APLICAÇÕES DA LÓGICA MATEMÁTICA

APLICAÇÕES DA LÓGICA MATEMÁTICA

ORGANIZADORES

Miguel Chaquiam

Natanael Freitas Cabral

Setembro 2010

VERA LÚCIA GOUVÊA SMITH DA SILVA

Coleção

Educação Matemática na Amazônia

V. 3

Vera Lúcia Gouvêa Smith da Silva

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Coleção Educação Matemática na Amazônia – V. 3

3

VERA LÚCIA GOUVÊA SMITH DA SILVA

APLICAÇÕES DA LÓGICA MATEMÁTICA

ORGANIZADORES

Miguel Chaquiam Natanael Freitas Cabral

BELÉM – PARÁ Setembro de 2010


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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Belém – Pará – Brasil

S586a Silva, Vera Lúcia Gouvêa Smith da. Aplicação da lógica matemática / Vera Lúcia Gouvêa da Silva; Organizado por Miguel Chaquiam e Natanael Freitas Cabral. – Belém: SBEM-PA, 2010. (Coleção Educação Matemática na Amazônia, 3). 66 p. ISBN 978-85-7691-105-0 (V. 3) ISBN 978-85-7691-102-9 (Coleção) 1.Matemática - Ensino. 2. Lógica. I. Chaquiam, Miguel. II. Cabral, Natanael Freitas. III. SBEM-PA . IV.Título. CDD 510.7


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APRESENTAÇÃO

A publicação da coleção Educação Matemática na Amazônia, iniciada em 2010, durante a realização do VII EPAEM – VII Encontro Paraense de Educação Matemática é mais um elemento que vem consolidar o movimento de educação matemática em nossa região. Essa publicação materializa um sonho de disponibilizar um espaço de divulgação da produção de conhecimentos no campo da educação matemática voltados à região amazônica.

Consideramos importante apresentar aos estudantes de nível

superior e professores da educação básica e superior da Amazônica um conjunto de obras diversificadas tendo em vista o avanço dos estudos sobre o campo da Educação Matemática nos diversos centros de estudos do país e agora, mais recentemente, na região. Nesse sentido foram organizados os 11 volumes da coleção Educação Matemática na Amazônia.

Uma das metas estabelecidas pela diretoria regional do Pará é

criar a versão eletrônica desta coleção, que será disponibilizada gratuitamente por meio do site da SBEM-PA, assim como, a publicação da revista eletrônica Educação Matemática na Amazônia em Revista.

Neste volume a autora apresenta os conceitos básicos da

lógica matemática e de Boole por meio de definições e exemplos. Além diversidade de atividades, as aplicações da lógica na resolução de problemas envolvendo circuito lógicos são abordados.

Miguel Chaquiam Natanael Freitas Cabral (Organizadores)


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SUMÁRIO

APRESENTAÇÃO........................................................... 05 INTRODUÇÃO............................................................... 09 SÍNTESE TEÓRICA........................................................ 10 1. CONECTIVOS LÓGICOS............................................... 10 2. LÓGICA DOS PREDICADOS.......................................... 10 3. OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES............. 11 4. ORDEM DE PRECEDÊNCIA PARA OS CONECTIVOS...... 19 5 CLASSIFICAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA... 19 6. RELAÇÕES LÓGICAS.................................................... 21 7. PROPOSIÇÕES EQUIVALENTES................................... 23 8. ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES..................................... 24 9. CONJUNTO DE CONECTIVOS COMPLETOS.................. 27

10. FORMAS NORMAIS F.N................................................ 28 11. REGRAS DE INFERÊNCIA............................................. 29 12. QUANTIFICADORES..................................................... 33 13. NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO QUANTIFCADA........ 34 14. SILOGISMO: TODO, ALGUM, NENHUM........................ 34 15. APLICAÇÃO DA ÁLGEBRA DE BOOLE EM CIRCUITOS

LÓGICOS......................................................................

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TESTES.........................................................................

QUESTÕES PROPOSTAS............................................... 63

REFERÊNCIAS.............................................................. 64

DADOS SOBRE A AUTORA............................................ 65


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INTRODUÇÃO

Este livro surgiu das notas de aula utilizadas na disciplina Lógica Matemática, ministradas para os cursos de Matemática e Ciência da Computação.

A grande motivação em produzir tal livro surgiu da experiência com o ensino da disciplina e da busca de referências que pudessem subsidiar a prática docente, além da tentativa de procurar pontos comuns para o ensino da disciplina em dois cursos diferentes. Aliada a motivação acadêmica está o fato de que hodiernamente o raciocínio lógico se faz presente em exames para ingresso em cursos de pós-graduação e em concursos públicos.

Diante de toda esta motivação pessoal, concretizada com a elaboração deste mini-curso, espera-se que os alunos e professores interessados no aprofundamento dos conhecimentos tenham suas expectativas atingidas.

Na obra, temos uma síntese teórica, iniciada com a apresentação dos conectivos lógicos e dos predicados em função de linguagem corrente (usual) e simbólica. Em seguida, serão enumeradas as operações lógicas estruturando a linguagem corrente, a linguagem simbólica, definição do comportamento do valor lógico, além de fazermos a classificação de uma proposição composta.

Serão tratadas as relações lógicas através das tabelas-verdade e da álgebra das proposições, para então definirmos o conjunto de conectivos completo e as formas normais de uma proposição.

Prosseguindo com os ensinamentos, faremos referência a argumentos na forma de regras de inferência, aos quantificados estruturando a linguagem corrente e simbólica, assim como o comportamento lógico e a negação de uma proposição quantificada.

Ao final, faremos referência aos silogismos, no que diz respeito ao uso de todo, algum e nenhum, para podermos fechar com uma série de questões objetivas, que tem por escopo testar os conhecimentos adquiridos durante o mini-curso.

Agradecimentos sinceros ao meu esposo Guilherme, pelo incentivo e pela colaboração tecnológica na elaboração deste texto.


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SÍNTESE TEÓRICA 1. CONECTIVOS LÓGICOS (LÓGICA PROPOSICIONAL) Definição São palavras, expressões ou símbolos que se usam para formar novas proposições, a partir de proposições dadas.

Linguagem Corrente ou Usual

Linguagem Simbólica

não ~ ;

e , mas

Ou (inclusive)

ou; ou ... ou ... , mas não ambos (exclusive)

se ... , então ...

... , se somente se, ... Exemplo (1) p: Maria não é sardenta. (2) P: Baleia é mamífero e jacaré é um réptil. (3) Q: Maria é bonita, mas não é estudiosa. (4) R: Se João estuda, então sabe a matéria. (5) S: Carlos fala francês ou inglês. (6) T: O número zero possui antecessor natural, se e somente se, o

ano bissexto ocorre a cada seis meses. 2. LÓGICA DOS PREDICADOS

Linguagem Corrente ou Usual

Linguagem Simbólica

Qualquer que seja ; Todo

Existe pelo menos um , Alguns

Existe um e um só !


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Exemplo (1) Qualquer que seja o número natural é primo. (2) Existe pelo menos um inteiro que não é primo nem composto. (3) Existe um e um só inteiro cujo quadrado é 2. 3. OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES 3.1. Negação 3.1.1. Linguagem Simbólica

~, na frente da letra proposicional. 3.1.2. Linguagem Corrente

Palavra não (exclusivo para proposições simples) - coloca-se não na frente do verbo.

Palavras

composta proposição para como

simples proposição para tantousadaser pode

que falso É

que verdadeé não

- coloca-se a palavra na frente da proposição.

Usa-se o antônimo da palavra chave da proposição apenas para proposições simples. Exemplo (1) p: Inês é sardenta. (2) ~ p: Inês não é sardenta. (3) ~ p: Não é verdade que Inês é sardenta (4) Q: Baleia é mamífero e jacaré é um réptil. (5) ~ Q: Não é verdade que baleia é mamífero e jacaré é um réptil. (6) R: Se João estuda, então sabe a matéria. (7) ~ R: É falso que se João estuda, então sabe a matéria. (8) s: Maria é bonita. (9) ~ s: Maria é feia.


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3.1.3. Tabela-Verdade

p ~ p

V F

F V Exemplo (1) q: 12 é um número primo; V(q) = F (2) ~ q: 12 não é um número primo; V(q) = V.

(3) p: 14 tg ; V(p) = V

(4) ~p: 14 tg ; V(p) = F

3.2 Conjunção 3.1.1. Linguagem Simbólica

* Coloca-se o símbolo entre as letras proposicionais que a compõe. 3.1.2. Linguagem Corrente

* Coloca-se a palavra e ou a palavra mas entre as proposições que a compõe. Exemplo (1)

qp

réptil é jacaré e mamífero é Baleia :P

P: p q (2)

sr

baixa é mas bonita é Maria :Q

Q: r s (3)

ut

3por divisível é 250 mas ,2por divisível é 164 número O :R

R: t u


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p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F Exemplo (1) V ( P ) = V ( p q ) = V ( p ) V ( q ) = V V = V

(2) V ( R ) = V ( t u ) = V ( t ) V ( u ) = V F = F 3.2. Disjunção 3.2.1. Linguagem Simbólica:

* Coloca-se o símbolo entre as letras proposicionais que a compõe. 3.2.2. Linguagem Corrente:

* Coloca-se a palavra ou entre as proposições que a compõe. Exemplo (1)

qp

primo número um é 12ou primo número um é 7 :P

P: p q

(2) sr

frio fazendo estáou chovendo Está :Q

Q: r s

(3) ut

11-ou 10 :R

R: t u


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p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F Exemplo (1) V ( P ) = V ( p q ) = V ( p ) V ( q ) = V F = V (2) V ( R ) = V ( t u ) = V ( t ) V ( u ) = F F = F 3.3. Disjunção Exclusiva 3.3.1. Linguagem Simbólica

* Coloca-se o símbolo entre as letras proposicionais que a compõe. 3.3.2. Linguagem Corrente

(i) Coloca-se a palavra ou entre as proposições que a compõe. Obs.: Distingue-se do ou inclusivo, quando as proposições não podem acontecer ao mesmo tempo. Exemplo p: João é paraense ou pernambucano. (ou exclusivo) q: João é médico ou professor. (ou inclusivo) (ii) Coloca-se ou ... ou ... nas proposições que a compõe. (iii) Coloca-se ... ou ..., mas não ambos nas proposições que a compõe.


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Exemplo (1)

qp

mineira éou paraense é Renata :P

P: p q (2)

u

t

UFPanareitor será

ou Espanha na embaixador nomeado será Joãoprofessor O :R

R: t u 3.3.3. Tabela-Verdade

p q p q

V V F

V F V

F V V

F F F 3.4. Condicional 3.4.1. Linguagem Simbólica: p q

Conseqüente (Tese ou Conclusão)

Antecedente (hipótese)


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3.4.2. Linguagem Corrente: Se ... , então ...

Exemplo (1) então , abscissa de ponto um em derivável é função a Se :P

p

xf

q

ponto neste contínua é função a

P: p q (2) então , diagonais temnão que polígono o é triânguloo Se :Q

r

s

diagonais quatro temquadrado o

Q: r s (3) então , natural antecessor possui zero número o Se :R

t

u

anos seis cada a ocorre bissexto ano o

R: t u 3.4.3. Leitura (i) p é condição suficiente para q (ii) q é condição necessária para p

Coloca-se o

Coloca-se o

Antecedent Conseqüent

AntecedentConseqüent


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Exemplo

(1) .contínua seja função aque para suficiente condição é

, abscissa de ponto um em derivável é funçãoA :P

q

p

xf

P: p q p: antecedente q: conseqüente

(2) .ponto neste derivável seja função aque para necessária condição é

, abscissa de ponto um em conínua é funçãoA :Q

p

q

x

Q: p q p: antecedente q: conseqüente 3.4.4. Tabela-verdade:

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V Exemplo Referentes aos exemplos do item 3.5.2 (2) V ( Q ) = V ( r s ) = V ( r ) V ( s ) = V F = F (3) V ( R ) = V ( t u ) = V ( t ) V ( u ) = F F = V


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3.5. Bicondicional 3.5.1. Linguagem Simbólica

p q 3.5.2. Linguagem Corrente

..., se e somente se, ... Exemplo

(1)

q

p

anos 4 cada a ocorre bissexto ano o

se, somente e se , perfeito quadrado um é 52 :P

P: p q (2)

sr

branca é neve a se, somente e se , África na fica Roma :Q

Q: r s

3.5.3. Leitura

(i) p é condição necessária e suficiente para q (ii) q é condição necessária e suficiente para p 3.5.4. Tabela-verdade

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V


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Exemplo (1) V ( P ) = V ( p q ) = V ( p ) V ( q ) = V V = V

(2) V ( Q ) = V ( r s ) = V ( r ) V ( s ) = F V = F 4. ORDEM DE PRECEDÊNCIA PARA OS CONECTIVOS

(1) ~ ; (2) ; (3) ; (4) Observação Como a disjunção exclusiva não faz parte da ordem acima, significa que quando esta fizer parte de uma proposição (sentença) teremos que ter parêntesis para identificar como sendo a operação forte ou fraca. 5. CLASSIFICAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA - Tautologia Proposições compostas com valor lógico verdade (V); - Contradição ou Contraválida Proposições compostas com valor lógico falsidade (F); - Contingência ou Indeterminada

Proposições compostas cujo valor lógico ocorrem (V) e (F) cada um pelo menos uma vez. Exemplo (1) P: ~ p q ( p q ) proposição tautológica (2) Q: p q ~ ( p q ) proposição contraditória

Cresce


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(3) R: ~ p ( ~ q p ) proposição indeterminada Exemplo - Resolução (1) P: ~ p q ( p q ) V ( P ) = V V V V P é uma proposição tautológica; ou ainda é uma proposição consistente. (2) Q: p q ~ ( p q ) V ( Q ) = F F F F P é uma proposição contraditória ou inconsistente. (3) R: ~ p ( ~ q p ) V ( R ) = V V V F P é uma proposição indeterminada ou contingência.

~ p q ( p q ) F V V V V V V V F V F F V V F F V F V V V F V V V F V F V F V F

p q ~ ( p q ) V V V F F V V V V F F F F V V F F F V F F F V V F F F F V F F F

~ p ( ~ q P ) F V V F V V V F V V V F V V V F V F V F F V F V V F V F


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6. RELAÇÕES LÓGICAS 6.1. Implicação Lógica 6.1.1. Linguagem Simbólica

P Q ; P e Q proposições quaisquer. 6.1.2. Linguagem Corrente

P implica logicamente em Q 6.1.3. Definição

P Q , se Q é verdadeira todas as vezes que P é verdadeira. 6.1.4. Tautologia e Implicação Lógica

P Q ; P Q é uma tautologia

Exemplo Dadas as proposições P e Q abaixo. Verifique se P Q ou se P Q, usando a definição em (1) e usando o teorema em (2).

(1) P: p ; Q: q p

Como não ocorreu a relação VF, temos que p q p (2) P: q ; Q: p q p. Como q ( p q p ) é Uma tautologia, temos que q ( p q p )

p q p V V V V V F V V F V F F F F V F

q ( p q p ) V V V V V V V F V V F F F V V V F F V V F F V F F F V F


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6.1.5. Propriedades da Implicação Lógica

(i) Reflexiva: P P

(ii) Transitiva: P Q e Q R ; P R Exemplo Considere as afirmações: I- Se Patrícia é uma boa amiga, então Vitor diz a verdade; II- Se Vitor diz a verdade, então Helena não é uma boa amiga; III- Se Helena não é uma boa amiga, então Patrícia é uma boa

amiga; A análise do encadeamento lógico dessas três afirmações

permite concluir que elas: A) São equivalentes a dizer que Patrícia é uma boa amiga; B) Implicam necessariamente que Patrícia é uma boa amiga; C) Implicam necessariamente que Vitor diz a verdade e que Helena

não é uma boa amiga; D) São consistentes entre si, que Patrícia seja uma boa amiga, quer

Patrícia não seja uma boa amiga; E) São inconsistentes entre si. Exemplo - Resolução Aplicar a propriedade transitiva da Implicação Lógica:

Designando p: Patrícia é uma boa amiga q: Vitor diz a verdade r: Helena é uma boa amiga

Na linguagem simbólica, temos: I. p q II. q r

De (I) e (II) aplicando a propriedade, obtém-se: P r (1) III. r p

E novamente aplicando a propriedade transitiva em (1) e (III), obtém-se: P: p p, ou seja, P: Se Patrícia é uma boa amiga, então Patrícia é uma boa amiga.


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Agora aplicando a propriedade da condicional, temos: Patrícia não é uma boa amiga e Patrícia é uma boa amiga, que tem valor lógico verdade, ou seja, as proposições são consistentes.

Portanto, a alternativa correta é C). 6.2. Equivalência Lógica 6.2.1. Linguagem Simbólica

P Q ; P e Q proposições quaisquer. 6.2.2. Linguagem Corrente

P equivalente a Q 6.2.3. Definição

P Q , quando tabelas-verdade de P e Q são idênticas 6.2.4. Tautologia e Equivalência Lógica

P Q ; P Q é uma tautologia 6.2.5. Propriedades da Equivalência Lógica

(i) Reflexiva: P P (ii) Simétrica: P Q ; Q P (iii) Transitiva: P Q e Q R ; P R 7. PROPOSIÇÕES EQUIVALENTES 7.1. Dupla Negação: ~ ~ p p 7.2. Condicional: p q ~ p q 7.3. Bicondicional: p q ( p q ) ( q p )

p q ( ~ p q ) ( ~ q p )


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7.4. Disjunção Exclusiva: p q ( p q ) ~ ( p q ) 7.5. Complemento: (i) p ~ p c ; onde c proposição contraditória. (ii) p ~ p t ; onde t proposição tautológica. 7.6. Identidade: (i) p t p ; onde t elemento neutro. (ii) p c c ; onde c elemento absorvente. (iii) p t t ; onde t elemento absorvente. (iv) p c p ; onde c elemento neutro. 7.7. Proposições associadas a uma condicional: (i) Proposição recíproca de P: q p. (ii) Proposição contrária de P: ~ p ~ q (iii) Proposição contrapositiva de P: ~ q ~ p Observação Das condicionais associadas apenas a contrapositiva é equivalente a qualquer condicional. 8. ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES 1 - Propriedades da Conjunção: 2 - Propriedades da Conjunção: Idempotente: p p p Idempotente: p p p Comutativa: p q q p Comutativa: p q q p Associativa: (pq)r p(qr) Associativa: (pq)r p(qr) 3 - Propriedades da Conjunção e Disjunção (i) Distributiva: p ( q r ) ( p q ) ( p r ) p ( q r ) ( p q ) ( p r )

(ii) Absorção: p ( p q ) p p ( p q ) p


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(iii) Lei de Morgan: ~ ( p q ) ~ p ~ q ~ ( p q ) ~ p ~ q 4 – Negação da Condicional: ~ ( p q ) p ~ q 5 – Negação da Bi condicional: ~ ( p q ) ( p ~ q ) ( q ~ p ) Exemplo Considere a sentença a seguir.

P: Se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo. Assinale a opção que contém a classificação de P. A) P é uma condicional indeterminada; B) P é uma condicional tautológica; C) P é uma disjunção contraditória; D) P é uma condicional contraditória; E) P é uma disjunção tautológica. Exemplo - Resolução P: Se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo. A proposição P é dada pelo conectivo condicional, pois a mesma tem este conectivo como estrutura lógica principal em P. Aplicando a propriedade da condicional e seguida da associativa e complemento, temos: João não é alto ou, João é alto ou Guilherme é gordo. gordo é Guilhermeou , alto é Joãoou alto é não João

T

T ou Guilherme é gordo implica em T (proposição tautológica) Portanto, a alternativa correta é B).


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Exemplo Uma sentença logicamente equivalente a “Se X é Y, então Z é W” é: A) X é Y ou Z é W; B) X é Y ou Z não é W; C) Se Z não é W, então X não é Y; D) Se X não é Y, então Z não é W; E) Se Z é W, então X é Y.

Exemplo - Resolução Esta proposição Se X é Y, então Z é W é uma condicional. Aplicando a condicional associada contrapositiva, que é equivalente a qualquer condicional, Obtemos: Se Z não é W, então X não é Y Portanto a alternativa correta é C). Exemplo A sentença lógica CBA é equivalente a: A) CBA ; B) CBA ; C) CBA ; D) Todas as respostas anteriores; E) Nenhuma das respostas anteriores.

Exemplo - Resolução A sentença lógica CBA , obtém-se uma proposição equivalente aplicando-se a propriedade distributiva. CABA Portanto a alternativa correta é E). Exemplo Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: A) Pedro não é pobre ou Alberto é baixo; B) Pedro é rico e Alberto não é alto; C) Pedro é pobre ou Alberto não é alto; D) Se Pedro é rico, então Alberto é alto; E) Se Pedro não é pobre, então Alberto é alto.


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Exemplo - Resolução A proposição não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto corresponde a uma negação de conjunção. Assim sendo aplicando-se a Regra de De Morgan, obtemos:

Pedro não é pobre ou Alberto é baixo. Portanto, a alternativa correta é A). 9. CONJUNTO DE CONECTIVOS COMPLETOS Definição

Seja ,,,,C um conjunto de conectivos. C é um conjunto completo se as condições a seguir são satisfeitas. Dada uma fórmula H do tipo P , ( P Q ) , ( P Q ) , ( P Q ) ou ( P Q ) , então é possível determinar uma outra fórmula G equivalente a H tal que G contém apenas conectivos de C e os símbolos P e Q presentes em H. Observações

(i) Temos que , é completo, porque dada a fórmula H, é possível determinar uma outra fórmula G, equivalente a H, onde G possui apenas conectivos e e os símbolos proposicionais P e Q que ocorrem em H. Assim obtém-se a completude do conjunto de conectivos , .

(ii) O conectivo nand definido pela correspondência (P nand Q) (P Q) é um conjunto {nand} completo. Demonstração

P ( p p ) p nand p P Q ( ( P Q ) ) ( P Q ) P nand Q ( P nand P ) nand (Q nand Q ).


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Exemplo A sentença lógica PPP NAND é equivalente a: A) PP ; B) P ; C) PP ; D) PP ; E) PP Exemplo - Resolução Na sentença lógica PPP NAND , deve-se aplicar, primeiramente a definição do conectivo e em seguida aplica-se as propriedades da álgebra das proposições e obtemos:

PP

Portanto a alternativa correta é A). 10. FORMAS NORMAIS F.N.

Quando muito a proposição contém ~ , , .

10.1. F.N.C. - Forma Normal Conjuntiva (i) F.N.;

(ii) Negação não aparece repetida (dupla, tripla, etc ...);

(iii) Negação não tem alcance sobre e .

(iv) não tem alcance sobre . 10.2. F.N.D. - Forma Normal Disjuntiva (i) F.N.;

(ii) Negação não aparece repetida (dupla, tripla, etc ...);

(iii) Negação não tem alcance sobre e .

(iv) não tem alcance sobre .


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Exemplo Considere as sentenças:

I- qpqp ;

II- qpqp ; III- qp ; IV- qpqp ;

Analise quais são sentenças que estão na F.N.D. A) Todas as alternativas; B) Nenhuma das alternativas; C) Somente as sentenças I e IV; D) Somente as sentenças II e III; E) Somente as sentenças I e II. Exemplo - Resolução A proposição I qpqp não é F.N.D., porque possui negação prevalecendo sobre disjunção;

A proposição IV não é F.N.D., porque possui conjunção prevalecendo sobre disjunção

Portanto a alternativa correta é D). 11. REGRAS DE INFERÊNCIA

a) Adição (AD): qp

p

b) Simplificação (SIMP): (i) p

qp (ii)

qqp

c) Conjunção (CONJ): (i) qp

qp

(ii)

pqqp


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d) Absorção (ABS): qpp

qp

e) Modus Ponens (MP): qp

qp

f) Modus Tollens (MT): pq

qp

~~

g) Silogismo Disjuntivo (SD): (i) qpqp

~

(ii) pqqp

~

h) Silogismo Hipotético (SH): rprqqp

i) Dilema Construtivo (DC): sqrpsrqp

j) Dilema Destrutivo (DD): rpsq

srqp

~~~~


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Exemplo Existem três suspeitos de invadir uma rede de computadores: André, Bruna e Carlos. Sabe-se que a invasão foi efetivamente cometida agido individualmente ou não. Sabe-se ainda, que: I- Se André é inocente, então Bruna é culpada; II- Ou Carlos é culpado ou Bruna é culpada, mas não os dois; III- Carlos não é inocente;

Com base nas considerações, conclui-se que: A) Somente André é inocente; B) Somente Bruna é culpada; C) Somente Carlos é culpado; D) São culpados apenas Bruna e Carlos; E) São culpados apenas, André e Carlos

Exemplo - Resolução Representando-se as proposições: p: André é inocente q: Bruna é inocente r: Carlos é inocente

Assim, sendo em linguagem simbólica, temos: I: p ~ q

II: ~ r ~ q III: ~ r

Tomando I, II e III como premissas e usando as regras de inferência: (1) p ~ q (2) ~ r ~ q ( ~ r ~ q ) ~ ( ~ r ~ q ) (3) ~ r (4) ~ r ~ q ( 2 ) ( SIMP ) (5) ~ ( ~ r ~ q ) ( 2 ) ( SIMP ) r q (6) q ( 5 ) ( 3 ) ( S.D. ) (7) ~ r( 4 ) ( 6 ) ( S.D. ) (8) ~ p ( 1 ) ( 6 ) ( M.T. ) (9) ~ p ~ r ( 7 ) ( 8 ) (CONJ)

~ p ~ r a dizer que André é culpado e Carlos é culpado, ou ainda são culpados apenas André e Carlos.

Portanto, a alternativa correta é E).


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Exemplo Ana mandou fazer um vestido para ir a uma recepção, mas não sabe se o mesmo ficará pronto. Suas amigas, Júlia, Sandra e Valéria têm opiniões diferentes sobre se o vestido ficará ou não pronto até a hora de Ana se vestir para a recepção. Se Júlia estiver certa, então Valéria está enganada. Se Valéria estiver enganada, então Sandra está enganada. Se Sandra estiver enganada, então o vestido não ficará pronto. Ou o vestido fica pronto, ou Ana não irá a recepção. Ora, verifica-se que Júlia está certa. Logo: A) O vestido fica pronto; B) Sandra e Valéria não estão enganadas; C) Valéria está enganada, mas não Sandra; D) Sandra está enganada, mas não Valéria; E) Ana não irá à recepção.

Exemplo - Resolução Representando em linguagem simbólica, as proposições que formam as premissas, temos: p: Júlia está certa q: Valéria está certa r: Sandra está certa s: O vestido fica pronto t: Ana irá à recepção

Então transformando as premissas para a linguagem simbólica e aplicando as regras de inferência obtemos: (1) p ~ q (2) ~ q ~ r (3) ~ r ~ s (4) s ~ t ( s ~ t ) ~ ( s ~ t ) (5) p (6) ~ q ( 1 ) ( 5 ) ( M.P. ) (7) ~ r ( 2 ) ( 6 ) ( M.P. ) (8) ~ s ( 3 ) ( 7 ) (CONJ) (9) s ~ t ( 4 ) (CONJ) (10) ~ ( s ~ t ) ( 4 ) (CONJ) (11) ~ t ( 3 ) ( 9 ) ( S.D. ) ~ t é equivalente a dizer que Ana não irá a recepção.

Portanto, a alternativa correta é E).


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12. QUANTIFICADORES (Lógica de Predicados) 12.1. Universal

Linguagem

seja queQualquer Todo, cada, Para todo,Para :Corrente :Símbólica

Valor Lógico: quando Conjunto Verdade = Conjunto Universo

12.2. Existência Linguagem

um menos pelo Para Algum, algum, Para um, menos pelo Existe :Corrente :Símbólica

Valor Lógico: quando Conjunto Verdade Conjunto Vazio 12.3. Existência e Unicidade

Linguagem

só um e um Existe :Corrente! :Símbólica

Valor Lógico: quando Conjunto Verdade = Conjunto Unitário

Exemplo Considere a seguinte proposição: P: x [ B x [ L x C x] ]

Assinale a alternativa que contém uma proposição equivalente a P. A) x [ B x [ L x C x ] ]; B) x [ B x [ L x C x ] ]; C) x [ B x [ L x C x ] ] ; D) x [ B x [ L x C x ] ] ; E) x [ B x [ L x C x ] ] .

Exemplo - Resolução P: x [ B x [ L x C x] ] é uma proposição que possui na sua estrutura o quantificador universal com uma condicional. Efetuamos P, temos: [ x [ B x [ L x C x ] ] ] x [ B x [ L x C x ] ] x [ B x [ L x C x ] ] Portanto, a alternativa correta é B).


34

13. NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO QUANTIFICADA 13.1. Negação de uma proposição com quantificador universal

xpAxxpAx ~~ 13.2. Negação de uma proposição com quantificador de existência

xpAxxpAx ~~ 14. SILOGISMO (Todo, Algum, Nenhum)

Análise das proposições categóricas

a) Todo A é B xBxAx (qualquer que seja x, se ele pertence a A, então também pertence a B)

Diagrama de Venn

b) Algum A é B xBxAx (existe um elemento x tal que

x pertence a A e também x pertence a B) Diagrama de Venn Observação

Os elementos comuns aos dois conjuntos estão representados pela parte sombreada. c) Nenhum A é B não existe nenhum elemento comum aos dois

conjuntos A e B, isto é, se um elemento pertence a A, então não pertence a B, e vice-versa.

A

B

A B


35

Diagrama de Venn d) Algum A não é B existe pelo menos um elemento que

pertence a A, então não pertence a B, e vice-versa. Diagrama de Venn Observação Negação de nenhum: Pelo menos um.

Exemplo Se é verdade que “Alguns escritores são poetas”e “Nenhum músico é poeta”, então, também é necessariamente verdade que: A) Nenhum músico é escritor; B) Algum escritor é músico; C) Algum músico é escritor; D) Algum escritor não é músico; E) Nenhum escritor é músico.

Exemplo - Resolução Construindo o diagrama de Venn para cada situação, temos: Situação 1: “Alguns escritores são poetas” Situação 2: “Nenhum músico é poeta” Das situações 1 e 2, podemos concluir que:

A B

A B

Escritores Poetas

Músicos Poetas


36

Existem escritores que não são músicos, ou ainda, algum escritor não é músico.

Portanto, a alternativa correta é D). Exemplo Se “alguns professores são matemáticos” e “todos matemáticos são pessoas alegres” então, necessariamente, A) Toda pessoa alegre é matemático; B) Todo matemático é professor; C) Algum professor é uma pessoa alegre; D) Nenhuma pessoa alegre é professor; E) Nenhum professor não é alegre.

Exemplo - Resolução Construindo o diagrama de Venn para cada situação, temos: Situação 1: “Alguns professores são matemáticos” Situação 2: “Todos matemáticos são pessoas alegres” Das situações 1 e 2, podemos concluir que: Existem professores que são pessoas alegres, ou ainda, algum professor é uma pessoa alegre.

Portanto, a alternativa correta é C).

Professores Matemáticos

Matemáticos

Pessoas Alegres


37

15. APLICAÇÃO DA ÁLGEBRA DE BOOLE EM CIRCUITOS LÓGICOS

15.1. Portas Lógicas Básicas

15.1.1. Porta E ou END

*Representação simbólica *Polinômio de Boole *Tabela Verdade

S =A . B

15.1.2. Porta OU ou OR

*Representação simbólica *Polinômio de Boole *Tabela Verdade

S =A + B

15.1.3. Porta Inversora Não ou NOT *Representação simbólica *Polinômio de Boole *Tabela Verdade

ou AS ou 'A

ou

A B S=A.B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

A B S=A+B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

A S = A’ 0 1 1 0

A B

S

A

B S

A

A

A


38

15.1.4. Porta NÃO E, NE ou NAND * Representação simbólica * Polinômio de Boole * Tabela Verdade

BAS .

ou 15.1.5. Porta NOU ou NOR * Representação simbólica * Polinômio de Boole * Tabela Verdade

BAS

15.2. Circuitos Combinacionais 15.2.1. Circuito ou Exclusivo

* Representação Simbólica

(i) Forma não Simplificada (ii) Forma Simplificada

A B A.B BAS . 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0

A B A+B BAS 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1

B

A S

S A B

B

A S

S A B

B

A

B

A S B

A S


39

* Polinômio de Boole

(i) Forma não Simplificada (ii) Forma Simplificada BABAS .. BAS

* Tabela-Verdade

A B A B BA. BA. BABA ..S 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0

15.2.2. Circuito Coincidência

* Representação Simbólica

(i) Forma não Simplificada (ii) Forma Simplificada * Polinômio de Boole

(i) Forma não Simplificada (ii) Forma Simplificada BABAS .. BAS * Tabela-Verdade

A B A B BA. BA. BABA ..S 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1

B

A

B

A S B

A S


40

Exemplos

(1) Dados os circuitos abaixo. Determine o polinômio de Boole correspondente. a) c) b)

Resolução

a) A porta lógica principal corresponde a como sendo porta NE e será a última a ser escrita. Assim escreveremos primeiro as portas secundárias.

porta E com três entradas, sendo C com inversor CBA ..

porta NOR com três entradas, sendo B com

inversor CBA

finalizando com a porta NE com e

CBACBAS ... b) A porta lógica principal corresponde a como sendo porta coincidência.

Assim escreveremos primeiro as portas secundárias.

porta E com duas entradas, ambas com inversores BA

B A

S C

B A

B

A

B

A S

C

A

S

B

C

A B

B

A C

2

1

3

4

5

1 1

2

2

3

3

3

B A

C 2

3

B A

C

1

1

2

1 2

3

1

1 B

A


41

porta OU exclusivo com duas entradas, na forma simplificada BA

finalizando com e BABAS c) A porta lógica principal corresponde a como sendo porta NE. Assim escreveremos as portas secundárias:

porta OU com três entradas, com inversores CBA

porta NAND com três entradas CBA ..

porta OU exclusivo tendo como entradas e CBACBA ..

porta OU com três entradas CBA

finalizando e CBACBACBAS ...

3 1 2

2 B

A

3

1 2

A

B C

C

A B

C

A B

4

5

1

1 C

A B

C

A B 2 2

3

4

5 3 4

2


42

(2) Dadas as tabela abaixo. Determine o polinômio de Boole e construa o circuito correspondente. a) b) c) Resolução

Como um polinômio de Boole é dado pela soma de produtos, então tomaremos para formar o polinômio apenas as saídas (S) iguais a “1” e as variáveis quando assumirem o valor “1” representa-se pela própria variável e quando assumirem o valor “0” usando-se barra em cima da variável.

Para cada linha representa-se como produto de variáveis. a) As linhas 1, 3, 4 e 7 possuem saídas iguais a “1”. São estas linhas que somaremos para formar o polinômio.

Linha 1 CBA Linha 3 CBA

Linha 4 CBA Linha 7 CBA

Polinômio de Boole: S linha 1 + linha 3 + linha 4 + linha 7

S CBA + CBA + CBA + CBA

A B C S 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0

A B S 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

A B C S 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0


43

Construção do circuito: primeiro desenha-se as linhas Linha 1 CBA

Linha 3 CBA

Linha 4 CBA

Linha 7 CBA Finalizando com “S” que é dado pela porta OU das linhas acima desenhadas.

b) As linhas 2, 3 e 4 possuem saídas iguais a “1”. São estas linhas que somaremos para formar o polinômio.

Linha 2 BA Linha 3 BA

Linha 4 BA

Polinômio de Boole:

S linha 2 + linha 3 + linha 4

BABABAS

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

CBACBACBACBAS


44

Construção do circuito: primeiro desenha-se as linhas

Linha 2 BA

Linha 3 BA

Linha 4 BA Finalizando com “S” que é dado pela porta OU das linhas acima desenhadas. De forma análoga aplica-se ao exemplo 3. 15.3. Simplificação de polinômios de Boole aplicando as

propriedades da álgebra de Boole As propriedades da Álgebra de Boole são idênticas às propriedades da Álgebra das Proposições. Assim faremos um quadro comparativo para as duas álgebras. O valor lógico Verdade (V) corresponde ao valor de Boole (1) O valor lógico Falsidade (F) corresponde ao valor de Boole (0)

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

BABABAS


45

Operações Álgebra das Proposições Álgebra de Boole

Conjunção: Multiplicação de Boole: ou ou . Disjunção: Soma de Boole: ou ou +

Negação: ~ ou Complemento: ou

Propriedades CONJUNÇÃO

Álgebra das Proposições Álgebra de Boole Comutativa: p q q p Comutativa: A . B = B . A Associativa: (pq )r p(qr) Associativa: (A.B).C = A.(B.C) Idempotente: p p p Idempotente: A . A = A

DISJUNÇÃO Álgebra das Proposições Álgebra de Boole

Comutativa: p q q p Comutativa: A + B = B + A Associativa:( pq) r p(qr) Associativa: (A+B)+C = A+(B+C) Idempotente: p p p Idempotente: A + A = A

CONJUNÇÃO e DISJUNÇÃO Álgebra das Proposições Álgebra de Boole

Distributiva: Distributiva: (i) p (qr) (pq) (pr) (i) A . (B + C) = A . B + A . C (ii) p (qr) (pq) (pr) (ii) A + B . C = (A + B) . (A + C) Absorção: Absorção: (i) p ( p q ) p (i) A . (A + B) = A (ii) p ( p q ) p (ii) A + A . B = A Regras de DeMorgan Regra de De Morgan (i) ~ ( p q ) ~ p ~ q (i) BABA . (ii) ~ ( p q ) ~ p ~ q (ii) BABA .

COMPLEMENTO Álgebra das Proposições Álgebra de Boole

(i) p ~ p c , onde c é uma contradição

(i) 0 AA

(ii) p ~ p t , onde t é uma tautologia

(ii) 1 AA


46

IDENTIDADE Álgebra das Proposições Álgebra de Boole

(i) p t p (i) AA 1 (ii) p c c (ii) 00 A (iii) p t t (iii) 11A (iv) p c p (iv) AA 0 Exemplos 1) Dados os circuitos abaixo. Simplifique-os. a) b) Resolução a) Escreveremos primeiro o polinômio correspondente ao circuito, que é dado por:

21

BAABAS

Agora, usaremos as propriedades de Boole para a simplificação. Em 1 e 2, aplicando a regra de De Morgan e a forma não simplificada do polinômio ou exclusivo, respectivamente.

BABAABAS

3

Em 3, aplicando a propriedade distributiva

BABAABAAS

4

Em 4, aplicando a propriedade do complemento

BABABAS

5

0

S A

A

B

B

S A

A

B

B

S A

A

B

B


47

Em 5, aplicando a propriedade da identidade

6

BABABAS

Em 6, aplicando a propriedade da absorção BAS que corresponde ao circuito abaixo. Resolução b) Escreveremos primeiro o polinômio correspondente ao circuito, que é dado por:

BAAABAS 1

e efetuando a simplificação,

temos:

Em 1 aplicando a propriedade da absorção ))((2

BAAAS

Em 2 aplicando a propriedade associativa )))((3

BAAAS

Em 3 aplicando a propriedade idempotente

4

)( BAAS

Em 4 aplicando a propriedade distributiva ))()((5

BAAAS

Em 5 aplicando a propriedade do complemento BAS 6

1

Em 6 aplicando a propriedade da identidade BAS que corresponde ao circuito abaixo

BAS . A

B

BAS A

B


48

A T I V I D A D E S

Questão 1 Considere as sentenças:

I- Todo homem é mortal; II- Amanhã irei ao cinema e depois ao teatro; III- Possivelmente, irei ao cinema; IV- Passarei em física, se e somente se, estudar;

Analise quais são as sentenças lógicas proposicionais

A) Todas as alternativas são sentenças lógicas proposicionais; B) Nenhuma das alternativas são sentenças lógicas proposicionais C) Somente I e IV D) Somente II e III E) Somente II e IV

Questão 2 Considere a sentença a seguir.

Maria não vai ao aniversário e se João ficar infeliz, então João vai ao aniversário ou Maria ficará infeliz.

Considere as seguintes proposições P: João vai ao aniversário; Q: Maria vai ao aniversário; R: João é feliz e S: Maria é feliz. Assinale a opção que contém fórmula lógica proposicional com uma representação válida para a sentença proposta. Quanto à notação dos operadores, considere: conjunção = ; disjunção = ; negação = ; implicação = .

A) Q R P S; B) ( Q R P S ); C) Q R ( P S ); D) Q ( R P S ); E) ( Q R ) P S;


49

Questão 3 Considere a sentença.

A oferta de computadores é grande é condição necessária para que o desenvolvimento científico cresça.

Analise a opção que corresponde esta afirmação sob a forma se ..., então ... A) Se o desenvolvimento científico cresce, então a oferta de

computadores é grande; B) Se a oferta de computadores é grande, então o desenvolvimento

científico cresce; C) Se a oferta de computadores é grande é condição necessária

para que, então o desenvolvimento científico cresça; D) Se a oferta de computadores é grande, então é condição

necessária para que o desenvolvimento científico cresça; E) Se o desenvolvimento científico cresce, então é condição

necessária para que a oferta de computadores seja grande. Questão 4 Considere a sentença a seguir. P: Se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo. Assinale a opção que contém a classificação de P. A) P é uma condicional indeterminada; B) P é uma condicional tautológica; C) P é uma disjunção contraditória; D) P é uma condicional contraditória; E) P é uma disjunção tautológica. Questão 5 Considere as afirmações. IV- Se Patrícia é uma boa amiga, então Vitor diz a verdade; V- Se Vitor diz a verdade, então Helena não é uma boa amiga; VI- Se Helena não é uma boa amiga, então Patrícia é uma boa

amiga; A análise do encadeamento lógico dessas três afirmações permite concluir que elas:


50

A) São equivalentes a dizer que Patrícia é uma boa amiga; B) Implicam necessariamente que Patrícia é uma boa amiga; C) Implicam necessariamente que Vitor diz a verdade e que Helena

não é uma boa amiga; D) São consistentes entre si, que Patrícia seja uma boa amiga, quer

Patrícia não seja uma boa amiga; E) São inconsistentes entre si.

Questão 6 Uma sentença logicamente equivalente a Se X é Y, então Z é W é: A) X é Y ou Z é W; B) X é Y ou Z não é W; C) Se Z não é W, então X não é Y; D) Se X não é Y, então Z não é W; E) Se Z é W, então X é Y.

Questão 7 Uma sentença logicamente equivalente a Se x é primo, então x > 1 e x tem apenas dois divisores triviais é: A) x é primo ou x 1 e x tem apenas dois divisores triviais; B) Se x 1 ou x não tem apenas dois divisores triviais, então x não

é primo; C) Se x >1 e x tem apenas dois divisores triviais, então x é primo; D) Se x não é primo, então não é verdade que x > 1 e x tem apenas dois divisores triviais; E) x não é primo ou não é verdade que x > 1 e x tem apenas dois

divisores triviais.

Questão 8 Dizer que André é artista ou Bernardo não é engenheiro é logicamente equivalente a dizer que: A) André é artista, se e somente se, Bernardo não é engenheiro; B) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro; C) Se André não é artista, Bernardo é engenheiro; D) Se Bernardo é engenheiro, então André não é artista; E) André não é artista e Bernardo é engenheiro.


51

Questão 9 POSCOMP-2009 A sentença lógica CBA é equivalente a: A) CBA ; B) CBA ; C) CBA ; D) Todas as respostas anteriores; E) Nenhuma das respostas anteriores. Questão 10 Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: A) Pedro não é pobre ou Alberto é baixo; B) Pedro é rico e Alberto não é alto; C) Pedro é pobre ou Alberto não é alto; D) Se Pedro é rico, então Alberto é alto; E) Se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. Questão 11 POSCOMP-2006 Assinale a proposição logicamente equivalente a qpqp A) qpp ; B) p ; C) qpqp ; D) qpqp ; E) p Questão 12 POSCOMP-2006 Considere as seguintes proposições: I- qp II- qp III- qp

IV- FpqV Quais das proposições acima são logicamente equivalentes?


52

A) Somente I III; B) Somente I II; C) Somente I II III; D) I III e II III mas III IV; E) I, II, III e IV são todas equivalentes. Questão 13 POSCOMP-2008 Defina os conectivos NIMP, NEQ, NAND, negação da implicação, equivalência e conjunção, respectivamente, como:

NIMP NEQ NAND

Assinale alternativa que representa um conjunto de conectivos completo. A) {NIMP} B) {NEQ} C) {NAND} D) {NIMP,NEQ} E) Nenhum é completo Questão 14 A sentença lógica PPP NAND é equivalente a: A) PP ; B) P ; C) PP ; D) PP ; E) PP Questão 15 A sentença lógica QPQP NAND é equivalente a: A) QPQP ; B) QPQP ; C) QPQP ; D) Todas as respostas anteriores; E) Nenhuma das respostas anteriores.


53

Questão 16 Considere as sentenças:

V- qpqp ;

VI- qpqp ; VII- qp ; VIII- qpqp ; Analise quais são sentenças que estão na F.N.D. A) Todas as alternativas; B) Nenhuma das alternativas; C) Somente as sentenças I e IV; D) Somente as sentenças II e III; E) Somente as sentenças I e II.

Questão 17 Considere a sentença: qsqp , qual opção apresenta a sentença que corresponde a F.N.C.? A) spq ; B) qsqp ; C) spq ; D) spq ; E) spq

Questão 18 POSCOMP-2009 Existem três suspeitos de invadir uma rede de computadores: André, Bruna e Carlos. Sabe-se que a invasão foi efetivamente cometida agido individualmente ou não. Sabe-se ainda, que: IV- Se André é inocente, então Bruna é culpada; V- Ou Carlos é culpado ou Bruna é culpada, mas não os dois; VI- Carlos não é inocente; Com base nas considerações, conclui-se que: A) Somente André é inocente; B) Somente Bruna é culpada; C) Somente Carlos é culpado; D) São culpados apenas Bruna e Carlos; E) São culpados apenas, André e Carlos


54

Questão 19 Ana é artista ou Carlos é carioca. Se Jorge é juiz, então Bruno não é bonito. Se Carlos é carioca, então Bruno é bonito. Ora, Jorge é juiz, logo: A) Jorge é juiz e Bruno é bonito; B) Carlos é carioca ou Bruno é bonito; C) Bruno é bonito e Ana é artista; D) Ana não é artista e Carlos é carioca; E) Ana é artista e Carlos não é carioca.

Questão 20 POSCOMP - 2009 Se é verdade que as três sentenças a seguir são verdade (I) qp ; (II) sr (III) rtp então é verdade que: A) pts ; B) sr ; C) rq ; D) Todas as anteriores; E) Nenhuma das respostas anteriores.

Questão 21 Considerando-se as seguintes premissas: X é A e B, ou X é C X não é C. Conclui-se que X é: A) A ou B; B) A e B; C) não A ou não C; D) A e não B; E) não A e não B.

Questão 22 X é A, ou Y é B. Se X é A, então Z é C. Ora, Y não é B. Logo, A) X não é A; B) Z é C; C) Z não é C e X é A; D) Z não é C, ou Y é B; E) Se Z é C, então Y é B.


55

Questão 23 Se X não é igual a 3, então Y é igual a 5. Se X é igual a 3, então Z não é igual a 6. Ora, Z é igual a 6. Portanto, A) Y é igual a 5; B) X é igual a 3; C) X é igual a 3, ou Z não é igual a 6; D) X é igual a 3, e Z é igual a 6; E) X não é igual a 3, e Y não é igual a 5. Questão 24 Ana mandou fazer um vestido para ir a uma recepção, mas não sabe se o mesmo ficará pronto. Suas amigas, Júlia, Sandra e Valéria têm opiniões diferentes sobre se o vestido ficará ou não pronto até a hora de Ana se vestir para a recepção. Se Júlia estiver certa, então Valéria está enganada. Se Valéria estiver enganada, então Sandra está enganada. Se Sandra estiver enganada, então o vestido não ficará pronto. Ou o vestido fica pronto, ou Ana não irá a recepção. Ora, verifica-se que Júlia está certa. Logo: A) O vestido fica pronto; B) Sandra e Valéria não estão enganadas; C) Valéria está enganada, mas não Sandra; D) Sandra está enganada, mas não Valéria; E) Ana não irá à recepção. Questão 25 POSCOMP – 2005 Considere a seguinte proposição: P: x [ B x [ L x C x] ] Assinale a alternativa que contém uma proposição equivalente a P. A) x [ B x [ L x C x ] ]; B) x [ B x [ L x C x ] ]; C) x [ B x [ L x C x ] ] ; D) x [ B x [ L x C x ] ] ; E) x [ B x [ L x C x ] ] . Questão 26 Para que a proposição: “Todos os homens são bons cozinheiros” seja falsa, é necessário:


56

A) Todas as mulheres sejam boas cozinheiras; B) Algumas mulheres sejam boas cozinheiras; C) Nenhum homem seja bom cozinheiro; D) Todos os homens sejam maus cozinheiros; E) Ao menos um homem seja mau cozinheiro. Questão 27 POSCOMP – 2003 Assinale o argumento, onde 1S e 2S indicam premissas e C a conclusão. A) :1S Se a comida é boa, então o serviço é bom;

2S : A comida não é boa e C: O serviço não é bom B) :1S Se a comida é boa, então o serviço é bom;

2S : O serviço não é bom e C: A comida é boa C) :1S Se a comida é boa, então o serviço é bom;

2S : O serviço não é bom e C: A comida não é boa D) :1S Se a comida é boa, então o serviço é bom;

2S : A comida é boa e C: O serviço não é bom E) :1S Se a comida é boa, então o serviço é bom;

2S : A comida não é boa e C: O serviço é bom Questão 28 POSCOMP – 2002 Assinale o argumento válido, onde 1S e 2S indicam premissas e S a conclusão. A) :1S Se o cavalo estiver cansado, então ele perderá a corrida;

2S : O cavalo estava descansado e S: O cavalo ganhou a corrida B) :1S Se o cavalo estiver cansado, então ele perderá a corrida;

2S : O cavalo ganhou a corrida e S: O cavalo estava descansado C) :1S Se o cavalo estiver cansado, então ele perderá a corrida;

2S : O cavalo perdeu a corrida e S: O cavalo estava cansado D) :1S Se o cavalo estiver cansado, então ele perderá a corrida;

2S : O cavalo estava descansado e S: O cavalo perdeu a corrida E) Nenhuma das anteriores


57

Questão 29 Dizer que a afirmação “Todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira. A) Pelo menos um economista é médico; B) Nenhum economista é médico; C) Nenhum médico é economista; D) Pelo menos um médico não é economista; E) Todos os não médicos são não economistas. Questão 30 Se é verdade que “Alguns escritores são poetas”e “Nenhum músico é poeta”, então, também é necessariamente verdade que: A) Nenhum músico é escritor; B) Algum escritor é músico; C) Algum músico é escritor; D) Algum escritor não é músico; E) Nenhum escritor é músico. Questão 31 Dadas as premissas “Nenhum X é Y”. “Alguns Z são Y” segue-se, necessariamente que: A) Alguns X são Z; B) Alguns Z são X; C) Nenhum X é Z; D) Alguns Z não são X; E) Nenhum Z é X Questão 32 Se “alguns professores são matemáticos” e “todos matemáticos são pessoas alegres” então, necessariamente, A) Toda pessoa alegre é matemático; B) Todo matemático é professor; C) Algum professor é uma pessoa alegre; D) Nenhuma pessoa alegre é professor; E) Nenhum professor não é alegre.


58

Questão 33 Se é verdade que “Alguns A são R” e que “Nenhum G é R”, então é necessariamente verdadeiro que: A) Algum A não é G; B) Algum A é G; C) Nenhum A é G; D) Algum G é A; E) Nenhum G é A. Questão 34 Analise as seguintes afirmativas e assinale a alternativa correta: A) A sentença PQP tem valor V quaisquer que sejam os

valores atribuídos a P e Q B) A equação lógica SRQPS tem como notação

comumente utilizada em circuitos digitais a equação SRPQS

C) A equação QRPS . é equivalente a equação RPQPS .. D) A sentença RQP com FrV tem valor lógico F E) A sentença P: se os retratos estão velhos ou apagados, então

serão restaurados; a contrária de P é se os retratos não são restaurados, então eles não estão velhos ou não estão apagados.

Questão 35 Sendo X e Y dois números reais quaisquer, defini-se a operação “F” como: XFY=X(X-Y). Assim, a expressão XF(XFY) é igual a: A) X2-XY; B) X2-2XY; C) X3-X2-XY; D) X3- (XY)2; E) X2-X3+X2Y Questão 36 Se X e Y são inteiros consecutivos, então uma expressão que representa, necessariamente, um número inteiro e par é:


59

A) X; B) Y; C) XY/2; D) X/Y; E) XY. Questão 37 POSCOMP – 2005 Considere as seguintes expressões booleanas: A) edcba ... ;

B) edcba .... ; C) edcba . ;

D) edcba ; Considere ainda as seguintes afirmações: (I) A é equivalente a B; (II) C é equivalente a D; (III) A é equivalente a D; (IV) B é equivalente a C; Quais das alternativas acima são verdadeiras? A) Somente as afirmações (I) e (II) são verdadeiras; B) Somente as afirmações (I) e (III) são verdadeiras ; C) Somente as afirmações (II) e (IV) são verdadeiras ; D) Todas as afirmações são verdadeiras ; E) Todas as afirmações são falsas. Questão 38 Em uma indústria um comitê administrativo é composto por três pessoas: a) O Presidente A; b) O Vice-Presidente B; c) O Gerente Industrial C; Este comitê decide questões relativas ao gerenciamento da fábrica com os seguintes critérios: 1. O voto do Presidente A tem prioridade em relação aos demais

membros; 2. Os votos da maioria têm poder de aprovar as resoluções,

independente do voto do presidente.


60

Cada membro do comitê tem em seu poder uma chave que é acionada sinalizando um voto de aprovação quando é de sua concordância, caso contrário, a chave permanece desligada.

Assinale a alternativa correta em relação a equação lógica que é correspondente à situação descrita acima: A) ABCCBACBACBACBAS ; B) ABCCABBCACBAS ; C) ABCCABCBACBABCAS ; D) ABCCBACABCBACBAS ; E) ABCBCACBACBACBAS Questão 39 ENAD – 2008 No circuito acima, que possui cinco entradas – A, B, C, D, E – e uma saída f (A,B,C,D,E), qual opção apresenta uma expressão lógica equivalente à f (A,B,C,D,E)? A) DECDAB ; B) DCBA . ;

C) EDCDAB ; D) EDCDAB ;

E) EDCDAB

A B

C D

E

f(A,B,C,D,E)


61

Questão 40 POSCOMP – 2008 Com base no circuito digital acima, analise as seguintes afirmativas: I. A função booleana implementada pelo circuito pode ser definida

por ECDABS ; II. A função booleana implementada pelo circuito pode ser definida

por EDCBAS ; III. A função booleana implementada pelo circuito pode ser definida

por DEABCS A análise permite concluir que: A) Todas as afirmativas são verdadeiras; B) Nenhuma das afirmativas é verdadeira; C) Somente a afirmativa I é verdadeira; D) Somente a afirmativa II é verdadeira; E) Somente a afirmativa III é verdadeira.

Questão 41 Seja o circuito lógico mostrado na figura abaixo. Considerando a fórmula lógica S que define a função booleana implementada por esse circuito, assinale a alternativa correta. A) DCBAS ;

B) DCBAS ;

C) DCBAS ;

D) DCBAS ;

E) DCBAS

A B

C D S

E

A B

C D

S


62

Questão 42 Seja a fórmula lógica que define a função booleana

ACBCCCBAS . . Considerando o circuito lógico que simule a fórmula lógica, assinale a alternativa correta. A) B) C) D) E)

A B

B C

A C

C S

A B

B C

A C

C

S

A B

B C

A C

C

S

A B

B C

A C

C

S

A B

B C

A C

C

S


63

RESPOSTAS – ATIVIDADES

Questão Resposta Questão Resposta Questão Resposta

01 E 15 B 29 A

02 D 16 D 30 D

03 A 17 C 31 D

04 B 18 E 32 C

05 D 19 E 33 A

06 C 20 C 34 A

07 B 21 B 35 E

08 D 22 B 36 E

09 E 23 A 37 A

10 A 24 E 38 C

11 B 25 B 39 E

12 E 26 E 40 B

13 C 27 C 41 D

14 A 28 B 42 E


64

REFERÊNCIAS

ABE, Jair Minore; SCALZITTI, Alexandre; SILVA FILHO, João Inácio, Introdução à Lógica para a Ciência da Computação. São Paulo: Editora Arte e Ciência, 2002. CASTRUCCI, Benedito, Introdução à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 1984. PINTO, Paulo Roberto Margutti, Introdução à Lógica Simbólica. Belo Horizonte: Editora UFMG, 2006. ROCHA, Enrique, Raciocínio Lógico. Rio de Janeiro: Editora Campus, 2005; SÉRATES, Jonofon, Raciocínio Lógico. 5ª Ed. Brasília: Editora Olímpica Ltda., 1997. SILVA, Flávio Soares Corrêa; FINGER, Marcelo; MELO, Ana Cristina Vieira. Lógica para Computação. São Paulo: Thompson Learning, 2006. SILVA, Vera Lúcia Gouvêa Smith da, Notas de Aula. Universidade da Amazônia (UNAMA), 2008. SOUZA, João Nunes, Lógica para Ciência da Computação. Brasília: Editora Campos Ltda., 2002;


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DADOS SOBRE A AUTORA

Vera Lúcia Gouvêa Smith da Silva é Possui graduação em Licenciatura

em Ciências - Habilitação plena em Matemática pela Universidade

Federal do Pará (1984), graduação em Licenciatura em Ciências do

1o. Grau pela Universidade Federal do Pará (1982) e mestrado em

Matematica pela Universidade Federal do Pará (2002). Atualmente é

professora da Escola Estadual de Ensino Fundamental e Médio

Augusto Montenegro e professora da Universidade da Amazônia. ,

atuando principalmente nos seguintes temas: Monitoria, Orientação

de Trabalhos de Conclusão, professora das disciplinas: Cálculo I e II,

Teoria dos Números, Lógica Matemática e Álgebra Linear.


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Realização: Apoio Institucional: Patrocínio:

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