Física I

2º Semestre de 2013

Instituto de Física- Universidade de São Paulo

Aula – 4 Forças Atrito e Centro de Massa

Professor: Valdir Guimarães

E-mail: valdir.guimaraes@usp.br Fone: 3091.7104

Atrito

Atrito

Objetos comuns que parecem lisos, são ásperos e corrugados emescala atômica. Quando as superfícies entram em contato, elas setocam apenas nas saliências (asperezas). Assim, apenas algumasmoléculas de sua superfície interagem quimicamente (atraçãoeletromagnética) com as moléculas do corpo vizinho. Essas interaçõessão responsáveis pelas forças de atrito.

Atrito estático é a força de atrito que atua quando não existe

deslizamento entre as duas superfícies em contato.

Ele se opõe ao movimento relativo entre as superfícies.

É proporcional às forças que pressionam as duas superfícies entre si.

Atrito Estático

nee Ff max

μe é o coeficiente de atrito estático

efef

NF

P

Fe_max é um limite superior para a força de atrito estático.Além deste limite, as interações químicas se rompem,permitindo o movimento relativo entre as superfícies.

A orientação da força de atrito estático é tal que se opõe à tendência dos deslizamentos.

Atrito Estático

nee Ff μe é o coeficiente de atrito estático

Se o esforço entre as superfícies for alto, podehaver movimento relativo. Nestas circunstânciashaverá um atrito entre as superfícies, chamado deatrito cinético (de deslizamento) que se opõe aomovimento.

Este atrito é também proporcional às forças deinteração entre as superfícies.

A orientação da força de atritoé tal que se opõe à tendênciados deslizamentos.

Atrito Cinético

ncc Ff

μc é o coeficiente de atrito cinético

ec

Atrito Estático e Cinético

ec

Os materiais reais (pneus e estradas) estão continuamente se deformando, o que gera calor e portanto dissipação de energia. Assim, existe uma força de atrito de rolamento, que se opõe ao movimento e depende da dissipação de energia.

Valores típicos para μr são de 0,01 a 0,02 entre pneus de borracha e concreto e 0,001 e 0,002 entre rodas de aço e trilhos de aço.

Atrito de Rolamento

ecr

nrr Ff

μr é o coeficiente de atrito de rolamento

Forças de atrito de rolamento são frequentemente desprezadas.

Em um jogo de hockey, o jogador dá uma tacada no disco (massa= 0,40 kg) queestá inicialmente em repouso. O disco parte inicialmente com uma rapidez de8,5 m/s e desliza por uma distância de 8,0 m antes de parar. Encontre ocoeficiente de atrito cinético entre o disco e o chão.

Exemplos

Direção y: xresxc

n

rescgn

maFf

mgF

amFfFF

_

0

mgFn

ga

mamg

maF

maf

cx

xc

xnc

xc

xgv

xgv

xavv

c

c

x

2

20

2

2

0

2

0

2

0

2

46,0c

Usando Torricelli, temos:

Direção x:

Uma moeda foi colocada sobre a capa de um livro, que está sendo abertoprogressivamente. O ângulo θmax é o ângulo que a capa forma com ahorizontal, quando a moeda começa a se mover. Encontre o coeficiente deatrito estático entre a capa e a moeda.

Exemplos

mas:

0sin

0cos

0

mgf

mgF

amFfFF

e

n

resegn

nee Ff

tanne Ff

maxtan e

No limite de escorregamento

no limite quando a moeda começa a se mover

Direção y:

Direção x:

Duas crianças estão sentadas em um trenó em repouso. Voce começa a puxá-laspor uma corda que faz um ângulo de 40° em relação à horizontal. A massa totaldas crianças é 45 kg e do trenó 5 kg. Os coeficientes de atrito estático ecinético são 0,20 e 0,15. Encontre a força de atrito entre o trenó e a neve e aaceleração do trenó, se a tensão na corda for (a) 100 N e (b) 140 N.

Exemplos

Verificar se a condição é estática

0cos

0sin

Tf

mgTF

e

n

nee Ff

cosmax_ Tff ee

em x:

em y:

mgTFn sin

0 amTfFF gn

Antes de se mover

no limite quando começa a se mover

Para T= 100 NNTfe 77cos

NfmgTF eene 85)sin( max_ nee Ff

Para T= 140 N

NTfe 107cos nee Ff

cosTfe

mgTFn sin

2/64.050

75107cos

cos

smm

fTa

maTf

cin

cin

NFf nccin 75

Temos que considerar atrito cinético

Antes de se mover

NfmgTF eene 80)sin( max_

0cos Tfe

Na figura abaixo, o bloco m2 =5,0 kg está ajustado para que o bloco m1 =7,0kg estejana iminência de escorregar.

(a) Qual é o coeficiente de atrito estático entre a mesa e o bloco?

(b) (b) Com um pequeno toque, os blocos se movem. Encontre a aceleração, sabendo queo coeficiente de atrito cinético entre bloco e mesa é de 0,54.

Exemplos

0

01

Tf

gmF

e

n

nee Ff

(a) Condição estática

71,01

2 m

me

gmf

gmF

e

n

2

1

No limite de escorregamento

02 Tgm

em x:

em y:

Bloco 1

Bloco 2

ncc Ff (b) Em movimento

2

21

12 /0,1 smgmm

mma c

amgmT 22

amTf

gmF

c

n

1

1 0

gmFn 1

amTgm 22

em x:

em y:

Bloco 1

Bloco 2

ammgmgm

amamgmf

amTf

c

c

c

)( 2121

122

1

gmf cc 1

amTfc 1 amgmT 22 Duas equações

0cos

0)0(sin

mgF

mfmgF

N

e

no limite de se mover cosmax_ mgFff eneee

cossin

0cossin

0sin

mgmgF

mgmgF

fmgF

e

e

e

Para bloco de m=2000 kg

e=0,40 e =52 graus

F=2,027x104 N

Se cada pessoa pode carregar

686 N então precisamos 30 operários

Problema da pirâmide

Quando um objeto se move através de um fluido, este exerce uma força dearraste, que se opõe ao movimento do objeto.

A força de arraste depende da forma do objeto, das propriedades do fluido eda rapidez do objeto em relação ao fluido.

Tipicamente a força de arraste é do tipo Fa=bvn , onde b é uma constante.

Porém, para pequenas velocidades, n= 1.

Forças de arraste

mabvmg n Considere um objeto largado do repouso, caindo no ar.

n

lb

mgv

/1

nvm

bga

Na medida que o objeto cai, sua velocidade aumenta, até que a aceleração se torne nula, atingindo uma velocidade limite vl.

Um para-quedista de 64 kg cai com uma rapidez terminal de 180 km/h, com seus braços e pernas estendidos. (a) Qual a magnitude da força de arraste, sobre o para-quedista? (b) Se n=2, qual é o valor de b?

Exemplos

(a) Velocidade constante

Força de arraste

NF

mgF

a

a

628

mkgv

mgb

bvFa

/251,02

2

(b) Valor de b

Naturalmente, devido à inércia, os corpos se movem em linha reta. Trajetórias curvas envolvem acelerações e forças centrípetas.

Vamos analisar vários casos particulares.

Para t pequeno, h é desprezível frente a 2r

Movimento em Trajetória Curva

22

22222

222

)2(

2

)()(

tvhrh

rtvhhrr

rvthr

Movimento de um satélite em órbita terrestre

Considere que o satélite esteja a 200 km da superfície da Terra, onde o valor de g é próximo ao da superfície.

Se não houvesse g, a trajetória seria P1-P2.

Devido à g, a trajetória é P1-P2’ . 22

22

2

1

2

tr

vh

tvrh

r

vmF

r

va

res

2

2

Portanto,

Força centrípeta

Considere um corpo de massa m, suspenso por um fio, fazendo um

movimento circular de raio r e com rapidez constante v.

Movimento Pendular Cônico

Chamamos de Força Centrípeta a

componente da resultante que é

responsável pelo movimento circular.

r

g

maT

mgT

amFT

sin

0cos

sin2

2

Tr

vmF

r

va

cp

r

Centro de Massa de um corpo é um ponto que se move como se toda amassa do corpo estivesse nele concentrada e como se todas as forçasexternas estivessem aplicadas sobre ele.

Centro de Massa

Para um corpo constituído de N partículas, o Centro de Massa é dado por

kzjyixr cmcmcmcmˆˆˆ

i

iicm rmM

rmrmM

r

112211

onde

i

iicm

i

iicm

i

iicm

zmM

z

ymM

y

xmM

x

1

1

1e

Centro de Massa de um corpo é um ponto que se move como se toda a massa do corpo estivesse nele concentrada e como se todas as forças externas estivessem aplicadas sobre ele.

Centro de Massa

Para duas partículas unidas por uma haste de comprimento d

2211

1xmxm

Mxcm

21

21

1211 )(1

mm

dmxx

dxmxmM

x

cm

cm

21

22

1

mm

dmdm

Mxcm

Colocando o referencial na partícula 1

então x1=0

Centro de Massa da molécula de água (H20).

Com mO= 16,0 uma e mH= 1,0 uma, distância entre o oxigênio e o hidrogênio de 96,0 pm e ângulo de abertura da molécula de 104,5°.

Exemplos

Para 3 partículas, temos

M

ymy

M

xmx

ii

cm

ii

cm

,

onde

OHH

OOHHHH

cm

OHH

OOHHHH

cm

mmm

ymymymy

mmm

xmxmxmx

21

2211

21

2211

25,52sin1096

25,52cos1096

0

12

12

21

21

xyy

xxx

yx

HH

HH

OO

mjixrcm )ˆ0ˆ1053,6( 12

Centro de Massa de uma folha uniforme de madeira.

Com densidade superficial s.

Exemplos

Vamos determinar o centro de massa de cada parte

ss

ss

04,0

32,0

22

11

Am

Am

Onde a massa de cada parte é

my

mx

my

mx

cm

cm

cm

cm

50,0

70,0

20,0

40,0

2

2

1

1

my

mx

cm

cm

23,0

43,0

21

2211

21

2211

mm

ymymy

mm

xmxmx

cm

cm

Centro de Massa de um corpo é um ponto que se move como se toda a massa do corpo estivesse nele concentrada e como se todas as forças externas estivessem aplicadas sobre ele.

Centro de Massa

Para um corpo extenso com distribuição contínua de massa

dmrM

rcm

1

onde

dmM

Se o corpo possuir simetrias geométricas, o centro de massa estará no centro de simetria.

i

iicm rmM

r 1

Centro de Massa de uma barra uniforme de comprimento L e densidade linear de massa λ.

Exemplos

A massa total M está distribuida ao longo do comprimento L, portanto a densidade linear de massa λ=M/L.

Para um pedaço infinitezimal dx, temos uma massa dm=λdx

Para o centro de massa temos

dmixM

dmrM

rcmˆ11

dmM

LdxdmMLL

00

idxxM

dmixM

rLL

cmˆ)

1(ˆ1

00

iL

Mixdx

Mr

L

cmˆ)

2

1(ˆ)

1(

2

0

iL

iL

Lrcm

ˆ2

ˆ)2

1(

2

Centro de Massa de um anel semicircular uniforme de raio R e densidade linear de massa λ.

Exemplos

A massa total M está distribuida ao longo do comprimento πR, portanto a densidade linear de massa λ=M/ πR.

Para um pedaço infinitezimal ds, temos uma massa dm=λds

Mas, um pedaço ds pode ser escrito como Rdθ

Para o centro de massa temos

dmjyixM

rcm )ˆˆ(1

RRddsdmMLL

000

jRrcmˆ2

dmjiRM

rcm )ˆsinˆ(cos1

0

)ˆsinˆ(cos1

RdjiRM

rcm

0

2

)ˆsinˆ(cos djiM

Rrcm

)ˆˆ( cossin00

jiR

rcm

dmRM

dmrM

rcm

11

Podemos decompor o movimento de um corpo como o movimentodo Centro de Massa mais o movimento individual das partículasconstituintes em relação ao Centro de Massa.

Movimento do Centro de Massa

Mas, da terceira Lei de Newton, as forças internas aparecem aos pares e se cancelam.

i

iicm rmM

r 1

cm

i

ii

i

ii

cm vvmMdt

rdm

Mdt

rd

11derivando

derivandocm

i

ii

i

ii

cm aamMdt

vdm

Mdt

vd

11

i

i

i

iicm FM

amM

a 11

i

i

i

icm extFF

Ma

int

1

i

Ricm extextF

MF

Ma

11 O Centro de Massa de um sistema se move como uma partícula pontual com a massa total do sistema, sob a influência da força externa resultante que atua sobre o sistema.

Um projétil é disparado em uma trajetória que o faria pousar 56 m adiante. Ele explode no topo da trajetória, partindo-se em dois pedaços iguais. Um dos fragmentos tem velocidade nula. Onde aterriza o outro pedaço?

Exemplos

X2= 84 m

RR

Rx

xR

R

mxmxmx

xmxmMx

cm

cm

2

3

22

22

2

2

2

21

2211

Pedro (80 kg) e Davi (120 kg) estão em um barco de massa 60 kg. Davi está na proa e Pedro na popa, a 2,0 m de Davi. O barco está em repouso e ele trocam de lugar. De quanto o barco se move, devido à troca de lugares?

Exemplos

1111 bbddppcm xmxmxmMx

Situação inicial

Situação final

2222 bbddppcm xmxmxmMx

bbddppcm xmxmxmxM

Supondo que o barco se moveu d

Lmmm

mmd

bpd

pd

dmLdmLdm bdp )()(0

md 31,0