Aula 10. Regressão Linear Múltipla.
1. C.Dougherty “Introduction to Econometrics”
2. Capítulo 16. Bussab&Morettin “Estatística Básica” 7ª Edição
Regressão linear simples - Resumo
),0( 2
N
xy
i
iii
Modelo
ii xyE ][ ]|[ ii xyE
),0(
]|[2
N
xyEy
i
iiii
1. Saber como obter fórmulas para coeficientes de regressão pelo método de mínimos quadrados. Lembrar fórmulas
xbyaxVarxyCovb )(/),(2. Interpretação de coeficientes: sempre para b (“x aumenta em 1 – y aumenta (diminue) em b”)
3. T-teste para coeficientes, intervalo de confiança.
20
00
).(.
:
ntbes
b
H
2
0
).(.
0:
ntbes
b
H
).(.)(2;
21
1 bestbICn
4. F-teste para regressão: saber definição de R2 e realizar teste
)(
)(12
yVar
eVar
SS
SSR
Total
egR 2,12
2
)2/()1(
nFnR
RF
5. Transformação de variáveis, logaritmica, interpretação de coeficientes (tendência exponencial, elasticidade)
população
xy
MODELO
n
n
n
x
x
y
x
x
y
x
x
y
2
1
22
12
2
21
11
1
,,,
n
n
x
y
x
y
x
y,,,
2
2
1
1
x
y=
=
2
1
x
x
y
2211 xxy
MODELO
ni
N
xy
i
iii
,,2,1
),0( 2
ni
N
xxy
i
iiii
,,2,1
),0( 2
2211
kk xxy 11
Modelo com k explicativas
Regressão bi-dimensional
y (food)
x (salario)
p (preço)
pxy
MODELO
21
efeito puro de salario
x1 efeito puro de preço
p2 efeito conjunto de preço e salario
px 21
Regressão bi-dimensional
y = 116.7 + 0.112 x – 0.739 p R2=0.99(s.e.) (9.6) (0.003) (0.114)
Consideramos o seguinte exemplo: para os anos 1959-1983 o gasto total em alimentos (y) em E.U. com salario liquido (x) e preços (p) deu a seguinte regressão.
y e x são medidas em $ bilhões no nível de preços em 1972, e p é índice relativo de preços calculado dividindo deflator implícito de preços em alimentos pelo deflator implícito para gasto total, com base de calculo 1972 = 100, e multiplicando por 100.
A equação tem que ser interpretada em seguinte maneira. Para cada incremento em $ bilhão em renda, deixando preços em nível constante, gastos em alimentos aumentam em $ 112 milhões. Em cada incremento em um ponto de índice p, mantendo o salario constante, os gastos diminuem em $ 739 milhões
min),,())(()ˆ( 211
22211
1
2
1
2
bbaSSxbxbayyyen
iiii
n
iii
n
ii
Regressão bi-dimensional Método mínimos quadrados
0),,(
0),,(
0),,(
2
21
1
21
21
b
bbaSS
b
bbaSSa
bbaSS
0))((
0))((
0))((
122112
122111
12211
n
iiiii
n
iiiii
n
iiii
xbxbayx
xbxbayx
xbxbay
22121
211122
22121
212211
2211
)],([)()(
),(),()(),(
)],([)()(
),(),()(),(
xxCovxVarxVar
xxCovyxCovxVaryxCovb
xxCovxVarxVar
xxCovyxCovxVaryxCovb
xbxbya
Regressão bi-dimensional
A regressão múltipla pode discriminar os efeitos de variáveis explicativas, tomando em consideração fato que variáveis explicativas podem ser correlacionadas. Coeficiente de cada variável x estima a influência dessa variável em variável dependente y, controlando os efeitos de outras variáveis.
Isso pode ser mostrado do jeito seguinte: estimamos coeficiente em regressãoy conta x1, mas o x1 tem que ser “limpo” da parte da variável x2
2211 xxy
MODELO
supomos que coeficientes e são positivos e correlação entre x1 e x2 é positivo
o que acontece se a gente faça a regressão entre y e x1, esquecendoa variável x2, supondo que o modeloreal é bidimencional?
y
x1 x2
efeito diretode x1 mantendox2 constante
efeito diretode x2 mantendox1 constante
efeito aparentede x1 que atua como imitadorpara x2
Regressão bi-dimensional
separamos x1 em duas partes 111 x̂xx
1x1x̂ atua como imitador de x2
atua “independente” de x2
1x̂1x
1x 2x
y
)ˆ( 111 xxx )ˆ( 21 dxcx
2211 xbxbay 11xbay
11xbay
11 bb
d1b
1x 2x
y
2b
Regressão multi-dimensional
t-teste
1
1
).(.
).(.
kni
ii
kn
tbes
b
taes
a
kxxxy ,,, 21
F-teste
1,2
2
)1/()1(
/
knkFknR
kRF
Testa hipótese
0: 210 kH
iH :0
0:0 iH
Regressão multi-dimensional
kk xxy 11
mmkkkk xxxxy 1111
)(kSSErro
)(mSSErro
)()( mSSkSS ErroErro
1,)1/()(
)/())()((
mnkmErro
ErroErro FmnmSS
kmmSSkSSF
mkH 10 :
R2 ajustado
kmmSSkSS ErroErro ),()(
kmmRkR ),()( 22
Como recompensar o aumento automatico de R2 na hora de adicionar as novas variáveis?
11
1)1(1 2222
mn
mRR
mn
nRRadj