02/04/2014

1

)( fD

cbxaxxf 2)( É toda função definida por , onde

e . Seu domínio é .

cba ,,

Seu gráfico é uma parábola, cujo eixo de simetria é paralelo

ao eixo dos y (ou o próprio, se .).

1.6.3. Função quadrática

0a

0bA concavidade da parábola é voltada para cima se e para

baixo se

0a0a

Os pontos de intersecção com o eixo x, (como já sabemos da

função afim) são aqueles onde a função se anula, ou seja, onde

y=0 ou f(x)=0.

Os valores de x nestes pontos são os zeros da função, que

poderão ser dois distintos, um (ou dois iguais),ou nenhum, o que

depende, é claro, do número de soluções da equação ,

ou seja, da equação . 02 cbxax0)( xf

O coeficiente c indica a ordenada do ponto de intersecção da

parábola com o eixo dos y.

),0( c

onde o número real , dado por , é o discriminante da

equação (ou também, da Função)

As raízes desta equação são dadas por

Assim, temos, de acordo com o valor de , que

a

bx

2

(i) Se , a equação tem duas raízes reais distintas, ou seja,

a função tem dois zeros e portanto a parábola “corta” o eixo x

em dois pontos.

0

0

acb 42

0

(ii) Se , a equação tem duas raízes reais iguais (ou 1 raiz

real), ou seja, a função tem um único zero e portanto a parábola

“corta” o eixo x em um ponto.

(iii) Se , a equação não tem raízes reais, ou seja, a função

não possui zeros reais e portanto a parábola não intersecta o

eixo x.

0 00

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2

A parábola que representa a função quadrática tem sempre um

ponto extremo, denominado VÉRTICE, que pode ser o ponto

mais “baixo” da mesma (se a>0) ou o mais “alto” (se a<0).

abxV 2/0a

ayV

4

0a

0a

A partir destas informações, pode-se concluir também que o

conjunto Imagem da função quadrática é dado por

0a

),[)Im( Vyf 0ase

0a

A abcissa (valor de x) deste ponto é dada por , que é

denominado Ponto de Mínimo (caso ) ou Ponto de Máximo

(caso ).

A ordenada (valor de y) deste ponto é dada por , e é,

por ser o maior ou o menor valor da função, denominado Valor

Mínimo (se ) ou Valor Máximo (se ).

],()Im( Vyf se

0a 0a

Vxx

Crescimento:

Vxx

O intervalos de crescimento e decrescimento da função

quadrática são dados de acordo com a concavidade da

parábola e limitados pelo valor do .

Função quadrática

VxSe ,tem-se f crescente para e decrescente para 0a

0aSe ,tem-se f crescente para e decrescente para Vxx Vxx

Assim, todos os pontos desta reta tem como abcissa o .

No caso do gráfico de uma função quadrática, este eixo é vertical

e passa pelo vértice da parábola. .

Como já foi mencionado, a parábola é uma curva simétrica em

relação a uma reta do plano cartesiano. É o chamado Eixo de

Simetria.

Vx Portanto, o eixo de simetria tem equação dada por . Vxx

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Estudo da variação do sinal da função quadrática

No caso da função quadrática, de acordo com o valor de e o

sinal do coeficiente , pode-se ter as seguintes situações:

Para a análise da variação do sinal da função, similarmente

à maioria das funções, não precisamos do gráfico traçado

com detalhes, mas sim um esboço onde podemos ver a

posição da parábola em relação ao eixo dos x.

a

Dada a função quadrática , determine: 32)(2 xxxf

a) A concavidade da parábola, justificando

b) O ponto de intersecção da parábola com o eixo y.

c) Os zeros (ou “raízes”) da função e os pontos de intersecção

com o eixo x. d) As coordenadas do vértice.

e) Trace a parábola que representa esta função

f) O valor extremo. E se é máximo ou mínimo.

g) O conjunto imagem de f.

h) A equação do eixo de simetria.

i) Os intervalos onde f é crescente e onde é decrescente.

j) Analise a variação do sinal de f.

a) Nesta função, temos . 01aLogo, a parábola tem a concavidade voltada para cima.

32)(2 xxxf

b) Como temos, para esta função, o coeficiente , então 3cO ponto de intersecção do gráfico de f com o eixo y é . )3,0(

c) Para determinar os zeros da função, devemos atribuir

e resolver a equação resultante, ou seja, .

0)( xf

0322 xx

Temos e, uma vez que

as raízes são dadas por

3,2,1 cba

a

bx

2

12

16)2(

16)3(14)2(2

2

42

1"

3'

x

x

Os pontos de intersecção com o eixo x são, portanto, e . )0,3( )0,1(

d) Para as coordenadas do vértice, temos:

a

bxV

2

12

)2(

1

ayV

4

14

16

4

Portanto, o vértice da parábola é o ponto . )4,1( V

e) Com os itens (a), (b), (c) e (d), calculados, temos a parábola:

4

1

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4

f) Pelas coordenadas do vértice, e como a>0 (parábola é

voltada para cima), temos que o valor extremo da função é ,

)4,1( V4

que é o valor mínimo, sendo o ponto de mínimo de f. 1x

g) Do fato de ser o valor mínimo de f, tem-se diretamente

que o seu conjunto imagem é:

4Vy

}4/{)Im( yyf ),4[)Im( fou

h) Ainda das coordenadas do vértice, uma vez que , temos

que o eixo de simetria é a reta de equação .

1Vx1x

i) Ainda do fato que e também de , temos que 1Vx 0a

f é crescente para 1xf é decrescente para 1x

1

j) Para estudar a variação do sinal de f, façamos um esboço de

seu gráfico, observando os zeros da função e a posição da

parábola em relação ao eixo dos x:

1 3 x

Neste esboço, colocamos os sinais “+” e “-” nas partes do eixo x

onde a parábola se encontrar, respectivamente, acima e abaixo

do mesmo.

+ +

-

Assim, de acordo, com o esboço acima, temos:

0)( xf para 1x ou 3x

0)( xf0)( xf

para 31 xpara 1x ou 3x

As funções polinomiais são também chamadas de Polinômios.

Se o coeficiente de for diferente de 0, então é dita

função polinomial (ou polinômio) de grau .

n

n xaxaxaaxf 2

210)(n

na nx f

nO gráfico de uma função polinomial é uma curva que pode ter

formatos variados, de acordo com o grau do polinômio.

Por exemplo, as funções afim e quadrática são casos

particulares de função polinomial (grau 1 e 2, respectivamente).

As funções polinomiais de grau 3 são da forma

e são denominadas funções cúbicas.

dcxbxaxxf 23)(

Portanto, estas curvas podem ou não apresentar pontos de valor

extremo (máximos ou mínimos).

Vejamos exemplos de gráficos de algumas funções cúbicas:

1)(3 xxf

3)( xxf

xxxf 2)(3 23

2)( xxxf

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1.6.5. Funções-potência: São as definidas por , onde é

um n° racional constante.

nxxf )( n

Quando é inteiro positivo, a função potência é um caso

particular da função polinomial e a forma geral de seu gráfico

depende essencialmente de ser par ou ímpar.

n

nAssim, quando é inteiro positivo par, a função é uma

função par ( ) e seu gráfico será, em linhas

gerais, similar ao gráfico da função .

n nxxf )(

xxfxf ,)()(2

)( xxf 2

)( xxf 4)( xxf 6

)( xxf

Assim, quando é inteiro positivo ímpar, a função é

uma função ímpar ( ) e seu gráfico será, em

linhas gerais, similar ao gráfico da função .

n nxxf )(

xxfxf ,)()(3

)( xxf

3)( xxf 5

)( xxf

7)( xxf

Quando , temos a chamada função recíproca, que é

definida por , cujo gráfico é uma hipérbole que tem os

eixos coordenados como assíntotas.

1nxxf /1)(