Aula 10. Regressão Linear Múltipla.

1. C.Dougherty “Introduction to Econometrics”

2. Capítulo 16. Bussab&Morettin “Estatística Básica” 7ª Edição

Regressão linear simples - Resumo

),0( 2

N

xy

i

iii

Modelo

ii xyE ][ ]|[ ii xyE

),0(

]|[2

N

xyEy

i

iiii

1. Saber como obter fórmulas para coeficientes de regressão pelo método de mínimos quadrados. Lembrar fórmulas

xbyaxVarxyCovb )(/),(2. Interpretação de coeficientes: sempre para b (“x aumenta em 1 – y aumenta (diminue) em b”)

3. T-teste para coeficientes, intervalo de confiança.

20

00

).(.

:

ntbes

b

H

2

0

).(.

0:

ntbes

b

H

).(.)(2;

21

1 bestbICn

4. F-teste para regressão: saber definição de R2 e realizar teste

)(

)(12

yVar

eVar

SS

SSR

Total

egR 2,12

2

)2/()1(

nFnR

RF

5. Transformação de variáveis, logaritmica, interpretação de coeficientes (tendência exponencial, elasticidade)

população

xy

MODELO

n

n

n

x

x

y

x

x

y

x

x

y

2

1

22

12

2

21

11

1

,,,

n

n

x

y

x

y

x

y,,,

2

2

1

1

x

y=

=

2

1

x

x

y

2211 xxy

MODELO

ni

N

xy

i

iii

,,2,1

),0( 2

ni

N

xxy

i

iiii

,,2,1

),0( 2

2211

kk xxy 11

Modelo com k explicativas

Regressão bi-dimensional

y (food)

x (salario)

p (preço)

pxy

MODELO

21

efeito puro de salario

x1 efeito puro de preço

p2 efeito conjunto de preço e salario

px 21

Regressão bi-dimensional

y = 116.7 + 0.112 x – 0.739 p R2=0.99(s.e.) (9.6) (0.003) (0.114)

Consideramos o seguinte exemplo: para os anos 1959-1983 o gasto total em alimentos (y) em E.U. com salario liquido (x) e preços (p) deu a seguinte regressão.

y e x são medidas em $ bilhões no nível de preços em 1972, e p é índice relativo de preços calculado dividindo deflator implícito de preços em alimentos pelo deflator implícito para gasto total, com base de calculo 1972 = 100, e multiplicando por 100.

A equação tem que ser interpretada em seguinte maneira. Para cada incremento em $ bilhão em renda, deixando preços em nível constante, gastos em alimentos aumentam em $ 112 milhões. Em cada incremento em um ponto de índice p, mantendo o salario constante, os gastos diminuem em $ 739 milhões

min),,())(()ˆ( 211

22211

1

2

1

2

bbaSSxbxbayyyen

iiii

n

iii

n

ii

Regressão bi-dimensional Método mínimos quadrados

0),,(

0),,(

0),,(

2

21

1

21

21

b

bbaSS

b

bbaSSa

bbaSS

0))((

0))((

0))((

122112

122111

12211

n

iiiii

n

iiiii

n

iiii

xbxbayx

xbxbayx

xbxbay

22121

211122

22121

212211

2211

)],([)()(

),(),()(),(

)],([)()(

),(),()(),(

xxCovxVarxVar

xxCovyxCovxVaryxCovb

xxCovxVarxVar

xxCovyxCovxVaryxCovb

xbxbya

Regressão bi-dimensional

A regressão múltipla pode discriminar os efeitos de variáveis explicativas, tomando em consideração fato que variáveis explicativas podem ser correlacionadas. Coeficiente de cada variável x estima a influência dessa variável em variável dependente y, controlando os efeitos de outras variáveis.

Isso pode ser mostrado do jeito seguinte: estimamos coeficiente em regressãoy conta x1, mas o x1 tem que ser “limpo” da parte da variável x2

2211 xxy

MODELO

supomos que coeficientes e são positivos e correlação entre x1 e x2 é positivo

o que acontece se a gente faça a regressão entre y e x1, esquecendoa variável x2, supondo que o modeloreal é bidimencional?

y

x1 x2

efeito diretode x1 mantendox2 constante

efeito diretode x2 mantendox1 constante

efeito aparentede x1 que atua como imitadorpara x2

Regressão bi-dimensional

separamos x1 em duas partes 111 x̂xx

1x1x̂ atua como imitador de x2

atua “independente” de x2

1x̂1x

1x 2x

y

)ˆ( 111 xxx )ˆ( 21 dxcx

2211 xbxbay 11xbay

11xbay

11 bb

d1b

1x 2x

y

2b

Regressão multi-dimensional

t-teste

1

1

).(.

).(.

kni

ii

kn

tbes

b

taes

a

kxxxy ,,, 21

F-teste

1,2

2

)1/()1(

/

knkFknR

kRF

Testa hipótese

0: 210 kH

iH :0

0:0 iH

Regressão multi-dimensional

kk xxy 11

mmkkkk xxxxy 1111

)(kSSErro

)(mSSErro

)()( mSSkSS ErroErro

1,)1/()(

)/())()((

mnkmErro

ErroErro FmnmSS

kmmSSkSSF

mkH 10 :

R2 ajustado

kmmSSkSS ErroErro ),()(

kmmRkR ),()( 22

Como recompensar o aumento automatico de R2 na hora de adicionar as novas variáveis?

11

1)1(1 2222

mn

mRR

mn

nRRadj