Aula - 14Rotações IV

Curso de Física Geral

- Conservação do momento angularNo sistema homem - halteres só há forças internas e, portanto,

ffiiz IIconstIL .)(

iI fi fI

Momento angular inicial do sistema roda de bicicleta – menino (+ banco)

ibicbici ILL

Menino inverte o eixo de rotação da roda de bicicleta

ibic LL

Conservação do momento angular- Exemplo 1

srotemkgImkgI itotbic /9,3.8,6;.2,1 22 Dados

Queremos calcular a velocidade angular final do sistema após o menino inverter o eixo de rotação da roda de bicicleta (ver figura)

Conservação do momento angular pois só há forças internas no sistema

itot II 2

imen

iimenif

LL

LLLLL

2

Momento angular final do sistema

imenmenbicf LLLLL

- Exemplo 1

srotII

tot

i /4,12

)(exti

ii FrdtLd

- Conservação do momento angularNo caso da mergulhadora da figura ao lado o momento angular total não se conserva pois

Mas, no referencial do CM (acelerado neste caso)

0

grmFrdtLd

iii

iii

0

.0 constLdtLd

gM

R L

e o CM segue o movimento parabólico !

- Rolamento

Este é o caso em que a distância percorrida pelo CM do objeto é dada por

Rs

onde é o deslocamento angular do objeto em torno de um eixo que passa pelo CM do sistema.

A velocidade do CM é dada por

RdtdR

dtdsvCM

Note que o ponto de contato P está sempre em repouso!

0v

Rs

s

- Rolamento

RdtdR

dtdsvCM

R

CMv CMv

+ =

RdtdR

dtdsvCM

CMv

CMv CMv

CMv

CMv2

0v

Decomposição do rolamento em rotação + translação

- Rolamento

- Rolamento

Velocidade de um ponto em qualquer posição do corpo rígido

CMvv

Qv

CMvQ

Energia cinética do corpo rígido

Exemplo

222

222

21)(

21

21

21

IMRIK

MRIK

CM

CM

I

gM

gMaF

aF

- Rolamento

Atrito no rolamento

Transforma energia cinética de rotação em translação

Transforma energia cinética de translação em rotação

- Exemplo 2O iô-iô

Z

Mg

T

Torque externo relativo ao CM quando o iô-iô desce

CMIT

Dinâmica linear

TMgMa

Condição de rolamentoa

TI

ae

IMMgT

CM

CM

2

2

1

Z

Mg

T

- Exemplo 2

Note que se o iô-iô sobe, a velocidade angular é a mesma, mas o torque muda de sinal

CMIT

Por outro lado, o fio se enrola e a condição de rolamento também muda de sinal

aComo a equação da translação não muda temos novamente

TI

ae

IMMgT

CM

CM

2

2

1

- Exemplo 2

Z

Mg

T

Podemos ainda resolver o mesmo problema usando a conservação de energia

021

21 22 MgZIMv CMCM

A condição de rolamento é

CMv

22 /2 MIgZMv CMCM

Sinal (+) para a subida e (–) para a descida. Equação que relaciona posição com velocidade no movimento uniformemente acelerado.

- Exemplo 3Rolamento sobre um plano inclinado

gMaF

N y

x

h

0cos MgN

Na direção y

Na direção x

MaFMg a sin

Torque relativo ao CM

CMa IRF

R

Condição de rolamento sem deslizamento Ra

Momento de inércia 2MkICM k é o raio de giração

gM

aF

N y

x

h

R

- Exemplo 3

2

2

1

sin

Rk

ga

e

7/53/22/1

1

1

2

2

Rk

anelcilindro

esfera

22

2

sinRk

kMgFa

Temos ainda

como cosMgFF eea

re kRk tantan 2

22

Ângulo máximo para que haja rolamento sem deslizamento

- Colisões com rolamento

O atrito entre as bolas de sinuca é desprezível, mas o atrito entre a bola de sinuca e a mesa é muito grande

Transmissão parcial do momento linear da bola incidente

Transmissão total do momento linear da bola incidente

(análise qualitativa)

- Colisões com rolamento

Diferentes momentos angulares transmitidos à bola

Possíveis resultados da colisão com uma bola que incide com momento angular não nulo

(análise qualitativa)

- Precessão do momento angularPiãoMódulo do torque da força peso

sinMgr

Lei fundamental da dinâmica das rotações

tL

tMgrL sin

sinsin ILLDa figura temos

- Precessão do momento angular

sinsin ItMgr

IMgr

dtd

Velocidade angular de precessão

- Precessão do momento angularCentro de massa do pião executa movimento circular com uma aceleração centrípeta

sin2rac Força de atrito pião-piso é responsável por esta aceleração

sin2rMFa Como MgFa

rg2sin

para que a ponta do pião fique fixa e haja apenas movimento de rotação!

aF

- Precessão do momento angularComo a Terra é um esferóide oblato a Lua e o Sol provocam forças como as mostradas abaixo e em 13000 anos...

0v

af

Inicialmente, a bola de boliche não está girando. O coeficiente de atrito cinético é c.

mgNf cca

Dinâmica linear: gamgfma cCMcaCM

Dinâmica angular:

Rg

mRImgRRf

c

CMcaa

25

52 2

O rolamento sem deslizamento começa quando v=R

gtv

gttRtRgtvtv

c

cc

27

25)(

0

00

gvtc7

2 0

- Exemplo 4

A velocidade da bola no começo do rolamento será

0000 75

72 vvvgtvtv c

A distância percorrida até o rolamento é

gvd

gdvgdvtv

c

cc

20

20

20

2

4912

2492512

R

gm

af N

Uma bola homogênea de raio r é solta do repouso do alto de um domo esférico de raio R e desce rolando. Calcule o ângulo em que ela perde contato com o domo.

Em qualquer momento antes da perda de contato, a dinâmica do CM é um movimento circular acelerado. Portanto, na direção radial

Rr

vgmNRr

vmNmg22

coscos

A perda de contato acontece quando N=0. Precisamos relacionar v com .

- Exemplo 5

Podemos usar a conservação da energia mecânica (a força de atrito estático e a normal não realizam trabalho).

cos107cos

107

51

21

52

21

21

2

222

22

RrmgmvERrmgmghU

mvmvrvmrmvK

cos17

10

cos107

2

2

Rrgv

RrmgmvERrmgE fi

10cos177

mgN occ 54

1710cos

Uma escada de comprimento l está encostada numa parede lisa fazendo com ela um ângulo . Ela está em contato com o chão e o coeficiente de atrito estático é e. Qual o ângulo máximo para que ela não deslize.

1N

2Ngm

af

Equilíbrio na rotação (em relação ao ponto de contato com o chão):

tan2

0cossen2 11

mgNlNlmg

mgNfN eea 21

Equilíbrio do CM na direção x: 1Nfa Equilíbrio do CM na direção y: 2Nmg

mgmgetan

2 e 2tan

- Exemplo 6

Exercícios de Revisão

Um disco com densidade constante e raio 2R tem um furo de raio R como mostrado na figura.O disco tem densidade de massa constante . Onde está o centro de massa desta figura?

R2R

xCM

xCM =R/3

Resposta:

Um cachorro de 5 kg está parado dentro de um barco. O cachorro se encontra a 6m da margem. Ele anda 2,4 m sobre o barco em direção a margem e para. O barco tem massa de 20 kg. Não existe atrito com a água. A que distância da margem estará o cachorro no final?

O centro de massa do sistema barco + cachorro não se desloca!

Resposta: lcf = 4.08 m

A molécula de oxigênio, O2, tem massa de 5,3x10-36 kg e momento de inércia 1,94x10-46 kg. m2 em relação a um eixo que passa pelo seu centro perpendicularmente a linha que une os átomos. Suponha que o valor médio velocidade da molécula seja de 500 m/s e sua energia cinética de rotação seja igual a dois terços da energia de translação. Calcule o valor médio da velocidade angular.

Resposta: <> 4.77x107 rd/s

Um disco de momento de inércia I1 gira com velocidade angular i ao redor de um eixo. Um segundo disco de MI I2 e que não está girando, cai sobre o primeiro. Devido ao atrito eles atingem a mesma velocidade final f. (a) calcule f. (b) Mostre que a energia cinética do sistema diminui, calcule a razão das energias rotacionais.

21

1

III

K

K

i

f

i

21

1f II

I

Respostas:

Uma casca esférica uniforme gira em torno de um eixo vertical sem atrito. Uma corda leve passa em torno de seu equador e por uma polia e tem pendente à outra extremidade um pequeno peso. Qual a velocidade do peso, inicialmente em repouso, após ter descido uma distância h?

21

2

f

m3M2

mrI1

gh2v

Resposta:

Uma bola de vidro massa m e raio r, rola sem deslizar ao longo do trilho curvo da figura. (a) De que altura mínima deve ser abandonada a bola a fim de que se mantenha no trilho até o topo da circunferência? (b) Se a bola for abandonada em h = 6R, qual vai ser a componente horizontal da força em Q?

Respostas:

(a) H = 2,7 R

(b) N = 7,17 mg