Capítulo 6:

Flexão

Adaptado pela prof. Dra. Danielle Bond

• Elementos delgados que suportam carregamentos aplicados perpendicularmente a seu eixo longitudinal são denominados vigas; em geral são barras longas e retas com área de seção transversal constante e classificadas conforme o modo como são apoiadas:

Diagramas de força cortante e momento fletor

Exemplos: elementos utilizadospara suportar o piso de um edifício,a plataforma de uma ponte ou a asade um avião, eixo de um automóvel,a lança de um guindaste e atémesmo muitos ossos do corpohumano agem como vigas.

Diagramas de força cortante e momento fletor

• Por conta dos carregamentos aplicados, as vigas desenvolvem umaforça de cisalhamento interna, força cortante e momento fletor quevariam de ponto para ponto ao longo do eixo da viga.

• As funções de cisalhamento e momento podem ser representadasem gráficos denominados

diagramas de força cortante e momento fletor.

• Estes gráficos podem fornecer os valores máximos de V e M; assimos engenheiros podem, por exemplo, decidir onde colocar materiaisde reforço no interior da viga.

Diagramas de força cortante e momento fletor

• Utiliza-se o método das seções para determinar ocarregamento interno de um elemento em um pontoespecífico.

• As funções de cisalhamento e momento fletor devem serdeterminadas para cada região da viga localizada entrequaisquer duas descontinuidades de carregamento.

• Direções positivas indicam que a carga distribuída age parabaixo na viga e a força cortante (V) interna provoca uma rotaçãoem sentido horário; e o momento (M) interno causa compressãonas fibras superiores.

Represente graficamente os diagramas de força cortante e momentofletor para a viga dada.

Exemplo 6.1

x1

x2

Exemplo 6.1

Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura.

Exemplo 6.4

Exemplo 6.4

Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada abaixo.

Exemplo 6.6

Exemplo 6.6

• A seguir serão discutidas as deformações que ocorrem quando uma vigaprismática reta, feita de um material homogêneo, é submetida à flexão.

• Quando um momento fletor é aplicado, as linhas de grade tendem a se distorcer: as longitudinais se tornam curvas e as transversais verticais continuam retas, porém sofrem rotação.

Deformação por flexão de um elemento reto

• A seção transversal de uma viga reta permanece plana quando a viga se deforma por flexão.

• Isso provoca uma tensão de tração de um lado da viga e uma tensão de compressão do outro lado; por consequência, entre essas duas regiões deve existir uma superfície, denominada neutra, na qual não ocorrerá mudança nos comprimentos das fibras longitudinais do material.

Deformação por flexão de um elemento reto

• O eixo longitudinal x, que se encontra no interior da superfície neutra, nãosofre qualquer mudança no comprimento.

• O eixo z, que se encontra no plano da seção transversal e em torno do quala seção transversal gira, é denominado eixo neutro.

• Para mostrar como esta distorção deformará o material, isolaremos umsegmento da viga em x.

• Qualquer segmento de reta x localizado na superfície neutra não muda decomprimento; já s localizado em y acima da linha neutra se contrairá e setornará s` após a deformação; .

• Representando essa deformação em termos de localização y do segmento

e do raio de curvatura do eixo longitudinal do elemento. Visto que

define o ângulo entre os lados da seção transversal:

• Ocorrerá uma contração (-) nas fibras localizadas acima do eixo neutro (+y); e um alongamento (+) nas abaixo (-y).

• Esta variação da deformação na S.T. é mostrada na figura:

A fórmula da flexão

E

Momento de inércia da área da S.T. = I

A fórmula da flexão

• O momento resultante na seção transversal é igual ao momento produzido pela distribuição linear da tensão normal em torno do eixo neutro.

IMy

σ = tensão normal no membroM = momento internoI = momento de inérciay = distância perpendicular do eixo neutro

A fórmula da flexão

Rever:Cálculo do I e localização da linha neutra

A viga simplesmente apoiada tem a área de seção transversal mostrada na figura abaixo. Determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga e represente a distribuição de tensão na seção transversal nessa localização.

Exemplo 6.15

Solução:

O momento máximo interno na viga é . kNm 5,22M

O elemento com seção transversal retangular, Fig.a. Abaixo, foi projetado pararesistir a um momento de 40N.m. Para aumentar sua resistência e rigidez, foiproposta a adição de duas pequenas nervuras em sua parte inferior Fig.b.Determine a tensão normal máxima no elemento para ambos os casos.

Exemplo 6.17

• Vigas construídas de dois ou mais materiais diferentes são denominadas vigas compostas;

Vigas compostas

madeira

concreto

• Para usar a fórmula da flexão é preciso “transformar” a S.T. da viga em uma seção feita de um único material.

• Se considermos que a viga é feita inteiramente do material 2, menos rígido, então a seção transversal será :

Vigas compostas

A altura h da viga permanece amesma, já que a distribuição detensão de deformação deve serpreservada.A porção superior da viga temque ser alargada, de modo apoder suportar uma cargaequivalente à suportada pelomaterial 1, mais rígido.

• Para isso utilizamos:O fator de transformação é uma razão entre os módulos dos diferentes

materiais que compõem a viga.

Vigas compostas

• seção transversal com largura b na viga original deve ser aumentada na largura para b2 = nb na região onde o material está sendo transformado no material 2

Vigas compostas

Se o material 2, menos rígido, for transformado no material 1, mais rígido, a largura do material 2 será b1=n`b, onde n`=E2/E1.• n` será <1, visto que E1>E2.• Precisamos de uma quantidade

menor do material rígido para suportar um determinado momento

• Uma vez determinada a tensão na seção transformada, ela deve ser multiplicada pelo fator de transformação para obter a tensão na viga verdadeira:

Vigas compostas

Uma viga composta é feita de madeira e reforçada com uma tira de aço localizada em sua parte inferior. Ela tem a área de seção transversal mostrada na figura abaixo. Se for submetida a um momento fletor M = 2 kNm, determine a tensão normal nos pontos B e C. Considere Emad = 12 GPa e Eaço = 200 GPa.

Exemplo 6.21