Aula Teórica

Séries de Taylor e resolução numérica da equação de advecção - difusão

Equações que vamos resolver• Conservação da massa:

• Num modelo Hidrodinâmico também a equação de Transporte de Quantidade de Movimento:

)( kkjjj

kjk PFxc

xxcu

tc

)( GravidadePressãoxu

xxuu

tu

j

i

jj

ij

i

Como se resolvem as equações

• Métodos Numéricos:• Diferenças finitas/Volumes finitos• Elementos Finitos/Elementos de fronteira.

• Como se constrói o método das diferenças finitas?

• Série de Taylor:t

in

nnt

i

t

i

t

i

ti

tti t

cnt

tct

tct

tctcc

!....

!3!2 3

33

2

22

O que representa a série de Taylor?t

in

nnt

i

t

i

t

i

ti

tti t

cnt

tct

tct

tctcc

!....

!3!2 3

33

2

22

t1 t1+Δt

Δt

Δc

Outras derivadas Δc 1ª Derivada: Δc/ Δt

t

c

Como usar para calcular as derivadas?t

in

nnt

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t

i

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cnt

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!3!2 3

33

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22

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tc

ttctcc

ti

tti

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t

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ti

tti

Método Explícito: A derivada é calculada à esquerda “em t” e tem precisão de 1ª ordem, ou seja, as derivadas que foram ignoradas estão multiplicadas por )( t

Isto significa que o erro do cálculo aumenta quando o passo de tempo aumenta.

Mas poderia ter feito calculado a derivada à direita

tt

in

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i

tt

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tct

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....!3!2 3

33

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)( 2

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ti

tti

tt

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tt

i

tti

ti

Método Implícito: A derivada é calculada à direita “em t+dt” e tem precisão de 1ª ordem, ou seja, todas as derivadas que foram ignoradas estão multiplicadas por )( tIsto significa que o erro do cálculo aumenta quando o passo de tempo aumenta. Os métodos implícitos e explícitos têm a mesma precisão.

Para calcular a derivada no centro do intervalo teria que calcular os valores nos extremos a partir daquele

2/2/

3

332/

2

222/2/

!2/....

!32/

!22/2/

tt

in

nntt

i

tt

i

tt

i

tti

tti t

cnt

tct

tct

tctcc

Subtraindo uma da outra:

2/2/

3

332/

2

222/2/

!2/....

!32/

!22/2/

tt

in

nntt

i

tt

i

tt

i

tti

ti t

cnt

tct

tct

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22/

32/

2/

2/

ttcc

tc

ttctcc

ti

tti

tt

i

tt

i

ti

tti

Neste método a derivada é calculada no centro do intervalo de tempo e tem precisão de 2ª ordem. Dá a solução exacta até uma evolução parabólica. As derivadas ignoradas estão multiplicadas por 22/t

O que representa a série de Taylor?t

in

nnt

i

t

i

t

i

ti

tti t

cnt

tct

tct

tctcc

!....

!3!2 3

33

2

22

t

c

t1 t1+Δt

Δt

Δc

Outras derivadas

1ª Derivada: Δc/ Δt

Método ImplícitoMétodo Explícito

Método Diferenças Centrais

Derivadas espaciaist

in

nnt

i

t

i

t

i

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txi x

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xcx

xcxcc

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!3!2 3

33

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22

)(

)( 2

xxcc

xc

xtcxcc

ti

txi

t

i

t

i

ti

txi

Derivada à direita, Método downwind, se velocidade positiva

Neste método a derivada espacial num ponto é calculada a partir da informação no ponto e da informação à direita.

Veremos mais adiante que este cálculo cria problemas se esta derivada for usada para calcular o termo advectivo quando a velocidade é positiva.

Derivadas espaciais

Derivada à esquerda, Método upwind se velocidade positiva.

t

in

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t

i

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txi x

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xcx

xcx

xcxcc

!....

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33

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22

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)( 2

xxcc

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ti

t

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t

i

ti

txi

Neste método a derivada espacial num ponto é calculada a partir da informação no ponto e da informação à esquerda.

Veremos mais adiante que este cálculo cria problemas se esta derivada for usada para calcular o termo advectivo quando a velocidade é positiva.

Subtraindo uma equação da outra

)(2

)(2

2

3

xxcc

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txi

txi

t

i

t

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txi

txi

Diferenças Centrais

t

in

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t

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t

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txi x

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xcx

xcx

xcxcc

!....

!3!2 3

33

2

22

t

in

nnt

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t

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t

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ti

txi x

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xcx

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!....

!3!2 3

33

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22

2ª Derivada**

3

33*

2

22***

!....

!3!2i

n

nn

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cnx

xcx

xcx

xcxcc

**

3

33*

2

22***

!....

!3!2 in

nn

iiiixi x

cnx

xcx

xcx

xcxcc

)(2

)(2

22

****

2

2

4*

2

22***

xx

cccxc

xtcxccc

xiixi

i

iixixi

Adicionando:

Equações Algébricas• Obtêm-se substituindo as derivadas pelas

aproximações:

• Explícito, diferenças centrais. Precisão de 2ª ordem no espaço e 1ª no tempo.

• Semi-implícito (Crank-Nicholson) diferenças centrais espaço. Precisão de 2ª ordem no tempo e no espaço.

222 2

2x

xcccx

xccut

tcc t

xxtx

txx

txx

txx

txx

tt

22

2/2/2/2

2/2/2 2

2x

xcccx

xccut

tcc tt

xxtt

xttxx

ttxx

ttxx

txx

tt

O que se paga pela precisão de 2ª ordem no tempo?

Como se obtém o valor em (t+Δt/2) ?Fazendo a média…..

• Adicionando as equações!

2/2/

3

332/

2

222/2/

!2/....

!32/

!22/2/

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i

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2/2/

3

332/

2

222/2/

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!32/

!22/2/

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in

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i

tt

i

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i

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cnt

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tct

tctcc

22/

2/

2

222/

2/2

.....2/2

tccc

tctccc

tti

titt

i

tt

i

tti

ti

tti

• Substituindo estes termos nas equações obtém-se a equação a resolver

Explícito Upwind

• Precisão de 1ª ordem no tempo e no espaço para advecção. Segunda ordem para difusão.

• Esta equação pode ser organizada na forma:

222 2 x

xcccx

xccut

tcc t

xxtx

txx

txx

tx

tx

ttx

)(1 11 PFcfcecdc tii

tii

tii

tti

ti

ti

ti

tti c

xtc

xt

xtuc

xt

xtuc 12212

21

Forma geral da Equação )(11111 1111 PFcfkcekcdkckfckeckd t

iitii

tii

ttii

ttii

ttii

Explicito, upwind:

xtuCr

2ºxtDifN

Números de Courant e de Difusão

ti

ti

ti

tti c

xtc

xt

xtuc

xt

xtuc 12212

21

K=1=> implícito. K=0 => Explicito, k=0.5=> Crank-Nicholson:

Sobre a precisão do cálculo• No cálculo implícito e no cálculo explícito as derivadas são calculadas

nos extremos do intervalo de tempo. Estes métodos ignoram todas as derivadas a partir da primeira: têm precisão de primeira ordem ou “até à primeira ordem”.

• Os termos da série de Taylor ignorados estão multiplicados por• Quando a derivada é calculada no centro do intervalo de tempo as

derivadas só são ignoradas a partir da segunda. São métodos com precisão de 2ª ordem, ou “até à 2ª ordem”. Se a função for uma recta ou uma parábola o cálculo da derivada é exacto.

• Os termos da série de Taylor ignorados estão multiplicados por• Mas >1 então quanto maior é a ordem de precisão do cálculo,

maior é o coeficiente dos termos ignorados. Porque é que a precisão do cálculo aumenta?

)( t

22/t)( t

Porque aumenta a precisão com o expoente de ? )( t

2/1

!2/

tt

in

nn

tc

nt

Porque os termos ignorados são da forma:

O cálculo da derivada faz aparecer em denominador o intervalo de tempo elevado n e o coeficiente está elevado a (n-1) e por isso o produto é proporcional a ou seja à primeira derivada multiplicada pelo inverso do factorial de n e por isso quanto maior é o valor do expoente do intervalo de tempo, menor é o valor dos temos desprezados.

Esta conclusão é consistente como facto de as derivadas perderem importância à medida que a ordem aumenta.

)/()( tc