Aula 4: Bases Numéricas - Universidade Federal Fluminensediego/disciplinas/2015_1/FAC/arquivos/aula4.pdf · Nesta disciplina, é útil decorar alguns destes valores para auxiliar

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Aula 4: Bases Numéricas

Diego Passos

Universidade Federal Fluminense

Fundamentos de Arquiteturas de Computadores

Diego Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 1 / 36

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Introdução e Justificativa


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Sistemas de Numeração

Sistema de escrita para expressão de números.▶ Notação matemática.

Composto por símbolos.▶ Símbolos tem significados ou valores diferentes.▶ Suas posições (absolutas ou relativas a outros símbolos) também podem alterar seu significado.

Exemplos:▶ Sistema de numeração arábico: 7, 16, 154.▶ Sistema de numeração romano: VII, XVI, CLIV.


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O Sistema de Numeração Arábico

Sistema utilizado no dia a dia (na maior parte do mundo).É um sistema decimal ou de base 10.

▶ Há dez símbolos (algarismos) diferentes disponíveis.▶ 0, 1, 2, . . . , 9.▶ Possivelmente motivado pela quantidade de dedos nas mãos.

É um sistema posicional.▶ i.e., mesmo símbolo representa valores diferentes dependendo da sua posição.▶ e.g., símbolo ‘1’ pode ter valor um, dez, mil (ou outros) dependendo da sua posição.

Leitura de um número:▶ Cada algarismo é multiplicado pela potência de 10 correspondendo à sua posição.

⋆ Da direita para a esquerda, 100, 101, 102, . . .▶ Os valores são somados.


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O Sistema de Numeração Arábico: Exemplos

Exemplo com 5 algarismosNúmero 1 4 3 6 7Posição 4 3 2 1 0

Multiplicador 104 103 102 101 100

Valores 10000 4000 300 60 7Total 14367

Exemplo com 7 algarismosNúmero 6 3 9 2 7 1 1Posição 6 5 4 3 2 1 0

Multiplicador 106 105 104 103 102 101 100

Valores 6000000 300000 90000 2000 700 10 1Total 6392711


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Bases Numéricas

O sistema arábico é um sistema de base 10 (decimal).▶ Há 10 algarismos.▶ A cada posição, corresponde um multiplicador que é uma potência de 10.

Mas nada impede que utilizemos outra base.Por exemplo, podemos utilizar uma base k qualquer.

▶ k símbolos possíveis para cada algarismo.▶ Cada símbolo corresponde a um valor de 0 a k − 1.▶ Cada posição corresponde a um multiplicador que é uma potência de k.▶ Para ler um número, multiplica-se o valor do símbolo pelo seu multiplicador posicional e

soma-se para todos os algarismos.


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Leitura de um Número em uma Base Numérica k : Exemplo

Exemplo com n algarismosNúmero αn−1 . . . α2 α1 α0Posição n − 1 . . . 2 1 0

Multiplicador k(n−1) . . . k2 k1 k0

Valores k(n−1) · αn−1 . . . k2 · α2 k1 · α1 k0 · α0Total k(n−1) · αn−1 + . . . + k2 · α2 + k1 · α1 + k0 · α0


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Por que Estudar Bases Numéricas?

O que as bases numéricas tem a ver com arquiteturas de computadores?Alguns computadores antigos representavam informação em base 10.

▶ Sua memória e processador manipulavam dados compostos por unidades de informação quepodiam assumir 9 estados diferentes.

Mas hoje, a unidade básica de informação de um computador é o bit.▶ Pode assumir dois estados: 0 ou 1.

Por isso, é mais eficiente representar dados em base 2.▶ Base binária.▶ Cada bit representa um algarismo na base 2.▶ Um conjunto ordenado de bits representa um número.


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Outras Bases

Além da base binária, nesta disciplina veremos outras bases numéricas.▶ Base 8 (octal).▶ Base 16 (hexadecimal).

Embora a base binária seja a mais importante, as bases octal e hexadecimal também sãomuito usadas.

▶ “Agrupam” bits.▶ Proveem representação mais compacta.▶ Aparecem comumente em programação.


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A Base Binária


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Algarismos e Multiplicadores Posicionais

A base binária possui dois algarismos (bits).▶ 0 e 1.

Assim como em qualquer outra base numérica, números são escritos dispondo-se algarismosem posições sucessivas.

▶ Da direita para a esquerda.Cada posição corresponde a um multiplicador posicional.

▶ Potências de 2.▶ 20 = 1, para o algarismo mais à direita.▶ 21 = 2, para o algarismo seguinte.▶ 22 = 4, para o algarismo seguinte.▶ . . .


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Exemplo de Números em Base 2

Exemplo com 5 algarismos (bits)Número 1 0 1 0 0Posição 4 3 2 1 0

Multiplicador 24 23 22 21 20

Valores 16 0 4 0 0Total 16 + 0 + 4 + 0 + 0 = 20

Exemplo com 7 algarismos (bits)Número 1 0 1 0 0 1 1Posição 6 5 4 3 2 1 0

Multiplicador 26 25 24 23 22 21 20

Valores 64 0 16 0 0 2 1Total 64 + 0 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 83


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Potências (Não-Negativas) de 2

Nos exemplos anteriores, utilizamos várias potências de 2 para “entendermos” os númerosem base binária.Nesta disciplina, é útil decorar alguns destes valores para auxiliar na conversão de valoresbinários para seus correspondentes decimais.

Potência Valor Potência Valor20 1 27 12821 2 28 25622 4 29 51223 8 210 102424 16 211 204825 32 212 409626 64 213 8192


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Distinguindo Números entre Bases Diferentes

Se escrevemos um número 638, ele claramente não está em base 2.▶ Algarismos 6, 3 e 8 não existem nesta base.

Mas e se escrevemos o número 1010? Ele está em base 2 ou em base 10?▶ Os algarismos 0 e 1 existem tanto em uma base, quanto em outra.▶ Este número, portanto, é válido em ambas as bases.

A compreensão de um número escrito depende do conhecimento da base utilizada.Por isso, em contextos em que números de várias bases podem ser usados, é preciso dealguma notação para informar a base.


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Distinguindo Números entre Bases Diferentes (Mais)

A notação mais comum é a informar a base como um valor entre parêntesis, após onúmero, usando fonte sub-escrita.Exemplos:

▶ 17(10) = 10001(2).▶ 23(10) = 10111(2).▶ 54(10) = 110110(2).▶ 1010(2) = 10(10).▶ 101(2) = 5(10).▶ 1101011(2) = 107(10).


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Números Não-Inteiros

Até este ponto, discutimos apenas números inteiros.▶ Números “sem vírgula”.

Mas números não-inteiros também são importantes.▶ Computadores são frequentemente usados para manipulá-los

Além disso, bases diferentes da 10 também são capazes de representar númerosnão-inteiros.

▶ Possam existir certas limitações de representação em algumas bases.


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Representando Números Não-Inteiros em Base 10

Em base 10, números não-inteiros são representados com a adição de algarismos após avírgula.Exemplos:

▶ 145,36.▶ 12,7865.▶ 0,678.

A existência de uma parte fracionária não altera o funcionamento da notação posicional.Continuamos entendendo cada posição como uma potência da base (no caso, 10).A chave é o fato de que as potências à direita da vírgula são negativas.


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Representando Números Não-Inteiros em Base 10: Exemplos

Exemplo com 4 algarismos (1 após a vírgula)Número 3 1 7 , 7Posição 2 1 0 -1

Multiplicador 102 101 100 10−1

Valores 300 10 7 0,7Total 300 + 10 + 7 + 0,7 = 317,7

Exemplo com 6 algarismos (2 após a vírgula)Número 4 8 7 1 , 2 5Posição 3 2 1 0 -1 -2

Multiplicador 103 102 101 100 10−1 10−2

Valores 4000 800 70 1 0,2 0,5Total 4000 + 800 + 70 + 1 + 0,2 + 0,5 = 4871,25


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Representando Números Não-Inteiros em Base 2

A mesma ideia se aplica à base 2.▶ E a qualquer outra base numérica.

Utilizamos a vírgula como um separador.A posição imediatamente à esquerda da vírgula é a 0.A imediatamente à direita, é a -1.Posições são incrementadas andando para a esquerda.E decrementadas andando para a direita.Cada posição corresponde a uma potência da base (no caso, 2).


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Representando Números Não-Inteiros em Base 2: Exemplos

Exemplo com 4 algarismos (1 após a vírgula)Número 1 0 1 , 1Posição 2 1 0 -1

Multiplicador 22 21 20 2−1

Valores 4 0 1 0,5Total 4 + 0 + 1 + 0,5 = 5,5

Exemplo com 6 algarismos (2 após a vírgula)Número 1 0 1 1 , 1 1Posição 3 2 1 0 -1 -2

Multiplicador 23 22 21 20 2−1 2−2

Valores 8 0 2 1 0,5 0,25Total 8 + 0 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 = 11,75


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Potências (Negativas) de 2

De forma análoga às potências positivas, conhecer potências negativas auxilia a entenderrapidamente números não-inteiros em base 2.

Potência Valor2−1 0,52−2 0,252−3 0,1252−4 0,06252−5 0,03125


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Propriedades de Números em Base 2

Multiplicação rápida por 2.▶ Dado um número escrito em base 10, adicionar um 0 à direita multiplica por 10.▶ De forma análoga, em base 2, adicionar um zero à direita multiplica por 2.▶ Exemplos:

⋆ 15(10) = 1111(2) e 30(10) = 11110(2).⋆ 20(10) = 10100(2) e 40(10) = 101000(2).⋆ 177(10) = 10110001(2) e 354(10) = 101100010(2).⋆ 1,5(10) = 1,1(2) e 3(10) = 11(2).


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Propriedades de Números em Base 2 (II)

Divisão rápida por 2.▶ Análoga à propriedade anterior.▶ Remoção de algarismos à direita divide por 2.▶ Exemplos:

⋆ 46(10) = 101110(2) e 23(10) = 10111(2).⋆ 100(10) = 1100100(2) e 50(10) = 110010(2).⋆ 254(10) = 11111110(2) e 127(10) = 1111111(2).⋆ 8,5(10) = 1000,1(2) e 4,25(10) = 100,01(2).


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Propriedades de Números em Base 2 (III)

Números pares e ímpares:▶ Todo número par em base 2 tem o bit mais à direita igual a 0.▶ Todo número ímpar em base 2 tem o bit mais à direita igual a 1.▶ Consequência da propriedade de divisão.

⋆ Números pares divididos por 2 resultam em inteiros.⋆ Números ímpares divididos por 2 resultam em números terminados em ,5(10) ou ,1(2).

Exemplos:▶ 86(10) = 1010110(2) é par.▶ 75(10) = 1001011(2) é ímpar.▶ 19(10) = 10011(2) é ímpar.▶ 200(10) = 11001000(2) é par.


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Propriedades de Números em Base 2 (IV)

Números com representação infinita.▶ Há números reais que não podem ser representados em base 10 com um número finito de

algarismos.▶ Exemplos:

⋆ 13 = 0,3.

⋆ 17 = 0,142857.

⋆ 613 = 0,461538.

⋆ Números irracionais, como π, e,√

2.▶ Números irracionais não possuem representação finita em nenhuma base.▶ Mas para números racionais, isso pode variar.▶ Exemplos:

⋆ 15 = 0,2(10) = 0,0011

⋆ 110 = 0,1(10) = 0,00011.


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Propriedades de Números em Base 2 (V)

Números com representação infinita (continuação).▶ Conclusão: há números com representação finita em base 10, cuja representação em base 2

é infinita.⋆ Relevante para discussão sobre ponto flutuante.

▶ Mas todo número com representação finita em base 2, tem representação finita em base 10.▶ E todo número com representação infinita em base 10, tem representação infinita em base 2.▶ Como saber se um número racional tem representação finita em base 2?

⋆ Coloque o número na forma de uma fração irredutível.⋆ Se o denominador for uma potência de 2, a representação é finita.⋆ Caso contrário, a representação é infinita.

▶ Exemplos:⋆ 1

9 tem representação infinita.⋆ 5

7 tem representação infinita.⋆ 17

128 tem representação finita.


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Número de Algarismos e Limites

Um byte tem 8 bits.Qual o maior valor inteiro que podemos representar em um byte?

▶ Em qualquer base, o maior número representável com uma determinada quantidade dealgarismos contém o maior algarismo disponível em todas as posições.

▶ Na base 2, com 8 algarismos: 11111111(2).▶ Em base 10, corresponde a: 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255.▶ De forma geral, com n bits, o maior número que podemos escrever é:

2n−1 + 2n−2 + . . . 20 = 2n − 1.E quantos números diferentes podemos representar?

▶ Cada bit tem pode ter dois valores: 0 e 1.▶ Como são 8 bits, a quantidade de valores é: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 28 = 256.▶ Em geral, com n bits, podemos representar 2n valores.


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Número de Algarismos e Limites (II)

Note que cada número tem uma representação única em base 2.▶ Na verdade, em qualquer base.

Logo, com 8 bits somos capazes de escrever todos os números de 0 a 255.▶ No caso geral, com n bits, escrevemos todos os números de 0 a 2n − 1.


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As Bases Octal e Hexadecimal


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A Base Octal: Algarismos e Multiplicadores

A base octal tem 8 algarismos possíveis.▶ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.

Seus multiplicadores são potências de 8:▶ 80 = 1.▶ 81 = 8.▶ 82 = 64.▶ 83 = 512▶ . . .

Assim como em qualquer outra base numérica, números em base 8 são escritoscombinando-se os valores dos algarismos com seus multiplicadores posicionais.


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A Base Octal: Exemplos

Exemplo com 3 algarismosNúmero 1 2 3Posição 2 1 0

Multiplicador 82 81 80

Valores 64 16 3Total 64 + 16 + 3 = 83

Exemplo com 4 algarismosNúmero 4 7 7 1Posição 3 2 1 0

Multiplicador 83 82 81 80

Valores 2048 448 56 1Total 2048 + 448 + 56 + 1 = 2553


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A Base Hexadecimal: Algarismos

A base hexadecimal possui 16 algarismos diferentes:▶ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F.

Ao contrário das outras bases estudadas até então, a base 16 tem mais algarismos que abase 10.Por este motivo, é necessário adicionar 6 símbolos novos.

▶ Foram escolhidas as letras de A a F.

Os algarismos em comum com a base 10 possuem os mesmos valores.Já os algarismos representados por letras assumem os valores 10, 11, 12, 13, 14, 15 (nestaordem).


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A Base Hexadecimal: Valores dos Algarismos

Em resumo:

Algarismo (Base 16) Valor (Base 10) Algarismo (Base 16) Valor (Base 10)0 0 8 81 1 9 92 2 A 103 3 B 114 4 C 125 5 D 136 6 E 147 7 F 15


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A Base Hexadecimal: Exemplos

Exemplo com 2 algarismosNúmero E 7Posição 1 0

Multiplicador 161 160

Valores 224 7Total 224 + 7 = 231

Exemplo com 3 algarismosNúmero 1 A 7Posição 2 1 0

Multiplicador 162 161 160

Valores 256 160 7Total 256 + 160 + 7 = 423


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A Base Hexadecimal e o Byte

Um byte pode representar qualquer valor de 0 a 255.Esta é exatamente a faixa de valores representáveis por dois algarismos hexadecimais.

▶ Do 00(16) = 0(10).▶ Ao FF(16) = 255(10).

Esta é uma das utilidades da base 16 na computação:▶ O valor de qualquer byte pode ser resumido em dois algarismos hexadecimais.▶ E dado um número de dois algarismos em base 16, certamente existe um valor correspondente

em 8 bits.Como comparação, considere a base 10.

▶ São necessários 3 algarismos para representar todos os valores possíveis de um byte.▶ Mas há valores de 3 algarismos decimais que não podem ser representados em um byte (e.g.,

256, 500, 999).


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Números Não-Inteiros nas Bases 8 e 16

Assim como em qualquer outra base, podemos escrever números não inteiros nas bases 8 e16.Processo análogo ao visto nas bases 2 e 10.

▶ Adicionar algarismos após a vírgula, considerando potências negativas da base.Fora do escopo da disciplina.

▶ Pouco utilizado em arquiteturas de computadores.


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Aula 4: Bases Numéricas - Universidade Federal Fluminensediego/disciplinas/2015_1/FAC/arquivos/aula4.pdf · Nesta disciplina, é útil decorar alguns destes valores para auxiliar