Aula 9 - Controle Em Malha Fechada e PID

8/17/2019 Aula 9 - Controle Em Malha Fechada e PID

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Universidade Federal do ABC

Primeiro Quadrimestre de 2013

Prof. André Luı́s da Silva

Aula 9

Dia 28 de maio de 2013Controle em Malha Fechada - Controlador PID

1 Introdução

Na aula 7, o processo de controlar um sistema foi ilustrado com um exemplo: a obtenção de umângulo de rotação desejado em um motor de corrente cont́ınua. Isto foi desenvolvido usando um tipode controle chamado controle em malha aberta . Neste tipo de situação, uma função de entrada (ocontrole) é calculada antes da operação do sistema e aplicada de modo a obter o comportamento

esperado. Quando isto é feito, erros podem ocorrer devido a variações dos parâmetros usadosno cálculo do modelo, presença de perturbações adicionais, ou mesmo fenômenos dinâmicos nãomodelados.

Na aula 8, por outro lado, foi apresentado um exemplo de controle de motor de correntecontı́nua, em laboratório, usando medidas de sensores. Neste caso, os sensores realizam a inspeçãode variáveis de interesse, este dado, por sua vez, é usado para calcular o controle e corrigir ocomportamento, de modo a obter uma resposta desejada. Este tipo de procedimento é dito controle de malha fechada , onde os dados da sáıda do sistema são usados para calcular a própria entrada ecorrigir o comportamento.

Nesta aula, o controle em malha fechada será apresentado numa de suas formas mais elemen-tares: o controle proporcional integral derivativo (PID). Para tanto, cada um dos elementos desse

controle será apresentado em ordem crescente, do mais simples, ao mais completo.

2 Controle Proporcional

O controle proporcional é um dos tipos de controle mais elementares. Para apresent́a-lo, seráassumido um sistema linear invariante no tempo com uma entrada e uma saı́da:

ẋ = Ax + Bu(t) (1)

y = Cx + Du(t) (2)

Assuma o problema da sáıda y(t) acompanhar uma entrada de referência r(t). Ou seja, sedeseja que o comportamento de y(t) se aproxime do comportamento de r(t). Nesta situação, sedefine a variável de erro:

e(t) = r(t) − y(t) (3)O controle proporcional é definido simplesmente como uma constante K multiplicada pelo erro:

u(t) = K e(t) (4)

Este controle pode ser representado pelo diagrama de blocos na figura 1. Fisicamente, o fluxode informação ocorre da seguinte maneira: a sáıda y(t) é medida por um sensor adequado. Ela é


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2 Controle Proporcional 2

transmitida para um comparador que calcula o erro e(t) a partir da referência r(t) fornecida pelousuário. Este erro é multiplicado por um ganho, gerando o controle u(t), o qual é aplicado nosistema dinâmico. Este processo, que envolve a geração de uma entrada usando como informaçãoa medida de uma sáıda é chamado de realimentaç˜ ao, ou malha de retorno. É esta realimentaçãoque torna posśıvel gerar o controle automaticamente , de modo a corrigir o comportante atual dasáıda.

Fig. 1: Diagrama do controle proporcional.

Intuitivamente, o funcionamento do controle proporcional pode ser entendido da seguinte ma-neira, assumindo K > 0:

• Se y(t) < r(t), então e(t) > 0 e, por conseguinte u(t) > 0. Nesta situação, espera-se queo controle positivo u(t) provoque uma “aceleração” do sistema, de modo a aumentar y(t) eforçar o mesmo se aproximar de r(t);

• Se y(t) > r(t), então e(t)


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3 Controle Derivativo 3

Agrupando do lado esquerdo da equação tudo que envolve y(t), obtém-se:

d2y

dt2 + 2ζωn

dy

dt + (ω2n + bK )y = bK r(t) (9)

A equação acima é uma nova equação de segunda ordem, que na forma padrão é:

d2y

dt2 + 2ζ ωn

dy

dt + ω2n y = br(t) (10)

2ζ ωn = 2ζωn, ω2n = ω

2

n + bK, b = bK (11)

Este resultado pode ser interpretado da seguinte maneira:

1: O sistema possui uma nova entrada, que agora é a referência r(t);

2: O novo ganho da entrada agora é b = bK . Assim sendo, o controle modifica as propriedadesassociadas a este parâmetro, que são o valor de regime permanente da sáıda e o erro deregime permanente;

3: O controle provoca o surgimento de uma nova frequência natural não amortecida dada pelarelação ω2n = ω2

n + bK . Assim, sendo, o controle altera as varíaveis associadas a este parâ-metro, tais como a constante de tempo, o tempo de pico e o tempo de regime permanente;

4: Como um efeito indireto da variação da frequência natural não amortecida, ocorre umavariação do amortecimento. Um aumento de ωn causa uma redução indesejada de ζ .

Note algo muito importante associado ao controle com realimentação, que será ainda maisressaltado na seção seguinte: a alteração da razão de amortecimento provoca interferência sobre aestabilidade do sistema. Assim, este controle pode estabilizar um sistema inst́ avel , oumesmo o contrário, ou seja, tornar instável algo que já era estável.

3 Controle Derivativo

Note que o controle proporcional pode alterar indiretamente o amortecimento do sistema de se-gunda ordem, a partir de ωn. Mas um aumento de ωn pode provocar um redução indesejada deζ , aumentando, assim, o sobressinal, e podendo prejudicar a estabilidade. Uma forma de resolverisso é adicionando uma parcela derivativa na lei de controle proporcional, o controle obtido é ditoproporcional derivativo (PD):

u(t) = K pe(t) + K dde

dt = K p(r(t) − y(t)) + K d d

dt(r(t) − y(t)) (12)

onde K p é o ganho da parcela proporcional e K d é o ganho da parcela derivativa. Note que agoraé necessário medir ou calcular a derivada da sáıda y.

Inserindo o controle proporcional derivativo na equação diferencial, obtém-se:

d2y

dt2 + 2ζωn

dy

dt + ω2ny = b

K p(r(t) − y(t)) + K d d

dt(r(t) − y(t))

(13)

Agrupando do lado esquerdo todos os termos contendo a variável y , obtém-se:

d2y

dt2 + (2ζωn + bK d)

dy

dt + (ω2n + bK p)y = bK pr(t) + bK d

d

dtr(t) (14)


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Como a entrada de referência degrau unitário é aquela que está sendo considerada, tem-se quedr/dt = 0, então a equação acima se torna:

d2y


dy

dt + (ω2n + bK p)y = bK pr(t) (15)

Note que, mais uma vez, a equação acima é uma nova equação de segunda ordem, ela pode ser

reescrita como segue:

d2y

dt2 + 2ζ ωn

dy

dt + ω2n y = bK pr(t) (16)

2ζ ωn = 2ζωn + bK d, ω2n = ω

2

n + bK p, b = bK p (17)

A nova equação pode ser interpretada de forma análoga à equação 10, no entanto, com a adiçãode um termo que altera diretamente o amortecimento:

1: Mais uma vez, o sistema possui uma nova entrada, que ainda é a refer̂encia r(t);

2: O novo ganho da entrada é b = bK p, associado à parcela proporcional. Assim sendo, aparcela proporcional modifica as propriedas associadas a este parâmetro, que são o valor deregime permanente da sáıda e o erro de regime permanente;

3: A parcela de controle proporcional provoca o surgimento da nova frequência natural nãoamortecida dada pela relação ω n =

ω2n + bK p. Assim, sendo, a parcela proporcional altera

as variáveis associadas a este parâmetro, tais como a constante de tempo, o tempo de pico eo tempo de regime permanente;

4: A nova parcela de controle, a derivativa, gera uma alteração da razão de amortecimento ζ ,dada por ζ = (2ζωn + bK d)/(2ω

n). Esta nova razão de amortecimento altera os parâmetros

associados a ela, tais como o sobressinal.

3.1 Exemplo 1

Para o sistema de segunda ordem abaixo:

d2y

dt2 + 12

dy

dt + 400y = 200u(t)

a) Determine o sobressinal na resposta ao degrau e a constante de tempo;

b) Determine ω n e ζ desejados para obter sobressinal com 1/4 do valor original e constante de

tempo com 1/5 do valor original;

c) Determine os ganhos K p e K d de um controlador proporcional derivativo que satisfaz osobjetivos do item b);

d) Determine o erro de regime permanente para a entrada degrau unitário, no sistema comcontrolador proporcional derivativo.


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a) Por inspeção, os parâmetros do modelo de segunda ordem padrão são obtidos:

b = 200

ω2n = 400, ωn =√

400, ωn = 20 rad/s

2ζωn = 12, ζ = 12

2ωn=

12

2

×20

, ζ = 0, 3

O sobressinal e a constante de tempo são então:

M p = e−π ζ√

1−ζ2 = e−π 0,3√

1−0,32 , M p ≈ 0, 37, ou M p = 37%τ =

1

ζωn=

1

0, 3 × 20 , τ = 1

6 s

b) O sobressinal e a constante de tempo desejados são obtidos a partir dos resultados do itema):

M p = M p

4 =

0, 37

4 , M p = 0, 0925

τ = τ

5 =

1/6

5 , τ =

1

30 s

A razão de amortecimento necessária para obter o sobressinal desejado pode ser calculada pelafórmula do sobressinal:

M p = e−π ζ

√ 1−ζ2

é necessário resolver essa equação em termos de ζ , por manipulações algébricas, obtém-se:

ζ = |lnM p

| (lnM p)2 + π2onde substituindo o valor do sobressinal desejado se obtém a nova razão de amortecimento:

ζ = |ln0, 0925|

(ln0, 0925)2 + π2, ζ ≈ 0.604

A nova frequência natural não amortecida é dada pela fórmula da constante de tempo:

τ = 1

ζ ωn, ωn =

1

ζ τ =

1

0, 604×

1/30, ωn ≈ 49, 67 rad/s

c) O ganho da parcela proporcional do controlador é obtido pelo respectivo resultado na equação17:

K p = ω2n − ω2n

b =

49, 672 − 202200

, K p = 10, 3372

O ganho da parcela derivativa do controlador é obtido pelo respectivo resultado na equação 17:

K d = 2ζ ωn − 2ζωn

b =

2 × 0, 604 × 49, 67 − 2 × 0, 3 × 20200

, K d = 0, 24


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d) O ganho da entrada no sistema controlado é dado pelo respectivo resultado na equação 17:

b = K pb = 10, 3372 × 200, b = 2067, 4

O valor de regime estacionário de y, no sistema controlado, é obtido igualando-se todas asderivadas a zero na equação diferencial:

d2ydt2

+ 2ζ ωndydt

+ ω2n y = bK pr(t)

de onde obtém-se:

ω2n yss = brss

lembrando que, para o degrau unitário: rss = 1, então:

yss = brss

ω2n=

2067 × 149, 672

, yss = 0, 8380

O erro de regime permanente, com respeito a entrada degrau unit ário, é então:

ess = rss − yss = 1 − 0, 8380, ess = 0, 162, ou ess = 16, 2%

Ou seja, o controlador proporcional é capaz de determinar uma constante de tempo e umsobressinal desejados. No entanto, não é capaz de fazer a sáıda atingir perfeitamente a referênciaem estado estacionário. De fato, o erro entre a referência e a sáıda estacionária é de 16, 2%.

Os resultados deste exemplo são sintetizados na figura 2. A figura 3 também mostra os resul-tados do sistema sem o controle PD. Na figura 2, a refer̂encia é o degrau unitário e o controle égerado automaticamente pela lei de controle PD, veja que o formato do controle automático é umaexponencial convergente. Na figura 3, não é usado o controle PD. Neste caso, o sinal de controleu(t) é o próprio degrau unitário, lembrando da aula 7, este é um controle em malha aberta.

No caso sem controle PD da figura 3, o valor de regime permanente da sáıda é yss = 0.5, o quecorresponde a um erro ess = 0.5 ou 50%. O tempo de pico é de t p = 0.166s e o tempo de regimepermanente pelo critério 5% é tss = 0.507 s, ou seja tss = 3τ = 3 × 1/6 = 0, 5 s, que correspondeao valor calculado no ı́tem a). O sobressinal é M p = (0.6861 − 0, 5)/0, 5 = 0, 37, que correspondeao valor calculado no ı́tem a).

No caso com controle PD da figura 2, o valor de regime permanente da sáıda é yss = 0.8308, oque corresponde a um erro ess = 0.1692 ou 16, 92%, que corresponde, a menos de pequenos errosde arredondamento, ao valor calculado no ı́tem d). O tempo de pico é de t p = 0.07869 s e o tempode regime permanente pelo critério 5% é tss = 0.1084 s, ou seja tss = 3τ

= 3 × 1/30 = 0, 1 s,que corresponde, a menos de pequeno erro de arredondamento, ao valor calculado no ı́tem b). Osobressinal é M p = (0, 9154 − 0, 8308)/0, 8308 = 0, 1018, que corresponde, a menos de erros dearredondamento, ao valor calculado no ı́tem b).


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0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16

0

2

4

6

8

10

tempo − [s]

e n t r a d a

d e c o n t r o l e u ( t )

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.160

0.2

0.4

0.6

0.8X: 0.1609

Y: 0.8308

tempo − [s]

s a i d a

d o s i s t e m a y ( t )

X: 0.07869

Y: 0.9154 X: 0.1084

Y: 0.8735

Fig. 2: Resposta do sistema determinada pelo controle PD.


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0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tempo − [s]

e n t r a d a


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

X: 0.1661

Y: 0.6861

tempo − [s]

s a i d a

d o s i

s t e m a y ( t )

X: 0.9005

Y: 0.5009

X: 0.5071

Y: 0.525

Fig. 3: Resposta do sistema determinada por um degrau unitário sem controle PD.


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4 Controle Integral 9

4 Controle Integral

No exemplo da seção anterior, verificou-se um erro de regime permanente entre a referência degrauunitário e a sáıda do sistema. Uma forma de corrigir este erro é aumentando o termo proporcionaldo controle. No entanto, isso também alteraria as outras caracteŕısticas, tal como o tempo deregime permanente.

Uma terceira parcela de controle é responsável por corrigir este problema. Trata-se da aç˜ ao de controle integral . Ela é constitúıda pela integral do erro multiplicada por uma constante. Quandoagregada ao controle proporcional derivativo, tem-se origem o controle: proporcional integral deri-vativo, conhecido pela sigla PID:

u(t) = K pe(t) + K dde

dt + K i

t0

e(τ )dτ (18)

onde K i é o ganho integral.Para compreender o significado do controle integral, insere-se o controle da equação 18 na

equação 5, lembrando que está sendo considerado o caso particular da entrada de refer̂encia degrauunitário:

d2y

dt2 + 2ζωn

dy

dt + ω2ny = b

K pe(t) + K d

de

dt + K i

t0

e(τ )dτ

= b

K p (r(t) − y) + K d d

dt (r(t) − y) + K i

t0

e(τ )dτ

= bK pr(t) − bK py − K d dydt

+ bK i

t0

e(τ )dτ (19)

Agrupando todos os termos envolvendo y do mesmo lado da equação:

d2y


dy

dt + (ω2

n + bK p)y = bK pr(t) + bK i t0

e(τ )dτ (20)

Note que o lado esquerdo da equação acima é idêntico àquele na equação 16, o qual correspondeao controle PD. No entanto, note a presença da integral no lado direito, a qual também depende de y . Este tipo de sistema é chamado de ı́ntegro-diferencial, mas pode ser reduzido a um sistemade equações diferencias pela definição da nova variável de estado:

d

dt = e(t), (0) = 0 (21)

Note que a variável de estado , definida desta maneira, é a própria integral, pois, integrandoambos os lados da equação acima:

t0

d

dτ dτ =

t0

e(τ )dτ, (t) − (0) = t0

e(τ )dτ, (t) − 0 = t0

e(τ )dτ, (t) =

t0

e(τ )dτ (22)

Então, a equação 20 pode ser reescrita segundo o seguinte sistema de equações diferenciais:

d2y


dy

dt + (ω2n + bK p)y = bK pr(t) + bK i (23)

d

dt = r(t) − y(t) (24)


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O sistema de equações acima é de terceira ordem , ou seja, a integral insere uma variável deestado a mais no sistema. Deste modo, as interpretações sobre os sistemas de segunda ordemnão podem mais ser usadas, nem as fórmulas da seção anterior. No entanto, para realizar umprojeto, se costuma, primeiro, adotar as fórmulas da seção anterior e projetar somente o controle PD . Depois disso, insere-se um integrador com o menor ganho K i posśıvel, de modo a provocar omenor impacto de terceira ordem e alterar pouco a resposta anterior.

Mas, então? Qual é o benef́ıcio de se inserir o integrador? Supondo que o sistema é estável,existe um regime permanente no qual todas as derivadas são nulas. Supondo também que a entradaé um degrau unitário, então, na equação 24, a derivada pode se tornar zero em regime permanente,resultando no seguinte:

d

dt = r(t) − y(t), d

dt = 0 → rss − yss = 0 → rss = yss (25)

Ou seja, quando o controle integral é usado, o erro de regime permanente para a entrada de referência degrau é nulo. Assim, o erro é eliminado em regime permanente. Esta é a principalcontribuição da ação de controle integral.

4.1 Exemplo 2

Considere o caso do exemplo 1, insira uma ação de controle integral de modo a eliminar o erro deregime permanente para a entrada de referência degrau unitário.

Este problema não costuma ser resolvido analiticamente. Geralmente, é resolvido por simu-lação, mantendo-se os valores previamente calculados para os ganhos proporcional e derivativo e,depois, adicionando um ganho integral bem pequeno, para não afetar muito o resultado anterior.Esse ganho é aumentadado na medida que for necessário. Se for preciso, os ganhos proporcional ederivativo também devem ser ajustados manualmente de modo a corrigir o resultado. Fazendo esseprocedimento de tentativa e erro, e sempre simulando o resultado com o MATLAB para verifica ção,

é obtida a resposta na figura 4. O ganho integrativo usado foi K i = 100, os ganhos proporcional ederivativo mantiveram-se os mesmos. Note que o erro de regime permanente na resposta ao degrauunitário foi tornado zero. No entanto, o sobressinal, que antes era 10, 18% agora é 15, 5%. Aĺemdisso, o tempo de regime permanente pelo critério 5%, que antes era 0,1084 s, agora é 0,1285 s.Ou seja, a ação de controle integral removeu o erro de regime permanente, mas tornou o sistemamais lento e menos amortecido (maior sobressinal).


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0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.180

2

4

6

8

10

tempo − [s]

e n t r a d a


0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.180

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X: 0.08218

Y: 1.155

tempo − [s]

s a i d a

d o s

i s t e m a y ( t )

X: 0.1939

Y: 0.9996

X: 0.1285

Y: 1.048

Fig. 4: Resposta do sistema determinada pelo controle PID.

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