois est associado ao subconjunto P contido em Q

- o conseqente Q sempre representa um todo que envolve duas partes, pois est associado ao superconjunto Q que contm propriamente P e o complementar de P.Tudo em conformidade com os trs diagramas da pgina anterior.

C2 - Tabela verdade para o operador bi-implicao:

Proposio PProposio QProposio

P sse Q

VVV

VFF

FVF

FFV

Em sntese, a proposio composta P se e somente se Q ser:

- verdadeira sempre que: P e Q forem verdadeiras ou P e Q

forem falsas. Nestes casos ocorrem as afirmaes da

bi-implicao

- falsa sempre que: P for verdadeira e Q for falsa ou P for

falsa e Q for verdadeira. Nestes casos ocorrem as negaes

da bi-implicao.

Analogamente ao caso da tabela sobre a implicao, a atribuio de significado a esta tabela verdade feita com base em alguns elementos da Teoria de Conjuntos, conforme os diagramas abaixo.

Uma vez que P idntico a Q: - estar em P implica em estar em Q. Figura esquerda no estar em Q implica em no estar simultaneamente em P . Figura direitagura em baixxoa.mente see e.r rem simultaneamente verdadeiras

.

As situaes em que o carter analtico no est presente so: - estar em P e no estar em Q no estar em P e estar em Q. Tais situaes no podem ser representadas.Em acordo com as snteses logo aps a tabela C2A, pode-se escrever:

- bi-implicao verdadeira:

P se e somente se Q = (P e Q) ou (no P e no Q) [C2A]

- bi-implicao falsa:

No ( P se e somente se Q) = (no P e Q) ou (P e no Q) [C2B] As igualdades C2A e C2B consistem, mais uma vez, em exemplos de aplicao do Princpio da Identidade.

Observe-se que:

- a proposio P sempre representa uma dada parte de um certo todo, pois est associado ao subconjunto P idntico a Q . Neste caso a parte igual ao todo

- o conseqente Q sempre representa um certo todo pois est associado ao conjunto Q idntico a P. Neste caso o todo igual parte

Tudo em conformidade com os dois diagramas na pgina anterior.

C3 Verses equivalentes implicao e bi-implicao.Pode-se inferir, sem grande dificuldade, o exposto no texto seguinte, em itlico.

Quando duas proposies compostas arbitrrias A e B, expressas cada uma em termos de duas proposies componentes P e Q, so equivalentes entre si ocorrem os seguintes fatos: i ) a cada par de valores lgicos de P e Q, nas tabelas verdades

de A e de B, correspondem valores lgicos de A e B iguais entre si. Em outras palavras: as tabelas verdades de A e

de B so iguais entre si, conforme meno no incio desta seo, no seu terceiro pargrafo

ii ) as snteses das tabelas verdades de A e de B, expressas em termos de P e Q, so proposies idnticas entre si. Tanto as proposies que exprimem as afirmaes so idnticas entre

si quanto as que exprimem as negaes so idnticas entre siiii) as justificativas para as tabelas verdade, tanto de A quanto

de B, so feitas com base nos mesmos diagramas. Estes

ltimos envolvem as representaes de P e Q com base na

Teoria de Conjuntos. Os fatos i, ii e iii sero utilizados nas duas sees posteriores para a apresentao de duas novas proposies equivalentes implicao e a bi-implicao respectivamente.

C3.1 Verso equivalente implicao: a contrapositiva. importante salientar a existncia da seguinte proposio condi-cional:

se (no Q) ento (no P)Ela est relacionada implicao se P ento Q. Cada uma delas consiste na contrapositiva da outra.

A contrapositiva de uma implicao uma segunda implicao que tem como antecedente a negao do conseqente da primeira e tem como conseqente a negao do antecedente da primeira.A tabela verdade para a contrapositiva sob foco a seguinte:

C3A - Tabela verdade para o operador implicao em sua verso contrapositiva:

Proposio PProposio QProposio

Se ( Q) ento ( P )

VVV

VFF

FVV

FFV

Vale aqui a seguinte sntese, a contrapositiva se (no Q) ento (no P) ser:

- falsa somente quando Q for falsa e P verdadeira. Neste caso ocorre a negao da contrapositiva.

- verdadeira sempre que Q for verdadeira ou P for falsa. Nestes

casos ocorrem as afirmaes da contrapositiva.

Pela comparao da tabela C1 e sua sntese com a tabela C3A e sua sntese, conclumos que as tabelas, tanto quanto as snteses, so idnticas entre si. Portanto so vlidos os fatos i e ii no que diz respeito implicao e sua contrapositiva. Tambm o fato iii vlido quando se considera a implicao e sua contrapositiva, conforme a exposio nos prximos pargrafos.A atribuio de significado tabela verdade C3A feita com o emprego dos mesmos diagramas utilizados para a realizao de esclarecimentos sobre a tabela C1.

Uma vez que o complementar de Q est propriamente contido no complementar de P:

- estar alternativamente no complementar de Q, ou no prprio Q, implica em estar no complementar de P, a parte implica o todo. Figuras na pagina anterior e nesta pgina direita respectivamente

no estar no complementar de P implica em no estar simultaneamente no complementar de Q e em Q, o no todo implica a no parte. Figura nesta pgina esquerda.gura em baixxoa.mente see e.r rem simultaneamente verdadeiras

Nestas situaes o carter analtico est presente.

A situao em que o carter analtico no est presente, estar no complementar de Q e no estar no complementar de P, no pode ser representada.De acordo com as snteses logo aps a tabela C3A, pode-se escrever:

- contrapositiva verdadeira:

Se (no Q) ento (no P) = Q ou (no P) [C3A1]

- contrapositiva falsa:

No (se (no Q) ento (no P)) = (no Q) e P [C3A2]As igualdades C3A1 e C3A2 consistem em mais dois exemplos de aplicao do Princpio da Identidade. Estas igualdades so respectivamente iguais s igualdades C1A e C1B relacionadas implicao se P ento Q.Observe-se que:

- o antecedente (no Q) sempre representa uma dada parte de um certo todo, pois est associado ao subconjunto complementar de Q contido no complementar de P - o conseqente (no P) sempre representa um todo que envolve duas partes, pois est associado ao superconjunto complementar de P que contm propriamente Q e o complementar de Q.

Neste ponto conclumos a exposio sobre a validade do fato iii. Desta forma, vlidos i, ii e iii, conclui-se que uma implicao sempre equivalente sua contrapositiva. Portanto, de acordo com o Princpio da Identidade, vale a igualdade:

Se P ento Q = se (no Q) ento (no P) [C3A]A implicao e sua contrapositiva, quando verdadeiras, no so mais que duas maneiras distintas de exprimir exatamente o mesmo fato: a presena, ou no, da relao de causa e efeito entre duas proposies quando a veracidade de somente uma delas consiste em causa para a veracidade da outra.

C3.2 Verso equivalente bi-implicao.A seguinte proposio bi-condicional:

(no Q) se e somente se (no P)

est relacionada bi-implicao P se e somente se Q. A relao entre elas anloga que existe entre uma implicao e sua contrapositiva. Cada uma das bi-implicaes tem como antecedente a negao do conseqente da outra e tem como conseqente a negao do antecedente da outra.

Entretanto aqui no se diz que cada uma delas consiste na contrapositiva da outra. Neste texto designaremos esta nova bi-implicao por: verso equivalente daquela considerada inicialmente. Designao que exprime exatamente a relao entre eles como ficar claro mais adiante.A tabela verdade para a bi-implicao sob foco a seguinte:

C3B - Tabela verdade para o operador bi-implicao em sua verso equivalente :

Proposio PProposio QProposio

(no Q) sse (no P)

VVV

VFF

FVF

FFV

Em sntese, a proposio composta (no Q) se e somente se (no P) ser:

- verdadeira sempre que: P e Q forem falsas ou P e Q

forem verdadeiras. Nestes casos ocorrem as afirmaes da

bi-implicao.

- falsa sempre que: Q for falsa e P for verdadeira ou Q for

verdadeiraa e P for falsa. Nestes casos ocorrem as negaes

da bi-implicao.

Pela comparao da tabela C2 e sua sntese com a tabela C3B e sua sntese, conclumos que as tabelas, tanto quanto as snteses, so idnticas entre si.

Portanto so vlidos os fatos i e ii no que diz respeito bi-implicao e sua verso equivalente. Tambm o fato iii vlido quando se considera a implicao e sua verso equivalente, conforme a exposio nos prximos pargrafos.

A atribuio de significado a esta tabela verdade feita com o emprego dos mesmos diagramas utilizados para a realizao de esclarecimentos sobre a tabela C2.

Uma vez que o complementar de Q idntico ao complementar de P: - estar no complementar P implica em estar no complementar de Q. Figura direita na pgina anterior no estar no complementar de P implica em no estar simultaneamente no complementar de Q. Figura direita na pgina anteriorgura em baixxoa.mente see e.r rem simultaneamente verdadeiras

.

As situaes em que o carter analtico no est presente so: - estar no complementar de Q e no estar no complementar de P no estar no complementar de Q e estar no complementar de P. Tais situaes no podem ser representadas.De acordo com as snteses logo aps a tabela C3B, pode-se escrever:

- verso equivalente verdadeira:

(no Q) se e somente se (no P) = (no Q e no P) ou (P e Q) [C3B1]

- verso equivalente falsa: No((no P) se e somente se (no Q))=(no Q e P)ou(Q e no P) [C3B2]As igualdades C3B1 e C3B2 consistem, mais uma vez, em exemplos de aplicao do Princpio da Identidade.

Observe-se que:

- a proposio Q sempre representa um certo todo, pois est associado ao subconjunto Q idntico a P- o conseqente P sempre representa um certo todo pois est associado ao conjunto P idntico a Q.

Neste ponto conclumos a exposio sobre a validade do fato iii. Desta forma, vlidos i, ii e iii, conclui-se que uma bi-implicao sempre equivalente sua verso equivalente. Portanto, de acordo com o Princpio da Identidade, vale a igualdade:

P se e somente se Q = (no Q) se e somente se (no P) [C3B]

Enfim, uma bi-implicao e sua verso equivalente, quando verdadeiras, no so mais que duas maneiras distintas de exprimir exatamente o mesmo fato: a presena, ou no, da relao de causa e efeito entre duas proposies quando a veracidade de cada uma delas pode consistir em causa para a veracidade da outra.

3 - Mtodos para Verificao da Validade, ou no, de

Argumentos: Primeiros Princpios.

Dois mtodos que tm como finalidade a verificao da correo ou no de argumentos sero parcialmente considerados nesta seo. Veremos alguns exemplos simples com a finalidade de ilustrar em que consistem as essncias de cada um deles.

Para a compreenso da exposio seguinte ser necessrio o conceito de proposio elementar: qualquer proposio que no seja composta, no havendo portanto outras que a componham, ser designada neste texto por proposio elementar. Uma proposio elementar jamais incluir como parte de si qualquer um dos operadores que consideramos at o momento.

Fundamentos comuns aos dois mtodos so os seguintes:

I) Qualquer proposio composta pode ser expressa como uma combinao de proposies elementares pelo emprego dos operadores implicao, negao, bi-implicao, disjuno ou conjuno e somente deles.

II) A relao de causa e feito estar necessariamente presente sempre que todas as situaes que tornem verdadeiras as premissas tambm tornem verdadeira a concluso. Para que tal relao no esteja presente, basta que haja uma nica situao em que as premissas sejam verdadeiras e a concluso falsa.

III) A relao entre o valor de uma proposio composta e os valores das proposies elementares que a compem depende somente da forma pela qual as elementares esto relacionadas entre si atravs dos cinco operadores. Exemplo 1: Vamos considerar a situao seguinte:

Premissas:

1 Se Joo mdico e Jorge cientista da computao ento

Cludia veterinria.

2 Joo mdico.

3 Cludia no veterinria.Concluso:

Jorge no cientista da computao.

Queremos ento saber se a proposio Jorge no cientista da computao uma conseqncia do conjunto formado pelas trs premissas apresentadas.

Para tanto deveremos ser capazes de desenvolver algum mtodo que justifique a decorrncia, ou a no decorrncia, da concluso como conseqncia das premissas.

o que faremos ao longo das prximas sees atravs de dois processos bem definidos, cada um associado a um mtodo.

H sequncias de aes comuns aos dois processos:

S1 - reescrita do argumento com base nas proposies elementares: consiste no emprego do fundamento I com a finalidade de exprimir todas as proposies no argumento em termos das proposies elementares existentes

S2 determinao dos valores lgicos das proposies elementares via decomposio: consiste no emprego do fundamento III numa anlise pela qual as premissas verdadeiras so decompostas em suas componentes, estas ltimas por sua vez decompostas nas componentes delas, e assim sucessivamente at que somente as proposies elementares, indecomponveis, estejam presentes. A sequncia S1, baseada no fundamento I, d-se atravs dos dois seguintes passos:

- identificao das proposies elementares presentes

- expresso das premissas e da concluso com o emprego

das proposies elementares.

Com relao ao nosso grupo de proposies, as elementares so:

A Joo mdico.

B Jorge cientista da computao.

C Cludia veterinria.

Podemos ento reescrever as premissas e a concluso:

Premissas:

1 Se (A e B) ento C

2 A

3 no C

Concluso:

No B

A partir deste ponto os mtodos so distintos entre si, embora ambos envolvam a determinao dos valores lgicos das proposies elementares via decomposio: sequncia S2. portanto necessrio escolhermos um deles antes de prosseguirmos. O primeiro a ser considerado ser o mtodo dos tabls, depois, o mtodo da deduo natural. 3.1 - O Mtodo dos Tabls.

Neste mtodo admitimos a priori, como hiptese de trabalho, a no existncia da relao de causa e efeito entre as proposies consideradas, para ento desenvolvermos uma anlise que poder nos levar a concluir que esta hiptese falsa. Se de fato concluirmos pela falsidade da hiptese ento necessariamente a relao de causa e efeito estar presente.A expresso da inexistncia da relao feita com o emprego do fundamento II. De acordo com o ltimo, se existir pelo menos uma situao em que as premissas so verdadeiras e a concluso falsa, a relao de causa e efeito no existir. Para iniciar o processo expressaremos tal fato da seguinte forma:

V Se (A e B) ento C

V A

V no C

F no B

A partir de agora tem incio a sequencia S2: tentaremos decompor as proposies compostas acima at chegarmos a uma situao em que existam somente proposies elementares presentes.

Para tanto empregaremos o fundamento III, atravs de referncias contnuas aos comentrios sobre as tabelas verdades, vistos anteriormente, segundo o seguinte processo.

i ) Da veracidade da proposio no C conclumos que C falsa:

F C

ii ) Da falsidade da proposio no B conclumos que B verdadeira:

V B

Adicionamos estas proposies elementares ao tabl:

V Se (A e B) ento C

V A

V no C

F no B

F C

V B

As duas proposies compostas que levaram s proposies elementares adicionadas foram marcadas e no podem mais ser utilizadas.

iii) Da veracidade da proposio Se (A e B) ento C conclumos, conforme comentrio anterior sobre sua tabela verdade, que o antecedente falso ou o conseqente verdadeiro:

Adicionamos estas proposies ao tabl:

V Se (A e B) ento C

V A

V no C

F no B

F C

V B

F (A e B) V C

x

A proposio condicional empregada foi marcada e no pode mais ser usada. Neste caso devido alternativa, (A e B) falsa ou C verdadeira, ocorre uma bifurcao no tabl.

Surgem ento dois ramos. Um deles, o da direita, inclui uma contradio a respeito da proposio elementar C: uma afirmao V C e uma afirmao F C. Isto significa que C teria que ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo, tal fato no pode ocorrer pois violaria o Princpio da No Contradio.

Por ter levado a uma contradio, este ramo fechado. Fechar um ramo significa indicar, pelo x, a ocorrncia de uma contradio em um ramo j plenamente desenvolvido.

O outro ramo ainda no est expresso em termos das proposies elementares, temos ento que continuar seu desenvolvimento at chegarmos a elas.

iv) A proposio F (A e B) enfim utilizada. Da tabela verdade da conjuno, de acordo com o comentrio anterior associado, conclumos que A falsa ou B falsa levando a uma nova bifurcao no tabl:

V Se (A e B) ento C

V A

V no C

F no B

F C

V B

F (A e B) V C

x

F A F B

x x

Em cada um dos novos ramos h uma contradio. No da direita ocorre V B e F B, no da esquerda ocorre V A e F A. desta forma todos os ramos so finalmente fechados.

Conclumos ento que a hiptese inicial, inexistncia da relao de causa e efeito, falsa. Portanto a relao est presente. O argumento correto. Se houvesse ao menos um ramo plenamente desenvolvido que no levasse a contradio, o argumento seria incorreto.

3.2 - A Deduo Natural.

Neste mtodo admitimos a priori a veracidade das premissas e aplicamos a sequncia S2, novamente com o emprego do fundamento III, que nos permita derivar a concluso. A sequncia S1 foi realizada no item anterior relativo ao mtodo dos tabls.

O fundamento II est presente na medida em que o nico a sustentar seguinte a idia bsica subjacente ao mtodo: caso a relao exista, necessariamente a veracidade das premissas levar veracidade da concluso.

1 - Se (A e B) ento C P

2 - A P

3 - no C P

As premissas so enumeradas e designadas, em cada linha, pela letra P. Desejamos obter a partir dela a concluso de que B falsa:

no B

Caso de fato consigamos a almejada obteno, necessariamente teremos a relao de causa e efeito.

Um processo possvel seria o seguinte.

i) Conforme a linha 1 e a sntese da tabela verdade da implicao, verificamos que, sendo a implicao verdadeira, temos A e B falsa ou C verdadeira. Entretanto na linha 3 temos C falsa.

Portanto conclumos que A e B falsa.

1 - Se (A e B) ento C P

2 - A P

3 - no C P

4 no (A e B) 1,3

Todas as linhas que descrevem o processo devem conter proposies verdadeiras, por isto inclumos no (A e B), uma proposio verdadeira, no lugar de A e B, uma proposio falsa.

ii) A falsidade da conjuno na linha 4 nos leva a concluir, com base na tabela verdade da conjuno e sua sntese, que A falsa ou B falsa. Entretanto a linha 2 mostra que A verdadeira. Podemos ento concluir que B falsa, encerrando a deduo.

1 -Se (A e B) ento C P

2 - A P

3 - no C P

4 no (A e B) 1,3

5 - no B 2,4

Ora se foi possvel derivar a concluso a partir das premissas ento o argumento correto, pois a relao de causa e efeito

est presente. Caso no fosse possvel a derivao o argumento

seria incorreto.

3.3 - Comentrios sobre os Mtodos.

Os dois mtodos foram vistos de forma bastante superficial, cada um deles contm instrumentos no considerados at aqui. Alguns destes instrumentos, mas no todos, na medida de nossas necessidades, podero ser vistos mais adiante.

Ambos tm ampla gama de aplicao na Lgica Proposicional, sendo aptos verificao da existncia, ou no, da relao de causa e efeito relativamente a uma ampla gama de grupos de proposies. Eles tambm so teis na Lgica Quantificacional.

3.4 Encerramento da Seo.

Neste ponto finalizamos nossa rpida incurso inicial pela Lgica Proposicional Clssica. Iniciaremos a seguir nova incurso sobre a Lgica Quantificacional luz do que vimos sobre a primeira.

4 - LGICA QUANTIFICACIONAL CLSSICA.

4.1 - Proposies Categricas.

H na Lgica Clssica proposies cujas expresses exigem o emprego de operadores ausentes na Lgica Proposicional. Um grupo particularmente importante de tais proposies o das proposies categricas. Estas ltimas so partes da teoria do silogismo de Aristteles. A teoria do silogismo foi, at meados do sculo passado, a principal constituinte da Lgica Clssica.

Uma proposio categrica sempre corresponder a uma das formas seguintes:

Todo P Q (universal afirmativa)

Nenhum P Q (universal negativa) Algum P Q (particular afirmativa)

Algum P no Q (particular negativa)H diversas maneiras de expressar cada uma destas proposies categricas em portugus:

- Universais afirmativas:

- Todo administrador passou pela faculdade.

- Todos os brasileiros so sul-americanos.

- Somente graduados podem fazer o teste Anpad. - Universais negativas:

- Nenhum mestrando tem menos de trs anos de idade.

- Todos os norte-americanos no so africanos.

- Economistas no fazem o teste anpad.

- Particular afirmativa:

- Alguns administradores fizeram o teste Anpad em fevereiro.

- H um jogador de futebol mineiro na seleo brasileira.

- Existem latinos que so mexicanos.

- Particular negativa:

- Alguns contadores no fizeram preparatrio para o teste

Anpad.

- Existem brasileiros que no gostam de futebol.

- H automveis raros que no circulam nas ruas.

4.2 Os Quantificadores Universal e Existencial: Rudimentos do Clculo de Predicados.

As proposies categricas so proposies cujas expresses exigem quantificaes. Uma quantificao consiste em uma referncia, a todos, ou a somente alguns, dos elementos de um dado conjunto:

- quantificao universal: sempre se refere a todos os elementos de um conjunto. Determina a incluso, ou excluso, num outro conjunto, de todos os elementos do conjunto a que se refere.

A frase Todo homem um mamfero, inclui todos os elementos pertinentes ao conjunto homens no conjunto mamferos.

A frase Qualquer nmero natural no um nmero irracional, exclui todos os elementos pertinentes ao conjunto nmeros naturais do conjunto nmeros irracionais.

- quantificao existencial: sempre se refere a uma parte dos

elementos do conjunto. Determina a incluso, ou excluso, num outro conjunto de ao menos um dos elementos do conjunto a que se refere.

A frase Alguns brasileiros so ricos, inclui pelo menos um elemento pertinente ao conjunto brasileiros no conjunto ricos.

A frase H latino-americanos que no so mexicanos, exclui pelo menos um elemento pertinente ao conjunto latino-americanos do conjunto mexicanos.

Pertencer a um dado conjunto necessariamente implica ao elemento ter as propriedades especficas que distinguem aquele conjunto dos demais.

Os conjuntos determinam predicados dos elementos. Os predicados so justamente estabelecidos pelas mencionadas propriedades especficas. Cada elemento um sujeito que detm o predicado associado. Daqui em diante as palavras sujeito e ente sero indistintamente empregadas exatamente com o mesmo significado. A considerao de predicados imprescindvel Lgica Clssica.

necessrio que haja uma maneira precisa e adequada de exprimi-los para que a Lgica seja aplicvel.

Com relao a este aspecto h uma analogia possvel entre a Lgica e a lgebra. Ambas empregam, cada uma sua maneira, uma simbologia adequada satisfao de suas finalidades.

A lgebra supe a expresso correta e precisa de nmeros e operadores atravs de smbolos adequados bem conhecidos:

- todo nmero deve ser escrito com o emprego dos algarismos

indu-arbicos, 0 a 9, em notao posicional

- cada uma das quatro operaes bsicas deve ser representada

por um operador : operador + para soma, operador - para

subtrao, operador . para multiplicao, operador / para

diviso

- outros smbolos so empregados para determinar onde

acontecem o incio e o fim de uma certa operao complexa

expressa por meio de operaes bsicas. Tais smbolos so os

delimitadores: { }, [ ], ( )

- um nmero cujo valor seja definido e desconhecido

representado por uma constante como: a, b, c, ... etc. Um

nmero cujo valor seja indefinido representado por

uma varivel como: x, y, z, ... etc.

A Lgica tambm exige o emprego de um conjunto de smbolos adequados s finalidades dela prpria. Ela tambm envolve operadores, constantes, variveis e delimitadores.

Uma varivel representa um elemento desconhecido de um conjunto. Sabe-se que ele existe, mas no se sabe qual entre os muitos existentes aquele que se considera. Um quantificador representa a quantificao presente em uma certa proposio. Um quantificador sempre se refere a uma varivel, esta ltima representa o sujeito a que se refere o predicado.Se A representa uma propriedade e x representa uma varivel podemos exprimir x tem a propriedade A da seguinte forma:

Ax

Uma vez que qualquer propriedade consiste num predicado, a letra A representa um predicado.

H situaes que envolvem relaes entre propriedades de variveis, estas relaes tambm so consideradas predicados.

Por exemplo uma certa pessoa x pode ser mais alta que outra pessoa y. Podemos representar isto por:

Bxy

Onde B exprime a seguinte relao binria: o indivduo representado pela varivel logo aps o B mais alto que o indivduo representado pela outra varivel.

Na lgica quantificacional predicados so representados por letras maisculas do alfabeto como A, B, C, ... e as variveis por letras minsculas como x, y, z, ... .Os quantificadores so representados pelos smbolos:

- , quantificador universal.

- , quantificador existencial.

Tambm os operadores negao, disjuno, conjuno, implicao e bi-implicao tm representaes simblicas:

- , negao

- , disjuno

- , conjuno

- , implicao ou condicional- , bi-implicao ou bi-condicional.

Estes smbolos, apresentados para os operadores da Lgica Proposicional somente a esta altura, no escopo da Lgica Quantificacional, so vlidos tambm no escopo daquela lgica.

O emprego destes smbolos nos permite representar as proposies categricas das seguintes formas:

Todo P Q: x(PxQx) (universal afirmativa)

Nenhum P Q: x(PxQx) (universal negativa)

Algum P Q: x(PxQx) (particular afirmativa)

Algum P no Q: x(PxQx) (particular negativa)

Vejamos alguns exemplos sobre como exprimir proposies categricas com o emprego de quantificadores e variveis.

Universal Afirmativa.

Todo torcedor do Amrica feliz

ou, de outro modo.

Os americanos so todos felizes.

Representando por A a propriedade x torcedor do Amrica e por F a propriedade x feliz, a expresso das frases seria:

x(AxFx)

Todos os entes que so torcedores do Amrica so, ao mesmo tempo, felizes

Universal Negativa.

Todos os ndios no so civilizados.

ou, de outro modo.

Os ndios no tm civilidade.

Representando por I a propriedade x ndio e por C a propriedade x civilizado, a expresso correspondente seria:

x(IxCx)

Todos os entes que so ndios so, ao mesmo tempo, no civilizadosParticular Afirmativa.

Alguns gatos so pardos

ou, de outra forma.

Algum gato pardo.

Se representarmos por G a propriedade x gato e por P a propriedade x pardo, poderemos escrever qualquer uma das frases acima da seguinte forma:

x(GxPx)

Existe ao menos um ente que, ao mesmo tempo, um gato e pardo.Particular Negativa.

Alguns mamferos no so humanos

ou, de outro modo.

H mamferos no humanos.

Se representarmos por M a propriedade x mamfero e por H a propriedade x humano, poderemos escrever uma ou outra das frases anteriores:

x(MxHx)

Existe ao menos um ente que, ao mesmo tempo, um mamfero e no humano.

conveniente salientar que, embora tenhamos apresentado somente duas formas de cada uma das frases escritas em Portugus em cada um dos exemplos, podem haver outras formas de escrev-las. Todas as formas, claro, teriam somente a representao, segundo a simbologia da Lgica, apresentada em cada exemplo.

As proposies categricas no so as nicas cuja representao simblica envolve quantificadores e variveis. H muitas outras proposies cujas expresses simblicas os exigem.

4.3 Um pouco mais sobre Clculo de Predicados.

A determinao precisa dos predicados, sua expresso de maneira no ambgua e no equvoca, condio imprescindvel para a aplicao da Lgica determinao da correo, ou no, de argumentos.

necessrio que as frases escritas em algum idioma, no nosso caso o portugus, sejam escritas em uma outra linguagem que permita as suas expresses precisas.

Existe um alfabeto criado com esta finalidade, o alfabeto do CQC. A abreviatura CQC se refere a clculo quantificacional clssico. O alfabeto do CQC constitudo pelos seguintes caracteres:

a b c d e f g h i j k l m

n o p q r s t u v w x y z

A B C D E F G H I J K L M

N O P Q R S T

( )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

As letras maisculas so as constantes de predicado, j vimos que cada uma delas pode representar tanto uma propriedade de algum ente quanto uma relao entre propriedades de entes.

As letras minsculas do alfabeto do CQC so dedicadas representao dos prprios entes: variveis ou constantes individuais. As variveis so representadas pelas letras u, v, w x, y e z. A varivel x vem sendo empregada ao longo das ltimas pginas. As constates individuais correspondem s constantes da lgebra. So elas as primeiras vinte letras minsculas, desde a at t.

Com o emprego de uma constante individual e uma constante de predicado podemos, por exemplo, reescrever a proposio:

O presidente Lula nordestino.Uma possvel reescrita :

Na

O ente O presidente Lula foi representado pela constante individual a. O predicado x nordestino foi representado por N.

A seguinte expresso vlida no CQC:

FcmIjp

Pode ser a expresso da proposio composta:

Se Cludia filha de Maria ento Jorge irmo de Paula.

As constantes individuais c, m, j e p consistem respectivamente nas representaes de Cludia, Maria, Jorge e Paula.

A constante de predicado F exprime a relao o indivduo associado a varivel logo aps o F filho do indivduo associado a outra varivel.

A constante de predicado I exprime a relao o indivduo associado a varivel logo aps o I irmo do indivduo associado a outra varivel.

4.3.1 - Frmulas Atmicas, Moleculares e Gerais.

No escopo do CQC so definidas as frmulas. Alguns exemplos so Ac, FcmIjp, Na, Bxy.

Frmulas atmicas so aquelas que no podem ser expressas em termos de outras que as constituem, so indivisveis, correspondem s proposies elementares.

Uma frmula atmica consiste sempre numa constante de predicado acompanhada, ou no, pelas constantes individuais ou variveis a que se referem.

So exemplos de frmulas atmicas:

Ac, Bxy, Dcmn, E, Hc.

Quando esto envolvidas n constantes individuais, ou variveis, tem-se uma frmula atmica n-ria: binria, ou ternria, ou quaternria, etc ... . So unrias as frmulas Ac e Hc, binria a frmula Bxy, ternria a frmula Dcmn.

H frmulas atmicas que no dizem respeito a qualquer constante individual ou varivel, so as frmulas zero-rias. A frmula E no exemplo anterior um destas. Frmulas zero-rias exprimem proposies que no atribuem algo a algum como

Chove aqui e agora.

Uma frmula zero-ria representada por uma nica constante de predicado.

Frmulas moleculares so aquelas que, alm de no envolverem quantificadores, podem ser expressas em termos de outras, suas frmulas atmicas constituintes.

Correspondem s proposies compostas, so portanto formadas a partir de proposies atmicas com o emprego dos operadores negao, conjuno, disjuno, implicao e bi-implicao. Alguns exemplos so:

Pa, RabHc, BmCn, CDA frmula Pa expressa pela ao do operador negao sobre a frmula atmica Pa.

A frmula RabHc expressa pela ao do operador implicao que estabelece uma relao de causa e efeito entre as proposies atmicas Rab e Hc.

A anlise das outras duas frmulas, maneira das primeiras, leva facilmente concluso de que tambm as ltimas so moleculares.

Frmulas gerais so aquelas que envolvem os quantificadores universal ou existencial como prefixos de frmulas, moleculares ou atmicas, nas quais ocorrem a varivel quantificada. Eis alguns casos:

xLx, xBxy, xy(PxQy)

4.3.2 Expresses das Afirmaes e Negaes de Algumas Frmulas Notveis no Escopo do Clculo Quantificacional Clssico.

A compreenso e a expresso das afirmaes e negaes de frmulas que representam disjunes, conjunes, implicaes, bi-implicaes e proposies categricas so imprescindveis para que as finalidades da Lgica sejam cumpridas.

I.A) A afirmao de uma disjuno pode ser expressa da seguinte forma:

PQ

De acordo com a sntese sobre a tabela verdade B1, associada disjuno: para que uma disjuno seja verdadeira, basta que um dos disjuntivos o seja. Tal fato manifesta a presena da relao de alternatividade associada disjuno.Retomando a disjuno j vista no item b1, na seo 2.1:A cerveja est quente ou os petiscos tm gosto ruim.

(disjuno)

A cerveja est quente.

(disjuntivo)

Os petiscos tm gosto ruim.

(disjuntivo)Poderamos ento represent-la por PQ desde que:

P represente A cerveja est quente.

Q represente Os petiscos tm gosto ruim. I.B) A negao de uma disjuno, em conformidade com a igualdade B3a, pode ser expressa da seguinte forma:

(PQ) = PQ

De acordo com a sntese sobre a tabela verdade B1: uma disjuno ser falsa sempre que os dois disjuntivos sejam falsos. Tal fato manifesta a relao de simultaneidade associada negao da disjuno, a negao de uma disjuno uma conjuno.A negao da disjuno considerada no item I.A, a seguinte conjuno:

A cerveja no est quente e os petiscos no tm gosto ruim. (conjuno)

A cerveja no est quente.

(conjuntivo)

Os petiscos no tm gosto ruim.

(conjuntivo)

Poderamos ento representar tal negao por PQ, onde:

P representa A cerveja est quente.

Q representa Os petiscos tm gosto ruim. II.A) A afirmao de uma conjuno pode ser expressa da seguinte forma:

PQ De acordo com a sntese sobre a tabela verdade B2, associada conjuno: uma conjuno ser verdadeira sempre que ambos os conjuntivos o forem. Este fato manifesta a presena da relao de simultaneidade associada conjuno. Retomando a conjuno j vista no item b2, na seo 2.1:

A temperatura est elevada e sinto-me bem hoje.

(conjuno)

A temperatura est elevada.

(conjuntivo)

Sinto-me bem hoje.

(conjuntivo)

Poderamos ento represent-la por PQ desde que:

P represente A temperatura est elevada.

Q represente Sinto-me bem hoje.

II.B) A negao de uma conjuno, em conformidade com a igualdade B3b, pode ser expressa da seguinte forma:

(PQ) = PQ

Conforme a sntese sobre a tabela verdade B2: para que uma conjuno ser falsa basta que um dos conjuntivos o seja. Este fato manifesta a relao de alternatividade associada negao da conjuno, a negao de uma conjuno uma disjuno.A negao da conjuno considerada no item II.A, a seguinte disjuno:A temperatura no est elevada ou no me sinto bem hoje.

(disjuno)

A temperatura no est elevada.

(disjuntivo)

No me sinto bem hoje.

(disjuntivo)

Poderamos ento representar tal negao por PQ, onde:

P representa A temperatura est elevada.

Q representa Sinto-me bem hoje.

III.A) A afirmao de uma implicao, em conformidade com a igualdade C1A1, pode ser expressa da seguinte forma:

PQ = PQA sntese da tabela verdade C1 esclarece que uma implicao ser verdadeira quando, alternativamente, o antecedente for falso ou o consequente for verdadeiro. Deste modo a afirmao de uma implicao uma disjuno.Retomando a implicao j vista no item c1, na seo 2.1:Se Jorge pratica natao ento Cludia joga tnis.

(proposio condicional)

Jorge pratica natao.

(antecedente)

Cludia joga tnis.

(conseqente)

Poderamos reescrev-la como a seguinte disjuno:Jorge no pratica natao ou Cludia joga tnis.

(disjuno)Poderamos ainda represent-la por PQ desde que:P represente Jorge pratica natao.

Q represente Cludia joga tnis.

III.B) A negao de uma implicao, em conformidade com a igualdade C1A2, pode ser expressa da seguinte forma:

(PQ) = PQ

A sntese da tabela verdade C1A esclarece que uma implicao ser falsa quando, simultaneamente, o antecedente for verdadeiro e o consequente for falso. Deste modo a negao de uma implicao uma conjuno.

A negao da bi-implicao considerada no item III.A, a seguinte conjuno:Jorge pratica natao e Cludia no joga tnis.

(conjuno)

Poderamos ainda represent-la por PQ onde:P representa Jorge pratica natao.

Q representa Cludia joga tnis.

IV.A) A afirmao de uma bi-implicao, em conformidade com a igualdade C2A1, pode ser expressa da seguinte forma:

PQ = (PQ)(PQ)

Segundo a tabela verdade C2A, uma bi-implicao verdadeira quando suas proposies componentes tm valores lgicos iguais. Sendo assim a afirmao de uma bi-implicao uma disjuno.Retomando a bi-implicao j vista no item c2, na seo 2.1:

Isaac filho de Cludia se e somente se Cludia casada com

Henrique.

(proposio bi-condicional)

Poderamos reescrev-la como a seguinte disjuno:

Isaac filho de Cludia e Cladia casada com Henrique

ouIsaac no filho de Cludia e Cludia no casada com Henrique.

(disjuno)Poderamos ainda represent-la por (PQ)(PQ) desde que:

P represente Isaac filho de Cludia.

Q represente Cludia casada com Henrique.IV.B) A negao de uma bi-implicao, em conformidade com a igualdade C2A2, pode ser expressa da seguinte forma:

(PQ) = (PQ)(PQ)

Segundo a tabela verdade C2A, uma bi-implicao falsa quando suas proposies componentes tm valores lgicos diferentes. Sendo assim a negao de uma bi-implicao uma disjuno.

A negao da bi-implicao considerada no item IV.A, a seguinte disjuno:Isaac filho de Cludia e Cludia no casada com Henrique

ou

Isaac no filho de Cludia e Cludia casada com Henrique.

Poderamos ainda represent-la por (PQ)(PQ) onde:

P representa Isaac filho de Cludia.

Q representa Cludia casada com Henrique.V.A) A afirmao de uma proposio categrica universal afirmativa, conforme a exposio na seo 4.2, pode ser expres-sa da seguinte forma:

x(PxQx)

V.B) A negao de uma proposio categrica universal afirmativa pode ser expressa da seguinte forma:

x(PxQx) = x(PxQx)

A negao de Todos os entes so alguma coisa Existe ao me-nos um ente que no a coisa.

A negao da proposio:

Todo administrador passou pela faculdade. a seguinte proposio:

Existe ao menos um administrador que no passou pela faculdade.

VI.A) A afirmao de uma proposio categrica universal negativa, conforme a exposio na seo 4.2, pode ser expressa da seguinte forma:

x(PxQx)VI.B) A negao de uma proposio categrica universal negativa pode ser expressa da seguinte forma:

x(PxQx) = x(PxQx)

A negao de Todos os entes no so alguma coisa Existe ao menos um ente que a coisa.A negao da proposio:

Os norte-americanos no so africanos. a seguinte proposio:

H ao menos um norte-americano que africano.VII.A) A afirmao de uma proposio categrica particular afirmativa, conforme a exposio na seo 4.2, pode ser expres-as da seguinte forma:

x(PxQx) VII.B) A negao de uma proposio categrica particular afirmativa pode ser expressa da seguinte forma:

x(PxQx) = x(PxQx)

A negao de Existe ao menos um ente que alguma coisa Todos os entes no so a coisa

A negao da proposio:

Alguns administradores fizeram o teste Anpad em fevereiro.

a seguinte proposio:

Todos os administradores no fizeram o teste em fevereiro.

VIII.A) A afirmao de uma proposio categrica particular negativa, conforme a exposio na seo 4.2, pode ser expressa da seguinte forma:

x(PxQx)VIII.B) A negao de uma proposio categrica particular negativa pode ser expressa da seguinte forma:

x(PxQx) = x(PxQx)

A negao de Existe ao menos um ente que no alguma coisa Todos os entes so a coisa

A negao da proposio:

H automveis raros que no circulam nas ruas.

a seguinte proposio:

Todos os automveis raros circulam nas ruas.4.3.3 Encerramento da Seo.

A esta altura terminamos nossa abordagem a respeito dos princpios da Lgica Quantificacional clssica. A profundidade a que atingimos perfeitamente adequada ao emprego daquela resoluo de questes tpicas em concursos nacionais voltados a no especialistas, conforme a finalidade pretendida pelo Espao Paidia.

Proposio PProposio No PVFFV

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