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Aula: Fatorial e binomial
BINOMIAIS
E
TRIÂNGULO DE PASCAL
Professora: Adriana Massucci
Fatorial e binomial
Fatorial de um número inteiro e não negativo n se define como sendo a expressão:
Indicação: n! (n fatorial)
Exemplos:
a) 2! = 2 . 1 = 2
b) 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
c) 8! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40.320
n! = n(n – 1) . (n – 2) . (n – 3) . (n – 4) ... 2 . 1
Observações:
Definimos: 0! = 1 e 1! = 1
Convém notar que:
7! = 7 . 6!
9! = 9 . 8 . 7!
n! = n . (n – 1)!
(n + 1)! = (n + 1) . n!
(n – 2)! = (n – 2) . (n – 3)!
Podemos desenvolver o fatorial até que ele se torne conveniente para resolvermos um exercício.
Exemplos:
1) Simplifique as expressões:
𝑎)7!
5!=
7.6.5!
5!= 42
𝑏) 𝑛!
𝑛 − 2 !=
𝑛. 𝑛 − 1 . 𝑛 − 2 !
𝑛 − 2 != 𝑛. (𝑛 − 1)
𝑐)𝑛! − 𝑛 + 1 !
𝑛 − 1 !=
𝑛. 𝑛 − 1 ! − 𝑛 + 1 . 𝑛. 𝑛 − 1 !
𝑛 − 1 !
𝑂𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒 𝑞𝑢𝑒:𝑛 𝑛 − 1 !
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑚
− 𝑛 + 1 . 𝑛. 𝑛 − 1 !
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑚
𝑛 − 1 !
𝐸𝑛𝑡ã𝑜: 𝑛 𝑛 − 1 !. 1 − (𝑛 + 1)
𝑛 − 1 != 𝑛. −𝑛 = −𝑛2
Equações:
Resolva as equações:
𝑎) 𝑛! = 24
Solução:
𝑛! = 4! ∎𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠: 24! 𝑒𝑚 4! 𝑛 = 4 𝑉 = 4
Ainda em equações...
𝑏) 𝑛 − 1 ! = 10. 𝑛 − 2 !
Solução: 𝑛 − 1 . 𝑛 − 2 ! = 10 𝑛 − 2 ! 𝑛 − 1 = 10
𝑛 = 11
𝑉 = 11
Números binomiais
Número binomial é todo número na forma:
𝑛𝑝 =
𝑛!
𝑝! 𝑛 − 𝑝 ! 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜: 𝑛, 𝑝 ∈ 𝑁 𝑒 0 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛)
Obs.: n é o numerador do binomial e p é o denominador.
Exemplo: 73
=7!
3! 7−3 !=
7!
3!.4!=
7.6.5.4!
3.2.1.4!= 7.5 = 35
Binomais importantes:
𝑛0
=𝑛!
0!.(𝑛−0)!=
𝑛!
0!.𝑛!=
1
1= 1
𝑛𝑛
=𝑛!
𝑛!. 𝑛−𝑛 !=
𝑛!
𝑛!0!= 1
𝑛1
=𝑛!
1!. 𝑛−1 !=
𝑛.(𝑛−1)!
1! 𝑛−1 !=
𝑛
1= 𝑛
Exemplos: 50
= 1 71
= 7 88
= 1
Binomiais consecutivos:
Dois binomiais são consecutivos se têm o mesmo numerador e denominadores consecutivos. Ou seja:
𝑛
𝑝 e
𝑛
𝑝 + 1⇒ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠
Exemplos: 72
𝑒 73
𝑜𝑢 81
𝑒 82
.
Propriedades:
Relação de Stifel: a soma de dois binomiais consecutivos resulta num binomial cujo numerador é uma unidade maior que o numerador dos binomiais somados, e cujo denominador é o maior dos denominadores envolvidos na soma.
𝑛
𝑝+
𝑛
𝑝 + 1=
𝑛 + 1
𝑝 + 1
Exemplo: 84
+ 85
= 95
Ainda em propriedades...
Igualdade: dois binomiais são iguais quando:
o São “exatamente” iguais: 𝑛𝑝
= 𝑛𝑝
. Ex: 53
e 53
o São complementares: Dois binomiais de mesmo numerador são complementares se a soma de seus denominadores resulta o numerador. Ex: 7
2 e 7
5.
Pois:
7
2=
7!
2!. 7 − 2 !=
𝟕!
𝟐!. 𝟓! 𝑒
7
5=
7!
5!. 7 − 5 !=
𝟕!
𝟓!. 𝟐!
Exercícios:
1. Simplifique a expressão:
15
4+
15
5+
16
6+
17
7
16
5+
16
6+
17
7
17
6+
17
7
18
7
2. Calcule x nas equações:
𝑎) 10
𝑥=
9
2+
9
3
𝑏)10
5+
10
𝑥=
11
6
R: a) x = 3 ou x = 7 b) x = 6
Triângulo de Pascal
Quando expomos os
binomiais 𝑛𝑝
em
linhas e colunas, de modo que os de mesmo numerador fiquem em uma mesma linha e os de mesmo denominador fiquem em uma mesma coluna, estamos construindo o triângulo de Pascal:
Analisando os valores dos binomiais no△:
Substituindo-se cada elemento do triângulo pelo seu resultado, o triângulo fica assim:
Propriedades do △:
O primeiro elemento de cada linha é na forma 𝑛0
,
logo é igual a 1;
O último elemento de cada linha é na forma 𝑛𝑛
, logo
é igual a 1;
Em uma linha binomiais equidistantes são iguais: 5
0
5
1
5
2
5
3
5
4
5
5
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 5 10 10 5 1
Ainda em propriedades do △...
A soma de dois elementos consecutivos de uma mesma linha é igual ao elemento situado imediatamente abaixo do segundo elemento somado (relação de Stifel).
Teoremas...
Teorema das Linhas: a soma de todos os elementos de uma mesma linha do triângulo de Pascal é igual a 2𝑛 , onde n corresponde a linha do triângulo. (linha 0, linha 1 e assim por diante).
Teorema das colunas: a soma dos elementos de uma mesma coluna do triângulo de Pascal,
iniciando-se com o 𝑛𝑛
,
é igual ao elemento situado na linha imediatamente abaixo e na coluna imediatamente à direita do último elemento somado.
Teorema das Diagonais: a soma dos elementos de uma mesma diagonal do triângulo de Pascal, iniciando-se com o
𝑛0
é igual ao elemento
situado na mesma coluna e na linha imediatamente abaixo do último elemento somado.
Números binomiais
Fonte:
http://produvasf.webs.com/Mat_em/BINOMIO_DE_NEWTON.pdf
http://www.cci401.com.br/Util/HandlerArquivoBiblioteca.ashx?arq=129
