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http://docentes.ifrn.edu.br/albalopes
Alba Lopes, Profa.
AULA:
Introdução à Lógica MatemáticaDisciplina: Fundamentos de Lógica e Algoritmos
Alba Lopes, Profa.
Agenda
Origem do Raciocínio Lógico
Lógica do cotidiano
Pensadores (Fatos históricos)
A Lógica Matemática Moderna
Proposições e conectivos
Operações lógicas sobre proposições
Edmilson Campos ([email protected]) 2
Alba Lopes, Profa.
Origem do Raciocínio Lógico
“É logico que eu vou!”, “Lógico que ela disse isso!” são expressões que
indicam alguma coisa evidente
Pode-se perceber que as palavras lógica(o) significam:
uma inferência: visto que conheço x, disso posso concluir y como consequência;
Ex: Se estou com sede, então preciso beber água
a exigência de coerência: visto que x é assim, então é preciso que y seja assim;
a exigência de que não haja contradição entre o que sabemos de x e a conclusão y a que
chegamos;
Exigência de que, para entender a conclusão y, precisamos saber o suficiente sobre x para
conhecer por que se chegou a y.
Edmilson Campos ([email protected]) 4
Alba Lopes, Profa.
Origem do Raciocínio Lógico
Ao usarmos as palavras lógica e lógico, estamos participando de uma
tradição de pensamento (com origem na filosofia grega);
A lógica se ocupa das leis de raciocínio;
No estudo das Leis da Lógica está interessada principalmente na forma e
não no conteúdo dos argumentos;
Exemplo:
Todo X é Y.
Z é X.
Portanto, Z é Y.
Edmilson Campos ([email protected]) 5
Alba Lopes, Profa.
Pensadores do Raciocínio Lógico
Aristóteles (384 a.C. – 322 a.C.)
Filósofo grego, aluno de Platão e professor de Alexandre, o Grande. Seus escritos
abrangem diversos assuntos, entre os quais os primeiros grandes escritos de
lógica
A Lógica de Aristóteles:
Edmilson Campos ([email protected]) 6
Alba Lopes, Profa.
Pensadores do Raciocínio Lógico
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716)
Filósofo, cientista, matemático, diplomata e bibliotecário alemão. É creditado a
Leibniz e a Newton o desenvolvimento do cálculo moderno, em particular o
desenvolvimento da integral e da regra do produto.
Descreveu o primeiro sistema de numeração binário moderno (1705), tal como o
sistema numérico binário utilizado nos dias de hoje.
Propôs o uso de símbolos para mecanizar o raciocínio lógico
Edmilson Campos ([email protected]) 7
Alba Lopes, Profa.
Pensadores do Raciocínio Lógico
George Boole (1815 – 1864)
Matemático e filósofo britânico, criador da álgebra booleana,
fundamental para o desenvolvimento da computação moderna
Augustus De Morgan (1806 – 1871)
Matemático e lógico britânico. Formulou as Leis de De Morgan e
foi o primeiro a introduzir o termo e tornar rigorosa a ideia da
indução matemática
Propuseram as bases da lógica simbólica moderna usando as
ideias de Leibniz
Edmilson Campos ([email protected]) 8
Alba Lopes, Profa.
A Lógica Matemática
Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848-1925) foi um dos criadores da lógica
matemática moderna;
Características da Lógica Matemática Moderna:
Lida com a formalização das coisas (estrutura dos pensamentos) utilizando, para
tal, símbolos ou algoritmos
Ex.: cálculo de proposições e de predicados
Conceitos Preliminares:
Proposição (objeto da lógica)
Princípios da lógica
Valores lógicos das proposições
Conectivos proposicionais
Edmilson Campos ([email protected]) 9
Alba Lopes, Profa.
Proposições
”Conjunto de palavras ou símbolo que exprime um
pensamento completo”
(ALENCAR FILHO, 1995)
Edmilson Campos ([email protected])10
Alba Lopes, Profa.
Proposições
Possuem valor lógico verdadeiro ou falso;
Transmitem pensamentos, isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos que
formamos a respeito de determinados entes;
Exemplos:
A Lua é um satélite da Terra (V)
3/5 é um número inteiro (F)
Sete é menor do que dez (V)
Natal é a capital do RN (V)
A média do IFRN é 70 (F)
Edmilson Campos ([email protected]) 11
Alba Lopes, Profa.
Axiomas da Lógica Matemática
Regras Fundamentais (axiomas):
Princípio da Não-Contradição
Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo
Princípio do Terceiro Excluído
Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, não há uma terceira possiblidade
Edmilson Campos ([email protected]) 12
Alba Lopes, Profa.
Proposições Simples
Proposição Simples ou Atômica
Formada por uma única proposição, ou seja, não contém uma proposição como
parte integrante de si mesma
Designadas por letras minúsculas
p : Brasil é um país da América
q : Natal é a capital do Rio Grande do Norte
Edmilson Campos ([email protected]) 13
Alba Lopes, Profa.
Proposições Compostas
Proposição Composta ou Molecular
Formada por duas ou mais proposições
Designadas por letras maiúsculas
p : Natal é capital do RN
q : João Pessoa é capital da Paraíba
P (p, q) : Natal é capital do RN e João Pessoa é capital da Paraíba
Edmilson Campos ([email protected]) 14
Alba Lopes, Profa.
Proposições Abertas ou Fechadas
Fechadas: valor lógico definido
Exemplos:
A Terra é o terceiro planeta do Sistema Solar
Natal é a capital da Paraíba
Pedrinho é filho de Maria
Abertas
Exemplos:
x + 1 = 4
Para x = 3, a proposição é verdadeira
Para qualquer outro valor de x ≠ 3, a proposição é falsa
Edmilson Campos ([email protected]) 15
Alba Lopes, Profa.
Conectivos
Conceito
Palavras usadas para formar novas proposições a partir de outras
Exemplos:
P: O número 6 é par E o número 7 é ímpar
Q: O triângulo ABC é retângulo OU é isósceles
R: NÃO está chovendo
S: SE Jorge é engenheiro, ENTÃO sabe matemática
T: O triângulo ABC é equilátero SE E SOMENTE SE é equiângulo
Edmilson Campos ([email protected]) 16
Alba Lopes, Profa.
Representação dos conectivos
Conectivo Símbolo Exemplo
não ~ ou ¬ ~p , ¬p
e ^ ou . p ^ q
ou v ou + p v q
se... então p q
... se e somente se... p q
Edmilson Campos ([email protected]) 17
Alba Lopes, Profa.
Tradução para a linguagem natural
Dadas as proposições:
p : Carlos é careca
q : Pedro é estudante
Transformar em linguagem natural as seguintes fórmulas:
~p:
p ^ ~q:
~p v q:
q ~p:
~p ~q:
Edmilson Campos ([email protected]) 18
Carlos não é careca
Carlos não é careca ou Pedro é estudante
Carlos é careca e Pedro não é estudante
Se Pedro é estudante então Carlos não é carecaCarlos não é cara se e somente se Pedro não é estudante
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Tradução para a linguagem natural
Sejam as proposições:
p: Gosto de viajar
q: Visitei a Austrália
Transformar em linguagem natural as seguintes fórmulas:
p q :
~q ~p :
(p ^~q) ~p:
q ^ ~p:
~p v ~q:
(p v ~q) ^(~p q):
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Gosto de viajar se e somente se Visitei a Austrália
Se gosto de viajar e não visitei Austrália então não gosto de viajar
Se não visitei a Austrália então não gosto de viajar
Visitei a Austrália e não gosto de viajar
Não gosto de viajar ou não visitei a Austrália
Gosto de viajar ou não visitei a Australia e Se não gosto
de viajar então visitei a Australia
Alba Lopes, Profa.
Tabela-Verdade
Tabela-Verdade
Tabela que lista todos os possíveis valores de uma proposição
Proposição Simples
Princípio do Terceiro Excluído: Toda proposição é verdadeira ou falsa
Tabela-Verdade de uma proposição p:
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p
V
F
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Tabela-Verdade
Proposição Composta
O valor lógico da proposição depende unicamente dos valores das proposições
simples componentes
Tabela-Verdade de uma Proposição Composta por duas proposições simples
P (p, q)
O valor lógico de P depende do conectivo utilizado na proposição
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p q P
V V ?
V F ?
F V ?
F F ?
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Tabela-Verdade dos conectivos
Conjunção (E)
Símbolo: ^
A partir de duas proposições p e q, podemos obter p ^ q
A nova proposição só será verdadeira caso ambas sejam verdadeiras
p: Jorge é Engenheiro
q: Jorge sabe matemática
p ^ q : Jorge é Engenheiro e Jorge sabe matemática
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p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
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Tabela-Verdade dos conectivos
Disjunção (OU)
Símbolo: v
A partir de duas proposições p e q, podemos obter p v q
A nova proposição será verdadeira quando ao menos uma for verdadeira
p: Jorge é Engenheiro
q: Jorge sabe matemática
p v q : Jorge é Engenheiro ou Jorge sabe matemática
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p q p v q
V V V
V F V
F V V
F F F
Alba Lopes, Profa.
Tabela-Verdade dos conectivos
Negação (NÃO)
Símbolo: ~
A partir de uma proposição p, podemos obter a negação ~p
A nova proposição terá valor lógico oposto a proposição de origem
p: Jorge é Engenheiro
~p: Jorge não é Engenheiro
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p ~p
V F
F V
Alba Lopes, Profa.
Tabela-Verdade dos conectivos
Condicional (SE... ENTÃO)
Símbolo:
A partir de duas proposições p e q, podemos obter p q (lê “se p então q”)
A nova proposição será falsa quando p for V e q for F e será verdadeira nos demais casos
p é antecedente e q é consequente
p é antecedente e q é consequente
p: Jorge é Engenheiro
q: Jorge sabe matemática
p q: Se Jorge é Engenheiro
Então Jorge sabe matemática
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p q p q
V V V
V F F
F V V
F F V
Alba Lopes, Profa.
Tabela-Verdade dos conectivos
Condicional (SE... ENTÃO)
ATENÇÃO
Uma condicional p q não afirma que o consequente se deduz ou é consequência do antecedente. Por
exemplo:
p: 7 é um número ímpar
q: Brasília é uma cidade
p q: 7 é um número ímpar Brasília é uma cidade
Isso não afirma DE MODO NENHUM que o fato de Brasília ser uma cidade se deduz do fato de 7 ser um
número ímpar.
O que uma condicional afirma é unicamente uma relação entre valores lógicos do antecedente e do
consequente de acordo com a tabela verdade anterior
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Alba Lopes, Profa.
Tabela-Verdade dos conectivos
Bicondicional (... SE E SOMENTE SE...)
Símbolo:
A partir de duas proposições p e q, podemos obter p q (lê “p se e somente
se q”)
O valor lógico é verdade se ambas forem verdadeiras ou ambas foram falsas. Nos
demais casos, o valor é falso
p é antecedente e q é consequente
p é antecedente e q é consequente
p: Jorge é Engenheiro
q: Jorge sabe matemática
p q: Jorge é Engenheiro
Se e Somente Se
Jorge sabe matemática
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p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
Alba Lopes, Profa.
Valor das proposições
Sejam as proposições
p: Carlos é careca (verdadeiro)
q: Pedro é estudante (falso)
Que valores lógicos as fórmulas abaixo possuem?
p q
~q ~p
(p ^~q) v ~p
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V F = F
~F ~V = V F = F
(V ^ ~F) v ~V = (V ^ V) v F = V v F = V
Alba Lopes, Profa.
Exercícios
1. Determine o valor lógico das proposições abaixo para p = F e q = F:
1. ~p 6. q v ~p
2. p ^ q 7. ~p ^ ~q
3. p v q 8. ~p v ~q
4. ~~q 9. ~~p
5. p ~q 10. (p ^ ~q) p
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Alba Lopes, Profa.
Referências
ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática. Ed. Nobel,
2002.
LAGES & GUIMARAES. Algoritmos e Estrutura de dados. Ed. LTC, 1994.
PINTO, Wilson Silva. Introdução ao desenvolvimento de algoritmos e
estrutura de dados. Ed. Érica, 1991.
TONIN, Neilor. Apostila de Lógica para Computação. Universidade Regional
Integrada. Erechim, 2008.
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