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Cssius Henrique
Aula 4
Axiomas de Probabilidade
Regra de Adio
CEA 012 Probabilidade
Axiomas de Probabilidade
Cssius Henrique Xavier Oliveira
Universidade Federal de Ouro Preto
Departamento de Cincias Exatas e Aplicadas
2015
Cssius Henrique
Aula 4
Axiomas de Probabilidade
Regra de Adio
CEA 012 Probabilidade
Contextualizando...
Como pode ser definida a Probabilidade? Onde podemos encontrar suas aplicaes?
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Axiomas de Probabilidade
Regra de Adio
CEA 012 Probabilidade
Interpretaes de Probabilidade
Probabilidade:
resultado que pertence ao intervalo
[0, 1] ou [0%, 100%]
Escala de probabilidades:
Maior probabilidade maior chance
0% evento impossvel
100% evento certo
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Axiomas de Probabilidade
Regra de Adio
CEA 012 Probabilidade
Interpretaes de Probabilidade
Crena
pessoas podem, subjetivamente, atribuir probabilidades diferentes para um mesmo evento
Frequncia relativa
baseada na taxa de ocorrncia de certo evento em relao aos demais eventos
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Axiomas de Probabilidade
Regra de Adio
CEA 012 Probabilidade
Interpretaes de Probabilidade
Crena
pessoas podem, subjetivamente, atribuir probabilidades diferentes para um mesmo evento
Frequncia relativa
abordagem cientfica
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Axiomas de Probabilidade
Regra de Adio
CEA 012 Probabilidade
Resultados equiprovveis
Exemplo:
Evento A: De um lote com 100 peas, uma ser escolhida aleatoriamente.
Cada pea tem a mesma chance de ser selecionada
Soma das probabilidades 1 ou 100%
Para o modelo: P(A) = 0,01 ou 1%
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Nivelamento
Em um experimento aleatrio, o que so resultados equiprovveis? Cite alguns exemplos de experimentos que poderiam gerar esses resultados.
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CEA 012 Probabilidade
Resultados equiprovveis
Exemplo:
Evento A: De um lote com 100 peas, uma ser escolhida aleatoriamente.
Cada pea tem a mesma chance de ser selecionada
Soma das probabilidades 1 ou 100%
Para o modelo: P(A) = 0,01 ou 1%
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Axiomas de Probabilidade
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Resultados equiprovveis
Toda vez que o espao amostral consistir em N resultados possveis que forem igualmente provveis, a probabilidade de cada resultado :
NP
1
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Probabilidade de um Evento
Para um espao amostral discreto, a probabilidade de um evento E, denotada por P(E) igual soma das probabilidades dos resultados em E.
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L1.3. Exerccio 1
Um experimento aleatrio pode resultar em um dos resultados {a, b, c, d} com probabilidades 0,1; 0,3; 0,5 e 0,1, respectivamente.
Seja: Determine:
A o evento {a, b}
B o evento {b, c, d}
C o evento {d}
CBAP
CBAP
CBP
BAP
BAP
CP
BP
AP
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L1.3. Exerccio 2
Uma inspeo visual de um ponto em pastilhas de um processo de fabricao de semicondutores resultou na seguinte tabela:
a) Se desse processo uma pastilha for selecionada ao acaso e o ponto for inspecionado, qual ser a probabilidade de que ele no contenha partculas?
b) Qual a probabilidade de uma pastilha conter 2, 3 ou 4 partculas no ponto inspecionado?
c) Qual a probabilidade de uma pastilha conter pelo menos 3 partculas no ponto inspecionado?
d) Os eventos apontados anteriormente so equiprovveis?
Nmero de Partculas de Contaminao 0 1 2 3 4 5 ou +
Proporo de Pastilhas 0,4 0,2 0,15 0,1 0,05 0,1
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L1.3. Exerccio 3
Suponha que uma batelada contenha seis itens {a, b, c, d, e, f} e que dois itens sejam selecionados aleatoriamente, sem reposio.
Suponha que o item f seja defeituoso, porm que os outros sejam bons.
Qual a probabilidade de que o item f aparea na amostra?
a) ( ) 1/5
b) ( ) 1/3
c) ( ) 1/6
d) ( ) 1/15
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Axiomas de Probabilidade
Asseguram que as probabilidades atribudas a um experimento podem ser interpretadas como frequncias relativas
Os axiomas no determinam probabilidades
As probabilidades atribudas so baseadas em nosso conhecimento do sistema sob estudo
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Axiomas de Probabilidade
Probabilidade um nmero que atribudo a cada membro de uma coleo de eventos, a partir de um experimento aleatrio que satisfaa as seguintes propriedades:
Se S for o espao amostral e E for qualquer evento em experimento aleatrio,
212121 1)(0
1)(
EPEPEEPEESe
EP
SP
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Operaes
Operaes de Interesse
Unies de eventos:
Intersees de eventos:
Complementos de eventos:
Operaes com conjuntos
teis na determinao de probabilidades de um evento conjunto
BA
BA
A
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Regras de Adio
Operaes de Interesse
Unies de eventos:
Intersees de eventos:
Complementos de eventos:
Operaes com conjuntos
teis na determinao de probabilidades de um evento conjunto
BA
BA
A
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Regras de Adio
Utilizada para expresso a unio de eventos
212121 EEPEPEPEEP
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Regra de Adio
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Regras de Adio para trs ou mais eventos
Exemplo:
Como deve ser o raciocnio para o clculo de ? CBAP
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Regras de Adio para trs ou mais eventos
Exemplo:
CBAP
CBAP
CBPCAPBAP
CPBPAPCBAP
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Regra de Adio
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Regras de Adio para trs ou mais eventos (eventos mutuamente exclusivos)
nn EPEPEPEEEP 2121
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L1.3. Exerccio 4
Suponha haver uma lista com o histrico de 940 pastilhas em um processo de fabricao de semicondutores. Considere que uma pastilha ser selecionada, ao acaso.
Seja H o evento em que a pastilha contm altos nveis de contaminao. Considere P(H) = 358/940. Suponha C o evento em que a pastilha esteja no centro de uma ferramenta de recobrimento. Considere P(C) = 626/940.
A probabilidade de a partilha ser proveniente do centro da ferramenta de recobrimento e conter altos nveis de contaminao 112/940.
Determine a probabilidade de que uma pastilha, escolhida ao acaso, seja proveniente do centro da ferramenta de recobrimento ou conter altos nveis de contaminao.
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L1.3. Exerccio 5
Considere as pastilhas do exerccio anterior. Agora, elas foram classificadas pelo grau de contaminao, conforme se nota pela tabela abaixo.
a) Qual a probabilidade de uma pastilha estar na borda ou conter alto grau de contaminao?
b) Qual a probabilidade de uma pastilha estar no centro ou conter baixo grau de contaminao?
Localizao na Ferramenta de Recobrimento
Contaminao Centro Borda Total
Baixa 514 68 582
Alta 112 246 358
Total 626 314
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Desafio!
Considere os dados de falha dos poos 1 a 8 apresentados ao lado. Seja A o evento em que a formao geolgica tenha mais de 1000 poos e B o evento em que um poo tenha falhado. Determine as seguintes probabilidades:
a)
b)
c)
d)
e)
Poos
Grupo com Formao
Geolgica
Falhas Total
1 170 1685
2 2 28
3 443 3733
4 14 363
5 29 309
6 60 1403
7 46 933
8 3 39
BAP
AP
BAP BAP
BAP
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CEA 012 Probabilidade
Gabarito
1. 0,4; 0,9; 0,1; 0,3; 0,7; 0,8; 0,1; 0
2. a) 0,4; b) 0,3; c) 0,25; d) No
3. (b)
4. 218/235
5. a) 213/470; b) 347/470
Desafio. a) 0,079; b) 0,1968; c) 0,8142; d) 0,9889; e) 0,1858
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Sugesto para a prxima aula...
Estudar as pginas 22 a 28 (item 1.4) da referncia abaixo:
DANTAS, C. A. B. Probabilidade: Um curso introdutrio. Ed. da universidade de So Paulo.
Estudar os itens 2.2 e 2.3 da referncia abaixo:
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatstica Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. Editora LTC.