Aula 3-ARQ-013Geometria Descritiva 1A:

Introdução à Geometria DescritivaElementos e pontos

Antonio Pedro Carvalho

Aula baseada em: CARVALHO, A. P. A.; FONSECA, A. A. S. E.; PEDROSO, G. M. (orgs) Geometria Descritiva: Noções Básicas. Salvador: Quarteto, 2003.

Elementos Fundamentais da Geometria

● Geometria é a ciência que investiga as formas e dimensões dos elementos matemáticos

● Elementos fundamentais da Geometria: o ponto, a linha e a superfície

● O ponto determina uma posição no espaço. Não possui dimensão, existindo apenas se relacionado com outros elementos

● A linha pode ser compreendida como o resultado do deslocamento de um ponto

Elementos Fundamentais da Geometria

● A superfície pode ser definida como o resultado do deslocamento de uma linha em direção diferente da dela própria

● Toda representação geométrica é obtida através destes três elementos fundamentais, sendo que, no desenho técnico, o mais utilizado é a linha

Sistemas de Representação

● As diversas geometrias são sistemas de representação de formas

● A Geometria Projetiva busca representar, através do conceito de projeção, a forma de um objeto tridimensional em duas dimensões

● Projeção é o resultado da interseção de uma linha reta (projetante) que atinge um ponto do objeto a ser representado e um plano de projeção

Sistemas de Projeção

● Sistemas de Projeção são ordenamentos das direções das projetantes

● Os principais Sistemas de Projeção são o Cônico e o Cilíndrico

EXEMPLO DE SISTEMA DE PROJEÇÃO CÔNICO NA NATUREZA

EXEMPLO DE SISTEMA DE PROJEÇÃO CILÍNDRICO NA NATUREZA

Geometria Descritiva

● A Geometria Descritiva constitui-se num sistema de projeção idealizado pelo matemático francês Gaspar Monge (1746-1818) de modo a resolver problemas de padronização na confecção de projetos, durante o processo industrial incipiente que experimentava a França em meados do século XVIII

Geometria Descritiva

● Consiste na projeção do objeto estudado sobre dois planos de projeção perpendiculares entre si. Um dos planos é colocado na posição horizontal e chamado de Plano Horizontal de Projeção, ou PHp, e o outro na posição vertical e chamado Plano Vertical de Projeção, ou Pvp

Geometria Descritiva

● Para que este sistema possua uma representação bidimensional, faz-se um movimento de giro do plano horizontal ou vertical em torno da interseção entre os planos, de modo a coincidir com a posição do plano vertical. Este processo é chamado de rebatimento e o resultado, épura

Geometria Descritiva

● Cada ponto, desta forma, terá duas projeções no mínimo: a projeção sobre o PHp, também chamada de Projeção Horizontal, e a projeção sobre o PVp, também chamada de Projeção Vertical

Elementos

● A Linha de Terra, ou simplesmente LT, é a reta interseção entre os planos de projeção. Esta interseção divide cada plano de projeção em dois semi-planos.

● O PHp é subdividido no Semi-plano Horizontal Anterior, ou SPHA, e o Semi-plano Horizontal Posterior, ou SPHP.

● O PVp é subdividido em Semi-plano Vertical Superior, ou SPVS, e Semi-Plano Vertical Inferior, ou SPVI

Elementos

● As Linhas de Chamada são as projeções das projetantes. Em épura, as linhas de chamada de um mesmo ponto estarão sempre numa mesma reta perpendicular à LT.

● Diedros são os espaços compreendidos entre os dois planos de projeção.

Elementos● Por convenção, o primeiro diedro será sempre

aquele em que se encontra o observador, sendo o espaço compreendido entre o SPHA e o SPVS. O segundo diedro será o espaço compreendido entre o SPVS e o SPHP. O terceiro diedro é o espaço entre o SPHP e o SPVI. Finalmente, o quarto diedro está entre o SPVI e o SPHA.

● No processo de rebatimento, do qual resulta a Épura, o SPHP sempre coincidirá com o SPVS, e o SPHA com o SPVI, fechando-se o segundo e quarto diedro

Coordenadas do Ponto

● Para que todo sistema da Geometria Descritiva possua precisão, cada ponto será fixado no espaço por coordenadas

● A distância de qualquer ponto, tomada numa perpendicular, para o PVp será chamada afastamento

● A distância de qualquer ponto, tomada numa perpendicular, para o PHp, será chamada cota

Coordenadas do Ponto● O Para que um ponto fique totalmente fixo no

espaço, no entanto, necessita de mais uma coordenada no sentido longitudinal (abscissa), com valor marcado ao longo da LT.

● Isto é resolvido pelo arbitramento, perpendicularmente à LT, de um plano que é chamado de Plano de Origem das Abscissas.

● Convenciona-se que qualquer ponto à direita da Origem das Abscissas tem abscissa positiva e qualquer ponto à sua esquerda terá abscissa negativa

Coordenadas do Ponto

● O afastamento será positivo quando medido do ponto ao PVp, para o mesmo lado do observador ou na frente do PVP (1o e 4o diedros), e negativo quando medido para um ponto situado atrás do Pvp (2o e 3o diedros).

● A cota será positiva quando a distância for medida acima do Php (1o e 2o diedros) e negativa quando medida para baixo do Php (3o e 4o diedros)

Coordenadas do Ponto● O Deste modo, pode-se representar um ponto

qualquer no Sistema de Dupla Projeção ou da Geometria Descritiva por três coordenadas: abscissa, afastamento e cota, que correspondem às coordenadas cartesianas x, y e z. Um ponto é identificado da seguinte forma: (A) (x ; y ; z), onde se representa por x a abscissa, y o afastamento e z a cota

● Exemplo: se o ponto (A) tiver abscissa 2, afastamento 3 e cota 4, escreve-se suas coordenadas desse modo: (A) (2 ; 3 ; 4)

Posições do Ponto● Na representação da Épura de um ponto, nota-

se que o afastamento será medido, sempre positivamente, da LT para baixo e, negativamente, da LT para cima. Na cota ocorrerá o inverso, isto é, positivamente para cima da LT e negativamente para baixo. No caso das abscissas, teremos medidas positivas à direita e negativas à esquerda da Origem das Abscissas

Posições do Ponto● Dependendo do diedro em que esteja o ponto,

pode-se afirmar: ● Se o ponto estiver no primeiro diedro,

teremos afastamento e cotas positivas. ● Se estiver no segundo, terá afastamento

negativo e cota positiva. ● No terceiro diedro, o ponto terá

afastamento e cota negativos. ● No quarto diedro, terá afastamento

positivo e cota negativa

Posições do Ponto● O ponto poderá situar-se sobre o PHp, quando

terá sempre cota nula. ● Se estiver sobre o SPHA, terá cota nula, mas

afastamento positivo, e, se estiver sobre o SPHP, sua cota será nula, mas o afastamento negativo.

● Se o ponto estiver sobre o PVp, terá sempre afastamento nulo, sendo que, se estiver sobre o SPVS, terá cota positiva e, se estiver sobre o SPVI, terá cota negativa.

● Finalmente poderemos ter ainda pontos sobre a LT, quando a cota e afastamento serão nulos

Exercício (12, p.39)

● 1) Representar os pontos abaixo na mesma épura, explicitando a posição relativa aos diedros.

● (K)(-3;0;4), (L)(-2;7;3), (M)(-1;-4;4), (N)(0;0;0), (O)(1;3;-5),

● (P)(2;-6;-7), (Q)(3;0;-7), (R)(4;-5;0), (S)(5;2;0) e (T)(6;7;-2)