Axiomas de Medição

O próximo passo é aprender a medir ocomprimento de um segmento. Para este fimemprega-se diversos instrumentos de medição, dosquais a régua graduada é um dos mais conhecidos.Aprendemos com a experiência que para medir ocomprimento de um segmento AB com uma réguagraduada, basta colocar a régua graduada sobre osegmento AB; verificar a quais númeroscorrespondem o ponto A e o ponto B e então omódulo da diferença será o comprimento dosegmento AB: Aprendemos também que se umponto C está entre A e B, então o comprimento deAB é a soma dos comprimentos dos segmentos ACe CB.

Axiomas de Medição de Segmentos

A maneira como procedemos para medirsegmentos é regida pelos seguintes axiomas:

Axioma de medição 1: A todo par de pontos A eB corresponde um número maior ou igual azero. Este número é zero se e somente se A=B.

O número real acima é chamado distância entreA e B.

Definição: o comprimento de um segmento de reta 𝐴𝐵 é dado pela distância de seus extremos.

Vamos denotar o comprimento de 𝐴𝐵 por 𝐴𝐵=𝑑(𝐴, 𝐵).

Está implícito no enunciado do axioma, aescolha de uma unidade de medida que seráfixada em nossa geometria.

Axioma da régua

Axioma de medição 2: Os pontos de uma retapodem ser sempre colocados emcorrespondência biunívoca com os númerosreais, de modo que o módulo da diferença entreestes números meça a distância entre os pontoscorrespondentes.

Vamos pensar o conjunto de numeros reais arrumadossobre uma linha reta

Pelo axioma da régua, por exemplo, na reta abaixo, 𝑃 está associado ao 0, 𝑅 ao 1,𝑇 a 𝑥2 e 𝑄 a 𝑥1.

Seja 𝑙 uma reta. O que este axioma nos diz é queexiste então uma função 𝑓: 𝑙 → 𝑅, talque:

1. 𝑓 é injetiva

2. 𝑓 é sobrejetiva

3. ∀ 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑙, 𝑑 𝐴, 𝐵 = 𝐴𝐵 = 𝑓 𝐴 − 𝑓 𝐵 .

A função 𝑓 é chamada um sistema decoordenadas para a reta 𝑙.

O sistema de coordenadas de uma reta não é único.De fato temos o seguinte resultado:

Proposição. Se 𝑓: 𝑙 → 𝑅 é um sistema decoordenadas para a reta l, então:

1. 𝑔: 𝑙 → 𝑅 dada por 𝑔(𝑃) = 𝑓(𝑃) + 𝑐, para todo𝑃 pertencente a 𝑙 também é um sistema decoordenadas para 𝑙, onde 𝑐 é um número real.

2. ℎ: 𝑙 → 𝑅 dada por ℎ 𝑃 = −𝑓(𝑃), para todo 𝑃pertencente a 𝑙 também é um sistema decoordenadas para 𝑙.

Teorema. Seja 𝑙 uma reta, e sejam 𝑃 e 𝑄 quaisquerdois pontos de 𝑙. Então, 𝑙 possui um sistema decoordenadas, no qual o coordenada de 𝑃 é 0 e acoordenada 𝑄 é positiva.

PROVA. Seja 𝑓 um sistema qualquer decoordenadas para 𝑙. Seja 𝑎 = 𝑓 (𝑃), e para cadaponto 𝑇 de 𝑙 , seja 𝑔 (𝑇) = 𝑓 (𝑇) − 𝑎 .Logo, 𝑔 é um sistema de coordenadas para 𝑙, e𝑔 (𝑃) = 0 . Se 𝑔 (𝑄) > 0 , então 𝑔 é asistema que estávamos procurando. Se 𝑔 (𝑄) < 0,seja ℎ (𝑇) = −𝑔 (𝑇) para cada 𝑇 ∈ 𝑙 .Então ℎ satisfaz as condições do teorema.

Coordenadas de cada reta.

Fixada uma correspondência, o número quecorresponde a um ponto da reta é denominadocoordenada daquele ponto. Portanto, se 𝑎 e 𝑏são as coordenadas dos pontos 𝐴 e 𝐵 ,respectivamente, então o comprimento dosegmento 𝐴𝐵, denotado por 𝐴𝐵é igual a

𝐴𝐵 = |𝑎 − 𝑏|.

Axioma de medição 3: Se 𝐴 ∗ 𝐶 ∗ 𝐵; então

𝐴𝐶 + 𝐶𝐵 = 𝐴𝐵 .

É importante observar aqui que o axioma não diz que se𝐴𝐶 + 𝐶𝐵 = 𝐴𝐵 então 𝐴 ∗ 𝐶 ∗ 𝐵. O que você acha? Éverdadeira essa afirmação?

O Axioma de Medição 2 diz apenas que existe umabijeção entre os pontos de uma reta e os números reais,porém não fixa nenhuma restrição para a bijeção. OAxioma de Medição 3, garante que a bijeção não seráarbitrária, ela tem que satisfazer a uma certa ordem. Éisto que diz a próxima proposição.

Proposição. Se em uma semirreta 𝑆𝐴𝐵considerarmos um segmento 𝐴𝐶 com 𝐴𝐶 < 𝐴𝐵,então 𝐴 ∗ 𝐶 ∗ 𝐵.

Demonstração. Sabemos que, pelo Axioma de Ordem 2, só pode ocorrer uma das seguintes possibilidades:

𝐵 ∗ 𝐴 ∗ 𝐶𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐶𝐴 ∗ 𝐶 ∗ 𝐵

Vamos mostrar que não pode ocorrer a primeira nem a segunda possibilidade.

Como 𝐴 é a origem da semirreta 𝑆𝐴𝐵; então nãoé verdade que 𝐵 ∗ 𝐴 ∗ 𝐶 , caso contrárioteríamos 𝐶 não pertenceria a esta semirreta. Se𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐶 , então, pelo Axioma de Medição 3teríamos 𝐴𝐵+𝐵𝐶= 𝐴𝐶, implicando que 𝐴𝐵 <𝐴𝐶,que é uma contradição com a hipótese 𝐴𝐶 < 𝐴𝐵.Logo, só pode ocorrer 𝐴 ∗ 𝐶 ∗ 𝐵.

Teorema. Sejam 𝐴, 𝐵 e 𝐶 pontos distintos deuma reta cujas coordenadas são,respectivamente, 𝑎, 𝑏 e 𝑐. Então 𝐴 ∗ 𝐶 ∗ 𝐵 se esomente se o número 𝑐 está entre 𝑎 e 𝑏.

Definição. O ponto médio 𝐶 de um segmento𝐴𝐵 é um ponto deste segmento tal que 𝐴𝐶=𝐶𝐵.

Teorema. Um segmento tem exatamente umponto médio.

Definição: Sejam 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 dois segmentos. Se𝐴𝐵=𝐶𝐷, dizemos que 𝐴𝐵 é congruente a 𝐶𝐷 edenotamos por 𝐴𝐵 ≅ 𝐶𝐷.

Observação: Uma relação ~ definida em umconjunto A, chama-se uma relação deequivalência, se as seguintes condições severificam:

(1) Reflexividade. 𝑎~𝑎.

(2) Simetria. Se 𝑎~𝑏, então 𝑏~𝑎.

(3) Transitividade. Se 𝑎~𝑏 e 𝑏~𝑐, então 𝑎~𝑐.

Proposição: Para segmentos, a congruência éuma relação de equivalência. Ou seja, cadasegmento é congruente a si mesmo, se 𝐴𝐵 ≅𝐶𝐷, então 𝐶𝐷 ≅ 𝐴𝐵; se 𝐴𝐵 ≅ 𝐶𝐷 e 𝐶𝐷 ≅ 𝐸𝐹,então 𝐴𝐵 ≅ 𝐸𝐹.

Demonstração: Como as congruencia desegmentos se verifica com a igualdade de seuscomprimentos, esta proposição seguediretamente da propriedade da igualdede entrenúmeros.

Proposição: Dado um segmento 𝐴𝐵 e umasemirreta 𝑆𝐶𝐷, existe exatamente um ponto 𝐸em 𝑆𝐶𝐷 tal que 𝐴𝐵 ≅ 𝐶𝐸.

Demonstração: Pelo teorema de colocação darégua, seja f um sistema de coordenadas para a

reta 𝐶𝐷, de tal forma que 𝑓 (𝐶) = 0 e 𝑓 (𝐷) >𝑂.

Na figura, indicamos que o número de 𝐶𝐷 é acoordenada do ponto 𝐷, e isso é correto, porque𝑓 (𝐷) > 𝑂. Se 𝐸 é um ponto de 𝑆𝐶𝐷, temos que𝐶𝐸 ≅ 𝐴𝐵 se e somente se 𝑓 (𝐸) = 𝐴𝐵 como nafigura. Assim 𝐶𝐸 ≅ 𝐴𝐵 se e somente se𝐸 = 𝑓−1 (𝐴𝐵). Existe exatamente um tal ponto𝑓−1 (𝐴𝐵), e, portanto, é exatamente o ponto 𝐸.

A próxima proposição nos diz que, se ossegmentos congruentes são colocadoscom pontos extremos comuns, os segmentosresultantes são congruentes.

Proposição: (adição de segmentos) Sejam 𝐴, 𝐵, 𝐶 e 𝐴´, 𝐵´, 𝐶´ pontos tais que(1) 𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐶, (2) A′∗B ‘∗C′ , (3) 𝐴𝐵 ≅ 𝐴′ 𝐵 ′ e (4) 𝐵𝐶 ≅ 𝐵′𝐶′.Então

𝐴𝐶 ≅ 𝐴′𝐶′ .A recíproca também é verdadeira:

Proposição: (subtração de segmentos) Sejam 𝐴, 𝐵, 𝐶 e𝐴´, 𝐵´, 𝐶´ pontos tais que (1) 𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐶, (2) A′∗B ‘∗C′ ,(3) 𝐴𝐵 ≅ 𝐴′ 𝐵 ′ e (4)𝐴𝐶 ≅ 𝐴′𝐶′ .Então

𝐵𝐶 ≅ 𝐵′𝐶′

Um pouco mais sobre a separação de planos...

Proposição: Em um plano fixado, dada uma reta,e uma semirreta, que tem o seu ponto deextremidade na reta mas que não é semirreta dareta dada. Então todos os pontos da semirreta,exceto para o ponto final, estão no mesmo ladoda reta.

PROVA. Seja 𝐿 a linha e seja 𝑆𝐴𝐵 ser o raio, com𝐴 ∈ 𝐿. Suponhamos que contém um ponto 𝐴 ∗𝐵 ∗ 𝐶 tal que 𝐵 e 𝐶 estão em lados opostos de𝐿 . Então 𝐵𝐶 cruza 𝐿 em algum momento, e esteponto deve ser 𝐴, porque 𝐵𝐶 está contido em𝑆𝐴𝐵 e 𝑆𝐴𝐵 intersecta 𝐿 apenas em 𝐴. Portanto𝐶 ∗ 𝐴 ∗ 𝐵 . Mas isto é impossível. Portanto,todos pontos da semirreta, diferente de 𝐴, estãono mesmo lado do 𝐿, ou seja, o lado que contém𝐵.

Da mesma forma vale para os segmentos: Proposição. Seja 𝐿 uma reta, seja 𝐴 um ponto de 𝐿, e seja 𝐵 um ponto que não está em 𝐿. Então, todos os pontos de 𝐴𝐵 − {𝐴} estão do mesmo lado de 𝐿.

Prova: Como 𝐴𝐵 − {𝐴} está contido em 𝑆𝐴𝐵, o resultado segue da proposição anterior.

Definição: Um ângulo é a figura formada pelaunião de duas semirretas com origem comum. Aorigem comum é chamado de vértice do ânguloe as duas semirretas são chamadas laterais oulados do ângulo.

Proposição: Cada lado de um triânguloencontra-se, com exceção de seus pontos finais,no interior do ângulo oposto a este lado.

Proposição: Se 𝐹 está no interior de 𝐵𝐴𝐶, então 𝑆𝐴𝐹 – {𝐹} situa-se no interior de 𝐵𝐴𝐶.

Proposição: Seja 𝐴𝐵𝐶 um triângulo, e sejam𝐹, 𝐷, 𝐺 pontos de tal modo que 𝐵 ∗ 𝐹 ∗ 𝐶, 𝐴 ∗𝐶 ∗ 𝐷, e 𝐴 ∗ 𝐹 ∗ 𝐺. Então 𝐺 está no interior de 𝐵𝐶𝐷.

Na figura abaixo, 𝐷 é está no interior de 𝐵𝐴𝐶. É

intuitivamente claro que 𝐴𝐷 deve cruzar 𝐵𝐶, como afigura sugere. Mas não é óbvio que isto pode serprovado com base nos postulados que já incluimos nateoria até agora, e, de fato, a prova é difícil. Vamosprecisar de alguns resultados preliminares.

Proposição: (Teorema do Z) Seja 𝐿 uma reta e sejam 𝐴 e 𝐹 dois (diferentes) pontos de 𝐿. Se 𝐵e 𝐺 são pontos sobre os lados opostos de 𝐿, então 𝐹𝐵 não intersecta 𝑆𝐴𝐺.

Proposição. Em ∆𝐹𝐵𝐺, seja 𝐴 um ponto entre 𝐹 e 𝐶, seja D um ponto tal que 𝐷 e 𝐵 estão no

mesmo lado da 𝐹𝐺. Então 𝑆𝐴𝐷 cruza ou 𝐹𝐵 ou 𝐵𝐺.

Teorema. (Teorema da barra atravessada oucrossbar) Se 𝐷 for no interior de ∆𝐵𝐴𝐶, então𝑆𝐴𝐷 intercepta 𝐵𝐶, em um ponto entre 𝐵 e 𝐶.