AULA 4 -2015_02

Tópicos de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Orde m

Uma equação diferencial de primeira ordem é linear se ela pode ser escrita naforma:

a1�x�dydx

� a0�x�y � b�x�

onde a1�x�,a0�x� e b�x� dependem somente da variável independente x, e não

de y;ou

y � � f�x�y � r�x� (forma padrão) (1)

onde, a função incógnita é y (y em função de x), e f�x� e r�x� são funções quedependem somente de x. Se f�x� e r�x� são funções contínuas então existe solução para�1�, para determinados valores de x. (Teoremas de existência e unicidade para soluçõesde equações diferenciais).

Se r�x� � 0, então a equação linear (1) é chamada de homogênea e se reduz a umaequação de variáveis separáveis, cuja resolução é conhecida.

Fazendo r�x� � 0 em (1), a solução encontrada é

y�x� � A e�� f�x�dx

.

No caso de r�x� � 0 vamos utilizar o fator integrante I�x� � e� f�x�dx

para transformá-lanuma equação de variáveis separáveis.

No caso de r�x� � 0 vamos utilizar o fator integrante I�x� � e� f�x�dx

para transformá-lanuma equação de variáveis separáveis.

Ao multiplicar ambos os membros da equação (1), por I�x�, e realizando asmultiplicações, teremos:

I�x��y � � f�x�y� � I�x�r�x� (2)

I�x�y � � I�x�f�x�y � I�x�r�x� (3)

Observe que o primeiro membro de (3) é igual a derivada do produto de I�x� por y,ou seja:

I�x�y � � I�x�f�x�y � �I�x�y��

assim (3) pode ser reescrita da seguinte forma:

�I�x�y�� � I�x�r�x� (4)

ddx

�I�x�y� � I�x�r�x� (5)

separando as variáveis, temos:

d�I�x�y�� � I�x�r�x�dx (6)

integrando os membros de (6), encontramos a solução da equação diferencial dada.

� d�I�x�y� � � I�x�r�x�dx (7)

I�x�y � � I�x�r�x�dx (8)

y � 1I�x�

� I�x�r�x�dx (9)

Este é o algoritmo que possibilita encontrar a solução de uma equação diferencialde primeira ordem com r�x� � 0.

Resumo :Para resolver uma equação diferencial linear de primeira ordem, devemos:

1) Escrevê-la na forma padrão (1);

2) Identificar f�x�, r�x� e o fator integrante I�x� � e� f�x�dx

;

3) Usar o algoritmo (9).

EXERCÍCIOS:

I)Determine a solução da equação diferencial linear de primeira ordem.

�a�dydx

� 4x y � x5ex �b�

dydx

�y2x

� x ex

�c� xy � � �3x � 1�y � e�3x x � 0 �d� xy � � �1 � x�y � e�x sin2x, x � 0

�e� dRd�

� R tan� � sec� �f� �x2 � 1�dydx

� 2y � �x � 1�2, x � 1

�g�dydx

� x2e�4x � 4y �h� �x � 1�dydx

� �x � 2�y � 2xe�x x � �1

RESPOSTAS

�a� y�x� � x5ex � x4ex � Cx4 �b� y�x� � 1x�xex � ex � C�

�c� y�x� � e�3x � Cx�1e�3x �d� y�x� � sin2x4xex � cos2x

2ex � Cxex

�e� r��� � sin� � Ccos� �f� y�t� � x x � 1x � 1

� C x � 1x � 1

�g� y�x� � x3

3e�4x � Ce�4x �h� y�x� � x2

�x � 1�ex � C�x � 1�ex�1

II) Determine a solução particular da equação diferencial que satisfaz a condiçãodada.

�a�dydx

�yx � 1

x2 , com x � 1 e y � �2

R : y�x� � 1x �lnx � 2�

�b� xdydx

� 3�y � x2� � sinxx , com y �

2� 0.

R : y�x� � sinxx3 � cosx

x2 � 35

x2 � 3�5

160� 1 x�3

�c�dydx

� xy � x � e� x2

2 com y�0� � �1

R : y�x� � 1 � �x � 2�e� x2

2

d� t2 dxdt

� 3t x � t4 ln t � 1 com x�1� � 0

R : x�t� � t3

6ln t � t3

36� 1

2t� 16

36t3

e� sinxdydx

� ycosx � xsinx com y �2

� 2

R : 1 � xcotx � sinx

2- Resolva os seguintes problemas:

2.1 - A equação diferencial lineardqdt

� 1RC

q �E�t�

Rrepresenta um circuito com

resistor e capacitor ligados em série. Um circuito tem R � 200ohms, C � 10�4 farad,E�t� � 10sint volts e nenhuma carga no capacitor no instante inicial; Nessas condiçõesencontre a carga e corrente no capacitor após 5 segundos. A corrente é a taxa devariação da carga. Verifique se a corrente é transitória e justifique. A corrente é ditatransitória se ela tende a zero conforme o tempo cresce.

R:q�t� � �150020

cost � 55002

sint � 150020

e�50t q�5� � �9,6421� 10�4

i�t� � 55002

sint � 150020

cost � 55002

e�50t i�5� � � 9. 5287� 10�4

2.2 - Um circuito RL pode ser representado pela equação dIdt

� RL

I �E�t�

L. Se

L � 0,5 henry, R � 10 ohms e E�t� � 110volts num circuito e não há corrente no instanteinicial, determine I�t�, a corente em cada instante, nesse circuito. Qual o valor dacorrente quando t � 0,1s? Qual o valor estacionário da corrente?

O valor estacionário da corrente é o limite da corrente conforme o tempo cresce.Para encontrar esse valor pode ser calculado o limite da função que representa acorrente ou visualizar, por meio de gráfico esse valor.

R:I�t� � 11� 11e�20t I�0,1� � 9,5113A

t��lim �11� 11e�20t� � 11, logo a corrente estacionária é 11A.

2.3 - Um corpo foi encontrado dentro de uma sala fechada de uma casa onde atemperatura era constante 70°F. No instante da descoberta a temperatura do núcleo docorpo foi medida e era 85°F. Uma hora depois, uma segunda medição mostrou que atemperatura do núcleo do corpo era 80°F.Suponha que o momento da mortecorresponde a t � 0 e que a temperatura naquele momento era 98,6°. Determinequantas horas se passaramantes da descoberta do corpo.

R: aproximadamente 1,6 horas.

2.4 - Num circuito RC, R � 20�, C � 0,01 farad e E�t� � 60e�2t V.Supondo a cargainicial nula, encontre:

a) a carga em qualquer tempo; (q�t� � e�2t � e�5t�b) o instante em que a carga atinge o valor máximo e determine esse valor.

(t � 0,3s�

2.5 - Um marca-passo cardíaco consiste em uma chave, uma bateria de tensão

constante E0, um capacitor com capacitância constante C, e o coração como um resistorcom resistência constante R. Quando a chave é fechada, o capacitor se carrega equando a chave é aberta o capacitor se descarrega, enviando um estímulo elétrico parao coração. Durante o tempo em que o coração é estimulado, a tensão E em todo ocoração satisfaz a equação diferencial linear

dEdt

� � 1RC

E

resolva a equação diferencial sujeita a condição E�4� � E0.

R: E�t� � E0e��t�4�/RC