Aula 8 e 9: Determinantes(continuação)

Turma A1

Profa. Ana Maria Luz

Mais propriedades dos determinantes

D9: Sejam A e B matrizes nxn e k um escalar qualquer temos que:

Exemplo:

D10: Sejam A, B, C matrizes nxn que diferem em uma única linha (r-ésima) , suponha que nesta linha para todo j=1,...,n

então:

)det()det( AkkA n

2221

1211

2221

1211

2221

1211 ...)det(aa

aakk

kaka

aak

kaka

kakakA

rjrjrj BAC )()()(

)det()det()det( BAC Exemplo: (Quadro)

Mais propriedades dos determinantesD11: Se B é uma matriz nxn e E é uma matriz elementar nxn então:

Consequência:

D12: Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, det(A)≠0.

D13: Se A e B são matrizes quadradas de mesmo tamanho então:

D14: Se A é invertível então:

D15: Se A é ortogonal (A-1=AT) então det(A-1)=1 ou -1.

)det().det()det( BEEB

)det().det()det().det()...det( 2121 BEEEBEEE rr

)det().det().det( BABA

)det(

1)det( 1

AA

Determinantes, sistemas e invertibilidadeTeorema: Se A é uma matriz nxn, então as seguintes afirmações

são equivalentes:

a) A é invertível.

b) Ax=0 só tem a solução trivial.

c) A forma escalonada reduzida por linhas de A é In.

d) A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares.

e) Ax=b é consistente para cada vetor coluna b de tamanho nx1.

f) Ax=b tem exatamente uma solução para cada vetor coluna b nx1.

g) det(A)≠0.

Expansão em cofatoresDefinição: (menor de aij) Se A é uma matriz quadrada então o

determinante menor da entrada aij, ou simplesmente o menor

de aij é denotado por Mij e definido como o determinante da

submatriz que sobra quando suprimido a i-ésima linha e j-ésima coluna de A.

Exemplo:

Definição: (cofator de aij): O número (-1)i+j Mij é chamado de cofator de aij e será denotado por Cij.

3484598

65

,

987

654

321

11

11

M

éademenoroASeja

Expansão em cofatores

Observe a fórmula para o determinante de ordem 3:

(expansão em cofatores ao longo da primeira linha)

131312121111

131312121111

312232211331233321123223332211

322311332112312213

322113312312332211

333231

232221

131211

)()()(

......

......

CaCaCa

MaMaMa

aaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

Expansão em cofatoresTeorema: O determinante de uma matriz A (nxn) pode ser obtido pela

soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz A pelos respectivos cofatores. Estas somas são denominadas expansões em cofatores de det(A).

ininiiii CaCaCaA ...)det( 2211

(expansão em cofatores ao longo da coluna j)

njnjjjjj CaCaCaA ...)det( 2211

(expansão em cofatores ao longo da linha i)

Exemplo: (Quadro)

Expansão em cofatoresDefinição: (matriz de cofatores e adjunta de A) Se A é uma matriz

quadrada de ordem n e Cij é o cofator de aij então a matriz

é chamada matriz de cofatores de A. A transposta desta matriz é chamada adjunta de A e denotada por adj(A).

nnnn

n

n

CCC

CCC

CCC

A

21

22221

11211

Exemplo: (Quadro)

Idéia da prova: Mostra –se que:

Como A é invertível, det(A)≠0. Portanto a equação pode ser reescrita como:

Multiplicando-se ambos os lados à esquerda por A-1 obtemos:

Fórmula para inversa de uma matrizTeorema: Se A é uma matriz nxn, invertível então

)()det(

11 AadjA

A

IAAadjA ).det()(.

IAadjA

AouIAadjAA

)](.)det(

1.[)(.

)det(

1

)()det(

11 AadjA

A

Exemplo: (Quadro)

Regra de Cramer

Teorema: (Regra de Cramer) Se Ax=b é um sistema de n equações lineares com n incógnitas tal que det(A)≠0, então o sistema tem uma única solução. Esta solução é:

onde Aj é a matriz obtida subtraindo as entradas da j-ésima coluna de A pelas entradas do vetor coluna b.

Observação: Quando det(A)≠0 onde A é a matriz dos coeficientes de um sistema linear, o sistema é chamado sistema de Cramer

,)det(

)det(,...,

)det(

)det(,

)det(

)det( 22

11 A

Ax

A

Ax

A

Ax n

n

Idéia da prova + Exemplo: Quadro

Através da Regra de Cramer podemos classificar um sistema linear quanto as suas soluções:

Se det(A)=0 e pelo menos um dos det(Ai)≠0 o sistema é imcompatível.

Se det(A)=0 e det(Ai)=0 para todo i o sistema é compatível e indeterminado.

Se det(A) ≠0 o sistema é compatível e determinado.

Regra de Cramer