Aula 2 - Comentários à prova de estatística básica do concurso para Auditor Fiscal da Receita Federal

INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÁO (ISEG)Coordenação: Professor Geraldo Sandoval GóesEndereço.: Av. W 3 Sul, Quadra 509, fone: 3443-3691Disciplina: Estatística BásicaProfessor: Sérgio Ricardo de Brito Gadelha ([email protected])

Comentários à prova de Estatística do Auditor-Fiscal da Receita Federal – AFRF/2002-2. Parte I.

Para a solução das questões de números 38 a 43 utilize o enunciado que se segue.O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte:

Classes Freqüência (f)29,5 – 39,5 439,5 – 49,5 849,5 – 59,5 1459,5 – 69,5 2069,5 – 79,5 2679,5 – 89,5 1889,5 – 99,5 10

38 – assinale a opção que corresponde à estimativa da mediana amostral do atributo X.a) 71,04b) 65,02c) 75,03d) 68,08e) 70,02

Comentários: A medida de tendência central mediana (Md), é o valor da série ordenada que está localizado numa posição eqüidistante dos extremos dos elementos da série. Em outras palavras, mediana é o valor que divide uma série ordenada em duas partes iguais quanto ao número de valores.

Em uma série de n observações ordenadas de forma crescente, a mediana é o valor da observação que divide essa série de n observações, em duas metades iguais, uma delas com valores inferiores ao valor da mediana e a outra com valores superiores.

Se a série de dados tiver um número ímpar de observações, a mediana é o próprio elemento que está no meio da série, ou seja, é o valor central [elemento com ordem igual a (n+1)/2].

Se a série de dados tiver um número par de observações, a mediana é, por convenção, a média aritmética dos dois valores centrais. Por não existir um valor no centro da série, deve-se dividir por dois a soma dos valores das observações com ordens (n/2) e (n/2) + 1.

No exercício, a série de dados está disposta em uma distribuição de freqüências. Nesse caso, o valor da mediana em dados agrupados, e com intervalo de classes, é obtido por meio da seguinte fórmula:

Md = li + [h(Em – Fac ant)/f]Onde, Md = medianali = limite inferior da classe mediana.h = diferença entre o limite superior da classe mediana e o limite inferior da classe mediana, ou seja, é a amplitude do intervalo da classe mediana

1


Em = elemento medianoFac ant = freqüência acumulada anterior, ou seja, freqüência acumulada da classe anterior à classe medianaf = freqüência simples da classe mediana

Deve-se seguir os seguintes passos:

1. Cálculo da freqüência acumulada:A freqüência simples ou absoluta de uma observação da série é o número de

repetições dessa observação. Em outras palavras, é o número de vezes que o elemento aparece na amostra. E o par formado pelo valor de cada observação e sua freqüência gera a tabela de freqüências absolutas da série de observações ou distribuição de freqüências absolutas. Logo, a distribuição de freqüências absolutas de uma série de dados é uma função que representa os pares formados pelos valores das observações e suas respectivas freqüências.

Além disso, a freqüência acumulada de uma observação da série é dada pela soma das freqüências, absolutas (simples) ou relativas, desde a observação inicial. E a distribuição de freqüências acumuladas de uma série de observações é uma função que representa os pares formados pelos valores das observações e suas respectivas freqüências acumuladas. No exercício, para encontrar os valores da coluna Freqüência Acumulada (absoluta ou simples), primeiramente repete-se o valor da freqüência da 1ª classe na coluna Freqüência Acumulada. Após, soma-se o valor da freqüência acumulada da 1ª classe com o valor da freqüência da 2ª classe, obtendo-se o valor da freqüência acumulada da 2ª classe (4 + 8 = 12), e assim por diante.

Classes Freqüência (f) Freqüência Acumulada1ª - 29,5 – 39,5 4 42ª - 39,5 – 49,5 8 123ª - 49,5 – 59,5 14 264ª - 9,5 – 69,5 20 465ª - 69,5 – 79,5 26 726ª - 79,5 – 89,5 18 907ª - 89,5 – 99,5 10 100

f = 100

2. Cálculo do elemento mediano (Em):f = n = 100 (número par)Em = (f)/2 = 100/2 = 50 Então, marcamos a classe correspondente à freqüência acumulada imediatamente superior ao elemento mediano. Tal classe será a classe mediana . Esse valor do elemento mediano indica que deve-se utilizar os valores da 5ª classe mediana.

3. Cálculo da amplitude do intervalo da 5ª classe mediana : h = 79,5 – 69,5 = 10

4. Cálculo da mediana :

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Md = 69,5 + [10(50 – 46)/26]Md = 69,5 + 1,54Md = 71,04 (aproximadamente)

A resposta é a letra “a”.

39 – Assinale a opção que corresponde à estimativa do número de indivíduos na população com valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5.a) 700b) 638c) 826d) 995e) 900

Comentários:

A questão solicita a estimativa do número de indivíduos na população com valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5. Primeiramente, devemos construir uma nova tabela de freqüência e, dessa forma, somarmos os valores das freqüências entre a terceira e sétima classes, correspondentes à amostra.

A amplitude do intervalo de classe, ou simplesmente intervalo de classe, é o comprimento da classe, sendo geralmente definida como a diferença entre seus limites superiores e inferiores. No exercício, observe que o intervalo de classe é 10 para todas as classes [por exemplo, na 1ª classe temos 39,5 (limite superior) – 29,5 (limite inferior), que é igual à 10].

Se o valor do atributo é maior que 50,5, iremos focar nossa análise na 3ª classe. Nessa classe, cujos limites inferior e superior são 49,5 e 59,5, respectivamente, sabemos que o intervalo de classe é igual à 10 (59,5 – 49,5 = 10), e o valor da respectiva freqüência é 14. Para se encontrar o valor da nova freqüência correspondente à 3ª classe, primeiramente devemos encontrar o novo valor do intervalo de classe, cujos limites inferior e superior agora são 50,5 e 59,5, respectivamente. Logo, o intervalo de classe será 9 (59,5 – 50,5 = 9). Por meio de uma regra de três simples, temos:

Intervalo de classe freqüência nova

10 149 X

X =

Logo, o valor da nova freqüência correspondente à terceira classe será 12,6.

Por outro lado, se o valor do atributo é menor ou igual a 95,5, devemos então direcionar nossa análise na 7ª classe. Nessa classe, cujos limites inferior e superior são 89,5 e 99,5, respectivamente, sabemos que o intervalo de classe é igual à 10 (99,5 – 89,5 = 10), e o valor da respectiva freqüência é 10. Para se encontrar o valor da nova

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freqüência correspondente à 7ª classe, primeiramente devemos encontrar o novo valor do intervalo de classe, cujos limites inferior e superior agora são 89,5 e 95,5, respectivamente. Logo, o intervalo de classe será 6 (95,5 – 89,5 = 6). Por meio de uma regra de três simples, temos:

Intervalo de classe freqüência nova10 106 X

X =

Logo, o valor da nova freqüência correspondente à sétima classe será 6.Dessa forma, teremos uma nova tabela de freqüências, expressa a seguir:

Classes Freqüência (f) Freqüência Nova (f’)1ª) 29,5 – 39,5 4 42ª) 39,5 – 49,5 8 83ª) 49,5 – 59,5 14 12,64ª) 59,5 – 69,5 20 205ª) 69,5 – 79,5 26 266ª) 79,5 – 89,5 18 187ª) 89,5 – 99,5 10 6

∑f = 100

A questão solicita a estimativa do número de indivíduos na população com valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5. Nesse caso, iremos somar os valores da freqüência nova (f’) entre a terceira e a sétima classes, ou seja, 12,6 + 20 + 26 + 18 + 6 = 82,6. Conforme visto em tópicos anteriores, sabemos que a soma das freqüências é sempre igual ao número total de valores observados. Dessa forma, essa nova amostra tem tamanho 82,6.

Se o valor 82,6 corresponde ao somatório das classes da amostra da qual tenho interesse, então o número de indivíduos na população com valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5 será 826.

A resposta é a letra “c”.

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INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÁO (ISEG)Coordenação: Professor Geraldo Sandoval GóesEndereço.: Av. W 3 Sul, Quadra 509, fone: 3443-3691Disciplina: Estatística BásicaProfessor: Sérgio Ricardo de Brito Gadelha ([email protected])40 – Assinale a opção que corresponde ao valor modal do atributo X no conceito de Czuber.a) 69,50b) 73,79c) 71,20d) 74,53e) 80,10

Comentários: A Moda é o valor da série que mais se repete, isto é, que tem maior

freqüência. Para distribuições simples (sem agrupamento em classes) a identificação da Moda é facilitada pela simples observação do elemento que apresenta maior freqüência. Um conjunto de observações pode não ter moda (por exemplo, o conjunto A = {2,3,5,6,7,10}), pode ter uma única moda (unimodal: B = {1,2,2,3,4}), duas modas (bimodal: C={1,1,2,3,4,4}) ou mais de duas modas (multimodal: D = {1,1,2,2,3,3,4}).

A moda também pode ser calculada quando os dados estão dispostos em uma distribuição de freqüência. No caso, primeiro localiza-se a classe modal que, no caso de os intervalos de classe terem a mesma amplitude, é aquela que apresenta a maior freqüência. Para obter o valor da moda, quando os dados estão agrupados com intervalos de classe, podemos utilizar o método mais simples, que consiste em tomar o ponto médio da classe modal. Esse valor é denominado moda bruta:

Mo = (li + ls)/2

Onde, li = limite inferior da classe modal e ls = limite superior da classe modal.

Porém, quando a classe modal e as classes vizinhas têm a mesma amplitude, recomenda-se o uso do método de Czuber:

Mo = li + h[(fmáx – fant)/2.fmáx – (fant + fpost)]

Onde,li = limite inferior da classe modalh = a amplitude da classe modalfmáx = freqüência máximafant = freqüência anterior à freqüência máximafpost = freqüência posterior à freqüência máxima

No exercício,

Mo = 69,5 + 10[(26 – 20)/2(26) – (20 + 18)]Mo = 69,5 + 10[6/ [52 – 38]Mo = 69,5 + 10[6/14]Mo = 69,5 + 10[0,42857]Mo = 69,5 + 4,2857Mo = 73,79 (aproximadamente)A resposta é a letra “b”.

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Mo = li + h.[1/(1 + 2)]

Onde,1= diferença entre a freqüência da classe modal e a imediatamente anterior2= diferença entre a freqüência da classe modal e a imediatamente posterior

41- Assinale a opção que corresponde ao desvio absoluto médio do atributo X.a) 16,0b) 17,0c) 16,6d) 18,1e) 13,0

Comentários:

Ponto Médio (Xi)

Xi.fi Xi. - | Xi - | | Xi - |. fi

34,5 138 69,5 -35 35 14044,5 356 69,5 -25 25 20054,5 763 69,5 -15 15 21064,5 1.290 69,5 -5 5 10074,5 1.937 69,5 5 5 13084,5 1.521 69,5 15 15 27094,5 945 69,5 25 25 250

=6.950 = 1.300

Para encontrar o valor do desvio absoluto médio do atributo X, deve-se seguir os seguintes passos:

1º) Cálculo do Ponto Médio de Classe (PM):

Ponto médio de classe é o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais, ou seja, é a média aritmética dos limites da classe.Em uma tabela com dados agrupados, o cálculo da média aritmética uso os pontos médios dos intervalos de classes (Xi). O ponto médio é obtido calculando-se a média aritmética entre os limites de sua classe. Logo,

PM = (li + ls)/2

Onde, li = limite inferiorls = limite superiorPM = ponto médio.

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INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÁO (ISEG)Coordenação: Professor Geraldo Sandoval GóesEndereço.: Av. W 3 Sul, Quadra 509, fone: 3443-3691Disciplina: Estatística BásicaProfessor: Sérgio Ricardo de Brito Gadelha ([email protected])Por exemplo, o ponto médio da 1ª classe será: PM = (29,5 + 39,5)/2 = 34,5 (e assim por diante).

2º) Cálculo da Média Aritmética Ponderada ( ):

A medida de tendência central média aritmética é igual ao quociente obtido pela divisão da soma de todos os valores da série de valores numéricos pelo número total desses valores.

Dada uma série numérica com dados não-agrupados (X1, X2, ..., Xn), a média aritmética simples destes n valores será obtida pela seguinte expressão:

= /

onde: = média aritmética simples dos valores Xi

Xi = cada um dos valores observadosn = número de valores observados

No caso de os dados estiverem classificados em uma distribuição de freqüências com n classes, ou seja, dados agrupados com intervalo de classes, se Xi(i = 1,2, ..., n) são os valores centrais das classes ou os diferentes valores observados (no caso de uma variável discreta) e se fi são as respectivas freqüências (ou pesos), a média aritmética ponderada é dada por:

= /

onde: fi = freqüência absoluta simples da classe i (pesos)

= média aritméticaXi = ponto médio do intervalo de classe in = total de classes da distribuição de freqüênciasfi = freqüência total

Todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com seu ponto médio. No exercício, tem-se o seguinte valor para a média aritmética ponderada (note que o valor do fi já foi calculado anteriormente):

= 6.950/100 = 69,5

3º) Cálculo do Desvio Médio Absoluto (DMA):

Dada uma série (conjunto) de observações X com média , denomina-se como desvio de uma observação, ao resultado da diferença entre o valor dessa observação

e o valor da média aritmética da série (DM = Xi. - ). Todavia, a soma dos desvios das observações da série com relação à própria média da série é sempre igual a zero, pois os

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INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÁO (ISEG)Coordenação: Professor Geraldo Sandoval GóesEndereço.: Av. W 3 Sul, Quadra 509, fone: 3443-3691Disciplina: Estatística BásicaProfessor: Sérgio Ricardo de Brito Gadelha ([email protected])sinais dos desvios se compensam. Dessa forma, para manter os desvios como medida de dispersão de uma série, usa-se a média dos valores absolutos dos desvios da série, denominado como desvio médio absoluto (DMA). As barras verticais indicam que são tomados os valores absolutos, prescindindo do sinal dos desvios.

Logo, para dados brutos, o desvio médio absoluto de um conjunto de dados (X1, X2, ..., Xn) é a média aritmética dos valores absolutos dos desvios em relação à média

aritmética ( ). Em outras palavras, é a média aritmética das distâncias de cada valor de X à média aritmética do conjunto.

DMA = | Xi - | /n

Por outro lado, para dados dispostos em uma tabela de freqüência, agrupados ou não em classes, usa-se a seguinte expressão:

DMA = | Xi - | fi /fi

No exercício, o valor do desvio médio absoluto do atributo X será:

DMA = 1300/100 = 13,0

A resposta é a letra “e”.42 – Assinale a opção que dá o valor do coeficiente quartílico de assimetria.a) 0,080b) –0,206c) 0,000d) –0,095e) 0,300

Comentários: Coeficiente Quartílico de Assimetria

Classes Freqüência (f) Freqüência Acumulada1ª - 29,5 – 39,5 4 42ª - 39,5 – 49,5 8 123ª - 49,5 – 59,5 14 264ª - 9,5 – 69,5 20 465ª - 69,5 – 79,5 26 726ª - 79,5 – 89,5 18 907ª - 89,5 – 99,5 10 100

f = 100

O coeficiente quartílico (ou quartil) de assimetria, denotado por eQ, é uma medida de assimetria freqüentemente usada, que recorre, em seu cálculo, aos três quartis. É

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É definido por:

ou

Isto é, esta quantidade é dada pela razão entre a diferença entre o afastamento dos quartis e a sua soma.

O coeficiente quartílico de assimetria assume valores entre os limites -1 e +1, ou seja: -1 eQ +1.

Sabemos que o 2º quartil, evidentemente, coincide com a Mediana (Q2 = Md). Encontramos o valor da mediana quando resolvemos a questão 38 (Ponto 6), ou seja, Md = 71,04. Logo, precisamos encontrar os valores do 1º e 3º quartis (Q1 e Q3).

Há medidas de posição que, consideradas individualmente, não são medidas de tendência central, mas estão ligadas à mediana relativamente à sua característica de separar a série em duas partes que apresentam o mesmo número de valores. Essas medidas – os quartis, os decis e os percentis – são, juntamente com a mediana, conhecidas como separatrizes.

Os quartis [Qi = quartil, i=1,2,3] separam/dividem um conjunto de dados ordenados (rol) em quatro partes iguais. Para dados não-agrupados em classes, temos:

Q1 (1 Quartil): é o valor que antecede 25% da freqüência abaixo dele e sucede 75%, ou seja, deixa 25% dos elementos abaixo dele. É o valor situado de tal modo na série que uma quarta parte (25%) dos dados é menor que ele e as três quartas partes restantes ( 75%) são maiores.

Q2 (2 Quartil): coincide com a mediana, isto é, valor que antecede 50% da freqüência abaixo dele e sucede 50%.

Q3 (3 Quartil): é o valor que antecede 75% da freqüência abaixo dele e sucede 25%, ou seja, deixa 75% dos elementos abaixo dele. É o valor situado de tal modo que as três quartas partes (75 %) dos termos são menores que ele e uma quarta parte 25 % é maior.

Todavia, no cálculo das separatrizes para dados agrupados em tabelas de distribuição de freqüências, as fórmulas para a determinação dos quartis Q1 e Q3 são semelhantes utilizada para o cálculo da Md.

Determinação de Q1:

1º) Passo: Determina-se a posição (P) que o 1º quartil ocupa na distribuição dos dados, isto é,

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a) Decil:

Como N (número de valores observados) = f = 100, então P = (1)(100/4) = 25, onde i = 1

2º) Passo: Identifica-se a classe Q1 pela freqüência acumulada (Fac). No exercício, a posição do quartil refere-se à 3ª classe.

3º) De posse desses dados determinamos o valor do 1º quartil por meio da fórmula:

onde:

onde,

Q1 - 1º Quartil;LiQ1 – Limite inferior da classe que contém Q1 49,5;P – posição do quartil;FAAQ1 – freqüência acumulada da classe anterior a classe que contém o quartil;FQ1 – Freqüência da classe que contém Q1;h – amplitude do intervalo de classe que contém Q1; limite superior (ls) – limite inferior (li) = 59,5 - 49,5 = 10

Logo,

onde:

Determinação de Q3

1º) Passo: Determina-se a posição (P) que o 3º quartil ocupa na distribuição dos dados, isto é,

b) Decil:

10


Como N = f = 100, então P = 3(100/4) = 75, onde i = 3

2º) Passo: Identifica-se a classe Q3 pela freqüência acumulada (Fac). No exercício, a posição do quartil refere-se à 6ª classe.

3º) De posse desses dados determinamos o valor do 3º quartil por meio da fórmula:

onde:

onde,

Q3 - 3º Quartil;LiQ3 – Limite inferior da classe que contém Q3 79,5;P – posição do quartil;FAAQ3 – freqüência acumulada da classe anterior a classe que contém o quartil;FQ3 – Freqüência da classe que contém Q1;h – amplitude do intervalo de classe que contém Q1; limite superior (ls) – limite inferior (li) = 89,5 - 79,5 = 10

Logo,

onde:

Dessa forma, o valor do coeficiente quartílico de assimetria será:

Logo, a resposta é a letra “d”.

Em resumo,

O conceito de coeficiente quartílico de assimetria (ou coeficiente de Bowley), que é expresso da seguinte maneira:

11


Para completar àquela aula, saiba que, de acordo com esse coeficiente, as distribuições são classificadas da seguinte maneira:

-1< eQ < -0,3 assimétrica negativa forte-0,3< eQ < -0,1 assimétrica negativa moderada- 0,1< eQ < 0 assimétrica negativa fracaeQ = 0 simétrica0< eQ < 0,1 assimétrica positiva fraca0,1< eQ < 0,3 assimétrica positiva moderada0,3< eQ < 1 assimétrica positiva forte

Observação1: Para o cálculo das separatrizes [quartis, decis e percentis (ou centis)] para dados agrupados em tabelas de distribuição de freqüências, segue-se o seguinte procedimento:

1º) Determinar a posição que a separatriz ocupa na distribuição dos dados.

a) quartil

b) Decil:

c) Percentil (ou Centil)

2º) Localizar esta posição na distribuição de freqüência acumulada (FA), sabendo qual a “classe” que contém a separatriz.

4º) De posse desses dados determinamos o valor da separatriz através da fórmula:

onde:

S – separatriz;Li – Limite inferior da classe que contém a separatriz;P – posição da separatriz;

FAA – freqüência acumulada da classe anterior a classe que contém a separatriz;h – amplitude do intervalo de classe.

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43) Para a distribuição de freqüências do atributo X sabe-se que:

7i=1(Xi - )2 fi = 24.500 e que

7i=1(Xi - )4 fi = 14.682.500

Nessas expressões os Xi representam os pontos médios das classes e a média amostral.Assinale a opção correta. Considere para sua resposta a fórmula da curtose com base nos momentos centrados e suponha que o valor de curtose encontrado é populacional.a) A distribuição do atributo X é leptcúrtica.b) A distribuição do atributo X é platicúrtica.c) A distribuição do atributo X é indefinida do ponto de vista da intensidade da curtose.d) A informação dada se presta apenas ao cálculo do coeficiente de assimetria com base

nos momentos centrados de X.e) A distribuição de X é normal.

Comentários:

A curtose indica o grau de achatamento de uma distribuição em relação a uma distribuição padrão (distribuição normal), denominada curva normal.

Em outras palavras, a curtose indica até que ponto uma curva de freqüências de uma distribuição se apresenta mais afilada ou mais achatada se comparada a uma curva padrão, que é a curva normal (curva Gaussiana). Quanto ao grau de curtose, há três possíveis tipos de curvas de freqüência:

Curva de Freqüências Mesocúrtica (C = 3): Curva de freqüências que apresenta um grau de achatamento equivalente ao da curva normal, conforme ilustrado na figura a seguir:

Curva de Freqüências Platicúrtica (C<3): Curva de freqüências que apresenta alto grau de achatamento, superior ao da normal, conforme ilustrado na figura a seguir:

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Curva de Freqüências Leptocúrtica (C>3): Curva de freqüências com alto grau de afilamento, superior ao da normal, conforme ilustrado na figura a seguir:

.

O coeficiente de curtose (C) pode ser expresso da seguinte maneira:

C = M4/DP4 = M4/VAR2 = M4/ M2

2

Como os dados estão agrupados (há a presença de freqüências), a variância [VAR(X) para populações] e o momento central de ordem 4 (M4 ou momento centrado na média de ordem 4) são expressos da seguinte maneira:

VAR (X) = = M2 = = 245

Onde M2 = Momento Central de Ordem 2 ou Momento Centrado na Média de Ordem 2

M4 = = =146.825

Logo, o valor do coeficiente de curtose (C) será:

C = M4/VAR2 = = 2,45

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C < 3 A distribuição do atributo X é platicúrtica. Logo, a resposta é a letra “b”.

Observação 1: Coeficiente Percentílico de Curtose

O coeficiente percentílico de curtose (k) é a medida mais elementar usada para avaliar o grau de curtose de uma distribuição ou curva de freqüências, ou seja, mede o achatamento de uma distribuição de freqüências. É definido pela expressão que segue:

, onde DQ é a amplitude semi-interquartílica (ou desvio-quartílico), ou seja:

Onde,P90= nonagésimo percentilP10= décimo percentilQ3 = terceiro quartilQ1 = primeiro quartil

A interpretação desta medida é como segue:

Se k = 0,263 : curva ou distribuição mesocúrtica; Se k > 0,263 : curva ou distribuição platicúrtica; Se k < 0,263 : curva ou distribuição leptocúrtica.

Observação 2: Por curiosidade, o coeficiente de curtose utilizado no Microsoft Excel é expresso pela seguinte fórmula:

Coeficiente de curtose =

Onde,

Xi = valor da variável analisada

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= média aritmétican = número de observaçõesSX = desvio padrão (DP)

44 – Uma variável contábil Y, medida em milhares de reais, foi observada em dois grupos de empresas apresentando os resultados seguintes:

Grupo Média Desvio PadrãoA 20 4B 10 3

Assinale a opção correta.a) No grupo B, Y tem maior dispersão absoluta.b) A dispersão absoluta de cada grupo é igual à dispersão relativa.c) A dispersão relativa do Grupo B é maior do que a dispersão relativa do Grupo.d) A dispersão relativa de Y entre os Grupos A e B é medida pelo quociente da diferença

de desvios padrão pela diferença de médias.e) Sem o conhecimento dos quartis não é possível calcular a dispersão relativa nos

grupos.

Comentários:

Sabemos que dispersão (ou variabilidade) é a maior ou menor diversificação dos valores de uma variável em torno de um valor de tendência central (média ou mediana) tomado como ponto de comparação.

Por outro lado, o desvio padrão [DP(x), (população) ou S(amostra)] tem duas características importantes:

Considera que os desvios se distribuem homogeneamente ao redor do valor da média.

É uma medida de dispersão absoluta.

Mas o fato de o desvio padrão ser uma medida de dispersão absoluta não permite comparar as medidas de dispersão de duas ou mais séries de observações. Nesse caso, define-se uma medida da dispersão relativa ou da concentração de uma distribuição, denominada como Coeficiente de Variação de Pearson, expresso pela seguinte fórmula:

Onde,CV = Coeficiente de Variação de PearsonDP(x) = Desvio Padrão

= média aritmética

O Coeficiente de Variação de Pearson é o quociente entre o desvio padrão e o valor absoluto da média aritmética referentes a dados de uma mesma série. Trata-se de

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O Coeficiente de Variação é um número adimensional (seu valor independe da unidade de medida da variável analisada). O resultado pode ser expresso na forma percentual, bastando multiplicar o seu resultado por 100. Comparando duas séries, a série que tiver menor coeficiente de variação terá menor dispersão, ou seja, menor risco.

No exercício, a dispersão relativa dos Grupos A e B serão:

O Grupo A tem menor coeficiente de variação (CV = 0,2). Logo, o Grupo A menor dispersão (ou variabilidade), menor risco ou maior homogeneidade.

A resposta é a letra “c”, pois a dispersão relativa do Grupo B é maior do que a dispersão relativa do Grupo A.

Um exemplo prático do coeficiente de variação é em Finanças (Administração Financeira), onde esse coeficiente mostra o risco por unidade de retorno e proporciona uma base de comparação que faz mais sentido quando o retorno esperado de duas alternativas não é o mesmo. Se dois investimentos têm os mesmos retornos esperados, mas desvios padrão diferentes, os investidores irão escolher o investimento com menor desvio padrão (ou seja, menor risco). Por outro lado, se dois investimentos tem o mesmo risco (desvio padrão), mas com retornos esperados diferentes, os investidores, em geral, preferem o investimento com o retorno esperado mais alto. Mas quando os investimentos diferem tanto em relação aos desvios padrão como aos retornos esperados, o coeficiente de variação é uma medida melhor para a avaliação do risco nesse tipo de situação. O investimento com menor coeficiente de variação apresentará menor risco.

Assim, se tenho duas carteiras de investimento A e B, sendo que o coeficiente de variação da carteira de investimento A é maior que o coeficiente de variação da carteira B, então a carteira B apresenta menor risco que a carteira A.

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INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÁO (ISEG)Coordenação: Professor Geraldo Sandoval GóesEndereço.: Av. W 3 Sul, Quadra 509, fone: 3443-3691Disciplina: Estatística BásicaProfessor: Sérgio Ricardo de Brito Gadelha ([email protected])45) No tempo t0 + 2 o preço médio de um bem é 30% maior do que em t0 + 1, 20% menor do que em t0 e 40% maior do que em t0 + 3. Assinale a opção que dá o relativo de preços do bem em t0 + 3 com base em t0 + 1.

a) 162,5%b) 130,0%c) 120,0%d) 092,9%e) 156,0%

Comentários: Considere duas épocas e os respectivos preços de um artigo:

0 = época base (época de referência)t = época atual (época dada)P0 = preço do bem na época basePt = preço do bem na época atual

Define-se o preço relativo, índice relativo de preço ou número-índice de preço pela seguinte expressão:

É o número-índice mais simples, que indica a relação entre o preço de um produto em determinado período (ano, mês) e o preço no período base. Em termos percentuais,

O ano considerado base corresponderá sempre ao índice igual a 100. Os demais apresentarão, portanto, valores que flutua no em torno de 100.

No exercício em análise, tomando-se o ano t0 + 1 como ano-base, o preço relativo que lhe corresponde é 100 (simbolicamente, t0 + 1 = 100 ou 100%).

Como o preço, em t0 + 2, é 30% maior do que em t0 + 1, o preço relativo correspondente a t0 + 2 é 100 + 30 = 130, ou seja, o preço em t0 + 2 é 130% do preço em t0 + 1.

Como o preço em t0 + 2 é 20% inferior ao de t0, ele deve ser 100% – 20% =

80% do preço de t0. Então, o preço em t0 é do preço

em t0 + 2, ou seja, o preço relativo em t0 é 125% do de t0 + 2. Logo, 125% de 130 = 162,5.

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Como o preço em t0 + 2 é 40% maior do que em t0 + 3, ele deve ser 100 +

40 = 140 do de t0 + 3. Então, o preço em t0 + 3 é do preço em t0 + 2, ou seja, o preço

relativo em t0 + 3 é do de t0 + 2. Isto é,

Por conseguinte, os preços relativos são os apresentados na tabela a seguir:

Ano t0 t0 + 1 t0 + 2 t0 + 3Preço Relativo(t0 + 1 = 100)

162,5 100 130 92,9 (aproximadamente)

Logo, a resposta é a letra “d”.

Alternativamente, podemos resolver essa questão de uma outra forma:

P0 P 1,3P = 0,8P0 = 1,4P’ P’

t0 t0 + 1 t0 + 2 t0 + 3

De acordo com o exercício, no tempo t0 + 2 o preço do bem é 30% maior do que em t0 + 1 (1,3P), 20% menor do que em t0 (0,8P0) e 40% maior do que em t0 + 3 (1,4P’). Logo, o relativo de preços do bem em t0 + 3 com base em t0 + 1 será:

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Aula 2 - Comentários à prova de estatística básica do concurso para Auditor Fiscal da Receita Federal