Aula - Distribuição Exponencial

7/24/2019 Aula - Distribuio Exponencial

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EFB803Estatstica

ESCOLA DE ENGENHARIA MAU

EFB803

Distribuio ExponencialAula-1 (2oBim)

Conseguimos apenas calcular probabilidades para valorescontidos em intervalos da reta real;

As probabilidades de ocorrncia dos possveis resultados dosexperimento so determinadas por uma funo contnua (f(x):funo densidade de probabilidade).

Relembrando V.A.s Contnuas

a b

f(x) P(a X b)1) f(x) 0; para qualquer x R;

2) P(a X b) = ;

3) ;


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Uma v.a. X tem distribuio exponencial comparmetro > 0, se sua f.d.p. tem a forma:

Distribuio Exponencial

Assim, calculamos:

k

k

x edxe

k)P(X

contrriocaso0,

0,)(

xseexf

x

uma das principais distribuies de probabilidadesde v.a.s contnuas e bastante utilizada em

confiabilidade de sistemas:


a) vida til de equipamentos;

b) tempos de falha;

c) intervalos entre solicitaes de recursos, etc


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Grfico da funo densidade com alguns valores diferentes de

x

f(x)

0,)( xseexf x

Mdia e Varincia

Para uma varivel X com distribuioexponencial, X ~ Exp(), temos:

1)( XE

2

1)(

XVar

OBS: comum nomear a varivel de interesse de T, uma vezque usual trabalhar com tempo de vida de componentes.


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Exemplo 1

O tempo de durao de um tipo de lmpadaincandescente segue uma distribuio exponencial,com mdia de 800 horas. Calcule a proporo delmpadas que duram:

a) mais do que 2000 horas;

b) menos do que 400 horas;

c) entre 800 e 1600 horas;

Exemplo 1

Seja T = Tempo de durao da lmpada, em horas

800

1800

1)(

TEDo enunciado, temos que:

Dessa forma: 0t,800

1)( 800

1

cometft

a) Proporo de lmpadas que duram mais do que 2000 horas:

0821,0800

1)2000P(T 5,2

2000.800

1

2000

800

1

eedte

t


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b) Proporo de lmpadas que duram menos do que 400 horas:

3935,011)400(1)004P(T 5,0400.

800

1

eeTP

Exemplo 1

c) Proporo de lmpadas que duram entre 800 e 1600 horas:

)1600()800()1600TP(800 TPTP

211600

800

1800

800

1

1600.800.

eeeeee

2325,0

Exemplo 2

O intervalo de tempo (em minutos) entreemisses consecutivas de uma fonte radioativa umav.a. com distribuio exponencial de parmetro 0,2.

Qual a probabilidade de haver emisso em umintervalo inferior a dois minutos?

Seja T = Intervalo de tempo entre as emisses radioativas

Dessa forma: 0t,2,0)( 2,0 cometf t

Temos que T ~ Exp (0,2)


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Exemplo 2

T ~ Exp (0,2)

Qual a probabilidade de haver emisso em um intervalo inferiora dois minutos?

33,011)2(1)2P(T 4,02.2,0 eeTP

Distribuio de Weibull

contrriocaso,0

0,

)(

1 xex

xf

x

Uma v. a. X tem distribuio de Weibull com parmetros e , se asua funo densidade de probabilidade for dada por:

0)(formadeparmetro:

0)(escaladeparmetro:

.

Observe que a distribuio exponencial um caso particular da distribuio deWeibull quando = 1;

Nessa situao, temos uma distribuio exponencial, com parmetro = 1/;

Em geral utilizada em problemas de confiabilidade para modelar o tempo defalha de componentes e sistemas eltricos e/ou mecnicos;

H outra parametrizao, na qual aparece um 3 parmetro, de posio(threshold) e representa um valor abaixo do qual nenhuma falha pode ocorrer;


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Admita que o tempo at que uma venda seja realizadaem uma loja siga um modelo exponencial com mdia de0,2 horas. Qual a probabilidade de uma vendademorar mais de meia hora para ser feita?

Exerccio (1 de 3)

Resp. 8,21%

O tempo de vida (em horas) de um transistor pode serconsiderada uma v.a. com distribuio exponencial comvida mdia de 500 horas. Qual a probabilidade de que

ele dure mais do que a mdia?

Exerccio (2 de 3)

Resp. 36,79%


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Suponha que o tempo de uso decorrido at a quebra deum tipo de componente tenha distribuio exponencialcom mdia de 1900 horas.

a) Qual deve ser a garantia dada pelo fabricante de talmodo que 10% dos componentes quebrem antes dagarantia?

b) Se 6 desses componentes so instalados, qual a

probabilidade de que mais da metade deles quebremaps 1000 horas de uso?

Exerccio (3 de 3)

Resp. a) aprox. 200,2 horas b) aprox. 52,6%

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