Aula Excel

5/17/2018 Aula Excel - slidepdf.com

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Métodos Numéricos para Aplicados a Engenharia Mecânica – Apêndice H livro do FOX

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UMA BREVE REVISÃO DO

EXCEL DA MICROSOFTINSTRODUÇÂO

O programa Excel da Microsoft é uma das diversas planilhas computacionais disponíveis.Todas essas planilhas funcionam de uma maneira muito similar, com pequenas variaç ões de sintaxee de características construtivas, de forma que muito de nossa discussão será diretamente aplicáveltambém a outras aplicações computacionais.

Existem diversas versões do Excel de uso generalizado (por exemplo, Excel XP , Excel 2000 ,Excel 98 e até mesmo o Excel 97 ); nós usaremos o Excel 2000 , novamente com o entendimento deque a maioria das versões de uso corrente são 100% compatíveis, e que a maior parte dos itens domenu não varia de versão para versão.

Nessa breve revisão, nós discutiremos procedimentos básicos tais como criar fórmulas,formatar células, criar gráficos, e assim por diante. A revisão desses fundamentos será resumida epressupõe que você já esteja familiarizado com o ambiente Windows – explicações mais detalhadasestão disponíveis em vários textos, por exemplo, [1] e [2], bem como na Ajuda (Help ) do menu do próprio Excel . Nós avançaremos, então, explorando as potencialidades das ferramentas Atingir Meta (Excel's Goa l Seek ) e Resolvedor (Solver ), e de outras mais sofisticadas e menos utilizadastais como as macros e as funções do usuário utilizando o Editor de Visual Basic do Excel (VBA - Visual Basic for Applications ).

INSTALANDO RECURSOS DO EXCEL

Nós supomos que você já possui o programa computacional Excel instalado em seucomputador pessoal (PC) – ele vem com muitas versões diferentes do Microsoft Office . Caso nãopossua, você pode comprar uma cópia isolada do Excel ou uma versão do Office que inclua oExcel (procure se informar sobre descontos para as versões acadêmicas!); simplesmente siga asinstruções de instalação.

Embora as planilhas computacionais tenham sido desenvolvidas inicialmente para uso emnegócios, para coisas tais como tabular e analisar dados financeiros, elas agora são ferramentascomputacionais poderosas que engenheiros e cientistas utilizam cada vez mais. Como a maioria

dos usuários ainda são "fazedores de contas", a instalação padrão (default ) do Excel não incluialguns recursos úteis para engenheiros e cientistas. (De um modo similar, a instalação padrão doprocessador de texto Microsoft Word não inclui o componente de criação de equaç ão, que no Word é chamado de Editor de Equação .) Como engenheiro, você vai achar utilidade em algumascaracterísticas do Ferramentas de Análise do Excel (Excel’s Analysis Toolpak) , Visual Basic pa ra Aplicações - VBA (Visual Basic for Applications , e nós usaremos o seu Resolvedor (Solver ), de formaque vamos instalá-los. O aplicativo Ferramentas de Análises possui algumas potencialidadesmatemáticas tais como análise de regressão; o VBA é usado para criar funções do usuário ou funções personalizadas (do usuário ou "customizadas"); o Solver será muito útil pa ra resolverequaç ões, otimizar uma função, e assim por diante.

Para instalar estes programas, siga a orientação seguinte:

√ Feche todos os programas.




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√ Sobre o menu Iniciar (Start) do Windows, aponte para Configurações (Settings), e em seguidaclique em Painel de Controle (Control Panel).

√ Clique duas vezes sobre o ícone Adicionar/Remover Programas.

Em seguida, siga uma das instruções seguintes:

° Se você instalou o Excel com o Office , clique em Office sobre a tabela de Instalar/Desinstalar e,em seguida, clique sobre Adicionar/Remover.

° Se você instalou somente o Excel , clique em Excel sobre a tabela de Instalar/Desinstalar e, emseguida, c lique sobre Adicionar/Remover.

√ Uma janela do Windows similar à seguinte aparecerá. Clique sobre Adic ionar ou Remover Recursos.




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√ Uma janela do Windows similar à seguinte aparecerá. Clique no sinal mais ao lado de MicrosoftExcel para Windows para expandir a estrutura da árvore e, em seguida, sobre o sinal ao lado deSuplementos (Add-ins).

√ Uma janela do Windows similar à seguinte aparecerá. Você pode agora selecionar os suplementosque desejar. Comece selecionando Ferramentas de Análise, e escolha com a seta no pequenopainel à esquerda Executar a Partir do Meu Computador (Run from My Computer). Siga asinstruções para instalar o suplemento (você provavelmente necessitará de seu Office ou CD Excel ).Repita esta última etapa para o Resolvedor (Solver), e para qualquer outro suplemento que vocêqueira instalar - um muito útil é o Assistente para Internet VBA (Internet Assistant VBA).




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√ O suplemento deve agora estar disponível na próxima vez que você usar o Excel ; dependendo daversão, você pode ser solicitado a reiniciar o computador logo após a instalação do suplemento.Para prosseguir com essa breve revisão, você deve ter o Excel rodando. A planilha é similar à figuraabaixo:

Note que a sua coleção de ícones pode ser diferente dessa. Você pode ver, ocultar oupersonalizar as coleções de ícones das barras de ferramentas (toolbars ) utilizando o mesmoprocedimento usado para outras aplicaç ões do Office .

FUNDAMENTOS DO EXCEL

O Excel é uma ap licaç ão para manipular e realizar cálculos sobre dados que estão em um

formato de tabela. Originalmente desenvolvido para cálculos financeiros, motivo do formato tabular, o Excel é também uma ferramenta muito poderosa para realizar cálculos de engenharia com dados tabelados ou não.

ENTRANDO COM DADOS NAS CÉLULAS

Para entrar com dados (numéricos ou textos), simplesmente clique sobre uma célula ou use asteclas de seta sobre o teclado para manobrar até a célula de interesse, e escreva os dados. Paraconcluir a entrada, pressione a tec la Enter . Vamos fazer alguns comentários aqui:√

Você pode fazer apenas edição limitada enquanto entra com dados numa célula: Você podeutilizar a tecla Backspace para apagar, mas não pode usar a seta de esquerda para mover paradígitos ou letras anteriores (usando esta ou qualquer outra tecla de seta o cursor sai da célula).√ O Excel reconhece internamente se o conteúdo do uma célula é numérico ou de texto e, comopadrão, a linha o texto à esquerda e os números à direita.√ Espaços não devem ser utilizados na entrada de um número (por exemplo, 123 456) porque o Excel interpretará isso como sendo um texto. Pontos são permitidos (mas não são necessários) (porexemplo, 123.456 ou 123456).

O Excel utilizará um formato de número geral para dados numéricos, por exemplo, 1,23E45 (ou um formato de erro # # # # # # , que pode ser mudado pelo usuário – veja abaixo em comoampliar colunas). A fonte e muitas outras propriedades de formatação de células podem seraplicadas selecionando a célula ou células e usando, em seguida, a barra de Forma tação:




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ou clicando na tecla direita do mouse e escolhendo a opção de formatar célula. Para selecionardiversas células contíguas, simplesmente clique na primeira e arraste sobre as vizinhas com omouse (ou mantenha pressionada a tecla Shift enquanto utiliza as teclas de setas); para células não-contíguas, pressione a tecla Ctrl enquanto seleciona com o mouse as células separadas. Se umtexto é muito grande para ser ajustado dentro de uma célula, ele aparecerá à direita estendida sobre a célula vizinha. Se você tem diversas células vizinhas com dados de texto, o Excel irá exibi-lascomo se e las fossem um conjunto de cartas de baralho. Por exemplo, as palavras Dados em umacélula escritas no interior de três células adjac entes aparecem como:

mas o Excel guarda o conteúdo de cada uma das três células. Existem diversas maneiras dealargar uma célula para exibir o seu conteúdo total – uma é selec ionar a célula ou células e c licarsobre o item do menu Formatar ... Coluna ... AutoFormataç ão .

Uma vez que os dados tenham sido introduzidos em uma célula (isto é, após pressionar atecla Enter ), para editá-los simplesmente clique duas vezes sobre eles, ou selecione a célula epressione F2. Você estará agora no modo editar e pode utilizar as teclas de setas de esquerda e de

direita, as tec las Del e Bac kSpac e , etc ., e finalizar pressionando Enter .

ENTRANDO COM FORMULAS NAS CÉLULAS

O poder real do Excel é a sua habilidade computacional. Isto envolve a criação de fórmulasem células para cálculos automáticos. Como um exemplo, suponha que desejamos calcularqualquer número em qualquer potência (razoável, é claro!), por exemplo, 23, 121,5, e -π, etc. O modomais rudimentar é escrever uma nova fórmula para cada dois novos números. Vamos fazer issoprimeiro. A regra-chave no Excel é que você deve utilizar o sinal de igual (= ) no iníc io de umafórmula para que o Excel reconheça que, naquela célula, está digitada uma fórmula e não umtexto ou um número. Desse modo, para calcular 23, selecione uma célula e digite = 2^ 3 epressione Enter (a operação exponencial é representada por ^ ). O resultado (8) será exibido. Adesvantagem dessa fórmula é que necessitamos reescrevê-la para cada novo cálculo, por exemplo,para 121,5, deveríamos digitar = 12^ 1,5 na mesma célula ou em outra. Um procedimentomelhor é usar fórmulas com referências de c élulas .

Referência de uma célula é simplesmente as coordenadas da célula. Por exemplo, digite 2 na c élula B3 e 3 na célula C3; B3 e C3 são referências de células. Agora, na célula D3, ao invés decalcular 23 digitando = 2^ 3, podemos escrever = B3^ C3. O Excel interpreta esta fórmula como“pegue o c onteúdo da cé lula B3 e eleve-o ao valor da célula C3”, e exibe o resultado após a tecla Enter ser pressionada. Você deve obter o seguinte:

Temos, assim, uma planilha “viva” – nós podemos digitar novos números no interior das célulasB3 e C3 e ter o resultado imediatamente após pressionar Enter , (por exemplo, 12 em B3 e 1,5 em C3 produz 41,56922 em D3).

Escrever fórmulas com referências de células pode ser tedioso e produzir erros, especialmentequando existem muitas referências. Uma técnica muito útil é iniciar a criação de uma fórmula com

o sinal = e, ao invés de escrever uma referência de célula, utilizar o mouse para clicar sobre acélula que você deseja referenciar. Enquanto você não pressionar Enter , o Excel permanecerá nessemodo de criação de fórmula, e você pode continuar digitando o restante da fórmula, utilizando




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seguidamente o mouse para clicar sobre células adicionais enquanto constrói a fórmula. Porexemplo, nós podemos selecionar a célula D3 e substituir o seu c onteúdo atual digitando = , clicandoem seguida com o mouse sobre a c élula B3, digitando ^ , clicando com o mouse sobre a célula C3 e, finalmente, pressionando a tecla Enter (você pode também utilizar as teclas de setas para essetipo de construção de fórmulas).

Esse é obviamente um exemplo trivial, porém planilhas muito complexas podem serdesenvolvidas nas quais temos múltiplas fórmulas com múltiplas referências de células. Além disso,uma pasta de trabalho do Excel pode ter múltiplas planilhas, conforme indicado na pequena

tabela no canto inferior esquerdo da planilha em uso (e você pode adicionar outras, renomear,e assim por diante):

Uma fórmula sobre uma planilha pode conter referências de células que estão em outrasplanilhas. Para fazer isto, você deve iniciar criando a fórmula e, quando você necessitar referenciaruma célula de outra planilha, ainda no modo de criação de fórmula , clique sobre o nome da planilha na tabela e, em seguida, na célula, e continue digitando a fórmula.

Nós podemos copiar e colar células usando qualquer uma das técnicas corriqueiras doWindows tais como os itens Copiar e Colar do m enu, o botão direito do mouse , etc., ou um dos métodos adicionais do Excel [1], [2]. Quando nós copiamos e colamos uma célula contendo umafórmula, nós devemos estar atentos sobre como o Excel interpreta a colagem. O Excel copia a lógica da fórmula, não as referências específicas da célula . Por exemplo, se copiarmos a célula D3 ea colarmos sobre a célula D5, nós obteremos (dependendo do algo ma is que você fez naplanilha), 0 ou # NUM!, ou algum outro resultado, mas não 8! Se você clicar sobre a célula D5 paraver a fórmula, você verá que no lugar da fórmula original = B3^ C3 está = B5^ C5. O Excel copiou alógica, que neste caso é “ peg ue o conteúdo da célula posicionada duas c élula s à esquerda e

eleve-o à potência do conteúdo da célula posicionada uma célula à esquerda ” – o que nesseexemplo não calcula nada pois nas células B5 e C5 nós temos zeros atualmente, e 00 é indefinido.Você só começa a obter resultados com sentido após digitar números nas células B5 e C5.

Em muitos casos, nós queremos esse tipo de colagem. Por exemplo, suponha que desejamos

calcular a massa de ar em um recipiente quando o ar é pressurizado em uma faixa de pressões. Afórmula para isso é:

onde p é a pressão, ∀ é o volume do recipiente, T é a temperatura absoluta do ar, e R = 287 J/kg⋅Ké a constante do ar. Admita ∀ = 1 m 3, T = 20ºC = 293K, e que p varia de 10 a 100 kPa em passosde 10 kPa. Portanto,

Nesta fórmula, p é a pressão em Pa e m será a massa em kg.Nós podemos iniciar uma nova planilha (por exemplo, clicando sobre o ícone "Novo" no topo

esquerdo na barra de ferram entas ou utilizando o item do menu Arquivo ...Novo), escrevercabeçalhos para pressão e massa em colunas distintas, e entrar com os dados de pressão (noteque existem maneiras no Excel para preencher automaticamente na seqüência de p , que fizemosalguma formatação na planilha, e que adicionamos bordas usando o ícone "Bordas" situado mais à esquerda na barra de ferramentas):




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Agora nós podemos criar a Eq. H.2 na célula C4, para a massa referente à primeira pressão: A

fórmula deve ser = 1/287/293*B4. (Note que o Excel segue a convenção de precedências de operações para potenciação, seguida de multiplicação/divisão, seguida de adição/subtração,etc.) Nós poderíamos, então, criar fórmulas similares para as outras células; por exemplo, a célula C5 deveria conter = 1/287/293*B5. Um procedimento mais rápido e seguro é simplesmente copiar acélula C4 sobre as células de C5 a C13. O resultado é (após formatação):

Nós acabamos de introduzir o que é chamado de idéia de referência relativa – areferência é para uma célula relativa à célula contendo a fórmula. Algumas vezes nós queremos issoao invés de uma referência absoluta . Esta, por sua vez, é uma referência a uma célula fixa, demodo que se a fórmula é copiada para uma outra célula a referência não muda. Um exemplo noqual isso seria desejável é o seguinte: Suponha que queremos estar aptos à repetir os cálculosprecedentes para uma temperatura e/ou um volume de recipiente diferentes. Queremos ter célulascontendo esses dados de forma que possamos modificá-los facilmente. Vamos colocá-los nas

células E4 e F4 (com títulos – você consegue c riar “m3

”?):




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Necessitamos, então, da seguinte fórmula na célula C4 (correspondente a Eq. H.1):= B4*E4/287/F4. O problema agora é que, se copiarmos esta fórmula para outras células nas colunasda massa, nós teremos erros (tente isso, em seguida clique no ícone Desfazer ou em Editar seguido de Desfazer Colar!): A lógica da fórmula diz que cada célula deve obter os dados devolume e temperatura, respectivamente, em duas e três células imediatamente à direita; porexemplo, a fórmula da célula C5 quando colada seria = B5*E5/287/F5. A referência a B5 (a pressão)está correta, porém E5 e F5 referem-se à células em branco! O que queremos ter na célula C5 é= B5*E4/287/F4, isto é, nós queremos copiar e colar nossa fórmula, porém sem variar a parteE4/287/F4. Para fazer isso, devemos tornar essas referências absolutas. Antes de copiar nossa célulaoriginal C4, nós a editamos (por exemplo, clicando duas vezes sobre ela) e colocamos o sinal $ como segue: = B4*$E$4/287/$F$4. O Excel entende que qualquer referência de célula tendo o sinal

$ à sua frente é absoluta, e não faz mudanças quando ela é

copiada e colada. Note que E4, porexemplo, tem dois sinais $, de maneira que nem E nem 4 mudarão (note que, nesse exemplo específico, E não muda mesmo, portanto não seria necessário colocar o sinal $ antes dele, apenas antes do 4). Se essa fórmula for copiada e c olada em seguida sobre a c oluna da massa,nós teremos os resultados corretos: Cada cálculo busca o valor da pressão na célula à esquerda imediata, e o volume e a temperatura nas células E4 e E5, respectivamente. Nós podemos agoravariar a temperatura para, digamos, 100ºC = 373 K, e obter novos dados (não se preocupe c om ocírculo e o quadrado mostrados na figura seguinte – nós vamos discuti-los em breve):




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Note que o Excel criará automaticamente os sinais $ em uma referência, se voc ê p ressionar atecla F4 durante a edição ou a criação da fórmula.

Nosso último comentário sobre criação de fórmula é que o Excel tem muitas funções matemáticas previamente construídas internamente, mas você precisa usar a sintaxe e aescrita corretas. Por exemplo, para criar 2π , você deve digitar 2*pi(). Muitas funções sãoóbvias; por exemplo, para obter sen(π /4), digite sen(pi()/4); outras não (como o próprio π !). Note que funções trigonométricas no Excel usam argumentos em radianos por padrão

(default ).Você pode procurar por funções enquanto cria uma fórmula, clicando sobre o ícone

Colar Função (marcado com um círculo na imagem anterior da planilha) ou acessando o itemInserir...Função do menu para obter este útil janela:

Vamos ver agora como obter gráficos com os dados calculados.

CRIANDO GRÁFICOS

O Excel possui recursos gráficos poderosos. Existem diversas maneiras de acessá-los, mas

o procedimento principal é selecionar os dados e em seguida ir para o modo gráfico, ou vice-versa. Ambos os procedimentos funcionam, mas os iniciantes provavelmente acharão mais fáciliniciar o modo gráfico antes de ter selecionado os dados. Assim como em toda aplicação doWindows, existem várias maneiras de realizar uma ação no Excel ; neste caso, a mais simples éclicar sobre o ícone Assistente de Gráfico (marcado com um quadrado na imagem anteriorda planilha). Fazendo isto, obtemos a primeira de quatro janelas auto-explicativas:

Na maioria das vezes, engenheiros traçam gráficos x - y usando XY (Dispersão) (não Linha,que força os dados a aparecerem uniformemente sobre o eixo x !). Não há nada a visualizarainda, portanto clique sobre Avançar para obter:




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Clique sobre Intervalo de Dados e então arraste a janela inteira de modo a visualizar aplanilha e selec ionar a faixa de dados (ou, alternativamente, clique sobre o pequeno ícone àdireita em Intervalo de Dados para ir diretamente para a planilha); selecione as células

contendo os dados (células B4 e C13); e prossiga com o resto das etapas. O resultado é umgráfico semelhante à este:

Ele não está muito interessante! Podem os melhorá-lo bastante, personalizando otracejado, adicionando títulos, etc. Para fazer isso, podemos clicar com o botão direito domouse sobre qualquer característica do gráfico (por exemplo, um ponto de dado) para abrirum menu de opções, e podemos também usar o item Formatar...Gráfico do menu ou aindaos ícones da barra de ferramentas de Gráfico, para chegar a algo como:

Acabamos de criar um gráfico básico x - y : o Excel pode criar tipos sofisticados degráficos tais com o barras, pizza, rada r e superfíc ie. Além d isso, o gráfico pode ser usado para

ajustar uma curva à dados experimentais. Nós não faremos isso aqui, mas o procedimentoenvolve: traçar o gráfico x - y dos dados; clicar com o botão direito do mouse sobre um pontoqualquer da curva para obter um menu que inclui Adic ionar Linha d e Tendência...; selecionareste item (faz aparecer uma janela como essa mostrada a seguir); escolher o tipo de curva




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(Linear, Logarítmica, etc.) e especificar opções na janela de Opções; clicar OK e observar osresultados.

Concluímos aqui a nossa introdução básica. À medida que você usar o Excel , vocêdescobrirá muitos recursos interessantes para atender suas necessidades. O item de Ajuda nomenu e o ícone Assistente do Office na barra de ferramentas podem ajudá-lo a descobriresses recursos.

Mencionaremos ainda um recurso final para ilustrar a utilidade de alguns deles. Nós járealizamos o procedimento de copiar e colar uma fórmula de uma célula única para umacoluna usando as técnicas convencionais de copiar e colar do Windows. O Excel tem um"atalho" ad icional conveniente para isso: Simplesmente clique uma vez sobre a célula a sercopiada , em seguida mova cursor (sem c licar) sobre o canto inferior direito da célula até queo ponteiro do Excel mude para + (uma cruz em negrito e não uma cruz cheia!); você podeentão pressionar o botão esquerdo do mouse e arrastar para baixo uma coluna (ou um blocode células) para imediatamente copiar o conteúdo da célula. Mesmo que você tenha duasou mais células com conteúdos que fazem uma seqüência (por exemplo, 12, 24, ou Jan,Fev), você pode selec ioná-las e mover o cursor para o canto inferior direito para obter a c ruz(+ ) e finalmente arrastar pa ra baixo ou de lado; o Excel preencherá as células marcadas coma cópia da seqüência (por exemplo, 36, 48, ....etc., ou Mar, Abr,....etc.!).

FERRAMENTAS MAIS AVANÇADAS

O Excel possui vários ferramentas mais avançadas. Vamos considerar algumas delas:Atingir Meta , Solver , uso de macros, e criação de funções personalizadas.Atingir Meta e Solver

Muitos problemas de engenharia acabam em uma equação ou em equações a seremresolvidas. Em alguns casos, a equação ou equações não têm solução direta (analítica), e nósprecisam os usar técnicas numéricas para obter uma solução aproximada. Por exemplo,suponha que desejamos resolver a seguinte equação para x :

Nós não podemos resolvê-la explicitamente para x . No entanto, podemos fazer

sucessivas estimativas para x até convergir para uma solução, ou podemos usar um dosdiversos métodos clássicos para convergir para uma solução de um modo mais sistematizado.A maioria das calculadoras científicas, e certamente todas as planilhas de cálculo, incluindo oExcel , também têm técnicas de solução construídas internamente.




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Para usar a ferramenta Atingir Meta do Excel , nós prec isamos primeiro converter a Eq. H.3 emuma função cuja raiz queremos encontrar:

O problema torna-se, então, encontrar a raiz (ou raízes) de f (x ). Embora não sejanecessário para o uso de Atingir Meta , o melhor procedimento é traçar primeiro um gráfico da

função sobre uma faixa de valores de x para ver os locais das raízes. Após algumas tentativascom faixas de x , nós obtemos usando o Excel ,

Pelo gráfico, existem raízes aproximadamente em x = -0,8 e x = 1,4. Queremosrespostas mais precisas, no entanto. Para usar Atingir Meta , construa uma outra tabelacontendo um único par de valores x , f (x ).

Note que a célula B23 contém 0,0, uma estimativa inicial arbitrária da raiz, e a célula

C23 contém a fórmula = EXP(B23/2)-B23^ 2. Atingir Meta é acessado usando o item do menuFerramentas....Atingir Meta....que faz aparecer a seguinte caixa de diálogo:

Esta caixa de diálogo é quase auto-explicativa: No espaço de Definir célula deve entrara referência da célula da equação para a qual desejamos encontrar uma raiz (C23); cliquesobre o espaço de Para valor e digite 0; clique sobre o espaço de Variando célula e, em




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seguida, sobre a célula de x , cujo valor queremos variar para encontrar a raiz (nesse exemplo,B23); clique OK. Se o Excel puder encontrar a raiz, uma pequena janela como esta aparece:

e, nesse exemplo, temos:

Nós podemos repetir esse processo digitando um outro valor estimado pare x (tente 1)para encontrar a segunda solução (x = 1,4296). Ao usar esse m étodo, você às vezes tem quetentar diversos valores estimados de maneira a encontrar todas as raízes (nesse exemplo, existeuma terceira raiz....você é capaz de encontrá-la?) - e, é claro, como todo métodomatemático, às vezes ele simplesmente falha.

Note que podemos usar também Atingir Meta para encontrar um x para o qual f (x )atinge um valor dado. Por exemplo, qual valor de x faz f (x ) = 2?Atingir Meta é fácil e rápido. Uma ferramenta mais poderosa é Solver que é acessada usandoo item do menu Ferramentas....Solver.... e faz aparecer a seguinte caixa de diálogo:

Assim como para Atingir Meta , nós podemos também selecionar uma célula de x quepermitirá ao Excel variar seu valor de modo a fazer com que a célula da fórmula conectada f (x ) atinja um certo valor - porém nós podemos fazer muito mais! Nós podemos√ Encontrar o mínimo ou máximo de f (x ).√ Encontrar as raízes (ou qualquer outro valor) de uma função de mais de uma variável, porexemplo, f (x , y ), f (x , y ,z ), etc.√ Fazer tudo acima aplicando restrições, por exemplo, para x > 2 e y < x 2.A janela é bem auto-explica tiva, de modo que não entraremos em deta lhes sobre ela. Nósdemonstraremos seu uso encontrando o máximo de nossa função f (x ) na Eq. H.4, cujo gráfico já foi apresentado. No espaç o de Definir célula de destino deve entrar a referência da célulada equação C23; em Igual para selecione Max; clique sobre o espaço de Células Variáveise, em seguida, sobre a célula B23; clique sobre Resolver. O Excel fornece então:




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Finalmente, vamos considerar um exemplo de duas variáveis:

Suponha que desejamos encontrar o mínimo desta função. Podemos abrir uma novaplanilha com células para x e y (valores iniciais estimados em 0) e com uma célula defórmula (na planilha a seguir a fórmula é = B3^ 2-6*B3+ C3^ 2-5):

Agora, tudo que precisamos fazer é usar o Solver com as seguintes informações:

A solução é que f (x,y ) tem um valor mínimo de -14 para x = 3 e y = 0.

MACROS Uma macro nada mais é do que um conjunto de instruções para automatizar uma

seqüência de ações no Excel (ou no Word , ou em vários outros aplicativos). Ilustraremos o usode macros considerando um exemplo um pouco mais complicado, mas muito útil nocontexto: Nós criaremos uma p lanilha de trabalho que pode ser fac ilmente usada para avaliarnumericam ente uma integral definida. A fórmula da Regra de Simpson será usada comoaproximação da integral definida:




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onde N (que deve ser par) é o número de segmentos de tamanho ∆xb a

N =

−, que é o

tamanho da divisão do intervalo (b - a ), e x 0 = a com x x xi i+ = +1 ∆ , levando a x N = b .Dentro de limites, a exatidão da avaliação aumenta com N . Para uma boa verificação, nósgostaríamos que a planilha de trabalho avaliasse automaticamente a integral para N = 10, 20,40 e 60 segmentos.

Antes de automatizar essa tarefa com uma macro para uso com uma integral arbitrária,

vamos ver como criar tal planilha para uma integral específica, desde o início. Suponha quequeremos avaliar numericamente o seguinte:

É óbvio que podemos facilmente avaliar esta integral analiticamente e encontrar I = 2; estevalor será usado para testar se a planilha de trabalho está funcionando ou não. A seguinte imagemda planilha mostra os cálculos para N = 10, e parte dos cálculos para os outros valores de N :

Vamos discutir em detalhes a construção dos cálculos para N = 10 (os outros são muitosimilares). Na célula C4 é calculado o valor de ∆x : a célula contém a fórmula = pi()/10. O primeirovalor de x é gerado entrando com o limite inferior de integração (0), e os outros valores de x sãocriados com fórmulas que adicionam ∆x a cada valor anterior de x ; por exemplo, a célula C8 tem= C7+ $C$4. A coluna de f (x ) contém a fórmula do integrando, admitindo que x está na célula àesquerda imediata; por exemplo, a célula D7 contém = sen(C7). A coluna de w contém os “pesos”

1,4,2,4,2...4,1 usados na Eq. H.5, e a coluna de Prod . Contém os produtos das colunas de f (x ) e de w (por exemplo, a célula F7 contém a fórmula = SOMA(F7:F17), e isto é a série entre colchetes na Eq.H.5. Finalmente, a integra I é dada na célula D21 (ela contém a fórmula = C4/3*F18). O valor obtidopara a integral, 2,00011, é muito próximo do valor exato 2.




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Todo esse proc edimento nec essita ser feito para os outros cálculos, pa ra N = 20,40 e 60 (commudanças óbvias, tais como o cálculo de ∆x ). Seus quatro valores de I para a Eq. H.6 devemconcordar muito bem com o valor exato (2).

Nós, agora, desejamos modificar a pasta de trabalho para que possamos avaliar outrasintegrais (diferentes integrandos e limites de integração).

Primeiro, nós podemos organizar a pasta toda, guardando esses cálculos numa planilha detrabalho secundária “Calculations” (clique duas vezes no mostrador de títulos das planilhas para editarseu nome; clique e arraste o mostrador da planilha para movimentar a planilha de trabalho), e crie

uma planilha am igável “Results” conforme mostrado abaixo:

Nesta planilha, nós entramos com a fórmula para o integrando, admitindo que x está nacélula à esquerda imediata (no presente caso = sen(C6)), e os limites inferior e superior de integraç ão,

conforme mostrado. A planilha Calculations deve ser modificada de maneira que ∆x nos quatrolocais seja agora calculado automaticamente a partir dos limites digitados na planilha Results (porexemplo, a célula C4 contém agora = (Results!D11-Results!D10)/10), e o primeiro valor de x em cadacoluna é calculado agora a partir do limite inferior de integração (essas células contêm a fórmula= Results!D10).

A pasta de trabalho está então quase terminada. Para usá-la na avaliação da integral, nósdevemos copiar a fórmula para f (x ) na célula C6 a partir da planilha Results e colá-la nas quatrocolunas de f (x ) da planilha Calculations . Finalmente, as quatro células na planilha Results mostrandoos resultados da integração contêm fórmulas para buscar esses resultados na planilha Calculations (por exemplo, a célula F15 contém a fórmula = Calculations!D21). Se tudo estiver como planejado,as quatro avaliações aparecem conforme mostrado na figura anterior.

Levou um certo tempo, mas temos agora uma pasta de trabalho personalizada paraavaliação numérica de integrais definidas! A pasta é muito fácil de ser usada na avaliação de umaintegral. Basta seguir as etapas a seguir:




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1. Entrar com a fórmula do integrando na célula D6 da planilha Results , admitindo que x vaiestar à esquerda imediata.2. Entrar com os limites inferior e superior.3. Copiar a fórmula na célula D6 para as quatro colunas de f (x ) na planilha Calculations , e retornarpara a planilha Results para ver as respostas.

Você pode verificar se esse procedimento funciona corretamente, tentando avaliar a seguinteintegra

l:

Voc ê deve obter os seguintes resultados (o resultado exato é e – 2= 0,71828):

10 segmentos: 0,7183020 segmentos: 0,7182840 segmentos: 0,7182860 segmentos: 0,71828

Nós agora estamos prontos (finalmente!) para ver como se usa uma macro para automatizaresse procedimento. As etapas 1 e 2 são diretas, mas a etapa 3, envolvendo várias ações de copiar ecolar de uma planilha para outra, é tediosa e sujeita à erro. Podemos automatizar essa etapa criandoalgum c ódigo em Visual Basic . Se você está familiarizado com o Visual Basic , você pode escrever seupróprio código, mas o Excel tem um aplicativo interno de gravação de macro que gerará o códigopara você. A idéia é que você acesse o modo de gravação de macro, em seguida implementeexatamente as ações que você deseja gravar para realizar a tarefa e, finalmente, saia do modo degravação. Vamos fazer isso então.

Acesse o item do menu Ferramentas...Macro...Gravar Nova Macro...para obter a seguinte janela:

Você pode digitar um nome para a macro (por exemplo, Integração ) e até mesmo atribuiruma tecla de a talho (tal com o Ctrl + i), e c licar em OK em seguida. Você estará então em um modode gravaç ão de macro, como indicado no m ostrador inferior à esquerda na tela:

Você deve ser cuidadoso agora, porque cada ação será gravada! Selecione a célula D6sobre a planilha Results e copie (tente Ctrl + C); ac ione a planilha Calculations , selecione a colunade f (x ) para N = 10 e cole (tente Ctrl + V); selec ione cada uma das outras colunas de f (x ) e c ole; parafinalizar na planilha Results , clique sobre ela em uma célula conveniente, por exemplo, a célula D10




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do limite inferior. Pare então a gravação, selecionando o item do menu Ferramentas... Macro...Parar de Gravar... Temos enfim nossa macro! Seu código deve assemelhar-se à seqüência decomandos mostrados na figura a seguir (para vê-lo, use o item do menu Ferramentas...Mac ro... Macros... selecione Integração e clique em Editar ; feche a janela após a ação):

O código é quase auto-explicativo e mostra as etapas usadas para realizar nossa tarefa.Se você c ometer um erro de procedimento, você pode simplesmente parar a gravaç ão e usaro item do menu Ferramentas...Macro...Macros... onde a mac ro corrente pode ser exc luída euma outra reiniciada.

Como usar essa macro? Sempre que nós entramos com um novo integrando na célulaD6 da planilha Results , nós podemos rodar a macro selecionando-a através do item do menuFerramentas... Macro... Macros... e clicando em Executar . A macro fará automaticamente todasas ações de copiar e colar! Um procedimento mais conveniente é usar a combinação deteclas de atalho previamente atribuída para rodar a macro (o código criado roda sempre queCtrl + i, nesse exemplo, é digitado). Uma idéia ainda melhor é criar um objeto tal com o umafigura ou uma peça de texto do WordArt (clique os itens Inserir...Objeto.... e escolha WordArt );nesse item, nós podemos então selecionar Atribuir Macro... e associar nossa macro aoobjeto. Assim, sempre que você c licar sobre o objeto (por exemplo, INTEGRATE!)a macro seráexecutada!

Antes de finalizar esse exemplo, é importante acrescentar que nós podemos proteger as

planilhas Results e Calculations (após desbloquear as células você estará apto a copiar e colar,ou a entrar com dados!) para impedir que um futuro usuário possa modificar ou causar danosàs nossas planilhas e ao nosso código, ocultar linhas de grades, etc... e obter no final algocomo mostrado na imagem seguinte da planilha. Para usar essa planilha de trabalho, nósdevemos seguir as seguintes etapas:




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1.Entrar com a fórmula do integrando na célula D6, admitindo que x está à esquerdaimediata.

2. Entrar com os limites inferior e superior.3. Clicar sobre o ícone "Integrate!" (ou digitar as teclas de a talho, por exemplo Ctrl + i,

se elas tiverem sido criadas).O usuário não precisa se preocupar com os procedimentos complicados de copiar e

colar, e tem um integrador muito conveniente! A maioria das fórmulas é interpretadadiretamente pela biblioteca do Excel , e as cópias e colagens necessárias são realizadas pela

nossa macro.

Nesse exemplo, nós vimos como criar uma macro simples. O potencial das macros éóbvio - nós podemos incluir geração automática de gráficos, salvamento de arquivos, etc. -

de fato, virtualmente qualquer ação que você pode realizar no Excel pode ser gravada eautomatizada dentro de uma macro.

FUNÇÃO PERSONALIZADAS

O Excel vem com uma biblioteca de funções úteis, incluindo muitas funçõesmatemáticas, lógicas, de base de dados, e estatísticas. Para ver a lista de funções disponíveis,clique em Inserir...Função... (ou clique sobre o ícone Colar Função discutido anteriormente)para obter uma janela como a seguinte:




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Note que nós deslocamos o cursor até funções de Engenharia (não disponível emalgumas versões do Excel ), onde a Microsoft dec idiu implementar não só funções óbviasorientadas para engenharia tais como CONVERT (número, de_ unidade, para_unidade) (para

realizar conversões de unidades tais como lb para kg ), mas também coisas como matemáticacomplexa e funções avançadas como as de Bessel - o grupo do Excel Matemática eTrigonométrica não contém esses dois últimos itens, mas traz outros igualmente avançados taiscomo as funções hiperbólicas! Ao procurar por uma função do Excel , é uma boa idéiapesquisar na opção Todas para evitar uma falha acidental na busca de uma funçãodisponível.

Mesmo com essa expressiva coleção de funções, haverá ocasiões em que você poderáquerer definir a sua própria função. Isto pode facilmente realizado no Excel . Ilustraremos o método dedefinição de uma função personalizada, considerando o exemplo seguinte. Suponha que desejamoscalcular o fator de atrito f para um problema de escoamento em tubo:

onde ε é a rugosidade relativa do tubo e Re é o número de Reynolds do escoamento. Se Re < 2300,o cálculo é simples; para Re ≥ 2300, temos um pequeno problema, porque f está implícito na Eq.H.7b. Para resolvê-lo, necessitamos iteragir – dados ε e Re , nós estimamos um valor inicial para f (porexemplo, 1) na expressão no lado direito do sinal de igualdade na equação, e c alculamos um novovalor de f no lado esquerdo. Este valor é realimentado no lado direito, e o processo de cálculo é

repetido até atingir a convergência com a precisão desejada, por exemplo,3

novo

anteriornovo10

- −≤f

f f ou variação de ±0,1% em f .

Vamos definir uma função no Excel que calcule f a partir de valores dados de ε e Re , usando a Eq.H.7a ou a Eq. H.7b conforme necessário. (Note que nós podemos simplesmente definir uma funçãoque resolva a Eq. H.7b e, em seguida, usar uma célula contendo uma função If (Se) para decidir qualequação usar, porém é mais interessante definir uma função que incorpore ambas as equaçõesautomaticamente.)

No Excel , nós usam os seu editor de Visual Basic para escrever o c ódigo para uma função. Paraacessá-lo, use o item do menu Ferramentas...Macro...Editor do Visual Basic para obter uma janela

semelhante a esta:




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Note que sua janela pode ser ligeiramente diferente, mostrando mais ou menos sub-janelas –você pode tornar uma sub-janela visível ou não usando o item Exibir do menu. Você pode não teruma sub-janela Módulo visível – se não tiver, crie um módulo (uma área de armazenamento para ocódigo) usando o item do m enu Inserir...Módulo .

Agora, nós precisamos criar o código para calcular f a partir da Eq. H.7a ou H.7b. Um possívelfluxograma para a lógica dos cálculos é:




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Note que existem duas caixas de decisão: a primeira é óbvia; a segunda envolve iteração naEq. H.7b até que a convergência seja alcançada. Neste caso, deixaremos iteragir até que avariação em f seja inferior a 0,1%.

Vamos escrever o código de Visual Basic para esse fluxograma. Nessa introdução, nãopodemos discutir em detalhes a sintaxe e a gramática do Visua l Basic que devemos usar para realizaras tarefas descritas no fluxograma, mas existem vários textos sobre isso, por exemplo, [3]. O códigoque nós necessitamos é apresentado em seguida, e você pode então transcrevê-lo para a sub- janela de módulo (observe que, quando a primeira linha é digitada, o mostrador contendo

Declaração muda para f, nossa nova função):

O código funciona da seguinte maneira:

√ Primeiramente realiza o teste do número de Reynolds.√ Se Re < 2300, calcula f a partir da Eq. H.7a e vai para o final da função.√ Se Re ≥ 2300, vai para a linha de Else e define o erro (Er) e os valores iniciais para f n (oldf) e ∆f (deltaf), o erro entre sucessivos valores de f . Entre as linhas de Do While e de Loop, iteraje paraconvergir pa ra um valor mais exato de f . Para c ada iteraç ão:o Calcula um valor para f n + 1 (newf) a partir do valor corrente de f n e dos valores de Re e ε (representados por Re e e, respectivamente). [Note que multiplicamos o logaritmo por 0,434294482,porque o Visual Basic trata Log como um log natural, de modo que convertemos para a base 10multiplicando por log(10)/ln(10).]o Em seguida, calcula a variação ∆f (deltaf) no valor de f , e a tualiza o valor de f .o Finalmente, retorna para a linha do Do While para realizar o teste de convergência: Se

0010∆ ,f f ≥ , repete a iteração; se 0010∆ ,f f < , finaliza a iteração e sai com o valor de f .Podemos, agora, fec har a janela do Visual Basic e retornar para a planilha. Temos, então, uma

nova função f que calcula a Eq. H.7a ou a Eq. H.7b de acordo com o número de Reynolds! Podemostestar a função para escoamentos laminar (Re < 2300) e turbulento (Re ≥ 2300), por exemplo, algocomo:




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O procedimento que acabamos de delinear mostrou como criar uma função do usuário noExcel . Nós demonstram os isso com uma função ligeiram ente complicada – Eqs. H.7a e H.7b, comduas ramificações de decisão necessárias – mas o procedimento pode obviamente ser usado paradefinir funções mais simples ou outras de extrema complexidade.

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