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Assíntotas

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Assíntotas

1.Assíntotas verticais e limites infinitos

2.Assíntotas horizontais e limites no infinito

3.Assíntotas inclinadas

3

Recorde que, a funçãof(x) = 3/(x – 2) é não-limitadaquando x → 2. Descrevemosesse tipo de comportamentodizendo que a reta x = 2 é umaassíntota vertical do gráficode f. O tipo de limite em quef(x) → ∞ (ou -∞) quando x → cpela esquerda ou pela direita éum limite infinito.

1. Assíntotas verticais e limi-tes infinitos

4

Os limites infinitos paraa função f(x) = 3/(x – 2) podemescrever-se como


2 2

3 3lim lim

2 2x xe

x x− +→ →= −∞ = ∞

− −

5


Um dos casos mais comuns de assíntotavertical é o gráfico de uma função racional – isto é,uma função da forma f(x) = p(x)/q(x), onde p(x) eq(x) são polinômios. Se c é um número real tal queq(c) = 0 e p(c) ≠ 0, então o gráfico de f tem umaassíntota vertical em x = c.

6


Exemplo 1: Determinação de limites infinitos

Limite à esquerda Limite à direita

1

1lim

1x x−→= −∞

− 1

1lim

1x x+→= ∞

−

7




1

1lim

1x x−→

− = ∞− 1

1lim

1x x+→

− = −∞−

8




21

1lim

( 1)x x−→

− = −∞− 21

1lim

( 1)x x+→

− = −∞−

9




21

1lim

( 1)x x−→= ∞

− 21

1lim

( 1)x x+→= ∞

−

10


Cada um dos gráficos do Exemplo 1 temapenas uma assíntota vertical. Porém, o gráfico deuma função racional pode ter mais de umaassíntota vertical.

11


Exemplo 2: Determine as assíntotas

verticais do gráfico de .

As assíntotas verticais correspondem aosvalores de x para os quais o denominador é zero.

2

2( )

2x

f xx x

+=−

2 2 0

( 2) 0

0 2

x x

x x

x e x

− =⋅ − == =

12


Como o numerador de f(x)

não se anula em nenhum desses

valores, concluímos que o gráfico

de f tem duas assíntotas verticais

– uma em x = 0 e uma em x = 2.

13


Exemplo 3: Determine as assíntotas

verticais do gráfico de .

Fatore primeiro o numerador e odenominador, e cancele os fatores comuns.

2

2

2 8( )

4x x

f xx+ −=

−

2

2

( 4) ( 2)2 8 ( 4) ( 2)( )

4 ( 2) ( 2)

x xx x x xf x

x x x

+ ⋅ −+ − + ⋅ −= = =− + ⋅ − ( 2) ( 2)x x+ ⋅ −

( 4), 2

( 2)x

xx

+= ≠+

14


Para todos os valores de

x ≠ 2, o gráfico desta função

simplificada é o mesmo que o

gráfico de f. Podemos, assim,

concluir que o gráfico de f tem

apenas uma assíntota vertical, que

ocorre em x = -2.

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Exemplo 4: Ache os limites

Como o denominador é zero quando x = 1, mas o

numerador não o é, decorre que o gráfico da

função tem uma assíntota vertical em x = 1. Isto

implica que cada um dos limites dados é +∞ ou -∞.

2 2

1 1

3 3lim lim

1 1x x

x x x xe

x x− +→ →

− −− −

2 2

1 1

3 3lim lim

1 1x x

x x x xe

x x− +→ →

− −= +∞ = −∞− −

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2. Assíntotas horizontais elimites no infinito

Outro tipo de limite, chamado limite noinfinito, dá um valor finito para o qual tende umafunção quando x aumenta (ou diminui) sem limite.

Definição de assíntota horizontal

Se f é uma função e L1 e L2 são númerosreais, as afirmações

denotam limites no infinito. As retas y = L1 ey = L2, são assíntotas horizontais do gráfico de f.

1 2lim ( ) lim ( )x x

f x L e f x L→∞ →−∞

= =

17


A figura ao lado mostra duasmaneiras como o gráfico de umafunção pode tender para uma ou maisassíntotas horizontais. Note que ográfico de uma função pode cortarsuas assíntotas horizontais.

Ao determinar assíntotas ho-rizontais, podemos utilizar a pro-priedade

1 1lim 0, 0 lim 0, 0r rx x

r e rx x→∞ →−∞

= > = >

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Exemplo 5: Ache o limite:2

2lim 5x x→∞

−

2 2 2

2 2 1lim 5 lim 5 lim lim 5 2 lim 5 2 0 5x x x x xx x x→∞ →∞ →∞ →∞ →∞

− = − = − ⋅ = − ⋅ =

Note que o gráfico temy = 5 como assíntota horizontalà direita. Calculando o limitede f(x) quando x → -∞, vê-seque esta reta também éassíntota horizontal àesquerda.

19


Há uma forma fácil de determinar se o

gráfico de uma função racional tem assíntota

horizontal. Esse processo prático se baseia em

uma comparação dos graus do numerador e do

denominador da função racional.

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Assíntotas horizontais de funções racionais

Seja f(x) = p(x)/q(x) uma função racional.

1. Se o grau do numerador é inferior ao grau do denomina-dor, então y = 0 é assíntota horizontal do gráfico de f(à esquerda e à direita).

2. Se o grau do numerador é igual ao grau do denominador,então y = a/b é assíntota horizontal do gráfico de f(à esquerda e à direita); a e b são os coeficientes dostermos de maior grau de p(x) e q(x), respectivamente.

3. Se o grau do numerador é superior ao grau do denomi-nador, então o gráfico de f não tem assíntotahorizontal.

21


Exemplo 6: Ache as assíntotas horizontaisdos gráficos das funções

Como o grau donumerador é inferior ao graudo denominador, y = 0 éassíntota horizontal.

2

2 3.

3 1x

a yx

− +=+

2

2

2 3.

3 1x

b yx

− +=+

3

2

2 3.

3 1x

c yx

− +=+

22



Como o grau donumerador é igual ao grau dodenominador, a retay = -2/3 é assíntota horizontal.

2

2 3.

3 1x

a yx

− +=+

2

2

2 3.

3 1x

b yx

− +=+

3

2

2 3.

3 1x

c yx

− +=+

23



Como o grau do nume-rador é superior ao grau dodenominador, o gráfico nãotem assíntota horizontal.

2

2 3.

3 1x

a yx

− +=+

2

2

2 3.

3 1x

b yx

− +=+

3

2

2 3.

3 1x

c yx

− +=+

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3. Assíntotas inclinadas

Algumas curvas têm assíntotas que sãooblíquas, isto é, não são horizontais nem verticais.Se

( )lim ( ) 0x

f x mx b→∞

− + =

então a reta y = mx + b é chamada deassíntota inclinada, pois a distância vertical entrea curva y = f(x) e a reta y = mx + b tende a 0, comona figura seguinte. (Uma situação análoga existequando fazemos x → -∞.)

25


26


Para as funções racionais, as assíntotasinclinadas ocorrem quando a diferença entre osgraus do numerador e do denominador é 1. Nessecaso a equação da assíntota inclinada pode serencontrada por divisão de polinômios, como noexemplo a seguir.

27

Exemplo 7: Ache a assíntota inclinada dafunção

3

2( )

1

xf x

x=

+

A divisão de polinômios fornece:

( )23

2 2 2 2

1( )

1 1 1 1

x xx x xf x x

x x x x

⋅ += = − = −

+ + + +


28

Assim sendo

( )

2

2 2 2

22

lim ( ) 0

10

lim lim lim lim 01 11 1 1 1

quando x

x

x x x x

f x mx b

xx x x xx x

x x xxx

→∞

→∞ →∞ →∞ →∞

− + =

− − = − = − = − = − = + + + +

→ ±∞

Logo, a reta y = x é uma assíntota inclinada.


29

Derivada primeira:

Pontos críticos: x = 0

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )

2 2 3 4 2 4

2 22 2

2 24 2 4 4 2

2 2 22 2 2

1 3 2 3 3 2( )

1 1

33 3 2 3( )

1 1 1

x x x x x x xf x

x x

x xx x x x xf x

x x x

+ ⋅ − ⋅ + −′ = =+ +

++ − +′ = = =+ + +


30

Derivada segunda:

( )22 1( )

xf x

+′′ =

( ) ( ) ( )3 2 2 24 6 3 2 1x x x x x⋅ + − ⋅ + ⋅ ⋅ +

( )42

2

1

x

x

⋅

+

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

2 2 3 2

32

2 2 2 2

32

4

1 2 2 3 4 3( )

1

2 1 2 3 2 3( )

1

2 2( )

x x x x xf x

x

x x x x xf x

x

x xf x

+ ⋅ ⋅ + − ⋅ +′′ =

+

⋅ + ⋅ + − ⋅ + ′′ =

+

⋅′′ =

2 2 43 2 3 2x x x+ + + −

( )( )

( )

2 2

3 32 2

6 2 3( )

1 1

x x xf x

x x

− ⋅ − ′′⇒ =+ +


31

Pontos de inflexão:

Os pontos de inflexão são:

2

2 0 0

3 0 3

x x

x x

= ⇒ =

− = ⇒ = ±


( )3 3 3 33; , 0, 0 e 3;

4 4

− −

32


Intervalo f(x) f’(x) f‘’(x) Forma do gráfico

+ + Cresc.; CC

+ 0 PI

+ - Cresc.; CB

0 0 PI

+ + Cresc.; CC

+ 0 PI

+ - Cresc.; CB

( ), 3−∞ −

( )3, + ∞

( )0, 3

( )3, 0−

3x = −

0x =

3x =

3 3 4−

3 3 4

0

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