Exercícios de exames e provas oficiais - matematica on-line · 2017-10-03 · matA12 assíntotas [email protected] 1 / 21 Exercícios de exames e provas oficiais 1. Considere

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Exercícios de exames e provas oficiais

1. Considere a função f, de domínio

, definida por ln x

f xx

.

Utilizando exclusivamente métodos analíticos, estude a função f quanto à existência de

assíntotas do seu gráfico paralelas aos eixos coordenados.

matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2017

2. Sejam f e g duas funções de domínio

.

Sabe-se que a reta de equação y x é assíntota oblíqua do gráfico de f e do gráfico de g.

Qual é o valor de

limx

f x g x

x

?

(A) (B) 1 (C) 1 (D)


3. Seja f a função, de domínio 3

,2

, definida por

21 3cos 0

4 2

ln 0x

x x se xf x

e x se x

Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, determine limx

f x x

.

Interprete o valor obtido em termos de assíntotas do gráfico de f.

matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2016

4. Seja f a função, de domínio ,2

, definida por

2 sin

0cos 2

x ln 0

xse x

f x x

x se x

Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, estude a função f quanto à

existência de assíntota oblíqua do seu gráfico.



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5. Seja f uma função de domínio

Sabe-se que:

•

lim 1

x

x

f x e x

x

• o gráfico de f tem uma assíntota oblíqua

Qual é o declive dessa assíntota?

(A) 2 (B) 1 (C) 1 (D) 2


6. Considere a função f, de domínio , 1 1, , definida por 1

ln1

xf x

x

Resolva o item seguinte, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

Estude a função f quanto à existência de assíntotas verticais do seu gráfico.


7. Seja f a função, de domínio 0

, definida por 2 1 xf x x e .


existência de assíntota horizontal.


8. Seja f a função, de domínio , definida por

1 3

ln 3 ln 3

xxe se xf x

x x se x


existência de assíntotas horizontais do seu gráfico.



1

2 1 2

11 ln

2

xe ese x

xf x

x x se x

Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, averigue da existência de

assíntotas verticais do gráfico da função f.



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.

A reta de equação 2 5y x é assíntota do gráfico da função f.

Qual é o valor de

6 1limx

x

f x

?

(A) 0 (B) 2 (C) 3 (D)


11. Considere, para um certo número real k, a função f, de domínio ,e , definida por

2

2

2

sin 22

6

xxe se x

f x xk se x e

x x


existência de assíntota horizontal do seu gráfico e, caso exista, indique uma equação dessa

assíntota.


12. Considere as funções f e g, de domínio ,0 , definidas por

ln

1x

f x xx

e g x x f x

Recorrendo a processos exclusivamente analíticos, estude a função f quanto à existência de

assíntotas do seu gráfico e, caso existam, indique as suas equações.


13. Considere a função f, de domínio , definida por

4

4

3 114

4

ln 2 4

x

x

e xse x

xf x

e e se x

O gráfico da função f tem uma assíntota oblíqua quando x tende para , de equação

y x b , com b .

Determine b recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.



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Sabe-se que:

• lim 1x

f x

• lim 2 2x

f x x

Em qual das quatro opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função f?

(A)

(B)

(C)

(D)


15. Considere duas funções g e h, de domínio

Sabe-se que:

• a reta de equação 2 1y x é assíntota do gráfico da função g

• a função h é definida por

2

2

1 g xh x

x

Mostre que o gráfico da função h tem uma assíntota horizontal.



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3 2 1

1 sin 11

1

xxe x se x

f x x xse x

x

Mostre, recorrendo a métodos analíticos e sem utilizar a calculadora, que o gráfico da função

f admite uma assíntota oblíqua quando x tende para .



.

Sabe-se que ln

lim 13x

x f x

x

Qual das equações seguintes pode definir uma assíntota do gráfico da função f?

(A) 1

3y x (B)

2

3y x (C) y x (D) 3y x


18. Considere a função f, de domínio \ 0 , definida por

4

10

1

ln 0

x

x

ese x

f x e

x x se x

Recorrendo a processos exclusivamente analíticos, sem utilizar a calculadora, estude a

função f quanto à existência de assíntotas verticais do seu gráfico.



2

3 3se 4

9

ln 3 11se 4

4

xx

xf x

xx

x

Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, resolva a seguinte questão:

O gráfico da restrição da função f ao intervalo ,4 tem uma assíntota horizontal.

Determina uma equação dessa assíntota.

matemática A – 12º ano, teste intermédio, 28-02-2013


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20. Sejam f e g funções de domínio 0,

Sabe-se que:

• a reta de equação 3y é assíntota horizontal do gráfico de f;

• f não tem zeros

•

3xeg x

f x

Qual das opções seguintes define uma assíntota horizontal do gráfico de g?

(A) 3y (B) y e (C) 0y (D) 1y


21. Seja f uma função de domínio .

Sabe-se que:

• lim 2 1x

f x x

• lim 3x

f x

• 1

limx

f x

• 1

lim 2x

f x

Em qual das opções seguintes as duas equações definem assíntotas do gráfico da função f?

(A) 1x e 2 1y x (B) 1x e 2 1y x

(C) 3y e 2 1y x (D) 2y e 2 1y x



1

ln 1 ln 3 0

0x

x x x x x se xf x

xe se x

Estude a função f quanto à existência de assíntotas não verticais do seu gráfico, recorrendo a

métodos exclusivamente analíticos.



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, contínua em todo o seu domínio.

Sabe-se que:

• 0

limx

f x

• a bissetriz dos quadrantes ímpares é assíntota do gráfico de f

Em qual das opções seguintes pode estar representado o gráfico da função 1

f?

(A)

(B)

(C)

(D)


24. Para cada valor de k, a expressão

se 0

2 lnse 0

xk xe x

f x x xx

x

Define uma função, de domínio , cujo gráfico tem:

• uma assíntota horizontal, quando x

• uma assíntota horizontal, quando x

Existe um valor de k para o qual as duas assíntotas são coincidentes, ficando assim o gráfico

de f com uma única assíntota horizontal.

Determine esse valor de k, sem recorrer à calculadora.



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25. Considere uma função f, de domínio \ 3 , contínua em todo o seu domínio.

Sabe-se que:

• lim 1x

f x

• 3

lim 2x

f x

• lim 2 0x

f x x

Em qual das opções seguintes as equações definem duas assíntotas do gráfico de f?

(A) 2x e 1y (B) 3x e 2y x

(C) 2y x e 1y (D) 2y x e 1y


26. Considere a função f, de domínio 0, , definida por

2 1se 0 2

2

1se 2

ln 1

xex

xf x

xx

x

Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, estude f quanto à existência de assíntotas

verticais do seu gráfico.


27. Na figura, está representada, num referencial o.n. xOy,

parte do gráfico de uma função g, de domínio 3,

A reta de equação 2 4y x é assíntota do gráfico de g.

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) lim 2 4 0x

g x x

(B)

lim 2x

x

g x

(C) lim 2 4 0x

g x x

(D) lim 2 0x

g x x



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28. De uma função h, de domínio , sabe-se que:

• h é uma função par;

• lim 2 0x

h x x

Qual é o valor de limx

h x

?

(A) (B) 2 (C) 0 (D)


29. Considere a função f, de domínio 0, , definida por

3se 0 2

1ln se 2

5

xe xx

xf x

x x x

Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, estude a função f quanto à existência de

assíntotas oblíquas.


30. Na figura, está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico de uma função f,

contínua, de domínio ,1 .

Tal como a figura sugere, a reta de equação 1x é assíntota do gráfico de f.

Qual é o valor de 1

3limx

x

f x?

(A) (B) 3 (C) 0 (D)



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31. Considere a função f, de domínio ,1 , definida por

se 0

sin 2se 0 2

xax b e x

f x x xx

x

com ,a b

Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, prove que a reta de equação y ax b ,

com 0a , é uma assíntota oblíqua do gráfico de f.



2

se 0 22

1 se 2x

xx

f x x x

xe x x

O gráfico da função f tem uma assíntota oblíqua. Determine a equação reduzida dessa

assíntota, usando exclusivamente métodos analíticos.


33. Na figura, estão representadas parte do gráfico de uma função f, de domínio 3, , e parte

da reta r, que é a única assíntota do gráfico de f.

Qual é o valor de

limx

f x

x?

(A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) 2



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34. Consider a função h, de domínio , definida por

2

2

4 se 0

2 se 0

1se 0

x

x x x

h x x

ex

x

Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, estude a função h quanto à existência de

assíntotas do seu gráfico paralelas aos eixos coordenados e, caso existam, escreva as suas

equações.


35. Sejam f e g duas funções, ambas de domínio

.

Sabe-se que:

• lim 2 0x

f x x

;

• a função g é definida por 2g x f x x .

Prove que o gráfico de g não tem assíntotas oblíquas.


36. De uma função g, de domínio

, sabe-se que:

0

limx

g x

e lim 0x

g x x

Em cada uma das quatro alternativas apresentadas abaixo, está representado, em referencial

o.n. xOy, o gráfico de uma função e, a tracejado, uma assíntota desse gráfico.

Em qual das alternativas pode estar representado o gráfico de g?

(A)

(B)


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(C)

(D)


37. Seja f a função de domínio , definida por

2

2

1

3 3se 1

2 1

ln se 1x

xx

f x x x

x e x

Sem recorrer à calculadora, estude a função f quanto à existência de assíntotas do seu gráfico,

paralelas aos eixos coordenados.

Indique uma equação para cada assíntota encontrada.


38. Na figura, está representada parte do gráfico de uma função f de domínio ,2 .

A reta t, de equação 1y x , é assíntota do gráfico de f quando x tende para .

Qual é o valor do lim 1x

f x x

?

(A) 1 (B) 0 (C) 1 (D)



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39. Na figura está representada parte do gráfico de uma função

f de domínio 0, . A reta r, de equação 1

23

y x , é

assíntota do gráfico de f.

Seja h a função definida em 0, por

xh x

f x . O

gráfico de h tem uma assíntota horizontal.

Qual das equações seguintes define essa assíntota?

(A) 1

3y (B)

1

2y (C) 2y (D) 3y


40. Na figura está parte da representação gráfica de uma

função f, de domínio .

Tal como a figura sugere, o eixo Ox e a reta de equação

1y são assíntotas do gráfico de f.

Seja g a função, de domínio , definida por

lng x f x .

Numa das opções seguintes está parte da representação

gráfica da função g.

Em qual delas?

(A)

(B)

(C)

(D)



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41. Admita que a intensidade da luz solar, x metros abaixo da superfície da água, é dada, numa

certa unidade de medida, por

0bxI x ae x

a e b são constantes positivas que dependem do instante e do local onde é efetuada a medição.

Sempre que se atribui um valor a a e um valor a b, obtemos uma função de domínio 0

.

Considere que 0,05b e 10a .

Estude essa função quanto à existência de assíntotas do seu gráfico e interprete os resultados

obtidos no contexto da situação descrita.


42. Seja g uma função de domínio

.

Sabe-se que a reta de equação 2 3y x é assíntota do gráfico de g.

Indique o valor de

lim 2

x

g xg x x

x

(A) 0 (B) 5 (C) 6 (D)


43. Considere a função f, de domínio 0, , definida por 1 ln x

f xx

(ln designa logaritmo

de base e).

Sem recorrer à calculadora, estude a função f quanto à existência de assíntotas do seu

gráfico, paralelas aos eixos coordenados.


44. De uma função g, de domínio 0, , sabe-se que:

• não tem zeros;

• a reta de equação 2y x é assíntota do seu gráfico.

Seja h a função, de domínio 0, , definida por

2xh x

g x .

Prove que a reta de equação 2y x é assíntota do gráfico de h.



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45. Considere uma função f, de domínio \ 5 , contínua em todo o seu domínio.

Sabe-se que:

• 5

lim 3x

f x

• lim 2x

f x

• lim 0x

f x x

Em cada uma das opções seguintes, estão escritas duas equações, representando cada uma

delas uma reta.

Em qual das opções as duas retas assim definidas são as assíntotas do gráfico da função f?

(A) y x e 2y (B) 2y e 5x

(C) y x e 5x (D) 3y e 2x


46. Considere uma função f, de domínio \ 0 , definida por 1xe

f xx

.

Sem recorrer à calculadora, estude a função f quando à existência de assíntotas do seu gráfico,

paralelas aos eixos coordenados.


47. Seja f uma função de domínio , e seja g a função definida por 1g x f x .

A reta de equação 2 4y x é a única assíntota do gráfico de f.

Qual das seguintes é uma equação da única assíntota do gráfico de g?

(A) 2 6y x (B) 2 4y x

(C) 2 4y x (D) 2 6y x


48. Na figura junta está representada parte do gráfico de uma

função f de domínio , contínua em todo o seu domínio.

A bissetriz dos quadrantes pares e a bissetriz dos

qudrantes ímpares são assíntotas do gráfico de f.

Indique em qual das quatro figuras seguintes pode estar

representada parte do gráfico da função g definida por

f x

g xx

.


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(A)

(B)

(C)

(D)

matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2ª chamada, 2003

49. Considere uma função g, de domínio 0, , contínua em todo o seu domínio.

Sabe-se que:

• O gráfico de g tem uma única assíntota;

• 1

lim2x

g x

x .

Em qual das quatro alternativas seguintes podem estar representadas, em referencial o.n.

xOy, parte do gráfico da função g e, a tracejado, a sua assíntota?

(A)

(B)


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17 / 21

(C)

(D)


50. Considere as funções f e g, de domínio , definidas por

112

3

xf x e 2sin cosg x x x

Utilizando métodos exclusivamente analíticos, estude a função f quanto à existência de

assíntotas paralelas aos eixos coordenados.


51. De uma função h, de domínio

, sabe-se que a reta de equação 2y é assíntota do seu

gráfico.

Qual é o valor de

limxx

h x

e?

(A) (B) (C) 0 (D) 2


52. De uma função f, de domínio , definida por 0,30,1 0,2 xf x e , tem uma única assíntota.

Qual das condições seguintes é uma equação dessa assíntota?

(A) 0y (B) 0,1y (C) 0,2y (D) 0,3y


53. De uma função g, de domínio

, sabe-se que a bissetriz dos quadrantes ímpares é uma

assíntota do seu gráfico.

Seja h a função, de domínio

, definida por

2

g xh x

x .

Prove que o eixo Ox é uma assíntota do gráfico de h.



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18 / 21

54. Considere a função f, de domínio

, definida por 3 2lnf x x x (ln designa logaritmo

de base e).

Utilizando métodos exclusivamente analíticos, estude f quanto à existência de assíntotas do

seu gráfico.


55. Considere a função f, de domínio \ 1 , definida por 1

xef x

x

.

Recorrendo exclusivamente a processos analíticos, estude a função f quanto à existência de

assíntotas verticais e horizontais do seu gráfico.


56. Na figura ao lado está representada

graficamente uma função f, de domínio

.

A reta s, que contém os pontos 2,0 e 0,1 ,

é assíntota do gráfico de f.

Indique o valor de

limx

f x

x.

(A) 2 (B) 0

(C) 1

2 (D) 1


57. Na figura abaixo está parte da represtação gráfica de uma função s de domínio .

Indique qual das figuras seguintes pode ser parte da representação gráfica da função f

definida por

1t x

s x .


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(A)

(B)

(C)

(D)


58. A atividade R, de qualquer substância radioativa, é dada, numa certa unidade de medida, pela

expressão

.B tR t A e

em que A e B são constantes reais positivas e t é o tempo em horas, com 0t .

Estude a função R quanto à existência de assíntotas.


59. Numa pastelaria a temperatura ambiente é constante.

Admita que a temperatura, em graus centrígrados, de um café servido nessa pastelaria, t

minutos após ter sido colocado na chávena, é dada por:

0,04.t20 50 , 0,f t e t (e designa o número de Neper)

Estude a função f quanto à existência de assíntotas.



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60. Na figura abaixo está a representação gráfica de uma

função f, da qual a reta t é assíntota.

O valor de lim 2x

f x x

é:

(A) (B) 0 (C) (D) 1

matemática A – 12º ano, exame 135, prova modelo, 1997

Bom trabalho!!


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Principais soluções

1. 0y e 0x

2. (A)

3. lim 0x

f x x

Assíntota oblíqua y x

4. Não tem assíntota oblíqua

5. (D)

6. 1x e 1x são assíntotas verticais de f

7. 0y

8. 1y quando x

0y quando x

9. A função não tem assíntotas verticais

10. (C)

11. 0y quando x

12. Assíntotas verticais:

0x Assíntotas não verticais:

1y x quando x

13. b ln 2

14. (A)

15. 4y

16. 2y x

17. (D)

18. Não tem assíntotas verticais.

19. 3y

20. (D)

21. (B)

22. Assíntota obliqua quando x

3 1y x

23. (D)

24. 2k

25. (C)

26. Não existem assíntotas verticais

27. (C)

28. (A)

29. Não existem assíntotas oblíquas

30. (C)

31. 32. 1y x

33. (C)

34. Assíntotas horizontais:

0y é assíntota quando x e quando

x

Assíntotas verticais:

Não existem

35. 36. (D)


1x

Assíntotas horizontais:

3y quando x

38. (B)

39. (D)

40. (C)

41. 0y é assíntota horizontal quando x

42. (C)


0x Assíntotas horizontais:

0y quando x

44. 45. (A)

46. Assíntotas verticais: Não tem


0y quando x

47. (A)

48. (A)

49. (D)



1

3y quando x

51. (A)

52. (B)

53. 54. Assíntotas verticais:

0x

Assíntotas não verticais: Não tem


1x


0y quando x

56. (C)

57. (D)



0y quando t



20y quando t

60. (B)


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