Iniciação à Lógica Matemática

5/14/2018 Iniciação à Lógica Matemática - slidepdf.com

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INICIAÇÃOÀ

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LÓGICA

INICIAÇÃO

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MATEMÁTICA

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Hft) U663( Direitos desta edição reservados à Livraria Nobel SÃ.Rua da Balsa, 559— 02910-000 — São Paulo, SP-- Fone: (11) 3933-2822 — Fax: (II) 3931-3988

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18 edição: 2000

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

1. Lógica simbólica e matemática 1. Título

86-0802 CDD-511.3

Índice para catálogo sistemático:

1. Lógica matemática 511.3

É PROIBIDA A REPRODUÇÃO

Nenhuma parte desta obra poderá ser reproduzida, copiada, transcrita ou mesmo transmitida por meios eletrônicosou gravações sem a permissão, por escrito, do editor. Os infratores serão punidos pela Lei n 9.6 10/98.

© 1995 Edgard de Alencar Filho

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A.355i

Impresso no Brasil / Printed in Brazil

Alencar Filho, Edgard de, 1913

Iniciação à lógica matemáticalEdgard de Alencar Filho. - São Paulo: Nobel,1999.

Bibliografia

ISBN 85-213-0403-X

ÍndiceCapítulo 1PROPOSIÇÕES. CONECTIVOS

1. Conceito de proposição 112. Valores lógicos das proposições 123. Proposições simples e proposições compostas 124. Conectivos 135. Tabela-verdade 136. Notação 15Exercícios 15Capítulo 2OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES2. Negação 17



3. Conjunção 184. Disjunção 205. Disjunção exclusiva 216. Condicional 227. Bicondicional 23Exercícios 27Capítulo 3CONSTRUÇÃO DE TABELAS-VERDADE1. Tabela-verdade de uma proposição composta 292. Número de linhas de uma tabela-verdade 29

3. Construção da tabela-verdade de uma proposição composta 30 3.4. Exemplificação 30 4.5. Valor lógico de uma proposição composta 36 5.6. Uso de parêntesis 387. Outros símbolos para os conectivos 39ExercíciosCa’MICapítulo 4TAUTOLOGIAS, CONTRADIÇÕES E CONTINGÊNCIAS 2.1. Tautologia 4.2. Princípio de substituição para as tautologias 45 53. Contradição 46 6.4. Contingência 47 7.Exercícios 48

Capítulo 5 IMPLICAÇÃO LÓGICA CaAF1. Definição de implicação lógica2. Propriedades da implicação lógica 493. Exemplificação 504. Tautologias e implicação lógica 5 4

Exercícios6.Capítulo 6 7.EQUIVALÊNCIA LÓGICA1. Definição de equivalência lógica 552. Propriedades da equivalência lógica 553. Exemplificação 56 Ca4. Tautologias e equivalência lógica 575. Proposições associadas a uma condicional 2.6. Negação conjunta de duas proposições 62 37. Negação disjunta de duas proposições 63Exercícios 63Capítulo 7ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES

1. Propriedades da conjunção 67 2.2. Propriedades da disjunção 69

3. Propnedades da conjunção e da disjunção 714. Negação da condicional 745. Negação da bicondicional 74Exercícios 75Capítulo 8MÊTODO DEDUTIVO2. Exemplificação 78



3. Redução do número de conectivos 814. Forma normal das proposições . 825. Forma normal conjuntiva 826. Forma normal disjuntiva 847. Princípio de dualidade 85Exercícios 85Capítulo 9

ARGUMENTOS. REGRAS DE INFERÊNCIA1. Definição de argumento 872. Validade de um argumento 873. Critério de validade de um argumento . . 884. Condicional associada a um argumento . 895. Argumentos válidos fundamentais 906. Regras de inferência 917. Exemplos do uso das regras de inferência 92Exercícios 96Capítulo 10VALIDADE MEDIANTE TABELAS-VERDADE2. Exemplificação 993. Prova de não-validade 108Exercícios 110

Capítulo 11VALIDADE MEDIANTE REGRAS DE INFERÊNCIA2. Exemplificação 112Exercícios 118

Capítulo 12VALIDADE MEDIANTE REGRÀS DE INFERÊNCIA E EQUIVALÊNCIAS1. Regra de substituição 1292. Equivalências notáveis 1293. Exemplificação 1314. Inconsstência 138Exercícios 141Capítulo 13DEMONSTRAÇÃO CONDICIONAL E DEMONSTRAÇÃO INDIRETA1. Demonstração condicional 1452. Exemplificação 1463. Demonstração indireta 1494. Exemplificação 150Exercícios 153Capítulo 14SENTENÇAS ABERTAS1. SentenÇas abertas com uma variável 156 2. Conjunto-verdade de uma sentença aberta com uma variável 1563. Sentenças abertas com duas variáveis 1584. Conjunto-verdade de uma sentença aberta com duas variáveis 1595. Sentenças abertas com n variáveis 160

6. Conjunto-verdade de uma sentença aberta com n variáveis 161Exercícios 162Capítulo 15OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE SENTENÇAS ABERTAS2. Conjunção 1643. Disjunção 1664. Negação 1685. Condicional 1696. Bicondicional 1707. Álgebra das sentenças abertas 171



Exercícios 172

Capítulo 16QUANTIFICADORES1. Quantificador universal 1752. Quantificador existencial 178

3. Variável aparente e variável livre 1804. Quantificador dc existência e unicidade 1805. Negação de proposições com quantificador . . 1816. Contra-exemplo 183Exercícios 183Capítulo 17QUANTIFICAÇÃO DE SENTENÇAS ABERTAS COM MAIS DE UMA VARIÁVEL1. Quantificação parcial 1872. Quantificação múltipla 1873. Comutatividadc dos quantificadores 1894. Negação de proposições com quantificadores 190Exercícios 190RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 193BIBLIOGRAFIA 203

Capítulo 1Proposições. Conectivos1. CONCEITO DE PROPOSIÇÃODefinição Chama-se proposição todo o conjunto de palavras ou símbolos queexprimem um pensamento de sentido completo.As proposições transmitem pensamentos, isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados entes.Assim, p. ex., são proposições:(a) A Lua é um satélite da Terra(b) Recife é a capital de Pernambuco(e) r>/’(d) sen - 1A Lógica Matemática adota como regras fundamentais do pensamento os doisseguintes princípios (ou axiomas):(1) PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmotempo.(II) PRINCIPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: Toda a proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro.Por virtude deste princípio diz-se que a Lógica Matemática é uma Lógica bivalente.Por exemplo, as proposições (a), (b), (e) e (d) são todas verdadeiras, mas sãofalsas as cinco seguintes proposições:(a) VASCO DA GAMA descobriu o Brasil

(b) DANTE escreveu os Lusíadas

12 EDGARD DE ALENCAR FILHO(c) -- é um número inteiro(d) O número ir é racional(e) tg-- =2Assim, as proposições são expressões a respeito das quais tem sentido dizer queS() verdadeiras ou falsas.2. VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕESDefinição Chama-se val3r lógico de uma proposição a verdade se a proposição



é verdadeira e a falsidade se a proposição é falsa.Os valores lógicos verdade e falsidade de uma proposição designam-se abreviadamente pelas letras V e F, respectivamcnte.Assim, o que os princípios da nãocontradição e do terceiro excluído afirmam é que:Toda a proposição tem um, e um só, dos valores V, F.Consideremos, p. ex., as proposições:(a) O mercúrio é mais pesado que a água

(b) O Sol gira em torno da TerraO valor lógico da proposição (a) é a verdade(V) e o valor lógico da proposição (b) é a falsidade(F).3. PROPOSIÇÕES SIMPLES E PROPOSIÇÕES COMPOSTASAs proposições podem ser classificadas em simples ou atômicas e compostasou moleculares.Definição 1 Chama-se proposição simples ou proposição atômica aquela quenão contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma.As proposições simples são geralmente designadas pelas letras latinas minúsculas

p, q, r, s chamadas letras proposicionais.Assim, p. ex., são proposições simples as seguintes:

p : Carlos é carecaq : Pedro é estudanter : O número 25 é quadrado perfeitoDefinição 2 Chama-se proposição composta ou proposição molecular aquelaformada pela combinação de duas ou mais proposições.As proposições compostas são habitualmente designadas pelas letras latinasmiúsculas P. O. R, S,. . . , também chamadas letras proposicionais.

INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 13Assim, p. ex., são proposições compostas as seguintes:P : Carlos é careca e Pedro é estudante

Q : Carlos é careca ou Pedro é estudanteR : Se Carlos é careca, então é infelizvisto que cada uma delas é formada por duas proposições simples.As proposições compostas também costumam ser chamadas fórmulas proposicionais ou apenas fórmulas.Quando interessa destacar ou explicitar que uma proposição composta P éformada pela combinação das proposições simples p, q, r escreve-se:P(p, q, r,.

As proposições simples e as proposições compostas também são chamadasrespectivarnente átomos e moléculas.Observaremos ainda que as proposições componentes de uma proposiçãocomposta podem ser, elas mesmas, proposições compostas.4. CONECTIVOSDefinição Chamam-se conectivos palavras que se usam para formar novas

proposições a partir de outras.Assim, p. ex., nas seguintes proposições compostas:P : O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito

Q : O triângulo ABC é retângulo ou é isóscelesR : Não está chovendoS : Se Jorge é engenheiro, então sabe MatemáticaT : O triângulo ABC é equilátero se e somente se é equiángulosão conectivos usuais em Lógica Matemática as palavras que estão grifadas, isto é:

“e”, “ou”, “não”, “se. . .

então se e somente se. .

5. TABELA-VERDADESegundo o Princípio do terceiro excluído, toda proposição simples p é verdadeira ou é falsa, isto é, tem o valor lógicoV(verdade) ou o valor lógico F(falsidadc).Em se tratando de uma proposiçãocomposta, a determinação do seu valor lógico, conhecidos os valores lógicos das

proposições simples componentes, se faz Fcom base no seguinte princípio:



14 EL)GARD DE ALENCAR FILHOO valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposiçõessimples componentes, ficando por eles univocamenté determinado.Admitido este princípio, para aplicá-lo na prática à determinaçao do valor lógico de uma proposição compostadada, recorre-se quasi sempre a um dispositivo denominado tabela-verdade, na qual figuram todos os possíveis valores lógicos da proposição composta correspondentes a todas as possíveis atribuições de valoreslógicos às proposições simples componentes.Assim, p. ex., no caso de uma proposição composta cujas proposições simplescomponentes são p e q, as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p e a qsan: p cl v

r2 V F3 F V4 F FObserve-se que os valores lógicos V e F se alternam de dois em dois para a primeira proposição p e de um emum para a segunda proposição q, e que, além disso, VV, VF, FV e FF são os arranjos binários com repetiçãodos dois elementos V e F. No caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentessão p, q e r, as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p, a q e a r são: p q r

v

v

1

V V V

2

V V F

3

V F V

4

V F F

5 F V V

6

F V F

7 F F V

8 F F F



INICIAÇÃO À LÓGICA MATcMÃTICA 15Analogamente, observe-se que os valores lógicos V e F se alternam dc quatro em quatro para a primeira proposição p, dedois em dois para a segunda proposição q e de um em um para a terceira proposição r, e que, além disso, VVV, VVF, VFV.VFF, FVV, FVF, FFV e FFF são os arranjos ternários com repetição dos dois elementos V e F.

6. NOTAÇÃO

O valor lógico de uma proposição simples p indica-se por V(p). Assim, exprime-se que p é verdadeira(V), escrevendo: V(p)V.Analogamente, exprime-se que p é falsa(F), escrevendo: V(p) = F.Seiam, p. ex., as proposições simples:

p : OSoléverdeq : Um hexágono tem 9 diagonais

2 é raiz da equação x2 + 3x —4 = OT emos:V(p)=F, V(q)=V, V(r)=FDo mesmo modo, o valor lógico de uma proposição composta P indica-se por V(P).EXERCftEIOS1. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:(a) O número 17 é primo.

(b) Fortaleza é a capital do Maranhão.(c) TIRADENTES morreu afogado.(d) (3+5)2 =32 52

2’(e) O valor archimediano de ir e(f) —l.(--7

( g) 0,131313.. . é uma dízima periódica simples.(h) As diagonais de um paralelogramo são iguais.

( i ) Todo polígono regular convexo é inscritível.

(j ) O hexaedro regular tem 8 arestas.

16

EDGARD DE ALENCAR FILHO

(k) A expressão ri2 —n + 41 (n N) só produz números primos. (1 ) Todo número divisível por 5 termina por 5.(rn) O produto de dois números ímpares é um número ímpar.2 O 2 O

(n) sen 30 + sen 60 2.(o)1+3+5+...+(2n-l)2n2.(p) As raízes da equação x3 — 1 = O são todas reais.(q) O número 125 é cubo perfeito.(r) 0,4 e —4 são as raízes da equaçãox3 - 16x O.(s) O cubo é um poliedro regular.

(t) sen( j. + x) = scn( — x).

(u) tg4- < tg --

Capitulo

2



Operações Lógicas sobre

Proposições

1. Quando pensamos, efetuamos muitas vezes certas operações sobre proposições. chamadas operações lógicas. Estasobedecem a regras de um cálculo, denominado cálculo proposicional, semelhante ao da aritmética sobre números.Estudaremos a seguir as operações lógicas fundamentais.

2. NEGAÇÃO(—)Definição Chama-se negação de uma proposição p a proposição representada

por “não p”, cujo valor lógico é a verdde(V) quando p é falsa e a falsidade(F)quando p é verdadeira.Assim, “não p” tem o valor lógico oposto daquele dc p.Simbolicamente, a negação de p indica-se com a notação “ p”, que se lê:nao pO valor lógico da negação de uma proposição é, portanto, definido pela seguinte tabela-verdade muito simples:

ou seja, pelas igualdades:

e

F=V

— p) = ‘— V(p)

18 EDGARD DE ALENCAR FILHO INICIÀ

Evenp1os: Cseguil(1) p:2+3=5 (V) e -p:2+3#5 F)V(p) V(p) VF(2) q:7<3 (F) e -q:74 3 (V)V(q)= V(q) FV(3) r : Romaé acapital daFrança(F) e —r :Roma nãoé acapital daFrança(V)V(’—r)= V(r)= -F=V

Na linguagem comum a negação efetua-se, nos casos mais simples, antepondo oadvérbio “não” ao verbo da proposição dada. Assim, p. ex., a negação da proposição:

p : O Sol é uma estrelaee

p : O Sol não é uma estrelaOutra maneira de efètuar a negação consiste em antepor à proposição dadaexpressões tais como “não é verdade que”, “é falso que”. Assim, p. ex., a negação (1) da proposição:q : Carlos é mecânicoe- q : Não é verdade que Carlos é mecânico (2) ou

— q : I falso que Carlos é mecânicoObserve-se, entretanto, que a negação de “Todos os homens são elegantes” é“Nem todos os homens são elegantes” e a de “Nenhum homem é elegante” é (3) “Algum homem é elegante”.

3. CONJUNÇÃO ( A) (4)Definição Chama-se conjunção de ditas proposições p e q a proposiçãorepresentada por “p e q”, cujo valor lógico é a verdade(V) quando as proposições

p e q são ambas verdadeiras e a falsidade(F) nos demais casos.Simbolicamente, a conjunção de duas proposições p e q indica-se com anotação: “p A q”, que se lê: “p e q”.



INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 19O valor lógico da conjunção de duas proposições é, portanto, definido pela seguinte tabela-verdade:

ou seja, pelas igualdades:VAVV, VAF=F, FAV=F, FAF=Fe

V(p A q)V(p)A V(q)!xemp1os:

(1) j’ p : A neve é branca (V)

2<5 (V)

p A q : A neve é branca e 2 <5 (V)V(p A q) V(p) A V(q) = V A V = V(2) p : O enxôfre é verde (F)

q : 7 é um número primo (V) p A q : O enxôfre é verde e é um número primo (F)V(pAq)V(p) AV(qJFAVF

(3) 5 p : CANTOR nasceu na Rússia (V)

q : FERMAT era médico (F)

p A q : CANTOR nasceu na Rússia e FERMAT era médico (F)V(p Aq)=V(p) AV(q)VA F=Fir>4 (F)kq:sen =0 (F)

pAq:IT>4 e sen =0 (F)V(p Aq)V(p)AV(q)FA FF

p q pAq

v

V

F

F

v

FV

•F

vFFF

20 EDGARD DE ALENCAR FILHO

4. DISJUNÇÃO ( V )Definição Chama-se disjunção de duas proposiçÕes p e q a proposição representada por “p ou q”, cujo valor lógico é averdade(V) quando ao menos uma das proposições p e q é verdadeira e a falsidade(F) quando as proposições p e q são

ambas falsas.Simbolicamente, a disjunção de duas proposições p e q indica-se com a notação:“p V q”, que se lê: “p ou q”.O valor lógico da disjunção de duas proposições é, portanto, definido pela seguinte tabela-verdade:

ou seja, pelas igualdades:VVV=V, VvF=V, FVV=V, FVF=FeV(p V q) V(p) V V(q)!Lvemplos:



(1)5 p : Paris é a capital da França (V)9—45 (V)p V q : Paris é a capital da França ou 9 4 = 5 (V)V(p V q) V(p) V V(q) V V V V(2) j p : CAMÕES escreveu os Lusíadas (V)

ir=3 (F) p v q : (‘AMÕES escreveu os Lusíadas ou ir 3 (V)

V(p Vq)V(p) VV(q)”V V FV(3) p : Roma é a capital da Rússia (F)q : 5/7 é uma fração própria (V) p V q : Roma é a capital da Rússia ou 5/7 é uma fração própria (V)V(p V q) V(p) V V(q) F V V V

T q pVq

v v v

V F V

F V V

F F F

INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 21

(4) jp : CARLOS GOMES nasceu na Bahia (F)<kq : \íETi (F)

p v q : CARLOS GOMES nasceu na Bahia ou = 1 (F)V(p V q) = V(p) V V(q) F V F = F

5. DISJUNÇÃO EXCLUSIVA (Y) Na linguagem comum a palavra “ou” tem dois sentidos. Assim, p. ex., consideremos as duas seguintes proposiçõescompostas:

P : Carlos é médico ou professor

Q : Mano é alagoano ou gaúcho Na proposição P se está a indicar que uma pelo menos das proposições “Carlos é médico”, “Carlos é professor” é verdadeira, podendo ser ambas verdadeiras:

“Carlos é médico e professor”. Mas, na proposição Q, se está a precisar que urna e somente uma das proposições “Mano éalagoano”, “Mano é gaúcho” é verdadeira, pois, não é possível ocorrer “Mano é alagoano e gaúcho”.

Na proposição P diz-se que “ou” é inclusivo, enquanto que, na proposição Q,diz-se que “ou” é exclusivo.Em Lógica Matemática usa-se habitualmente o símbolo “ V “ para “ou”inclusivo e o símbolo “ “ para “ou” exclusivo.Assim sendo, a proposição P é a disjunção inclusiva ou apenas disjunção das

proposições simples “Carlos é médico”, “Carlos é professor”, isto é:P : Carlos é médico V Carlos é professor ao passo que a proposição é a disjunção exclusiva das proposições simples“Mano é alagoano”, “Mano é gaúcho”, isto é:



Q : Mano é alagoano Y Mano é gaúchoDe um modo geral, chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q a

proposição representada simbolicamente por “p q”, que se lê: “ou p ou q” ouou q, mas não ambos”, cujo valor lógico é a verdade(V) somente quando p éverdadeira ou q é verdadeira, mas não quando p e q são ambas verdadeiras, e afalsidade(F) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas.Logo, o valor lógico da disjunção exclusiva de duas proposições é definido pela

seguinte tabela-verdade:

p q pq

V V F

V F V

F V V

F F F

22 EDGARD DE ALENCAR FILHOou seja, pelas igualdades:VVV=F, VV F=V, FVV=V, FvF=FeV(p q)V(p)YV(q)

NOTA A língua latina tem duas palavras diferentes correspondentes aos dois sentidos distintos da palavra “ou” nalinguagem comum. A palavra latina “vel” exprime a disjunção no seu sentido débil ou inclusivo, ao passo que a palavralatina “aut” exprime a disjunção rio seu sentido forte ou exclusivo.6. CONDICIONAL (-.)

Definição Chama-se proposição condicional ou apenas condicional uma proposição representada por “se p então q”, cujo valor lógico é a falsidade(F) nocaso em que p é verdadeira e q é falsa e a verdade(V) nos demais casos.Simbolicamente, a condicional de duas proposições p e q indica-se com anotação: “p —* q”, que também se lê de uma das seguintes maneiras:(i) p é condição suficiente para q(ii) q é condição necessária para p

Na. condicional “p - q”, diz-se que p é o antecedente e q o consequente. Osímbolo “-“ é chamado símbolo de implicação.O valor lógico da condicional de duas proposições é, portanto, definido pela seguinte tabela-verdade:

ou seja, pelas igualdades:V-÷V=V, V—÷F=F, F-+V=V, F-*F=Ve

V(p--q)V(p)-.V(q)Portanto, uma condicional é verdadeira todas as vezes que o seu antecedente éurna proposição falsa.

p q p-*q

v v v



V F F

F V V

F F V


Eremplos:

(1) p : GALOIS morreu em duelo (V)q : ir é um número real (V)

p -* q : Se GALOIS morreu em duelo, então ir é um número real (V)V(p-*q)V(p)--*V(q)=V-*V=V(2) j p : O mes de Maio tem 31 dias (V)q : A Terra é plana (F)

p —* q : Se o mes de Maio tem 31 dias, então a Terra é plana (F)V(p-÷q)=V(p)--*V(q)=V-÷F= F(3) j p DANTE escreveu os Lusíadas (F)

q : CANTOR criou a Teoria dos Conjuntos (V) p -* q : Se DANTE escreveu os Lusíadas, então CANTOR criou a Teoria dosConjuntos (V)V(p-*q)=V(p)-÷V(q)=F-*VV(4) j p : SANTOS DUMONT nasceu no Ceará (F)q : O ano tem 9 meses (F)

p - q : Se SANTOS DUMONT nasceu no Ceará, então o ano tem 9 meses (V)V(p-+q)=V(p)-÷V(q) F-÷F=V

NOTA Uma condicional p -+ q não afirma que o consequente q se deduz ou éconseqüência do antecedente p. Assim, p. ex., as condicionais:7 é um número ímpar -* Brasília é uma cidade3 + 5 = 9 - SANTOS DUMONT nasceu no Cearánão estão a afirmar, de modo nenhum, que o fato de “Brasília ser uma cidade” se deduz do fato de “7 ser um número ímpar”ou que a proposição “SANTOS DUMONT nasceu no Ceará” é conseqüência da proposição “3 + 5 = 9”. O que umacondicional afirma é unicamente uma relação entre os valores lógicos do antecederite e do consequente de acordo com atabela-verdade anterior.7. BICONDICIONAL (÷—)Definição Chama-se proposição bicondicional ou apenas bicondicional uma proposição representada por “p se e somente seq”, cujo valor lógico é a verdade(V) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas, e a falsidade(F) nos demais casos.

24 EDGARD DE ALENCAR FILHOSimbolicamente, a bicondicional de duas proposições p e q indica-se com anotação: p +—÷ q, que também se lê de uma das seguintes maneiras:(i) p é condição necessária e suficiente para q(ii) q é condição necessária e suficiente para pO valor lógico da bicondicional de duas proposições é, portanto, definido pela seguinte tabela-verdade:

ou seja, pelas igualdades:V*—-V=V, V÷—-F=F, F.—-V=F, F—FVeV(pq)V(p)V(q)Portanto, uma bicondicional é verdadeira somente quando também o são asduas condicionais: p -÷ q e q -÷ p.

Exemplos(1) fp : Roma fica na Europa (V)q : A neve é branca (V)

p ÷— q : Roma fica na Europa se e somente se a neve é branca (V)



V(p*—q)=V(p)4-÷V(q)=V÷-÷V-V(2) p : Lisboa é a capital de Portugal (V)‘q: tg =3 (F)

p ÷—* q : Lisboa é a capital de Portugal se e somente se tg 3 (F)V(p÷—* q)V(p)+—*V(q)=V*_÷F=F(3) p : VASCO DA GAMA descobriu o Brasil (F)q : TIRADENTES foi enforcado (V)

p ÷— q : VASCO DA GAMA descobriu o Brasil se e somente se TIRAD ENTESfoi enforcado (F)V(p+-q)V(p)---V(q)=F#---V=F

p q p+—+q

V V V

V F F

F V F

F F V


(4) f p : ATerraé plana (F)

q : s,/ï é um número racional (E)

p —* q : A Terra é plana se e somente se /i é um número racional (V)V(p ÷— q) = V(p) — V(q) = E *— E = VEXERCÍCOS1. Sejam as proposições p : Está frio e q : Está chovendo. Traduzir para alinguagem corrente as seguintes proposições:(a) —p (b) pAq (c) pVq(d) q÷—*p (e) p-*—-q (f) pv’—’q

(g) —pA’-q (h) p<—+q (O pA—q-÷p2. Sejam as proposições p : Jorge é rico e q : Carlos é feliz. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições:(a) q—’p (b) pV—q (c) q<—÷---p(d) —p-÷q (e) —‘--p (f) ---pAq-÷p3. Sejam as proposições p : Claudio fala inglês e q : Claudio fala alemão. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes

proposições:

(a) pVq (b) pAq (c) pA—q

(d) pA-q (e) (f) —pA--qJ

4. Sejam as proposições p : João é gaúcho e q : Jaime é paulista. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições:

(a) —(pA—-q) (b) ——-p (c) (‘pV’-q)(d) p—*--q (e) p.—-q (f) ‘—(---q-÷p)

5. Sejam as proposições p : Marcos é alto e q : Marcos é elegante. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições:(a) Marcos é alto e elegante(b) Marcos é alto, mas não é elegante(c) Não é verdade que Marcos é baixo ou elegante(d) Marcos não é nem alto e nem elegante(e) Marcos é alto ou é baixo e elegante

(f) É falso que Marcos é baixo ou que não é elegante




6. Sejam as proposições p : Suely é rica e q : Suely é feliz. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições:(a) Suely é pobre, mas feliz(b) Suely é rica ou infeliz(c) Suely é pobre e infeliz(d) Suely é pobre ou rica, mas é infeliz7. Sejam as proposições p : Carlos fala francês, q : Carlos fala inglês e r : Carlos faia alemão. Traduzir para a linguagemsimbólica as seguintes proposições:(a) Carlos fala francês ou inglês, mas não fala alemão(b) Carlos fala francês e inglês, ou não fala francês e alemão(c) É falso que Carlos fala francês mas que não fala alemão(d) É falso que Carlos fala inglês ou alemão mas que não fala francês8. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas:9. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas:

(a) (x-i-y=0 e z>O)

(b) x=O e (y+z>x

(e) x:_0 ou (x=0(d) (x=y e z=t) OU

10. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas:(a) Se x > O então y = 2

(b) Sex+y=2 então z>O(c) Se x 1 ou z = 2 então y> 1(d) Sez>5 então x_l e x_2(e) Sex_y então x+z>5 e y+z<5(f) Sex÷y>z e z=l entâo x+y>1(g) Se x <2 então x = 1 ou X = O(h) y=4 ese x<y então x<511. Simbolizar as seguintes proposições matemáticas:

(a) x é maior que 5 e menor que 7 ou x nâo é igual a 6(b) Se x é menor que 5 e maior que 3, então x é igual a 4(c) x é maior que 1 ou x é menor que 1 e maior que O

(a) x=0 ou x>O (e) x>l ou x+y=0

(b) x_0 e y_O(d) x2=x.x e x°=l

OU z=0ou z=O)

e y<O) (x<y e z=0)

INICIAÇÃO À LÓGICA12. Determinaroval(a) 3+2=7(e) senir0

(e) 0>ltf (g) ../‘<lA13. Determinar o vai(a) Roma é a ca(b) FLEMING d(e) %/<ü ou(d) 2>./ou(e) .,/‘ > 1 V(f) 2=2VsenÇ(g) 52=lOVir



(h) 3_3V5#

(i) [= 2

(j) -5<—7V(k) —51< 0\14. Determinar o vai(a) Se3+2=6(b) SeO<1 en

(e) Se’/>1(d) Sei--li 1(e) tg6O°(f) f’>

(g) ,/T= —1 (h) ir >4 -* 315. Determinar o vaI(a) 3+4=7 se

(b) 02 1 sees

(e) [=(d) tgir =1 see(e) —1> —2 —

(f) —2>0(g) 32 42 52

(h) l>sen - (i) sen20° > 1 (j) = -i

INICIAÇÃOÀ LÓGICA MATEMÁTICA 2712. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:(a) 3+2=7 e 5+5=10 (b) 2+7=9 e 4+8=12(c) senir0 e cosir=0 (d) l>0A2+2=4

(e) 0>1 A é irracional (f) (/ET)2 —1 A ir é racional

(g) ‘/ < 1 A ./5’ é racional13. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:(a) Roma é a capital da França ou tg45° =

(b) FLEMING descobriu a penicilina ou sen3O° =

(e) /3’ <0 ou Londres é a capital da Itália

(d) 2 > ou Recife é a capital do Ceará(e) [‘ >1 Vir nãoéumnúmeroreal

(f) 2=2V sen9o°_tg45°(g) 2 =10V ir éracional(h) 33V5_5

(i) /E4’ = 2 ./ï’ V 13 é um número primo

(j) -•5<-7 v I—2 =

(k) 1—51< OVtg <114. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:(a) Se3+2=6 então 4+49(b) Se O < 1 então é irracional(e) Se\/ï> 1 então —1< —2(d) Se —1 1 = O então sen30° =

(e) tg6O =fï— 2=2(f) v-2°-2

(g) .fZT —1 -).%/35(h) ir>4 -*3>15. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:(a) 3 +4 =7 se e somente se 53 125(b) 02 = 1 seesomentese (1+5)0=3

(c) \/‘ = se e somente se \f’ O(d) tgir = 1 se e somente se scnir O



(e) —1> —2 *— ir2<20(f) -2>0 —÷ ir2 <0(g) 32 42 =52 *—+ ir é racional(h) 1 > sen *—÷ cos <1(i) sen20 > 1 ÷—+ cos20 > 2

o) = -1 -2


16. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:

(a) Não é verdade que 12 é um número ímpar (b) Não é verdade que Belém é a capital do Pará(c) Éfalsoque2+3=5 e 1+1=3

(d) Éfalsoque3+3=6 OU fET=o(e) ‘-(l + 1=2 3÷4=5)(f) -(l÷l=5 ÷—3+3=l)(g) 2+2=4 -÷(3+3=7 —*1÷1=4)

(li) -..(2+2_4 e 3÷5=8)

17. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:

(a) (scnO° = O OUcosO° = 1)(b) 8 OU 42 43)(c) -.(tg45° = 2 se e somente se ctg45° =3)(d) Brasilia é a capital do Brasil, e 2° = O ou 3° =

(e) (32 = 9 3 =5 A 02 = O)

(f) 3=8l -* (2+ 1 =3/.5.0=0)(g)

18. Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são respectivamente V e F,determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:

(a) V(p-*q)V(b) V(p-÷q)=V(c) V(p÷—÷q)V(d) V(p÷-÷q)=V(e) V(p÷-÷q)=F

V(p A q) F

V(p V q) = F

V(p A q) = V

V(p V q) = VV(—p V q) = V

28

c



(a) pA-q (d) —p A —-q

1.

(b) pV—-q(e) -.-pV—q

col

19. Determinar V(p) em cada um dos seguintes casos, sabendo:

(e) —pAq (f) pA(-pVqJ

(a) V(QF(c) V(cijF(e) V(q)V

e V(pAcij=Fe V(p.-i.q)Fe V(p.—÷q)F

e(

(b) V(q) = F(d) V(q)F

(f) V(q)=F

20. Determinar V(p) e V(q) em cada um dos seguintes casos, sabendo:

e V(pVq)Fe V(q-÷p)Ve

eeeee

(C

e tava

2.

ni



Capítulo 3Construção de Tabelas-Verdade1. TABELA-VERDADE DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTADadas várias proposições simples p, q, r, . . , podemos combiná-las pelos

conectivos lógicos:--, A, V, -÷,

e construir proposições compostas, tais como:P(p,q) =‘—pV(p-÷q)Q(p,q) =(p÷—+ q)Aq

R(p,q,r) =(p-+----q V r)A (qV (p—÷’---r))Então, com o emprego das tabelas-verdade das operações lógicas fundamentais(Cap. 2):

—p, pAq, pVq, p—*q, p÷-÷qé possível construir a tabela-verdade correspondente a qualquer proposição composta dada, tabela-verdade esta que mostraráexatamente os casos em que a proposição composta será verdadeira(V) ou falsa(F), admitindo-se, como é sabido, que o seuvalor lógico só depende dos valores lógicos das proposições simples componentes.2. NÚMERO DE LINHAS DE UMA TABELA VERDADEO número de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta depende do número de proposições simples que a

integram, sendo dado pelo seguinte teorema:A tabela-verdade de uma proposição composta com n proposições simplescomponentes contém 2 linhas.

30 EDGARD DE ALENCAR FILHODem. Com efeito, toda proposição simples tem dois valores lógicos: V e F, que se excluem. Portanto, para uma proposiçãocomposta P(p, P2, , p) com n proposições simples componentes P1, P2, Pn há tantas possibilidades deatribuição dos valoreslógicos V e F a tais componentes quantos são os arranjos com repetição n a n dos dois elementos V e F, isto é, A2 ,n = 2’,segundo ensina a Análise Combinatória.3. CONSTRUÇÃO DA TABELA-VERDADE DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTAPara a construção prática da tabela-verdade de uma proposição composta começa-se por contar o número de proposiçõessimples que a integram. Se há n proposições simples componentes: p1, P2, . . , p, então a tabela-verdade contém 2” linhas.Posto isto, à 1a proposição simples Pi atribuem-se 2’/2 2fl_1 valoresV seguidos de 2 valores F; à 2!’ proposição simples P2

atribuem-se 2”/4 22 valores V, seguidos de 202 valores F, seguidos de 2’ 2 valores V,seguidos, finalmente, de 2-2 valores F;e assim por diante. De modo genérico, a k-ésima proposição simples pk(k n) atribuem-se alternadamente 2’/2 = 2 k valores Vseguidos de igual número de valores F.

No caso, p. ex., de uma proposição composta com cinco (5) proposições simples componentes, a tabela-verdade contém 2’32 linhas, e os grupos de valores V e F se alternam de 16 em 16 para a 1!’ proposição simples Pi de 8 em 8 para a 2!’

proposição simples 2, de 4cm 4 para a 3!’ proposição simplesp3, de 2 em 2 para a 4!’ proposição simples p,, e, enfim, de 1em 1 para a 5!’ proposição simples p5.4. EXEMPLIFICAÇÃO(1) Construir a tabela-verdade da proposição:1a Resolução Forma-se, em primeiro lugar, o par de colunas correspondentes às duas proposições simples componentes p eq. Em seguida, forma-se a coluna para q. Depois, forma-se a coluna para p A ‘—q. Afinal, forma-se a coluna relativa aosvalores lógicos da proposição composta dada.

p q —

qpA—’q

pA—

q)

V

V

V

F

FVFV

FVFF

VFVV



F

F

V

F

INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 312 Resolução Formam-se primeiro as colunas correspondentes às duas proposições simples p e q. Em seguida, à direita, traça-

se uma coluna para cada Uma dessas proposições e para cada um dos conectivos que figuram na proposição compostadada.

Depois, numa certa ordem, completam-se essas colunas, escrevendo em cadauma delas os valores lógicos convenientes, no modo abaixo indicado:

Os valores lógicos da proposição composta dada encontram-se na coluna completada em último lugar (coluna 4).Portanto, os valores lógicos da proposição composta dada correspondentes atodas as possfveis atribuições dos valores lógicos V e F às proposições simplescomponentes p e q (VV, VF, FV e FF) são V, F, V e V, isto é, simbolicamente:P(VV) = V, P(VF) = F, P(FV) = V, P(FF) Vou seja, abreviadamente:P(VV, VF, FV, FF) = VFVVObserve-se que a proposição P(p, a) associa a cada um dos elementos do

conjunto U —{ VV, VF, FV, FF } um único elemento do conjunto {V, F}isto é, P(p, q) outra coisa não é que uma função de U em {V, F’P(p,ci):U—* {V,F}

p q ‘— (p A —

q)

v v

V F

F V

F F

-- -- - -j

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

VI

VFF

F

V

F

F

F

V

F

V

F

F

V

F

4 1 3 2 1



32 EDGARD DE ALENCAR FILHO INICIcuja representação gráfica por um diagrama sagital é a seguinte: PU

ou e(

FF }3a Resolução Resulta de suprimir na tabela-verdade anterior as duas primeiras colunas da esquerda relativas às proposições simples componentes p e q,o que dá a seguinte tabela-verdade simplificada para a proposição composta dada:V V F F VF V V V F

E(2) Construir a tabela-verdade da proposição:P(p,q)= (pA q)v(qp)(3)‘sI

1a Resolução:

2 Resolução:

INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA

33

Portanto, simbolicamente:P(VV)=F, P(VF)=V, P(FV)=V, P(FF)=Vou seja, abreviadamente:

P(VV, VF, FV, FF) FVVV

Observe-se que P(p, ci) outra coisa não é que uma função de U = { VV, VF, FV,FF} em V, F} , cuja representação gráfica por um diagrama sagital é a seguinte:

3’ Resolução:

U

(3) Construir a tabela-verdade da proposição:

1a Resolução:



P(p, q,r)=pv —r--*qA —r

(p A q) V (q +—* p)

F

V

V

V

V

V

F

F

V

F

F

F

V

F

V

F

F

V

V

V

F

V

V

F

V

F

V

F

V

F

F

V

V

V

F

F

3 1 2 1 4 3 1 2 1

p q r —r pV’-r qA-r pV-r-+qA----r

V V V F V F F

V V F V V V V

V F

V F

V

F

F

V

VV

FF

FF

F V V F F F V

F V F VF F V F

VF

VF

VV

F F F V V F F

34


2 Resolução:

Portanto, simbolicarnente:P(VVV) = F, PVVF) V, P(VFV) = F, P(VFF) FP(FVV) V, P(FVF) = V, P(FFV) = V, P(FFF) = Fou seja, abreviadamente:P(VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF) = FVFFVVVF



Observe-se que a proposição P(p, q, r) outra coisa não é que uma função deU (VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF} em {V, F} , cuja representação gráfica por um diagrama sagital é aseguinte:

INIC

3i’ 1

(4)

1

U

ou

p q r p V — r -* q A ‘— r

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

V

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

V

F

V

F

V

F

V

F

F

V

F

F

V

V

V

F

V

V

F

F

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

F

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

F

V

F

V

F

V

F

1 3 2 1 4 1 3 2 1

INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 353 Resolução:

(4) Construir a tabela-verdade da proposição:P(p,q,r)(p-÷q)A(q-*r)--*(p-r)Resolução:

Portanto, simbolicamente:P(VVV) = V, P(VVF) V, P(VFV) = V, P(VFF) = VP(FVV) = V, P(FVF) = V, P(FFV) = V, P(FFF) = Vou seja, abreviadamente:P(VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF) = VVVVVVVV



p V — r -÷ q A — r

V V F V F V F F V

V V V F V V V V F

V V F V F F F F V

V V V F F F F V F

F F F V V V F F V

F V V F V V V V F

F F F V V F F F V

F V V F F F F VF

1

1 3 2 1 4 1 3 2

p q r (p-+ q) A (q —* r) -÷ (p -+ r)

v

V

V

V

F

F

F

F

v

V

F

F

V

V

F

F

v

F

V

F

V

F

V

F

v

V

V

V

FFFF

v

V

F

F

V

V

V

V

v

V

FFV

V

FF

v

F

F

F

V

F

V

V

v

V

FFV

V

FF

v

F

V

V

V

F

V

V

v

F

V

F

V

F

V

F

v

V

V

V

V

V

V

V

v

V

V

V

FFFF

v

F

V

F

V

V

V

V

v

F

V

F

V

F

V

F

1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1

EDGARD DE ALENCAR FILHO INICIAÇ



Observe-se que a última coluna (coluna 4) da tabela-verdade da proposição Exei P(p, q, r) só encerra a letra V(verdade), isto é, o valor lógico desta proposição ésempre V quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições componentes (1) Sa

p,qer. Ve(5) Construir a tabela-verdade da proposição: Re’

P(p, q, r) = (p-+(---q V r)) A —(q V (p —+ —r)) V(lResolução: (2) Sej

Note-se que é uma tabela-verdade simplificada da proposição P(p, q, r), pois, não encerra as colunas relativas às proposiçõescomponentes p, q e r.Portanto, simbolicamente:P(VVV) = F, P(VVF) = F, P(VFV) = V, P(VFF) = FP(FVV) = F, P(FVF)’= F, P(FFV) = F, P(FFF) = Vou seja, abreviadamente:P(VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF) = FFVFFFFV

5. VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTADada uma proposição composta P(p, q, r,. . .), pode-se sempre determmar oseu valor lógico (V ou F) quando são dados ou conhecidos os valores lógicosrespectivos das proposições componentes p, q, r, .

(4) Sal

p (5 Sal

36

(V

ReV(1V(I

(3) Sal da

Re:

ReLo

(V

(p

(p -(

—

q

v

r)) A

—

(q

v

(p +—

+ r))

V V F V V V F F V V V F F VV F F V F F F F V V V V V FV V V F V V V V F F V F F V



V V V F V F F F F V V V V FF V F V V V F F V V F V F VF V F V F F F F V V F F V FF V V F V V F F F V F V F VF V V F V F V V F F F F V F

14

21

3 1 65

1 4 1 3

2

1


Exemplos:(1) Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são respectivamente V e F, determinar o valor lógico (V ou F) da

proposição:

P(p, aj = ‘--(p V q) —* —‘p A —qResolução Temos, sucessivamenteV(P)=(V V F)—÷--VA F=—V--*F A V=F*—*F=V

(2) Sejam as proposições p ir =

3 e q : sen- =

O. Determinar o valor lógico (V ou F) da proposição:P(p,ci)=(p—*q)-+(p-*p A cijResolução As proposições componentes p e q são ambas falsas, isto é,V(p) = F e V(q) = F. Portanto:V(P)=(F—*F)-(F-F A F)=V-*(F-*F)=V--*V=V(3) Sabendo que V(p) = V, V(q) F e V(r) F, determinar o valor lógico (V ou F) da proposição:P(p, q, r) = (q ÷- (r - —p)) V ((q -* p) —* r)Resolução Temos, sucessivamente:= (F—*(F--*F))V((V--*V)<---*F)== (F÷V)v(V—F)=FVF=F(4) Sabendo que V(r) V, determinar o valor lógico (V ou F) da proposição:

p —‘ —q V r.

Resolução Como r é verdadeira(V), a disjunção ‘—q V r é verdadeira(V).

Logo, a condicional dada é verdadeira(V), pois, o seu consequente é verdadeiro

(V).(5) Sabendo que V(ci) = V, determinar o valor lógico (V ou F) da proposição:(p - q) -+( q -+

Resolução Como qé verdadeira(V), então ‘—q é falsa(F). Logo, a condicional-+ —.-p é verdadeira(V), pois, o seu antecedente é falso(F). Por conseqüência, a condicional dada é verdadeira(V), pois, o seuconsequente é verdadeiro(V).

38 EDGARD DE ALENCAR FILHO INIC(6) Sabendo que as proposições “x = O” e “x y” são verdadeiras e que a e, au proposição “y = z” é falsa, determinar o valor lógico (V ou F) da proposição:

x_O V xy-+y_zResolução - Temos, sucessivamente: esteVV-V-FFv F-V=F- V=V6. USO DE PARÊNTESIS

I óbvia a necessidade de usar parêntesis na simbolização das proposições, quedevem ser colocados para evitar qualquer tipo de ambiguidade. Assim, p. ex., a -se expressão p A q V r dá lugar, colocando

parêntesis, às duas seguintes proposições:

(i) (p A q) V r e (ii) p A (q v r)que não têm o mesmo significado, pois, na (i), o conectivo principal é “ V “, e na(ii), o conectivo principal é “ A “, isto é, a (i) uma disjunção e a (ii) umaConjunÇão. escAnalogamente, a expressão p A q —* r V s dá lugar, colocando parêntesis, àsseguintes proposições:

((p A q)-÷r) V s, pÁ ((q-*r) V s), (p A (q-÷r)) v s,



pA(q-+(rV s)), (pA q)—*(rV s)tais que, duas quaisquer delas, não têm o mesmo significado. 7. Por outro lado, em muitos casos, parêntesis podem ser suprimidos, a firii desimplificar as proposições simbolizadas, desde que, naturalmente, ambiguidadealguma venha a aparecer.A supressão de parêntesis nas proposições simbolizadas se faz mediante algumasconvenções, das quais são particularmente importantes as duas seguintes:

(1) A “ordem de precedência” para os conectivos é:(1) ; (2) A e V ; (3) — ; (4)Portanto, o conectivo mais “fraco” é “—“ e o conectivo mais “forte” é “+—+“.

Assim, p. ex., a proposição: p -+ q +— s A r é urna bicondicional e nunca uma condicional ou uma conjunção. Para convertê-lanuma condicional há que usar parêntesis:

p-÷(q---s Ar)


e, analogamente, para convertê-la numa conjunção:

(p -* q —÷ s) A r

O consequente da condicional é uma bicondicional. Desejando-se converter este consequente numa conjunçãocumpre escrever:

p -* ((q ÷— s) A r)

Também são bicondicionais as três seguintes proposições:

pAq—rVs; p-÷q<—÷rAs; pVq÷—÷-r-÷s

(11) Quando um mesmo conectivo aparece sucessivamente repetido, suprimem--se os parêntesis, fazendo-se a associação a partir da esquerda.Segundo estas duas convenções, as quatro seguintes proposições:

((‘—(---(p A q))) V (--p)); ((p V (—‘a)) A (r A (—p)))

(((p V (‘-‘-q)) A r) A (‘—p)); ((—p)-÷(q--*(’--(p V r))))

escrevem-se mais simplesmente assim:

(p V —q) A r A -‘—p;

(p V ‘—ci) A (r A ‘--p)

——p-÷(q-’—-(pV r))

7. OUTROS SÍMBOLOS PARA OS CONEC[I VOS

Nos livros de Lógica, usam-se diferentes símbolos para os conectivos. Assim,



p. ex., são frequentemente usados os símbolos:

EXERCÍCIOS

“1” para a negação ( )

e “&“ paraaconjunção( A)

D “ (ferradura) para a condicional (-+)

(a) -‘-(pV--q)(e) pAq-÷pVq(e) (p-*q)-*pAq(g) (p4—*---q)÷—*q-+p

(b) —(p-*qJ(d) ‘—p--*(q--*p)

(f) q4—+---qAp(h) (p÷—+----q)-*-’-pAq

39

1. Construir as tabelas-verdade das seguintes proposições:

40

EDGARD DE ALENCAR F$LHO

NICIAÇÃ(

8. SabeiFeFções:

(a) (

(c) (

9. Sabeiso f (a)(c) c

(e) ((g) (

(i) (

(k) (

10. Sabe v,



prop(a)(e)(e)

(a) P(p, q, r) p A —-r —+

(b) P(p, q, r)(e) P(p, q, r)(d) P(p.q,r) =

(e) P(p, q, r) =

(f) P(p, q, r) =

(a) (p A q) V (p A q) (e) -(pAq)+--*--pV-q

(b) (p-.o)A--p-*---q (d) (pV(pVJ)V(’-pA--q)

11. Sabe (V (

(a)(c)(e)(g)

12. Sabe propcada(a)(c)(e)

13. Sabe (V o

2. Construir as tabelas-verdade das seguintes proposições:

(a) —pAr-÷qVr (c) p-+(p-÷-r).E----*qVr

(b) p-r÷--÷qV’---r (d) (pAq÷r)V(—-p.E—÷qV--r)

3. Determinar P(VV, VF, FV, FF) em cada um dos seguintes casos:(a) P(p, ci) —(--p +—÷ q)(h) l)(p,q) = .‘pVq—*p(e) P(p, q) = (p V ci) A —-(p A q)(d) P(p. q) = (p A q) V (—p A ci)(e) P(p, q) = —((p V q) A (‘-p V ‘-q))

(f) P(p,q)

(g) P(p,q) (pVq)A’-.p-+(q-*p)

4. Determinar P(VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF) em cada unidos SeguiliteS casos:(a) P(p, q, r) p V (q A r)(b) P(p, q, r) = (p A —q) V r (c) P(p, q, r) = ‘--p V (q A r)(d) P(p, q, r) (p V ci) A (p V r)(e) P(p, q, r) (p V -r) A (q V ‘—r)(f) P(p, q, r) —-(p V =q) A (p V r)



5. Determinar P(VFV) em cada uni dos seguintes casos:

—p A (q V -r)=(p A q) +—* —(p V —r)(r A (p V q)) A =(-=r V (p A q))

(p V q -* r) -* q V -r

(p V (q -+ r)) A (‘-p V r —* q)

6. Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q so respectivamente F e V, determinar o valor lógico (V ou F) da proposição:(p A(’--q-p))A - p*—+q)--*qV p)

7. Sejam as proposições p : tg(ir —x) ctgx e q : ir <2. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:


41

ções:(a) (p—÷p-*q) V (p-+r)(c) (pAq-÷r)-+(p-÷(q-*r))9. Sabendo que as proposições p são falsas, determinar o valor proposições:(a) p A q -+ r (c)(e)

(g)

(i )(k) (s+-r)÷--(p÷-÷q)

(b) (p-÷-q).--÷((pVr)Aq)

e q são verdadeiras e que as proposições r e s lógico (V ou F) de cada uma das seguintes(b) rvs-+q(d)(f)(h) (r -÷ s) A(pA q)

(j) ((rp)V(s*q)(1) r q( p r)

10. Sabendo que os valores lógicos das proposições p, q, r e s são respectivamente V, V, F e F, determinar o valor lógico (Vou F) de cada uma das seguintcs

proposições:

(a) pAq÷—rA-s(c) (p-+q)-*(s-+r)

(e) (q A r) A s —* (p —* s)(g) (pAq)A(rAs)-*pVs

(b) (p÷—ciJ-÷(s--÷r)(d) (pAq)Vs-*(p+---*s)(f) p-q÷--(pV r)As(h) (p V s) V (s A r)

12. Sabendo que as proposições “x = 0” e “x y” são verdadeiras e que as proposições “y = z” e “y t” são falsas, determinar o valor lógico (V



OU F) decada uma das seguintes proposições:

(b) x*DVy=t-÷y=i.

(d) x_0Vx_y-*yi.13. Sabendo que a condicional p — q é verdadeira(V), determinar o valor lógiCo (V ou F) das condicionais:

8. Sabendo que os valores lógicos das proposições p, q e r são respectivamente V, F e F, determinar o valor lógico (V ou F)de cada urna das seguintes proposi

4—* p A s(q -+ s) —* r

(q V r) A (p V s)(p A q) V r

p — ‘— (r A s) r-+pAq

11

(a) p-*q÷--+q-+p(e) (p-*r)-(’-p--r)(e) --(pAs)-*---pA---s

(b) (r—.p)-*(p-÷r)(d) (pAq)-*pVq

(f) —‘((p V s) A (s V r))

li. Sabendo que V(p) V(r) = V e V(q) V(s) F, determinar o valor lógico (V OU F) de cada uma das seguintes proposições:

(a) x=0Ax=y-+y_i.

(c) x_yVy_z-.y=L

(e) x=0-+(x*yVy_t)

pVr-*qVr e

p A r -+ q A r

42 EDGARD DE ALENCAR FILHO14. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:

(a) p ÷—* q A ---r, sabendo que V(p) = V(r) V(b) p A q-*p V r,sabendoqueV(p)=V(r)V(c) (p -÷ ‘--q) A (‘-p V r), sabendo que V(q) = F e V(r) = V15. Suprimir o maior número possível de parêntesis nas seguintes proposições:(a) ((q÷—(r V q))—*(p A(b) ((p A (-(‘-qj)) (q E•—* (r V q)))

(c) (((p v q) — (‘—r)) V ((((—q) A r) A q)))



Capítulo 4Tautologias, Contradições e

Contingências1. TAUTOLOGIA

Definição Chama-se tautologia toda a proposição composta cuja última coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra V(verdade).Em outros termos, tautologia é toda proposição composta P(p, q, r, . . .) cujovalor lógico é sempre V(verdade), quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples componentes p, q, r,As tautologias são também denominadas proposiçÕes tautológicas ou proposições1 ogicamente verdadeiras.Ë imediato que as proposições p -÷ p e p —* p são tautológicas (Princípio deidentidade para as proposições).

Exemplos:(1) A proposição “—(p A —‘p)” (Princípio da não contradição) é tautológica, conforme se vê pela sua tabela-verdade:

Portanto, dizer que uma proposição não pode ser simultáneamente verdadeira efalsa é sempre verdadeiro.


(2) A proposiç:io “p v p” (Princípio do terceiro excluído) é tautológica, COflI() imediatamente se vé pcla sua

tabela-verdade:

l’ortanto, dizer que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa é sempre

verdadeiro.

(4) A proposição “p A q — (p q)” é tautológica, conforme mostra a sua tabela--verdade:

(5) A proposiçio “p V (q A —q) —÷p” é tautológica, conforme mostra a sua tabela-verdade:

44

(3) A proposição “p V --(p A q)” é tautológica, conforme se vê pela sua tabela-

-verdade:

vvEE

F



vFv

F

FF

F

vvFF

vv

vv

p qJ (pAq) pV(pA]

V V V F V

V

F F V V

F V F V V

F E F V V

p q pAq p*—÷q pAq-*(p---+q)

v

V F

E

v

F

V

E

vFF

F

vFFV

vVVV



EiiiLE

q A p V (q

Aq)

pV (q A

q)


45

(6) A proposição tabela-verdade:

“p A r — q V r” é tautológica, conforme se vê pela sua

(7) A proposição “((p q) r) (p (q — r))” é tautológica, conforme mostraa sua tabela-verdade:

2. PRINCIPIO DE SUBSTITUIÇÃO PARA AS TAUTOLOGIAS

Seja P(p. q, r, . . .) urna tautologia e sejam P()(p, q, r, . . .), Q0(p, q, r, . .

R(p, q, r proposições quaisquer.Como o valor lógico de P(p, q, r, . . .) é sempre V(verdade), quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simplescomponentes p, q, r é óbvio que, substituindo p por P0,q por Q0,r por R0,.. . na tautologia P(p, q, r,. . .), a nova proposiçãoP(PO, Q0, R, . . .) que assim se obtém também é uma tautologia. Subsiste, pois, para as tautologias o chamado “Princípio desubstituição” seguinte:Se P(p, q, r, . . .) é uma tautologia, então P(P0, Q0, R, . . .) também é uma

tautologia, quaisquer que sejam as proposições P0, Q0, R0,

(p

v HV Ev vv v

F VF VFIVFJV1J3

(vv

Fvvv

F



E

vFvv

Fvv1

r))v

FvvvE

vE

2

3

4

p q r q pAr qVr p A r--qVr

V V V F V V V

V V F F F F V

V F V V V V V

V F F V F V V

F V V F F V V

F V F F F F V

F F V V F V V

F E F V F V V



r) -

vv v v

V V V F F V

V F E V V V

V E F V F V

F V V V V V

F V V F E V

F V E V V V

F V F F E V

46 curuj u iLINH tILhU

3. CONTRADIÇÃODefinição - Chama-se contradição toda a proposição composta cuja últimacoluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra F(falsidade).Em outros termos, contradição é toda proposição composta P(p, q. r, - . .) cujovalor lógico é sempre F(falsidade), quaisquer que sejam ‘os valores lógicos das

proposições simples componentes p, q, r,Como uma tautologia é sempre verdadeira(V), a negação de uma tautologia ésempre falsa(F), ou seja, é urna contradição, e vice-versa.Portanto, P(p, q, r, . . .) é uma tautologia se e somente se —P(p, q, r, . .) éuma contradição, e P(p, q, r, . . .) é uma contradição se e somente se ‘—P(p, q, r, . .

é uma tautologia.As contradições são também denominadas proposições contraválidas ou

proposições logicamente falsas.Para as contradições vale um “Princípio de substituição” análogo ao que foidado para as tautologias:Se P(p, q, r, . . .) é uma contradição, então P(P0, Q0, R, . . .) também é umacontradição, quaisquer que sejam as proposições P0, Q0, R0, .

Exemplos:

(1) A proposição “p A —p” é uma contradição, conforme se vê pela sua tabela--verdade:

Portanto, dizer que uma proposição pode ser simultãneamente verdadeira e falsa é sempre falso.(2) A proposição “p ÷— —p” é uma contradição, conforme mostra a sua tabela--verdade:

LLJ pA—p



PVF F

FV F

INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 47(3) A proposição “(p A ci) A ‘—(p V q)” é uma contradição, conforme se vê pela sua tabela-verdade:

(4) A proposição “-.p A (p A —q)” é uma contradição, conforme mostra a sua tabela-verdade:

4. CONTINGÊNCIADefinição Chama-se contingência toda a proposição composta em cujaúltima coluna da sua tabela-verdade figuram as letras V e F cada uma pelo menos uma vez.Em outros termos, contingência é toda proposição composta que não étautologia nem contradição.As contingências são também denominadas proposições contingentes ou

proposições indeterminadas. Exemplos:(1) A proposição “p —* —p” é uma contingência, conforme se vê pela sua tabela verdade:

p qpA

q pVq

(pVq

)

(pAq)A’(pVq

)

V

V

F

F

V

F

V

F

VFFF

VVVF

FFFV

FFFF

p q —

p‘—-q

p A —

q

—p A (p A —

q)

V

V

F

L

V

F

V

F

FFVV

FVFV

FVFF

FFFF



p ‘—p p-*p

V F F

F V V

48


(2) A proposição “p V q -÷ p” é urna contingência, conforme mostra a sua tabela-verdade:

(3) A proposição “x 3 A (x y -+ x _ 3)” é uma contingência, conforme mostra a sua tabela-verdade:

x=3 x=y_3Ix*y

(a) (p-÷p)V(p-÷p)(c) (p-÷q)Ap-*q(e) (p—q)A----q-÷---p(g) p—÷pA(pVq)(i) —(p A —p) V (q—*--q)(k) —(pVq)-÷(p—-*q)

(a) (p-*q)-÷(pAr-+q) (c) (p-+a)-+(pAr-+qAr)

(a) pVq—-pAq (c) (p—*(p--*q))-÷q

(a) p-÷(--p-÷q)(c) p-(q-+(q-+p))(e) pV-q-+(p+q)(g) p-+(pVVr

(b) (p—pAp)---*---p(d) pV(qV—p)(f) (pVq)A—p-*q(h) ‘—(p V —p) V (q V --q)

(i) pV(pAq)÷—*p(1) (p÷—*q)Ap-+q

(b) (p—*q)-(p-*qVr) (d) (p—*q)--*(pVr-+qVr)

(b) (q-p)-+(p-÷q)(d) p-÷(p-*qA---q)

(b) —pVq-* (p-4.q)(d) ((p-*a+q)-+p(f) —pV--q-÷(p--*q)



(h) pAq-÷(p÷-÷qVr)

EXERCÍCIOS1. Mostrar que as seguintes proposições são tautológicas:

2. Mostrar que as seguintes proposições são tautológicas:

3. Mostrar que as seguintes proposições são contingentes:

4. Determinar quais das seguintes proposições são tautológicas, contraválidas, ou contingentes:

p q pVq pVq—*p

v

V

F

F

v

F

V

F

vVVF

vVFV

V V F F V V

V F F V F F

F V V F V F

F F V V V F

Capítulo 5ImplicaÇão Lógica1. DEFINIÇÃO DE IMPLICAÇÃO LÓGICA

Definição Diz-se que uma proposição P(p, q, r,. ..) implica logicamente ouapenas implica uma proposição Q(p, q, r, . se Q(p, q, r, . .) é verdadeira(V) todas as vezes que P(p, q, r, . . .) é verdadeira(V).Em outros termos, uma proposição P(p, q, r,. ..) implica logicamente ou apenas implica uma proposição Q(p, q, r, . . .) todas asvezes que nas respectivas tabelas-verdade dessas duas proposições não aparece V na última coluna de P(p, q, r,...) e F naúltima coluna de Q(p, q, r,.. .), com V e F em urna mesma linha, isto é, não ocorre P(p, q, r, . . .) e Q(p, q, r, . . .) com valoreslógicos simul - táneos respectivamente V e F.Indica-se que a proposição P(p, q, r, . . .) implica a proposição Q(p, q, r, . .

com a notação:P(p, q, r,.. .) Q(p, q, r,...)Em particular, toda proposição implica uma tautologia e somente urnacontradição implica uma contradição.



2. PROPRIEDADES DA IMPLICAÇÃO LÓGICAÉ imediato que a relação de implicação lógica entre proposições goza das

propriedades reflexiva(R) e transitiva(T), isto é, simbolicarnente:(R) P(p, q, r,...) = P(p, q, r,...)(T) SeP(p,q,r,...) Q(p,q,r,...) eQ(p, q, r, . . .) R(p, q, r,. . .), entãoP(p, q, 1,...) R(p, q, r,...)

50


3. EXEMPLIFICAÇÃO(1) As tabelas-verdade das proposições:

sao:

pAq, pVq, p—q

A proposição “p A q” é verdadeira(V) somente na linha 1 proposições “p V q” e “p —* q” também são verdadeiras(V). proposição implica cada uma das outras duas proposições, isto é: pAq=pVq e pAq=p-.-*q

e, nesta linha, as Logo, a primeira

As mesmas tabelas-verdade também demonstram as importantes Regras de inferência:

(i) p=pVq(ii) pAq=p

ee

q p V q (Adição) p A q q (Simplificação)

(2) As tabelas-verdade das proposições:

sao:

p—+q, p-q, q-÷p

A proposição “p ÷—÷ q” é verdadeira(V) nas linhas 1 e 4 e, nestas linhas, as proposições “p -÷ q” e “q — p” também sãoverdadeiras. Logo, a primeira proposição implica cada uma das outras duas proposições, isto é:

L

p÷—*qp-÷q e

p÷-+q = q-*p



.1p q

pA

q

pV

q

p.—

q

v

V

F

F

v

F

V

F

vFFF

vVVF

vFFV

p÷—*q p-q q-+p

v

V

F

F

v

F

V

F

vFFV

vFVV

vVFV

INICIAÇAO A LOÇiIÇA MAl LIMA lUA bi(3) A tabe1a-verdade da proposição: “(p V q) A -‘--p” é:

Esta proposição é verdadeira(V) somente na linha 3 e, nesta linha, a proposição “q” também é verdadeira(V). Logo, subsistea implicação lógica:(p V q) A ‘-p = qdenominada Regra do Silogismo disjuntivo.Outra forma desta importante Regra de inferência é:(p V q) A ‘--q = p

(4) A tabela-verdade da proposição “(p -+ q) A p” é:

v v v vV F F FF V V F

F FI V F -

Esta proposição é verdadeira(V) somente na linha 1 e, nesta linha, a proposição“q” também é verdadeira(V). Logo, subsiste a implicação lógica:(p-+q)Ap = q



denominada Regra Modus ponens.

(5) As tabelas-verdade das proposições “(p -* q) A ‘—q” e “—p” são:

p qpV

q

—

p

(pVq)A-

p)

V

V

F

F

V

F

V

F

VVVF

FFVV

FFVF

1 P1 (p-+q)Ap

p q pq

q (pq)Aq) p

V

V

F

F

V

F

V

F

VFV

V

F

V

F

V

FFF

V

F

F

V

V

52A proposição “(p -* q) A -‘-q” é verdadeira(V) somente na linha 4, e nestalinha, a proposição “—p” também é verdadeira(V). Logo, subsiste a implicaçãológica:(pq)Aqdenominada Regra Modus toliens.As mesmas tabelas-verdade também mostram que “---p” implica “p —* q”,isto é: —p p-÷q.4. TAUTOLOG1AS E IMPLICAÇÃO LÕGICATeorema A proposição P(p, q, r,...) implica a proposição Q(p. q, r,..isto é:P(p,q.r,...) Q(p,q.r,...)se e somente se a condicional:P(p.q,r,...) -* Q(p,q,r,...) (1)é tautológica.Dem. (i) Se P(p, q, r,...) implica Q(p. q. r,. . .), então, não ocorre que os valores lógicos simultãneos destas duas proposiçõessejam respectivamente V e F, e por conseguinte a última coluna da tabela-verdade da condicional (1) encerra somente a letraV, isto é, esta condicional é tautológica.(ii) Reciprocamente, se a condicional (1) é tautológica, isto é, se a última coluna da sua tabela-verdade encerra somente a



letra V, então, não ocorre que os valores lógicos simultâneos das proposições P(p, q, r, . .) e Q(p, q, r, . . .) sejamrespectivamente V e F, e por conseguinte a primeira proposição implica a segunda.Portanto, a toda implicação lógica corresponde uma condicional tautológica, evice-versa.Corolário Se P(p, q. r, . . .) = Q(p, q, r, . . .), então, também se tem:P(P0, Q0, R0,...) Q(PO, Q0, R0,...)quaisquer que sejam as proposições P0, Q0, R0, .

NOTA Os símbolos - e são distintos, pois, o primeiro é de operaçãológica (aplicado, p. ex., às proposições p e q dá a nova proposição p -* q),enquánto que o segundo é de relação (estabelece que a condicional P(p, q, r,. .

Q(p, q, r, . . .) é tautológica).


53

Exemplos:(1) A condicional “(p -+ q) A (q -* r) -÷ (p -÷ r)” é tautológica, pois, a última coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra

V (Cap. 3, § 4, Ex. 4).

Logo, subsiste a implicação lógica:

(pci)A(q-r) = p-÷r

denominada Regra do Silogismo hipotético.

(2) A condicional “p A p -÷ q” é tautológica, pois, a última coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra V:

Logo, subsiste a implicação lógica: p A —p q. Assim, de uma contradição p A — p se deduz qualquer proposição q (Princípioda inconsistência).(3) A proposição “(p ÷— q) A p” implica a proposição “q”, pois, a condicional

*— q) A p -÷ q” é tautológica conforme se vê pela sua tabela-verdade:

Portanto, simbolicamente: (p —* q) A p q.

EXERCÍCIOS

1. Mostrar que a proposição p implica a proposição seguintes casos:

q(p q) em cada um dos

(a) p:ir>3; q:tg45°=l

1b) p:sen3ü°= 1; q:%/> ./‘(e) p : AI3CD é um losango; q : ABCD é um paralelogramo

p q — p

pA—p pf—p-*q

V V FF

FF

VV



V

F

F

F

V

F

VV

FF

VV

p q pq(pq)A p (pq)A pq

v

V

F

F

v

F

V

F

vFFV

vFFF

vVVV

54 EDGARD DE ALENCAR FiLHO

(d) p : O polígono ABCDE. . . é regular; q : O polígono ABCDE. . . é ins critível (e) p : O número inteiro x termina por 0; q :O número inteiro x é divisível

por5(f) p : ABC é um triângulo; q: A soma dos ângulos internos A, B e C é iguala 180(g) p:tg = ‘/ q:sen - = cos -

2. Mostrar: (a) q p -÷ q; (b) q p A q —* p3. Mostar que p —÷ —q não implica p -* q.Resolução - As tabelas-verdade das duas proposições dadas são:

A proposição “p ÷—+ —q” é verdadeira(V) na linha 2 e, nesta linha, a proposição-÷ q” é falsa(F). Logo, a primeira proposição não implica a segunda.4. Mostrar que p não implica p A q e que p V q não implica p.

5. Mostrar: (x = y v x <4) A x <4 x = y.

6. Mostrar: (x * O -* x = y) A x * y x 0.

p q — q

p4—÷----q

V

V

F

F

V

F

V

F

FVFV

FVVF

V

F

V

V



Capítulo 6Equivalência Lógica1. DEFINIÇÃO DE EQUIVALÊNCIA LÓGICADefinição Diz-se que urna proposição P(p, q, r,. .) é logicamente equivalente

ou apenas equivalente a uma proposição Q(p, , r, . . .), se as tabelas-verdade destas

duas proposições são idênticas.

Indica-se que a proposição P(p, q, r, . . .) é equivalente a proposição Q(p, q, r,. .

com a notação:

P(p, q, r,...) Q(p, q, r,...)

Em particular, se as proposições P(p, q, r, . . .)e Q(p, q, r, . . .) são ambas

tautologias ou são ambas contradições, então são equivalentes.

2. PROPRIEDADES DA EQUIVALÊNCIA LÓGICAÉ imediato que a relação de equivalência lógica entre proposições goza das

propriedades reflexiva(R), simétrica(S) e transitiva(T), isto é, simbolicamente:(R) P(p, q, r,...) P(p, q,r,...)

(S) SeP(p,q,r,...) Q(p,q,r,...), entãoQ(p, q, r,...) P(p, q, r,. ..)

(T) Se P(p, q, r,...) Q(p, q, r,...) eQ(p, q, r, . . .) R(p, q, r, . . .), entãoP(p, q, r,...) R(p, q, r,...)

56


3. EXEMPLIFICAÇÃO(1) As proposições “—-‘-‘p” e “p” são equivalentes, isto é, simbolicamente p p (Regra da dupla negação). Realmente, é oque demonstra a tabela-verdade:

p ‘—p ‘—---pV F VF V F

4.Portanto, a dupla negação equivale à afirmação.(2) As proposições “—p -* p” e “p” são equivalentes, isto é, simbolicamente:- p p (Regra de CLAVIUS). Realmente, é o que demonstra a tabela-verdade:

p —pV F VF V F(3) As condicionais “p - p A q” e “p — q” têm tabelas-verdade idênticas:

v vV F V

V F F F FF V V V VF F V V V

p-)-q

V V V V VV F F F F



F V F V VF F F V V

4Por consequência, estas condicionais são equivalentes, isto é. subsiste aequivalência lógica:

p-*p Aq==p-±qdenominada Regra de absorção.

(4) A condicional “p —* q” e a disjunção “—p V q” têm tabelas-verdades idênticas:

p

q

pAq p—pAq

p

q

p-*q---p-pVq

INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 57Por consequência, estas duas proposições so equivalentes, isto é, subsiste aimportante equivalência lógica:

p-÷q’-p V q(5) A bicondicional “p —+ q” e a conjunção “(p -÷ q) A (q -÷ p)” têm tabelas- verdade idênticas:

v v v v v vV F F F V FF V F V F FF F V V V VPor consequência, estas duas proposições so equivalentes, isto é, subsiste aimportante equivalência lógica:

p —÷ q: (p -+ q) A (q -* p)(6) A bicondicional “p +-÷ q” e a disjunção “(p A a,) V (‘-p A —‘q)” têm tabelas-verdade idênticas:

V V V V VV F F FV F F V F F F F F VF V F F F VF V F FF F V F F FV V V V4. 1Por consequência, estas duas proposições so equivalentes, isto é, subsiste aimportante equivalência lógica:

p÷-*q==.(p A q) V (—p A q)4. TAUTOLOGIAS E EQUIVALÊNCIA LÓGICATeorema A proposição P(p, q, r,.. .) é equivalente à proposição Q(p, q, r, . . .),isto é:P(p, q, r,...) Q(p, q, r,...)se e somente se a bicondicional:P(p, q, r,...) +-+ Q(p, q, r,...) (1)é tautológica.

)_ _

p.4— *q

p-+q q-+p (p-+q) A(q-÷p)



1

X L z

58 EDGARD DE ALENCAR FILHODem. — (i) Se as proposições P(p, q, r, . . .) e Q(p, q, r, ...) são equivalentes,então, têm tabelas-verdade idênticas, e por conseguinte o valor lógico da bicondicional (1) é sempre V(verdade), isto é, (1) étautológica.(ii) Reciprocamente, se a bicondicional (1) é tautológica, então, a última coluna da sua tabela-verdade encerra somente aletra V(verdade), e por conseguinte os valores lógicos respectivos das proposições P(p, q, r, . . .) e Q(p, q, r, . ..) são ambosV(verdade) ou são ambos F(falsidade), isto é, estas duas proposições são equivalentes.Portanto, a toda equivalência lógica corresponde uma bicondicional tautológica,e vice-versa.Corolário Se P(p, q, r, - . .) Q(p, q, r, - . .), então, também se tem:P(P0, Q0, R0, . . Q(PQ, Q0, R0,...)

quaisquer que sejam as proposições P0, Q0,R0, . . -

NOTA Os símbolos ÷—e são distintos, pois, o primeiro é de operação lógica (aplicado, p.ex., às proposições p e q dá a nova proposição p ÷—÷ q), enquanto que o segundo é de relação (estabelece que a bicondiciorntlP(p, q, r,. .

*— Q(p, q, r, . . .) é tautológica). Exemplos:(1) A bicondicional “(p A -q -* c) ÷—- (p -. q)”, onde c é uma proposição cujo valor lógico é F(falsidade), é tautológica, pois, aúltima coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra V(verdade):

Portanto, as proposições “p A —q -÷ e” e “p - q” são equivalentes, isto é, simbolicamente: p A ‘—q — e p -+ q Nesta equivalência consi’te o “Método de demonstração por absurdo”.

p q (p A --q - c) ÷—* (p -+ ci)

V

V

F

F

V

F

V

F

VVFF

F

V

F

F

FVFV

V

F

V

V

F

F

F

F

V

V

V

V

VVFF

V

F

V

V

VFVF

1 3 2 4 1 5 1 2 1

IMCIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 59

(2) A hicondicional “(p A q -* r) ÷—÷ (p -÷ (q -÷ r))” é tautológica, pois, a última coluna da sua tabela-verdade encerra somente aletra V(verdade):

Portanto, as condicionais “p A q —* r” e “p -÷ (q -* r)” são equivalentes, isto é, simbolicamente: p A q -÷ r p -÷ (q -* r)



Esta importante equivalência lógica é denominada “Regra de Exportação-Importação”.(3) As proposições “x = 1 V x <3” e “—(x <3 A x = 1)” não são equivalentes, pois, a bicondicional:(x= 1V x<3)—----(x<3 A x= 1)não é tautológica, conforme se vê pela sua tabela-verdade:

5. PROPOSIÇÕES ASSOCIADAS A UMA CONDICIONAL

Definição -- Dada a condicional p -> q, chamam-se proposições associadas a p — q as três seguintes proposições condicionaisque contêm p e q:(a) Proposição recíproca de p -÷ q : q - p(b) Proposição contrária de p -+ q : —‘p -*

(c) Proposição contrapositiva de p - q : —q —*

(

p A q - r) ÷

— (p -÷(

q -÷ r))

vV

V

V

FFFF

v

V

F

F

F

F

F

F

v

V

F

F

V

V

F

F

v

F

V

V

V

V

V

V

v

F

V

F

V

F

V

F

v

V

V

V

V

V

V

V

vV

V

V

FFFF

v

F

V

V

V

V

V

V

vV

FFV

V

FF

v

F

V

V

V

F

V

V

v

FVFVFVF

1 2 1 3 1 4 1 3 1 2 1

(x=I V x<3) —* - (x<3 A x=1)

VVFF

V

V

F

V

FVFV

F

V

F

V

F

V

V

V

VFVF

V

F

F

F

VV

FF

60

EDGARDDEALENCAR FILHO



e demonstram as duas importantes propriedades:(1) A condicional p -÷ q e a sua contrapositiva —q —+ -‘--p são to é, simbolicamente:

(1) Seja a condicional relativa a um triângulo T:

p -÷ q Se 1 é equilátero, então T é isósceles A recíproca desta proposição é:

q -÷ p: Se T é isósceles, então T é equilátero

(2) A contrapositiva da condicional:

p -+ q : Se Carlos é professor, então é pobre

Às tabelas-verdade destas quatro proposições são:

vvF

F

vFvF

vF

v

vt

v vv vF F

v v

vF

vv

1

equivalentes, isp -+ q ‘—q -

(II) A recíproca q -* p e a contrária —p -* q da condicional p -* q são equivalentes, isto é, simbolicamente:q - p — p q



As mesmas tabelas-verdade também demonstram que a condicional p -* q e a sua recíproca q -÷ p ou a sua contrária ‘—p — —qnão são equivalentes.A contrária de p -÷ q também é denominada a inversa de p -÷ q e a contrapositiva de p -÷ q outra coisa não é que a contrária darecíproca de p -* q e por isso também é denominada contra-recíproca de p - q. Também se diz que p -+ q é a direta em relação àsassociadas.

Exemplos.

Aqui, a condicional p — q é vcrdadeira(V), mas a sua recíproca q — pé talsa(l-’).

e

-÷ —p : Se Carlos não é pobre, então não é professor

p

q

p-÷qq— *p

—p-*---q‘—q-÷--- p

INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 61(3) Seja achar a contrapositiva da condicional: “Se x é menor que zero, então x não é positivo”.Representando por p a proposição “x é menor que zero” e por q a proposição “x é positivo”, a condicional dada sob formasimbólica escreve-se: p -÷ —q, e por conseguinte a sua contrapositiva é:q-p q-* pisto é, em linguagem corrente: “Se x é positivo, então x não é menor que zero”.(4) Seja demonstrar a proposição condicional:

p -÷ q : Se x2 é ímpar, então x é ímpar A contrapositiva desta condicional é:-q-÷ ‘--p : Sex é par, então x2 é par que vamos demonstrar ser verdadeira.Com efeito, suponhamos x par, isto é, x = 2n(n E Z). Corno x2 = 2.2n2 segue-se que x2 é par. Logo, a contrapositiva éverdadeira, e por conseguinte a proposição condicional dada p -+ q também é verdadeira.(5) Determinar:(a) A contrapositiva da contrapositiva de p -÷ q(b) A contrapositiva da recíproca de p -+ q(c) A contrapositiva da contrária de p —* qResolução (a) A contrapositiva de p—* q é q—*p. E a contrapositiva de (b) A recíproca de p - q é q-÷ p. E a contrapositivade q -÷ pé: —p - ‘q.(e) A contrária de p -+ q é —p -* ‘—q. E a contrapositiva de —p -* --q é:qpq-p.Observe-se que a recíproca e a contrária são cada uma a contrapositiva da outra e que a condicional e a contrapositiva são

cada uma a coritrapositiva da outra.(6) Determinar:(a) A contrapositiva de p -÷

(b) A contrapositiva de —p -+ q(e) A contrapositiva da recíproca de p -÷

(d) A recíproca da contrapositiva de p -

62 EDGARD DE ALENCAR FILHOResolução (a) A contrapositiva de p -+ —q é:qpq--p



(b) A contrapositiva de —p - q é:(c) A recíproca de p -÷ —q é ‘-q -+ p. E a contrapositiva de —q -÷ p é:

p-qp-q(d) A contrapositiva de —p —* —q é:

—-q--p q-pEarecíprocadeq-+p é p-*q.(7) Determinar:

(a) A contrapositiva da recíproca de x = O -+ x < 1(b) A contrapositiva da contrária de x < 1 -* x < 3Resolução (a) A recíproca de x = O -÷ x < 1 é x < 1 -* x = O. E a contrapositiva desta recíproca é x _ O -÷ x < 1.(b) A contrária de x<1 —x<3 é x<1 -*x<3. E a contrapositiva desta contrária é x <3 -÷ x < 1.6. NEGAÇÃO CONJUNTA DE DUAS PROPOSIÇÕESDefinição Chama-se negação conjunta de duas proposições p e q a proposição“não p e não q”, isto é, simbolicamente “-‘-p AA negação conjunta de duas proposições p e q também se indica pela notação“p . q”. Portanto, temos:

p4 q=—pA qComo a proposição “--p A q” é verdadeira somente no caso em que p e q sãoambas falsas, então, a tabela-verdade de “p q” é a seguinte:

p q p4qV V FV F F

F V FF F V

INICIAÇÃO À LÕGICA MATEMÁTICA 63

7. NEGAÇÃO DISJUNTA DE DUAS PROPOSIÇÕESDefinição Chama-se negação disjunta de duas proposições p e q a proposição“não p ou não q”, isto é, simbolicamente “--p V —‘q”.A negação disjunta dc duas proposições p e q também se indica pela notação“p t q”. Portanto, temos:

ptq==-pV —q

Como a proposição “--p v —q” é falsa somente no caso em que p e q sãoambas verdadeiras, então, a tabela-verdade de “p t q” é a seguinte:

p q ptqV V FV F VF V VF F VOs sfmbolos ““ é “t” são chamados “conectivos de SCHEFFER”.EXERCÍCIOS1. Mostrar que as proposições p e q são equivalentes (p — ci) em cada um dos seguintes casos:(a)p:l+34; q:(l+3)216(b) p:senO°1; q:cosO°0(c) p:2° 1; q:1r<4(d) p:x=y; q:x÷z=y÷z(x,y,zER)(e) p : x é par; q : x + 1 é ímpar (x é Z)(f) p : O triângulo ABC é isósceles (AB AC); q : Os ângulos B e C são iguais(g) p:a.Lb; q:b.La(h) p:aIIb; q:bIIa(i) p : O triângulo ABC é retângulo em A; q : a2 = b2 +

(j) p:xE (a} ; q:x=a

64 EDGARD DE ALENCAR FILHO2. [xprimir a bicondicional p 4—* q em função dos três conectivos: A, V e Resolução Temos:

p q (p q) A (q -+ p)

pqp V q



q -* p q V p

Portanto: pq(’-p v q) A (—q V p).3. [)cmonstrar por tabelas-verdade as seguintes equivalências:(a) pA(pVq)=p (b) pV(pAq)s=p(c) p÷—p A qp-÷q (d) q÷—*p V qp_*q

(e) (p A(pr)p-qA r (1)

(g) (p -+r=p A -‘-r-*-q4. Mostrar que as proposições “x = 1 V x <3” e “—(x < 3 A x = 1)” não são equivalentes.5. Demonstrar que o conectivo “ M. “(“ou” exclusivo) exprime-se em função dos três conectivos --, A e V do seguinte modo:

p Y q’==(p V q) A -(p A q)

Dem. Com efeito, as tabelas-verdade de “p Y. q” e “(p v q) A —‘(p A o)”são idênticas:

6. Demonstrar que os três conectivos ---, V e A exprimem-se em função do conectivo “. “de SCHEFFER do seguinte modo:(a) —p=pp(b)(c) pAq(p4p)l(q.q)

p q pq

(p V ci) A —‘(

pA q)

V

V

F

F

V

F

V

F

FVVF

V

V

FF

V

V

V

F

VFVF

F

V

V

F

F

V

V

V

V

V

F

F

V

F

F

F

V

FV

F

1 2 1 4 3 1 2 1


65

Dem. Realmente, é o que demonstram as três tabelas-verdade seguintes:[_]-ii p4’p(a) F FFV V

+ +

V F VV F VV F VF V F

4.



7. Demonstrar por tabelas-verdade que os três conectivos —‘, V e A exprimem -s em função do conectivo “ t “ deSCHEFFER do seguinte modo:(a) «—p’=ptp(b) pVq-==(ptp)t(qtq)(c) pAq=(ptq)t(ptq)8. Sabendo que as proposições p e q são verdadeiras e que a proposição r é falsa, determinar o valor lógico (V ou F) dasseguintes proposições:

(a) (-pq)A(qt---r)(b) ((ptq) V(qr))t(rp)(c) (p t —q)--+((q r) p)(d) ((ptp)q)i.(qAr)

pq

(b)

vvF

F

(p q) 4’(p q)

vFvF

(c)

vvFF

vFvF

vFFF

+

FF



vv

Fv

Fv

vFFF+

p

q

pvq

p A q j;-:-j; j--j- (p p) (c

66 EDGARD DE ALENCAR FILHO9. Demonstrar que o conectivo “ V “ exprime-se em função unicamente de pela equivalência: p V q (p -÷ q) -* p.10. Demonstrar que a negação conjunta e a negação disjunta gozam da propriedade comutativa, isto é:

p4-q=q4.p e ptq=qfp

11. Demonstrar: ((p t ‘-p) t (p t p)) p A p12. Demonstrar que as seguintes proposições são contingentes:(a) (pq)(—qtp)

(b) (pt(qvr))—*---r(e) ((pp) vq)I(-.q A—r)

Capítulo 7

Álgebra

das Proposições

1. PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO

Sejam p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições tambémsimples cujos valores lógicos respectivos são V(verdade) e F(falsidade).



(a) Idempotente: p A p pDem. Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições p A p e

p, ou seja, a bicondiconal p A p ÷— p é tautológica:

[jpAp PAP.E-_.pJ

v vF F

(1) x_lAx#l=x#l(ii) x<OAx<O==x<O

vv

Assim, p. ex., temos:

(h) Comutativa: p A q q A pDem. Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposiçõcs p A q e q A p, ou seja, a bicondicional p A q q A p étautológica:

vvFF

vF

vF

v_ vF FF FF F

vv

vv

p q pAq



qAp pAq+—*qAp

68


Assim, p. cx., temos:

(i) x1Ax>O=x>OAx1

(ii) ir>3 A n<4e=*ir<4 A ir>3

(iii) > 1 A <3 <3 > 1

(e) Associativa: (p A q) A r p A (q A r)

Dem. (um efeito, são idénticas as tabelas-verdade das proposições (p A q) A r

e p A (q A r):

Observe-se que a bicondicionai (p A q) A r —+p A (q A r) é tautológica.

Assim, p. ex., ternos:

(i) (ab Ab_c)Ac<d=ab A(b*cAc<d)(ii) (x*OAX>1)Ax<3=x_OA(X>1Ax<3)

(d) Identidade:

Dem. Com p, p A e e e, lógicas:

pAtp e pAc>c

efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições p A t e ou seja, as bicondicionais p A t 4— p e p A e *—* e são tauto

V F V FF V F F F

v vv v

Estas propriedades exprimem que t e e são respectivamente elemento neutro eelemento absorvente da conjunção.

vvvvF

FFF

vvFF



vvFF

vFvF

vF

vF

vvF

FFFFF

vFFFFF

Ft

vF

FF

vFFF

vFFFFFFF



-t

1 e PÁ t PÁ e pÁ t+—p PÁ

pqrpA

q(pAqjAr

qA

r

pA(qr

)


69


(i) x*lAIxIO.=x*l

(ii) x_1AxI<O=IxI<O2. PROPRIEDADES DA DISJUNÇÃOSejam p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições tambémsimples cujos valores lógicos respectivos so V(verdade) e F(falsidade).

(a) Idempotente: p v p pDem. Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições p v p e p,

ou seja, a bicondicional p v p —* p é tautológica:


v vF F

t t

(i) x_OVxO-=x*O

(ii) xlV xl=x1

v

v

(b) Comutativa: p v q q v pDem. Com efeito, São idénticas as tabelas-verdade das proposições p v q e

q V p, ou seja, a bicondicional p v q q V p é tautológica:




v vv vv vF F

(i) x#1vxO=xOvx_l(ii) a>bv b<c==b<cv a>b

vvvv

1 pvppvp_*p

vvFF

vFvF

1 p

q

pv

q

qv p

pvq÷—



÷qvp

70 EDGARD DE ALENCAR FILHO(c) Associativa: (p v q) v r pv (q v r)

Dem. Com efeito, são idénticas as tabelas-verdade das proposições (p v ci) v r e pv (q v r):

v v v v v v vV V F V V V VV F V V V V VV F F V V F VF V V V V V VF V F V V V VF F V F V V VF F F F F F FObserve-se que a bicondicional (p v q) v r ÷—÷ p v (q v r) é tautológica.

Assim, p. ex., temos:(i) (X_1VX2)VX<4=x_1V(X2Vx<4)(ii) (abVbc)vc<d4==a_bv(bcvc<d)

(d) Identidade: pVt=t e pVc.c=pDem. Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições p V t e t, pV c e c, ou seja, as bicondicionais pV t—*t e pVc÷—*p são tautológicas:p t e iLpvt pvc pv t—t pvc—*pV V F V V V VFVFVF V VEstas propriedades exprimem que t e e são respectivamente elemento absorvente e elemento neutro dadisjunção.Assim, p. ex., temos:(i) xl V xjO=xjO

(ii).x#1vIxJ<O=x_i(iii) x_OV x2 <O=x_O

pyq (pvqjvr qvr


71

3. PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃOSejam p, q e r proposições simples quaisquer.

(a) Distributivas:(i) pA(qv r)==(pA q)v(pA r)

(ii) pv(qAr)c=(pvq)A(pv r)

Dem. (i) Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições pA(qvr) e(pAq)v(pAr):



vvvFFF

FF

t

vvFFFF

FF

vF

vFFFFF

v v v vV V F VV F V VV F F FF V V VF V F VF F V VFF F F

Observe-se que a bicondicional p A (q v r) ÷—*(p A q) v (p A r) é tautológica.

(ii) Analogamente, são idénticas as tabelas-verdade das proposições p v (q A r) e (p v ) A (p V r):

vvvFFFF



F

1•

v

vvvvFFF

t

v

vvvvvFF

vvvvvF

vF

v v v vV V F FV F V FV F F FF V V V

F V F FF F V FF F F F

Observe-se que a bicondicional p v (q A r) —÷ (p v q) A (p v r) é tautológica. A equivalência (i) exprime que aconjunção é distributiva em relação à disjunção e a equivalência (ii) exprime que a disjunção é distributiva emrelação à conjunção.

v



vvvvF

FF

t

1

pqr qVr pA(qVr) pAq pAr (pAq)v(pAr)

pqr qr pv(qAr) pvq

pvr (pvq)A(pvr)

Assim, p. ex., segundo (i), a proposição:


“Carlos estuda e Jorge ouve música ou lê”

é equivalente à seguinte proposição:

“Carlos estuda e Jorge ouve música” ou “Carlos estuda e Jorge lê”

Segundo (ii), a proposição:

“Chove ou faz vento e frio”

(b) Absorção:

“Chove ou faz vento” e “Chove ou faz frio”

(i) pA(pvq).==:p(ii) pv(pAq)=p

Dem. (i) Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições

p A (p v q) e p, ou seja, a bicondicional p A (p v q) ÷—* p é tautológica:

(ii) Analogamente, são idênticas as tabelas-verdade das proposições p V (p A q) e p, ou seja, a bicondicional p v (p A q) ÷— p



é tautológica:

72

é equivalente à seguinte proposição:

vFvF

vvFF

tvvvF

vvFF

t

vvvv

vF

vF

vvFF



1

vF

FF

vvFF

t

vvvv

pvq

pA(pVq) pA(pVq)—÷p

pqpAq pv(pApv(pAp


73

(c) Regras de DE MORGAN (1806-1871):(i) -(pAq)--’pvq(ii) pvq)’==—pA’-qDem. — (i) Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições

—(p Aq) e ‘—pv —q:Observe-se que a bicondicional —(p A q) —p v —q é tautológica.(ii) Analogamente, são idênticas as tabelas-verdade das proposições --(p v q)

e —p A --q:

Observe-se que a bicondicional Hp V q) *—* --p A q é tautológica. As Regras de DE MORGAN ensinam:

(i) Negar que duas dadas proposições são ao mesmo tempo verdadeiras equivale a afirmar que uma pelo menos é falsa.



(ii) Negar que uma pelo menos de duas proposiçÕes é verdadeira equivale a afirmar que ambas são falsas.Estas Regras de DE MORGAN podem exprimir-se ainda dizendo que a negação transforma a conjunção em disjunção e adisjunção em conjunção.Assim, p. ex., segundo (i), a negação da proposição:

é a proposição:

“l inteligente e estuda”

vvFF

vFv

F

vF

F

F

FF

v

vF

vvv

t

F

v

Fv

F

vvv



vvvF

FFFv

t

FFvv

FvFv

FFFv

t

“Não é inteligente ou não estuda”

p q P A q —‘(p A q) —p ‘—q —p v —q

p q pq-

(pvq)-p

— q

—pA’-q

v v

V F

F V



F F

74

EDGARD DE ALENCAR FALHO

Segundo (ii), a negação da proposição:

“É módico ou professor”é a proposição:“Não é médico e não é professor”

NOTA As Regras de DE MORGAN mostram como é possível definir a disjunção a partir da conjunção e da negação. OU aconjunção a partir da disjunção e da negação:

p v q=—(---pA —q)

p A q --(--p v ‘-q)

4. NEGAÇÃO DA CONDICIONALComo p -÷ q ‘—p V q (Cap. 6, §3, Ex. 4), temos:

v q)==—.---’p A

ou seja:- q) p A qEsta equivalência também é demonstrada pelas tabelas-verdade das proposições — q) e p A q, que são idênticas:

V V V F F FV F F V V V

F V V F E F

F F V F V F NOTA A condicional p -÷ q não goza das propriedades idempotente,comutativa e associativa, pois, as tabelas-verdade das proposições p - p e p, p —* q e

q - p, (p -+ q) - r e p — (q -+ r) não são idênticas.5. NEGAÇÃO DA BICONDICIONALComo p q (p -+ q) A (q - p) (Cap. 6, §3, Ex. 5), temos:

q) A(—qVp)

pq

p-q (pq)qpAq


75

e, portanto:

ou seja:



q) -(--p v q) V V p)

q) (p A q) v (q A p)

-(p÷-_*q)=(p Aq)V (‘--p A q)

Esta equivalência também é demonstrada pelas tabelas-verdade das proposições ÷— q) e (p A ‘q) v (p A q), qUe sãoidênticas:As tabelas-verdade das proposições --(p —* q), p q e p q sãoidênticas:

Portanto, subsistem as equivalências:

q) p q p q

NOTA - A bicondicional p 4—* q não goza da propriedade idempotente, pois, é imediato que não são idênticas as tabelas-verdade das proposições p p e p, mas

goza das propriedades comutativa e associativa.

EXERCÍCIOS1. Demonstrar as propriedades comutativa e associativa da bicondicional, isto é:

vvF

F

F

vvF

t

vF

Fv

vF

vF

vvFF



F

vF

F

FvFv

FFvv

F

vvF

t

FF

vF

vFvF

vvFF

v

FvF

vF

F



v

F

vv

F

t

F

vF

v

F

v

vF

t

FF

vv

F

vvF

t

(a) p÷—qq4---*p

(b)

(p q) (p A ‘—q) v

(-p

A q)

p q p±—*q -(p+—*q) -q pq-p -p÷--÷q



762. Demonstrar por tabelas-verdade as equivalências:


(a) pqA r(pq) A(pr) (b) pqv r(pV (pr)Dem. — (a) Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições p — qA r e (p -± q) A (p —*

(h) Analogamente, são idênticas as tabelas-verdade das proposições p -+ q v (p-+q) v (p-r):

e

A equivalência (a) exprime que a condicional é distributiva à esquerda emrelação à conjunção e a equivalência (b) exprime que a condicional é distributivaà esquerda em relação à disjunção.A condicional não é distributiva à direita em relação a nenhuma dessas duasoperações (conjunção e disjunção).

3. Dar a negação em linguagem corrente da proposição: “Rosas são vermelhas e violetas são azuis”.

INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA II

Resolução Denotando por p a proposição “Rosas são vermelhas” e por q a proposição “Violetas são azuis”, a proposiçãodada sob forma simbólica escreve-se “p A q”, cuja negação é “—(p A q) —p v ‘—‘q”. Logo, a negação da proposição dadaem linguagem corrente é:“Rosas não são vermelhas ou violetas não são azuis”4. Dar a negação em linguagem corrente de cada uma das seguintes proposições:(a) I falso que não está frio ou que está chovendo.(b) Não é verdade que o pai de Marcos é pernambucano ou que a mãe é gaúcha.(c) Não é verdade que as vendas estão diminuindo e que os preços estão aumen tan do.(d) Não é verdade que Jorge estuda Física, mas não Química.5. Demonstrar as seguintes Regras de DE MORCAN para três componentes:(a) (p A q A r) p vq v r (b) —(pvqvr)-pAqA--r 6. Demonstrar por “Indução matemática” as seguintes “Propriedades distributivas generalizadas”:

(a) p A (qi v q v ... Vq)=(p A qi)v (p A q2)v ... V (p A q)(b) pv(qIAq2A... Aqn)=(pvq1)A(pvq2)A... A(pvq)

Capítulo 8Método Dedutivo1. Todas as implicações e equivalências foram demonstradas até aqui pelo “Método das tabelas-verdade”. Vamos agoraexemplificar a demonstração de implicações e equivalências por um método mais eficiente, denominado “Método dedutivo”.

No emprego do “Método dedutivo” desempenham papel importante as equivalências relativas à “Álgebra das Proposições”,que, observamos, subsistem quando as proposições simples p, q, r, t (verdadeira) e c (falsa), que nelas figuram,são

substituídas respectivamente por proposições compostas P, Q, R, T (tautolegia) e C (contradição).

2. EXEMPLIFICAÇÃO(1) Demonstrar as implicações:(i) cp (ii) p=tonde p é uma proposição qualquer e e e t são proposições cujos valores lógicos respectivos são F(falsidade) e V(verdade).



Dem. Temos, sucessivamente:(i) c-+p--c Vp=tvpt(ii)Observe-se que as tabelas-verdade de e —÷ p e p —* t mostram que estascondicionais são tautológicas:

p c t c-+p p-÷t

V FFF

V

V

VV

VV


(2) Demonstrar a implicação: p A q p (Simplificação)Dem. Temos, sucessivamente:

P A q-p==(p A q)v p=(--pv q)v p=(-pv p)v q

=Tv ‘—q=T(3) Demonstrar a implicação: p p v q (Adição)Dem. Temos, sucessivamente:

p-p v qp v (p V q)(’p v p) v qT v qT

(4) Demonstrar a implicação: (p -÷ ci) A p q (Modus ponens) Dem. Temos, sucessivamente:

(p-q) A pp A (p Vq)4=(p A ‘—‘p)V (p A q)=CV (p A q) p A i q

(5) Demonstrar a implicação: (p -+ q) A q ‘-p (Modus toliens) Dem. Temos, sucessivamente:(p—q)A q=(pv q)A q==Q’pA ‘q) V(qVq)

(p A V Cp A

6) Demonstrar a implicação: (p v q) A p q (Silogismo disjuntivo)Dem. Temos, sucessicamente:

(p v q) Ap=(p A —p) v (q A ‘p)=C V(q A p)=q A pq

(7) Demonstrar a implicação: p A q p v qDem. Temos, sucessivamente:

(—p v p)v (—q v q)T V TT

(8) Demonstrar a implicação: p q -* pDem. Temos, sucessivamente:

p-(q-p)=-pv (q-p)’-pv (-qv p)’=(-p v p)V —q

4=TV q4=T(9) Demonstrar a implicação: p —p - qDem. - Temos, sucessivamente:

p-*(»p--q)=---pv (—p-*q)-pv(--.--’p v q)=p v(p v

v p) V q=T v

80 EDGARD DE ALENCAR FILHO(lO) Demonstrar a implicação: p —q p A r —* qDem. Temos, sucessivamente:

(p-q)_*(pAr-÷q(p--*q)v(pAr.÷q)

-(-p v q) v (—(p A r) v q)

=(‘—-p A q) v((-pv -r) v q)



==(p A -‘-ci) V ((‘-p v q) V —r)

=(p A “—q) v -‘-(p A ‘-q))v -‘-r

=T V —r4=T(II) Demonstrar a equivalência: p — q : p A -‘—q -÷ e (Redução a absurdo)Dem. Temos, sucessivamente:

p Aqc(pA oJ V c(pA V q)

—p V qp-*q

(12) Demonstrar a equivalência: p — q p V q —* qDem. Temos, sucessivamente:(-‘-pVq)A Tpvqp-q

(13) Demonstrar a equivalência: (p -* q) A (p - -“q)Dem. Temos, sucessivarnente:(p q) A (p q) (-‘-pv q) A (p v v (q A q)

==—pV C=—p(14) Demonstrar a equivalência: p A q -* r p —* (q — r) (Exportação-Importação) Dem. Temos, sucessivamente:

p-(q-r)pv(q-*r)==-.-p V(’-q v r)=(—pv ‘—q)v r -‘-(p A q) v r p A q -+ r

(15) Demonstrar a equivalência: (p - r) A (q —* r) pv q —*

Dem. Temos, sucessivamente:(p-+r) A(q-÷r)==(—pv r)A (—qv r)==(-’--p A -‘-q)V r

-‘-(p v ci) v r pv q -+ r

(16) Demonstrar a equivalência: (p -÷ q) v (p -* r) p -+ q v r Dem. Temos, sucessivamente:

(p-+q) v (p—*r) =(—p V q) V (-.-p v r)(—p v -‘-p) v(q v r)

p v (q v r)p q V r


(17) Demonstrar a equivalência: (p -÷ r) v (q -*s) p A q —* r V s Dem. Temos, sucessivamente:

(p-÷r) v (q—*s) =(-p V r) v (qv s)==(—p v —q)V (rV s)

‘—(pA q)v (rV s)pA q-.rV s(18) Demonstrar as equivalências:(a) p=pp(b) pAq(pp)(qlq)(e) pvq=(pq)(pq)

(d) p_*q((pp)4q)4((p4-p)4q)Dem. Temos, sucessivamente:(a)(h) p A qp A q—p q==(p p)(q q)

(c) p v (1’(’PA q)’-(p q)=(p q) 4 (p q)

(d) pqp v q(pA q)(p A q)q) (—p 4 q)=((p p) q) 4 ((p4’ p) 4’ q)(19) Demonstrar as equivalências:

(a) —p==ptp(b) pAq4=’(ptq)t(ptq)(c) pvq=(ptp)t(qtq)(d) p-+q==pf(qtq)

Dem. Temos, sucessivamente:(a) p-pv -p==pfp

(b) p A v -q)=(p t q)(p t q) t (pt q(c) pvqpvqpt-q==(ptp)t(qtq)

(d) p-q=pV q==—pV qptq=>pt(q q)3. REDUÇÃO DO NÚMERO DE CONECTIVOS



Teorema Entre os cinco conectivos fundamentais (‘—, A ,V , -÷,

três exprimem-se em termos de apenas dois dos seguintes pares:(1) e V (2) ‘—e A (3) —e -*

Dem. Com efeito:(1) A , —* e ÷—* exprimem-se em termos de e V

p A q —--p A —‘---q ‘-(p V -q)p_*qp V q

pq=(p-qJ A(qp)’—’(’--p v q) v —(---qv p))

82 ,inij iJ i,,r1 riLi-lu

(2) V , — e 4—* exprimem-se em termos de - e A

pvq—’-pV-q-(---pA----q)

p-*q--p v q—=--(p A ‘-q)

—q)A —(‘--‘p A ci)

(3) A ,v e ÷—÷ exprimem-se em termos de — e -*

p Aq=-=’-(--pV ‘q)’-(p-.-’ci)

p V q-----p V q-p-*q p÷—÷q=(p-*q) A(q-p)==---((p-÷q)--*’---(q-*p))Os conectivos A , V e —* não se exprimem em termos de ‘— e +—÷.

O conectivo v exprime-se em função unicamente de —* pela equivalência:

p v q=(p-*qj-÷q.Todos os Conectivos exprimem-se em termos de um único: ou f, conformemostrou A. M. SCHEFFER em 1913 (2, Ex. 18 e 19).4. FORMA NORMAL DAS PROPOSIÇÕESDefinição Diz-se que uma proposição está na forma normal (FN) se esomente se, quando muito, contém os conectivos - , A e VExemplificando, estão na forma normal (FN) as seguintes proposições:

—pA--q, --(--pv----u), (pAq)v(—qvr)Toda a proposição pode ser levada para uma FN equivalente pela eliminaçãodos conectivos —÷ e ÷—÷, se existirem, isto é, pela substituição de p —* q por

—p v q e de p ÷—÷ q por (—p v q) A (p v —q).Há duas espécies de FN para uma proposição: a forma normal conjuntiva(FNC) e a forma normal disjuntiva (FND), que a seguir vamos definir e exemplificar.

5. FORMA NORMAL CONJUNTIVADefinição Diz-se que uma proposição está na forma normal conjuntiva (FNC)se e somente se são verificadas as seguintes condições:(1) Contém, quando muito, os conectivos --, A e V

(2) — não aparece repetido (como —----) e não tem alcance sobre A e V (isto é, só incide sobre letras proposicionais);

(3) v não tem alcance sobre A (isto é, não há componentes do tipo p V (q A r)).


83

Exemplificando, estão na FNC as seguintes proposições: pv’-q, ‘-p AqAr, (pvA(’-qV--r)Para toda proposição pode-se determinar uma FNC equivalente mediante asseguintes transformações:(1) Eliminando os conectivos — e — mediante a substituição de p -* q por ‘p v q e de p 4—* q por (‘-p v q) A (p v —q);(2) Eliminando negações repetidas e parêntesis precedidos de pelas regras da “Dupla negação” e de “DE MORGAN”;



(3) Substituindo p v (q A r) e (p A q) v r pelas suas equivalentes respectivas (p v q) A (p v r) e (pv r) A(q v r).

b’xemplos: (1) Determinar a FNC da proposição —(ftp v q) A —q) v (q “ r)) Resolução Temos, sucessivamente:

-((p v q) A q)A —(q A r)=(—(p v q) V ‘—-q) A (‘-q v ‘r).= Observe-se que uma outra FNC da proposição dada é:

(‘p v q) A (—q v -r)

equivalente à anterior. Assim sendo, uma mesma proposição pode ter maisde urna FNC, mas equivalentes.(2) Determinar a FNC da proposição: (p -÷ q) 4—* (— q -* p)Resolução Temos, sucessivamente:

v q) V (q v -p)) A (Q—p v q) v —(q v p))

((—‘-p A q) v (q v —p)) A ((—p v q) v (—q A —-p))

((p A q) v (q v p)) A ((p v q) v (-q A p))

(pvqvp)A(qvqvp)A(—pv qv-q)A(--pv qvp)Observe-se que a proposição dada é tautológica, pois, cada elemento da sua FNC é tautológico. Realmente, o 19 elementocontém p e p, o 29 elemento contém q e -q, o 39 elemento contém q e —q, e, finalmente, o 49 elemento contém p eDe modo geral, é tautológica toda a proposição cujos elementos da sua FNC encerram, cada um deles, uma proposição e asua negação, isto é, cujos elementos são todos tautológicos.

84 EDGARD DE ALENCAR HLÍ-iu

(3) Determinar a FNC da proposição: p ÷—* q v ‘—‘r Resolução Temos, sucessivamente:

(p-(qv r))A((qv r)-p)(pvqvr)A(—(qvr)vp)

(— p v q V ‘- r) A ((‘ q Ar) v p)

(‘-pv qV ‘-r)A (Pv q)A (pv r)6. FORMA NORMAL DISJUNTIVADefinição Diz-se que uma proposição está na forma normal disjuntiva (FND)se e somente se são verificadas as seguintes condições:(1) Contém, quando muito, os conectivos — , A e V

(2) — não aparece repetido (como —) e não tem alcance sobre A e V (isto é, só incide sobre letras proposicionais);(3) A não tem alcance sobre v (isto é, não há componentes do tipo p A (q V r)).Exemplificando, estão na FND as seguintes proposições:

pvq, pv(qAr), (pAq)v(pAqAr)Para toda proposição pode-se determinar uma FND equivalente mediante asseguintes transformações:(1) Eliminando os conectivos —* e —÷ mediante a substituição de p -+ q por pvqedep+qpor(pvq)A(pv_);(2) Eliminando negações repetidas e parêntesis precedidos de — pelas regras da “Dupla negação” e de “DE MORGAN”;

(3) Substituindo p A (q V r) e (p v q) A r pelas suas equivalentes respectivas (p A qv (p A r) e (p A r) v (q A r). fremplos:

(1) Determinar a FN1 da proposição: (p -÷ q) A (q -÷ p)Resolução Temos, sucessivamente:

(p v q) A(qV p)((p v A q)v((pv qA p)

(pAv(qAv(_pAp)v(pAq)Observe-se que urna outra FND da proposição dada é (—-p A ‘—q) v (p A q), equivalente à anterior. Portanto, uma mesma

proposição pode ter mais de uma FND, mas equivalentes.


85



(2) Determinar a FND da proposição: —(((p v ci) A —ci) v (q A r)) Resolução - Temos, sucessivamente:

—((pv q) A q) A ——(qA r)=

(pvq)v)A(qV——r)——=

((pAv)A(qv——r)=—

(((-p A q) v q) A ——o) v (((—-p A-—q) v q) A -—-r)

Observe-se que uma outra FND da proposição dada é:(p A v (p A q A r) v (q A r)equivalente à anterior.Importa notar que é contraválida toda a proposição cujos elementos da suaFND encerram, cada um deles, uma proposição e a sua negação, isto é, cujos elementos são todos contraválidos.7. PRINCÍPIO DE DUALIDADESeja P uma proposição que só contém os conectivos —, A e V . A proposiçãoque resulta de P trocando cada símbolo A por V e cada símbolo v por A chama-se a dual de P. Assim, p. ex., a dual de —((p

A o) v —r) é —((p v q) A -—- r).

Princípio de dualidade: Se P e Q são proposições equivalentes que só contêm os

conectivos —— - A e v , então as suas duais respectivas P1 e Q1 também são equivalentes.

Assim, p. ex., da equivalência p A (p v q) p deduz-se, pelo Princípio dc

dualidade, a equivalência p v (p A q) p.Analogamente, a partir de (p A —p) v q q deduz-se, pelo Princípio dc

dualidade: (p v ——p) A q q.

EXERCÍCIOS1. Demonstrar as equivalências:

(a) p A (p v q) p (b) p v (p A q) pDem. — Temos, sucessivamente:(a) pA(pvq)(pvc)A(pvq)pV(cAq)pVcP

(b) pv(pAq)e=(pA t)v(pAq)=pA(t vq)==pAt=-=p

- - --

86 EDGARD DE ALENCAR FILHO2. Simplificar as proposições:

(a) (p q) (b) (p v q v (p A q)

Reso’ução Temos, sucessivamente:(a)

(b) (p vq)v (p A)=(—p A-q)V (‘-pA q)—pA(qV q) A T=—p

3. Simplificar as proposições:(a) ‘-(p v q) (b) A q)(c) &pvq) (d) (pvq)A p(e) (p-÷q)A (p-*q) (f) pA (p—÷q)A (p-q)4. Demonstrar a equivalência: p —* q ((p f p) t (p t p)) t (q t ci)

5. Usar o “Método dedutivo” para demonstrar:(a) pA--pq (b) -‘-p--pp(e) p-*p Aqp-q (d) (p-1-+q=p v q(e) (p-r)v(q-r)=p A q-÷r

(f) (p-÷q) (p- r)=p-q Ar 6. Demonstrar: ptq q))7. Determinar uma forma normal conjuntiva (FNC) equivalente para cada uma das seguintes proposições:(a) p-q (b) p—*’--p(e) p—+’--p (d) pvp(e) ptq (f) ptp



(g) pt-p (h) pq

(i) (p Ap)4(qAq) (j) (--p Aq) q(k) (ptq)÷—*p (1) -p(qvp)(m) pt-(q r) (n) ((-pt’-q))4(r-.—-p)8. Determinar uma forma normal disjuntiva (FND) equivalente para cada umadas seguintes proposições:

(a) (‘-pv—-q) (b) (p-.q)(c) (p-*q)i\ —p (d) ‘-(p v q)

(e) (p - c) v —p (f) (p A q)(g) pv p (h) p÷-+---p

(i) ptq (j) p4q(k) ptp (1) pt---p

Capítulo 9Argumentos. Regras de Inferência1. DEFINIÇÃO DE ARGUMENTO

Sejam P, P2 P (n 1) e Q proposições quaisquer, simples ou compostas.Definição Chama-se argumento toda a afirmação de que uma dada sequênciafinita P , P1 (n 1) dc proposições tem como consequência ou acarreta

uma proposição final Q.As proposições P1, P2, . . . , P dizem-se as premissas do argumento, e a

proposição final Q diz-se a conclusão do argumento.

Um argumento de premissas P1, P2 P e de conclusão Q indica-se por:P1,P2,...,PH—Qe se lê de uma das seguintes maneiras:

(i) “P1, P2, . ‘n acarretam Q”(ii) “Qdecorrede P1,P2(iii) “Qsededuzdc P,,P2,. - . ,P”

(iv) “Q se infere de P1 , P2, . . , P”Um argumento que consiste em duas premissas e uma conclusão chama-se silogismo.2. VALIDADE DE UM ARGUMENTO

Definição Um argumento P1, P, . . . , P 1— Q diz-se válido se e somente se

a conclusão Q é verdadeira todas as vezes que as premissas P1 , P2, . - , Pn 5O

verdadeiras.


Em outros termos, um argumento P1, P2, . . , P 1— Q é válido se e somente

se lï)r V o valor lógico da cbnclusão Q todas as vezes que as premissas P1, P2, .

tiverem o valor lógico V.Portanto, todo argumento válido goza da seguinte propriedade característica:A verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão.Um argumento não-válido diz-se um sofisma.Deste modo, todo argumento tem um valor lógico, digamos V se é válido(correto, legítimo) ou F se é um sofisma (incorreto, ilegítimo).As premissas dos argumentos são verdadeiras ou, pelo menos admitidas comotal. Aliás, a Lógica só se preocupa com a validade dos argumentos e não com averdade ou a falsidade das premissas e das conclusões.



A validade dc um argumento depende exclusivamente da relação existenteentre as premissas e a conclusão. Portanto, afirmar que um dado argumento éválido significa afirmar que as premissas estio de tal modo relacionadas com aconclusão que nfio é possível ter a conclusão falsa se as premissas são verdadeiras.

3. CRITËRIO DE VALIDADE DE UM ARGUMENfO

Teorema Um argumento P1, P2 P F— Q é válido se e somente se a

condicional:(P1 A P2 A ... A Pn)-Q (1)é tautológica.Dem. Com efeito, as premissas P1, P2, . . . , P são todas verdadeiras se e somente se a proposição P1 A P2 A . . . A P é

verdadeira. Logo, o argumento P1, P2 P i Q é válido se e somente se a conclusão Q é verdadeira todas as vezes que a proposição P1 A P2 A . . . A P é verdadeira, ou seja, se e somente se a proposição P1 A P2 A . .. A P implica logicamente a

Conclusão Q:

P1 A P2 A ... A P Q ou, o que é equivalente, se a condicional (1) é taútológica.

NOTA - Se o argumentoP1 (p, q, r , P(p, q, r,. . .) f— Q(p, q, r,...)é válido, então o argumento da “mesma forma”:

P1(R, 5, T , P1(R, S, T,...) — Q(R, S, T,...)também é válido, quaisquer que sejam as proposições R, S, T, . .

INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 89Exemplificando, do argumento válido pF—p V q (1) segue-se a validadedos argumentos:(—p A r) H—(-p A r) V (-s-÷ r);

(p-÷r v s)—(p--*r V s) V (‘-r As)pois, ambos têm a mesma forma de (1).Portanto, a validade ou não-validade de um argumento depende apenas da sua forma e não de seuconteúdo ou da verdade e falsidade das proposições que o integram. Argumentos diversos podem ter a mesma forma, e comoé a forma que determina a validade, é lícito falar da validade de uma dada forma ao invés de falar da validade de um dadoargumento. E afirmar que uma dada forma é válida equivale a asseverar que não existe argumento algum dessa forma com

premissas verdadeiras e uma conclusão falsa, isto é, todo argumento de forma válida é um argumento válido. Vice-versa,dizer que um argumento é válido equivale a dizer que tem forma válida.4. CONDICIONAL ASSOCIADA A UM ARGUMENTOConsoante o Teorcma anterior (3), dado um argumento qualquer:a este argumento corresponde a condicional:(P1 A P2A ... APn)*Qcujo antecedente é a conjunção das premissas e cujo consequente é a conclusão,denominada “condicional associada” ao argumento dado.Reciprocamente, a toda condicional corresponde um argumento cujas premissassão as diferentes proposições cuja conjunção formam o antecedente e cujaconclusão é o consequente.Exemplificando, a “condicional associada” ao argumento:

p A —q, p—>----r, qV sH— -..(r V s)e

(p A q) A (p-+r)A (qv —s)-—-(r v s)e o “argumento correspondente” condicional:(p-qVr)A--sA(qvr-s)-÷(s-*pA-q)e

p-+qVr, —s, qVr—*sH——s--pA’q

90 EDGARD DE ALENCAR FILHO5. ARGUMENTOS VÁLIDOS FUNDAMENTAISSo argumentos válidos fundamentais ou básicos (de uso corrente) os constantes da seguinte lista:1. Adição (AD):



(1) pi—pvq; (ii) pf—qvpII. Simplificação (SIMP):

(i) pA qi—p; (ii) p Aq—q

III. Conjunção (CONJ):

(i) p, q i— p A q; (ii) ), (J [— l A p

IV. Absorção (ABS):

p -* q F— p - (p A l)V. Modus ponens (MP):

p-+q, pF—qVI. Modus toliens (MT):p—*q, —qH—-pVII. Silogismo disjuntivo (SD):(i) pv q, --pi-----—q; (ii) pv q, —qH-—pVII!. Silogismo hipotético (SH):

p-÷q, q-÷rI---—p-+r

IX. Dilema construtivo (DC): p-+q, r-÷s, pVrI—qvs

INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 91X. Dilema destrutivo (DD):

p-÷q, r-*s, —qV---sI--——pV’--rA validade destes dez argumentos é consequência imediata das tabelas-verdadeconstruídas no Capítulo 5 e do Teorema anterior.6. REGRAS DE INFERÊNCIAOs argumentos básicos da lista anterior são usados para fazer “inferências”, isto é, exccutar os “passos” de uma dedução oudemonstração, e por isso chamam-se, também, regras de inferência, sendo habitual escrevê-los na forma padronizada abaixoindicada colocando as premissas sobre um traço horizontal e, em seguida, a conclusão sob o mesmo traço.1. Regra da Adição (AD);(i) P (ii) P

pvq qVplI. Regra de Simplificação (SIM?):(i) (ii) PA

pIII. Regra da Conjunção (CONJ):(i) (ii) Pq q

pq qApIV. Regra da Absorção (ABS):

p->q

p -* (p A q)V. Regra Modus ponens (MP):

p-q pq


VI. Regra Modus toilens (MT):p-qVil. Regra do Silogismo disjuntivo (SD):(i) pvq (ii) pvq1VIII. Regra do Silogismo hipotético (SH):

p÷qq-*r

p-*r IX. Regra do Dilema construtivo (DC):



p-*q pV r qV sX. Regra do Dilema destrutivo (DD):

p-*qr -÷ s‘—q v --s

‘—‘p V ‘-r Com o auxilio destas dez regras de inferência pode-se demonstrar a validade deum grande número de argumentos mais complexos.7. EXEMPLOS DO USO DAS REGRAS DE INFERÊNCIADamos a seguir exemplos simples do uso de cada uma das regras de inferênciana dedução de conclusões a partir de premissas dadas.1. Regra da Adição Dada uma proposição p, dela se pode deduzir a sua disjunção com qualquer outra proposição, isto é,deduzir p v q, ou p v r,ou s V p, ou t V p, etc.


Eemplos.(a) (1) p P (b) (1) p P

(2) pv --q (2) qv ‘--p(c) (1) p A q P (d) (1) p v q P

(2) (p A q) v r (2) (r A s) v (p v cij(e) (1) x_O P (f) (1) x<1 P

x*OV x_1 (2) x=2V x<1II. Regra da Simplificação —Da conjunção p A q de duas proposições se pode deduzir cada urna das proposições, pou q.

Exeniplos:

(a) (1) (p v q) A r P (b) (1) p A ‘—q P

(2) pvq (2) -q

(c) (1) x>OAx_1 P (d) (1) xEAAxEB P(2) x*1 (2) xAIII. Regra da Conjunção Permite deduzir de duas proposições dadas p e q (premissas) a sua conjunção p A q ou q A p(conclusão).

Exemplos:(a) (1) pV q P (b) (1) pV q P(2) --r P (2) qvr P

(3) (pv q)A—r (3) (pv q)A(qv r)

(c) (1) x<S P (d) (1) xEA P(2) x>1 P (2) xB P

(3) x>lAx<5 (3) xBAxEA


IV. Regra da Absorção Esta regra permite, dada uma condicionai como premissa, dela deduzir como conclusão uma outracondicional com o mesmo antecedente p e cujo consequente é a conjunção p A q das duas proposições que integram a

premissa, isto é, p -÷ p A q.

í:re’,nplos:

V. Regra Modus ponens Também é chamada Regra de separação e permite deduzir q (conclusão) a partir de p — q e p(premissas).



íxcmp1os:

(e) (1) x_O÷x+y>1 (2) x_O

(d) (1) —pv r-*sA--q

(2) -‘-pv r

VI. Regra Modus toilens Permite, a partir das premissas p - q (condicional) e —q (negação do consequente), deduzir como conclusão ‘—p (negação do antecedente).

(b) (1) p-----q

(2) q

(d)

94

(a) (1) x=2-+x<3

(2) x=2—*x=2Ax<3

P (b) (1) xEA-.xEAUB

P

(2) XEA-XEAAXEAUB

(a) (1) p--q P(2) p P

(b) (1) pAq-*r P(2) pAq P

(e)

(3) r

(3) LiA r

PP

p

P



(3) x+y>1

(f)

(3) xeA

Exemplos:(a) (1) qAr—*s P(2) ‘‘-s P

(e)

PP

(3) —‘p

(3) x=O

(3) “-q

(1) p-.qAr P

(2) p P

(3) sA-q

(1)

(2)xeAflB—*xEA xEAflB

P

P

(3) -(qA r)

(1) p—qVr P

(2) -(qvr) P

(3) p



(1)x_O-

÷xrryP

(2) x*yP


95

VII. Regra do Silogismo disjuntivo Permite deduzir da disjunção p v q dc duas proposições e da negação —p(ou —ci) de uma delas a outra proposiçãoq (ou p).

Jivemplos:

(3) pAq

(c) (1) x=Ovx=I

(2) x’_l

VIII. Regra do Silogismo hipotético — Esta regra permite, dadas duas condicionais: p -÷ q e q -÷ r (premissas), tais que o consequente da primeira coincide como antecedente da segunda, deduzir uma terceira condicional p —* r (conclusão)cujo antecedente e consequente são respectivamente o antecedente da premissa p — q e o consequente da outra premissa q — r (transitividade da seta

i-v(-nlp1os:

(a) (1) —p--*q P(2) —q—>--r P

(c)

(b) (1) —p-qvr (2) qvr-*----s

(3) —p--*---s

(d) (1) xI=O-*x=O(2) x=O—*x+1=l

PP



(3) IxI=O-*x+ll

1X. Regra do Dilema construtivo Nesta regra, as premissas são duas condicionais e a disjunção dos seusantecedentes, e a conclusão é a disjunção dosconsequentes destas condicionais.

P (b) (1) x<y—*x=2P (2) x<y-*x>2P (3) x<yvx<y

PPP

(a) (1) (pAq)vr (2) —r

P

P

(b) (1) —pV —q(2) ——p

P

PP

(d)

(3) x=O

(3) r

(3) (p—*q)--÷(qAs)

j)

Evemplos:

(a) (1) (p A q)——r

(2) s-+t(3) (pAq)vs

(4) —rVt

(4) x=2Vx>2



(3) —q

(1) —(p-

÷ci)vr P

(2) -.-(p-*q) P

(3) —p-*—r

(1) (p--ci)--*r P

(2) r-÷(qAs)P

96 EDGAAD DE ALENCAR FILHO

X. Regra do Dilema destrutivo —. Nesta regra, as premissas são duas condicionais e a disjunção da negação dos seusconsequentes, e a conclusão é a disjunçãoda negação dos antecedentes destas condicionais.I.Vctflp1os: (a) (1) —q-÷r P (b) (1) x÷y=7—*x=2 P

(2) p-*-s P (2) y—x=2-÷x=3 P

(3)-rV--s P (3) x2Vx3 P

(4) qvp (4) x+y_7Vy-x2EXERCÍCIOS

1. Construir a “condicional associada” a cada um dos seguintes argumentos:(a) —p, q-pH—q(b) p÷q—(pAq)

(c) p, p-+ q, ‘--q v (r A s)F—_ r As(d) x=yx5, x=Sx<zx=yx<7

2. Construir o argumento (premissas e conclusão) correspondente a cada uma das seguintes condicionais:

(a) p A(qV p)-.q (b) (p-+q)A (pÁ ‘-q)-*s

(c) (x<OAy_x)-+x<OV y=x3. Indicar a Regra de inferência que justifica a validade dos seguintes argumentos:(a) pq(pq)v r (b) pA(q-r)f_-_p(c) p-÷q, q-*’--r----- p—*’--r

(d) p-(q-÷r), pF—q-÷r (c)(qvr)-*-p, ‘-pF--—(qvr)

(f) p-+q, r---sf----_(p-÷q) A(r-*--s)

(h) p—qv rF—p-+pA(qv r)

(i) x+yzy+xz; x+yzy+xz

(j) x,yER-*x-i-yeR, x-t-yRt----—x,yR (k) xO, x_l—---x_OAx_1




(1) 3<5H—3<5V3<2

(m) x<OVx=l, x_1H—x<O

(n) x= 1 -+x<3, x<3-+x+y<5[—-——x= 1 -÷x+y<5

(o) ir>3Aii<45—g<44. Usar a regra “Modus ponens” para deduzir a conclusão de cada um dos seguintes pares de premissas:(a) (1) x=yAy=t (b) (1) x,yR—*xyER

(2) (x=yA y=z)-*x=z (2) x,yeR

(c) (1) (x>yA y>z)-÷x>z (d) (1) 2>l-*3>l

(2) x>yAy>z (2) 2>1

(e) (1) x+12 (f) (1) x-t-O=y-÷x=y(2) x+l=2—*y+l=2 (2) x+O=y5. Usar a regra “Modus toliens” para deduzir a conclusão de cada um dosseguintes pares de premissas:(a) (1) x_O—*x+y_y (b) (1) x=z-*x=6

(2) x+y=y (2) x6(c) (1) (p÷—*q)-÷-.-(rAs) (d) (1) x>3—*x>y

(2) —---(rAs) (2) x>y6. Usar a regra do “Silogismo disjuntivo” para deduzir a conclusão de cada um dosseguintes pares de premissas:

(a) (1) x+8=l2Vx_’4 (b) (1) y<6Vx÷y<lO(2) x+8_12 (2) x÷y<1O

(c) (1) s V (r A t) (d) (1) ‘--pv —q(2) —s (2) ——q7. Usar a regra do “Silogismo hipotético” para deduzir a conclusão dc cada um dos seguintes pares de premissas:(a) (1) p-÷rv---s (b) (1) x=3-÷x<y(2) r \‘ —s-÷t (2) x<y-*x*z(c) (1) sVt-÷rAq (d) (1) xy=6-*xy+511(2) rAq-*—-p (2) xy+511—*y=2

98 EDGARD DE ALENCAR FILHO8. Usar a regra do “Dilema construtivo” para deduzir a conclusão de cada um dos seguintes ternos de premissas:(a) (1) p-÷r (b) (1) x=5V x<y

(2) —‘q--*—-s (2) x=5-÷x>3(3) pv--q (3) x<y—*t<2(c) (1) y=O-+xy=O (d) (1) x=2-+x2=4

(2) y>l -÷xy>3 (2) x=2V y=3

(3) y=OVy>1 (3) y=z3÷y2=99. Usar a regra do “Dilema destrutivo” para deduzir a conclusão de cada um dos

seguintes ternos de premissas:(a) (1) p A q-÷r (b) (1) p—*---r A q(2) q-r As (2) —(—-r A q) v ‘-s

(3) ‘-rV —(r As) (3) -q-÷s(c) (1) x<3-.x_y (d) (1) y_9Vy_’l8

(2) x>4-*x<y (2) x=2-+y=9(3) xyvx<y (3) x=8-÷y=l8



Capítulo 10

Validade Mediante Tabelas -Verdade

1. As tabelas-verdade podem ser usadas para demonstrar, verificar ou testar a validade de qualquer argumento.Dado um argumento:

P1,P2,.. ,Pi—Q (1)

cumpre constatar se é ou não possível ter V(Q) F quando V(P1) V(P2) = V(P) = V. Para isso, o procedimento prático consisteem construir uma tabela--verdade com uma coluna para cada premissa e a conclusão, e nela identificar as linhas em que os valores lógicos das

premissas P1, P2, . , P são todos V. Nessas linhas, o valor lógico da conclusão Q deve ser também V para que o argumentodado

(1) seja válido. Se, ao invés, em ao menos uma dessas linhas o valor lógico da conclusão Q for F, então o argumento dado(1) é não-válido, ou seja, é um sofisma.Uma outra alternativa para demonstrar, verificar ou testar a validade do argumento dado (1) consiste em construir a“condicional associada”:

(P1AP2A ... AP11)-÷Q

e reconhecer se esta condicional é ou não uma tautologia mediante a construção da sua respectiva tabela-verdade. Sc esta condicional é tautológica, então o argumento dado (1) é válido. Caso contrário, o argumentodado (1) é um sofisma.

2. EXEMPLIFICAÇÃO

(1) Verificar se é válido o argumento: p -÷ q, q j—p Resolução Construamos a seguinte tabela-verdade:

4-3

p q p— *q

V

V

F

F

V

F

V

F

VFVV


As premissas do argumento dado figuram nas colunas 2 e 3, e a conclusão figura



na coluna 1. As premissas são ambas verdadeiras (V) nas linhas 1 e 3. Na linha 1 aconclusão também é verdadeira (V), mas na linha 3 a conclusão é falsa (F). Logo, oargumento dado não é válido, ou seja, é um sofisma, pois, a falsidade da conclusão écompatível com a verdade das premissas.Observe-se que esta forma de argumento não-válido apresenta certa semelhançacom a forma de argumento válido Modus ponens. Tem o nome de “Sofisma deafirmar o consequente”.

(2) Verificar se é válido o argumento: p -+ q, ----pi—— —qResolução Construamos a seguinte tabela-verdade:

As premissas do argumento dado figuram nas colunas 3 e 4, e a conclusão figura na coluna 5. As premissas são ambasverdadeiras (V) nas linhas 3 e 4. Na linha 4 a conclusão também é verdadeira (V), mas na linha 3 a conclusão é falsa (F).

Logo, o argumento dado não é válido, ou seja, é um sofisma.Observe-se que esta forma de argumento não-válido apresenta certa semelhançacom a forma de argumento válido Modus tollens. Tem o nome de “Sofisma de negar o antecedente”.(3) Verificar a validade do argumento: p ÷-÷ q, q 1— pResolução Construamos a seguinte tabela-verdade:4-1As premissas do argumento dado figuram nas colunas 2 e 3, e a conclusão figura na coluna 1. As premissas são ambas

verdadeiras (V) somente na linha 1, e nesta linha a conclusão também é verdadeira (V), isto é, não é possível ter premissasverdadeiras e conclusão falsa. Logo, o argumento dado é válido.

4-3

4-4

p q p-q ‘—p ‘—q

V

V

F

F

V

F

V

F

VFVV

FFVV

F

VFV

p

q

p*—÷q

V VV F

F VF F

VF

FV


(4) Testar a validade do argumento: p v q, p -* r 1— r Resolução — Construamos a seguinte tabela-verdade:



As premissas do argumento dado figuram nas colunas 4, 5 e 6, e a conclusão figura na coluna 3. As três premissas são verdadeiras (V) somente na linha 3, e nesta linha a conclusão também é verdadeira (V), isto é,não é possível ter premissas verdadeiras e conclusão falsa. Logo, o argumento dado é válido.

(5) Testar a validade do argumento:

Se x=O e y=z, entãoy>l

y>1

Portanto, y z

Resolução Representando as três proposições simples x = O, y = z e y> 1respectivamente por p, q e r, o argumento dado sob forma simbólica escreve-se:

pAq—r, ‘—ri—-----q

Posto isto, construamos a seguinte tabela-verdade:

101

4-3

4-8

p q r pv

q

‘—q p-÷r

V V V V F V

V V F V F F

V F V V V V

V F F V V F

F V V V F V

F V F V F V

F F V F V V

F F F F V V



p q r pq

pAq-r ‘--r — q

V V V V V F F

V V F V F V F

V F V F V F V

V F F F V V V

F V V F V F F

F V F F V V F

F F V F V F V

F F F F V V V

102 EDGARD DE ALENCAR FILHOAs premissas do argumento dado figuram nas colunas 5 e 6, e a conclusão figura na coluna 7. As premissas são ambasverdadeiras (V) nas linhas 4, 6 e 8. Nas linhas 4 e 8 a conclusão também é verdadeira (V), mas na linha 6 a conclusão é falsa(F), isto é, a falsidade da conclusão é compatível com a verdade das premissas. Logo, o argumento dado não é válido, ouseja, é um sofisma.

NOTA Para demonstrar que um argumento é não-válido basta encontrar um argumento da mesma forma e que tenha, noentanto, premissas verdadeiras e conclusão falsa. Esta maneira de demonstrar a não-validade dc um argumento chama-se“Método do contra-exemplo”.Fxcmplificando, o seguinte argumento tem a mesma forma do que foi dado:

Se 1 = O e 0 O, então 0> 10>1Portanto, O _ 0A primeira premissa é verdadeira (V), porque o seu antecedente é falso, e a segunda premissa é obviamente verdadeira (V),mas a conclusão é claramente falsa (F). Logo, este argumento é um contra-exemplo que prova que o argumento dado é não-válido (sofisma).(6) Verificar se é válido o argumento: —p -÷ q, p i— —qResolução A “condicional associada” ao argumento dado é:((—p-+q) A p)—*--qConstruamos a tabela-verdade desta condicional:

Na última coluna desta tabela-verdade figuram as letras V e F. Logo, a ‘condicional associada” não étautológica e por conseguinte o argumento dado não é

válido, ou seja, é um sofisma.Chega-se a mesma conclusão observando que as premissas do argumento dadosão ambas verdadeiras (V) na linha 1 e que nesta linha a conclusão é falsa (F).

p q p pq

(pq)A p q ((p A p)q

V V F V V F F



V

F

F

F

V

F

F

V

V

VVF

VFF

V

F

V

VVV


103

(7) Verificar se é válido o argumento: p -÷ q — p -* q V r Resolução - A “condicional associada” ao argumento dado é:

(p -* q) -+ (p —* q v r)

Construamos a tabela-verdade desta condicional:

4—5

4—7

Na última coluna desta tabela-verdade figura somente a letra V (verdade). Logo, a “condicional associada” étautoiógica e por conseguinte o argumento dado éválido.Chega-se a mesma conclusão observando que a premissa do argumento dado éverdadeira (V) nas linhas 1, 2, 5, 6, 7 e 8, e em cada uma destas linhas a conclusãoé verdadeira (V).


Se x=O, entãox-I-y=ySe y=z, entãox-I-y_yLogo, se x=O, entãoy#z

Resolução Representando as três proposições simples x = O, x -F y = y e y = z respectivamente por p, q e r, o argumento dadosob forma simbólica escreve-se:

p-÷q, r-÷---qj——p-*----r Então, a “condicional associada” ao argumento dado é:

(p -÷ a) A (r - ci) - (p -

p q r V V V

pq

qv r pq vr

(p(pqv r)

V V V V



V V F V V V V

V F

V F

V

F

FF

VF

VF

VV

F V VF V FF F VFFF

VVVV

VVVF

VVVV

VVVV


Posto isto, construamos a tabela-verdade desta condicional a fim de reconhecer

se é OU flUO uma tautologia:

4-64-74—8

Na coluna 5 desta tabela-verdade figura somente a letra V (verdade). Logo, a “condicional associada” étautológica e por conseguinte o argumento dado é válido.Chega-se ao mesmo resultado observando que as premissas do argumento dadosão ambas verdadeiras (V) nas linhas 2, 6, 7 e 8, e em cada uma destas linhas aconclusão também é verdadeira (V).


Se 8 não é par, então 5 não é primoMas 8 é par ______________________

Logo, 5 é primo

Resolução Cumpre, em primeiro lugar, passar o argumento dado para a forma simbólica. Representando por pa proposição “8 é par” e por q a proposiçãoé primo”, temos:

‘—p-+—-q, pi—q

Posto isto, construamos a seguinte tabela-verdade:

104

vvF



F

vFv

F

FFvv

FvFv

vvF

v

(

p- uj A (r -*

—

q)-* (p -* ‘—jr)

V VV VV FV FF VF VF VF V

V

V

FFV

V

FF

F

V

F

F

F

V

V

V

V F F V V FF V F V V VV V V V V FF V V V V VV F F V F VF V F V F VV V V V F VF V V V F V

FVFVFVFV

12

1 4 13

25

1

3

2



p

q

‘-p — q

p-+’--q


As premissas do argumento dado figuram nas colunas 1 e 5, e a conclusão figura na coluna 2. As premissas são ambasverdadeiras (V) nas linhas 1 e 2, mas na linha 2 a conclusão é falsa (F). Logo, o argumento dado é um sofisma, embora tenha

premissas e conclusão verdadeiras.(10) Verificar a validade do argumento:Se 7 é menor que 4, então 7 não é primo7 não é menor que 4Logo, 7 é primoResolução Seja p a proposição “7 é menor que 4” e q a proposição “7 é

primo”. Então sob forma simbólica o argumento dado escreve-se: p-÷-’--q, —-pi-—--qPosto isto, construamos a seguinte tabela-verdade:

As premissas do argumento dado figuram nas colunas 4 e 5, e a conclusão figura na coluna 2. As premissassão ambas verdadeiras (V) nas linhas 3 e 4, mas na linha 4 a conclusão é falsa (F). Logo, o argumento dado éum sofisma, embora tenha premissas e conclusão verdadeiras.(11) Verificar se é válido o argumento:Se 7 é primo, então 7 não divide 217 divide 21Logo, 7 não é primoResolução Representando por p a proposição “7 é primo” e por q a proposição “7 divide 21”, o argumentodado sob forma simbólica escreve-se: p-*’---q, qi—---p

p q — q

p-÷’-q ‘—p

V

V

F

F

V

F

V

F

FVFV

FVVV

FFVV

106 EDGARD DE ALENCAR FILHOPosto isto, construamos a seguinte tabela-verdade:

4-3As premissas do argumento dado figuram nas colunas 2 e 5. e a conclusão figura

na coluna 3. As premissas são ambas verdadeiras (V) somente na linha 3, e nesta

linha a conclusão também é verdadeira (V). Logo, o argumento dado é válido.

Observe-se que a primeira premissa e a conclusão deste argumento válido são proposições falsas.(l2) Verificar a validade do argumento:Se chove, Marcos fica resfriadoMarcos não ficou resfriado



Logo, não choveuResolução Representando por p a proposição “Chove” e por q a proposição “Marcos fica resfriado”, o argumento dado sobforma simbólica escreve-se:

p-q, —qI—--—-.p

e por conseguinte é válido, pois, tem a forma do argumento válido Modus tollens (MT).

(13) Verificar se é válido o argumento:

Se um homem é careca, ele é infeliz

Se um homem é infeliz, ele morre jovemLogo, carecas morrem jovensResolução Representando as proposições “Ele é careca”, “Ele é infeliz” e “Ele morre jovem” respectivamente por p, c e r, oargumento dado sob forma simbólica escreve-se:

p—q, q-4rI---—p--r

e por conseguinte é válido, pois, tem a forma do argumento válido Silogismohipotético (SH).

p

q

— p

q

p—*--q

V V F F

V F F V

F V V F

F F V V

r ‘v

‘s’

V


107


Se 8 é par, então 3 não divide 7Ou 5 não é primo OU 3 divide 7Mas 5 é primo

Portanto, 8 é ímpar

Resolução Representando as proposições simples “8 é par”, “3 divide 7” e “ é primo” respectivamente por p, q e r, oargumento dado sob forma simbólica escreve-se:

p—*--q, ‘--rvq, rH—--pEntão, a “condicional associada” ao argumento dado é:

((p—--q) A(—r v q)A r)---p

Posto isto, construamos a tabela-verdade abreviada de reconhecer se é ou não uma tautologia:

desta condicional a fim4-5



Na coluna 6 desta tabela-verdade figura somente a letra V (verdade). Logo, a “condicional associada” étautológica e por conseguinte o argumento dado é válido.Chega-se ao mesmo resultado observando que as três premissas do argumentodado são ao mesmo tempo verdadeiras (V) somente na linha 5, e nesta linha aconclusão também é verdadeira (V). Note-se que a segunda premissa e a conclusão deste argumento válido são proposições falsas.

Í

((

p-÷

—

q)A (—-r v

q

)A r) -

— p

VVVVF

FEF

F

F

V

V

V

V

V

V

FFVVFFVV

F

F

F

V

V

V

F

V

FVFVFVFV

V

V

F

V

V

V

F

V

V

V

FFV

V

FF

F

F

F

F

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V FV FV FV FV VV VV VVV

1 3 2 42 3 1 5 1 6 2


3. PROVA DE NÃO-VALIDADE

O método usual para demonstrar, verificar ou testar a não-validade de um dado argumento P1, P2, . . . , P 1— Qconsiste em encontrar uma atribuição de valores lógicos às proposições simples componentes do argumento que

torne todas as premissas P1, P2 P verdadeiras (V) e a conclusão Q falsa (F), o que equivale em encontrar urna linha databela-verdade relativa ao argumento dado em que os valores lógicos das premissas P1, P2 P são todos V e o valor lógico da

conclusão Q é F. l óbvio que, todas as vezes que seja possível encontrar essa atribuição de valores lógicos, sem aconstrução da tabela-verdade completa relativa ao argumento dado, evita-se uma boa parte de trabalho.

Exemplos:

(1) Demonstrar a não-validade do argumento:(p-÷q)V--(rAs), pVsF—r-÷qDem. Com a seguinte atribuição de valores lógicos às proposições simplescomponentes dc) argumento dado:V F

r p5 q

os valores lógicos das duas premissas são V e o valor lógico da conclusão é F, pois, temos:

l’ Premissa: (F -+ F) v (V A V) V V —V V V F = V



2’Premjssa: FV VVConclusão: V - F FLogo, o argumento dado é não-válido (sofisma).(2) Demonstrar a não-validade do argumento:

pv—q, -(--rAs), ‘-(‘-pA-.-s»----’-.-q-*r Dem. - Com a seguinte atribuição dc valores lógicos às proposições simplescomponentes do argumento dado:V F

p qr s

INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 109os valores lógicos das três premissas são V e o valor lógico da conclusão é F,

pois, temos:lPremissa: V V —FV V VV

2 Premissa: —(---F A F) HV A F) = —F = V3a Premissa: —(----V A —F) = ‘—(f A V) = —.-F VConclusão: —F -* F = V -* F = FLogo, o argumento dado não é válido (sofisma).

(3) Demonstrar que é não-válido o argumento: p A q-(p-+r)v s, p A rH—p v—qLJem. Atribuindo às proposições simples componentes do argumento dado osvalores lógicos indicados pela tabela:V F

p r q5resulta o valor lógico V para as duas premissas e o valor lógico F para aconclusão, pois, temos:laPremissa: VAV-+(V--F)V VV-÷FVVV-VV2 Premissa: V A -F V A V VConclusão: —V V —V = F V E = FPortanto, o argumento dado não é válido (sofisma).

(4) Demonstrar que é não-válido o argumento:(1) x_O

(2) x=Ov—(x<lVy>x)

(3) y>x-+y>l Ax+y>2

y>l-÷x<lDem. Atribuindo às proposições simples componentes do argumento dadoos valores lógicos indicados pela tabela:V Fy>x x=O

y>l x<l

x+y>2


resulta o valor lógico V para as três premissas e o valor lógico F para a conclusão, pois, temos:IPrcmissa: --F=V2’Prcmissa: FV —(FV —V)Fv ‘—‘(FV F)=FV—F=Fv VV3Premissa: VVAVV-÷VVConclusão: V -*F F

(5) Demonstrar a não-validade do argumento:

(1) x2—3x+2=9x=lvx2

(2) x=lVx2-3x>x2

(3) 3x>x2



3x>x2Vx=lDem. Atribuindo a todas as proposições simples componentes do argumento dado o mesmo valor lógico F, resulta o valor lógico V para as três premissas e o valor lógico F para a conclusão, pois, temos:1Premissa: F-FV FF-FV

2Premjssa: FV F-+FF--*FV3’ Premissa: --F = VConclusão: F V F = FEXERCÍCIOS1. Usar tabelas-verdade para verificar que são válidos os seguintes argumentos:(a) p-÷q, r-qF----—r-÷’--p(b) p-*--q, r-+p, qI——-r (e) p—*q, rv—q, ‘-tH-—--p(d) p-qvr, qI—_p-÷r (e) p-÷---q, p, q-+ri———r (f) pA-q, r-÷q—-pAr (g) pv(qvr), p, —rF——q

(h) p v q, —p, —(p A r) —* q— r

2. Verificar mediante tabelas-verdade que são válidos os seguintes argumentos:(a) p-q, q, —p-rAsf-——rAs(b) p-qAr, ‘-(qAr), -p-sh---------pAs

(c) p v cl, q - r, —r V si— s(d) pAq—*r, s-÷pAq, s[—qvr

(e) p v q, q -+ r, p -÷ s, —sj----—— r A (p v q)

INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 1113. Usar tabelas-verdade para mostrar a validade dos seguintes argumentos:

(a) (1) xrO-*x_y (b) (1) x=6-.x>y

(2) x=z-÷x=y (2) ‘—(y>5 A x_6)

(3) x=z (3) y>5-*x>yx#O :. x>y

(c) (1) x#y—*x_z (d) (1) y>x÷—.xO

(2) x_t-x_O (2) xyO÷—*xO(3) x=O (3) y>xx=y .. xy_O4. Demonstrar a não-validade dos seguintes argumentos pelo “Método de atribuiçio de valores lógicos”:(a) p—q, r-s, pv sF—qv r (b) —(p A q), —p A —q-÷r As, s-+r l—r (c) p—÷qVr, q.E—+pvr, r4—+pvq, —pF——qv r (d) p—*qvr, s+—÷r, pVqf—---pAq(e) (p-*q)-+r, r--’-SV t, (s-+t)-*u, u_p—*q(f) p-*(q-÷r), s-+(t-*v), q—*s A t, -(q Av)Hp—r

5. Passar para a forma simólica e testar a validade do argumento:Se trabalho, não posso estudar Trabalho ou passo em FísicaTrabalhei

Logo, passei em Física

Capítulo 11Validade Mediante Regras deInferência1. O método das tabelas-verdade permite demonstrar, verificar ou testar a validade de qualquer argumento,



mas o seu emprego torna-se cada vez mais trabalhoso à medida que aumenta o número de proposições

simples componentes dos argumentos. Assim, p. ex., para testar a validade de um argumento com cinco (5) proposições simples componentes é necessário construir uma tabela-verdade com 2 = 32 linhas, perspectivanada animadora.Um método mais eficiente para demonstrar, verificar ou testar a validade de um

dado argumento P1, P2, . . . , P —Q consiste em deduzir a conclusão Q a partir

das premissas P1 , n mediante o uso de certas regras de inferência.2. EXEMPLIFICAÇÃO(1) Verificar que é válido o argumento: p - q, p A r — qResolução Temos, sucessivamente:(1) p-÷q P(2) pAr P(3) p 2 —S1MP(4) q l,3—MPDa segunda premissa: p A r, pela Regra de Simplificação (SIMP), inferimos p. De p e da primeira premissa: p-+ q, pela Regra Modus ponens (MP), inferimos q, que é a conclusão do argumento dado.

INICIAÇÂOÀ LÓGICA MATEMÁTICA 113

Assim, a conclusão pode ser deduzida das duas premissas do argumento dado por meio de duas Regras de inferência, e por conseguinte o argumento dado é válido.(2) Verificar que é válido o argumento:

pAq, pvr-÷sI--—-pAsResolução — Temos, sucessivamente:(1) pq P(2) pv r-*s P(3) p 1 SIMP(4) pvr 3 —AD(5) s 2,4—MP

(6) p A s 3,5 CONJDa primeira premissa: p A q, pela Regra de Simplificação (SIMP), inferimos p. De p, pela Regra da Adição (AD), inferimos

p v r. De p v r e da segunda premissa: p v r -+ s, pela Regra Modus ponens (MP), inferimos s. De s e de p (linha 3), pela

Regra da Conjunção (CONJ), inferimos p A s, que é a conclusão do argumento dado.Assim, a conclusão pode ser deduzida das duas premissas do argumento dado por meio de quatro Regras de inferência, e por conseguinte o argumento dado é válido.(3) Verificar a validade do argumento:

p-÷(q--*r), p-÷q, pF—r Resolução — Temos, sucessivamente:(1) p-+(q--r) P(2) p-+q P(3) p P

(4) q—*r 1,3 MP(5) q 2,3—MP(6) r 4,5—MP

(4) Verificar a validade do argumento: p—*q, pAq-+r, HpÁr)l—-p

114 EDGARD DE ALENCAR FILHOResolução Temos, sucessivamente:(1) p-q P(2) pAq-÷r P(3) HpAr) P(4) p-+pAq 1 ABS(5) p-*r 2,4—SH(6) p—*pAr 5 ABS(7) --p 3,6—MT



(5) Verificar que é válido o argumento: pvq-*r, rvq-*(p-(s÷-+t)), pAsi—s÷--*.tResolução Temos, sucessivamente:(1) pvq-÷r P(2) rvq-(p-*(s4--÷t)) P(3) AS P(4) p 3 —SIMP

(5) pvq 4 —AD(6) r 1,5—MP(7) rvq 6 AD(8) p-÷(s4--÷t) 2,7—MP(9) s÷—+t 4,8 MP(6) Verificar que é válido o argumento:

p-+-q, —p-*(r-÷---q), (—.sv r)-+—---q, —s———’--r Resolução Ternos, sucessivamente:(1) p-*’-q P(2) —p-*(r--q) P(3) (—-s v ‘—jr) -* ‘--q P(4) P

(5) —sV’--r 4 —AD(6) 3,5 — MP

(7) 1,6—MT(8) r—*---q 2,7—MP(9) 6,8 — MT

INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 115(7) Verificar a validade do argumento:

pÁ q-’r, r-s, t-÷—-u, t, —sV ui——-(pÁ q)Resolução Temos, sucessivamente:(1) pAq-’r P(2) r—*s P(3) t-÷---u P(4) t P(5) —svu P

(6) —u 3,4 - MP(7) —s 5,6—SD(8) ‘—r 2,7—MT

(9) —(p A a) 1,8—MT(8) Verificar a validade do argumento:

p-+q, q—*r, s—*t, pVsI—rVtResolução — Temos, sucessivamente:(1) p—’q P(2) q-*r P(3) s-÷t P(4) pvs P(5) p-+r l,2—S1-i(6) rV t 3,4,5—DC(9) Verificar a validade do argumento:

p_*q, —r-.(s-*t), rv(pvs), —ri——qvtResolução — Temos, sucessivamente:(1) p-*q P(2) —r-.(s--t) P

(3) rv(pvs) P(4) —r _________

2,4 —MP3,4 —SD1,5,6 DC



(5) s—*t(6) pvs(7) qvt

116 EDGARD DE ALENCAR FILHO(10) Verificar que é válido o argumento:

p-*q, (p-r)-*s vq, p Aq-÷r, ‘-s—--—qResolução Temos, sucessivamente:(1) p-÷q P(2) (p-÷r)-÷svq P(3) pAq-r P(4) ‘s P

(5) P-pAq 1 ABS(6) p-÷r 3,5—SH(7) svq 2,6-MP(8) q 4,7 SD(11) Verificar a validade do argumento:

p - q, p v (—-r A —--a), s -÷ —r, —(p A a)F— —s vResolução Temos, sucessivamente:(1) p-*q P

(2) pv(-rA------q) P(3) s-÷----r P

(4) —(pAq) P

(5) p-pAq 1 -ABS

(6) —p 4,5 MT

(7) ——-rA —---q 2,6—SD(8) ——-r 7 SIMP(9) —s 3,8 - MT(10) -sv—-q 9 —AD(12) Verificar a validade do argumento:

p—*r, q—+s, —-r, (pv qA(rvs)sResolução Temos, sucessivamente:(1) p-+r P

(2) q-±s P(3) —r p

(4) (pvq)A(rvs) P(5) pvq 4 SIM?(6) rV s 1,2,5 DC(7) s 3,6 SD

INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 117(13) Verificar que é válido o argumento:

p-q, q-*r, r-÷s, s, pVtI—tResolução Temos, sucessivamente:(1) p-q P(2) q-+r P

(3) r-*s P(4) —s P

(5) pvt P(6) p-r 1,2—SH(7) p-÷s 3,6 SH(8) —p 4,7- MT(9) t 5,8 SD(14) Verificar que é válido o argumento:(p-q)A (r—*s), t—*u, u-*v, qv -vH—-pv --tResolução Temos, sucessivamente:



(1) (p-+q)A (r-÷s) P(2) t-u P(3) u-*v P(4) —qV----v P(5) t-v 2,3 SH(6) p-q 1 —SIMP(7) —pv —t 4,5,6 DD

(15) Verificar a validade do argumento:x=y—*x=z, x=z-÷x=1, xO-÷x#1, x=y[—x_OResolução - Temos, sucessivamente:

(1) x=y-*x=z P(2) x=z-÷x=1 P(3) x=O-÷x#1 P(4) x=y P(5) x=y—*x=1 1,2—SH(6) x=1 4,5 MP

(7) x_O 3,6 MT

118 EDGARD DE ALENCAR FILHO(16) Verificar a validade do argumento:

Se x=y,entox=Se x=z,entãox=t

Ou x=y ou xOSe x=O,entãox+u=1Mas x+u_IPortanto, x =tResolução Temos, sucessivamente:(1) x=y-÷x=z P

(2) x=z-÷x=t P

(3) x=yVx=O P

(4) x=O-*x+u1 P

(5) x+u_1 P

(6) x=y-÷x=t 1,2 SH(7) x_O 4,5 MT

(8) x=y 3,7 SD

(9) x=i 6,8- MP(17) Verificar que é válido o argumento:

x=y-÷x=z, x_y-÷x<z, x<zv y>, y_zA x_iI—y>z Resolução — Temos, sucessivamente:

(1) x=y—*x=z P

(2) x_y-÷x<z P

(3) x<zvy>z P

(4) y_zAx#z P

(5) x_z 4 SIMP(6) x_y 1,5 MT

(7) x<z 2,6 MP

(8) y>t 3,7 SDEXERCÍCIOS1. Usar a regra “Modus ponens” para deduzir de cada um dos seguintes temos de premissas a conclusão indicada:(a) (1) p-÷q (b) (1) p_*q

(2) q—r (2) p(3) p (3) —q-r



r r


119

(e) (1) p—*qA r(2) qAr-*s

(3) p

(d) (1) —p-*qvr (2) sVt-÷--p

(3) sVt qvr

(b) (1) x+12 (2) x-t-1=2--*y-F1=2 (3) y+l=2-*x=y

(c) (1) x+O=y-*x=y (2) x+O=y(3) x=y-÷x+2=y+2 xi-2=y-t-2

(d) (1) (a>bAb>c)—*a>c

(2) a>bAb>c(3) a>c-÷a>lO:. a>lO

3. Usar a regra “Modus ponens” para deduzir de cada um dos seguintes conjuntos de premissas a conclusão indicada:

(a) (1) (a=bAh=c)—*ac (b) (1) p—*.---q

(2) a=c—*c=a (2) p

(3) a=bAb=c (3) —-q--r

CI

(4) r-—-t

(c) (1) pvq

(2) p Vq-’f

(3) ‘--r-+sA—-t

(4) sA—.-t-*uVvuvv

(d) (1) -p-+q (2) q—*r (3) ‘p(4) r—*----s(5) --‘s—*t(6) t—*uu

4. Usar as regras “Modus ponens” e “Modus toilens” para deduzir de cada um dosseguintes conjuntos de premissas a conclusão indicada:(a) (1) p—*q P (b) (1) p-*’--q P



(2) —p-÷r P (2) -‘-q P(3) -q P (3) —p — r A 5 P

2. Usar a regra “Modus ponens” para deduzir de cada um dos seguintes ternos de premissas a conclusão indicada:(a) (1) 2>l-+3>1(2) 3>l—*3>O

(3) 2>1 _________________—

3>0 .. x=y

r

rAs

120


(e) (1) p-+q P (d) (1) x#O-*y=1 P(2) q-÷—-’-r P (2) x=y-÷y=t P(3) s---r P (3) y=t-*y_1 P(4) p P (4) x=y Px=O5. Usar as regras da “Conjunção”, “Simplificação”, “Modus ponens” e “Modus tollens” para verificar que são válidos osseguintes argumentos:(a) pAq, p-÷rI-——pAr

(b) -pAq, r-*p----pA-r(e) r-÷p, r-÷q, rI—pAq(d) -p-÷q, -(rA s), p-+rA sF—-pA q6. Usar a regra do “Silogismo disjuntivo” para verificar que são válidos os seguintes argumentos:

(a) p v q, ‘---r, q-*r _—p (b) p A q, rv s, p-÷—-si—— r

(c) p, p-’-q, qv rf—pA r (d) ‘-p, p v(qV r), ‘-r--—-q(e) pv ‘—q, -‘q, p-*r A sH—s7. Usar a regra do “Silogismo disjuntivo” para deduzir de cada um dos seguintes ternos de premissas a conclusão indicada:

(a) (1) x=y v x=z (b) (1) x_O-*x_y

(2) x=z-+x=6 (2) x=yvx=z

(3) x#6 (3) x_z x=y :. x=O(c) (1) l+12A2+13 (d) (1) x=Ovx=y

(2) 3—2=1 v2—l*1 (2) x=y-*x=z

(3) l+l=2-÷2—l=l (3) x_z 3—21 .. x=O8. Verificar que são válidos os seguintes argumentos:(a)r-÷pvq, r, ‘-pF—-—q(b)p-+--q, -‘---q,(c) pAq, p-*r, q-÷s[--——rAs(d)p-÷q, q-÷’--r, pI—’-r (e)p-÷q, -q, —p-÷rF—--—r (f) p-÷q, p-÷r, p —q Ar

1




121

(g)p-*q, ‘—q, pvri—r(h)pv ‘--q, r-÷--p, r—’--q(i) p v -q, —--q, r -÷ p [___—r (j)p——-q, -‘---q, ‘p-÷rvs1—_rvs(k) —pv —‘--q, ‘--‘---p, -r--qF—--—-—r (1)p-+--qA r, p, s-±q, SV tI—t(m)pAq, p-r, rAs-÷--t, q—*s_—-t9. Verificar que são válidos os seguintes argumentos:

(a) (1) x+8l2Vx_4

(2) x4Ay<x

(3) x+8= 12 A y<x-*y+8<12

y-t-8<12

(b) (1) x+2<6-÷x<4

(2) y<6vx-i-y<1O(3) x+y<lOAx+2<6x<4Ay<6(e) (1) xy—*x*y+3

(2) x=y+3Vx+2y

(3) x+2*yAx=5

x5Ax_y

(d) (1) x<yvxy

(2) x=y-*y_5

(3) x<yAy=S-+x<5

(4) y5

x<5

(e)(1) 3x+2yl8Ax+4y16(2) x2—3x+2y_18(3) x2V y3(4) x_4.-*y*3x4

(f) (1) x+2>5-x4 (2) x4-÷x+4<7(3) x+4<7

(4) x+2>5V (5—x>2A x<3)

4

x<3


(g)(I) x>5-*x=6Vx>6

(2) x_5Ax<5-*x>5

(3) x<5—*x_7

(4) x=7Ax_6

(5) x=7—*x_5 x>6



lO. Usar a regra da “Adição” para verificar que são válidos os seguintes argumentos:(a) pvq, p-r, --rF--—qvs(b) pA’--q, r-÷»-q, r-÷sI—--—sv--p(c) p, q-*p, “-qv r—>sH-—s(d) pAq-’s, r, r-÷pAql--——SVq(e) pA-q, r-*q, rvs, pvs-*tI----—tli. Usar a regra da “Adição” para verificar que são válidos os seguintes

argumentos:(a) (1) x>3Vy<4 (b) (1) x>yvx>5

(2) x>3-+x>y (2) x>5vy<6 (3) x>y (3) x+y1Axyy<4Vx>2 ...x>yvy<6(c) (1) x2-÷x<3(2) x_4Ax3

(3) x_z2Vx>4*x=5

x•=5Ax4

(e) (1) x—2=IA 2—x_1 (f) (1) x-f2#5V 2x6

(2) xl—2—xl (2) x+2*5-+x_3

(3) x lv x+25 (3) 2x—28--*2x_6

(4) x+25Vx—21-x3 (4) x+38A2x—28

x_3vx>2

(d) (1)(2)

(3)

y<6-*y<xy<6V x=5—y>x y4x

:. y=xvy>x

x3

12.

Deduzir de cada um dos seguintes conjuntos de premissas a conclusãoindicada:

(a) (1) sen3O’ = 0,5 —* csc30° 2(2) sen3O 0,5

(3) csc3O° 2 —* tg3O° =0,58

tg3O° 0,58 V cos60° 0,5


(b) (1) Dx3 3x2 A D3 = O(2) Dx3 — 3x2 —* Dx2 2x(3) Dx2 2x V Dx3 = 12-÷x2x=2(c) (1) y<4Ax=y÷3(2) -(x*y+3)--.x>2



(3) y>2-*x>2(4) y>2Vy=3-+x>5

y<3V x>5

(d) (1) x=yv x<y

(2) y=x-s-4(3) (x<3V x>5)A y=x÷4-*y_8

(4) x#y

(5) y6v x<y-+x<3

(x4V y8)A x <3

13. Usar a regra do “Silogismo hipotético” para verificar que são válidos os seguintes argumentos:

(a)(1) 5x—43x+4-*5x3x+8

(2) 2x8—*x4

(3) 5x3x+8-÷2x8

5x—43x+4-*x4

(b) (1) x*y+y<x

(2) (x>5-+y<x)-+y=5 (3) y5Vx=6

(4) x>5-÷x_y

x=6V x>6

(c) (1) z=5—((y=3-+y+z=8)A z>y)(2) (xy÷z=11-+x=2)-(y=3A z=5)(3) xy=6-+x=2(4) xy÷z=11-+xy=6y+z=8

124 EDGARD DE ALENCAR FILHO(d) (1) 5x=20-÷x=4

(2) 2x6Vx_3(3) (5x-3= l7—.x=4)-*2x#6(4) 5x—3=17--*5x=20

x#3Vx<4

(c)(I) (x+y=5—*y3)Vx+z=3

(2) z*l v (x+z=3—*xi-y=5)

(3) x-i-y_5Az=l

x+z=3-÷y=3

(f) (1) x=3—*x>y

(2) x_3-÷zrr5(3) (x=3-*x<z)-*x<z

(4) x>y-*x<z z=5vz>514. Usar a regra do “Dilema construtivo” para verificar a validade dos seguintes argumentos:(a) (1) 2x+y’=7—*2x=4(2) 2x÷y=5-÷y=l

(3) 2x+y=7V2x+y=5

(4) 2x_4y=1

(b) (1) xL6÷(x=2Vx=8)

(2) 2x+3y=2lAx_6

(3) xr2-÷y=9

(4) x=8—*yzl

y=lvy=9

(c) (1) x>5Vy<6

(2) y<6-+x<z



(3) x>5-+y<z

(4) y<zAz6

x<zvz=6

INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÃTICA 125(d) (1) y=O-÷xy=O(2) y=Ovy<1(3) xy=OVxy>3-*x*4

(4) y<1-÷xy>3x_4Vx>y(e) (1) x<yvy<x(2) y<x-+x>6(3) x<y-*x<7

(4) (x>6Vx<7)-+y>11(5) y>11v x<Ox<OVy<12(í) (1) 2x2—lOx+12OAx<4(2) x2—5x+6O-x2vx3

(3) x=2-+x2=4

(4) x=3-*x2=9(5) 2x2 — IOx+ 120-*x2 -5x+60 x2r4Vx2=9(g) (1) x=5V x<y(2) x>3vz<2-+z<xvy=1

(3) x<y-*z<2

(4) x=5-*x>3

(5) z<x-÷x=4 (6) x>3vz<2-+y_1x4

(h) (1) (y=5x<y)A x>1

(2) y>5Vy=5

(3) x<yVy>4-+x+1>yAy<9(4) y>5-*y>4 x+1>yVx>415. Verificar a validade de cada um dos seguintes argumentos:(a)pA-q, qv —jr, s-÷rI—--—pA —s(b)pv—q, ‘—q-÷r, p—*s, —r[——s

(c) pq, pv (sA t)s(d)pvq, qr, ps, SrA(pvq)(e) pv q, trA t(f)p—---q, pv r, r-÷--q, s-q, t[—--sA t(g)’-..p-*q, q-rA 5, p-*t, —-tF——s

(h)pvq, q-*r, -‘-rf---—p

(i) p—q, —qA r, —r-*sf———pA S

(j)p—*c, pv r, ‘-rF---—qvs

(k) p-q, q-÷r, (p-*r)-÷..-s, 5V tf—t

(Upv--q, ‘—r, p—*r, —q-s---—s



(m)r-÷t, s-*q, tvq_*p,rvs__..p(n) (ps)t, rtr

(o)pv q-÷--r, s-÷p, t-+q, SV tft—uV ‘r

16. Verificar que são válidos os seguintes argumentos:

(a) (1) x=y x>y

(2) x<4v x4z

(3) x=y—x<z

(4) x>y-+x<zx<4

(b) (1) 2x+y5-*2x=2 (2) 2x+y5Vy=3

(3) 2x=2-+xr,1

(4) y=3-÷2x=2

x=

(c) (1) x<3Vx>4

(2) x<3-+x_y

(3) x>4-+x_y

(4) x<yvx*y-*x_4Ax2 x=2

(d) (1) x=3-*2x218(2) x=3vx=—3

(3) x—3-÷2x218

(4) 2x218+x2=9

x29

126


INICAÇÂO À LÓGICA MATEMÁTICA

27

(e) (1) z>x—*x_7 (2) x<6vx=3

(3) x=3-+z>x

(4) x<6-÷z>x (5) x=7V x=5

x=5 x=3V x=4

x =3 -* x2 — 7x + 12 =O

x = 4 —* x2 — 7x + 12 O

x2 7x ÷ 12 O -+ x > 2



x2 <9 -+ x > 2x2 <9-÷x2 =9V x2 >9

(f) (1)

(2)(3)

(4)(5)

(6)

(g)

(Ii) (1) x= —senx=

(2) x=-- V x= (3) senx=-— -÷cscx=2

(4) x = — senx =+COSX = v cscx =2(i) (1) x+2y5V3x+4y11

(2) x>y v x <2 -+y<2 v y <1(3) 3x+4y11—*x=1(4) x>yvx<2(5) x+2y5-+x=1x=1A(y<2Vy<1)

= 9 v x2 > 9

(1) x>yv x<4

(2) x<4-x<yA y<4

(3) x>y-+x=4

(4) x_4

:. x<y


1 7. Usar as Regras de Inferência para mostrar que são válidos os seguintes argumen tos:(a) pv q—*---r, p, s-÷rF-——’-s(b) pA (qv r), qv r—*—-s, SV tF—t(c) p v q —* —r, q, s A t -÷ r —---(s A t)(d) p-q, -q, —pv ‘—r-÷sF---—s

(e) pv (q r), q-*s, r-÷t, sA t—*pv r, —p————r (f)qv(r-t), q-+s, ‘—s-÷(t-+p), —sF——r-÷p(g)pvq-+(p--*sAt),pArf_-_tvu



Capítulo 12Validade Mediante Regras deInferênciae EquivalênciasJ. REGRA DE SUBSTITUIÇÃOHá muitos argumentos cuja validade não se pode demonstrar, verificar ou testar com o uso exclusivo das dez Regras deInferência dadas anteriormente (Cap. 7), sendo necessário recorrer a um princípio dc inferência adicional, a “Regra desubstituição” de proposições equivalentes seguinte:Uma proposição qualquer P ou apenas uma parte de P pode ser substituída por uma proposição equivalente, e a proposição Q que assim se obtém é equivalenteà P.2. EQUIVALËNCIAS NOTÁVEISA fim de facilitar o emprego da “Regra de substituição” damos a seguir urnalista de proposições equivalentes, que podem substituir-se mutuamente onde quer que ocorram:1. Idempoténcia (ID):

(i) p<=pAp; (ii) PPVPII. Comutação (COM):(i) pAq=qAp; (ii) PVqVPIII. Associação (ASSOC):(i) pA(qAr)=(pAq)Ar

(ii) pv(qv r)==(pv q)v r

130 EDGARD DE ALENCAR FILHOIV. Distribuição (DIST):

(i) PA(q v r)==(pA q)v (PA r)

(ii) p v (q A r)=(p v q) (pv r)

V. Dupla negação (DN):

p,-.-,---pVI. De Morgan (DM):

(i) pAq)-pv.-q

(ii) ‘(p q)==’—p A—q

VII. Condicional (COND):

p -* q —p V qVIII. Bicondicional (BICOND):(i) p÷—q==(p-*q) A(q-÷p)(ii) p—*q4=(pA qv (pA ‘-q)IX. Contraposição (CP):X. Exportação-Importação (EI):

p A q -+ r . p — (q -+ r)Estas equivalências notáveis constituem dez Regras de Inferência adicionais quese usam para demonstrar, verificar ou testar a validade de argumentos mais complexos.Urna importante diferença no modo de aplicar as dez primeiras Regras de lnlèrência e estas dez últimas Regras de Inferênciadeve ser observada: as dez primeiras Regras de Inferência só podem ser aplicadas a linhas completas de uma demonstraçãoou dedução, ao passo que as dez últimas Regras de inferência podem ser aplicadas tanto a linhas completas como a partes delinhas completas consoante a “Regra de substituição”.


Definição Dado um argumento P1, P2,.. , P 1— Q, chama-se demonstração ou dedução de Q, a partir das premissas P1, P2

Pn, toda a sequência finita de proposições X1, X2, . . . , Xk tais que cada X ou é uma premissa ou resulta de proposições



anteriores da sequência pelo uso de uma Regra de Inferência, e de tal modo que a última proposição Xk da sequência seja a

conclusão Q do argumento dado.3. EXEMPLIFICAÇÃO(1) Demonstrar que é válido o argumento: p -* —q, q — —pDem. Temos, sucessivamente:(1) p-—-q P(2) q P(3) —i-----p 1 —CP(4) q—*—-p 3 —DN(5) ‘—p 2,4 -- MP(2) Demonstrar que é válido o argumento: p - q, r -+ —q H— p — r Dem. - Temos, sucessivamente:(1) p-*q P

(2) r---q P(3) —--q-*---r 2 —CP(4) q-÷-r 3 DN(5) p—’--r l,4—SH

(3) Demonstrar que é válido o argumento: p v (q A r), p v q -+ s F—p V 5 Dem. — Temos, sucessivamente:(1) pv(qAr) P(2) pvq-s P

(3) (pv q)A(pv r)1 —DIST

(4) pvq 3 -SIMP(5) 5 2,4 MP

(6) pvs 5 AD


(4) Demonstrar que é válido o argumento: p v q — r A s, -s—— -q Dem. Temos, sucessivamente:

(1) pvq-÷rAs P

(2) --s P

(3) ‘—rv’---s 2. AD

(4) ‘—(rA s) 3 DM

(5) ‘—‘(pv q) 1,4- MT

(6) —pA—q 5 DM(7) —ci 6 SIMP

(5) Demonstrar a validade do argumento: “Se Londres não fica na Bélgica, então Paris não fica na França. Mas

Paris fica na França. Logo, Londres fica na Bélgica”.

Dem. Representando as proposições “Londres fica na Bélgica” e “Paris fica na França” respectivamente por p

e q, o argumento dado na forma simbólica escreve-se:

—p-+—q, qi-p

Posto isto, temos sucessivamente:

(1) -.-p-*.-.-q P

(2) q P

(3) —---pv -‘-q 1 --COND

(4) pv’—q 3 DN(5) —--‘q 2 —DN

(6) p 4,5- SD

Logo, o argumento dado é válido, embora sua conclusão seja uma proposição

falsa.

6) Demonstrar a validade do argumento:

(v —q)v r, —pv(q A’—p)f-——q-÷r

Dem. Temos, sucessivamente:



(1) (pv—q)vr P

(2) —pv(qA—-p) P

(3) (—p v q) A (—p v —p)2 DIST

(4) (—pvq)A---p 3 —ID

(5) 4 SIMP


133

(6) p v (—q v r) 1 ASSOC(7) —qvr 5,6 SD(8) q-+r 7 COND(7) Demonstrar a validade do argumento:(1) p-÷-q P(2) r-+q P(3) r P(4) —q---r (5) p-*—r (6) —r-*--p(7) r-*--p(8) —p(8) Demonstrar a validade do argumento: p-q, q÷—÷s, tV(rA—s)5—p-tDem. Temos, sucessivamente:(1) p-q P(2) q—s P(3) tv(rA-’-s) P

(4) (q--s)A(s-q) 2

(5) q-÷s 4 SIMP(6) p-÷s 1,5 SH

(7) (tVr)A(tv—s) 3(8) tv—-s 7(9) —sv t

(10) s-+t(11) p-+t 6,10—SH(9) Demonstrar a validade do argumento: “Se estudo, então no sou reprovado emFísica. Se não jogo basquete, então estudo. Mas fui reprovado em Física.Portanto, joguei basquete”.Dem. Representando “Estudo” por p, “Sou reprovado em Física” por q e“Jogo basquete” por r, o argumento dado sob forma simbólica escreve-se:

p--q, r-*q, r[—---pDem. Temos, sucessivamente:

2 - CP1,4 -- SH5 CP6 --DN3,7 - MP



BICOND

DISTSIMP8 COM9 COND

p-+q, —r-p, qI—r

134

Posto isto, temos sucessivamente:


(1) p—*----q(2) -r-*p

(3) cj(4) q(5) p(6) ‘——-rvp(7) rvp(8) r Logo, o argumento dado é válido.

PPP3 DN1,4 MT

2 COND6 ---DN

5,7 SD

(10) Demonstrar que é válido o argumento:

Dem. - Temos, sucessivamente:(1) pv(qAr)(2) p—s(3) s-r (4) p-+r

(5) (pvq)A(pvr)

(6) pVr(7) rvp(8) -‘-—-rvp(9) r-*p(10) —r-÷r (11) ‘—-rVr (12) rvr (13) r

p p



P2,3 SH1 -DIST

5 SIMP6 COM7 —DN8 —COND

4,9 — SH10 -COND11 —DN12 - ID

(11) Demonstrar que é válido o argumento: pAq--r, rV(sAt), p*qp_sDem. Temos, sucessivamente:

(1) pAq-*-r (2) rv(sAt)(3) p÷-q(4) (p-+q)A(q-*p)

(5) p-+q

PPP3 BICOND4. SIMP

pv(q Ar), p-+s, s-rF—--—r

/INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA

135

(6) p-÷pq

(7) p—+--r (8) (rvs)A(rVt)

(9) rvs

(10) ---r v s

(11) r-s(12) p-*s(12) Demonstrar que é válido o argumento:

(1) p-+q(2) r-÷s



(3) qv s—+-’t(4) t(5) - t

(6) —(q v s)

(7) qAs(8) -q

(9) ‘—s(10) --p(II) --r (12) —pA ---r

P p pP

5 ABS1,6 SH2 —DIST

8 —SIMP9 -DN10 COND7,11 SH

4 DN3,5 MT6 DM7 SIMP7 SIMP1,8- MT2,9 — MT10,11 — CONJ

(13) Demonstrar a validade do argumento: p—*q, q-+(p--*(rv s)), r÷—*s, ‘—(rAs)F—-———pDem. Temos, sucessivamente:(1) p—*q(2) q-÷(p-+(rvs)) P(3) r÷—*s P(4) --(rAs) P(5) (r As)V (‘--rA ‘--s) 3(6) --rA—-s 5

(7) --(rv s) 6 DM(8) p-*(p-*(rv s)) 1,2 SH(9) (p A p)-*(rv s) 8 EI(10) p-+rvs 9 - ID

(11) --p 7,10- MT

4w1. p-÷q, r-*s, qvs-÷--t, ti—---pA---r Dem. Temos, sucessivamente:



P

BICONDS1MP

1136 EDGARD DE ALENCAR FILHO(14) Demonstrar a validade do argumento:

p-+q, q-*r, r—*p, p- -r——pA ‘--r Dem. Temos, sucessivamente:(1) p-*q P

(2) q-*r P(3) r-+p P(4) p-÷----r P

(5) p-*r 1,2 SH

(6) (p—*r)A(r-÷p) 3,5—AD(7) p÷—*r 6 —BICOND

(8) (p A r) v (‘-.p A ‘—r) 7 BICOND(9) --pv--r 4 —COND(10) —-(pAr) 9 —DM(11) —p A —r 8,10 SD(1 5) Demonstrar que é válido o argumento:

pv q-÷r, rv s-+---t, tI——-qDem. — Temos, sucessivamente:(1) ‘---pvq-+r P(2) rVs-÷’--t P(3) t P(4)——-t 3 DN

(5) -(r v s) 2,4 — MT

(6) —rA--s 5 —DM(7) -r 6 — SIMP(8) —(‘--pv q) 1,7- MT(9) —--pA-q 8 DM(10) p—q 9 DN(11) --q 10 —SIMP(16) Demonstrar a validade do argumento:(1) x<6

(2) y>7v x=y-÷--.-(y4 A x<y)(3) y_4-x<6(4) x<6—*x<y

x*y




137

Dem. — Temos, sucessivamente:(1)(2)(3)

(4)(5)(6)

(7)(8)(9)(10)(11)

x<6

y>7V x=y-*-(y=4A x<y) y *4-*x6

x<6-.x<y

x<y

y=4

y4 AX<y

--(y=4Ax<y)

—(y >7 v x = y) y >7 A x_y Xr_y

Dem. Temos, sucessivamente:(1) y#IAy<l

(2) y>1—*y<lVy=1

(3) x=3V x>3

(4) x>3-+x_y

(5) x=3-x#y(6) x_yvx_y

(7) x_y

(8) y<l Ay#1

(9) -(y<1Vy=l)(10) y>I(Ii) x#yAy>l

(12) ‘(x=yvy>I)

validade do argumento:x = y -+xy = O +— x <y

x=0v xy=0—*y=O(x y -* y = 0) -+ x = O ‘-(x<yA x=1)

PPPP

P3.4,5



6

82,97,1011

P

P

pP

1,4

1,3— 5,67

2,8 — 9lo

MPMT

CONJ

DNMTDMSIMP

(17) Demonstrar a(1)

(2)(3)

(4)(5)

validade do argumento:

y*l Ay<l y >1 -+y <1 v y x=3V x>3x>3-x*yx=3-+x_y —

-‘(x=yV y>I)

DCIDCOM

DMMICONJDM

(18) Demonstrar a(1)(2)(3)



(4)

138 EDGARD DE ALENCAR FILHODem. Temos, sucessivamente:(1) x=y—*x<y p

(2) y=0*—÷x<y P

(3) x=OVxy=0-÷y=O P(4) (x=y-÷y=0)--*x=0 P

(5) (y=0-*x<y)A (x<y-+y=0) 2 BICOND

(6) x<y—*y=0 5 SIMP(7) x=y-÷y=0 1,6 SF1(8) x=0 4,7 MP

(9) x=Ovxy=0 8 AD

(10) yO 3,9 MP

(11) y0-.x<y 5 SIMP

(12) x<y 10,11 MP

(13) x4yvx_1 12 AD

(14) ‘-(x<yAx=I) 13 DM(19) Demonstrar a validade do argumento:

(1) x<yAy<z—*x<z

(2) (y<z-÷x<z)-i=3 (3) x<y

z=3Dem. Temos, sucessivamente:

(1) x<yAy<z-*x<z

(2) (y<z-÷x<i)-÷z=3 P

(3) x<y P

(4) x<y-÷(y<z--x<z) 1 EI

(5) y<z-.x<z 3,4 MP

(6) z=3 2,5 MP4. INCONSISTÊNCIADuas ou mais proposições que não podem ser simultâneamente verdadeirasdizem-se inconsistentes. Também se diz que formam um conjunto inconsistentede proposições.Um argumento se diz inconsistente se as suas premissas não podem ser simultãneamente verdadeiras (inconsistentes).

INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 139As proposições:

‘—(pv--q), pv—r, q—*r p. ex., são inconsistentes, pois, é impossível encontrar uma atribuição de valores às proposições simples componentes p, q er que torne essas três proposições compostas simultâneamente verdadeiras. Com efeito, construindo as tabelas-verdadedessas três proposições verifica-se que, em cada linha, pelo menos uma delas é falsa (F), isto é, não há uma só linha em que

admitam, todas, o valor lógico V.

Também se pode demonstrar que as três proposições dadas são inconsistentes deduzindo do seu conjunto uma contradiçãoqualquer, p. ex., do tipo A A —A, mediante as regras de dedução usadas para os argumentos, pois, como estas regras

preservam a verdade, a contradição que se obtém prova que estas três proposições não podem ser conjuntamenteverdadeiras. Realmente, temos, sucessivamentc:

(1) —(p v —q)(2) pv’—r (3) q-÷r —(4) —pA—--q 1 DM



(5) —pAq 4 DN(6) q 5 SIMP(7) r 3,6 MP(8) —p 5 SIMP(9) —r 2,8 SD(10) r A —r 7,9 CONJ (Cont.)Outros exemplos:

(1) Demonstrar que são inconsistentes as três seguintes proposições:(1) x=l—*y<x

(2) y<x-+y0

(3) —(y=Ov xr_1)

‘— (p v — q) pv —r q -÷ r

F V V F V V V F V V V V

F V V F V V V V F V F F

F V V V F V V F V F V V

F V V V F V V V F F V F

V F F F V F F F V V V V

V F F F V F V V F V F F

F F V V F F F F V F V V

F F V V F F V V F F V F

140 LrIJ ij i’ri rit_riu

Dem. Temos, sucessivamente:(1) x=l-y<x(2) y<x-y0(3) —(y0Vx_l)

(4) x=I-*y=0 1,2 SH(5) y_OAx=1 3 DM

(6) x=i 5 SIMP(7) y=O 4,6 MP

(8) yO 5 SIMP(9) y = O A y O 7,8 CONJ (Cont.)(2) Demonstrar que é inconsistente o conjunto das seguintes proposições:pvq, pAS, sVr, r—*rAq

Dem. Temos, sucessivamente:(1) pvq

(2) pAs(3) svr

(4) r-÷rAq(5) p 2 SIMP



(6) s 2 S1MP(7) —q 1,5—SD(8) r 3,6 SD(9) rAq 4,8 MP(10) q 9 SIMP(11) q A ‘—q 7,10 CONJ (Cont.)(3) Demonstrar que é consistente o conjunto das seguintes proposições:—(pv q), r—s, —qAr

Dem. Com efeito, para a seguinte atribuição de valores lógicos às proposiçõessimples componentes p, q, r e 5:V Fr p5 qas trés proposições compostas dadas são simultâneamente verdadeiras, pois, tem os:

—(FV F)=—.--F=V, F-*F=V, --FA V=V AVV

INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 141EXERCÍCIOS1. Demonstrar a validade dos seguintes argumentos:(a) p-*----q, q, —p-*rAsH-_rAs(h) p-*q, p—*-----r, ‘-q[——r (c) p-*-r, q—r, qH—-p

(d) ‘—p-—-q, --q-+----r, r—p(e) -pvq, -p-+r, ‘-r__q(f) r-*pv q, ‘--r, q—p

(g) ‘—pv q, -q, ‘-(qA r)-*p__—r

(h) p,(1) ‘p—*q, q-÷r, —r——p

(j) p—q, -q,

(k) p----q, q—p(I)pvq, —q, p-+rAs__sAr (m) (rA-t)-+----s, p+s, pA q___—’(—-tAr)(n) (rAs)v p, q-+’--p, t—*’--p, qvt[—sAr (o) —pv ‘q, —r-*p, r—*--s, s[—-q

(p) p-+qv r, —‘--p, -‘-r___q(q) r-+pA---q, rV5, sH—qAp

(r) ‘—(pA q), ---q--r, --p-*r, 5—*’---r——------s(s) pA —q, p--r, qv’--sF--—----(rV s)(t) s---(pv”-t), t-qAr, —s-——rAq

(u) p-q, r-±q, r v p, —qv sH—s

(v) t-*pAs, r—+—--s, rvqH——-t

(w) r-*----p, (r As)V t, t-qv u, -q A--uH——--p

(x) pvq, s-qAr, p-+s, q_*s__rAq

(y) —(p v ‘—r), p r -* s, q A 5 - t A 5 — 5 A t(z) p-÷q, q-rF———-pV r 2. Demonstrar a validade dos seguintes agumentos:

(a) (1) x>y-x>z(2) z>6-—(x>y-*z<7)

(3) x>z—*’,.<7 z>6Vz<y

(b) (1) x_y-*x>yvx<y(2) x>yvx<y-+x*4(3) x<y+-(x_y —*x_4)

(4) xyx>y

142




(g) (1) -(y—x=2 v x+y>8)

(2) —(x>yv y<5)

(3) x2-÷x+y>8

(x=2vy<5)

x= 1 —*x<y

x2—4x+30-*x=I V x=3 ‘-(x=yv x2-4x+3*O) x =3 -*x <y

X<yV y&4

-(x>yA x÷y>7)x>y-x<4

x + y >7 -+x <4

x—y= 2-÷x <4 x—y _2

(z<3v x>y)Ay=2 x<yv x= 1 x>z-*x>y x>z-+x<yx=1

(c) (1) x=3Vy=3

(2) x>2Vx+y>5

(3) y=3V x=3—*x+y>5

(4) ---(y<5Ay>3)-*x>2

y<5

(d) (1) x<3 Ay>6

(2) y_7-.--(x=2Ay>x) (3) y>6Ax<3-+y>xAx=2

(e)

(f)

:

(h) (1)

(2)

(3)

(4)

(i) (1)

(2)(3)

(4)(j) (1)

(2)



(3)(4)

... y=7

(1

)

(2

)

(3

)

y_3 x+y=8-*y=3

x+y=8vx*5

... x5Ay4)

(1)

(2

)

(3

)

x<y

x<yV ‘(x>3 V x+y<5)

x>3-*—-(x>yvy_2)

... x>y


(k) (1) 3x+y=ll÷—+3x=9(2) 3x=9-*3x+y= 11 ÷—y=2(3) y_2vx+y=5

x÷y=5

(1) (1) 2x=6÷—+x=3

(2) 2x=8÷—÷x=4

(3) 2x=6Vx=4

--(2x8Ax*3)

(rn) (1) 5x=15+-÷x3

(2) 5x 15 A 4x 12

(3) x=3-.x÷2y=7

(y2Ax+2y_7)(n) (1) y>x÷—x=yVx<y

(2) ‘--(y<I V y>x)

x<yAx_y

(o) (1) x<y÷—÷y>4

(2) y=64—÷x+y=lO(3) y>4Ax+y=1O

:. x<yAy6

(p) (1) x>yV x<6



(2) x>y-÷x>4

(3) x>4-+x=5Ax<7

(4) x<6-.x=5Ax<7

(5) x<7A x=5-+z>xV y<t(6) x>y-÷-(y<zvz>x)f. x<6

3. Demonstrar a validade dos seguintes argumentos:(a) r—*p Aq, -pv ‘-q, rv sH—s(b) p v q-r, —r, -p-÷sI-——5(c) (p—*q)-÷r, (‘-p v q)v sh—s(d) (p A q)—*(r--s), r A—s, q-+t——t(e) pv -(qv -r), —p, r-*sV 4—sV t(f) pv q-÷r, q v(—s V t)[—s-*t(g) pv (q-+r), —(pv s) A —r--_—q(h)(p-*q)-÷r, ‘—rVs, —(pA--q), svt-*u-———u

(i) —pv q, —s-*”-r, pv(rA t))—qV 5

144 I,s,-%r, LJ ,i’ii.ri ri

(i) P(I, pv(rAs)f-___q--s(k) p-qv r, -r[_--_p--*q

1) p V—-q--r, r-*sI.___-.-s-÷p

(m) pvq, q—*r, s-÷t, —rl----—s--*p

(n) p-*q, qv r-s, —s(----—---p

(o) pv(qAr), pvr-÷sAt[----—s

(p) (p—*ci)v (r As), ‘-qF-—-pv s

(q) p-÷q, p A q-*r v s, rv s-÷-t, (p-+--t)-+u5u (r) pvqrAs,4. Demonstrar que os seguintes conjuntos de proposições são inconsistentes dedutindo uma contradição para cada umdeles:(a) (1) q-*p (b) (1) pvq(2) -(p v r) (2) ‘-(q —* r)

(3) civ r (3) p—r (e) (1) v q) (d) (1) p v s—* q(2) -q-*r (2) q-+----r

(3) —rv s (3) t—*p

(4) -p-+--s (4) tAr (e) (1) x=y—*x<4 (f) (1) x=O—+x+y y

(2) x44vx<t (2) x>1AxO(3) —(x<tv x#y) (3) x+y=y-*x> 1

(g) (1) xy—*x<z (ii) (1) x<y-÷x_y

(2) x<z A(x=yv y<z) (2) y>z-+z<y

(3) y<z-*x<z (3) x=yAy>z (4) x<yV /<y

5. Demonstrar que os seguintes conjuntos de proposições são consistentes:(a) (1) p—q (b) (1) p—>q(2)q q-*r (2) —-q-*r

(3) —rvs (3) pvr(c) (1) —pv -.--ci (d) (1) P1(2) --p+r (2) r—*q

(3) r (3) q-+-s

(e) (1) xy-*x_y (f) (1) x=2 V x=3

(2) x<yv xy (2) x_2V x_3



(3) xty—*x<y

Capítulo 13

Demonstração Condicional eDemonstração Indireta1. DEMONSTRAÇÃO CONDICIONALOutro método muito útil para demonstrar a validade de um argumento é a“Demonstração condicional”. Esta demonstração, todavia, só pode ser usada se aconclusão do argumento tem a forma condicional.Seja o argumento:PI—A->B (1)cuja conclusão é a condicional A — B.Sabemos que este argumento é válido se e somente se a “condicional associada”:(P1A P2A ... A Pn)-+(A--*B)é tautológica. Ora, pela “Regra de Importação”, esta “condicional associada” é

equivalente à seguinte:[(P1A P2 A ... A P) A A]-*BAssim sendo, o argumento (1) é válido se e somente se também é válido o argumen to:P1,P2,.. . ,Pn,AHBcujas premissas são todas aquelas do primitivo argumento (1), mais uma, A, e cuja conclusão é B (observe-seque A e B são respectivamente o antecedente e o consequente da conclusão do primitivo argumento (1)).Em resumo, temos a seguinte regra DC: Para demonstrar a validade do argumento (1), cuja conclusão temforma condicional, A - B, introduz-se A como“premissa adicional” (indicada por PA) e deduz-se B.

ULIMI1U U í\LN(.AI1 t-ILHU

2. EXEMPLIFICAÇÃO(1) Demonstrar a validade do argumento:

pv(q-*r), -rF-—q-pDem. Dc conformidade com a Regra DC para demonstração de um argumento

cuja conclusão tem forma condicional, cumpre deduzir “p” a partir das premissas:

p v (q —* r), —r e q, isto é, demonstrar a validade do argumento: pv(q-r), ‘—r, qF—pTemos, sucessivamente:(1) pv(q-*r) P(2) ‘-r P(3) q PA

(4) p v (q v r) 1 COND

(5) (pv -q) V r 4 ASSOC

(6) pv—q 2,5- SD

(7) -q 3 DN(8) p 6,7 SD(2) Demonstrar a validade do argumento:

--p--’-qv r, sv(r-*t), pv s, —s--——q--*tDem. De conformidade com a Regra DC, cumpre demonstrar a validade do argumento:

—p-’-qvr, sv(r-÷t), —pv s, qi.—tTemos, sucessivamente:(1) --p----qvr P



(2) sV(r—*t) P(3) —pvs P

(4) —s P

(5) q PÁ

(6) p-s 3 COND

(7) ‘—p 4,6 - MT(8) —qv r 1,7- MP(9) q-+r 8 COND(10) r-÷t 2,4 SD(11) q-+t 9,10 SH(12) t 5,11 MP

INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 41(3) Demonstrar a validade do argumento:(1) (y=4—*x>y)Ax>z

(2) x>yVz>y-y<4Ay#3t3) y=2—*z>y:. y=2vy4-÷y<4Vy>3

l)em. Dc conformidade com a Regra DC, cumpre demonstrar a validade do ar- gume n to:(1) (y=4-*x>y)A x>z

(2) x>yvi>y-*y<4Ay#3(3) y=2—*’>y

(4) y=2vy=4

y<4vy>3Temos, sucessivamente:(1) (y—4--x>y)Ax>z P

(2) x>yvz>y—y<4Ay_3P

(3) y=2—*z>y P(4) y=2Vy=4 PA

(5) y=4-*x>y 1 S1MP

(6) x>y vz>y 3,4,5 DC

(7) y<4 Ay3 2,6 MP

(8) y<4 7 SIMP(9) y<4vy>3 8 AD

(4) Demonstrar a validade do argumento:-‘--p-*(q-÷r), sV(r-*t), p-*si—--—--s-*(c1-÷t)Dem. Consoante a Regra DC, cumpre demonstrar a validade do argumento:

—p-+(q-.r), sv(r-+t), p—*s, ‘-sl——q--t

Como a conclusão deste argumento também é uma condicional, q - t, fazendo uso novamente da mesma Regra DC, cumpre

demonstrar a validade do argumento:

p -* (q -+ r), s v(r -÷ t), p-s, —s, q—t


Temos, sucessivamente:

(1) -p-+(q-.r) p(2) sV(r-÷t) p(3) p-*s p(4) —s PÁ

(5) q PA(6) —p 3,4 MT(7) q-*r 1,6 MP

(8) r 5,7 MP(9) r-+t 2,4 SD(10) t 8,9 MP



(5) Demonstrar a validade do argumento:

p-*q, q—+s, tV(r A—s)F———p-*tDem. Consoante a Regra DC, cumpre demonstrar a validade do argumento:

p-+q, q÷—*s, t v(rA —s), pj—tTemos, sucessivamente:(1) p-+q P(2) q#-÷s P

(3) tV(rA-.-s) P(4) p PÁ(5) q 1,4—MP(6) (q -+ s) A (s -÷ q) 2 — BICOND(7) q-s 6 SIMP(8) s 5,7 MP

(9) (t v r) A (t v --s) 3 DIST(10) tv—s 9 —SIMP(11) —-s 8 —DN(12) t 10,11—SD(6) Demonstrar a validade do argumento:-p---q, r—s, (—pAt)v(rAu)[_q-*sDem. Consoante a Regra DC, cumpre demonstrar a validade do argumento:

—p-+----q, r-+s, (—pAt)v(rAu), q—s

INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 14Temos, sucessivamente:(1) P(2) r-*s P

(3) (—pÁ t)v (rA u) P(4) q PA

(5) —--q 4 DN(6) —--p l,5—MT(7) p 6 —DN

(8) pV—t 7 —AD(9) ——-pv--t 8 DN

(10) «-(—pÁ t) 9 —DM

(11) ru 3,10— SD

(12) r 11 —S1MP(13) s 2,12 MP3. DEMONSTRAÇÃO INDIRETAUm outro método frequentemente empregado para demonstrar a validade dcum dado argumento:P1,P2 P11—Q (1)

chamado “Demonstração indireta” ou “Demonstração por absurdo” consiste cm admitir a negação —-Q da conclusão Q,

sito é, supor ‘—‘Q verdadeira, e daí deduzir logicamente uma contradição qualquer C (p. ex., do tipo A A —A) a partir

das premissas P1 , P2, . . . , P e —Q, isto é, demonstrar que é válido o argumento:

P1,P2,. . . ,P,—QF---CSe assim ocorre, então o argumento dado (1) também é válido. Com efeito,

pela Regra DC (Demonstração condicional), o argumento:é válido. E como temos:

C=QV C==QSegue-se que é válido o argumento dado (1).

Em resumo, temos a seguinte Regra DI: Para demonstrar a validade do argumento (1) introduz-se —Q como “premissaadicional” (indicada por PÁ) e deduz-se uma

contradição C (p. ex.: A A ‘—A).



I3ij tUM1UUMLIMMIILMU

4. EXEMPLIFICAÇÃO(1) Demonstrar a validade do argumento:

p-’--q, r-+qF———»-(pAr)Dem. De conformidade com a Regra DI (Demonstração indireta), cumpre deduzir uma contradição das premissas p —* —q, r -÷ q e p A r. Temos, sucessivamente:(1) p-*--q P

(2) r-q P(3) pr PA(4) p 3 —SIMP

(5) r 3 —SIMP(6) —q 1,4—MP(7) q 2,5—MP(8) q A —q 6,7 CONJ (Cont.)(2) Demonstrar a validade do argumento:‘-p-q, ‘—qvr, ‘tH—pVSDem. De conformidade com a Regra DI, cumpre deduzir uma contradição

das premissas —p —+ q, -q v r, —r e --‘(p v s). Temos, sucessivamente:(1) p-*q P(2) —qvr P(3) -r P(4) —(pvs) PA(5) pA’-s 4 DM(6) —p 5 SIMP(7) q l,6MP(8) —q 2,3 SD(9) q A ‘—q 7,8 CONJ (Cont.)(3) Demonstrar a validade do argumento:p-+qVr, --.-r__p-÷qDem. - De conformidade com a Regra DC (Demonstração condicional), cumpre demonstrar a validade do argumento:

p—-qvr, ‘--r, pi—q

INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 151e, portanto, consoante a Regra DI (Demonstração indireta), cumpre deduzir

uma contradição das premissas p -÷ q v r, —r, p e —‘q. Temos, sucessivamente:(1) P-Ivr P(2) --r P(3) p PA(4) —q - PÁ(5) qvr 1,3—MP(6) q 2,5-SD

(7) q A —q 4,6 — CONJ (Cont.)(4) Demonstrar a validade do argumento:

—pv q, --q, —r--s,Dem. De conformidade com a Regra DC (Demonstração condicional), cumpredemonstrar a validade do argumento:

—pvq, -q, --r-+s, —p--*(s----t), t—r

e, portanto, consoante a Regra DI (Demonstração indireta), cumpre deduzir uma contradição das premissas —p v q, —-q,--r — s, —p —* (s -+ ‘-t), t e ‘—jr. Temos, sucessivamente:(1) ‘—pvq P(2) P(3) —r—*s P(4) —p-+(s--*—-t) P(5) t PÁ(6) —r PÁ(7) —p 1,2 SD(8) s-+---t 4,7 MP(9) s 3.6—MP



(10). 8,9 MP(11) t A —t 5,10 CONJ (Cont.)(5) Demonstrar a validade do argumento:

(1) -(y_lvzr__l)

(2) (x<yAx>z)A z=—1-÷x=0

(3) —(y=l v x=0)v (x<yA x>z)

x=0

bL.sijjj RLJ(p.j- IL11U

Dem. De conformidade com a Regra DI (Demonstração indireta), cumpre deduzir uma contradição das premissas (1),

(2), (3) e x _ 0. Temos, sucessjvamcnte:

(1) (yr1 v z*—j) P

(2) (x<yAx>z)A/_1o P(3) (Y=1vx=o)v(x<yAx>Z) P(4) x_O PÁ(5) YlAz=—1 1 DM

(6) y=l 5 SIMP

(7) Y=IVX=O 6 AD(8) 1 xO) 7 DN

(9) x<yAx>7 3,8 SD(lO) z—J 5 SIMP

(II) (x<yAx>), z-1 9,10 CONJ

(12) xO 2,11 MP

(13) x O A x O 4,12 CONJ (Cont.)

(6) Demonstrar a validade do argumento:

(1) x=1v(x+yyvx>y)(2) X>Yx2>xyAyj(3) x_1

(Y1-+x2>xy)

Dem. De conformidade com a Regra DI (Demonstração. indireta), cumpre deduzir uma contradição das premissas (1), (2),(3) e y= 1 -x2 >xy. Temos, sucessjvamente:

(1) x1v(x+y_yvx>y) P(2) X>YX2>XYAy_J P(3) x_1 P(4) Y=1-x2>xy PÁ

(5) (X+y=y VxI.y) 1,3 SD(6) X+y_’yAx>y 5 DM (7) x>y 6 SIMP

(8) x2 > xy A y =1 2,7 MP

(9) x2 >xy 8 SIMP(lo) y=I 8 SIMP(11) X2>xy 4,10 MP(12). x2 >xy A x2 xy 9,11 CONJ (Cont.)

INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 153(7) Demonstrar a validade do argumento:(1) x<y-÷xy=x

(2) x#yAxy*x(3) x<yvy=1-*x=2Dem. Consoante a Regra DI (Demonstração indireta), cumpre deduzir uma contradição das premissas (1), (2), (3) e x = 2 +—÷

x y. Temos, sucessivamente:



(1) x<y—*xy=x P

(2) X_YAXY_X P

(3) x<yvy=1—x=2 P

(4) x=2E—*x=y PA

(5) xy 2 -SIMP

(6) xy_x 2 SIMP

(7) x<y 1,6 MT

(8) x<yvy=1 7 AD(9) x—2 3,8 MP

(10) (x=2—*x=y)A(x=y--*x=2) 4 BICOND

(11) x=2-+x=y 10 SIMP

(12) x=y 9,11 MP

(13) x=yAx_y 5,12 CONJ(Cont.)EXERCÍCIOS1. Usar a Regra DC (Demonstração condicional) para mostrar que são válidos os seguintes argumentos:

(a) —rv —s, q-÷si——-—r--÷-’--q

(b) p-*--q, -(r A—p)_q-*--r

(c) r-÷t, t-+---s, (r-÷s)÷q--—_p_*pA q(d) p—*q, r-+p, s-*rH._s--*q(e) —p, —r-+q, -s-*pF__—-(rA s)—q

(f) p-*---q, —r--q, -s-*q___pv -s-r(g) --p v —s, q-÷---r, t-*s A rF___t-*’--(p v q)

(li) r-+s, s-÷q, rv(sAp)[——-q-÷pAs

(i) rvs, —t--*---p, r-+-q--_pAq-+sAt

(j) r-*p, s-*t, t-*rj——_s-*pvq(k) q-*p, tVs, qv-s—-(pv)--t(1) pv q-÷r, s-*---rA --t, SV u—_p-÷u(m) p—*q, r-+t, s-÷r, pv sI—---q-÷t


2. Usar a Regra 1)C (Demonstração condicional) para mostrar que são válidos os seguintes argumentos:

(a) (1) x#y-*x>yvy>x

(2) y_2v x=2

(3) x>yvy>x—*x_2

y=2-+x=y

(h) (1) x=I—*xy=2

(2) x+y#3-x_1

(3) y= Iv x=2—*--(x+y=3 Axy=2)

:. x=1-.x_2Ay*

(c)

1

3. Usar a Regra DC (Demonstração condicional) para mostrar que são válidos os seguintes argumentos:

(a) p v q, —r v —q—--—---p-*’-’-r

(b) ‘-pv—-q, pv(rAs_q-*s



(e) pAq—---rv--s, rAs___p-÷--q

(d) p—q, pv-r, svt—r[----—--s-÷q

(e) (p-q)vr, sVt—*--r, sv(tAu)—p--*q

(f) (p—.q) A—(r A’--s), s-tyu, ‘-.-u[.—-——r--*t

(g) pv ‘—q, q, r-÷’-s,

4. Usar a Regra Dl (Demonstração indireta) para mostrar que são válidos os seguintes argumentos:(a) -(pAq), p-+r, qv--rF----_p

(b) p_*-’q, r-*’---p, qv r——p(c) (pAq), —r-*q, -p-÷r--——r (d) p-÷qvr, q-*--p, s--rf-_--(pAs)

(e) p v q, p-*—-r, q-+s--———--.rv s(f) pvq, s-÷--p, —-‘(qvr)i---_’-s

(g) p - -(i, q v —(s V —r) j—---p

(Ii) —p-*--.-q, -pv r, r-+-sH—’-qv S

(i) p A q—-r, —r-+p, ---q-+-r——q

(i) —pv —q, rv s-p, qvs, --rF—-——-(rv s)

(1

)

x=0—

x2 —x=0

(2

)x=I-+x2 —x=0

(3

)

x=2V

x2

—x=0-x3—

3x2

+2x

0

:. x=0Vx=lx3—3x2+2x =0 —


(k) p v q—÷r, —r, s-÷pi—-———s

(1) (p-*qjvr, svt->—-r, sv(tAu)H—p-÷q(m) p-÷q, qv r—÷s, sF——-p(n) (p-÷q)-÷r, r v s-÷—-t, tF——-q5. Usar a Regra DI (Demonstração indireta) para mostrar que são válidos os seguintes argumentos:(a) (1) 2x+3y24(2) (x=6-+y=4)v2x12

(3) (2x 12-.x=6)V2x+3y#24(4) x_62x=12-*y=4

(b) (1) y=I-÷x=Ovx>y

(2) ,=—l-*xOvx<z

(3) x>y(4) x<t

(5) y=l V t=—l



x=O6. Usar a Regra DI (Demonstração indireta) para mostrar que são válidos os seguintes argumentos:(a) (p-÷q)v(rAs), —qF----—p-*s

(b) p-*q, q÷—*s, tv(rA’—s)F—--—p-÷t

(c) ‘—p-÷---qvr, sv(r—*t), p.-+s, —sf———q--.t

(d) —(p--*q) v(s-.----r), qv 5, p—*---s[--——--rV 5

(e) (—p-÷ a) A (r-+ s), p÷—÷ t v —-‘s, r, ‘--tF---——q(f) (p—÷a)÷---*(r A s—*t), p-÷q Ar, r, -t[---——’--s(g) --(p- -q)-*((rt-s) v t), p, q, —t-—- r-÷s

Capítulo 14Sentenças Abertas1. SENTENÇAS ABERTAS COM UMA VARIÁVELDefinição Chama-se sentença aberta com uma variável em um conjunto A ou

apenas sentença aberta em A, urna expressão p(x) tal que a) é falsa (F) ou

verdadeira (V) para todo a E A.

Im outros lermos, p(x) é urna sentença aberta em A se e somente se x)

torna-se urna proposição (falsa ou verdadeira) todas as vezes que se substitui a

variável x por qualquer elemento a do conjunto A(a E A).

O conjunto A recebe o nome de conjunto-universo ou apenas universo (ou ainda domínio) da variável x e

qualquer elemento a E A diz-se um valor da variável

x.

Se a E A é tal que a) é uma proposição verdadeira (V), diz-se que a satisfaz

ou verifica p(x).

Urna sentença aberta com uma variável em A também se chama função proposicional com uma variável em A

ou simplesmente função proposicional em A

(ou ainda condição em A).

Lve,iiplos São sentenças abertas em N = (1, 2, 3,.... n, . . .) (conjunto

dos números naturais) as seguintes expressões:

(a) x+l>8 (b) x2—5x+6=O

(e) x+ 5 = 9 (d) x é divisor de 10

(e) x é primo (f) x é múltiplo de 3

2. CONJUNTO-VERDADE DE UMA SENTENÇA ABERTA COM UMA VARIÁVELDefinição Chama-se conjunto-verdade de uma sentença aberta p(x) em um

conjunto A, o conjunto de todos os elementos a E A tais que a) é uma proposição verdadeira (V).


Este conjunto representa-se por V. Portanto, simbolicamente, temos:Vp {xIxEAAp(x)éV}ou seja, mais simplesmente:

V {x xA A p(x)} OU Vp {xEAIp(x)}

Obviamente, o conjunto-verdade Vp de uma sentença aberta p(x) em A ésempre um subconjunto do conjunto A(Vp C A).Err’nq,los:

(1) Seja a sentença aberta “x + 1 > 8” em N (conjunto dos números naturais). O conjunto-verdade é:

v{xIxeNAx+l>8} ={8,9,Io,... }cN



(2) Para a sentença aberta “x + 7 <5” em N, o conjunto-verdade é:v={xIxENAx+7<5} =CN

(3) O conjunto-verdade em N da sentença aberta “x + 5 > 3” é:

v {xIxENAx+5>3} =NCN(4) Para a sentença aberta “x é divisor de 10” em N, temos:

V {x 1 xEN A xé divisorde io} = {l,2,5, io} C N(5) O conjunto-verdade da sentença aberta “x2 — 2x > O” cm Z (conjunto dos números inteiros) é:v={xIxEzAx2_2x>o} =z—{o,1,2}

NOTA Mostram os exemplos anteriores que, se p(x) é uma sentença aberta emum conjunto A, três casos podem ocorrer:(1) p(x) é verdadeira (V) para todo x E A, isto é, o conjunto-verdade V coincide com o universo A da variável x(Vp A).Diz-se, neste caso, que p(x) exprime unia condição universal (ou uma propriedade universal) no conjunto A.


(2) p( x) é verdadeira (V) somente para alguns x E A, isto é, o conjunto-verdade Vp é um subconjunto próprio do universo A da variável

x(V C A).

Neste caso, diz-se que p(x) exprime uma condição possível (ou uma propriedade possível) no conjunto A.

(3) p(x) não é verdadeira (F) para nenhum x E A, isto é, o conjunto-verdade Vp é vazio (V =

Diz-se, neste caso, que p(x) exprime uma condição impossível (ou uma propriedade impossível) no conjunto A. No universo R (conjunto dos números reais), as condições:são universal a primeira (visto ser verificada por todos os números reais) e impossívda segunda (visto não ser verificada por nenhum número real).

No mesmo universo R a condição 9x2 — 1 O é possível, visto ser verificada somente pelos números reais 1/3 e — 1/3. Pelo contrário, nouniverso N (conjunto dos números naturais) a mesma condição 9x2 —i é impossível, pois, não existe nenhum número natural que verifique

tal condição. Por sua vez, a condição 3x> 1 é universal em N (o triplo de um número natural é sempre maior que 1), mas flã() é universalem R (não é verificada para x 1/3 ou para x < 1/3).Como se vê através destes exemplos, o emprego dos adlctivos “universal”, “possível” e “impossível” depende geralmente do universoadotado. Note-se, porém, que a condição x = x é universal, e por conseguinte a condição x x é impossível, qualquer que seja o universoconsiderado, por virtude do AXIOMA LÓGICO DA IDENTIDADE: Todo o ente é idêntico a si mesmo, isto é, simbolica me nte:a = a, qualquer que seja o ente aFntende-se por ente (ser ou entidade) a tudo aquilo que se considera comoexistente e a que, por isso, se pode dar um nome.3. SENTENÇAS ABERTAS COM DUAS VARIÁVEISDefinição Dados dois conjuntos A e B, chama-se sentença aberta com duasvariíveis em A x B ou apenas sentença aberta em A x B, uma expressão p(x, y) talque a, b) é falsa (F) ou verdadeira (V) para todo o par ordenado (a, b) E A x B.Em outros termos, x, y) é uma sentença aberta em A x B se e somente se p(x, y) torna-se unia proposição (falsa OU verdadeira) todas asvezes que as variáveis x e y são substituídas respectivamente pelos elementos a e b de qualquer par ordenado (a, b) pertencente ao produtocartesiano A x B dos conjuntos A e B ((a, b) E A x B).

158

x+ 1 >x

e x+l=x


O conjunto A x B recebe o nome de conjunto-universo ou apenas universo (ou ainda domínio) das variáveis x e y, e qualquer elemento (a, b) dc A x B dizse umpar de valores das variáveis x e y.

Se (a, b) E A x B é tal que a b) é uma proposição verdadeira (V), diz-se que(a, b) satisfaz ou verifica p(x, y).Uma sentença aberta com duas variáveis cm A x B também se chama função

proposicional com duas variáveis em A x B ou simplesmente função proposicionalem A x B (ou ainda condição em A x B).



Exemplos Sejam os conjuntos A {i, 2, 3} e B = {5, 6 São sentençasabertas em A x B as seguintes expressões:

(a) x é menor que y(x <y)

(b) x é divisor de y(x y)

(e) y é o dôbro de x(y = 2x)

(d) mdc(x,y)= 1

O par ordenado (3, 5) E A x B, p. ex., satisfaz (a) e (d), pois, 3 < 5 e o mdc(3 5) 1, e o par ordenado (3, 6) E A x B, p. ex.,

satisfaz (b) e (c), pois,

3 1 6 e 6 = 2 3.

4. CONJUNTO-VERDADE DE UMA SENTENÇA ABERTA COM DUAS VARIÁVEISDefinição Chama-se conjunto-verdade de uma sentença aberta p(x, y) em

A x B, o conjunto de todos os elementos (a, b) E A x B tais que p(a, b) é uma proposição verdadeira (V).Istc conjunto representa-se por V. Portanto, simbolicamente, temos:

Vp {(x,y)IxEA A yEB A x,y)}ou seja, mais simplesmente:

Vp {(x,y)EAxBIp(x,y)}

O conjunto-verdade Vp de uma sentença aberta p(x, y) em A x B é sempre um subconjunto do conjunto A x B(Vp ( A X B). Exemplos:

(1) Sejamos conjuntos A’ I,2,3,4} e B {l,3,5} .Oconjunto-verdade da sentença aberta “x <y” em A x B é:V={(X,Y)IXEAAYE13AX<Y} =

= {(l,3),(l,5),(2,3),(2,5),(3,5),(4,5)} CAxB


(2) Sejam OS Conjuntos A {2, 3, 4, 5 } e B {3, 6, 7, lo } O Conjunto- verdade da

sentcnça aberta “x divide y” (x 1 y) em A x B é:

Vp{(x,y)IxEAAyeBAxly} =

= «2,6).(2.1Ü),(3,3),(3,6),(5,lo)} CAxB(3) Sejam OS conluntos A = {i, 2, 3 } e B {3, 4 } O conjunto-verdade da sentença aberta “x + 1 <y” cm A

x 8 é:

V, {(x,y)IxEAAyEBAx+1<y}

= {(I, 3),(I,4),(2,4)} C A x B

(4) Sejam os conjuntos A = {2, 3, 4} e 8 = {i, 2, 6} O conjunto-verdade da sentença aberta “mdc(x, y) 2” em A

x B é:

V (x,y)lxEA A yE8 A mdc(x,y)=2}

{(2, 2), (2. 6), (4, 2), (4, 6)) C A x B

(5) O conjunto-verdade da sentença aberta “2x + y = lO” em N x N, sendo N o conjunto dos números naturais,

é:

V {(x,y)Ix,yEN A 2x÷y= io} =

= «l,8),(2,6),(3,4),(4,2)} CNxN

(6) O conjunto-verdade da sentença aberta “x2 + y2 = 1” em 7 x Z, sendo Z o Conjunto dos números

inteiros, é:

Vp {(x, y) 1 x, y E Z A x2 + y2 = 1 }{(O, l),(1,O),(-1,O),(O,-l)} C ZxZ 5. SENTENÇAS ABERTAS COM N VARIÁVEIS



Consideremos os n conjuntos A1, A2, .,A e o seu produto cartesianoA1xA2x...xA.

Definição Chama-se sentença aberta com n variáveis em A1 x A2 x. x A ou

apenas sentença aberta em A1 x A2 x. x A, uma expressão p(x1, x2,. ., x,J tal quea1, a2, ,an) é falsa (F) ou verdadeira (V) para toda n-upla (a1, a2, .,an)EA1 x A2 x.. x An.


O conjunto A1 x A2 x. . . x A recebe o nome dc conjunto-universo ou apenas universo (ou ainda domínio) das

variáveis x1, x2, . . ., x0, e qualquer elemento (a1, a2 a0) E A1 x A2 x. . . x A0 diz-se urna n-upla & valores

das variáveisX1,X2,..., X.

Se (a1, a2 a0) E A1 x A2 x . . . x A0 é tal UC a1, a2, . . ., a) ó uma proposiçJo verdadeira (V), diz-se que

(ai, a2 a0) satisfaz ou verifica p( x1,x2 Xn).

Uma sentença aberta com n variávcis em A1 x A2 x . . . x A também se chama função proposicional com nvariáveis em A1 x A2 x .,. . x A1 ou simplesmente função pmposicional em A1 x A2 x. . . x A1, (ou ainda

condição em A1 x A2 x..

Iv(’1n,)lo A eXpreSSão “x + 2y ÷ 3z < 18” é urna sentênça aberta em N x N x N, sendo N o conjunto

dos números naturais.

O terno ordenado (1, 2, 4) e N x N x N, p. cx., satisfaz esta sentença aberta, pois,1+2.2+3.4<1%.

6. CONJUNTO-VERDADE DE UMA SENTENÇA ABERTA COM N VARJÁVEISDefinição Chama-se conjunto-verdade dc urna sentença aberta x ,x2 x0) em A1 x A-, x . . x A0, o

conjunto de todas as n-uplas (a1, a2 a0) é A1 X

A2 x . . . x A11 tais (LJC a1, a2 a0) é unia proposição verdadeira (V).

Portanto, simbolicamente, temos:Ap(x1,x2 X0)}nu seja, mais siiiiplesniente

V={(x1,x2 xn)éA1xA2x...xA11Ip(x1,x2 X0)} Ir(’!1ip!() O conjunto-verdade da sentença aberta “18x — ‘7y + 1 3z = 39” em Z x Z x Z, sendo Z o conjunto

dos números inteiros, é:

V,= {(xt,x2,x)Ixi,x2,x3EZ A1%x—7y+ 13z=39} =

= {(l, —3,O),(4, 1, —2),(3,4, l),(6,8, —1),... }NOTA -- Em Matemática, as equações e as inequações são sentenças abertas que exprimem relação de

igualdade e desigualdade, respectivamente, entre duas expressões com variáveis. Mas, o conceito de

sentença aberta é muito mais amplo que o de equação ou inequação; assim, “x divide y”, “x é primo com y”, “x

é filho dc y”, etc., são sentenças abertas, sem serem equações nem inequações.

162 EDGARD DE ALENCAR FILHOResolver uma equação ou inequação, num dado conjunto-universo, é determinar o seu conjunto-verdade (ou conjunto-solução), cujos elementos, quando existem, chamam-se as raízes da equação ousoluções da inequação.Duas equações ou duas inequações que, num certo conjunto-universo,admitemo mesmo conjunto-solução dizem-se equivalentes.1. Determinar o conjunto-verdade em N (conjunto dos números naturais) de cada uma das seguintes sentenças abertas:(a) 2x6

(c) x2—5x+60(e) x2—5xO



2. Dctcriiiiiiar o conjunto-verdade cm Z (conjunto dos números inteiros) de cada uma dasseguintes sentenças abertas:

(a) x2 <25(c) x2-f-3EA(e) x3 —4x2 O

(g) x é divisor de 27

(a) x2-3x-lI’3(c) 3x-l =3—x

(e) IxI2tIxI-6=O

(g) 1x2—x-6Hx+2

(a) (x + 1) E A (e) x—2é primo

(b) x2EA(d) 2x—51<5

(f) x4—5x2+4O(h) 3’x<lO

(b) Ix -2 1x-2

(d) 2x—3 x—3

(f) x2—2IxI--3’0

(h) x3+IxI=0

rEXERCÍCIOS

(b) x—1<4(d) x2-x-2=0(f) x—56N

(a) x2—9”O(c) 3x2—120



(e) x2—x—l2=O

(b) x2’3(d) 2x2+5x=O

(f) 12x—1 H5

3. Determinar o conjunto-verdade em A { 1, 3, 4, 7, 9, li } de cada uma das seguintes

sentenças abertas:

4. Determinar o conjunto-verdade em R (conjunto dos números reais) de cada uma das seguintes sentençasabertas:

5. Determinar o conjunto-verdade em A ={ 1, 4, 9, 10, li } de cada uma das seguintes sentenças abertas:

(b) x+3éímpar (d) x2—3x+20


6. Determinar o conjunto-verdade da sentença aberta “x + y > 5” em A x B, sendo A={1,3,4} cB{2,3,5}

7. Dados os conjuntos A = {2, 3, 5 } e B {3, 6, 8, 11 } , determinar o conjunto-verdade da sentença aberta “x y” (x divide y)em A x B.

8. Determinar o conjunto-verdade da sentença aberta “x + 3y = 12” em N x N, sendo N o conjunto dos números naturais.

9. Determinar o conjunto-verdade da sentença aberta “nidc(x, y) 1” cm A x A, sendo A = {2, 3, 4, 5 }10. Determinar o conjunto-verdade da sentença aberta “3 (x — y)” em A x A, sendoA= {2,3,4,5,6}

li. Dados os conjuntos A = {— 2, 0, 1, 2 } e B {— 1, 0, 3 } , determinar o conjunto-verdade da sentença aberta “x + y < 1”em A x B.

Capítulo 15Operações Lógicas sobreSentenças Abertas1. As operações lógicas que definimos para proposições (Cap. 2) estendem-se naturalmente à sentençasabertas.2. CONJUNÇÃOConsideremos, p. ex., as sentenças abertas:“x é medico”, “x é professor”

o universo da variável x em cada uma delas sendo o conjunto H dos seres humanos.Ligando estas duas sentenças abertas pelo conectivo A (que se lê “e”), obtemosuma nova sentença aberta em H:“x é médico A x é professor”que é verificada por todos os indivíduos que satisfazem ao mesmo tempo as duas condições dadas, e só por esses indivíduos. Logo, é natural chamar a nova sentença aberta assim obtida conjunção das duas primeiras.Analogamente, a conjunção das sentenças abertas em R (conjunto dos númerosreais):“x > 2’’, ‘‘x < 8’’é a sentença aberta em



“x>2 A x<8”


Assim, fazendo x = 5, x = ir, x = 2, x = — 1, x 8,57, etc., teremos sucessiva-mente:

Note-se que a conjunção x> 2 A x < 8 costuma ser escrita: 2 <x < 8. Aliás, sendo a e b números reais quaisquer, escreve-se,por definição:a<x<b==x>aA x<bOU

ja, b 1 x > a A x < bOutros exenI/)los:

(1) No universo N (conjunto dos números naturais):

3 x A 5 Ix . 15 Ix

xly A yIx=xy(2) No universo R (conjunto dos números reais):

2x -t- y = 8 A 5x — = 9 x = 3 A y 2o que também se pode escrever:

J 2x+y=.8 Jx=3

[sx-3y=9 y=2

(3) No universo das figuras geométricas:

x é um retângulo A x é um losango x é um quadrado

xx>

2

x<

8

x>2Ax<

8

7 V V V

Ir v v v

2 F V F

-1 F V F

8,57 V F F


F)e rondo geral, sejam p(x) e q(x) sentenças abertas em um conjunto A. É óbvio que um elemento a E A satisfaz a

sentença aberta p(x) A q(x) em A se a proposição a) A q(a) é verdadeira (V). Ora, esta proposição é verdadeira se

e somente se as proposições a) e q(a) são ambas verdadeiras, isto é, se e somente se a E A satisfaz ao

mesmo tempo as sentenças abertas p(x) e q(x) em A. Portanto, o conjunto-verdade V A cl da sentença aberta

x) A q(x) em A é a interseção ( fl) dos conjuntos-verdade V, e das sentenças abertasx) e q(x) em A. Temos,

pois, simbolieamen te:



Vpq =VpflVq={xEAIp(x)}fl {xEAIq(x)}

Exemplificando, sejam as sentenças abertas em Z (conjunto dos números inteiros):

p(x) : x2 + x --2 O

q(x) : x2 - 4 O

Temos: -.

VpAq{xEZIx2+x_2=O}fl{xEZIx2_4t0}

={-2,l) fl {-2,2} ={-2}

3. DISJUNÇÃO

Consideremos ainda as sentenças abertas em H (conjunto dos seres humanos):

“x é médico”, “x é professor”

Ligando estas duas sentenças abertas pelo conectivo v (que se lê “ou”),

obtemos uma nova sentença aberta em H:

“x é médico V x é professor”

que é verificada por todo indivíduo que satisfaz uma pelo menos das duas condições dadas, e só por esses

indivíduos. Logo, é natural chamar a nova sentença aberta assim obtida disjunção das duas primeiras.

Analogamente, a disjunção das sentenças abertas em R (conjunto dos números

reais):

“x <2”, “x> 8”é a sentença aberta em R:

“x <2 v x > 8”

INICIAÇÃOÀ LÓGICA MATEMÁTICA

16]

vaiiientc

Outros ex(’tnplos:

xI6V xl lOe=*xE {l,2,3,5,6, io}

(2) No universo R (conjunto dos números reais):

x =2 v x —3 x2 + x -6 O

x=5V x<5nx5

Aliás, sendo a e h números reais quaisquer, escreve-se, por definição:

ab’t==a<bV a=b

Também se escreve, por definição:

abcc=abA bc



a(bcc=(a<bV a=h) A(b<c V b=c)

ou seja:

Análogos significados têm:

a(b<c, a<bc, a>bc, etc.

De modo geral, sejam x) e q(x) sentenças abertas em um conjunto A. É

imediato que um elemento a E A satisfaz a sentença aberta p(x) v q(x) em A se a

proposição p(a)v q(a) é verdadeira (V). Ora, esta proposição é verdadeira se esomente se uma pelo menos das proposições p(a) e q(a) é verdadeira, isto é, se esomente se a E A satisfaz uma pelo menos das sentenças abertas p(x) e q(x) em A.

Portanto, o conjunto-verdade Vp v q da sentença aberta p(x) v q(x) em A é a

Assim, para x = O, x = — 1, x = 2, x =

5,x = ir, x = 8,57, etc., teremos sucessi x


• •. •

x<2 x>8 x<2Vx>8

O V E V

-1 V E V

2 E F E

5 F E F

ir E E E

8,5

7 E V V


reunião ( U ) dos conjuntos-verdade V e Vq das sentenças abertas p(x) e q(x) em A.Temos, pois, simbolicamente:

Vp q = V U Vq {x C A p( x» U { x e A q( x)}

Ixernplificando, sejam as sentenças abertas em Z (conjunto dos números inte i r( )s): p(x) : x2 + x --2 Ocl(x):x2 4=0Temos:



Vpv(l-{XEZIX2+X—20}U{xez1x2_40}=

= {--2, 1 } u —2, 2 } ={ 2, 1, 2)Para as sentenças abertas em R (conjunto dos números reais):q(x):x>Ote mos:Vpvq={xERIx<o}u{xekix>o}R*uR*=R*

4. NEGAÇÃOConsideremos no universo H dos seres humanos a sentença aberta:“x tem menos de 21 anos”

Antcpondo a esta sentença aberta o conectivo -- (que se lê “não é verdadeque”), obtemos a nova sentença aberta em H:“-x tem menos de 21 anos”que é natural chamar negação da primeira, pois, é verificada precisamente pelosindivíduos que não satisfazem aquela.Obviamente, a negação de “x tem menos de 21 anos” é logicamente equivalenteà seguinte sentença aberta em H:“x tem 21 anos V x tem mais de 21 anos”

Outros exeniplos:


‘—x é par * x é ímpar

INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 169(2) No universo R (conjunto dos números reais):

ou seja:

--(x<y)x=yv x>y

Por sua vez:

= y) . x <y v x > y

(3) [m qualquer UfliVcrso U:

= y)= x : y

De modo geral, seja p(x) urna sentença aberta em um conjunto A. É óbvio que um elemento a E A satisfaz a

sentença aberta ‘-p(x) em A se a proposição a) é verdadeira (V). Ora, esta proposição é verdadeira se e somente se a proposição p(a) é falsa (F), isto é, se e somente se a E A não satisfat a sentença aberta p(x) cm A. Portanto, o conjunto-verdade V_1 da sentença aberta -p(x) em A é o complemento em relação a A do conjunto-verdade V da sentença aberta jx)cm A. Temos, pois, sinibolicamen te:= CAVp CA {x E AI p(x)}

Fxcmpliticando, seja A o conjunto dos números naturais divisíveis por 5, isto é,

A = {5k 1k EN } {5, lO, 5,20,... } . Para a sentença aberta em A:

p( x) : x termina por 5temos:

= ( { x E A 1 x termina por 5 }

= {x E A 1 x termina por o }5. CONDiCIONAL

Consideremos as sentenças abertas em Z (conjunto dos números inteiros): — 5x + 6 O”, “x2 —9 0”Ligando estas duas sentenças abertas pelo conectivo —* (que se lã: “se . . . então

.“) obtemos uma nova sentença aberta em Z: “x2—5x+60-+x2—90”




denominada condicional das duas primeiras, e verificada por todo número inteiro diferente de 2 (para x = 2 a condicional é falsa (F) porque o antecedente é verdadeiro (V) e o consequente é falso (F)).De modo geral, sejam p(x) e q(x) sentenças abertas em um mesmo conjunto A. Ligando estas duas sentenças abertas pelo conectivo —,

obtemos uma nova sentença aberta em A: “p(x) -÷ q(x)”, que é verificada por todo elemento a E A tal que a condicional “a) —* q(a)” éverdadeira (V).

Por ser p(x) -+ (j(x) =-p(x) v q(x), segue-se que o conjunto-verdade Vp * q da sentença aberta p(x) -* q(x) em A coincide com o conjunto-

verdade da sentença aberta —p(x) v q(x) em A e, portanto, é a reunião ( U ) dos conjuntos-verdúde e Vq das sentenças abertas —jx) eq(x) em A. Temos, pois, simbolicamente:

6. BICONDICIONAL

Vpq =VpUVq =CAVpUVq

p(x) : xl 12, q(x) : xl 45

Consideremos as sentenças abertas cm Z (conjunto dos números inteiros):

“x > — 5”, “x < O”

Ligando estas duas sentenças abertas pelo conectivo —* (que se lê: “se e somente se”) obtemos uma nova sentença aberta em 7:

“x> —5 x < O”

denominada bicondicional das duas primeiras, e que é verificada por todo número inteiro maior que —5 e menor que O, isto é, para x --4, —3, —2, - 1, e somente por esses números.Dc modo geral, sejam p(x) e q(x) sentenças abertas cm um mesmo conjunto A.Ligando estas duas sentenças abertas pelo conectivo obtemos urna nova sen 170

OU Seja

Vp÷q CA {xEAip(x)} U {xEAlq(x)}Exemplificando, sejam as sentenças abertas em N (conjunto dos números naturais):

Temos:

Vp*q N {xEN lxi 12} u {xEN x145} {l,2,3,4,6,12}u{l,3,5,9,l5,45}= =N {2,4,6,l2}

1’

1


tença aberta em A: “p(x) q(x)”, que é verificada por todo elemento a E A tal que a bicondicional “p(a) *—* q(a)” é verdadeira (V).

Por ser p(x) —* x) (p(x) —* q(x)) A (q(x) —* p(x)), segue-se que oconjunto -verdad Vp ÷ q da sentença aberta p(x) q(x) em A coincide com oconjunto- verdade da sentença aberta em A:

(p(x) -* q(x)) A (q(x) - p(x))

e, portanto, é a interseção ( fl) dos conjuntos-verdade Vp e Vq p das sentenças abertas em A: p(x) — q(x) e q(x) — p(x). Temos, pois,



simbolicamcnte:

Vp÷÷q Vp÷q flV(1+p UVq)fl(Vq UV)

= ((AVp U Vq) fl ((‘AVq U V)ou seja:

=ICA {xEAIp(x)} U {xEAq(x» I flA xEAIq(x)} U {xEAlptx)} 1Exemplificando, sejam as sentenças abertas cm N (conjunto dos números naturais):p(x):x16, q(x):xIlSTernos:

(NVpU Vq N I,2.L6} U {l,3,5,15} =N 2,ô}

(NV1 U V, =N l.3,5, 15) U {l,, 3,6) =N -- {5, 15)e, portanto:

Vp(1 N - {2,6} IfiN -- 5, ls}I=N {2,5,6, IS)

7. ÁLGEBRA DAS SENTENÇAS ABERTASAs propriedades das operações lógicas sobre proposições (Cap. 7) se transmitem automaticamente às operações lógicas sobre sentenças

abertas em um mesmo conjunto que vimos dc definir. Assim, a conjunção e a disjunção continuam a ser comutativas e associativas, e cadauma delas é distributiva em relação à outra. Subsiste a propriedade da dupla negação, assim como as leis de DE MORGAN. Quanto às

propriedades de identidade: pA t p, pAc==c, pV t4=’t, pV C3

Lí -

assumem agora novo aspecto. Assim, ternos:


(1) A conjunção de urna sentença aberta com urna outra que exprime uma condicão universal é equivalen te

à primeira.

(II) A conjunção de urna sentença aberta com urna outra que exprime uma condição impossível também

exprime urna condição impossível.

Destas duas propriedades resultam mais duas outras por dualidade lógica, subs

tutuindo “conjunção” por “disjunção”, “universal” por “impossível” e “impossível

por “universal”.

Consideremos, p. ex., em R (conjunto dos números reais) os sistemas:

J2x 1>3 f2x_ 1>3{x÷l>x [x+l=x

(iC se podem escrever, respectivarnente:

2x l>3Ax+l>x, 2xl>3Ax+l=x

Como a sentença aberta x + 1 > x exprime urna condição universal e a sentença

aberta x + 1 = x exprime uma condição impossível, teremos:

2x -1>3 A x+ 1 >x=2x 1>3

2x -1 > 3 A x ÷ 1 = x x ÷ 1 x (impossível)

Analogamente:



2x— 1>3V xi- 1 >xx+1>x(universaI)

2x 1 >3v x + 1 = x 2x 1 >3

CONVENÇÃO Dadas várias sentenças abertas p,(x), p2(x), p3(x) ese reve-se:

p1(x) A p2(x) A p3(x) em lugar de (p1(x) A p2(x)) A p3(x);

p1(x) A p2(x) A p3(x) A p4(x) em lugar de (p1(x) A p2(x) A p3(x)) Ap4(x);etc.

Analogamente para a disjunção.EXERCÍCiOS

1. Determinar o conjunto-verdade em A ={i, 2, 3, . ., 9, 10 } de cada uma das seguintes sentenças abertas

compostas:

(a) x<7Axéímpar (b) xéparAx+210

(e) 3IxA x<8 (d) (x+4)eA A(x2—5)A


2. Determinar o conjunto-verdade em A = {o, 1, 2, 3, 4, 5 } de cada uma das seguintes sentenças abertas compostas:

(a) x2 — 3x O v x2 = x (b) x é par V x2 <9(c) xé primo v (x+ 5)EA (d) x2 ‘l6V x2 —6x+ 5=0

3. Determinar o conjunto-verdade em A = {o, 1, 2, 3, 4, 5 } de cada urna das seguintes sentenças abertas compostas:

(a) —(x 3) (b) —(x é ímpar)

(e) —(x 112) (d) —(x + 1) A(e) --(x é primo) (f) =(x2 — 3x 0)4. Determinar o conjunto-verdade em A = {—3, —2, —1,0, 1,2, 3} de cadauma das seguintes sentenças abertas compostas:(a)xépar—x2—1=0 (h) x112-*xéprimo(c) (x+5)A-+x<0 (d) x2—l 0—x2+4x+30(e) x2+x—6<0-+x2-9=O

5. Determinar o conjunto-verdade em A = {o, 1, 2, 3, 4, 5} de cada uma das seguintes sentenças abertas compostas:(a) x2 3x=0--x2 x=0 (h) xépar—*x2<8

(c)xéprimo—(x+S)EA (d) x2>12—*x2—5x+6=06. Sejam as sentenças abertas em R (conjunto dos números reais):

p(x):2x-3<0 e q(x):x+I0

es- Determinar A q C Vp _*

7. Sejam as sentenças abertas em R (conjunto dos números reais):

p(x): 15x2 + 2x 8 O e q(x) : 5x2 + 19x ÷ 12 = O

Determinar v v q e VPA(I.8. Sejam as sentenças abertas em R (conjunto dos números reais):

p(x):—4x÷30 e q(x):5x÷2>0

Determinar Vp A q e

Las 9. Sejam as sentenças abertas em A {i,2,3.4.5. 6.7.8, 9}

p(x) :x2 EA e q(x) : x é ímpar

Determinar V, . q’ Vq ÷ p e Vp ÷ q

174 EDGARD DE ALENCAR HLHO10. Sejam p(x), q(x) e r(x) sentenças abertas em um mesmo conjunto A. Exprimir o conjunto-verdade da sentença abertacomposta:

p(x)—*q(x)v -r(x)em função de Vp, Vq e Vr.Resolução Temos, sucessivamente:

Vp - q v ‘—r CAVp U Vq v —-r CAVp U(Vq U Vr) = CAVp U(Vq U CAVr)11. Sejam px), q(x) e r(x) sentenças abertas em um mesmo conjunto A. Achar a expressão do conjunto-verdade de cada uma



das sentenças abertas compostasabaixo em função de V, Vq e Vr

(a) -(p(x) v q(x)) (b) --p(x) -÷

(c) p(x) —*(---r(x) —* q(x)) (d) (p(x) - q(x)) A (q(x) —* r(x))

Capítulo 16CAVr)Quantificadores1. QUANTIFICADOR UNIVERSALSeja p(x) uma sentença aberta em um conjunto não vazio A(A * e sejaVp o seu conjunto-verdade:

Vp {x 1 x E A A p(x)}Quando V = A, isto é, todos os elementos do conjunto A satisfazem a sentençaaberta p(x), podemos, então, afirmar:(i) “Para todo elemento x de A, p(x) é verdadeira(V)”(ii) “Qualquer que seja o elemento x de A,

p(x) é verdadeira (V)”ou seja, mais simplesmente:(iii) “Para todo x de A, p(x)”(iv) “Qualquer que seja x de A, p(x)”Pois bem, no simbolismo da Lógica Matemática indica-se este fato, abreviadamente, de uma das seguintes maneiras:(1) (xEA)(p(x))(2) ‘xEA,p(x)(3) xEA:p(x)Muitas vezes, para simplificar a notação, omite-se a indicação do domínio A davariável x, escrevendo mais simplesmente:(4) (‘x)(x))(5) x, p(x)(6) x:p(x)

V = A


Subsiste, pois, a equivalência:

(v xEA)(p(x))VA

Impoita notar que p(x),simplesmente, é uma sentença aberta, e por conseguinte carece de valor lógico V ou F;

mas, a sentença aberta p(x) com o símbolo antes dela, isto é, ( x é A) (p(x)), torna-se uma proposição e,

portanto, tem um valor lógico, que é a verdade (V) se V A e a falsidade (F) se V A.

Em outros termos, dada uma sentença aberta p(x) em um conjunto A, o símbolo , referido à variável x,

representa uma operação lógica que transforma a sentença aberta x) numa proposição, verdadeira ou falsa,

conforme p(x) exprime ou não uma condição universal no conjunto A. A esta operação lógica dá-se o nome de

quantificação universal e ao respectivo símbolo V (que é um A invertido) o de quantificador universal.Quando, em particular, A seja um conjunto finito com n elementos a1, a2 a, isto é, A = {a1,a2 an} , é óbvio que

a proposição ( xEA)(x)) é equivalente à conjunção das n proposições p(a1), p(a2) p(an), ou seja,

simbolicamente:

(çt xéA)(p(x))==(p(a1) A p(a2) A ... Ap(an))

Portanto, num universo finito, o quantificador universal equivale a conjunções

sucessivas. Assim, p. ex., no universo finito A {3, 5, 7 } e sendo p(x) a sentença

aberta “x é primo”, temos:



(V x é A) (x é primo) (3 é primo A 5 é primo A 7 é primo)

Exemplificando, a expressão:

( x) (x é mortal)

lê-se “Qualquer que seja x, x é mortal”, o que é uma proposição verdadeira (V) no

universo H dos seres humanos ou, mais geralmente, no universo dos seres vivos.

Se a variável da sentença aberta for uma outra, em vez da letra x, escreve-se oquantificador universal V seguido dessa variável. Assim, a expressão:

( Fulano) (Fulano é mortal)

lê-se “Qualquer que seja Fulano, Fulano é mortal”, o que significa exatamente o

mesmo que a proposição anterior.

Analogamente, as expressões:

( x) (2x > x) : “Qualquer que seja x, 2x > x”

( y) (2y > y) : “Qualquer que seja y, 2y > y”

exprimem ambas o mesmo fato: “O dobro de um número é sempre maior que esse número”, o que é

verdadeiro em N, mas falso em R (p. ex., 2. O = O, 2 . (—3) < —3, etc.).


Subsiste, pois, a equivalência:

(v xEA)(p(x))=VA

Importa notar que p(x), simplesmente, é uma sentença aberta, e por conseguinte carece de valor lógico V ou F; mas, a

sentença aberta x) com o símbolo antes dela, isto é, ( x E A) (x)), torna-se uma proposição e, portanto, tem um valor

lógico, qUe é a verdade (V) se = A e a falsidade (F) se Vp A.

Em outros termos, dada uma sentença aberta p(x) em um conjunto A, o símbolo , referido à variável x, representa

uma operação lógica que transforma a sentença aberta p(x) numa proposição, verdadeira ou falsa, conforme p(x)

exprime 011 nO uma condição universal no conjunto A. A esta operação lógica dá-se o nome de quantificação

universal e ao respectivo símbolo V (que é um A invertido) o de quantificador universal.

Quando, em particular, A seja um conjunto finito com n elementos a1 , a2 tn 15k) é, A{a1, a2 an} , é óbvio que a

proposição (v xEA)(p(x)) é equivalente à conjunção das n proposições p(a1), a2), . . ., p(an), ou seja, simbolicamcnte:

( xEA)(p(x))(a1) A a2) A ... Ap(an))

Portanto, num universo finito, o quantificador universal equivale a conjunções

sucessivas. Assim, p. ex., no universo finito A = {3, 5, 7 } e sendo p(x) a sentença

aberta “x é primo”, temos:

(‘v x E A) (x é primo) (3 é primo A é primo A é primo)Exemplificando, a expressão:

( vx)(xé mortal)

lê-se “Qualquer que seja x, x é mortal”, o que é uma proposição verdadeira (V) nouniverso H dos seres humanos ou, mais geralmente, no universo dos seres vivos.Se a variável da sentença aberta for uma outra, em vez da letra x, escreve-se o

quantificador universal v’ seguido dessa variável. Assim, a expressão:(‘s Fulano) (Fulano é mortal)lê-se “Qualquer que seja Fulano, Fulano é mortal”, o que significa exatamente omesmo que a proposição anterior.Analogamente, as expressões:

( x) (2x > x) : “Qualquer que seja x, 2x > x”

( y)(2y>y) :“Qualquer que sejay, 2y>y”

exprimem ambas o mesmo fato: “O dobro de um número é sempre maior que esse número”, o que é verdadeiro em N, mas falso em R (p.ex., 2. O = O, 2 . (—3) < 3, etc.).



INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 177Muitas vezes (quando não há perigo de dúvida), o quantificador é escrito depoise não antes da expressão quantificada. Por exemplo, tem-se em R:x2 —4(x÷2)(x—2), xntetes Aqui, o símbolo V x pode lêr-se “qualquer que seja x” ou “para todo o valor dor de x” ou simplesmente “para todo o x”.

Algumas vezes, para evitar possíveis dúvidas, o domínio da variável é devida-mente especificado. Assim:a ame x+l>x, xER me -

de Aqui,” x E R” le-se: “qualquer que seja x E R’ ou ainda para todo x E R Outras vezes ainda, para condensar a excrita, escreve-se a variável como índi c do símbolo . Assim, p. ex.:

bo- 2x > x (“Para todo o x > O, tem-se 2x > x”)x>Ox2 > O (“Para todo o x O, tem-se x2 > O”)ões xOnça

Outros cve1z/)1os: (1) A proposição:(V n E N) (n + 5>3)

é verdadeira, pois, o conjunto-verdade da sentença aberta n) :n + 5 >3 é:= {nlneN An+5>3} = l,2,3,.. }N (2) A proposição:

:eo ( nEN)(n+3>7)é falsa, pois, o conjunto-verdade da sentença aberta p(n) :n + 3 >7 é:

Vp {nInENA n+3>7} {5,6,7,...} *N

(3) Obviamente, a proposição (“ x E R) (x2 O) é verdadeira e a proposição (‘çt x E R) (3x — 5 = O) é falsa.

118


2. QUANTIFICADOR EXISTENCIALSeja p(x) uma sentença aberta em um conjunto não vazio A(A : 4) e sejao seu conjunto-verdade:

Vp {xIxEA i p(x)}Quando V, não é vazio (V 4), então, um elemento, pelo menos, do conjunto A satisfaz a sentença aberta xx), e podemosafirmar:(i) “Existe pelo menos um x E A tal que p(x) éverdadeira (V)”(ii) “Para algum x E A, p(x) é verdadeira (V)”OU seja, mais simplesmente:(iii) “Existe x E A tal que p(x)”(iv) “Para algum x E A, p(x)”Pois bem, no simbolismo da Lógica Matemática indica-se este fato, abreviadamente, de uma das seguintes maneiras:

(1) ( 3xEA)(p(x))(2) 3xEA, p(x)(3) 3xEA:x)Muitas vezes, para simplificar a notação, omite-se a indicação do domínio Ada variável x, escrevendo mais simplesmente:(4) (3 x) (xx))(5) 3x, p(x)(6) 3x:p(x)Subsiste, pois, a equivalência:(3 xEA)(p(X))V



Cumpre notar que, sendo p(x) uma sentença aberta, carece de valor lógico

V ou F; mas a sentença aberta p(x) com o símbolo 3 antes dela, isto é,

(3 x E A) (p(x)), torna-se uma proposição e, portanto, tem um valor lógico, que

é a verdade (V) se *0 e a falsidade (F) se V, 0.Deste modo, dada uma sentença aberta p(x) em um conjunto A, o símbolo E referido à variável x, representa uma operação

lógica que transforma a sentença aberta p(x) numa proposição, verdadeira ou falsa, conforme p(x) exprime ou não umacondição possível no conjunto A. A esta operação lógica dá-se o nome de quantificação existencial e ao respectivo símbolo3 (que é um E invertido) o de quantificador existencial.

AR FILHO INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 179Quando, em particular, A seja um conjunto finito com n elementos a1, a2,e seja a, isto é, A = {at, a2,..., an} , é óbvio que a proposição (9 x E A)(p(x)) é equivalente à disjunção das n proposições

p(a1), p(a2),. . ., p(a), ou seja, simbolicamente:

(9 x E A) (p(x)) _ (a) v p(a) v ... v p(an)), do COfl- Portanto, num universo finito, o quantificador existencial equivale a disjunções sucessivas. Assim, p. ex., nouniverso finito A = {3, 4, 5} e sendo p(x) a sentençaaberta “x é par”, temos:

(3 xE A) (p(x))=(3 é par v é par v Sé par)Exemplificando, a expressão:

( 3 x) (x vive na Lua)

lê-se “Existe pelo menos um x tal que x vive na Lua”, e é uma proposição falsa (F) no universo H dos seres humanos, quetambém se pode traduzir por “Algum ser vive na Lua”.abreviada- Analogamente, a expressão:(9 x)(x>x2)lê-se “Existe pelo menos um x tal que x > x2 “, o que é uma proposição verdadeira (V) em R (“Algum número real é superior ao seu quadradd”), mas falsa (F) em N (“Nenhum número natural é superior ao seu quadrado”).Para o símbolo 9 adotam-se ainda convenções análogas àquelas que indicamosminio A

para o quantificador universal ,com esta unica diferença: nunca pode ser escntoapós a sentença aberta quantificada.Outros exemplos:

(1) A proposição:(3 n E N) (n + 4< ô)

é verdadeira, pois, o conjunto-verdade da sentença aberta p(n) : n ÷ 4 <8 é:

alorlógico Vp {nInEN A n÷4<8} = {1,2,3,}la, isto é,Lógico, que (2) A proposição:

( 3nEN)(n-i-5 <3) boIo 3

i sentença é falsa, pois, o conjunto-verdade da sentença aberta p(n) : n ÷ 5 <3 é:meounão {nInENAn+5<3} =

o nome de

tido) o de (3) Obviamente, a proposição ( 3 x e R) (x2 <0) é falsa e a proposição

( 3xER)(2x — 1=0) é verdadeira.

180 EDGARD DE ALENCAR FILHO3. VARIÁVEL APARENTE E VARIÁVEL LIVREQuando há um quantificador a incidir sobre uma variável, esta diz-se aparente oumuda; caso contrário, a variável diz-se livre.Assim, p. cx., a letra x é variável livre nas sentenças abertas:3x — 1 = 14 (equação), x + 1 > x (inequação)mas é variável aparente nas proposições:



( x)(3x —1 14), (‘ç’ x)(x + 1 >x)I frequente em Matemática o uso do seguinte PRINCÍPIO DE SUBSTITUIÇÃO DAS VARIÁVEIS APARENTES: Todasàs vezes que uma variável aparente é substituída, em todos os lugares que ocupa numa expressão, por outra variável que nãofigure na mesma expressão, õbtém-se uma expressão equivalente.Assim, p. ex., são equivalentes as proposições:

(* ) ( Fulano) (Fulano é mortal) e ( V x) (x é mortal);

(* *) ( Fulano) (Fulano foi à Lua) e ( x) (x foi à Lua)De modo geral, qualquer que seja a sentença aberta p(x) em um conjunto Asubsistem as equivalências:

(i) ( xeA)(p(x))=(yEA)(p(y))

(ii) ( xéA)Q,(x))=( yeA)(p(y))4. QUANTIFICADOR DE EXISTÊNCIA E UNICIDADEConsideremos em R a sentença aberta “x2 = 16”. Por ser 42 = 16, (_4)2 = 16 e 4 4

podemos concluir:

( x,yER)(x2 = 16 A y2 16 A x*y)

Pelo contrário, para a sentença aberta “x3 = 27” em R teremos as duas proposições:

(i) ( xER)(x3=27)

(ii) x3=27 Ay3=27=x=yA primeira proposição diz que existe pelo menos um x E R tal que x3 27(x 3):é uma afirmação de existência.

ILHO INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 181

A segunda proposição diz que não pode existir mais de um x E R tal que

x3 = 27: é uma afirmação de unicidade.

e OU A conjunção das duas proposições diz que existe um x E R e um só tal quex3 = 27. Para indicar este fato, escreve-se:(3 !xER)(x3=27)

onde o símbolo 3 ! é chamado quantificador existencial de unicidade e se lê:“Existe um e um só”.Muitas proposições da Matemática encerram afirmações de existência e unicidade. Assim, p. ex., no universo R:AOaO(b)( 3!x)(ax=b)Exemplificando, são obviamente verdadeiras as proposições:(3 xEN)(x2 —9=0)

( 3 ! xEZ)(—l <x< 1)

( 3 ! x E R) (1 x = 0)

5. NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COM QUANTIFICADOR

É claro que um quantificador universal ou existencial pode ser precedido dosímbolo de negação — . Por exemplo, no universo H dos seres humanos, as expressões:

(i) ( V x) (x fala francês) (ii) —( x) (x fala francês)(iii) ( 3 x) (x foi à Lua) (iv) —( 3 x) (x foi à Lua)são proposições que, em linguagem comum, se podem enunciar, respectivamente:

(* ) “Toda a pessoa fala francês”

* ) “Nem toda a pessoa fala francês”* *) “Alguém foi à Lua”

* * * ) “Ninguém foi à Lua”São também evidentes as equivalências:

—( V x) (x fala francês) ( 3 x) (-‘-x fala francês)



—( 3 x) (x foi à Lua) ( x) (—x foi à Lua)

De modo geral, a negação da proposição (‘ x E A) (p(x)) é equivalente a

afirmação de que, para ao menos um x E A, p(x) é falsa ou —p(x) é verdadeira.


Logo, subsiste a equivalência:

[( Mx E A) (p(x))j ( x E A) (p(x))

Analogamente, a negação da proposição ( x E A) (p(x)) é equivalente a afirmação de que, para todo x E A, p(x) é falsa ou —p(x) é verdadeira. Logo, subsistea equivalência:

‘—[ ( xEA)(p(x))]= ( xEA) (—p(x))Estas duas importantes equivalências são conhecidas por segundas regras denegação de DE MORGAN.Portanto: A negação transforma o quantificador universal em quantificador existencial (seguido de negação) e vice-versa.

Exemplos: (1) A negação da proposição: “Todo o aluno da turma A é bem comportado’ é a proposição: “Existe pelo menos um alunoda turma A que não é bem comportado”, ou seja, mais simplesmente:”Nem todo aluno da turma A é bem comportado”.(2) A negação da proposição: “Existe pelo menos um aluno da turma A que está doente” é a proposição: “Qualquer que sejao aluno da turma A, ele não está

doente”, ou seja, mais simplesmente: “Nenhum aluno da turma A está doente”.(3) A negação da proposição: “Existe um planeta que é habitável” é a proposição:“Todos os planetas não são habitáveis”, ou seja: “Nenhum planeta é habitável”.Representando por P o conjunto de todos os planetas, teremos, simbolicamente:

9 x E P) (x é habitável) (e x E P) (x não é habitável)

(4) A negação da proposição: “Para todo o número natural n, tem-se n + 2> 8” é a proposição: “Existe pelo menos umnúmero natural n tal que n + 2 > 8”.Simbolicamente:«-(MnEN)(n-i-2>8).==( 3nEN)(n+28)(5)--(9xER)(x2<O)=(MxER)(x2O)

(6) —(MxER)(3x —5zO).=( 3xER)(3x —5’O)

(7) —(VxER)(lxIO).==( xER)(xj<O)

(8) —( 9 x E R) (senx = O) — ( Mx E R) (senx O)

INICIPÇÃOÀ LÓGICA MATEMÁTICA 183

6. CONTRA-EXEMPLO

Para mostrar que uma proposição da forma (‘ x E A) (p(x)) é falsa (F) basta mostrar que a sua negação ( x E A) (—p(x)) éverdadeira (V), isto é, que existe pelo menos um elemento x0 E A tal que p(x0) é uma proposição falsa (F). Pois bem, o

elemento x0 diz-se um contra-exemplo para a proposição ( x E A)(p(x)).

Ecinp1os.’ (1) A proposição (V’ n E N) (2h> n2) é falsa, sendo o número 2 um contra-

-exemplo: 22 22. Os números 3 e 4 também são contra-exemplos, pois, temos:23<32 e 2442.Para n = 1 e para todo n >4 se tem 2n > 2•

(2) A proposição (x E R)( x 1 0) é falsa, sendo o número O um contra--exemplo: 01 = 0.

(3) A proposição ( x E R) (x2 > x) é falsa, sendo, p. ex., -4- um contra-

-exemplo: (1)2 <(4) A proposição (V x E R) ((x + 2)2 x2 + 4) é falsa, sendo, p. ex., 1 um contra--exemplo: (1+2)2 12 +4 ou 95.

(5) A proposição ( ‘xE Z+)(x2 + x + 41 é um número primo) é falsa, sendo o número 40 um contra-exemplo, pois, temos:

402 +40+41 =40(40+ 1)+41 =40.41 +41 =41(40+ I)=41 .41 =412.



que é um número composto.

É interessante notar que o trinômio x2 + x -t- 41, analizado pela primeira vez pelo fdmoso matemático suíço LEONHARD EULER (1707-1783), produz números primos para x = 0, 1, 2, 3, . . ., 39.EXERCÍCIOS1. Sendo R o conjunto dos números reais, determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintesproposições:

(a) (xER)(lxHx) (b) H xER)(x2 =x)(c) (xER)(IxH0) (d) ( xER)(x+2=x)(e)(VxER)(x÷l>x) (f) (VxER)(x2=x)


Resolução:

(a) F (1 31:.3 —3); (b) V (12

(e) V (101=0); (d) F (Aequaçãox-i-2=xnãotemso-lução);

(e) V (Todo o número real é solução da inequação x + l > x);

(O F (323)

2. Dar a negação das proposições do Exercício 1.

Resolução:(a) ( xER)(—(lxI=x)).=( ]xeR)(IxIx)(b) (xER)(-.(x2 =x))c=( VxER)(x2 x)(e) (xER)(—.-(IxI=O))=(VxER)(IxI*O)(d) (VxER)(—(x+2=x))=(xER)(x+2*x)(e) ( xER)(—(x+ 1 >x))=( xER)(x+ 1 x)(f) ( xER)(—(x2 =x))=( xER)(x2 x)3. Sendo A = { 1, 2, 3, 4, 5 } , determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:(a)(x€A)(x÷3=l0) (b) (xEA)(x+3<l0)(e) (xEA)(x+3<5) (d) (xEA)(x+37)(e) ( x E A) (3” >72) (f) ( x é A) (x2 + 2x = 15)Resolução:

(a) F (Nenhum elemento de A é raiz da equação x + 3 = 10)(b) V (Para cada elemento de A se tem x + 3 < 10)

(e) V (1 é solução da inequação x + 3 <5)(d) F (5 não é solução da inequação x + 3 7)(e) V(34=81>72)(O e/ (3éraizdaequaçãox2 +2x=15)

4. Dar a negação das proposições do Exercício 3.Resolução:

(a) (VxEA)(—(x+3= 10)) (xEA)(x+3 lO)

(b) ( xéA)(—.-(x+3<10)) ==‘( xEA)(x+3 10)(e)(d) ( xEA)(—(x+37)) xéA)(x+3>7)

(e) ( x E A) ((3X > 72)) (v x é A) (3” 72)

(f) (VxEA)(’—(x2 +2x= 15))=(xEA)(x2 +2x*15)

INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 1855. Sendo R o conjunto dos números reais, determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:(a) (3 x E R) (2x = x) (b) (3 x E R) (x2 + 3x = 2)(c)(3xER)(x2+5=2x) (d) (VxER)(2x+3x=5x)



6. Dar a negação das proposições do Exercício 5.7. Sendo A = {i, 2, 3} , determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:(a) (3 xEA)(x2 ÷x—6=0) (b) (3 yEA)(—(y2 ÷y=6))(c)(3xEA)(x2+3x=l) (d) ‘-.-(VxEA)(x2÷x=6)

(c) -(3 xEA)(x2 +3x= 1) (f) ( zEA)(z2 ÷3zI)

8. Sendo A {i, 2, 3 }, determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:(a) (V xEA)((x+ 1)2 =x2 ÷ 1)

(h) (3 xEA)(x3—x2—lOx-8=0)

(e) (xEA)(x3—6x2+llx—6=0)

(d) (3 xEA)(x4—4x3--7x2-50x=24)

9. Sendo A = 1, 2, 3, 4} , determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:

(a) (xEA)(x+3<6) (b) ( 3xEA)(x+3<6)

(e) (VxEA)(x2 — l08) (d) (3 xEA)(2x2 +x= 15)10. Dar a negação das proposições do Exercício 9.li. Sendo R o conjunto dos números reais, determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:(a) (xER)(x2+l>0)(b) (3 xER)(x2+l=O)(e) (3 xER)(4x—3=l —2x)

(d) (ixER)(x2 +3x+2=0)(e) (3 xER)(3x2-2x-1=0)(f) (3 xER)(3x2—2x+ 1 =0)

(g) (VxER)(x+2)2=x2+4x+4)

12. Sendo A= {2, 3 8, 9J , dar um contra-exemplo para cada uma dasseguintes proposições:

(a) ( x E A) (x ÷ 5 < 12) (b) ( x E A) (x é primo)

(e) ( x E A)(x2 > 1) (d) ( x E A)(x á par)

(e) (txEA)(O’O) (f) (çxEA)(x 172)

186 EDGARD DE ALENCAR HLMLJResol tçào:(a) Para x = 7,8 e 9, temos x + 5 12. Logo, cada um desses três números é um contra-exemplo.(b) Os números 4, 6, 8 e 9 não são primos e, portanto, cada um deles é um contra-exemplo.(c) Não há contra-exemplo porque a proposição é verdadeira.(d) Os números 3, 5, 7 e 9 são ímpares e, portanto, cada um deles é um contra-exemplo.(e) Não há contra-exemplo porque a proposição é verdadeira.(f) Os números 5 e 7 não dividem 72 e, portanto, cada um deles é um contra-exemplo.13. Sendo A = {3, 5,7, 9 , dar um contra-exemplo paia cada uma das seguintes proposições:

(a) ( V x C A) (x ÷ 3 7) (b) ( V x e A) (x é ímpar)(e) (VxCA)(xéprimo) (d) (xEA)(IxI=x)

14. Dar a negação das proposições do Exercício 13.15. Dar a negação de cada uma das seguintes proposições:

(a) ( xCA)(p(x)) A (3 xEA)(q(x))

(b) (3 xCA)(p(x)) v ( xCA)(q(x))

(e) (9 xCA)(-.p(x)) v (ç xEA)(—q(x))(d) (3 xCA)(p(x))-+( xEA)(-.-q(x))16. Dar a negaçã6 de cada uma das seguintes proposições:(a) (Vx)(x÷27)A(9 x)(x2-1=3)

(b) (9 x)(x2=9)v (Vx)(2x—57)17. Demonstrar:



(i) p(y)=(xeA)(p(x)), yeA(ii) (ç’-xEA)(p(x))=p(y), yCA

(iii) ( xEA)(p(x))( 3 xEA)(x))18. Demonstrar:

(i) ( x) (p(x) A q(x)) [(V x) (p(x)) A (‘ x) (q(x))

(ii) (3 x) (p(x) A q(x)) [( 3 x) (p(x)) A (9 x) (q(x))]

(iii) (3 x)(p(x) v q(x))=.[( 3 x)(p(x))v (3 x)(q(x))j

(iv) [(V x) (p(x) v ( x) (q(x))] (t x) (p(x) v q(x))

) DE ALENCAR FILHO

esses três números é Capítulo 17cada um deles é um

ira.

Quantificacão de Sentencas Abertasada um deles e um

Ldeira. Com Mais de Uma Variáveltda um deles é umIa uma das seguintesímpar) 1. QUANTIFICAÇÃO PARCIAL= x)Consideremos, p. ex., a expressão:

( xeA)(2x+y<7)sendo A = {l, 2,3,4, 5} o universo das variáveisx e y.Esta exprcssão, que se pode lei: “Existe pelo menos um x e A para o qual se tem 2x + y <7”, não é uma proposição, visto que o seu valor lógico, embora não dependa dc x (variável aparente), depende ainda de y

(variável livre). Portanto, é uma sentença aberta em y, cujo conjunto-verdade é { 1, 2, 3, 4} , pois, somente paray = 5 não existe x C A tal que 2x + y <7.Analogamente, a expressão:(‘ y E A) (2x + y < 10)sendo A = {i, 2, 3,4, 5} o universo das variáveis x e y, que se pode ler: “Para todo y E A se tem 2x + y < 10”,também não é uma proposição, mas uma sentença aberta em x (variável livre), cujo conjunto-verdade é l, 2},pois, somente para x 1 ou x = 2 se tem 2x + y < 10 para todo y E A.De um modo geral, dada uma sentença aberta com mais de uma variável, a aplicação de um quantificador referido a uma das variáveis, transforma a sentença aberta dada numa outra sentença aberta com menos umavariável livre. Logo, a aplicação sucessiva de quantificadores acaba por transformar urna sentença abertacom mais de uma variável numa proposição.V x) (q(x))J

x) (q(x))] 2. QUANTIFICAÇÃO MÚLTIPLA3 x) (q(x))j:) v q(x)) Toda a sentença aberta precedida de quantificadores, um para cada variável, isto é. com todas asvariáveis quantificadas, é urna proposição, pois, assume um dosvalores lógicos V ou F.

188 EDGARD DE ALENCAR FILHOAssim, p. cx., são proposições as seguintes expressões:(i) (VxEA)(VyEB)(p(x,y))



(ii) (V x E A) ( y E B) (p(x, y))

(iii) ( 3xEA)(VyEB)(zEC)(p(x,y,z)) I:venzp1os:(1) Consideremos os conjuntos:

H = Jorge, Claudie, Paulo} , M {Sucly, Carrnen}

e seja p(x, y) a sentença aberta em H x M: “x é irmão de y”.A proposição:(xEH)H yEB)(p(x,y))se pode lâr: “Para todo x de H existe pelo menos um y de M tal que x é irmão de y”. Em outros termos: “Cada homem de Hé irmão de Suely ou de Carmen”. A proposição:(3 yEM)(VxEH)(p(x,y))se pode lâr: “Pelo menos uma das mulheres de M é irmã de todos os homens de H”. Observe-se que, mudando a ordem dosquantificadores, obtém-se urna proposição diferente.(2) A proposição:(VxEN)(VyeN)((x+y)2 >x2 +y2)se pode ler: “Quaisquer que sejam x e y pertencentes a N, (x + y)2 é maior que + y2 “.

Esta proposição também se pode escrever:

( x,yEN)((x+y)2 >x2 +y2)OU

(x+y)2>x2+y2,x,yEN

/ e é obviamen te verdadeira (V), enquanto que a proposição:

(x+y)2>x2+y2, x,yER é falsa (F).Costuma-se, para simplificar a notação, omitir a indicação do domínio de cada variável e escrever, p. ex.:

(x+y)2 =x2 +2xy-i-y2, V x,yo que é verdadeiro em N e em R.

ODE ALENCAR FILHO INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 189(3) Consideremos os conjuntos A= {l,2,3;4} e B= O,2,4,6,8} e a sentença aberta em A x B: “2x ÷ y = 8”.A proposição:(VxEA)(3 yEB)(2x+y 8)é verdadeira (V), pois, para x = 1, 2, 3. 4 temos y = 6, 4, 2, O E B.A proposição:

(VyEB)(3xEA)(2x+Y 8)

é falsa (F), pois, para y 8, temos x = O A.A proposição:(3 yEB)(\txEA)(2x+y 8)

M tal que x é irmão também é falsa (F), pois, não existe um y E B tal que para todo x E A sejahely ou de Carmen”. 2x + y = 8.Analogamente, também é falsa (F) a proposição:(3 x EA)( y E B)(2x+ y 8)odos os homens deares, obtém-se uma3. COMUTATIVIDADE DOS QUANTIFICADORES1. Quantificadores da mesma espécie podem ser comutados:

+y)2 é maior que ( V x) ( v y) (p(x, y)) (‘çt y) ( x) (p(x, y));



(3 x) ( 3 y) (p(x, y)) (3 y) ( 3 x) (p(x, y))11. Quantificadores de espécies diferentes não podem em geral ser comutados Exemplificando, seja a sentença aberta “x éfilho de y”, o universo das variáveisx e y sendo o conjunto H dos seres humanos. A proposição:

(çt x) ( 3 y) (x é filho de y)é verdadeira (V), mas a proposição:(3 y)(tx)(xéfilhodey)lo domínio de cadaé falsa (F).Seja, agora, a sentença aberta “y > x”, o universo das variáveis x e y sendo oconjunto N dos números naturais. A proposição:(V x) (3 y) (y > x)


C verdadeira (V), mas a proposição:

(3 y) ( x) (y > x)

é falsa(F).

4. NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COM QUANTIFICADORES

A negação de proposições com mais de um quantificador se obtém mediante aaplicação sucessiva das regras para negação de proposições com um único quantificador (segundas regras de negação de DEMORGAN).

[retilp)los: (1) Negação de proposições com dois quantificadores da mesma espécie:

x)(—y)(p(x,y)))=. (3 x) ( 3 y) (-p(x, y));

3 x) ( 3 y) (p(x, y)) ( x) (—( 3 y) (p(x, y)))x)( y)(’—p(x,y))(2) Negação de proposições com dois quantificadores de espécies diferentes:

—-(Vx)(3 y)(p(x,y))=(3 x)(—(3 y)(p(x,y)))= 4=(3 x)(Vy)(--p(x,y));3 x)(Vy)(p(x,y))=(V x)(HV y)(p(x,y)))==.(x)(3 y)(’—p(x,y))(3) Negação de proposições com três quantificadores:

3 x) ( 3 y) (V z) (p(x, y, z)) ( x) (-( 3 y) ( V z) (p(x, y, z)))x)(y)(3 z)(--p(x,y,z))

EXERCÍCIOS1. Sendo 1, 2, 3,4, 5} o universo das variáveis x e y, determinai o conjunto--verdade de cada uma das seguintes sentenças abertas:(a)(3y)(2x+y<7) (b) (‘x)(2x+y<1O)

ICAR FILHO

INICIAÇAOA LOOIUA MAIMAIILA

2. Sendo 1, 2,..., 9, iO} o universo das variáveis x e y, determinar o COnjunto-verdade de cada uma das seguintessentenças abertas:

(a)(y)(x+y<I4) (b) (3y)(x+y<14)

3. Sendo { 1, 2, 3 } o universo das variáveis x e y, determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:mediantea (a) (9 x)(Vy)(x2 <y+ 1) (b) (tx)(3 y)(x2 +y2 <12)

o quantifi- (e) ( x) ( y) (x2 + y2 <12) (d) ( x) ( y) (x2 + 2y < lO)

(e) (9 x)(çt y)(x2 + 2y <10) (f) ( x)( 3 y)(x2 + 2y <lO)(g) (9 x)( 3 y)(x2 +2y <10)

4. Sendo { 1, 2, 3 } o universo das variáveis x, y e z, determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:



(a) (9 x)(y)(3 z)(x2 +y2 <2/2)

(h) (9 x)(3 y)(z)(x2 +y2 <27.2)

5. Sendo R o conjunto dos números reais, determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:(a) (vyeR)(3 xR)(x+y=y)(h) (VxR)(9 yER)(x+y =0)(e) (xR)(9 yeR)(xy=1)

(d)

(VyER)(9 xER)(y<x)

6. Sendo A = 1, 2 9, 10 } ,determinar o valor lógico (V ou F) dc cada uma das seguintes proposições:(a) (çfxA)(9 yeA)(x+y<14)

(b) ( xA)(tyA)(x+y<14)

7. Dar a negação de cada uma das seguintes proposições:

(a) (V x) ( 3 y) (p(x) v q(y)) (b) (3 x) ( y) (p(x) v --q(y))(e) (3 y)( 3 x)(p(x),\ —q(y)) (d) (t x)(3 y)(p(x,y)-÷q(y))(e) (3 x)(Vy)(p(x,y)-*q(x,y))8. Dar a negação de cada uma das proposições do Exercício 5.conjunto 9Demonstrar:(i) (9 x)(y)(x,y))=(y)(9 x)(p(x,y))

(ii) (3 y) ( x) (p(x, y)) ( x) (9 y) (p(x, y))

192 EDGAHD DE ALENCAR IILHO10. Conjuntos Limitados

Seja A um subconjunto não vazio do conjunto R dos números reais (A eA C R).

Definição 1: Diz-se que A é limitado inferiormente (ou limitado à esquerda)se e somente se:

( aER)(VxEA)(ax)

Definição 2: Diz-se que A é limitado superiormente (ou limitado à direita) se esomente se:

( bER)(ç xEA)(xh)Definição 3: Diz-se que A é limitado se e somente se:

( a,beR)(’xEA)(ax A xb)

ALENCAR FILHO

eais(A#P e Respostas dos Exercíciosado à esquerda)io à direita se eCAPÍTULO 1

1. (a) V (b) F (e) F (d) F (e) V (O F (g) V

(h) F (i)V (j) F (k) F (1) F (m)V (n) F(o)V (p)F (q)V (r)V (s)V (t)V (u)FCAPÍTULO 21. (a) Não está frio.(b) Está frio e está chovendo.(e) Está frio OU está chovendo.(d) Está chovendo se e somente se está frio.(e) Se está frio, então não está chovendo.(f) Está frio ou não está chovendo.(g) Não está frio e não está chovendo.



(h) Está frio se e somente se não está chovendo.(i) Se está frio e não está chovendo, então está frio.2. (a) Se Carlos é feliz, então Jorge é rico.(b) Jorge é rico ou Carlos não é feliz.(e) Carlos é feliz se e somente se Jorge não é rico.(d) Se Jorge não é rico, então Carlos é feliz.(e) Não é verdade que Jorge não é rico.(f) Se Jorge não é rico e Carlos é feliz, então Jorge é neo.3. (a) Claudio fala inglês ou alemão.(b) Claudio fala inglês e alemão.(e) Claudio fala inglês mas não alemão.(d) Claudio não fala inglês e nem alemão.(e) Não é verdade que Claudio não fala inglês.(f) Não é verdade que Claudio não fala inglês e nem alemão.4. (a) Não é verdade que João é gaúcho e Jaime não é paulista.(b) Não é verdade que João não é gaúcho.

94

EU(iAHD DE ALENCAR FILHO

Não é verdadc que João não é gaúcho ou que Jaime não é paulista.Se João é gaúcho, então Jaime não é paulista.João não é gaúcho se e somente se Jaime não é paulista.

Não é verdade que, se Jaime não é paulista, então João é gaúcho.

5. (a) p A q (d) p A —q6. (a) p A q (d) (-p V q) A q

(b) pA-q (e) pv(—pAq)(h) pv—q

(e) —H-p v c)

(f) ‘—(‘---p v(c) —pA--q

7. (a) (p v q) A r (b) (d) —-((q V r) A

(p A q) v —(p A r) (c)

(p A r)

8. (a) x=OV x>O (b)

(d) x2 x .x A x0 =1

xO A y O

(e) x>IV x+y=O



9. (a) (x+y=OAz>O)v z=O (e) xOV(x=OAy<O)

lO. (a) x>O-÷y2(e) x=1v i=2-y>l(e) xy -÷x+z> 5 Ay+z<5(g) x<2-÷x=IV x=OII. (a) (x>5A x<7)v x6 (e) x>IV(x<1 Ax>O)

(b) x=O A(y+z>x V z=O) (d)(x=yAz=t)V(X<yAz=O)(b) x+y=2-*z>O

(d) z>5-.x1 Ax*2

(f)(x+y>zAzl)-+x+y>I (h) y=4 A(x<y-*x<5)(b) x <5 A x > 3 -+x 4

12. (a) F (b) V (e) F (d) V (e) F (f) F (g) F

13. (a) V (b) V (c) F (d) F

(h) F (i) V (j) F (k) F14. (a) V (b) V(h) V

15. (a) V (b) V (e) F

(h) F (i) V (j) V

(e)V (f)V (g)F

(d) F (e) V (f) V (g) F

ló. (a) V (b) F (e) V (d) F (e) V (f) F (g) V(li) V

(c)(d)(e)(f)

(e) F (d) V (e) V (f) F (g) V

17. (a) F (b) F (e) F (d) V (e) V (f) F (g) V

INICIAÇÃOÀ LÓGICA MATEMÁTICA

195

18. (a) V (b) V

(e) F (d) F (e) V (f) F

19. (a) V(p) V OU V(p) = F(d) V(p) = V ou V(p) F



(b) V(p)=F(e) V(p)=F

(c) V(p)=F (f) V(p)=F

20. (a) V(p) = F e V(q) = V; V(p) = F e V(q) = F(b) V(p)=F e V(q)=F

(e) V(p)=V e V(q)=V

(d) V(p)=V e V(Q)=V

(e) V(p)=F e V(q)=VCAPÍTULO 3

(a)(b)

(e)(d)

P q —q p v ‘--q —(p v —

q)

V V FV F VF V F

F F V

VVFV

FFVF

—q p-*-.-q -(p_*-.-q)

V V FV F VF V FF F V

FVVV

VFFF

p q pAq pvq pAq-pvq

V FF VFF

vFFF

vVVF

vVVV

p

q p q-+p -.--p-(q-+p)

V V FV F FF V VF F V

VVFV

VVFV



196


2.

(e)(1)(g)(h)(a)

pq

pq

pA

q

(pq)pA

q

v vV FF VFF

v

FV

V

vFFF

vVFF

‘-qq A

pq —*-‘q A p

vV F VF V FF F V

FVFF

FFFV

i

pq

q p

(pq)qp

V V FV F VF V FF F V

FVVF

VVFV

FVFF



p

q

(p —+ q) —* — P A q

V V

V FF VF F

V F F V

V V V FF V F VF F V F

V

F

V

V

F

F

V

V

V F

V FF VF F

V

F

V

F

1 32

1 4 2 1 3 1

p q r — p A r —*q

V r

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

F

F

F

F

F

V

V

V

V

V

V

V

V

F

F

F

F

F

F

F

F

V

F

V

F

V V VF V VV V FF V FV V VF V VV F FF VF

V

V

F

V

V

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

V

F

V

F

V

F

V

F

2 1 3 1 41

3 2 1

INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA(b)

(e)

p q r p - r ÷—

÷ q V ‘— r

V

V

V

V

V

F

V

V

V

F

V

F

VFF

V

V

V

V

F

V

V

F



V

V

F

F

F

F

F

F

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

F

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

V

F

V

F

FV

FFV

F

F

V

V

F

F

F

V

V

V

F

V

F

V

F

V

F

V

V

F

V

F

V

F

1 2 1 4 1 3 2 1

p q r p — (p -* -- r) *—* q v r

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

VFVFVFV

F

VVVVFFF

F

F

V

F

V

V

V

V

V

VVVVFFFF

FVFVVVVV

F

V

F

V

F

V

F

V

VFVFVFVF

F

V

F

F

V

V

V

F

VVFFVVFF

V

V

V

F

V

V

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

1 4 1 3 2 1 5 1 2 1

d)

(i A q -+ r) v ( p ÷— q v - r)

VVVVFFFF

VVFFFFFF

VVFFVVFF

V

F

V

V

VFVFVFVF

VFVVVVVV

F

F

F

F

VVVVFFFF

F

F

V

F

VVFFVVFF

V

V

F

V

F

V

F

V

V

F

V

F



V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

V

V

V

F

V

F

V

F

V

V

F

V

F

1 2 1 3 1 5 2 1 4 1 3 2 1


3. (a) VI7FV (b) VVFF (c) FVVF (d) FVVF (e) VFFV(F) FVFV (g) VVFV

4. (a) VVVVVFFF (b) VFVVVFVF (e) FVFFVVVV(d) VVVVVFFF (e) VVFVFVFV (f) FFFFVVFF

5. (a) V (b) F (e) F (d) V (e) F O) V

6. F7. (a) F (b) V (e) V (d) V.(a) F (b) F (e)V

9. (a) F (b) V (e) F (d) V (e) V (f) V

(g) V (h) V (i) F (j) F (k) V (1) VlO. (a) V (b) F (e) V (d) V (e) V (f) V

II. (a) F (b) V c) V (d) V (e) V (í) F(g)V (h)V12. (a) V (b) V (e) F (d) V (e) V13. (a) V (b) V14. (a) F (b) V (c) V15. (a) (q*rvq)-+(pA-q)

(b) p A q÷—+(q--r vq)

(e) (p v q -* —r) v (‘—q A r A q)CAPÍTULO 44. (a), (b), (e), (g), (h) tautológicas; (d), (e), (1) contingentesCAPÍFULO 68. (a) F (b) V (e) F (d) V

INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 199CAPÍTULO 74. (a) Está frio e não está chovendo.(b) O pai de Marcos não é pernambucano e a mãe não é gaúcha.(c) As vendas estão aumentando ou os preços estão diminuindo.(d) Jorge não estuda Física ou estuda Química.CAPÍTULO 8

3. (a) ‘-p A q (b) p v —q (e) p A q (d) ‘-p Aq(e) q (f) C (Ctr.)7. (a) —-pv q (b)—p (c)pAp (d) pvp(e) -pv -q (f) -‘p (g) pv—p (h) -‘--p A—q

(i) (p v p) A (q v -q) (j) (p v -q) A (-p v q) A q(k) pA(pv q)A(-pv-q) (1) PA(PV -q)A(pvq)

(m)(-pv qV r)A(-p —q v—r)(n) p A(pV q)A r

8. (a) p A q (b) p A (c) ‘-p v (--p A q) (d) -p A —q



(e) p v q (f) p v -q (g) p v -p (h) p A

(i) —pv —q (j) ‘pA -q (k) -p (1) pv—pCAPÍTULO 91. (a) (pA(q-p))-q(b) (p+q)_—(pAq)(c) (p A(p-+q)À (—‘qv (r As)))-*rA s

(d) ((x=y-*x=5)A(x=5-+x<z))-+(xy-*x<z)

2.(a) p. qv—p——q(b) p—*q, pA--qF---—s(c) —(x<OAyx»-— x4Ovyx3. (a) AD (b) SIMP (c) SH (d) MP (e) MT (f) CONJ

(g) SD (h) ABS (i) MP (j) MI (k) CONJ (1) AD(iii) SD (n) SH (o) SIMP

CAPÍTULO 10

5..p-÷---q, pv

CAPÍTULO 14

r,

p— r; Sofisma

200

4. (a) x = (e) y ÷ 1 = 2

(b) xy E R (f) x=y

5.

(a)

x=0

(e) x > z

EDGARD DE ALENCAR FILHO3>1

(b)

6. (a)

xi



(d)

x4

(e)

(b) y<6

7. (a)(e)

(d)

(e)

p—*t

sV t-÷---p

x3

rAt

(d)

8. (a)(e)

(b)

(d)

v -s

XY = O V xy > 3

x = 3 -* x z xy = 6 -+ y = 2

9. (a)

(e)

(b)(d)

-(p A q) v q x<3V x>4



x>3V z<2 x2=4V y2=9

(b)

(d)

pv’qx#2V x*8

1. (a)

(d)

{3}

{2}

(b) { 1,2,3,4k (e) {s}

2. (a)(cl)

{3, —3. {O }

(c)

(f)

{2,3}

{6,7,8,...

(b) { —1,0, i} (e) {4,—3}

3. (a)(e)

{ i,3,4}

{4}

(c)

(f)

(b)



(f)

{2,—2}

{ 3,—2}

{i,3}

{1}

(e)(g)

4. (a)

(d)

(g)

{1}

{ 1,3,9}

{ —1, 1,2,4)4)

—2, 2, 4 }

(d)(h)

{ 1,3,4) {3,4, 7,9)

(b) {xERx2)

(e) {—2,2 }(h) {—i,o}

5.

(a)

(c)(f)

{9,lo} (b)



{-i,i}{—3,3}

{4, IO}

(e) {4,9}

(cl) { i }

6.

{ (1, 5), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 3), (4, 5)}


7. { (2, 8), (2, 6), (3, 3), (3, 6) }8. { (9, 1), (6, 2), (3, 3)}

9. {(2, 3), (2, 5), (3: 2), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4) }

10. { (2, 2), (2,’ 5), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (5, 5), (5, 2), (6, 6), (6, 3) }

11. {(—2, —1),(—2, 0),(0, —1),(0, 0),(1, —1) }CAPÍTULO 15

4. (a) { -3, -1, 1, 3}(d) {—3,—1,1}

5. (a) { 0, 2, 4, 5}(b)6. VPAq [—1,v 4 2

pvq8V —2 3

pAql”5l

9. Vp q= 1, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9}Vp÷÷q 1,3,4,6,8}

11. (a) CAVp fl CAVq(c) CAVp Li Vq Li Vr

201

(b) { —3, —2,0,2, 3} (e) {—3, —2, —1 }

(e) { —3,2, 3)’

{0, 2,3,5)’ (c) {2,4} (d) {o, i}=

_J 4

Vp A q -



V__p 1 ÷ ‘-÷[

Vq..÷p 1,2, 3, 4, 6, 8}(b) Vp Li CAVq

(d) (Vq fl Vr)U(CAVp fl Vr)U CA(VpU Vq)

1. (a) { 1,3, 5} (b) { 2,4,6, 8} (c) {3, 6} (d){1,2,

4,5,6}

2. (a) {O, 1, 3} (b){0,1,2,4}

(e){O,2,3,5}

(d) {1,4, 5

3. (a) { 4,5} (b) {O,2,4 (e) {o,5 (d) 5}

(e) { 0, 1, 4} (f) 1,2,4, 5}


CAPtrULO 165. (a) V (b) V (c) F (d) V6.(a)(VxER)(2xx) (b)(xER)(x2+3x2)(c)(VxER)(x2i-52x) (d)(xER)(2x+3x#5x)

7. (a) V (b) V (c) F (d) V (e) V (O V

8. (a) F (b) F (e) V (d) F

9. (a) F (b) V (e) V (d) F

10. (a) ( xEA)(x+36) (b) (xEA)(x÷36)(c)(xEA)(x2—1O>8) (d)(xEA)(2x2+x15)

11. (a) V (b) F (e) V (d) F (e) V (1’) F (g) V13. (a) 3 (b) Não há (a proposição é verdadeira)(e) 9 (d) Não há (a proposição é verdadeira)

14. (a) ( xEA)(x--3<7) (b) ( xEA)(xé par)

(e) ( x E A) (x não é primo) (d) ( x E A) (1 x 1 x)

15. (a) ( x E A) (—p(x)) v ( x E A) (q(x))

(b) (çt x E A) (---xx)) A ( x E A) (--q(x))

(c) ( x E A) (p(x)) A ( x E A) (q(x))(d) ( xEA)(p(x))A(a xEA)(q(x))

16. (a) ( x)(xi-2>7)V (V x)(x2 —1 3)

(b) (t x)(x2 9)A ( x)(2x-5=7)CAPITULO 171. (a) {J,2} (b) Ø

2. (a) {i, 2,3). (b) (1,2 9, io}



3. (a) V (b) B (c) F (d) F (e) V (O F (g) V


4.(a)V (b)F5. (a) V (b) V (c) F (d) V

6.(a)V (b)F7. (a) ( x) ( V y) (-.p(x) A —q(y)) (b) ( V x) ( y) (—p(x) A q(y))

(c) (V y)(çx)(’--p(x) v q(y)) (d) (3 x)(y)(p(x,y) A

(e) ( x)( 3 y)(p(x,y) A —q(x,y))8. (a) (3yER)(xER)(x+y#y) (b) (3 xER)(VyER)(x÷yO)(e) (3 xeR)(y6R)(xy1) (d) (3 yR)(VxR)(yx)

Bibliografia1. BOSCH. J. — Simbolismo Lógico; Eudeba; 19652. BURGOS, A. — Iniciación a la Lógica Matemática; S.C.; 1973

3. CHEIFETZ y AVENOSO Lógica y Teoria de Conjuntos; Alhambra; 19744. CHAUVINEAU, J. — La Logique Moderne; P.U.F.; 19665. COPI, IRVING M. — Introduction to Logic; MacMillan; 19636. DEANO, A. — Introducción a La Lógica Formal; Alianza; 19737. GARRIDO, M. Logica Simbólica; Tecnos; 19738. HILBERT y ACKERMANN — Lógica Terica; Tecnos; 19689. KEMENY, SNELL y THOMPSON Matemáticas Finitas; Eudeba; 196710. LIPSCHUTZ, S. Finite Mathematics; Schaum; 196611. LIGHTSTONE, A. H. Symbolic Logic; Harper,d96612. MORA y LEBLANC - Lógica Matemática; F.C.E.; 196513. MORENO, A. — Ejercicios de Logica; Eudeba; 197314. MURO, HERMOSA y JACHIMOVICZ Ejercicios de Lógiõ Paidós; 197415. MENDELSON, E. - Boolean Algebra; Schaum; 197016. NOVIKOV, P. S. — Mathematical Logic; Oliver & Boyd; 196417. NUNO, J. Elementos de Lógica Formal; EBVC; 1973

18. SUPPES y HILL Lógica Matemática; Reverté; 1973

A EL)ITORA NOBEL procura sempre publicar obras que atendam às necessidades e interesses dos leitores. Com o objetivo de satisfazer

de forma cada vez melhor sua expectativa, elaboramos este questionário. Solicitamos que você o responda e o envie para a Editora Nobel.

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P5’.: - Se você não quiser recortar o livro, transcreva o questionário em urna folha avulsa.

1 . Título ue adquiriu:

Autor:

Final idade da compra:

2. Você já conhecia os livros publicados pela Nobel? Sim E Não E

3. Você já havia adquirido algum livro editado pela Nobel7 Sim O Não E

4. Qual a soa opinião sobre os livros editados pela Nobel quanto à:

Qual idade cdi toral E 01 i ma E l3oa E Rego lar E Má

Qualidade gráflca E Otima E Boa E Regular E Má

Apresentação gráfica E Otima E Boa E Regular E Má

5. Quais são suas áreas de maior interesse? (Favor numerar, pela ordem de interesse,

1cm brando que o n° 1 corresponde àquela que mais lhe interessa).

E Adio iii siração O Economia E M arketing

O Agricu 1 tora E Engenharia E Negócios

E Animais Domésticos E Fruticultura E Pássaros

E Artes e Arquitetura O Horticultura E Peixes Ornamentais

E Direito E Jardinagem E Psicologia

E Ecologia E Literatura E Vendas



E Veterinária e Zoologia

6. Na compra de um livro, o que você mais leva em consideração? (Favor numerar pela ordem de importância.)

EPreço E Se há ilustrações E Editora

E Capa em cores E Coirientários da imprensa E Tamanho da letra

EFormato do livro E Nacionalidade do autor E Exposição em livraria

E Número de páginas E Assunto abordado E ____________________________

7. De que maneira você se inlbrma sobre os novos lançamentos da Nobel?

E Jornal/Revista E Folheto/Mala diretaE Na própria li vrari a E Catálogo

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