CLCULO DE REA DAS

FIGURAS PLANAS

Professor: Marcelo Silva

Natal-RN, agosto de 2013

REAS

REA

A reunio de um polgono com sua regio interior denominada

superfcie do polgono. A medida da superfcie expressa por

um nmero real positivo e chamada rea do polgono.

Para medirmos a superfcie do polgono precisamos compar-la

com uma unidade de medida de rea. Essa unidade de medida

corresponde a uma figura unitria, isto , de dimenses unitrias.

A partir da, podemos verificar quantas vezes essa figura unitria

cabe na regio que queremos medir.

A unidade de rea utilizada uma regio quadrada cujo lado

mede uma unidade de comprimento. Qualquer regio quadrada

cujo lado mea 1 ter, por definio, rea igual a 1.

REAS

REA

A unidade padro de medida de rea o metro quadrado.

REA

Utilizamos o conceito de rea em vrias situaes do

cotidiano:

determinar a extenso de um terreno;

quantidade de lajotas para revestir um piso;

quantidade de tinta necessria para pintar uma casa, etc.

Exemplo: determinar a quantidade de lajotas quadradas com 15

cm de lado para revestir o piso de um banheiro de 2,3 m de

largura por 3 m de comprimento.

REAS

Figuras equivalentes

(equidecomponveis)

So figuras que mesmo tendo formatos diferentes, possuem

a mesma rea.

Uma propriedade interessante :

Se dois polgonos tm a mesma rea, sempre possvel

decompor um deles em polgonos menores, dois a dois

congruentes, de modo a preencher o outro.

REAS

Figuras equivalentes

(equidecomponveis)

Exemplos:

Transformao de um paralelogramo em um retngulo;

Transformao de um hexgono regular em seis tringulos equilteros.

REAS

Como se expressa o tamanho de sua superfcie?

RETNGULO

REAS

A rea de um retngulo a multiplicao do seu comprimento

por sua largura. A = CxL ou A = BxH

Considere um pequeno quadrado unitrio, isto , de rea 1

u.a. Vamos ver quantos quadrados com lado igual a 1 u.c.

podemos enfileirar para preencher o retngulo.

1

2

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64

16 u.c.

4 u

.c.

Comprimento = base

La

rgu

ra

=

alt

ura

O retngulo tem rea de 16 x 4 (u.c.) = 64 (u.c.)

A rea de um quadrado a multiplicao dos seu dois lados.

QUADRADO

REAS

Vamos rearrumar os 64 quadradinhos de modo a formar um

quadrado de 8 linhas e 8 colunas.

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10 11 12 13 14 15 16

17 18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 31 32

33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48

49 50 51 52 53 54 55 56

57 58 59 60 61 62 63 64

lad

o

lado

A = LxL = L

Como se expressa o tamanho de sua superfcie?

PARALELOGRAMO

REAS

b

h A = b . h

REAS

PARALELOGRAMO

Como calcular sua rea?

Somente 24 pequenos quadrados de 1 u.a. esto na superfcie

interna. Os outros esto parte dentro e parte fora.

REAS

TRINGULO

Vamos tentar preencher o tringulo com os quadradinhos.

Base = b

Alt

ura

h

O que temos? Dois tringulos!!!

Vamos desenhar um paralelogramo e dividi-lo em duas partes

iguais.

REAS

TRINGULO

Sendo a rea do paralelogramo base x altura, a rea do tringulo

base x altura

2

REAS

TRINGULO

E QUANDO NO SE TEM BASE E/OU

ALTURA?????

REA DO TRINGULO EM FUNO

DOS LADOS E DO SENO

a b

c

h

sen = h / a => h = a sen

sen = h / b => h = b sen

A = c a sen 2

A = c b sen 2

REAS

4 m

45

REA DO TRINGULO EM FUNO

DOS LADOS E DO SENO

REAS

Determine a rea do tringulo abaixo.

2 2 m

2 2 4 45

2

senA

22 4

2A

2

24

2A

224 42

A m

TEOREMA DE HEIRO, HERON

OU HERO

REAS

P = 9 + 7 + 14

2

= 30

2

= 15

A = 15(15 9)(15 7)(15 14)

A = 15 6 8 1

A = 720

A = 720 26,8 cm

EXEMPLO - TEOREMA DE HERON

REAS

EXERCCIOS

REAS

1) Um terreno retangular tem 72m de permetro. O comprimento o dobro da largura. Calcule sua rea.

2) Numa figura retangular a diagonal mede 10cm e um dos lados mede 6cm. Calcule sua rea.

288m

48cm

3) Qual a rea de um paralelogramo no qual dois lados consecutivos medem 7 cm e 5 cm, sabendo-se que eles formam um ngulo de 120?

235 3 2

cm

EXERCCIOS

REAS

4) Uma piscina tem 8m de comprimento, 4m de largura e 1,20m

de profundidade. Deseja-se colocar azulejos quadrados de 0,20m

de lado nas paredes laterais e no fundo da piscina. Quantos

azulejos sero necessrios?

1520 azulejos

TRINGULO EQUILTERO

REAS

. .

2

a b senCA

L

L

60

Empregando a frmula

3

22

L LA

2 3

4

LA

EXERCCIOS

REAS

5) Um tringulo issceles tem base medindo 8 cm e lados iguais

com medidas de 5 cm. A rea deste tringulo :

a) 20 cm2. b) 10 cm2. c) 24 cm2.

d) 18 cm2. e) 12 cm2.

6) Um pedreiro deseja cobrir o piso de uma sala com formato

retangular medindo 10 m por 4 m e, para isso, quer usar

cermicas com medidas de 20 cm por 20 cm. Considerando o que

foi dito, o nmero mnimo de cermicas que sero usadas igual

a:

a) 3100. b) 2100. c) 1500.

d) 1000. e) 500.

EXERCCIOS

REAS

7) Num tringulo ABC, e a rea vale . Calcule a

medida do ngulo .

8) Sabendo que BD=12, qual a rea da figura?

3 e 2b c

30

6

4A

A