Chap 6-1

Probabilidade e

Estatstica

Aula 6 Distribuies Contnuas (Parte 02)

Leitura obrigatria: Devore, Captulo 4

Chap 6-2

Distribuies de Probabilidade

Distribuies de

Probabilidade

Contnuas

Hipergeomtrica

Poisson

Distribuies de

Probabilidade

Distribuies de

Probabilidade

Discretas

Uniforme

Normal

Exponencial

Binomial

Chap 6-3

Uniforme

X v.a. com distribuio uniforme contnua (~[, ]) tem fdp:

contrrio caso 0

bxaseab

1

Em que = mnimo valor possvel para X

= mximo valor possvel para X

Eventos com mesmo comprimento so equiprovveis!

f(x) = Definio!

Propriedades:

A mdia de uma distribuio uniforme :

O desvio-padro de uma distribuio uniforme :

Chap 6-4

Uniforme

2

ba

12

a)-(b

2

Chap 6-5

Uniforme

Execcio: Seja ~[2,6], isto :

=1

62= 0.25 2 6

a) (2.5 < < 3.75) = ?

b) Determine a mdia e o desvio-padro de .

42

62

2

ba

1547.112

2)-(6

12

a)-(b

22

2 6

.25

x

f(x)

Uniforme

Exerccio: O peso lquido, em libras, de um pacote com

herbicida qumico uniforme para 49.75 < < 50.25 libras.

a) Determine a mdia e a varincia do peso dos pacotes.

b) Determine a funo de distribuio acumulada do

peso dos pacotes.

c) Determine ( < 50.1).

Chap 6-6

Normal ou Gaussiana

A distribuio normal a mais importante de todas as

distribuies.

Tambm chamada de distribuio Gaussiana.

Muitas populaes numricas possuem distribuio que pode ser

aproximada por uma normal.

Altura, peso, etc

Erros de medida em experimentos

Notas em testes.

Mesmo que as variveis aleatrias no sejam distribudas como

uma normal:

a soma e mdia de v.a. tem uma distribuio aproximadamente normal

sob certas condies (Teorema do Limite Central)

Chap 6-7

Chap 6-8

Normal: fdp

A funo densidade de probabilidade de uma v.a. ~(, ) :

=

Em que = 2.71828

= 3.14159

= mdia populacional

= desvio-padro populacional

= qualquer valor da varivel contnua (, )

Definio!

Chap 6-9

Normal: propriedades

Formato de Sino

Simtrica

Mdia, Mediana e Moda so iguais

Teoricamente o domnio da varivel vai

de - a +

Mdia

= Mediana

= Moda

f(x)

Chap 6-10

Normal: formato

x

f(x)

Mudar translada a distribuio a

esquerda ou a direita.

Mudar aumenta ou

diminui a disperso.

Chap 6-11

Normal: formato

Ao variarmos os parmetros e , obtemos

distribuies normais diferentes

Ver planilha do khanacademy.com

Chap 6-12

Normal: FDA

Para calcular a probabibilidade de X pertencer a um intervalo , , fazemos: = ().

Por definio, a funo distribuio acumulada de uma v.a.

~(, ) :

= 1

212

2

PROBLEMA: Esta integral indefinida, ou seja, no existe uma

expresso analtica para esta funo.

SOLUO: Calcular numericamente (computacionalmente) Tabelar os valores! Mas vamos precisar fazer uma tabela para cada

combinao de parmetros (, )???

Chap 6-13

Normal Padro

Vamos precisar fazer uma tabela para cada combinao de parmetros (, )? No! Vamos precisar de somente uma tabela, a da normal padro!

A distribuio normal padro tem mdia 0 e desvio-padro 1.

Qualquer distribuio normal (com qualquer mdia e desvio-padro) pode ser transformada em uma distribuio normal padro (Z).

Para calcular probabilidades de , precisamos transformar unidades em unidades.

Teorema: Seja ~(, ). O escore-Z associado a , tem distribuio normal padro!

=

~ , .

Obs: provar que a distribuio de normal uma tarefa muito avanada para este curso, mas fcil provar que a mdia de 0 e o desvio-padro 1:

=1

= 0

=1

2 = 1

Chap 6-14

Normal Padro

Chap 6-15

Normal Padro: fdp

Funo densidade para a distribuio normal padro, ~(0,1):

=

Em que e = 2.71828

= 3.14159

z = qualquer valor real, ou seja, z (,)

Definio!

Chap 6-16

Normal Padro: formato

z

f(z)

0

1

Tambm conhecida como distribuio Z

Mdia 0

Desvio-padro 1

Valores acima da mdia so valores com > 0. Valores abaixo da mdia so valores com < 0.

Chap 6-17

Normal: exemplo

2.050

100200

XZ

Se X tem distribuio normal com mdia 100 e desvio-

padro 50, o valor Z para X=200 :

Isto significa que X = 200 est dois desvios-padro

acima (2 incrementos de 50 unidades) da mdia de 100.

Chap 6-18

Normal: exemplo

Z

100

2.0 0

200 X ( = 100, = 50)

( = 0, = 1)

Note que a distribuio a mesma, apenas a escala e locao

mudaram. Podemos expressar o problema em termos dos

valores originais (X) ou de valores padronizados (Z).

Chap 6-19

Normal: probabilidades

a b

f(x)

(Lembre que a

probabilidade de

qualquer valor individual

zero)

A probabilidade medida pela rea abaixo da curva:

P(a X b)

Chap 6-20

Normal: probabilidades

A rea total abaixo da curva 1 e a curva simtrica,

ento metade da rea est abaixo da mdia e metade

est acima da mdia.

f(x)

0.5 0.5

1.0)XP(

0.5)XP( 0.5)XP(

Chap 6-21

Normal: tabela

Exemplo:

P(Z < 2.00) = 0.9772

As probabilidades de uma distribuio normal padro esto

tabeladas em qualquer livro texto.

A tabela abaixo mostra a probabilidade de valores abaixo de z:

tabela da acumulada da normal-padro

Z 0 2.00

0.9772

Chap 6-22

Normal: tabela

O valor nas clulas da tabela mostram a probabilidade de Z = at o valor desejado de z.

0.9772

2.0 P(Z < 2.00) = 0.9772

As linhas: listam

valores de z at a

primeira casa

decimal.

As colunas: listam segundas casas

decimais para z.

2.0

.

.

.

Z 0.00 0.01 0.02

0.0

0.1

Chap 6-23

Normal: tabela

Represente o problema para a curva normal de X.

Tranforme valores de X em valores de Z.

Use a Tabela da Normal Padro.

Para encontrar P(a < X < b) quando X tem distribuio

normal :

Chap 6-24

Normal: tabela

Exerccio: Seja X o tempo necessrio em (segundos) para baixar um arquivo da internet. Suponha que X seja normal com mdia 8 e desvio-padro 5

Encontre ( < 8.6).

X

8.6

8.0

f(x)

Chap 6-25

Normal: tabela

0.125.0

8.08.6

XZ

Exerccio - Soluo: ~ (8,5) e ( < 8.6)?

Z 0.12 0

X 8.6 8

= 8

= 5

= 0

= 1

P(X < 8.6) P(Z < 0.12)

Chap 6-26

Normal: tabela

Z .00 .01 .02

0.0 .5000 .5040 .5080

0.1 .5398 .5438 .5478

0.2 .5793 .5832 .5871

0.3 .6179 .6217 .6255

Tabela da Normal Padro

(Extrato)

Z 0.12 0

= 0

= 1

0.5478

= P(Z < 0.12)

P(X < 8.6)

Chap 6-27

Normal: tabela

Encontre > 8.6 .

P(X > 8.6) = P(Z > 0.12) = 1.0 - P(Z 0.12)

= 1.0 - 0.5478 = 0.4522

Z

0.12

0

0.5478

1.0 - 0.5478 = 0.4522

Chap 6-28

Normal: tabela

Exerccio: Seja X ~ N(8, 5). Determine P(8 < X < 8.6).

05

88

XZ

P(8 < X < 8.6)

= P(0 < Z < 0.12)

0.125

88.6

XZ

Calcule Z-valores:

Z 0.12 0

X 8.6 8

Chap 6-29

Normal: tabela

Z .00 .01 .02

0.0 .5000 .5040 .5080

0.1 .5398 .5438 .5478

0.2 .5793 .5832 .5871

0.3 .6179 .6217 .6255

Tabela da Normal Padro

(Extrato)

Z

0.12

0.0478

0.00

= P(0 < Z < 0.12)

P(8 < X < 8.6)

= P(Z < 0.12) P(Z 0)

= 0.5478 - 0.5000 = 0.0478

0.5000

Exerccio - Soluo:

Chap 6-30

Dada Probabilidade, encontre

valor de x:

Exerccio: Seja X o tempo em segundos levado para baixar um

arquivo na internet. Suponha que X uma normal com mdia 8

e desvio-padro 5.

Encontre tal que 20 % dos tempos de download sejam menores do que .

X ? 8.0

0.2000

Z ? 0

Chap 6-31

Dada Probabilidade, encontre

valor de x:

Exerccio Soluo: Primeiro, encontre o valor de Z que

corresponde a probabilidade conhecida, usando a tabela da

normal padro, ou seja, o percentil 20% de Z, 0.2.

Z . .03 .04 .05

-0.9 . .1762 .1736 .1711

-0.8 . .2033 .2005 .1977

-0.7 . .2327 .2296 .2266

X ? 8.0

.2000

Z -0.84 0

Chap 6-32

Dada Probabilidade, encontre

valor de x:

Segundo, converta o valor de em , para determinar o percentil 20% de :

0.2 =0.2

0.2 = + 0.2

Segue:

0.2 = 8 + 5 0.84 = 3.8

Ento 20% dos tempos de download de uma distribuio

de tempos normal com mdia 8 e desvio-padro 5 esto

abaixo de 3.8 segundos.

Chap 6-33

Normal: exerccio

Exerccio: (Prova 2011/2) Sem um sistema automtico de irrigao, a altura das plantas duas semanas depois de germinar distribuda normalmente, com uma mdia de 2.5 cm e um desvio-padro de 0.5 cm.

(a) (1 ponto) Qual a probabilidade de a altura da planta estar entre 2.0 e 3.0 cm?

(b) (1 ponto) Que altura excedida por 90% das plantas?

Chap 6-34

Exponencial

Usada para modelar intervalo de tempo entre

ocorrncia de eventos (durao ou tempo de espera)

Exemplos:

Tempo entre chegadas de caminhes para

descarregar carregamento

Tempo entre transaes em um caixa rpido

Vida til de equipamentos eletrnicos ou

mecnicos

Caso particular da gama (=1 e =1/ )

Chap 6-35

Exponencial

Para uma varivel aleatria, , distribuda exponencialmente com parmetro , a probabilidade

do evento durar no mximo um valor :

= =

Em que

= qualquer valor positivo, 0

Definio!

= nmero mdio de chegadas ou n mdio de eventos por unidade de tempo

A funo densidade de probabilidade de ~() :

= , .

A mdia, e o desvio-padro da exponencial so dados

por:

() = () = 1/

ou seja, o tempo mdio de espera o inverso do

nmero de chegadas (ou eventos) por unidade de

tempo!

Chap 6-36

Exponencial

Chap 6-37

Exponencial

A fdp de ~() tem formato que depende de :

Propriedade da FALHA DE MEMRIA:

( + 0| 0) = ( )

a probabilidade de o evento durar mais t unidades de

tempo no depende de quanto tempo o evento j

durou. Portanto, para a exponencial, o futuro no

depende do passado!

Chap 6-38

Exponencial

tXee

e

tF

ttF

tX

ttX

tX

tXttXtXttX

t

t

tt

P1

1

P

P

P

PP

0

0

0

0

0

0

0

00

00

Chap 6-39

Exponencial

Exerccio: Consumidores chegam ao balco de servios a

uma taxa mdia de 15 por hora. Qual a probabilidade de o

tempo entre a chegada de dois consumidores consecutivos

ser de menos de 3 minutos? Assuma que o tempo entre

chegada de consumidores tem distribuio exponencial!

Seja = n de chegadas por hora.

O nmero mdio de chegadas por hora 15, ento: ~( = 15)

Trs minutos equivale a 0.05 horas

< 0.05 = 1 0.05 = 1 150.05 = 0.5276

Exite uma probabilidade de 52.76% de que o tempo de espera entre a

chegada de 2 consumidores seja menor do que 3 minutos.

Chap 6-40

Funes no Excel

Normal padro fdp: =DIST.NORMP.N(z;falso)

fda: =DIST.NORMP.N(z;verdadeiro)

Percentil p (inversa da fda): =INV.NORMP.N(p)

Normal fdp: =DIST.NORM.N(x; mdia; desvio-pado; falso)

fda: =DIST.NORM.N(x; mdia; desvio-pado; verdadeiro)

Percentil p (inversa da fda): =INV.NORM.N(p; mdia; desvio-padro)

Chap 6-41

Comandos em R

Normal padro fdp: dnorm(x)

fda: pnorm(q, lower.tail = TRUE,)

inversa da fda: qnorm(p, lower.tail = TRUE)

Normal com mdia m e desvio-padro s fdp: dnorm(x, mean = m, sd = s)

fda: pnorm(q, mean = m, sd = s)

inversa da fda: qnorm(p, mean = m, sd = s)

Chap 6-42

Resumo

Algumas distribuies continuas importantes:

normal, uniforme, exponencial

Como encontrar probabilidades usando funes

densidade de probabildiade e tabelas

Quando aplicar cada distribuio

Nesta parte vimos: