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Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor

____________________________

http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2016

28

AULA 5 - CONDUÇÃO DE CALOR EM CILINDROS COM

GERAÇÃO INTERNA DE CALOR e COEFICIENTE

GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR

Nesta aula, vai se estudar o caso da geração interna

de calor em cilindros maciços. Como exemplo de

aplicação tem-se o calor gerado por efeito joule

devido à passagem de corrente elétrica em fios

elétricos, como indicado na figura ao lado.

Partindo da equação geral da condução de calor:

t

T

k

qT

'''G

12 (Regime permanente)

Neste caso, é conveniente usar o Laplaciano em coordenadas cilíndricas, isto é:

2

2

2

2

2

2 11

z

TT

rr

Tr

rrT

Hipóteses adicionais

- simetria radial: 02

2

(não há influência da posição angular numa seção

transversal, pois há simetria radial)

- o tubo é muito longo: 02

2

z (não há efeitos de borda na direção axial)

Logo, trata-se de uma distribuição de temperaturas unidimensional na direção radial, ou

seja, )(rTT

Assim, introduzindo essas simplificações na equação geral da condução, vem:

01

'''

k

q

dr

dTr

dr

d

r

G

Ou, integrando por partes:

1

'''

Crdrk

q

dr

dTrd G

, ou, ainda:

1

2'''

2C

k

rq

dr

dTr G

Integrando novamente por separação de variáveis:

2

1

'''

2Cdr

r

Cr

k

qdT G

21

2'''

ln4

)( CrCk

rqrT G


____________________________


29

*condições de contorno para obtenção das constantes C1 e C2:

(1) STrrT )( 0 a temperatura da superfície TS é conhecida

(2) 00

rdr

dT simetria radial na linha central

Isso implica dizer que o fluxo de calor é nulo na linha central e, como decorrência,

também pode-se afirmar que a máxima temperatura máxT ocorre nessa linha.

Da segunda condição de contorno, vem que:

02

lim 1

'''

0

r

C

k

rqG

r

Do que resulta em 01 C , para que a expressão permaneça sempre nula.

Da primeira condição de contorno.

2

2'''

4C

k

rqT G

S ou, k

rqTC G

S4

2

0

'''

2

Finalmente, a equação da condução de calor fica:

É uma distribuição parabólica de temperatura (2º. grau) !

Sendo, SG

máx Tk

rqT

4

20

'''

SG Trrk

qT 22

0

'''

4


____________________________


30

EXEMPLO DE APLICAÇÃO

Considere um tubo cilíndrico longo revestido de isolamento térmico perfeito do lado

externo. Sua superfície interna é mantida a uma temperatura constante igual a iT .

Considere, ainda, que ocorre geração de calor '''

Gq uniforme.

a) calcule a distribuição de temperaturas;

b) determine o fluxo de calor total removido (internamente);

c) determine a temperatura da superfície externa.

Solução:

Hipóteses: as mesmas que as anteriores.

Eq. 01

'''

k

q

dr

dTr

dr

d

r

G

Condições de contorno:

(1) ii TrrT )( (temperatura interna constante)

(2) 0erdr

dT (fluxo de calor nulo na superfície)

A solução geral, como já visto, é:

21

2'''

ln4

)( CrCk

rqrT G

Sendo, 1C e 2C saem das condições de contorno do problema específico:


____________________________


31

i

ie

ieG Tr

r

r

rr

k

rqrT

ln2

4)(

2

222'''

k

rqC eG

2

2'''

1 ;

)ln(2

4

22'''

2 i

e

ieGi r

r

r

k

rqTC

Assim,

O fluxo de calor é:

dr

dTkAq

)()2( rTdr

drLkq

Após substituir a distribuição de temperaturas e efetuar da derivada, vem:

22'''

ieG rrqL

q (W/m)

A temperatura máxima é:

emáx TT

i

i

e

e

eieG

emáx Tr

r

r

rr

k

rqTT

ln2

4 2

222'''

OUTRO EXEMPLO DE APLICAÇÃO

Num fio de aço inoxidável de 3,2mm de diâmetro e 30cm de comprimento é aplicada

uma tensão de 10V. O fio está mantido em um meio que está a Co95 e o coeficiente de

transferência de calor vale CmkW o2/10 .

Calcule a temperatura no centro do fio. A resistividade do fio e de cm70 e sua

condutibilidade térmica vale CmWo/5,22


____________________________


32

CT o

c 267

Solução:

Calor gerado por unidade de volume, isto é, a potência elétrica dissipada no volume.

R

URiP

22 ;

A

LR

m 81070

mL 3,0 , 26

232

100425,84

)102,3(

4m

DA

2

6

8

106111,2100425,8

3,01070R

kWP 830,3106111,2

1002

3,0100425,8

1083,31083,36

33

LAV

PqG

3

910587,1m

WqG

hA

PTTTThAP PP )(

3,0)102,3(1010

1083,395

33

3

PT

CT o

P 222

k

rqTT oG

Pc4

2

5,224

)106,1(10587,1222

239

cT


____________________________


33

RESISTÊNCIA TÉRMICA – Várias Situações

- paredes planas

R

TTq 21

kA

LR

- circuito elétrico

- paredes compostas

- Circuito elétrico

Ainda,

onde

432//

1111

RRRR

5//1 RRRREQ

EQR

TTq 21


____________________________


34

- Tubo cilíndrico

R

TTq ei ;

kL

rr

R i

e

2

ln

- Tubo cilíndrico composto


ieq RR

Para dois tubos:

Lk

r

r

R1

1

2

12

ln

Lk

r

r

R2

2

3

22

ln

Lk

r

r

Ri

i

i

eq2

ln 1


____________________________


35

Por indução, como deve ser a resistência térmica devido à convecção de calor?

Lei de convecção (Newton)

)( TThAq p e

hA

TTq

p

1

onde, hA

1 é a resistência térmica de convecção


Para o caso em que houver convecção em ambas as paredes:

- Convecção em tubo cilíndrico


____________________________


36

Tabela-resumo de Resistências Térmicas

Circuito Elétrico

Fluxo de

Transferência

de calor

Resistências Térmicas

Parede plana

R

TTq 21

kA

LR

Parede plana com

convecção

R

TTq 21

321 RRRR

AhkA

L

AhR

21

11

Paredes compostas

EQR

TTq 21

5//1 RRRREQ

432//

1111

RRRR

Tubo cilíndrico

R

TTq ei

kL

rr

R i

e

2

ln

Tubo cilíndrico

composto

EQ

ei

R

TTq

Lk

r

r

Ri

i

i

eq2

ln 1

Convecção em tubo

cilíndrico

EQ

ei

R

TTq

hAkL

rr

Ri

e

eq

1

2

ln


____________________________


37

COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR U

O coeficiente global de transferência de calor é definido por:

totalTUAq

Claramente, U está associado com a resistência térmica,

- parede plana

AhkA

L

AhR

21

11

TUAR

Tq

RUA

1 ou

RAU

1

Logo,

21

11

1

hk

L

h

U

- tubo cilíndrico

Há um problema associado com a área de referência. É preciso dizer se U se refere à

área interna do tubo, iU , ou à área externa, eU . No entanto, os dois valores são

intercambiáveis mediante a seguinte expressão:

totaliitotalee TAUTAU

Logo, iiee AUAU


____________________________


38

U referido à área externa:

e

rr

e

e

hkL

AU

i

e 1

2

ln

1

U referido à área interna:

ee

irr

i

i

hA

A

kL

AU

i

e

2

ln

1

RAIO CRÍTICO DE ISOLAMENTO TÉRMICO

As tubulações que transportam fluidos aquecidos (ou frios) devem ser isoladas do meio

ambiente a fim de restringir a perda (ou ganho) de calor do fluido, que implica em

custos e ineficiências. Aparentemente, alguém poderia supor que a instalação pura e

simples de camadas de isolantes térmicos seria suficiente. Entretanto, um estudo mais

pormenorizado mostrará a necessidade de se estabelecer um critério para realizar esta

operação.

Como visto, o fluxo de calor é

hLrkL

TTq

e

rr

i

i

e

2

1

2

ln

ou,

hrk

TTLq

e

rr

i

i

e1ln

)(2

Note que o raio externo que aparece no

denominador dessa expressão tem duas

contribuições: uma no termo de condução e a

outra no termo de convecção. De forma que, se

o raio externo do isolamento aumentar, ele

diminui uma das resistências térmicas (a de convecção), enquanto que a resistência

térmica de condução aumenta. Isto está ilustrado no gráfico acima e dá origem a um

ponto de maximização. Do cálculo, sabe-se que a máxima transferência de calor ocorre

quando a derivada é nula, isto é,


____________________________


39

h

krcrit

2.

1

.

1

2

1ln

)(20

erhe

rk

hrk

TTL

dr

dq

e

rr

i

ei

e

Assim,

2

11

ee hrkr

critr é o chamado raio crítico de isolamento.

Se o raio crítico de isolamento for originalmente menor que h

k a transferência de calor

será aumentada pelo acréscimo de camadas de isolamento até a espessura dada pelo raio

crítico – conforme tendência do gráfico. Neste caso, ter-se-ia o efeito oposto ao

desejado de diminuir o fluxo de calor. Por outro lado, se originalmente a espessura de

isolamento for maior que a do raio crítico, adições sucessivas de camadas isolantes vão

de fato diminuir a perda de calor.

Para exemplificar, considere um valor do coeficiente de transferência de calor por

convecção de h = Cm

Wo2

7 (convecção natural). A tabela a seguir indica os raios críticos

de isolamento para alguns isolantes térmicos.

material Cm

Wok critr (mm)

Teflon 0,350 50,0

Papel 0,180 25,7

Couro 0,159 22,7

Borracha macia 0,130 18,6

Silicato de cálcio 0,055 7,9

Lã de vidro 0,038 5,4

Poliestireno expandido 0,027 3,9

Folhas de papel e alumínio de

vidro laminado 0,000017 0,0024

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