Aula 17 - Trigonometria I - 1 slide por folha - Site da UNEMATsinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot_7515aula_17... · ângulo e a hipotenusa. •Cosseno de αé a

Trigonometria I

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Trigonometria I

1.Trigonometria no triângulo retângulo

2.Razões trigonométricas de 30o, 45o e 60o

3.Uso de calculadora

4.Unidades de medida de arcos e ângulos

5.Medida algébrica de um arco

6.A circunferência trigonométrica

7.Seno e cosseno na circunferência trigonométrica

8.Tangente na circunferência trigonométrica

9.Secante, cossecante e cotangente

10.Trigonometria num triângulo qualquer

Numa primeira etapa, Trigonometria é oestudo das relações entre medidas de ângulos elados nos triângulos retângulos. Esse estudo éinteiramente baseado na semelhança de triângulos.Observe, por exemplo, os triângulos da figuraacima. Eles são semelhantes, pois possuem osângulos ordenadamente congruentes.

1. Trigonometria no triânguloretângulo

‘‘

‘

E dessa semelhança podemos deduzir que:


'

' ' '(1)

b a b bb a a a

= ⇒ =

'

' ' '(2)

c a c cc a a a

= ⇒ =

'

' ' ' (3)b c b bb c c c

= ⇒ =

‘‘

‘

As igualdades (1), (2) e (3) mostram que arazão entre dois lados quaisquer de um triânguloretângulo é igual à razão entre os dois ladoshomólogos de qualquer outro triângulo retângulosemelhante a ele. Em outras palavras, a razãoentre dois lados quaisquer de um triânguloretângulo não depende do tamanho desse triângulo,mas apenas de seus ângulos.


6

E dessa semelhança podemos deduzir que:


= = = =⋯31 2

1 2 3

constantebb b

a a a

= = = =⋯31 2

1 2 3

constantecc c

a a a

= = = =⋯31 2

1 2 3

constantebb b

c c c

Essas razões, constantes para cada valor deα, são chamadas razões trigonométricas.

Seja α a medida de um ângulo agudo de umtriângulo retângulo.

1.1. Seno, cosseno e tangentede um ângulo agudo

•Seno de α é a razão entre o cateto oposto a esseângulo e a hipotenusa.•Cosseno de α é a razão entre o cateto adjacente aesse ângulo e a hipotenusa.•Tangente de α é a razão entre o cateto oposto aesse ângulo e o cateto adjacente a ele.


O seno, o cosseno e a tangente de um ângulode medida α são denotados por sen α, cos α e tg α.


bsen

cateto oposto asenhipotenusa c

sena

α

β

== ⇒ =



coscos

cos

ccateto adjacente a

hipotenusa ba

α

β

== ⇒ =



tantan

tan

bcateto oposto c

cateto adjacente cb

α

β

== ⇒ =


Exercício 1: Calcule sen α, cos α e tan α.


Exercício 2: Um observador, de 1,80 m de altura,situado a 20 m de um edifício, enxerga o topodesse edifício segundo um ângulo α. Esse ângulo foimedido a partir da linha horizontal de visão doobservador. Sabendo-se que sen α = 0,914, cos α =0,407 e tg α = 2,250, calcule a altura do edifício.


Exercício 3: Um observador, situado num ponto A,enxerga uma montanha segundo um ângulo α.Caminhando 400 m em direção à montanha, elepassa a enxergá-la segundo um ângulo β.Desprezando a altura do observador, calcule aaltura da montanha, sabendo que tg α = 1/2 e tg β= 5/6.


Exercício 4: Na figura abaixo, as circunferênciassão tangentes entre si e ambas tangenciam oslados do ângulo AÔB. Calcule: a) sen α em funçãode R e r. b) Se r = 5 e sen α = 1/6, calcule R.

Para calcular as razões trigonométricas de30o e 60o, partimos de um triângulo equilátero, noqual traçamos uma altura, e obtemos um triânguloretângulo cujos ângulos agudos medem 30o e 60o.

2. Razões trigonométricas de30o, 45o e 60o

Então, no triângulo retângulo, temos:


2 130 30

2o ol

sen senl

= ⇒ = 3 2 3cos 30 cos 30

2o ol

l= ⇒ =

2 3tan 30 tan 30

33 2o ol

l= ⇒ =

Então, no triângulo retângulo, temos:


3 2 360 60

2o ol

sen senl

= ⇒ =2 1

cos 60 cos 602

o oll

= ⇒ =

3 2tan 60 tan 60 3

2o ol

l= ⇒ =

As razões trigonométricas de 45º sãocalculadas no triângulo retângulo obtido da divisãode um quadrado por sua diagonal.



245 45

22o ol

sen senl

= ⇒ = 2cos 45 cos 45

22o ol

l= ⇒ =

tan 45 tan 45 1o oll

= ⇒ =

21

Exercício 5: Calcule x na figura abaixo.


Exercício 6: Num círculo de centro O e raio r = 2,traça-se uma corda AB. Se a distância do centro àcorda é igual a 1, qual é a medida do ângulo AÔB?


Exercício 7: Na figura seguinte, ABCD é umquadrado e ABE é um triângulo equilátero.Determine: a) o valor do ângulo α e b) a tangentede α.


Os valores das demais razõestrigonométricas, de 1o a 89o, podem ser obtidospelo uso de calculadora científica.

3. Uso de calculadora

Exercício 8: A figura seguinte mostra a trajetóriade uma bola de futebol que, chutada do ponto A,sobe a rampa e atinge o solo no ponto B. Qual é adistância entre A e B, aproximadamente?

3. Uso de calculadora

Até aqui temos utilizado apenas a unidadegrau para medir ângulos e arcos. Porém, existemoutras unidades de medida de arcos, das quaisuma, chamada radiano, iremos utilizar com grandefrequência.

4. Unidades de medida dearcos e ângulos

Minuto de grau: É a sexagésima parte do grau.

1º = 60’

Segundo de grau: É a sexagésima parte do minutode grau.

1’ = 60”

4.1. O grau e seus submúl-tiplos

Uma maneira de medir arcos de umacircunferência é compará-los com um outro arcoescolhido para ser unidade de medida sobre amesma circunferência. Esse arco é chamadounitário.

4.2. A unidade radiano

Por exemplo, na figura acima escolhemos oarco PQ, de comprimento u, como arco unitário.Então, para medir o arco AB, devemos descobrirquantas vezes o arco unitário “cabe” no arco AB.Para isso, basta fazer a razão entre o comprimentodo arco AB e o comprimento do arco unitário.



� comprimento do arco ABAB

comprimento do arco PQ=

� �33

uAB AB

u= ⇒ =

Chama-se radiano o arco unitário cujocomprimento é igual ao raio da circunferência queo contém.

1 radiano = 1 rad


� = 1radAB

Se = 1 rad, então = 1 rad.

Decorre da definição, que a medida emradianos de um arco AB é dada por:


� comprimento do arco ABAB

raio=

�AB AOB⌢

Exercício 9: Calcule AÔB em radianos, sabendoque o comprimento do arco AB é o dobro do raio dacircunferência.


Para determinar as medidas em radianos dosarcos de 360º e 180º, é preciso relembrar aseguinte propriedade:

“A razão entre o comprimento de umacircunferência e seu diâmetro é constante, e iguala π, qualquer que seja a circunferência”.

Assim, sendo C o comprimento de umacircunferência de diâmetro d, então:

onde π é um número irracional.

4.3. Os arcos de volta inteirae meia-volta

Cd

π=

Como o diâmetro é o dobro do raio, essarelação pode ser escrita assim:

A última igualdade é a conhecida fórmulaque permite calcular o comprimento de umacircunferência. A partir dela vamos determinar amedida do arco de volta inteira em radianos.


π π= =, ou ainda 22C

C rr

Para isso, temos de dividir o seucomprimento pelo raio, e, como o arco de voltainteira é a própria circunferência, seucomprimento é igual a 2πr. Então, sua medida é:


22

rrad

rπ π=

Sabendo que o arco de volta inteira mede 2πrad, deduzimos que o arco de meia-volta mede πrad.


Para converter medidas de arcos deradianos para graus ou vice-versa, usamos aseguinte relação:

π rad equivale a 180º ou π rad = 180º

4.4. Conversões de medidas

Exercício 10: Num triângulo ABC, sabe-se que oângulo B é o dobro do ângulo C e que o ângulo A é otriplo do ângulo C.

a) Determine os ângulos A, B e C em radianos.

b) Classifique esse triângulo quanto aos lados equanto aos ângulos.

4.4. Conversões de medidas

Arco orientado. Imagine um ponto P que,partindo de um ponto A de uma circunferência,desloca-se sobre ela e pode movimentar-se nosentido horário ou anti-horário.

5. Medida algébrica de umarco

Nos dois sentidos possíveis dedeslocamento, para cada posição do ponto P, ficadeterminado um arco AP denominado arcoorientado. O ponto A é chamado origem do arco e oponto P é a extremidade dele.


Circunferência orientada. É uma circunfe-rência na qual um dos dois possíveis sentidos dedeslocamento é adotado como positivo. Para oestudo da Trigonometria, o sentido positivo é oanti-horário.


Medida algébrica de um arco orientado.Considere um arco orientado contido numacircunferência orientada. A medida algébricadesse arco é a sua medida comum, afetada dossinais + ou -, conforme o sentido do arco seja,respectivamente, concordante ou discordante dosentido positivo da circunferência.


Na trigonometria, os arcos orientados nosentido anti-horário têm medidas algébricaspositivas e os orientados no sentido horário têmmedidas algébricas negativas.



A medida algébrica de um arco orientado deorigem A e extremidade P é representada pelosímbolo . Veja os exemplos:�AP


�

�

120

23

oAP

ou

AP radπ

= + = +

�

� π

= − = −

120

23

oAQ

ou

AQ rad

6. A circunferência trigono-métrica

Observe a figura acima. Ela mostra umacircunferência orientada no sentido anti-horário, àqual associamos um sistema de coordenadascartesianas.


• O centro da circunferência é O = (0, 0).

• O raio da circunferência é unitário, isto é, r = 1.


• A = (1, 0) é a origem dos arcos. Isto é, os arcossão medidos a partir de A.

• A circunferência da figura é chamada circunfe-rência trigonométrica.


Como a origem dos arcos é um ponto fixo, nacircunferência trigonométrica a extremidade deum arco fica determinada pela sua medidaalgébrica.


Desse modo, a cada ponto da circunferênciatrigonométrica ficam associados números reais,representando estes as medidas em radianos dosarcos que têm extremidades nesse ponto.Particularmente, dizemos que o ponto A, origemdos arcos, é um arco nulo e que sua medida é zero.


A partir disso, dizemos que um arcopertence ao quadrante no qual se encontra a suaextremidade.


Por exemplo, os arcos cujas medidas estãorepresentadas acima são perten-cem, respectivamente, ao 1º, 2º, 3º e 4ºquadrantes.

3 7, ,3 4 6 6eπ π π π−

7. Seno e cosseno na circun-ferência trigonométrica

Seja α a medida de um arco de extremidadeP na circunferência trigonométrica. Então,

sen α é a ordenada de P

cos α é a abscissa de P


Em razão dessas definições, naTrigonometria o eixo Ox é chamado eixo doscossenos e o eixo Oy, eixo dos senos.


Lembrando que o raio da circunferênciatrigonométrica é unitário, no triângulo OPQ dafigura acima, temos:


cos cos (1)1

OQ OQOQ

OPα α= = ∴ =

α α= = ∴ =sen sen1

QP QPQP

OP


Como QP = OR, temos

As igualdades (1) e (2) mostram que cos α esen α são a abscissa e a ordenada de P.

α =sen (2)OR

7.1. Alguns valores notáveis deseno e cosseno

Observe as figuras e procure determinar osvalores de seno e cosseno dos ângulos indicadosnas figuras.


0 π/2 π 3π/2 2 π

sen 0 1 0 -1 0

cos 1 0 -1 0 1


Note que seno e cosseno são no máximoiguais a 1 e no mínimo iguais a -1. Assim, sen α ecos α variam no intervalo de -1 a 1.

α α− ≤ ≤ − ≤ ≤1 sen 1 e 1 cos 1


Exercício 11: Calcule o valor da expressão abaixo.

2

32sen 5cos2

23

3sen cos2

π π

π π

−

+


Exercício 12: Determine os valores de x quesatisfazem as equações seguintes no intervalo0 ≤ x ≤ 2π.

2

a) sen 0

b) cos 0

c) sen 1

d) cos 1 0

e) sen sen cos 0

x

x

x

x

x x x

==

=

− =+ ⋅ =


Exercício 13: Identifique quais das igualdadesabaixo são possíveis.

a) sen 2

1b) sen

55

c) sen3

3d) sen

7

x

x

x

x

=

= −

= −

=


Exercício 14: Determine m para que a igualdadeabaixo seja possível.

cos 2 1x m= −

7.2. Arcos da forma: ππππ - αααα,ππππ + αααα e 2ππππ - αααα

Seja P a extremidade de um arco doprimeiro quadrante. Observe estas três outrasextremidades.

P1: simétrico de P em relação ao eixo Oy.P2: simétrico de P em relação ao centro O.P3: simétrico de P em relação ao eixo Ox.


As medidas dos arcos de extremidades P1,P2 e P3, sendo , podem ser expressas emfunção de α.

�AP α=

� � � �π α π α π α α= − = + = − = −1 2 3 3, e 2 , ouAP AP AP AP


Assim, o seno e o cosseno desses arcospodem ser expressos em função de sen α e cos α.

π α απ α α

π α αα α

− =+ = −

− = −− = −

sen ( ) sen

sen ( ) sen

sen (2 ) sen

sen ( ) sen


Assim, o seno e o cosseno desses arcospodem ser expressos em função de sen α e cos α.

cos ( ) cos

cos ( ) cos

cos (2 ) cos

cos ( ) cos

π α απ α α

π α αα α

− = −+ = −

− =− =


Exercício 15: Calcule o valor de

7 4 2sen cos sen cos

6 3 3 6π π π π ⋅ + ⋅ −


Exercício 16: Simplifique a expressão

sen(2 ) sen( ) sen( ) cos( )sen( ) cos( )

π α π α π α π απ α π α

− ⋅ + + − ⋅ +− + −


Exercício 17: Resolva as equações seguintes nointervalo .

2

2

1a) sen x

2

2b) cos x

21

c) cos x41

d) sen x2

=

= −

=

=

] [0;2π

7.3. Primeira relação funda-mental

Para qualquer um dos dois casosapresentados nas figuras, as medidas dos catetosdo triângulo retângulo OPQ, são:

α α= =sen cosPQ e OQ


Pelo teorema de Pitágoras:

Como , a última igualdade fica:

α α+ = ⇒ + =2 22 2 1 sen cos 1PQ OQ2 2,a a a= ∀ ∈ℝ

α α+ =2 2sen cos 1


Embora as figuras da demonstraçãomostrem os arcos no 1º e 3º quadrantes, todo oraciocínio também é válido quando os arcospertencem aos demais quadrantes.


Exercício 18: Se sen 18o = , calcule cos 18o.5 14−


Exercício 19: Calcule m, para que se tenha

1 2sen x e cos x

m mm m− −= =


Exercício 20: Simplifique as expressões abaixo:

4 4

a) sen ( ) ( ) cos( ) cos( )

sen cosb)

sen cos

sen

x xx x

α π α α π α− ⋅ + − − ⋅ −

−+


Exercício 21: Se cos x = 1/a, calcule o valor daexpressão abaixo, em função de a.

2

4

cos cos sen

1 sen

x x x

x

+ ⋅−

8. Tangente na circunferênciatrigonométrica

Para o estudo dastangentes dos arcos nacircunferência trigonométrica,associamos mais um eixo a ela,conforme mostra a figura acima.At é chamado eixo das tangentes.


• O eixo At tangencia a circun-ferência em A.

• O ponto A é a origem do eixodas tangentes, isto é, ao ponto Aestá associado o número zerodesse eixo.

• O raio da circunferênciatrigonométrica é a unidade demedida também no eixo dastangentes.


Seja P a extremidade de um arco qualquerde medida α e seja T o ponto em que a retaconduzida pelo centro da circunferênciatrigonométrica e por P intercepta o eixo At. Então,tg α é o número associado ao ponto T no eixo At.


Quadrante 1o 2o 3o 4o

Sinaisde tg α

+ - + -


0 π/2 π 3π/2 2 π

tg 0 0 0∃ ∃



5 7tg cos tg

6 44

sen tg4 3

π ππ

π π

⋅ +

⋅


Exercício 23: Resolva as equações no intervalo de0 ≤ x ≤ 2π.

2

2

3a) tg x

3

b) tg x 3

c) tg x 1

d) tg x tg x 0

=

==

− =

8.1. Segunda relação funda-mental

Para os dois casos apresentados nas figurasacima, note que as medidas dos catetos dostriângulos OQP e OAT são:

α= senPQ cosOQ α=

α= tgAT 1OA =

8.1 Segunda relação funda-mental

Como temos .

Então

//QP AT OQP OAT∆ ∆∼αα α

= ⇒ =tg 1

sen cosAT OAQP OQ

αα

α=

sentg

cos


Como em todos os quadrantes os sinais detg α e são idênticos, teremos:α

αsencos

ααα

= sentg

cos


Note que, se cos α = 0, então não estádefinido. Porém, os arcos para os quais cos α = 0são justamente aqueles em que não existe tg α.

αα

sencos


Exercício 24: Dado tg x = 5/12, 0 < x < π/2,calcule sen x e cos x.


Exercício 25: Se , 0 < a < π/2, e ,

0 < b < π/2, calcule o valor de

cos 2 5a = cos 1 10b =

tg a tg b1 tg a tg b

+− ⋅


Exercício 26: Resolva as equações abaixo no intervalo0 ≤ x ≤ 2π.

2 2

a) sen cos

1b) sen cos 0

3

x x

x x

=

− =

9. Secante, cossecante ecotangente

Se α é a medida de um arco, ou ânguloqualquer, então:

• Secante de α (sec α) é o inverso de cos α.

1sec (cos 0)

cosα α

α= ≠



• Cossecante de α (cossec α) é o inverso de sen α.

α αα

= ≠1cossec (sen 0)

sen



• Cotangente de α (cotg α) é o inverso de tg α.

ou

α αα

= ≠1cotg (tg 0)

tg

αα αα

= ≠coscotg (sen 0)

sen


Note que as variações dos sinais de sec α,cossec α e cotg α, segundo cada quadrante, sãoidênticas às variações de sinais de cos α, sen α etg α, respectivamente.


A cotangente pode ser interpretadagraficamente associando-se mais um eixo àcircunferência trigonométrica, conforme émostrado na figura acima. Nesse caso, obtém-se acotangente de modo inteiramente análogo ao quese emprega para determinar a tangente.


Como temos

Então

/ /BC QP ∆ ∆∼OBC OQPαα α

= ⇒ =cotg 1cos sen

BC OBQP OQ

αα

α=

coscotg

sen


Como em todos os quadrantes os sinais decotg α e são idênticos, teremos:α

αcossen

ααα

= coscotg

sen


Note que, se sen α = 0, então não estádefinido. Porém, os arcos para os quais sen α = 0são justamente aqueles em que não existe cotg α.

αα

cossen


0 π/2 π 3π/2 2 π

cotg 0 0∃ ∃ ∃


Na figura acima, a reta s é tangente àcircunferência na extremidade P do arco demedida α. Com base na figura, fazemos asseguintes definições de secante e cossecante.


sec α é o número associado ao ponto X noeixo Ox.






Temos ∆ ∆∼OPX OQP

αα

= ⇒ =sec 11 cos

OX OPOP OQ

αα

= 1sec

cos

1

O

P

X O

P

Q

1

sec α cos α

Então


cossec α é o número associado ao ponto Y noeixo Oy.





Então


Temos ∆ ∆∼OPY ORP

αα

= ⇒ =cossec 11 sen

OY OPOP OR

αα

= 1cossec

sen

P

O

YR P

O

cossec α1 1

sen α



2 3 11a) sec cotg cossec

3 4 6π π π+ −


Exercício 28: Sabendo que 3π/2 < a < 2π, e quesen a = -7/25, calcule as demais razões trigonomé-tricas.

9.1. Outras relações funda-mentais

Dividindo ambos os membros da relaçãosen2 α + cos2 α = 1 por cos2 α , teremos:

α αα αα α α

+ = ⇒ + =2 2

2 22 2 2

sen cos 1sen cos 1

cos cos cos

α α α α+ = ⇒ = +2 2 2 2tg 1 sec sec 1 tg

9.1. Outras relações funda-mentais

Agora, vamos dividir ambos os membros desen2 α + cos2 α = 1 por sen2 α , teremos:

α αα αα α α

+ = ⇒ + =2 2

2 22 2 2

sen cos 1sen cos 1

sen sen sen

α α α α+ = ⇒ = +2 2 2 21 cotg cossec cossec 1 cotg

9.2. Resumo das relações fun-damentais

α α= +2 2cossec 1 cotgα α= +2 2sec 1 tg

1sec

cosα

α= α

α= 1

cossecsen

ααα

= sentg

cos αα

= 1cotg

tgααα

= coscotg

sen

α α+ =2 2sen cos 1


Exercício 29: Calcule cos x, 3π/2 < x < 2π, sabendoque tg x = -2.


Exercício 30: Resolva a equação abaixo no intervalo0 ≤ x ≤ 2π.

(sec x 1) (sec x 1) 3+ ⋅ − =

10. Trigonometria num triân-gulo qualquer

Passaremos a representar sempre por a, b ec as medidas dos lados opostos aos ângulos A, B eC de um triângulo ABC.

10.1. Lei dos senos

Para qualquer triângulo ABC, sendo R o raioda circunferência circunscrita, vale a relação:

= = =⌢ ⌢ ⌢ 2sen sen sen

a b cR

A B C

10.1. Lei dos senos

Traçando-se o diâmetro AD e unindo D e C,temos:

1º)

2º) é retângulo em C por estar ins-crito numa semicircunferência.

�

2AC

D B= =⌢ ⌢

ACD∆

10.1. Lei dos senos

Então, no ,

Analogamente, demonstra-se que

ACD∆ = ⇒ =⌢

⌢sen 22 sen

b bB R

R B

= ⇒ =⌢ ⌢2 2sensen

a cR R

A C

10.1. Lei dos senos

Logo, = = =⌢ ⌢ ⌢ 2sen sensen

a b cR

A B C

10.1. Lei dos senos

Exercício 31: Num triângulo ABC sabe-se que oângulo A é igual a 60o, o ângulo B é igual a 45o e a = 9.Calcule: a) o raio da circunferência circunscrita e b) amedida do lado b.

10.1. Lei dos senos

Exercício 32: Num triângulo ABC tem-se

Calcule .

�8 2, 8 3 e 60 .oa b B= = =�C

10.1. Lei dos senos

Exercício 33: Um triângulo ABC está inscrito em umacircunferência de raio R. Se a = R, calcule .�A

10.2. Lei dos cossenos

Para todo triângulo ABC, vale a relação:

A demonstração completa exige que seanalisem os casos em que A é agudo e em que Aé obtuso.

2 2 2 2 cosa b c bc A= + −⌢

∢∢


Pelo teorema de Pitágoras, nos triângulosAHC e BHC, temos:


2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

( )

( )

( 2 )

2

h b m

h a c m

a c m b m

a c cm m b m

a c cm m

= −

= − −

− − = −− − + = −

− + − 2 2b m= −2 22 2 (1)a c cmb= + −

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

( )

( )

( 2 )

2

h b m

h a c m

a c m b m

a c cm m b m

a c cm m

= −

= − +

− + = −+− + = −

−− − 2 2b m= −2 22 2 (1)a c cmb= + +


Do triângulo retângulo AHC, tiramos:

cos

cos (2)

mA

b

m b A

=

=

⌢

⌢

cos ( )

cos

cos (2)

mA

bm

Ab

m b A

π − =

− =

= −

⌢

⌢

⌢


Substituindo em (1) o valor de m encontradoem (2), temos finalmente:

2 2 2 2 cosa b c bc A= + −⌢


Exercício 34: De um triângulo ABC, são dados:

Calcule c.

�3 1, 2 e 30 .oa b C= + = =


Exercício 35: Dois automóveis A e B seguem por umamesma rodovia. No instante em que B entra numaestrada secundária, que forma um ângulo de 60o com aprimeira, ele é ultrapassado por A, que continua narodovia principal. As duas estradas podem serconsideradas retilíneas. Se A viaja a 80 km/h e B a50 km/h, qual a distância entre A e B 6 minutos apósB ter entrado na rodovia secundária?


Documents

Aula 17 - Trigonometria I - 1 slide por folha - Site da UNEMATsinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot_7515aula_17... · ângulo e a hipotenusa. •Cosseno de αé a